Глава 6. Несобственные интегралы

Раздел 5. Первообразная и неопределенный интеграл
Глава 1. Определение первообразной. Свойства первообразной.
Операция нахождение производной от функции называется дифференцированием.
Обратная дифференцированию операция - отыскание функции по ее производной
называется интегрированием.
Функция F(x), производная которой равна функции f(x), т.е.
F(x) = f(x)
(1.1)
называется первообразной для f(x).
Так, например, если f(x) = xn, то ее первообразная есть F(x) =
x n1
, так как
n1
'
 x n 1 
xn
F '( x)  

(
n

1)
 xn .

n

1
n

1


Tсли же f(x) = sin (2x), то ее первообразная
F(x) = - 0.5 cos(2x),
так как
F '( x)   0.5cos(2 x)   0.5( sin(2 x))  2  sin(2 x) .
'
Теорема. Пусть F1(x) и F2(x) две первообразные одной и той же функции f(x) на
промежутке [a,b]. Тогда разность между ними есть постоянная величина С.
Доказательство. Обозначим за Ф(х) разность между F2(x) и F1(x), т.е. Ф(х) = F2(x) - F1(x)
и возьмем производную от функции Ф(х)
 '( x)  ( F2 ( x)  F1 ( x)) '  F2 '( x)  F1 '( x)  f ( x)  f ( x)  0
(1.2)
Единственной функцией, производная которой при любом значении х равна нулю,
есть постоянная величина, следовательно Ф(х) = const ≡ C и
F2(x) = F1(x) + С.
(1.3)
Константа С называется постоянной интегрирования.
Пример. Функция F(x) = – 0.5 cos(2x) является первообразной не только для f(x) =
sin(2x), но и для f(x) = sin(2x) + 4, и для f(x) = sin(2x) - 3 , и вообще для любой функции
вида sin(2x) + C
Следствие. Функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных {F(x)}вида
F(x) + C, отличающихся на постоянную величину.
1
Глава 2. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного
интеграла.
Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным
интегралом от этой функции и обозначается так
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
(2.1)
где  - знак интеграла, читается “интеграл”,
f(x) - подынтегральная функция от переменной интегрирования х,
f(x)dx - подынтегральное выражение,
C - постоянная интегрирования.
Часто вместо слов "вычислить неопределенный интеграл" говорят "взять
неопределенный интеграл".
Из определения интеграла следует, что
1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции.
Действительно
(  f ( x) dx ) = (F(x) + C) = F (x) + 0 = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
выражению. Действительно, так как dF = F (x)dx, получим
d(  f ( x) dx ) = (  f ( x) dx )dx = f(x)dx.
(2.2)
подинтегральному
(2.3)
3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной.
Действительно, пусть F(x) - первообразная для функции f(x) ( т.е. F(x) = f(x)).
Тогда

F(x)dx =
 f ( x)dx = F(x) + C
(2.4)
или
 dF  x  = F(x) + C
(2.5)
Формулы (2.2 – 2.5) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции
дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В
этой связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций
можно построить таблицу основных интегралов.
2
Таблица основных интегралов
 dx  x  C
x a 1
 x dx  a  1  C
dx
 x  ln x  C
a
 e dx  e
x
a  1
 sin( x)dx   cos( x)  C
 cos( x)dx  sin( x)  C
x
 a dx 
ax
C
ln a
x
C
1
1
x
dx  arctg    C
2
x
a
a
1
 x
 a2  x2 dx  arcsin  a   C
1
1
xa
 a 2  x 2 dx  2a ln x  a  C
1
 cos2 x dx  tgx  C
1
 sin 2 x dx  ctgx  C
a
2
Справедливость этих формул проверяется по формуле (1.1) непосредственным
дифференцированием.
Линейные свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
(2.6)
Действительно, возьмем производную от левой и правой частей равенства по
формуле (2.2) и проверим, что они совпадают, а это означает, что оба выражения есть
первообразные одной и той же функции (1.2).
  cf ( x)dx  '  cf ( x)
 c f ( x)dx  '  c( f ( x)dx) '  cf ( x) .
2. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных
интегралов от этих функций.
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
(2.7)
Доказательство аналогично.Действительно, возьмем производные от левой и правой части
и проверим, что они совпадают. По формуле (2.2)
  ( f ( x)  g ( x))dx  '  f ( x)  g ( x)
  f ( x)dx   g ( x)dx  '  ( f ( x)dx) ' ( g ( x)dx) '  f ( x)  g( x)
3
Замечание. Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит
свою постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная
интегрирования.
Пример. Найти
 sin
2
1
dx .
( x) cos 2 ( x)
Решение.Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде (1 = sin 2x +
cos2x) и разделим почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы:
1 
dx
dx
1
sin 2 x  cos 2 x
 1
 sin 2 x  cos2 xdx   sin 2 x  cos2 x dx     cos2 x  sin 2 x dx   cos 2 x   sin 2 x 
 tgx  C1  ctgx  C2  tgx  ctgx  C.
Глава 3. Методы интегрирования
Для вычисления неопределенных интегралов часто используют так называемые
стандартные методы интегрирования. Перечислим основные из них.
Метод замены переменной. Добиться упрощения подынтегрального выражения
можно при помощи метода замены переменной интегрирования. Суть этого метода
заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую непрерывную функцию
х = (t), имеющую непрерывную производную φ’(t) и обратную функцию t  1 ( x) , с
тем, чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду. Тогда
dx   '(t )dt
и
 f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt
(3.1)
Формула (3.1) называется формулой замены переменной под знаком
неопределенного интеграла. Априорных рекомендаций по эффективному применению
этой формулы не существует и все зависит от интуиции и опыта исследователя.
Для доказательства, как мы это делали ранее, возмем производные по переменной х от
левой и правой части и проверим, что они совпадают (формулы 2.2, 2.3)
  f ( x)dx  '  f ( x)
Для вычисления производной от правой части вспомним, что f '( x) 
df ( x)
. Тогда
dx
d  f ((t )) '(t )dt  f ((t )) '(t )dt

 f ((t ))  f ( x)
  f ((t )) '(t )dt  '   dx
 '(t )dt
x
4
Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти
замену переменной интегрирования x = (t), записать интеграл с новой переменной
интегрирования t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной
интегрирования, использовав обратную функцию t  1 ( x) .
Простейшие замены. К простейшим относятся линейная замена и замена типа
«подведение под знак дифференциала».
Линейная замена основана на следующем соотношении. Пусть интеграл
 f ( x)dx  F ( x)  C
является табличным. Тогда можно вычислить интеграл от функции f (ax+b)
1
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C .
(3.2)
Для доказательства возьмем производные от левой и правой части равенства (3.2)
  f (ax  b)dx  '  f (ax  b)
1
1
1
 1

 F (ax  b)  C  '   F (ax  b)  ' C '  F '(ax  b)  0  f (ax  b)  a  f (ax  b)
a
a
a
 a

Пример 1. Вычислить
1
 2 x  1 dx .
Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

dx
 ln x  C .
x
Тогда
1
a  2
1
 2 x  1 dx  b  1   2 ln 2 x  1  C
Пример 2. Вычислить  cos(5  3x )dx .
Решение. За базовый возьмем табличный интеграл
 cos( x)dx  sin( x)  C
Тогда
 a  3
1
   3 sin(5  3x)  C .

 cos(5  3x)dx  b  5
5
Замена типа подведение под знак дифференциала основана на формуле
 f ( x)  t

 F ( f ( x)) f '( x)dx   f '( x)dx  dt    F (t )dt  C
(3.3)
т.е. в данном случае сделав замену f ( x)  t , x = f – 1(t) мы проверяем, есть ли под знаком
интеграла dt, а не находим dx.
e arctg( x )
 1  x 2 dx .
Решение. Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его
dx
, который является
подынтегральное выражение содержит сомножитель
1  x2
дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести
замену переменной:
Пример 3. Найти
t = arctg x.
Отсюда
dt = d(arctg(x)) =
1
dx и
1  x2
earctg x = et.
Подставляя в исходный интеграл, имеем
e arctg( x )
t
t
 1  x 2 dx =  e dt  e  C  earctg x + C.
Пример 4. Найти  sin 3 x  cos 2 dx .
Решение. Здесь уместна замена
t = cos x,
т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx = (1 – cos2(x)) sinx dx.
Поэтому
 sin x  cos
3

2
x  dx   (1  cos 2 x)  cos 2 x  (sin x  dx)    (1  t 2 )  t 2  dt   (t 4  t 2 )  dt 
t5 t3
cos5 x sin 3 x
 C 

 C.
5 3
5
3
Метод интегрирования по частям. Пусть u(x) и v(x) две дифференцируемые функции.
Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы от произведений
функций и основан на формуле
6
 u ( x)dv( x)  u ( x)v( x)   v( x)du ( x)
(3.4)
или, в развернутом виде ,
 u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   v( x)u '( x)dx
(3.5)
Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее
применение полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить
в виде произведения двух функций f ( x)  u ( x)  v( x) и выражение v( x)  du  v( x)  u ( x)dx
для взятия интеграла проще, чем подынтегральное выражение u ( x)  dv( x)  u ( x)  v( x)dx .
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций u(x) и
v(x) , имеем
d (u ( x)  v( x))  (u ( x)  v( x)) ' dx  u '( x)v( x)dx  u ( x)v '( x)dx  du ( x)  v( x)  u ( x)  dv( x)
Проинтегрируем это равенство, учитывая, что (2.5)
 d (u ( x)  v( x))  u( x)  v( x)
Тогда
u ( x)  v( x)   du ( x)  v( x)   u ( x)  dv( x)   u '( x)  v( x)dx   u ( x)  v '( x)dx .
Из этого соотношения легко получить формулы (3.4), (3.5).
Пример 5. Найти
 x sin( x)dx .
Решение. Использование формулы интегрирования по частям позволяет вместо
исходного не табличного интеграла вычислить только интеграл от sinx. Покажем это,
приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
dv  sin xdx
 ux

x
sin(
x
)
dx


 = - x∙cos(x) +  cos( x) dx =

 du  dx v   dv   sin xdx   cos x 


= - x ∙ cos(x) + sin(x)+ C.
Обычно в интегралах за u(x) берут следующие функции:
ln(x), arсsin(x), arсcos(x), arсtg(x), arсctg(x)
а за v’(x) берут функции
ех, sin(x), cos(x).
7
Функцию хn , где n натуральное число, можно относить и к первой и ко второй группе.
Метод разложения на простейшие.Правильной рациональной дробью R(x) называется
отношение двух полиномов (многочленов)
Pn ( x) an x n  an 1 x n 1  .....  a1 x  a0
R( x) 

Qm ( x) bm x m  bm 1 x m1  .....  b1 x  b0
(3. 6)
где ai , i  1,...n; b j , j  1,...m коэффициенты многочленов an  0, bm  0 и n  m .
Если n  m дробь называется неправильной, такие дроби необходимо упростить, выделив
целую часть и остаток в виде правильной дроби.
Знаменатель рациональной дроби имеет ровно n корней, среди которых есть
действительные корни (кратные, т.е. повторяющиеся, и некратные) и комплексные корни,
также кратные и некратные (комплексные корни являются корнями квадратного
трехчлена с отрицательным дискриминантом).
Простейшими дробями или просто простейшими называются дроби вида
1.
A
,
xa
соответствует действительному некратному корню знаменателя а,
2.
A
, k  2 , k – целое положительное число,
( x  a)k
соответствует действительному кратному корню знаменателя а, число k называется
кратностью корня,
3.
Ax  b
2
, где знаменатель x  px  q имеет только комплексней корни, т.е.
x  px  q
D  p 2  4q  0 ,
2
соответствует двум комплексным некратным корням,
4.
Ax  b
 x 2  px  q 
k
, k  2 , k – целое положительное число,
соответствует двум комплексным кратным корням, число k кратность корня.
Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
элементарных дробей, поэтому приведем интегралы от первых трех видов простейших
1.
2.
A
 x  a dx  A ln x  a  C .
(3. 7)
A
( x  a)1k
k
dx

A
(
x

a
)
dx

A
C .
 ( x  a) k

1 k
(3. 8)
8
3.
x
2
Ax  B
A
2 B  Ap
2x  p
dx  ln( x 2  px  q) 
arctg
C.
 px  q
2
4q  p 2
4 p  q2
Пример 6. Вычислить
(3. 9)
4
 x  3 dx .
Решение. Используем формулу (3. 7)
4
 x  3 dx  4 ln x  3  C .
Пример 7. Вычислить
5
 ( x  2)
3
dx .
Решение. Используем формулу (3. 8)
5
( x  2)2
3
dx

5
(
x

2)
dx

5
C .
 ( x  2)3

2
2x  3
dx .
 x2
Решение. Так как D  p 2  4q  12  4  2  0 , то используем формулу (1.19)
Пример 8. Вычислить
x
x
2
2x  3
2
2  3  2 1
2x 1
4
2x 1
dx  ln( x 2  x  2) 
arctg
 C  ln( x 2  x  2) 
arctg
C
2
2
x2
2
7
7
4  2 1
4  2 1
2
Приведем примеры разложения правильной рациональной дроби на простейшие
слагаемые, исходя из следующего правила:
каждому некратному корню соответствует простейшая первого вида,
каждому кратному корню кратности k соответствует k-1 простейшая второго вида с
убывающими степенями знаменателя и одна простейшая первого вида,
каждым двум некратным комплексным корням соответствует простейшая третьего
вида.
Пример 9. Разложить на простейшие рациональную дробь
3x  1
.
( x  1) x 2
Решение. Корни знаменателя: х1 = -1 действительный некратный корень, и х2 = 0
действительный кратный корень кратности 2. Следовательно
B B
3x  1
A

 21  2 .
2
( x  1) x
x 1 x
x
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В1 и В2 приведем правую
часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены в
числителе
9
B1 B2 Ax 2  B1 ( x  1)  B2 x( x  1) ( A  B2 ) x 2  ( B1  B2 ) x  B1
3x  1
A

 


( x  1) x 2 x  1 x 2 x
( x  1) x 2
( x  1) x 2
Приравняем числители исходного и конечного выражений
3x  1  ( A  B2 ) x 2  ( B1  B2 ) x  B1 .
Такое сооотношение возможно тогда и только тогда когда совпадают
коэффициенты при одинаковых степенях х (если какая-то степень х отсутствует, то это
значит, что коэффициент при ней равен нулю). Получим систему
0  A  B2

3  B1  B2  B1  1, B2  4, A  4
1  B
1

Окончательно
3x  1
4 1 4

 
2
( x  1) x
x  1 x2 x
Пример 10. Разложить на простейшие рациональную дробь
2x 1
.
( x 2  1) x
Решение. Корни знаменателя: х1=0 действительный некратный корень, и два комплексных
корня квадратного трехчлена x 2  1 с отрицательным дискриминантом
2x 1
Ax  B D
 2
 .
2
( x  1) x
x 1 x
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В и D приведем правую
часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены
2x 1
Ax  B D ( Ax  B) x  D( x 2  1) ( A  D) x 2  Bx  D

 

( x 2  1) x x 2  1 x
( x 2  1) x
( x 2  1) x
Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях х
2 x  1  ( A  D) x 2  Bx  D .
Получим систему
0  A  D

2  B
1  D

 D  1, B  2, A  1
Окончательно
10
2x 1
x  2 1
 2
 .
2
( x  1) x x  1 x
Вычислим интегралы от рациональных дробей примеров 9 и 10, используя
формулы (1.15-1.19).
3x  1
x 1
 4 1 4 
dx



dx


4ln
x

1

1
 4ln x  C
 ( x  1) x2   x  1 x2 x 
1
2x 1
1
 x  2 1 
dx    2
 dx  ln( x 2  1)  2arctg ( x)  ln x  C
2
 1) x
2
 x 1 x 
 (x
Замечание. Существует большое количество интегралов, которые методом
замены переменной можно свести к интегралам от рациональных дробей. К
таким интегралам относятся интегралы от иррациональных функций вида
 R  x, (ax  b)
m
n

k
, (ax  b) s ,.... dx
В этом случае надо сделать замену переменной вида t  (ax  b)r , где r – общий
знаменатель дробей m/n, k/s…
x 1
dx .
x 1
имеют общий знаменатель 12. Следовательно, замена
4
Пример. Вычислить интеграл
Решение. Степени корней ¼ и
 1
1
3
3
x 1= t 12
 x  1  t12 
4 12


x 1
t
t14
t14
12
11
dx

x

t

1

12
t
dt

12
dt


12
 
 1  3 x 1 
 1 t4
 t 4  1 dt 
3 12
1

t
 dx  12t11dt 


4
Получили неправильную рациональную дробь (1.15). Разделим числитель на
знаменатель
t 4 1
t 14
 ( t 14  t 10 )
t 10  t 6  t 2

t 10
 (t 10  t 6 )

t6
 (t 6  t 2 )

t2
11
Следовательно
t14
t2
10
6
2
.

t

t

t

t 4 1
t 4 1
Продолжим вычисление интеграла

t2 
t11 t 7 t 3
t2
   t10  t 6  t 2  4  dt     
dt 
2
t

1
11
7
3
(
t

1)(
t

1)(
t

1)


Вычислим отдельно интеграл от правильной рациональной дроби методом разложения на
простейшие. Знаменатель имеет корни: t1= 1, t2= -1 и два комплексных корня,
соответствующих множителю t2+ 1.
t2
A
B D1t  D2 A(t  1)(t 2  1)  B(t  1)(t 2  1)  ( D1t  D2 )(t 2  1)


 2

(t  1)(t  1)(t 2  1) t  1 t  1
t 1
(t  1)(t  1)(t 2  1)
Раскрыв скобки и приведя подобные члены получим
t 2  ( A  B  D1 )t 3  ( A  B  D2 )t 2  ( A  B  D1 )t  ( A  B  D2 )
0  A  B  D1
1  A  B  D
1
1
1

2
 A  , B   , D1  0, D2 

4
4
2
0  A  B  D1
0  A  B  D2
Подставим полученное разложение рациональной дроби в интеграл
1
1 
 1
t11 t 7 t 3
t2
t11 t 7 t 3
4  4  2 dt 

  
dt




11 7 3
(t  1)(t  1)(t 2  1)
11 7 3   t  1 t  1 t 2  1 


1
t11 t 7 t 3 1
1
1
    ln t  1  ln t  1  arctgt  C  t  12 x  x 12 
11 7 3 4
4
2


11
7

3
1
1
1
x 12 x 12 x 12 1
1
1



 ln x 12  1  ln x 12  1  arctg ( x 12 )  C
11
7
3
4
4
2
12
Раздел 6. Определенный интеграл
Глава 1. Площадь криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная непрерывная функция f(x). На
плоскости XOY, как показано на рис.1, график этой функции, отрезок оси абсцисс и
прямые x = a и y = b образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной
трапеции равна S.
Разделим отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек
деления удовлетворяют соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1< xi <... < xn = b.
В точках деления проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ. Криволинейная
трапеция разделилась на n узких криволинейных трапеций (элементарных трапеций)
шириной Δxi = xi - xi-1 (i = 1, 2…n). Площадь каждой такой элементарной трапеции
обозначим как Δ Si.
На каждом промежутке [xi-1, xi] выберем произвольную точку xi* , xi*  [ xi1 , xi ] ,
вычислим в точке xi* функцию f ( xi* ) . Каждую i-ю полоску заменим на соответствующий
прямоугольник, высота которого равна f ( xi* ) . Тогда площадь Si  f  x *i  x i ,
Рис. 1. Криволинейная трапеция.
Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади
исходной криволинейной трапеции.
S   f  xi* xi .
n
(1.1)
i 1
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна
уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δxi. Эту длину называют рангом дробления
и обозначают r , т.е. r = max Δxi  0 при n  . При этом погрешность при вычислении
13
площади будет стремиться к нулю и в пределе мы получим площадь криволинейной
трапеции, т.е.
lim
 f  xi* xi = S
n,r0 i1
n
(1.2)
Сумму, стоящую в выражении (2.2) называют интегральной суммой.
Глава 2. Определение определенного интеграла. Свойства определенного
интеграла.
Пусть на интервале [a,b] задана непрерывная функция f(x). Разделим отрезок [a,b]
на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют
соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1 < xi<... < xn = b.
На каждом промежутке [xi-1, xi] (i = 1, 2…n) выберем произвольную точку
x , x  [ xi1 , xi ] , вычислим в точке xi* функцию f ( xi* ) и умножим на длину интервала Δxi
*
i
*
i
= xi - xi-1, получим f  x *i  x i . Просуммируем по всем i , получим интегральную сумму
 f  x  x
n
*
i
i
i1
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна
уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δxi, т.е. ранг дробления должен стремится к
нулю. Если независимо от способа разбиения отрезка [a,b] на части, для функции f(x)
существует конечный предел интегральной суммы при n   и r  0, то этот предел
называется определенным интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], а сама
функция f(x) - интегрируемой на [a,b].
Для обозначения предельного значения суммы Лейбниц ввел символ "  ", как
стилизацию начертания буквы S - начальной буквы латинского слова Summa.
n
b
lim
 f  xi   xi   f  x  dx.
n,r0 i1
a
(2.1)
Читается: "Интеграл от a до b от функции f(x)". Числа а и b называются
соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Интеграл существует для всех
непрерывных и кусочно непрерывных функци (т.е. имеющих на интервале [a, b] только
конечное число разрывов первого рода).
Определенный интеграл - есть число! Его значение зависит только от вида
функции f(x) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую
можно обозначить любой буквой.
b

a
b
f x dx   f t dt
a
14
Определенный интеграл имеет следующий свойства, вытекающие из определения.
a
1.
 f  x  dx  0.
(2.2)
a
b
2.  0 dx  0.
(2.3)
a
b
3.

a
a
f  x  dx    f  x  dx
(2.5)
b
b
4.
 dx  b  a
(2.6)
a
Свойство аддитивности. Если функция f(x) интегрируема на интервалах [a,c] и
[c,b], a < c < b, то она интегрируема и на интервале [a,b], при этом выполняется равенство
c
b
b
a
c
a
 f(x) dx +  f(x) dx =  f x dx
(2.7)
Свойство аддитивности имеет наглядный геометрический смысл: оно выражает
свойство аддитивности площади, например, плоских фигур (см. рис.2).
Рис. 2. Аддитивность определенного интеграла.
a
Следствие. Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = - f(x), то
 f(x) dx = 0
(2.8)
a
a
Если f(x) - четная функция, т.е. f(-x) = f(x), то
a
 f(x) dx = 2 f(x) dx.
a
(2.9)
0
Линейные свойства определенного интеграла .
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,
15
b
b
a
a
 c  f xdx  c f xdx.
(2.10)
Действительно, по определению
b
 cf  x  dx 
a
b
lim
f  x*i   xi c  f  x  dx
 cf  x*i   xi  c nlim,r0 
n,r0 i1
i 1
a
n
n
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен
алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем
b
b
b
a
a
a
 (f(x) + g(x)) dx =  f(x) dx +  g(x) dx.
(2.11)
Доказательство также основано на определении определенного интеграла
b
b
( f  xi*   g ( xi* ))  xi  lim  f  xi*   xi  lim  g ( xi* )  xi  c  f(x) dx +
a (f(x) + g(x)) dx = nlim
 
n i 1
n i 1
a
r 0 i 1
r 0
r 0
n
n
n
b
 g(x) dx.
a
Интегрирование неравенств.
1.
Пусть на интервале [a,b] функции f(x) и g(x) связаны соотношением
f ( x)  g ( x) (рис. 3).Тогда и для интегралов выполняется то же соотношение
b

a
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
Действительно
b

a
n
n
b
i 1
i 1
a
f ( x)dx   f ( xi* )xi   g ( xi* )xi   g ( x)dx
Рис. 3. Интегрирование неравенств. Зеленым обозначена разность площадей
криволинейных трапеций.
16
2.
По теореме Вейерштрасса функция непрерывная на замкнутом интервале
достигает на нем своих наибольшего M и наименьшего m значений m  f ( x)  M . Тогда
(рис. 4)
b
b
b
a
a
a
m  b  a    m dx   f ( x)dx   M dx  M (b  a )
Рис. 4.
3. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на интервале [a,b], то на этом отрезке
найдется такая точка с, что справедливо равенство
b
 f xdx  f cb  a 
(2.12)
a
Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы о среднем
Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис.5): площадь криволинейной
трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция,
причем высота прямоугольника равна значению функции f(с) в некоторой точке с,
лежащей между а и b. Значение f(c) называется средним значением функции на интервале
[a,b] и имеет обозначение f ( x )
b
f (c ) 
 f ( x)dx
a
ba
 f ( x)
(2.13)
17
Глава 3. Вычисление определенного интеграла
Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если
x
функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) =
 f(t)dt
, где x  [a, b] ,
a
дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф(x) = f(x), то
есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется
интегралом с переменным верхним пределом.
Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем
приращение аргумента х столь малым, чтобы точка х + х лежала внутри отрезка [a,b], и
найдем приращение функции Ф(х) (рис. 6, приращение обозначено зеленым цветом).
x  x
Ф(х) = Ф(х + х) - Ф(х) =

a
x
x
f t dt   f t dt =  f(t) dt +
a
a
x+x

x
f(t) dt -
x
x + x
a
x
 f(t) dt 
 f(t) dt
Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим
теорему о среднем
x  x
Ф(x) =
 f(t) dt
= f(с)x, где с  [x, x+x].
x
Рис. 6. Интеграл с переменным верхним пределом.

= f(с). Поскольку f(x) непрерывна и с  x , если х  0, то
x
lim f(c) = f(x). Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)
x0

 '  x  = lim
= lim f  c  = f(x) .
(3.1)
c x
x0 x
Следовательно,
А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной,
Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f(x) с постоянным нижним и
переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f(x)
( x)  F ( x)  C .
Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление
представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического
анализа.
18
Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен
разности значений первообразной F ( x) на концах промежутка
b
 f(x) dx = F(b) - F(a),
(3.2)
a
Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция
интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную
f(x)
x
Ф(x) =  f(t) dt = F(x) + C.
(3.3)
a
Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а.
Действительно принимая во внимание, что
a
Ф(а) =  f(t) dt  F (a)  C = 0
(3.4)
a
из (3.4) получим:
- F(a) = C.
(3.5)
Поскольку
b
Ф(b) =  f  t  dt  F (b)  C ,
(3.6)
a
то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа формулу Ньютона – Лейбница
b
 f(x) dx = F(b) - F(a)=
b
F ( x) a
(3.7)
a
b
где F(x) - первообразная для функции f(x), а a - знак подстановки Ньютона. Этот знак
означает, что сперва в функцию F(x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию
вычисленную в точке нижнего предела.
Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла
необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить
неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на
верхнем и нижнем пределе.
5
Пример 1. Вычислить интеграл
 x dx .
3
2
Решение.
 x dx 
3
4
x
 C . Следовательно, по формуле (3.7)
4
19
 5   2   625  16  609 .
x4
x
dx


2
4 2
4
4
4
4
4
5
5
4
4
3
При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы,
что и при вычислении неопределенного интеграла.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
b
 u(x)v'(x) dx
= u  х  v  х a b
b
 v(x)u'(x) dx
(3.8)
a
a
1
Пример 2. Вычислить  xe - x dx.
0
Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие
сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х’=1, то
целесообразно, используя (3.8) положить u = x. Тогда
1
x
 xe dx 
0
dv  e x dx
ux
du  dx
v  e
x
1
  xe x   e x dx = e1  e x 10  2e1  1 
1
0
0
e2
.
e
Замена переменной в определенном интеграле. Во многих случаях
подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является
дифференциалом некоторой функции. Тогда по аналогии с формулой (3.1) раздела 5
можно записать
b
 f(x) dx =
a

 f   t   ' t  dt  F (t )



 F ()  F ()
(3.9)
где x = (t), () = a, =-1(a) ; () = b,  = -1( b).
e
ln 2 x
1 x dx. .
Решение. Положив ln(х) = t, имеем dx/x = dt.
Пример 3. Вычислить
Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда
e
1
ln 2 x
1 3
2
1 x dx  0 t dt  3 t
t 1
t 0



1 3 3 1
1 0  .
3
3
20
Глава 5. Приложения определенного интеграла
1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f(x)  0 на отрезке
[a,b], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.
b
S   f ( x )dx
(5.1)
a
Если на [a,b] функция, как показано на рис.7, меняет знак, то необходимо
вычислить интеграл от модуля подинтегральной функции.
b
S   f ( x ) dx
(5.2)
a
Это означает, что если на отрезке [а,с]  [a,b] функция f(x) < 0, то на этом отрезке
берется отрицательное значение функции
b
c
b
a
a
c
S   f ( x) dx   ( f ( x)dx   f ( x )dx
Рис. 7. Вычисление площади при помощи определенного интеграла
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке
[0,2].
Решение. Поскольку sin(x)  0 на отрезке [0, ] и sin(x)  0 на [,2], то искомая площадь
S равна
S=
-
2

2
0
0


2
 sinx dx =  sinx dx +  (-sinx) dx = - cosx 0  cos x   - (cos - cos0) + (cos2 -
cos) = -(-1 -1) +( 1 + 1) = 4.
21
В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры
ограниченной несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть
алгебраическая сумма площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как
показано на рис.8
b
c
b
a
a
c
S A1 ABB1  SaABb  S aA1c  ScB1b   g ( x) dx   f ( x) dx   f ( x)dx
Рис. 8. Вычисление площади плоской фигуры.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями y1=x - 2 и y2 =
(рис. 9).
x
Рис. 9.
Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение
y1(х) = y2(х)
Возведем в квадрат левую и правую часть
x  x  2  x  ( x  2)2 или x 2  5 x  4  0 ; x1  1, x2  4 .
22
 x  2, x  2
Учтем, что x  2  
.
( x  2), x  2
Следовательно
4
4
4
2
4
1
1
1
1
2
S   xdx   x  2 dx   xdx   (2  x)dx   ( x  2)dx 
x
3
3
4
2
2
1
2
4


x2   x2
  2x      2x  
2 1  2

2

4 
1     16   2
1
 2 8 1   

     4     2        8     4    5   2  2.5
2 
2   2
2
 3 3  
  2

2
Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается
функцией f(x) и отрезку [a,b] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом
разобьем эту дугу, как показано на рис.10 на n частей точками M 0, M1, ..., Mn. Получим
элементарные дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в
дугу AB ломаную линию. Длину звена ломанной li , лежащую между точками Мi Mi+1 ,
где Мi(xi, f(xi)), Мi+1(xi+1, f(xi+1)) находим по формуле
li  ( f ( xi1 )  f ( xi ))2  ( xi1  xi )2  (f ( xi )2  (xi ) 2
Длина элементарной дуги Мi Mi+1 примерно равна li
М i Mi 1  li  (f ( xi ))2  (x i )2 .
(5.3)
Просуммируем (5.3) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна
Рис. 10. Длина дуги.
n
n
n
i 1
i 1
i 1
L   М i M i 1   li   (f ( xi )) 2  (x i ) 2
Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При
бесконечном увеличении числа точек разбиения n   , проводимого произвольным
23
образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к
нулю r  0 ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда
длина дуги L плоской кривой
2
b
n
n
n
 f ( xi ) 
2
L  lim li  lim (f ( xi )) 2  (x i ) 2  lim 1  

x

dx 1   f '( x) 

i

n , i 1
n , i 1
n , i 1
 x i 
a
r 0
r 0
r 0
(5.4)
Если кривая задана в параметрическом виде: х = (t), y = (t) ( t ), то длина
кривой вычисляется по формуле

L   dt ( x '(t )) 2   y '( x) 
2
(5.5)

Пример 1. Найти длину дуги кривой y2 = x3 , заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y  0).
3
3 1
Решение. y   x 2  y '  x 2 . Подставляя затем этот результат в (5.4), получим
2
9
 9 
L   dx 1  x   dx 1  x 
4
 4 
0
0
1
1
1
2
4 2  9  1 8  13  2
  1  x  3/2 
  1 
9 3  4  0 27  4
 3
Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos3t, y = a sin3t, если t изменяется 0 до /2.
Решение. Вначале находим производные по t
x(t) = -3a cos2tּsint, y(t) = 3a sin2tּcost
Подставляя в формулу (5.5), имеем
 /2
L

 /2
9a 2 (cos 4 t sin 2 t  sin 4 t cos 2 t )dt 
0
 /2

 3a
sin 2 t cos 2 tdt 
0
3
 /2
3
 3a sin t cos tdt  4 a  sin 2td (2t )  4 a( cos 2t )
0
0
 /2
0
3
3
  a(cos   cos 0)  a
4
2
Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью
ОХ (рис.11), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V.
Разделим отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления
удовлетворяют соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1< xi <... < xn = b.
В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси ОХ. Тело
разделится на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δxi = xi - xi-1 (i = 1, 2…n).
Объем каждого такого слоя обозначим как Δ Vi. На каждом промежутке [xi-1, xi] выберем
произвольную точку xi* , xi*  [ xi1 , xi ] . Обозначим за S(x*i) площадь поперечного сечения
тела в этой точке (на рис. 11 обозначено красным). Тогда
24
Vi  S ( xi* )  xi
(5.6)
Рис. 11. Объем тела переменного сечения.
Просуммируем (5.6) по всем i , получим интегральную сумму
V   Vi  S  x *i  x i
n
n
i 1
i 1
(5.7)
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна
уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δxi, т.е. ранг дробления r должен стремится
к нулю. Тогда объемтела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной
суммы при n   и r  0
n
b
n
V   V  lim  S ( x )  xi   S ( x)dx
i 1
n  ,
r 0 i 1
*
i
(5.8)
a
Если тело получено при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ОХ (рис.
12), то S ( x)  f 2 ( x) . В этом случае объем тела V вычисляется по формуле
Рис. 11. Объем тела вращения.
25
b
b
V   f 2 ( x)dx    f 2 ( x)dx
a
(5.9)
a
Пример. Вычислить объем тела, полученного при вращении кривой y = sin(x) вокруг оси
ОХ x  [0, ] .
Решение.



 
1  cos 2 x

sin 2 x  2
V   sin ( x)dx  
dx    dx   cos 2 xdx     


2
20
2 0  2
0
0
0
 2


2
Глава 6. Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток
интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не
выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.Пусть функция f(x) определена и
непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а х <+.
b
Рассмотрим интеграл
 f(x) dx ,
который имеет смысл при всех b > a. При
a
изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b.
Если
при
бесконечном
возрастании
величины
b
существует
конечный
b
предел lim  f x dx , то он называется несобственным интегралом от функции f(x) с
b a
бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению


a
b
f x dx  lim  f x dx
b a
(6.1)
Если предел в (6.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный
интеграл не существует или расходится.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным
нижним пределом
b


f x dx 
b
lim
f x dx
a a
(6.2)
и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами



b
f  x  dx  lim  f ( x)dx
b 
b
26
Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их
вычисления: вначале находится первообразная F(x) для подынтегральной функции f(x),
затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего
пределов интегрирования, т.е.

lim  F  b   F  b  
 f  x  dx  b
(6.3)

Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл

dx
I  p
x
1
Решение

1. если p  1,

dx
x
I
1
b
I  lim
2. если p = 1,
b

1 1 p b
1
 lim
x
 lim
b1 p  1 ,
1
b 1  p
b 1  p
p
dx
x
p
 lim (ln x 1 )   ,
b
b
1
Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если р > 1, то
dx
x
p
1

если р < 1, то
dx
x
p

1
, т.е. интеграл сходится,
1 p
  , т.е. интеграл расходится,
1

если р = 1, то
dx
x
p

 ln x 1   интеграл расходится.
1
Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f(x) определена
и непрерывна на [a,b] за исключением точки с  [a,b] . Рассмотрим три случая.
1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f(x) с точкой разрыва на
верхнем пределе определяется так
b
b 
a
a
lim  f  x  dx
 f  x dx  
0
1
Пример. Вычислить интеграл

0
dx
1  x2
dx .
Решение.
1

0


1
 lim arcsin x 0   0  .
0
2
2
1 x
dx
2
2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем
интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так
27
b
b
a
a
f x dx
 f xdx  lim
0 
1
I 
Пример. Исследовать интеграл
0
dx
. Здесь подынтегральная функция
x
1
x
не
существует в точке х = 0, поэтому
1
1
dx
dx
1
lim 
 lim | ln x 0  lim  ln1  ln    
0 x  
0 0 x 0
0
Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).
3. Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [a,b], т.е. a < c < b.
b
c 
b
a
a
c 
lim  f  x  dx  lim  f  x  dx
 f  x  dx  
0
0
1
Пример. Вычислить интеграл
dx
x
1
1
.
3
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому
1
dx
x
1
1
3
2
x 3
 lim
0 2
3
0 
1
2
x 3
 lim
0 2
3
1
0 
3 3
  0
2 2
28
Раздел 7. Функции многих переменных
Глава 1. Функции двух
Приращения функции.
переменных.
Основные
определения.
Пусть на плоскости ХY задана область D. Каждой точке М этой области
соответсвует упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты.
Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону
f число z, то говорят, что задана функция двух переменных
z = f (x, у)
(1.1)
Область D называется областью определения функции. Множество Z ={z} образует
область значений функции. График функции f(x,y) - поверхность в пространстве (рис 1),
эту поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть
область D.
Рис.1. Функция двух переменных.
Функция двух переменных может быть также задана в виде таблиц.
Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например,
функцию трех переменных u = f(x,y,z,) можно интерпретировать как плотность вещества в
объемной области D.
Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и
наглядным случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно
рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций
произвольного числа переменных.
29
Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости,
перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии сечения
поверхности σ плоскостью функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии
сечения проектируют на плоскость ХY и называют линиями уровня (рис. 2).
Рис. 2. Линии уровня.
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М0(x0, y0), если имеет место равенство
f ( x0 , y0 )  lim f ( x, y )
x  x0
y  y0
и точка М(x, y) стремится к М0(x0, y0) оставаясь все время в области определения функции. Функция
непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области.
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего
наименьшего m и наибольшего M значений.
Приращения функции двух переменных.Выберем в области определения функции точку М 0 с координатами
x0 и y0 т.е. М0(x0, y0) и точку М1 с координатами x1 и y1 М1(x1, y1) (рис.3). вычислим в этих точках значения
функции z0 = f(x0, у0) и z1 = f(x1, у1) .
Рис. 3. Приращения функции двух переменных.
Полным приращением функции двух переменных Δz называется разность ее значений в точках М1 и
М0
30
z  f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 ) .
(1.2)
Сделаем дополнительное построение. Построим точку М 2(x1, y0) и М3(x0, y1). Частным приращением
по аргументу х Δхz называется разность значений функции в точках М2 и М0
 x z  f ( x1 , y0 )  f ( x0 , y0 ) ,
(1.3)
а частным приращением по аргументу у Δуz называется разность значений функции в точках М3 и М0
 y z  f ( x0 , y1 )  f ( x0 , y0 ) .
(1.4)
Сумма частных приращений, в общем случае, не совпадает с полным приращением.
 x z   y z  z
Глава 2. Частные производные
z
 f x '( x, y ) от функции двух переменных f(x,y) по
x
переменной х при y = y0 называется предел, при Δх стремящемся к нулю, отношения
частного по х приращения функци  x z к вызвавшему его приращению аргумента Δх (если
этот предел существует и конечен). Так как y0 любое фиксированное число из области
допустимых значений, то его можно заменить на просто у. Тогда
Частной производной z x ' 
lim
x0
f  x  x, y   f  x, y 
 z f  x, y 
 lim x 
 f x '  x, y  .
x0 x
x
x
Частная
производная
от
функции
f(x,y)
по
z
zy ' 
 f y '( x, y ) определяется и обозначается аналогичным образом
y
lim
y 0
переменной
y
f  x, y  y   f  x, y  f ( x, y )

 f y ' ( x, y )
y
y
То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f(x,y)
по х второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная
производная по y, то х принимается постоянной величиной.
Пример 1. Вычислить частные производные zx и zy от функции
f(x,y) = x3y2 + sin x - 4y.
Решение. В соответствии с определением, имеем
31
fx(x,y) = 3x2y2 + cos x
fy(x,y) = 2x3y - 4.
и
Частная производная от f(x,y) тоже является функцией двух переменных и от нее
вновь можно вычислять частные производные и так далее.
Функция двух переменных имеет следующие вторые производные:
- вторая производная от f(x,y) по х дважды
 2 f  x, y   f  x, y 

z xx ''  f xx ( x, y ) 

;
x 2
x x
-
вторая производная от f(x,y) по y дважды
 2 f  x, y   f  x, y 

z yy ''  f yy ( x, y ) 

y 2
y y
-
вторая смешанная производная от f(x,y) по x и по y
z xy ''  f xy ( x, y ) 
 2 f  x, y 
yx

 f  x, y 
y
x
- вторая смешанная производная от f(x,y) по y и по х.
z yx ''  f yx ''( x, y ) 
 2 f  x, y 
xy

 f  x, y 
x y
для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные производные
второго порядка совпадают
z xy ''  z yx ''
Пример 2 (продолжение примера 1). Вычислить вторые производные для функции
f(x,y) = x3y2 + sin x - 4y.
Решение. Применяя правила дифференцирования, получим
zxx = (3x2y2 + cos x)х’ = 6xy2 - sin x,
zyy = (2x3y – 4)y’ = 2x3,
zxy = (3x2y2 + cos x)y’ = 6x2y = zyx.
Теперь не представляет труда решение задачи о вычислении производных любого
порядка.
Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции
f(x,y) = 2x4 ּ lny - cos(x + y3) + x3
32
В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих
переменных имеем:
f ( x, y )
 ((2 x 4 ln y  cos( x  y 3 )  x 3 )x )yyy  (8 x 3 ln y  sin( x  y 3 )  3x 2 )yyy 
3
 yx


 8 x3
 8 x3
2
3 
3
4
3 

 3 y cos( x  y )    2  6 y cos( x  y )  9 y sin( x  y )  
 y
 yy  y
y
 16
x3
 6 cos( x  y 3 )  18 y 3 sin( x  y 3 )  36 y 3 sin( x  y 3 )  27 y 6 cos( x  y 3 ) 
y3
 16
x3
 (6  27 y 6 ) cos( x  y 3 )  54 y 3 sin( x  y 3 )
y3
Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же
правилам.
Пример 4. Пусть дана функция четырех переменных f(x,y,z,t)
f(x,y,z,t) = xz3t2 + yz2 cos(y3 - t).
Решение. Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t
 2 f ( x, y , z , t )
 (( xz 3t 2  yz 2 cos( y 3  t ))z )t  ( xt 2 3 z 2  y cos( y 3  t )2 z )t 
t z
 3 xz 2 2t  2 yz ( sin( y 3  t )(1)  6 xtz 2  2 yz sin( y 3  t )
Глава 3. Дифференциалы функции двух переменных
Полным дифференциалом df(x,y) функции f(x,y) называется выражение
df  x, y  
f ( x, y )
f ( x, y )
f  x, y 
f  x, y 
x 
y 
dx 
dy
x
y
x
y
(3.1)
Напомним, что по определению для независимых переменных Δx=dx, Δy=dy.
Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение
dz x 
f  x, y 
f ( x, y )
x 
dx
x
x
(3,2)
Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у
dz y 
f  x, y 
f ( x, y)
y 
dy
y
y
(3.3)
33
Следовательно
dz  d x z  d y z
(3.4)
Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее
аргументов, отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более
высокого порядка малости, чем приращения аргументов Δх и Δу, т.е.
z = f(x,y) = df(x,y) + (Δx, Δy)
(3.5)
В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение
функции заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f(x0,y0) известно, но
неизвестно f(x1,y1) = f(x0+x, y0+y), то приближенное значение функции удобно
вычислять при помощи полного дифференциала.
f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 )  z  f ( x0 , y0 )  dz ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0 ) 
z ( x0 , y0 )
z ( x0 , y0 )
x 
x
y
(3.6)
Пример 1. Найдем полный дифференциал функции z  x sin( x 2 y) .
Решение.
z 'x  sin( x 2 y )  x cos( x 2 y )2 x
z ' y  x cos( x 2 y )
1
2 y
 x

dz  sin( x 2 y )  x cos( x 2 y ) dx  
cos( x 2 y dy
 2 y



Пример 2. Найти для функции f(x,y) = xy приращение и соответствующий полный
дифференциал если x0 = 4, y0 = 3, а x1 = 4,2 и y1 = 3,1.
Решение. Δх = x1 - x0 = 0.2 ; Δ y = y1 - y0 =0.1.
f (х,у) = f (х1,у1) - f (х0,у0) = x1 y1 + x0 y0 = 4.2 ּ 3.1 - 12 = 1.02
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
df ( x, y ) 
x 
y  yx  xy  3  0.2  4  0.12  1.08
x
y
Следовательно, разность (рассогласование) между f и df составит 0.06.
Вторым дифференциалом функции двух переменых d2z называется диференциал от первого
дифференциала
 z
z   2 z
2 z
2 z
2 z
d 2 z  d (dz )  d  x  y   2 (x) 2 
xy 
yx  2 (y ) 2
y  x
xy
yx
y
 x
Опуская скобки и учитывая равенство смешанных производных получим
2 z 2
2 z
2 z 2 2 z 2
2 z
2 z 2
d z  2 x  2
yx  2 y  2 dx  2
dydx  2 dy
x
yx
y
x
yx
y
2
(3.7)
34
Глава 4. Градиент и производная по направлению.
Пусть в каждой точке области D задана дифференцируемая функция двух переменных z = f (x, у).
градиентом функции grad z в точке М(х, у) называется вектор, проекциями которого являются частные
производные
gradz 
z
z
i
j  z .
x y
(4.1)
Аналогично определяется градиент функции трех переменных
gradu 
u u
u
i
j  k  u
x
y
z
(4.2)
Направление вектора градиента указывает направление наискорейшего изменения функции.
Длина вектора gradz равна
 z   z 
gradz      
 x   y 
2
2
(4.4)
Фналогично определяется и длина вектора gradu .
Для функции двух переменных в каждой точке М(х, у) вектор градиента перпендикулярен линии
уровня.
Если задан вектор S  {a, b} . Производной функции по направлению вектора
проекция вектора градиента на направление вектора
S
z
gradz  S
.
 prS gradz 
S
S
(4.5)
Т.е. проекция равна скалярному произведению векторов gradz и
z gradz  S


S
S
S называется
z
z
a b
x
y
S делить на длину вектора S .
(4.6)
a 2  b2
Аналогично определяется производная по направлению вектора S  {a, b, c} и для функции трех
переменных
u gradu  S


S
S
u
u
u
a b c
x
y
z
a b c
2
2
Пример. Вычислить градиент функции
(4.7)
2
u  x 2 y  xyz  yz 3 в точке М(1,2,4) и производную по
направлению S  {1,3,1} .
35
Решение. Вычислим частные производные и найдем градиент функции
ux '  2 xy  yz
u y '  x 2  xz  z 3
uz '  xy  3 yz 2
gradu  (2 xy  yz )i  ( x 2  xz  z 3 ) j  ( xy  3 yz 2 )k
(4.8)
Если в выражение (4.8) подставить координаты точки М, то получим градиент функции в точке М
gradu ( M )  12i  69 j  98k
Вычислим производную по направлению вектора S  {1,3,1}
u (2 xy  yz )(1)  ( x 2  xz  z 3 )3  ( xy  3 yz 2 )1  xy  yz  3x 2  3xz  3z 3  3 yz 2


S
11
(1) 2  32  12
В точке М
u 12  (1)  69  3  98 1 293 293 11



S
11
11
(1) 2  32  12
Глава 5. Экстремум функции двух переменных
Формула Тейлора для функции двух переменных
Формула Тейлора для функции одной переменной приведена в разделе 4
f ''  x0 
f  n  x0 
2
n
f ( x)  f  x0   f '  x0    x  x0  
  x  x0   .... 
  x  x0   Rn ( x)
2
n!
f n 1 c 
где Rn x  
x  x0 n 1 остаточный член формулы Тейлора.он определяет погрешность,
n  1!
возникающую при замене функции на полином степени n.
Преобразуем формулу, обозначив за x  x  x0 и перенесем
f ( x)  f  x0   f '  x0   x 
Разность
f ''  x0 
2
  x   .... 
2
f ( x0 ) налево. Тогда
f  n  x0 
n!
  x   Rn ( x)
n
f ( x)  f ( x)  f ( x0 ) есть приращение функции, а f ( n ) ( x0 )(x) n  d n f ( x0 ) . С учетом этих
значений, получим дифференциальную форму формулы Тейлора
f ( x)  df  x0  
d n f  x0 
d 2 f  x0 
 .... 
 Rn ( x)
2
n!
(5.1)
Дифференциальная форма справедлива для функции любого числа переменных, в частности, для
функции двух переменных,
36
f ( x, y )  df  x0 , y0  
d 2 f  x0 , y0 
2
 .... 
d n f  x0 , y0 
n!
 Rn ( x, y )
(5.2)
Здесь
df  x, y  
f  x, y 
f  x, y 
f ( x, y )
f ( x, y )
x 
y 
dx 
dy
x
y
x
y
 2 f ( x, y ) 2
f ( x, y )
 2 f ( x, y ) 2
d f  x, y  
x  2
xy 
y 
x 2
xy
y 2
2

 2 f ( x, y ) 2
f ( x, y )
 2 f ( x, y ) 2
dx

2
dxdy

dy
x 2
xy
y 2
Максимум и минимум функции двух переменных.
Мы говорим, что функция двух переменных z = f (x, у) имеет максимум в точке М0(x0, y0), если значение
функции в этой точке больше чем во всех соседних точках
f(x0, у0) > f(x, у)
Аналогично, в точке минимума М0(x0, y0) значение функции меньше чем во всех соседних точках
f(x0, у0) < f(x, у)
минимум и максимум функции достигаются только внутри области D.
Минимумы и максимумы называются экстремумами функции (рис. 4).
а
б
Рис. 4. Максимум (а) и минимум (б) функции двух переменных.
В точке максимума приращение функции отрицательно для любых соседних точек
Δf(x,y) < 0
(5.3)
В точке минимума приращение всегда строго положительно
Δf(x,y) > 0
(5.4)
37
Необходимые условия экстремума. В точке экстремума М0(x0, y0) каждая частная производная первого
порядка или равна нулю или не существует. Действительно, если мы зафиксируем у = y0, то функция f(x, у0)
будет функцией одной переменной х, а для функции одной переменной в точке экстремума первая
производная
f ( x, y0 )
x
не существует
или равна нулю или не существует. Аналогично, если х = x0, то равна нулю или
x0
f ( x0 , y )
y
.
y0
Точки, в которых обе частные производные равны нулю называются стационарными точками. Для
нахождения стационарной точки необходимо решить систему
 z
 x  0
 z
 0
 y
(5.5)
Не все стационарные точку будут точками экстремума. Условие (5.5) является только необходимым
условием, но не является достаточным.
Достаточные условия экстремума.
Теорема. Если в окрестности стационарной точки М0(x0, y0) функция z = f (x, у) имеет непрерывные
частные производные до третьего порядка включительно, то функция двух переменных имеет экстремум,
если
2 z 2 z 2 z 2 z



0
x 2 y 2 xy yx
(5.6)
При этом
2 z
 0 , то достигается максимум
x 2
2 z
 0 , то достигается минимум.
если
x 2
если
(5.7)
(5.8)
2 z 2 z 2 z 2 z
Если



 0 , то требуется дальнейшее исследование.
x 2 y 2 xy yx
Доказательство.Докажем для максимума, для минимума доказательство аналогично.
В стационарной точке обе частные производные равны нулю, следовательно равен нулю первый
дифференциал
f ( x, y ) 
df  x0 , y0  и формула Тейлора начинается со второго слагаемого
d 2 f  x0 , y0 
2
 .... 
d n f  x0 , y0 
n!
 Rn ( x, y )
В точке максимума приращение Δf(x,y) строго отрицательно Δf(x,y) < 0. Следовательно,
необходимо определить, при каких значениях вторых производных второй дифференциал сохраняет знак.
d 2 f  x, y  
 2 f ( x, y) 2
f ( x, y)
 2 f ( x, y) 2

x

2

x

y

y  0
x 2
xy
y 2
38
Вынесем за скобки положительную величину
x
y
y 2 =(Δу)2, а отношение x
y
обозначим за t
 t . Получим квадратный трехчлен по переменной t, который сохраняет знак при любом значении t
только если его дискриминант отрицателен
  2 f ( x, y) 2
f ( x, y)  2 f ( x, y) 
d f  x, y   y 
t 2
t
0
2
xy
y 2 
 x
2
2
2
 f ( x, y ) 
 2 f ( x , y )  2 f ( x, y )
D  2

4

0

x 2
y 2
 xy 
Или, сократив на 4 и переставив члены неравенства, получим
2
 2 f ( x, y )  2 f ( x, y )  f ( x, y ) 


 0
x 2
y 2
 xy 
Знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента при t2. Поэтому в точке максимума
2
 2 f ( x, y)
 0 . Теорема доказана.
x 2
Пример. Исследовать на экстремум функцию z  x  y  xy .
Решение.вычислим первые производные и найдем стационарную точку
2
2
zx '  2 x  y
zy '  2 y  x
2 x  y  0
 x0  0, y0  0

2 y  x  0
Вычислим вторые производные
 z xx ''  2

 z yy ''  2

 z xy ''  1
В стационарной точке
zxx’’∙zyy’’-(zxy)2=2∙2-(-1)2 > 0,
следовательно это точка экстремума.
Так как zxx’’ > 0 ,то это точка минимума.
Глава 6. Метод наименьших квадратов.
Пусть функция y  f ( x) задана таблично. Чаще всего это бывает при проведении
экспериментальных исследований, когда значения функции непосредственно измеряются или вычисляются
при проведении эксперимента.
В этом случае результаты записываются в таблицу, где первая строчка – значения независимой
переменной х, а вторая – значения измеряемой переменной у.
39
Х
Y
x1
y1
x2
y2
…………………..
…………………………….
xn
yn
Требуется найти аналитическое выражение y  f ( x) , наилучшим образом описывающее
имеющиеся экспериментальные данные.
На практике общий вид аналитического выражения обычно известен, а необходимо найти только
неизвестные коэфициенты.
Проще всего эта задача решается для случая линейной зависимости, т.е. в том случае, когда есть
основания считать, что
y  ax  b
(6.1)
Во многих случаях линейное приближение является достаточным. Эффективно это означает
следующее: в формуле Тейлора отброшены все члены, кроме первых двух слагаемых
f ( x)  f  x0   f '  x0    x  x0 
(6.2)
Найдем неизвестные коэффициенты в выражении (6.1) методом наименьших квадратов.
Суть метода состоит в следующем: искомая прямая должна проходить так, чтобы было
минимальным суммарное отклонение прямой от экспериментальных точек. Для этого вводится функция
двух переменных S(a,b), задающая сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от точек,
лежащих на прямой. На рис. 5 экспериментальные значения обозначены черным, красным – прямая линия,
коэффициенты a, b которой мы должны найти, отклонения показаны черными линиями. Минимизировать
надо именно квадраты отклонений, так как сами отклонения имеют разные знаки и сумма их равна нулю.
Тем самым, подставив в (6.10) известные значения xi из таблицы, мы вычислим соответствующие
y  axi  b точек, лежащих на прямой (красные точки на рис. 6) и вычисляем квадраты
разности между yi и axi  b .
координаты
n
S (a, b)   ( yi  (axi  b)) 2
(6.2)
i 1
Функция достигает минимума, если ее частные производные по a и b равны нулю. Вычислим
производные и приравняем их нулю
Рис. 5. Метод наименьших квадратов.
40
n
 S


2
( yi  (axi  b)) xi  0

 a

i 1

n
 S  2 ( y  (ax  b))  0

i
i
 b
i 1
Или, раскрывая скобки, получим систему двух уравнений для нахождения чисел a и b
n
n
 n 2
a
x

b
x

xi yi


i
  i
 i 1
i 1
i 1
 n
n
a x  bn 
yi

i
 
i 1
i 1
Аналогично можно искать аппроксимирующую функцию вида
y  ax 2  bx  c
Пример. Даны экспериментально полученые пять значений искомой функции
y  f (x ) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом
наименьших квадратов найти функцию y  f (x ) в виде y  ax  b.
x
1
4,2
y
2
5,0
3
3.9
4
2,7
5
2,4
Метод наименьших квадратов позволяет найти коэффициенты а и b линейной
функции y  ax  b. Для этого составляется функция S(a, b)
2
5
S (a, b)    yi  (axi  b) 
i 1
и определяется, при каких значениях коэффициентов достигается минимум функции S.
Минимум достигается в стационарной точке, в которой обе частные производные
обращаются в ноль.
5
 S


2
( yi  (axi  b)) xi  0

 a

i 1

5
 S  2 ( y  (ax  b))  0

i
i
 b
i 1
или
5
5
 5 2
a
x

b
x

xi yi


i
  i
 i 1
i 1
i 1
 5
5
a x  bn 
yi


 i 1 i
i 1
Составим расчетную таблицутаблицу
№
1
2
xi
1
2
yi
4,2
5,0
xi2
1
4
xi· yi
4,2
10,0
у=f(xi)
4,9
4,3
41
3
4
5
сумма
3
4
5
15
3,9
2,7
2,4
18,3
9
16
25
55
11,7
10,8
12,0
48,7
3,7
3,0
2,4
Подставим полученные выражения в систему
55a  15b  48.7

15a  5b  18.3
Искомое уравнение
а = - 0,62
b = 5,52
y = - 0,62 x + 5.52
Подставим в это уравнение хi из таблицы, полученные значения занесены в
последний столбец таблицы.
42