м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Н.Н.РЫЖОВ К У Р С Н А Ч Е Р Т А Т Е Л Ь Н О Й Г Е О М Е Т Р И И Часть 2 МОСКВА 1996 м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Н.Н.РЫЖОВ КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Часть 2 Учебное пособие Утверждено в качестве учебного пособия редсоветом МАДИ(ТУ) МОСКВА 19% УДК 513.87 Рыжов Н.Н. - Курс начертательной геометряи. Часть 2.-М.: МАДИ(ТУ),1Ч95 Рецензенты: профессор В.И.Якунин, доцент В.Г.Няколаевский Настоящее учебное пособие является логическим продолжением "Курса начертательной геометрии.Часть I " , изданного в МАДИ(ТУ) в 1995 году.. Оба учебных пособия (часть I и часть 2) в целом содержат материал полностью соответствуюпщй рабочей программе, разработанной и принятой на кафедре начертательной геометрии МАЛИ(ТУ) для студентов машиностроительных спегчальностей. Пособием могут пользоваться и студенты строительных специаль­ ностей по разделу "Комплексный чертеж из ортогональных проекций". Московский государственный автомобяльно-дорожный институт (технический университет),1995г. ПРБЩИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие является логическим продолжением учебного пособия "Курс начертательной геометрия . Часть Т", и з ­ данного в МАДИСТУ) в 1995 году и посвященного фундаментальноцу разделу курса начертательной геометрии - формированию проекционно-графяческих моделей пространства, геометрическому конструиро­ ванию н заданию геометрических образов на комплексном чертеже. В настоящем пособии изложены две теыш - позиционные задачи ^ЕI метряческве задачи - составляющие основу обратной задачи н а ч е р ­ тательной геометрии (см. Курс начертательной геометрии.Часть I ) , Этим двум темам предпослана тема "Преобразование комплексного чертежа". Теоретически эта тема относится к прямой задаче н а ­ чертательной геометрии. Однако практическое использование а п ­ парата преобразования комплексного чертежа очень часто направ­ лено на решение обратной задачи начертательной геометрии. Поэто­ му раздел курса начертательной геометрии "Преобразование ком­ плексного чертежа" помещен между разделом геометрического к о н струкрованяя я эаданяя геометряческях образов на комплексном чертеже (прямая задача начертательной геометрии) и разделом р е ­ шения ооэяцяонных я метрнческях задач на комплексном чертеже (обратная задача начертательной геометрии). Оба учебных пособяя (часть I я часть П) в целом составляют п о л ­ ный учебный курс начертательной геометрии, соответствуюцяй р а б о ­ чей п р о г р а м м , разработанной я прянятой на кафедре н а ч е р т а т е л ь ­ ной геометряя ИАЛИСПГ). Автор считает своим долгом выразить благодарность с т . п р е п о ­ давателю кафедры Н.Н.Кузеневой я ст.лаборанту кафедры Л.А.ВхасовоЯ з а оказанную имя большую помощь при подготовке рукописи к печати. 3 I . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЛШЕКСНОГО ЧЕРТИЛ 1.1. Общие замечания В предьц^згщих разделах курса (См. "Курс начертательной геомет­ рии. Часть I ) все вопросы и задачи рассматривались на двухкартинном комплексном чертеже. Каждый геометрический образ был з а ­ дан (в общем случав) двумя изображениями. Одно изображение полу­ чали используя фронтальное проецирование и фронтальную плоскость проекций, а другое - используя горизонтальное проецирование и горизонтальную плоскость проекций. Эти изображения иногда, соот­ ветственно, называют: вид спереди и вид сверху. В инженерной практике бывает необходимо иметь не только эти два "вида", но и "вид" по любому нужному направлению. По двум изображениям не в с е г ­ да просто увидеть (прочитать) конструкцию объекта; два изображе­ ния иногда требуют дополнительных обозначений для того, чтобы объект был задан однозначно; на двух полях проекций некоторые задачи решаются довольно сложно; два изображения объекта, как правило, не позволяют оценить его с точки зрения инженерной э с т е ­ тики; и т . д . Очевидно, что получение нового изображения, новой проекции объек­ та не является самоцелью. Эта проекция должна быть получена по определенному нужному нашравлвнию проецирования. Только такое сознательное и целенаправленное увеличение числа изображений объекта приведет к рациональному использованию многокартинного комплексного чертежа. Таким образом возникает задача: как по двум данным изображениям объекта в двух полях проекций, по двум его "видам", построить в новом поле проекций его третье изображение, третий "вид" по требуемому направлению. Такое расширение д в у х к а р т и т о г о комплексного чертежа до трехкартинпого ( а следовательно и до многокартинного) комплексного чертежа называют преобразованием комплексного чертежа. Дадим следующее определение преобразованию комплексного чертежа: в с я ­ кое построение на комплексном чертеже, отображавшее определен­ ное построение в пространстве и приводящее к образованию нового поля проекций, называется преобразованием комплексного чертежа. Не вдаваясь глубоко в теорию преобразования комплексного чертежа(_41 отметим, что новые поля проекций могут быть ролучены4 если вьестя новую плоскость проекцмй (а следовательно и новые проецирующие пряьлыв - перпендикулярные новой плоскости проекций); если изменить положение в пространстве объекта проецирования (считая его жестко связанным со всеми точками п р о с т р а н с т в а ) ; е с ­ ли изменить систему проецирующих линий. Получение новых полей проекций возможно и при том или ином сочетании вышеуказанных трех с л у ч а е в . Решение з а д а ж преобразования комплексного чертежа возможно, если указаны спосой получения н^эых полей проекций и способ п о с ­ троения в этих ноБЫХ полях соответствующих изображений объекта. Существует ряд конкретных способов преобразования комплекс­ ного чертежа. Рассмотрим некоторые из них. 1.2. Способ введения новой плоскости проекций 1 . 2 . 1 . Суть этого способа зашшчается в том, что дополнительно к плоскостям проекций/7/и вводится третья плоскость проекций /7^ , проецируя на которую все точки пространства получим на ней новое поле проекций, а проецируя на нее исследуемый объект, п о ­ лучим новую его проекцию. Т.к. комплексный чертеж из двух полей проекций мы можем построить только тогда, когда плоскости проек­ ций взе1Имно перпендикулярны, то, следовательно, и при построении трехкартинного чертежа, плоскость Пз должна быть пертендикулярна или/7, или/7г (частный случай, коттПзхП^^ П^^.I\, рассмотрим н е с ­ колько позже}. Для определенности дальнейших рассуждений рассмот­ рим случай, когда перпендикулярна /7/ ( р и с . 1 ) . В этом случае новое направление б^проецирования (новое направле­ ние "взгляда" на объект), перпендикулярное Пз , будет п а р а л л е л ь ­ но /7/ . После проецирования объекта на , все три плоскости с о в ­ мещаются с плоскостью чертежа и получают трехкартинный комплекс­ ный чертеж. На рис.2 показано построение в ьоле Пз проекции т о ч к и / / . Двухкартинний комплексный чертеж в системе кП1^Пу) формируется также, как и двухкартинный комплексный чертеж в с и с ­ теме {П/^П^). ПрямаяД^/'.з является осью проекций в системе {П^,П)) • представляет собой определенное отображение на плоскости чертежа линии пересечения Пз и . Линии связи в системе {П4$Па) п е р ­ пендикулярны и параллельны ^5/ - горизонтальной проекции нап­ равленной прямой 6 проецирования, перпендикулярной , Для т о ­ г о . '?тобы построить точку Мл нужно через / 7 / провести линию связи в системе {П4,П^) и на ней от-ЗуС^ отложить о т р е з о к , р а в 5 Рис.1 Рис.2 ный по величине расстоянию от Лу^з доЛ^ . Последнее очевидно, т . к . расстояния о т / % и отА^до плоскости/7^ равны между собой и равны расстоянию от М д о / 7 / . Положение л:^?;} определяется с точ ностью до параллельного переноса. Параллельный перенос лг/яа соответствует параллельному п е р е н о с у / ^ . Т.к. параллельный п е ­ ренос плоскости /7з не меняет изображение на ней, то и параллель ный перенос -Л^/з не приведет к изменению изображения в поле П^. Аналогичные рассуждения можно было бы привести и прийти к соответствующим результатам, если в качестве /7з в з я т ь плоскость перпендикулярную /7^ . В этом случав ^ параллельна Пг. . Б е ­ ли в первом случае мы от системы (/7^,>'^) перешли к системе С ^ ? ' ^ ) . то во втором случае - от системы (/7/»/^) к системе ( / ^ ^ / ^ ) . Соответствующие построения представлены на р и с . 3 . Пример I . Используя способ введения новой плоскости проекций, построить натуральный вид треугольника/137? , принад­ лежащего фронтально проецирующей п л о с к о с т и / ^ ( р и с . 4 ) . Чтобы треугольник/4/92? спроецировался в натуральный вид новая плоскость проекций /7з должна быть параллельна плоскости /~ . Новое иаправление проецирования, перпендикулярное /7? , опреде6 ляется фронталы) б . Новая ось проекций Х / ^ з строится перпен­ дикулярно (параллельно / 7 ) . Линии связи в системе {^г,П^) перяендикулярны ^2:^2^3 • Откладывая от-ЭС^^з по соответствующим л и ­ ниям связи отрезки равные А < | . \х/^/,3/ \и | п о л з г ч и м точки А^ , 3^ - проекции вершин треугольника в поле /7^ . Пример 2. Построить по направлению 5* вид части предмета, з а д а н ­ ного на двухкартинном комплексном чертеже ( р и с . 5 ) . Отверствие в правой части заданного предмета не представленно с очевидностью на изображениях в поле /7/ и в поле /7^ . Лдя того, чтобы форма отверстия с т а л а ясной, достаточно спроецировать п р а ­ вую часть предмета на плоскость /7з , перпендикулярную ребрам о т ­ верстия. Т . е . новое направление проецирования должно быть парал­ лельно этим ребрам, а ^ * должна быть фронталью. Ось проекций Х^>^^_1 ^ • Замеряя расстояние от оси ^иг до точек в поле ^ / (на чертеже в качестве примера в з я т а точка А ) и откладывая эти р а с ­ стояния от о с и Х / ^ з по соответствующим линиям связи в системе ( / ^ , / 7 з ) , получим нужное изображение части предмета в поле . Как уже было упомянуто в начале этого параграфа, новое нап­ равление проецирования должно быть или параллельно /7/ , или параллельно /7^ • В первом случав П^±П^ и от системы (/7^, /Тг ) переходят к системе Щ,Пз). Во втором слзгчаеА^/^и от системы {П,,^Л переходят к системе ( / ^ , / 7 » ) . Однако возможен случай, к о 1 ^ 7 Ряс.5 да 6* параллельна л л . Тогда перпендикулярна одновре­ менно и /7/ лПг . Такую третью плоскость проекций обычно выделя­ ют из прочих и называют профильной плоскостью проекций. Т.к. профильная плоскость проекций пертендикулярна и /7/ и /7г , то при получении трехкартинного комплексного чертежа возможны два варианта его формирования: от системы (/7,,/^) перейти или к с и с ­ теме (П^,П}) или к системе КПцП^). Первый вариант трехкар­ тинного чертежа представлен на р и с . 6 , а второй - на ряс. 7. Очевидно, что \А}гВ^\ на р я с . 6 и на рис.7 должны быть равны. В практике инженерного черченял. как правило, используют первый (рис.6) вариант и новую проекцяю оригинала называют "профильной проекцией" или "видом с л е в а " . Пример 3. Построить профильную проекцию (вид слева) многогран­ ника, заданного на двухкартинном чертеже (рис.8) 8 Ряс.6 Ряс-7 После щяведенных вше рассуждений, построение изображения многранняка во фронтальном поле проекций, допох'штельных пояснений не требует. 1.2.2. В настоящем параграфе рассмотрим случай, когда новое нап­ равление проецирования (новое направление "взгляда" на объект) определяется направленной прямой б общего положения относи­ т е л ь н о / 7 / я /7^ . Веля ввести некоторую плоскость ировкаяй//^ пер­ пендикулярную 5 , то, т . к . 6 - прямая общего положения,// б у ­ дет плоскостью общего положения я по отношению к /7/ и по о т н о ­ шению к . Мы умеем строить комплексный чертеж (как это было показано ранее) только в том случае, когда соседние плоскостя проекций взаямноперпендякулярны. Сле^вательно построить т р е х ­ картинный комплексный чертеж, к о г д а / 7 - плоскость общего п о л о ­ жения относительно/7/ и / ^ , практически н е л ь з я * ' . ») Теоретически это возможно, но решения всех задач, связанных с заданием на чертеже объектов пространства и исследованием их характеристик,с использованием такого третьего поля, с т а н о в я т ­ ся настолько сложными, что такие комплексные трехкартинные ч е р ­ тежи практически не применяют. Рис.8 Чтобы решить поставленную задачу необходимо воспользоваться некоторой "промежуточной" плоскостью проекций , которая бы­ л а бы перпендикулярна и к и к / 7 (или - и к / 7 г И к У 7 ) . Для конкретности рассуждений рассмотрим случай, когда 77^ перпендикулярна /7/ . Следовательно в этом случае будем после­ довательно переходить от системы (/7^ , ) к системе ( /7/ , /7з ) , а затем от (/7^ ) к ( / 7 ^ , 7 7 ) . Т . к . плоскость П будет ч е т ­ вертой плоскостью проекций, обозначим ее Пл, . Итак плоскость /7^ должна быть перпендикулярна и /7^^ и . Чтобы /7^ была п е р п е н д и к у л я р н а о н а должна быть параллельна -5 . Среди плоскостей, параллельных , выделим какзгю-нибудь плос­ кость, перпендикулярную /7/ и примем ее за . Прямая 6 по отношению к/7^ будет линией уровня, а по отношению к/7(.проецкрующей прямой. Все приведенные рассуждения и построения в пространстве несложно отобразить на чертеже и получить ком­ плексный четырехкартинный чертеж, на последнем, четвертом, поле которого будет получено изображение объекта по заданному паправлению 4 . На рис.9 показано формирование четырехкартннно10 Рис.9 Рис.10 го комплексного чертежа на примере отрезка направленной п р я ­ мой 3^ _ _ Т . к . плоскость ^з\Р{ шП^ \\6 , то ОС^^ II д,. ^ и П^^^ следовательно . с5 является проецирующей по отношению к /7^ и ее проекция на /7^ - точКа. Аналогично рассуждениям, которые проведены для цепочки преобразований ( / ^ , / 7 2 ) ^ ( Д - , / ^ ) - > " ( / ^ , / 7 ^ ) , можно провести рассуждения и для цепочки ( / ^ , / 7 2 ) - * ~ ( / ^ , / ^ ) - ^ ( / ^ г ' Л ) • В п о с ­ леднем случае /7^11^ я Пг, следовательно ОС^^^ ц гЗ^^ /7^_/. Г!^ ( Р и с . 1 0 ) . и П^^±5==^ОС^з4-1-<^з. (Рис. 10). Пример 4. Построить проекции куба, заданного на двухкартинном комплексном чертеже, по направлению его диагонали ( Д В ) рис.П. Плоскость/7з вводим параллельно {А, В ) , которая по отноше­ нию к становится линией уровня. При этом Л)^^ // (/4^3^) П л о с к о с т ь / 7 ^ 1С/4 , / 3 ; и о с ^ ^ м А ^ , В поле П/^ получено требуемое изображение куба. 1.3. Основные задачи преобразования комплексного чертежа Для т о г о , чтобы целенаправленно использовать преобразова­ ние комплексного чертежа при решении тех или иных конкретных Рис.11 геометрических или инженерных задач, сформулируем четыре о с ­ новные задачи преобразования комплексного чертежа: I . Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая л и ­ няя общего положения стала прямой линией уровня. 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая л и ­ ния уровня с т а л а проецирущей прямой линией. 3. Прюобрадовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения с т а л а проецирующей плоскостью. 4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы проецирую­ щая плоскость с т а л а плоскостью уровня. Очевидно, что из этих четырех задач теоретически основными задачами являются только две - первая и вторая. Третья и ч е т ­ вертая задачи могут рассматриваться как следствие, соответствен­ но, первый и второй. Однако методически удобней формулировать и использовать как основные все четыре задачи. В этом случае, при решении этой или иной конкретной задачи, с использованием преоб12 разования комплексного чертежа, рекомендации по ее решению б у ­ дут нести непосредственные указания, а не опосредованные. В примерах, рассмотренных на р и с . 2 и 3, по сути своей решалась вторгш основная задача. В примерах, рассмотрен­ ных на рисунках 9,10 и II,последовательно р е ­ шались первая и втор81Я задачи. На рисзгнках 4и 5 - четвертая основная задача. Рис.12 Рассмотрим решение т р е ­ тьей основной задачи. Пусть задана точками Д , 5 и 2? плоскость 21 общего положения ( р и с . 1 2 ) . Нужно пост­ роить третье поле проек­ ций, в котором проекция Х з плоскости 21 была бы прямой линией. Для э т о ­ го возьмем новую плос­ кость проекций, перпен­ дикулярную /7/ . В этом случав если П^Х Л , то она будет перпендикулярна горизонталям плоскости X . Следовательно для однозначного ( с точностью до па1)аллвльного переноса) определения Пз необходимо в 21 пост­ роить какую-нибудь горизонталь. Если Пз перпендикулярна гори­ зонтали /? , то новая ось проекций Лг/^з перпендикулярна Л / Построив проекции , В>з точек ^, в> , V , получим проек­ цию плоскости X . 1.4. Вращение оригинала вокруг проецирующей прямой 1 . 4 . 1 . Отображение на комплексном чертеже вращения точечного пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций, можно рассматривать как один из способов преобразования комп­ лексного чертежа. Пусть точечное пространство задано двумя п о 13 ляни проекций /7^ и /у^. Вели повернуть все пространство вокру!:' оси, то любая точка*^ , прог'циями которой являются точки /У/ и ^1, переместится в некоторую точку /^"^ , а ее проекциями б у ­ дут точки /%' и /%'. Таким образом и плоскость и плоскость /7^ будут носителями ДРУХ лолей проекций - поля проекций точек типа /7^ и поля проекций точек типа / V ' . Рассмотрим как практи­ чески отображается на комплексном чертеже вращение пространст­ ва вокруг проецирующей прямой. Для конкретнс-ти рассуждений в качестве оси вращения возьмем какую-нибудь горизонтально-прое­ цирующую прямую у . Для этого случая запишем ряд достаточно очевидных замечаний: I . Каждая точка /У^вращается по окружности , плоскость которой перпендикулярна У и, следовательно, параллельна /7^ ; /77* проецируется па. ь окр^пгаость , рав^щ) / р , а на /7« в прямолинейный отрезок/^5/"» перпендикулярный (рис.13). Рис.13 Рис.14 ») За иск^гючвнием точек, принадлежащих оси вращения 14 2. Всякая прявлая ^ пространства при вращении вокруг ^ не меняет своего угла наклона к /7/ . Поэтоцу горизонтальная проекция отрезка [/Ц^5 ^прямой не меняет своей величины ( р я с . 1 4 ) . Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры не меняет свою форму и метрику, а только, как жесткая система, в р а ­ щается вокруг • 3. Всякая прямая Ь врап1ением ъокр^т^ может быть приведе­ на в положение параллельное/7^ , т . е . в положение фронтали. Для этого необходимо повернуть ^ * до такого положения , когда 2^/ станет параллельна-^^^2 ( р ' с . 1 5 : возможны два решения). Рис.15 Рис.16 4. Всякая горизонталь /7 вращением вокруг / может быть при­ ведена в положение фронтально проецирующей прямой. Д л я ^ т о г о н е ­ обходимо повернуть до такого по ложения А ^ , когда станет п е р п е н д и к у л я р н а ( р и с . 1 6 ; возможны два решения). 5. Всякая плоскость общего положения вращением вокруг ^ может быть приведена в положение фронтально проецирущей п л о с ­ кости. 15 6. Всвякая горизонтально проецирующая плоскость вращением вокруг У может быть приведена положение фронтальной плоскос­ ти уровня. Рассматривая отображения на комплексном чертеже вращения точечного пространства яок^уг проецирующей прямой как один из способов преобразования комплексного чертежа, можно этим с п о с о ­ бом решить основные задачи преобразования комплексного чертежа. Решения первой и второй основных задач преобррчования комплексно­ го чертежа показаны на чертежах, относящихся к замечаниям 3 и 4 ( р и с . 1 5 и р и с . 1 6 ) . Они не требуют дополнительных пояснений. Р а с ­ смотрим подробней решения третьей и четвертой основных задач преобразования (замечания 5 и 6 ) . 1.4.2. Пусть задана некоторая плоскость 2. В>,0 ) общего положения ( р и с . 1 7 ) и прямая ухП^. Нужно повернуть Х до положения X фронтально проецирующей плоскости. вокруг^ Веди какая-иябудь прямая плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости взаимноперпендикулярны. Следователь­ но, если какая-то пряная плоскости I будет перпендикулярна , т о X будет фронтально проецирувдей плоскостью. Прямые, перпен­ дикулярные /7^ , параллельны/7, и являются горизонталями. Поэто­ му в I следует построить какую-либо ее горизонталь Л и повер­ нуть Г до такого положения Г , когда горизонталь ^ станет перпендикулярна /7^ , Этот момент наступит тогда, когда на ком­ плексном чертеже ^/ , займет положение ^, , перпендикулярное ( с м . р и с . 1 6 ) . Чтобы найти акое положение путем пово­ рота / / , в о к р у г , опустим из / перпендикуляр /? на /7/ Точку ях пересечения обозначим буквой А/ . Когда в процессе вращения прямая/7 займет положение П ЦХ,^^ , п р я м а я , зай­ мет положение Л/ , перпендикулярное X . Таким образом опре­ делен угол поворота всей жесткой системы, состоящей из /; ,п„Ы. Он равен утлу_между П л П . Строим П \\^С^;^ , затем определяем точки Д / , Д • ^ о с л е э т о г о , тем или иным с п о с о ­ бом, определяются точки ^ / и Д . Точки Д ^ ^ В ^ , / ^ находятся на соответствующих линиях связи на уровне, соответственно, точек Аг, Вз уВг. - Горизонталь проецируемая на ^ в точку Л^, , а плоскость X - в прямую • 1.4.3. Пусть задана горизонтально проецирующая,плоскость Г прямая / 1 / 7 ^ - Нужно повернуть Г вокруг оси ^ до п о л о ж е н и я / ' фронтальной плоскости уровня. _ Очевидно, что если / займет положение , то ее о с ­ новная проекция будет параллельна . Чтобы определить положение /7 в процессе вращения Г , опустим из точки перпендикуляр /7 на прямую / 7 и будем вращать вокруг пря­ мую /7 и прямую /7 как жесткую систему. Когда/7 займет положе­ ние Л . перпендикулярное ^ /~1, / / займет нужное положение ^ . Точка/у-/^/)/7перемвстится_в точку Л/ . Чтобы построить точки Д , в/,77< , достаточно от Л ' откладывать ( в определенном направ­ лении) отрезки равные, соответстввнно_^^ отрезкам [А/,А,^. Фронтальные проекции АцВ^^Вц , точек А, опреде­ ляются на соответствующих линиях связи на уровне точек ( с о о т ­ ветственно) /4^^ 1 ' Итак, мы рассмотрели еще один конкретный способ преобразо­ вания комплексного чертежа. Этот способ в литературе, как пра- Рис.18 вило, называют "Способ вращения оригинала вокруг проецирующей оси". Весь материал этого раздела был рассмотрен для случая, ког­ да осью вращения являлось горизонтально проецирующая прямая. Читатель может б е з особых затруднений, по аналогии с вышеиз­ ложенным, самостоятельно провести соответствующие рассуждения и решения для случая, когда осью вращения является фронтально проецирующая прямая линия. 1.5. Вращение оригинала вокруг прямой линии уровня Этот способ обычно применяют тогда, когда плоскость обще­ го положения нужно перевести в плоскость згровня. Любая фигура, принадлежащая плоскости уровня проецируется на соответствую­ щую плоскость проекций в натуральный вид. На этом и основаны построения на комплексном чертеже, которые отображают поворот плоскости вокруг прямой линии уровня до положения плоскости уровня. ш Пусть дана п л о с к о с т ь / " { А , Ь ^ В ) общего положения. Требуется п о ­ вернуть / " вокруг Н*= Г ло положения горизонтальной плоскостя уровня ( р я с . 1 9 ) . Ряс.19 Построит ^<^/'. При вращении/" вокруг/^ все точки, при­ надлежащие Л , не будут менять своего положения в пространст­ в е . Остальные точки, принадлежащие/', будут вращаться по о к ­ ружностям, плоскости которых перпендикулярны Н , а с л е д о в а ­ тельно перпендикулярны /7/ . При ^вращении Г вокруг Л о б я з а т е л ь ­ но найдется такое ее положение Г , когда она будет пареиллельна / 7 / . Это положение наступит тогда, когда хотя бы одна точка плоскости Г займет положение того же уровня по отношению к П^, что и ось вращения Ь . Понятно, что в этот момент все точки / " (1Г$Щ1 находится на одном уровне по отношению к /7<. Т . к . ГИ , то все фигуры, принадлежащие/" , будут проецироваться на /7/ в натуральный вид. Любой отрезок, принадлежащий/~ , будет п р о е ­ цироваться без искажения. Т . к . : точки /~ перемещаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны Ь и то горизонтальные проекции т о ­ чек будут перемещаться по прямым, перпендикулярным Л / . Эти пря­ мые - проекции плоскостей, в которых располагаются траектории вращения. Например п р я м а я ^ ^ (рис.19) является горизонтальной проекцией плоскости Х . в которой вращается точка 5 , а прямая / \ ^ - горизонтальная проекция плоскости А , в которой вращает­ ся точка В . Построим в Гфронталь / , проходящую через А . Эта фронтсшь пересечет прямую КВ^Ю ) в точке Р . Т . к . / - фронталь, то о т р е з о к ^ ^ , / ^ ^ равен по величине отрезку/^И, ^3 . Точка Р вращается в плоскости 1\ Л. П/ , а ее горизонтальная проекция /С^ , п^и этом, перемещается поЛ^1 Д . Когда Г займет поло­ жение /~IIП/, точка займет положение /7^ , при котором Следовательно точку легко определить на / . Точка ' П при вращении /~ положения своего не меняет и поэтому Д^^^/'/,. Определив и соединяв ее с получим горизонтальную проекцию прямой (Р, М 2» принадлежащей / " . Точка пересечения {1^,М^) с п р я м о й я в л я е т с я горизонтальной п р о е к ц и е й ^ / точки В , а точка пересечения прямой ( ' ^ , / % ) с прямой Л/ - горизонтальной проекцией точки Р . _ Е с ^ соеди­ нить точки А^, , то полученный трвусрльткСА,,3^,Ц, представляет собой натуральный вид 1!^АВР. Все рассуждения были проведены для случая, когда осью вращения была горизонталь. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая, когда осью вращения является фронталь. В этом случав точки плоскости вращаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны фронтали плоскости/" и П л о с к о с т ь / ^ может занять положение, параллельное /7г . 2. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 2 . 1 . Общие замечания Переходя к рассмотрению позиционных задач, мы приступаем к исследованию "обратной задачи начертательной геометрии" (см.Курс начертательной геометрии. Часть I . Введение). В учеб­ ном курсе начертательной геометрии исследование обр>атной з а д а ­ чи ограничивается изложением материала, связанного с Теорией и методикой решения некоторых подгрупп задач, относящихся к 20 группам позиционных, метрических и аффинных задач. Из группы аффинных задач в учебном курсе рассматриваются, как правило, только задачи на параллельность прямых и плоскостей. Причем, учитывая возможности графических построений на плоскости, п о с ­ тановка этих задач носит "прямой" харгистер, а не "обратный": построить чертеж двух параллельных прямых; задать прямую п а ­ раллельную плоскости; и т . п . Поэтому задачи этой группы р а с ­ смотрены в первой части курса. Основное содержание раздела "Обратная задача начертательной геометрии" составляет материал, относящийся к исследованию вопросов, связанных с группой позиционных задач и с группой метрических ' з а д а ч . Позиционные задачи определяются и формируются исходя из двух групп аксиом геометрии: группы аксиом связи и группы а к ­ сиом порядка . Среди позиционных задач выделим три под­ группы задач: - задачи на взгишную принадлежность геометрических образов; - задача на взаимное пересечение геометрических о б ­ разов; - задачи на взаимный порядок геометрических образов. Задачи на взаимную принадлежность геометрических образов о р ­ ганически связаны с вопросом задания в пространстве той или иной геометрической фигуры или, учитывая аппарат и средства начертательной геометрии, с построением позиционно полных или метрических определенных чертежей той или иной геометри­ ческой фигуры. Основная позиционная задача (см.Курс начерта­ тельной геометрии. Часть I ) является критериальной задачей построения позиционно полных или метрически определенных ч е р ­ тежей поверхностей. Поэтому задачи на взаимную принадлежность геометрических образов рассмотрены в первой части курса. Рассмотрим две другие подгруппы позиционных задач - з а д а ­ чи на взаимное пересечение и на взаимный порядок геометри­ ческих образов. 2.2. Задачи на взаимное пересечение геометрических образов 2 . 2 . 1 . Общие замечания Исходя из того, что геометрическими образами являются *) Метрические задачи будут рассмотрены в следующем разделе. 21 точка, линия и поверхность, находиться в состоянии пересечения могут следующие пары образов: линия и линия, линия и поверх­ ность, поверхвость и поверхность. Вопросы, связанные с построе­ нием чертежей двух пересекающихся линий или с определением их взаимного расположения, рассмотрены в первой части курса, т . к . их решения непосредственно опирается на определенные свойства операций проецирования и сечения. Таким образом, для подробно­ го рассмотрения в этом разделе остаются две задачи: задача на пересечение льняи и поверхности и задача на пересечение двух поверхностей. Эти две задачи будем называть главными позицион­ ными задачад№ (ГПЭ), т . к . они составляют главное содержание раздела позиционных з а д а ч . Задача на пересечение линии и поверхности называется пер­ вой главной позиционной задачей ( I ГПЗ). Конечным результатом решения этой задачи является нахождение проекций точек пересе­ чения линии и поверхности. Задача на пересечение двух поверхностей называется второй главной позиционной задачей (2 ГПЗ). Конечным результатом р е ­ шения этой задачи является нахождение проекций линии пересече­ ния поверхностей. Пргстзгпая к подробному рассмотрению методики и алгоритми­ зации решения ГПЗ заметим, что расположение линии и поверхнос­ ти относительно плоскости (плоскостей) проекций существенно влияет на процесс решения. Особенно существенным является на­ личие проецируумцих геометрических образов. Проецирующее положе­ ние могут занимать: прямая линия, плоскость, цилиндрическая и а) призматическая поверхности. ' Возможны три принципиально отличных случая расположения пар пересекающихся геометрических образов относительно плоскости (плоскостей) проекций: I случай - оба пересекающихся образа (для 1 ГПЗ - и линия и ююверхность; для 2 ГПЗ - обе поверхности) являются проецирую­ щими. Причем неважно по отношению к одной и той же плоскости проекций или по отношению к разным плоскостям проекций. Этот случай будем обозначать знаковой записью в виде (11,-11). 2 случай - один образ является проецирующим, а второй о б ­ раз - непроецирующим. Б этом случае для I ГПЗ возможны вариан­ ты: проецируииая линия и непроецнрующая поверхность или проецн») См. 22 ' Курс начертательной геометрии. Часть I . руицая поверхность я непровцярующая линия. Для 2 ГПЗ одна п о ­ верхность должна быть проециру/ощей, а вторая - непроецируицей. Этот случай будеы обозначать знаковой записью в виде ( 1 1 , ^ ) . 3 случай - оба образа являются непроецируицши. Этот с л у ­ чай будем обозначать знаковой записью в виде СЫ,1Ш. На рис.20 представлены примеры I случая I ГПЗ (горизонталь­ но проецирующая прямая и фронтально проепирулщая цилиндрическая поверхность) и 2 П13 (горизонтально проецирующая призматичес­ кая поверхность и фронтально проецирующая п л о с к о с т ь ) . Рис.20 Рис.21 На рис.21 - два примера второго случая I ГПЗ (фронтально проецирующая прямая и коническая поверхность; фронтально проецирующЕ1я цилиндрическая поверхность и прямая линия общего положения) и один пример второго случая 2 П О (горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность и коническая поверх­ ность) . На рис.22 - пример третьего случая I Ш З (коническая по­ верхность и прямая уровня) и пример третьего случая 2 ГПЗ (сфера и коническая поверхность). Часто I И13 в первом случае представляют записью в виде: I ГПЗ-1, а 2 ГПЗ - в виде 2 ГПЗ-1. Аналогично для второго г^м' ч а : ~ I П13-2 и 2 ГПЗ-2, а для третьего случая - I ГПЗ-3 и 2 ГПЗ-З. 23 Ряс.22 2 . 2 . 2 . Методика и алгоритмизация решения ГПЗ для случая, когда оба образа являются проецирующим^ ( 1 1 , Л ) . Проведем анализ решения I П13-1 на примере, представлен­ ном рисунками 23 и 24. На рис.23 заданы: горизонтально проеци­ рующая призматическая поверхность Ф и фронтально проецирующая прямая О . Основной проекцией прямой О является точка • Т.к. основная проекция проецирующего образа обладает "собира­ тельным" свойством, то в точку проецируются все точки прямой О в том числе и точки ее пересечения с ^ . Поэтому фронталь­ ные проекции и /^^точек М я М пересечения <2 с ^ тождест­ венно совпадают с 0.2, • Отметим это соответствующим обозначе­ нием на чертеже: /Ч^^ ( р и с . 2 4 ) . Горизонтальные проек­ ции ДУ^ и А^'точек Д/^я //'^должны принадлежать основной проек­ ции ^поверхности принадлежат проекции всех т о ­ ч е к * ^ . Кроме того и А^'^должны принадлежать < ^ / . Следова­ тельно исковше точки /^'^и являются точками пересечения и Отметив это соответствующими обозначениями закончим р е ­ шение задачи. Проведем анализ решения 2 ГПЗ-1. Пример ее представлен ри­ сунками 25 и 26. На рис.25 заданы: горизонтально проецирующая цилиндрическая п о в е р х н о с т ь ^ и фронтально проецирующая плос24 РиС.23 Ряс.24 Рис,25 Рис.26 •кость/". Линией 6* пересечения 9 ъ/~ является эллипс. В си­ лу собирательного свойства основных проекций проецирующих о б ­ разов фронташьная проекция эллипса должна принадлежать^. Следовательно отрезок прямой / г , расположенный между очерковы­ ми линиями проекции отсека 9 , является фронтальной проекцией ^2 эллипса ^ пересечения 9 я Г . Отметим это на чертеже соответствующим обозначением ( р и с . 2 6 ) . Горизонтальная проекция €•( эллипса В должна принадлежать основной проекции 9^ поверх­ ности 9 . Учитывая, ч т о / " пересекает все образующие 9 , мож­ но сделать заключение о том, что ^ / не только принадлежит 9/ , но и тождественно с ней совпадает. Отметив это соответствующим обозначением (рис.26) закончим решение задачи. Проанализировав решение обоих примеров, приходим к выводу, что в процессе решения мы не делали никаких построений на ч е р ­ теже. Логические рассуждения привели к тому, что для получения решения достаточно было на чертеже проставить соответствужмцие обозначения. Аналогичные рассуждения можно провести для любого другого конкретного примера решения задач I П13-1,2 П 1 3 - 1 . Запишем для случая (11, Л ) алгоритмическую систему утверж­ дений и рекомендаций. Веля (11,-11), т о : I . Искомый общий элемент уже непосредственно задан на ч е р т е л е . 2. Его проекции принадлежат основным проекциям проецирующих образов. З.Рвщенле на чертеже сводится к простановке соответствзпицих обозначений. 2,2.3. Ыетодика и алгоритмизация решения главных позиционных задач для случV л, когда один образ является проеци­ рующим, а второй - непроецирующим Проведем анализ решения I П13-2 на примепе, представленном рисунками 27 и 28. На р и с . 2 7 заданы: коническая поверхность вращения ^ и фрон­ тально проецирующая прямая О . Основной проекцией прямой а является точка . Следовательно фронтальные проекции А^'и точек М % М пересечения О с Ф тождественно совпадают с О^- Рис.27 Рис.28 Отметим это соответствующими обозначениями на чертеже ( р и с . 2 8 ) . Второй геометрический образ - коническая поверхность - не я в л я е т ­ ся проецирующей, основной проеюхии не имеет и потому положение вторых проекций точек пересечения не определено. Чтобы опреде­ лить вторые проекции точек пересечения нужно решить основную по26 зицйонную задачу относительно конической поверхности в следую­ щей формулировке: задана коническая п о в е р х н о с т ь ^ и одна проек­ ция Д;^''точки А//принадлежащей ^ ; нужно построить вторую проек­ цию/у,''точки / У ^ . Основная позиционная задача решается путем предварительного построения проекций какой-нибудь линии, при­ надлежащей ^ л проходящей ч е р е з / V . В качестве такой линии^ возьмем образующзпо {, поверхности Ф . Сначала построим , проходящую через . Определим точку 4 пересечения с /7?^ , затем точку // . Соединив с 7/ получим . Искомая точка / V / принадлежит . Т.к. линия связи, проходящая ч е р е з , в п о ­ ле П^, совпадает с проекцией ^/ прямой <Я , то А/^''принадлежит О у . Тш'лм образом, проекции А^ и А ^ определяют точку пере­ сечения О и . Аналогичные рассуждения можно провести и для точки И' / V / - { ' п о , . Проставив соответствующие обозначения на чертеже (рис.28) и р е ­ шив дополнительно вопрос видимости прямой относительно коничес­ кой поверхности, закончим решение задачи. Проведем анализ решения 2 П13-2. Пример ее представлен р и ­ сунками 29 и 30. Лано: <р(т,т) \ Г А П ^ . Требуется построить линию Плоскость г - фронтально проецирующая и ее основная проек­ ция - / 7 . Следовательно фронтальная проекция 6*^ линия п е р е с е ч е ­ ния С- принадлежит я представляет собой отрезок, ограниченный очерковыми линиями проекции отсека конической поверхности Отметим это на чертеже (рис.30) соответствующим обозначением. Для того, чтобы построить горизонтальную проекцию ^ / необходимо решить основную позиционную задачу для Ф в той же конкретной формулировке, что п в случае анализа решения I П13-2. Однако, в рассматриваемом примере основную позициопизпо задачу необходимо решать ^хр\я нескольких точек, фронтальные проекции которых пропэвольно выбираются па 3^ - ^^исло выбираемых точек должно быть д о с таточин)л в том сшлсле, чтобы горизонтальные проевдни этих точек позволили однозначно определить п с определенной стопоньо т о ч 27 Рис, 29 Рис.30 ности вычертить горизонтальную проекцию 6^ искомой линии е п е ­ ресечения я Г . Запишем решение основной позиционной задачи для произвольной т.чки М', фронтальная проекция которой при­ надлежит ^ 2 : I, Определив ряд точек типа А//построим горизонтальную проекцию <?/ искомой линии € . Проставив соответствующие обозначения на чер­ теже закончим решение задачи. Аналогичные рассуждения можно провести для любого другого конкретного примера решения ГПЗ-2. Запишем для отого случая алгоритмическую систему утверждений и рекомендаций. Если ( 1 1 > Л ) . т о : 1.0дна проекция искомого общего элемента уже непосредственного задана на чертеже. 28 2.Она принадяекит основной проекции проецирующего о б р а з а . 3.Вторую проекцию искомого общего алемента определяют исходя из условия принадлежности его непроецирующему образу (реше­ ние основной позиционной задачи относительно непроецирующего образа). Пользуясь приведенной алгоритмической системой репшм пример I П1Э-2, когда проецирующим геометрическим образом является фронтально проецирующая цилиндрическая поверхность ^с* вращения, а непроецирующим - некоторая кривая линия к ( р и с . 3 1 ) . Основной п р о е к ц и е й ^ явля1,тся о к р у ж н о с т ь ^ / . Следователь­ но горизонтальные проекции искомых точек / / и пере­ сечения Л и ^ должны принадлежать . Кроме того они долж­ ны принадлежать горизонтальной проекции линии ^ . Таким образом точкиА^и А / ^ - точки пересечения^^ и • Вторые проек­ ции искомых точек М \ А / ' находятся из условия принад­ лежности их непроецирующему образу, т . е . из условия принадлеж­ ности их линии . Поэтому А^'^и А^определяются непосредственно на соответствующих линиях связи. Проставив обозначения и решив дополнительно вопрос видимости линии А относительно ^ закон­ чим решение примера. В качестве примера 2 П13-2 рассмотрим случай пересечения цилиндрической поверхности ^ вращения и гиперболического п а р а бодлоида Пример 5. Дано:*-/-^//<^}- цилиндрическая поверхность, проецирую­ щая относительно . - гиперболический параболоид. Требуется построить проекции /с, ъ линии Л п е р е ­ сечения и (рис.32). Основной проекцией < ^ является окружность * ^ . Следовательно ' ^ < г < ^ . Т . к . Ъ ? пересекает все образующие*?-', тоХ;=*7^. Вторая проекция линии / г находится из условия принадлежности А" п о ­ верхности ^ ? . Запишем пространственный и графический алгоритмы решения задачи. I. 1_5^П. А / ' = / ' / ? " ^ Ш. 1.1. 2. /6 4. «= ^г. •. Ш. 7 8. ^ ^ ^ м ^ ' . _29 Рис.32 Рис.31 2.2.4. Методика и алгоритмизация решения главных позиционных задач для случая, когда оба геометрических образа являются непроецирующими ( Л ^ Л ^ . Прежде чем приступить к изложению методики и алгоритмиза­ ции решения ГОЗ-3 на комплексном чертеже проведем анализ реше­ ния этих задач на наглящшх изображениях, условно представляю­ щих геометрические образы, участвующие в пересечении. Рассмотрим такое изображение для I ГПЗ-3, представленное на р и с . 3 3 . Даиы:поверхность Ф (нспроецирующая); линия ^ (непроецирующаш). Построить точку Д / : = ^ • Запишем определенную последовательность геометрических опера­ ций, которая теоретически приведет к решению задачи: I.Построить некоторую вспомогательную поверхностьД , содержа­ щую 9 • 2.Определить линию ^ пересечения Д и ^ 1^. 3.Найти точку/V п е р е с е ­ чения ^ и <^ . Запишем эту последова­ тельность в виде с о о т ­ ветствующего алгоритма: 1.1л • Очевидно, что точкаА/ является искомой. Однако, для ее определения необ­ ходимо построить линию пересечения данной п о Рис.ЗЗ в е р х н о с т и ^ с вспомогательной поверхностью А . Если я / \ - поверхности непроецирующие, то такую линию мы пока строить не умеем. Следовательно / \ должна быть проецирую­ щей поверхностью. Тогда построение линии ^ будет првдсте1влять собой решение 2 П13-2. Анализ и алгоритмизация решения 2 П13-2 приведены в предыдущем параграфе. Таким образом решение I Ш З - 3 практически сведено к решению 2 П13-2. 0 О Рис.34 Проведем аналогичный анализ решения 2 П13-3. Д а н ы : < ^ - непроецирующая поверхность; ^2* - непроецнрующая п о ­ верхность. ^ Построить линию /77ЗЬ. (рис.34). Запишем определенную пос­ ледовательность геомет­ рических операций, к о т о ­ рая теоретически приве­ дет к решению задачи: I.Построить некоторую вспомогательнух) поверх31 Ность 1^ , которая пересекает 2.Найти линии^'^и ^ ' ' п е р е с е ч е н и я А ' с 'т^ и с ^ . 3.Определить точку А''^ п е р е с е ч е н и я ^ ' и (очевидно, что точка / V ^принадлежит и Ф и < ^ ) . ^ 4.Построить еще^одну вспомогательную секущую поверхность А . 5.Найти л и н и и ^ и ^ п е р е с е ч е н и я ^ сЯ^ъ с*э?. 6.Определить точку/^'^пересечения^'^и . з ^ п Продолжая аналогичные построения для поверхностей / \ , А ^ . . . ^ Д по-тучим соответствующие точки//•^, , . . . ,М^^\ Все эти точки принадлежат и * т ^ и ^ . Взяв достаточное число А определим ряд т о ­ чек М', соединив которые получим искомую линию Л . Запишем эту последовательность операций в виде соответствую­ щего обобщенного алгоритма: I. 2. 3. 4.[Л^ГЭ//< Итак, в результате реализации указанных операций, можно построить линию пересечения двух поверхностей. Однако для пост­ роения любой точки А^'необходимо строить л и н и и ^ ' и пересече­ ния Л ' с ^ и Л ' с ^ . Т . к . ^ й ^ - поверхности непроецирующие, то, для того, чтобы мы могли построить л и н и и и поверхность должна быть проецирующей. Тогда решение рассматриваемой 2 1113-3 будет реализовано в результате двукратного решения зада­ чи 2 П13-2. , Ч и с л о ^ должно быть достаточным в том смысле, чтобы с определегаой степенью достоверности построить проекции линии пере­ сечения, следует выбирать такие и так расположенные, если такая возможность имеется, чтобы проекции линий ^' и были бы графически простыми, линиями - прямыми или окружностями. Очень часто в к а ч е с т в е / ^ ' берутся плоскости. Если сравнять алгоритмы решения 1 ГПЗ-З и 2 ГПЗ-3, то легко заметить, что основные операции этих алгоритмов одинаковые: *^Если при взятой какой-то Д , соответствующие линии^^ и ^ не имеют действительных точек пересечения, то это значит, что в пределах секущего у ч а с т к а ^ поверхности "Т* и ^ не пересекают­ ся. 32 I.Построение вспомогательной секущей поверхности. 2.Построение линии пересечения вспомогательной поверхности с заданной. 3.Построение точки пересечения двух линий, принадлежащих вспомогательной поверхности. Отличие заключается в том, что при решении I ГПЗ-3 этот ряд операций выполняется один раз, а при решении 2 ГПЗ-3 - н е с ­ колько р а з . Кроме того, в алгоритме решения 2 ГПЗ присутствует последняя операция - построение линии, проходящей через все т о ч ­ ки М'. Рассмотрим решение примеров I ГПЗ-3 и 2 ГПЗ-З на комплекс­ ном чертеже. Пример 6. На комплексном ч е р ­ теже заданы: коническая п о ­ верхность ^(Т^гг^ вращения и прямЁШ , являющаяся г о ­ ризонталью. Требуется построить проекции /^/. /^Л / V / , / V / точек / / ' ' и / / ' ' п е р е с е ч е н и я ^ н ф (рис.35). Запишем пространственный и г р а ­ фический алгоритмы решения: ПА ^ ^ Л Д 1 / 7 , . П. ГА Рис.35 4. 5. В рассматриваемом примере в к а ч е с т в е в з я т а фронтально проецирующая плоскость. Ляния ее пересечения с ^ - окружность. Фронтальной проекцией этой окружности является прямолинейный отрезок ( ^ ) . а горизонтальной проекцией - окружность ( ^ ) 33 Если в качестве А взять горизонтально проецирующую плоскость, про­ ходящую через , то ее линией пересечения с была бы гипер>бола, которая на проецировалась бы тарсже в гиперболу. Пост­ роение гиперболы требует большого числа графических операций и конечный результат решения ''здачи был бы графически менее точ­ ным по сравнению с результатом выбранного ранее решения. кривая л ( р и с . 3 6 ) . Требуется постро­ Пример Рис.36 проецирующую поверхность алгоритмы. ПА I. П. Ш. 34 ить: проекции М^^ / V / , М1 точек пересечения <^и А . В р а с ­ сматриваемом примере в качест­ ве / \ необходимо брать проеци­ рующую тщлиндрическую поверх­ ность, проходящую ч е р е з . Для этой поверхности линия является направляющей. Фрон­ тально проецируицая поверх­ ность, проходящая через к , и горизонтально лроецирующая п о ­ верхность, проходящая через А, в пересечении с Ф будут д а ­ вать сложные пространственные кривые линии. Проекции этих ли­ ний также будут сложными кривы­ ми. Поэтому для решения рассмат­ риваемого примера практически безразлично какую из двух про­ ецирующих поверхностей брать в качестве А . Для конкретнос­ ти дальнейших рассуждений в о з ь ­ мем в качестве Л фронтально Запишем пространственный и графический I — 6. 7. з.[;;7ГА с>^. 4 . Г л Г = = / 7 7 ; / ? Л ^ , Ш.8. 9. 5.1 " Проставив соответствующие обозначения и решив дополнительно воп­ рос видимости линии к о т н о с и т е л ь н о ^ ? закончим решение задачи. Пммер 8. ^^дны: коническая поверхность Я^(^7^/7?^ и цилиняфоид Я?(ку к^,Е);^\\[^^, Требуется построить проекции 1^, и <^линии ^ пересечения Я^я^ (рис.37). Рис.37 35 Обе поверхности заданы основными чертежами. Границами о т с е ­ ков поверхностей являются: для конической поверхности - вершина Т я параллель/77 ; для цилиндроида - направляющие / ^ ' , А'^и о б ­ разующие {.^ л . Ъ качестве вспомогательных секущих плоскос­ тей А ' следует брать плоскости, параллельные 2. (следователь­ но я параллельные /7/ ) . Все будут пересекать <^ по окружностявй-параллелям, а - по прямолинейным образуюа1им. Так для А ' ( р и с . 3 7 ) ее линиями пересечения с'Р и з б у д у т , соответст­ венно, окружность/77' и образующая ^ ' . Точками пересечения/77' и / ' являются т о ч к и / / и Л / ' , горизонтальные проекции которых легко определяются как точки пересечения/^/ и ^ . Фронтальные проекции Л/^ и Д^' находятся по линиям связи на А ^ ^/'^^'г^/^^г)Взяв ряд и прюведя соответствующие построения на чертеже п о ­ лучим ряд точек М/ я Д ^ ' и ряд точек и А//. Первый ряд т о ­ чек определяет горизонтальную проекцию линии I/ , а второй ршд точек - фронтальную прюекцию линии I/ {в р)асоматриваемом примерю, при указанных выше отсеках заданных поверхностей, линия пересечения состоит из двух ветвей). Запишем прюстранственный я Г1)афический алгоритмы: ГА ПА I. Л ( 7 Ф , ^ ; А'///7/, 1 . 1 . А 1 \\1-2 • П. П.2. Ш. 3. 4. 5. ш.е.И;^-^!.. I I . /<^';Л^'сгА', у . 12. 6. 13. 7. 2 . 2 . 5 . Частные способы рюшения главных позиционных задач. Рассмотрев общую методику и алгоритмизацию рюшения главных позиционных задач покажем некоторые частные способы решения 2 ШЗ. Иногда в перюсечении участвуют такие пар)ы поверхностей, когда в качестве вспомогательных поверхностей типа А можно использовать и непроецирующие поверхности. Это возможно, тогда, 36 когда определенные геометрические свойства пересекающихся п о ­ верхностей и поверхностей Л позволяют заранее знать, что линии т и п а ^ и ^ будут или окружностями или прямыми, а закон пост­ роения кх проекций достаточно прост. Например, для построения линии пересечения двух поверхнос­ тей вращения с пересекающимися осями можно в качестве поверх­ ностей А брать семейство концентрических сфер. Чтобы рас^смотреть решение соответствующего примера предварительно остановим­ с я на некоторых свойствах поверхностей вращения. Поверхности врашения, имеющие общую ось вращения называются соосными поверхностями. Соосные поверхности пересекаются по о к ­ ружностям-параллелям, число которых определяется числом точек пересечения их образуювдх, лежащих в одной радиальной плоскости ( р и с . 3 8 ) . Последнее утверждение очевидно, т . к . любая такая точка 1/ Рис.38 Рис.39 описывает окружность-параллель, принадлежащую как одной поверх­ ности, так и другой. Если рассматривать сферу как поверхность вращения, то для того, чтобы она была соосной с какой-либо д р у ­ гой поверхностью вращения, достаточно центр сферы поместить на ось этой поверхности вращения ( р и с . 3 9 ) . Если есть две поверхнос­ ти вращения с пересекающимися осями, то сфера помещенная ц е н т ­ ром в точку пересечения осей, будет соосной как с одной, так и с другой поверхностями вращения и, следовательно, будет п е р е с е ­ кать их по соответствуицим окружностям-параллелям. На рис.40 представлена: коническая поверхность вращения Ф , цилиндричес­ кая поверхность в р а щ е н и я м и с ф е р а с центром в точке С п о ресечения осей &|)ера / \ пересекает по окружное- тям /77 'и /77"^, а по о к ­ ружностям ^ ' и С^. Окружности /77 и пересекаются в двух точках, из которых одна ( / ^ ) показана на чертеже. Эта точка очевидно принадлежит и ^ и ^ , а следовательно, принадлежит их линии пересе­ чения. Взяв достаточное чис­ ло сфер различного радиуса можно получить ряд точек/-/', которые и определят линию пересечения Ф и ^ . Если расположены относи­ тельно плоскостей проекций так, что плоскость, которую определяют их пересекаюошеся оси, параллельна одной из плоскостей проекций и, при этом, одна из осей перпендикулярна другой плоскости проекций, то проекции окружностей и/77*легко построить. Рассмотрим решение 2 ШЗ-З с помощью вспомогательных секущих сфер на комплексном чертеже. Пример 9. Дано: коническая поверхность Ф вращения с осью ^* , перпендикулярной , и параболоид вращения с о с ь ю ^ ^ , параллельной и /7/ и / ^ . Оси поверхностей пересекаются в точке Д Требуется построить линию Л пересечения <ФяЯ (рис.41). Вспомогательные секущие сферы А . концентрические и их общий центр в точке А пересечения ^ ^ и ^'^ . Эти сферы пересе­ кают Ф по окружностям /77', а<э? - по окружностям С^ . Точки пересечения /77'и ^ ' определяют линию пересечения Я^ и ^ . Однако, необходимо заметить, что не на всех сферах/77'и ^ * имеют действительные точки пересечения ( р и с . 4 0 ; окружности / 7 7 ^ и С^). Область "рабочих" сфер, т . е . сфер, на которых окружности типа /77' и имеют действительные точки пересечения,ограниченя опре­ деленной сферой максимального радиуса и определенной сферой ми­ нимального радиуса. Сферой максимального радиуса является сфера, проходящая через наиболее удаленную точку линии А . Сферой минимального радиуса 38 Рис.41 является сфера большего радиуса из двух сфер, вписанных в ' ^ и . На рис.41 сферой иаксимального радиуса является сфера, проходящая через точку.^ , а сферой минимального радиуса - сфе­ ра, вписанная в коническую поверхность. Плоскость,осей п о в е р х н о с т е й ^ и параллельна и поэтому о к р у ж н о с т и г ? ' проецируются н а / ^ в отрезки прямых. Точки п е ­ ресечения этих отрезков являются фронтальными проекциями точек/У'-. Горизонтальные проекции / ^ ' н а х о д я т по принадлежности точек /^'окружностям /тг^. Окружности /т?'проецируются на /7^ без искажения. Рассмотренный способ решения 2 ШЗ-З обычно называиот спосо­ бом секущих концентрических сфер. Другой способ, при котором используют недроецируюошв поверх­ ности типа А получил название "способ качающейся плоскости". При использовании этого способа,в качестве А берут плоскости общего положения, принаплежащие некоторому, определенным образом расположенному, пучку плоскостей с собственной или несобствен­ ной осью. Этот способ 1гюжно использовать, если пересекающимися поверхностями являются: конические, цилиндрические, пирамидаль­ ные и призматические поверхности. На рис.42 предстбшлен случай пересечения поверхностей с собственной вершиной (конической и конической, конической и пирамидальной, пирамидальной и пира-^мидальной). В этом случае вспомогательные секущие плоскости А принадлежат пучку, осью которого является прямая ^ , проходя­ щая через вершины Л. % 3 данных поверхностей. Рис.42 Рис.43 На рис.43 представлен случай пересечения поверхности с собственной воргаияой (конияеская, пирамидальная) и поверхнм'^ти с несобственной вершиной (цилиндрическая, призматическая). Вспомогательные плоскости А принадлежат пучку, осью которого является прямая ^ , проходяще через вершину В одной поверх­ ности параллельно образующим (или ребрам) другой поверхности. На ряс.44 представлен случай пересечения поверхностей с несобственными вершинами (цилиндрическая и цилиндрическая, приз­ матическая и призматическая, "илиндрическая и призматическая). Рис.44 Плоскости А принадлежат пучку с несобственной осью, т.е. се­ мейству параллельных плоскостей. Каждая ^ о п р е д е л я е т с я д в у м я п е ­ ресекающимися прямыми, одна из которых парал!лельна образукяцим (ребрам) одной поверхности, а вторая прямая - параллельна обра­ зующим (ребрам) второй поверхности. Во всех рассмотренных трех случаях плс^кости А пересекают данные поверхности по их прямолинейным образующим- Определение этих образующих и построение их проекций не вызывает особых затруднений. Остановимся еще на одном частном способе решения 2 ГПЗ. Этот способ используется только тогда, когда пересекаются п о ­ верхности второго порядка и, при этом, особым образом вз ямно расположенные. Линий пересечения двух поверхностей второго п о ­ рядка является в общем случае кривая четвертого порядка - слож­ ная пространственная кривая линия. Однако, иногда две поверх­ ности второго порядка так расположены относительно друг друга, что эта кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка. Вели в этом случае обе поверхности расположены определенным образом относительно плоскостей проекций, то пост­ роение проекций кривых второго порядка, составляющих линию пере­ сечения поверхностей, не вызывает особых затруднений. Линея пе41 рвсечения поверхностей второго порядка распадается на две кри­ вые второго порядка тогда, когда взаимное расположение пересекаицихся поверхностей подчиняется следующим теоремам: - две поверхности второго порядка, вписанные или описанные о т ­ носительно третьей поверхности второго порядка, пересекаются по двум кривым второго порядка (теорема Монжа*'); - две поверхности второго порядка, имепцие две точки соприкосно­ вения, пересекаются по двум кривым второго порядка; - две поверхности второго поряд1са подобные и подобно расположен­ ные пересекаются по двум кривым второго порядка (с учетом мни­ мых и несобственных); - если две поверхности второго порядка имеют одну общую кривую второго порядка, то они имеют еще одну общую кривую второго по­ рядка (с учетом мнимой и несобственной). Можно высказать следзгющее утверждение, по отношению к кото­ рому вышеприведенные теоремы могут в определенном смысле р а с ­ сматриваться как следствия: если пространственная кривая чет­ вертого порядка иь.еет две точки самопересечения, то она пред­ ставляет собой две кривые второго порядка. На рис.45 приведен чертеж двух пересекаххдихся цилиндричес­ ких поверхностей, описанных около одной сферы (условие первой теоремы). Их линия пересечения представляет собой два эллипса 3 \ . Этот пример соответствует требованиям я второй тео­ ремы, т . к . пересекающиеся поверхности имеют две точки А ъ В соприкосновения. На рис.46 показан пример на третью теорему. Линия пересе­ чения конических поверхностей вращения состоит из собственной гиперболы и несобственной кривой второго '^орядка. На рис.47 показан пример на четвертую теорему. Через задан­ ную окружность/77 прохо,пят: эллиптическая цилиндрическая поверх­ ность Ф и эллипсоид ^ . Второй кривой второго порядка, входящи;1 в общую линию пересечения, является эллипс & . Вообще говоря линяя пересечения двух поверхностей второго порядка шжет представлять собой: кривую четвертого порядка, прямую линию а кривую линию третьего порядка, две кривые второ­ го порядгса, кривую второго порядка я соответствующую пару пря­ мых линий, четыре пршмнх линии Г*^^ . м) 1'.Монас - фрат1узкйй математик и инженер, которого считают ^2 основателем начертательной геометрпи ^/_7 Ряс.47 2.3. Задачя на взаимный порядок геометрических образов 2 . 3 . 1 . Общие замечания Задачи на взаимный порядок геометрических образов о т н о с я т ­ ся к задачаил размещения в пространстве геометрических объектов относительно друг друга: выше, ниже, правее, леввее, над, под, дальше или ближе по заданному направлению, и т . п . Эти задачи настолько разнообразны и сложны, что в учебном курсе начерта­ тельной геометрии не представляется возможным ни строго с и с т е ­ матизировать их, ни разработать алгоритмизацию их решения, ни, 43 даже, представить всю понятийную систему, связанную с этими за­ дачами* . Мы ограничимся рассмотрением задач, связанных только с положением точки относительно других геометрических образов и дадим определенное толкование некоторым выражениям, определявдим то или иное положение точки относительно других геомет­ рических образов. Сразу договоримся, что такие понятия: "над", "под", "выше" и т . п . будем связывать с плоскостью /7/ ;такие по нятия как: "дальше","ближе " , "перед" и т . п . - с п л о с к о с т ь ю / ^ такие понятия к а к : " с л е в а " , "справа", "правее" и т . п . - с плос­ костью (профильной плоскостью). Сформулируем определения для некоторых положений точки о т ­ носительно других геометрических образов. I.Точка / V находится выше т о ч к и / V , если высота точки М больше высоты точки N по отношению к / ^ ; в противном случае точка ниже точки Л/( р и с . 4 8 ) . М, 9 N. а) Рис.48 2 . Т о ч к а / / находится над точкой Л / , если т о ч к а / / в ы ш е точки Д / и обе точки принадлежат одной проецирующей прямой. 3 . Т о ч к а / / н а х о д и т с я над плоскостью , если точка пересечения плоскости X с горизонтально проецирующей прямой, проходящей через / / , ниже т о ч к и / / ( р и с . 4 9 ) . В противном с л у ­ чае точка Л / находится под плоскостью. Для горизонтально прое­ цирующих плоскостей понятия "над плоскостью" или "под п л о с ­ костью", потеряет смысл. «)Насколько известно автору, по этой подгруппе задач вообще отсутствуют какие-либо печатные работы или исследования. Этот раздел настоящего учебного пособия является первой попыткой, хотя бы в постановочном плане, рассмотреть некоторые вопросы, связанные с этими задачами. Рис.49 Рис.50 4. Точка М находится выше прямой ^ , если эта точка р а с ­ положена над плоскостью, для которой прямая ^ является линией ската относительно /7< ; в противном случае точка М находится ниже прямой / к р и с . 5 0 ) . 5. Точка/V находится над прямой ^ , если точка Л< выше прямой и принадлежит плоскости, горизонтально проецирующей прямую . 6. Точка М находится над поверхностью Ф (или над ее о т ­ секом) , если точка М принадлежит горизонтально проецирущей фигуре*^, проецирующей Ф (или ее отсек) и, при этом, точка Р пересечения горизонтально проецирующей прямой, проходящей через т о ч к у / V ( р и с . 5 1 ) , и поверхности *Р находится под точкой / ^ _ ; если т о ч е к / ' н е с к о л ь к о , то т о ч к а д о л ж н а быть над всеми в противном случае т о ч к а / V находится под поверхностью или р а с ­ полагается между точками поверхности. 7. Т о ч к а / V находится между точками поверхности Ф (или 5П 'См. материал '-о операции проецирования (Курс начертательной геометрии. Часть I ) . . Рис.52 ее о т с е к а ) , если в случае 6. хотя бы одна точка из выше точ­ ки А/ и хотя бы одна точка яьР^ ниже точки А / ( р и с . 5 2 ) . 8. Точка А / находится выше поверхности (или ее о т с е к а ) , е с ­ ли т о ч к а / / выше всех точек поверхности (или всех точек ее о т ­ сека) . Аналогичные формулировки можно привести и для случаев, ког­ да точка "слева" или "справа", "перед" или " з а " и т . д . Причем понятию "над" соответствуют понятия: "под", "перед", " з а " , " с л е ­ в а " , "справа", а понятию "выше" соответствуют понятия: "ниже", "ближе", "дальше", " л е в е е " , " п р а в е е " . Более сложны в своих определениях и пояснениях (а следова­ тельно и при использовании их при решении соответствуюошх задач) такие понятия, как: "выше и л е в е е " , "ниже и дальше" и т . п . или "под и перед", "над и з а " и т . п . Т . е . те случаи, когда к точке предъявляются два требования, йце сложнее, когда к точке пре­ дъявляются три требования. Например, "выше, дальше и правее" 46 или "над, перед и справа" и т . п . Если рассматривать положение точки относительно другой з а ­ данной точки или заданной прямой линии, то понятия " п о д " , " н а д , "перед" и т . п . часто исключают возможность внесения тохю или иного второго условия. Бели рассматриваются условия типа "левее "выше" и т . п . , для точки относительно заданной точки, то р е а л и ­ зация их очевидна и не требует пояснений. Если рассматриваются такие условия относительно прямой линии, то областью возввожных положений точки кожет быть или один из двугранных углов, п о л у чае:лых при пересечении двух плоскостей или трехгранный зггол, получаемый в результате пересечения трех плоскостей. Соответ­ ствующие пояснения можно дать и для случая, когда на точку накладываются несколько условий по отношению к поверхности. После всего вышеизложенного, можно с к а з а т ь , что мы р а с с м о т ­ рели весьма поверхностно определения положений точки о т н о с и ­ тельно того или иного одного геометрического образа. Этого д о с ­ таточно для того, чтобы для заданной точки определить ее п о л о же1ше относительно любого числа заданных геометрических о б р а ­ зов. Т . е . мы подготовили материал для решения задачи: задана точка и заданы какие-то геометрические образы; определить п о л о ­ жение точки относительно этих геометрических образов. Обратная задача, а именно: задать точку, которая определенным образом располагалась бы по отношению к нескольким заданным геометри­ ческим образам, более сложная и не всегда выполнимая. Некото­ рые требования, налагаемые заранее на точку одновременно, по отношению к нескольким геометрическим образам, не всегда могут сосуществовать. Кроме того, возможны случаи, когда нельзя п о с ­ троить точку, положение которой одновременно удовлетворяло бы нескольким требованиям по отношению к одному геометрическому образу. Так, например, нельзя иногда построить точку справа некоторой заданной плоскости и над ней, или справа .ч под ней и т . п . Возможность и невозможность удовлетворить оба требования зависит от положения заданной плоскости относительно плоскостей проекций. Для некоторых, плоскостей, определенным образом располо­ женных относительно плоскостей проекций, все точки пространст­ в а , которые над ними уже однозначно находятся и перед ними. В этом случае нельзя построить точку, расположенную над п л о с к о с ­ тью и з а ней. Аналогичные ситуации могут возникать и с н е к о т о ­ рыми поверхностями. Для открытых поверхностей возможны случая типа: если точка над поверхностью, то она обязательно между т о ч ­ ками поверхности; если точка под поверхностью, то она не может быть справа от поверхности; и т . п . Невозможность сосуществования, нескольких условий одновременно иногда очевидна, а иногда опре­ деляется только в процессе решения. 2 . 3 . 2 . Решение задач Как видно из всего вышеприведенного, решение рассматриваемых задач опирается на главные позиционные задачи. Для прямой з а д а ­ чи - определение положения заданной точки относительно других заданных геометрических образов - в основном используется 1 П13. Для обратной задачи - построить точку, удовлетворяющую ряду требований по положению относительно каких-то заданных геометри­ ческих образов - и 1И13 и 2 ГПЗ. Пример 10. На комплексном чертеже заданы: точка А1 , прямая ^ , плоскостьХ^^'^/^^и сфера Ф . Определить п о л о ж е н и е / / относительно ^ , Л я Ф по высоте ( р и с . 5 3 ) . Чтобы определить . . о л о ж е н и е / / относительно я Я^ по высоте, строим горизонтально проецируюоогю прямую О^М. Затем строим плоскость /1^^,^*), для которой прямая ^ является линией ската относительно /7/ . После этого находим точки пересечения О с Ф. 2^, / ~ и по их положению относительно / / определяем положение / / относительно ^, И я Ф . Запишем последовательность действий: I.[а'^//7у А а ^ М . П . | ^ ^ ^ ^ ^ - у. 4 - а п Г . Аналогично можно было бы решить задачу на определение поло­ жения точки по глубине или по положению слева или справа. Пример I I . На комплексном чертеже заданы: плоскость Л Л , сфера Ф я точка Л / . Определить область существова­ ния точкя / / , если она должна быть над сферой ф , под плоскостью 2Г я левее т о ч к и / / ( р и с . 5 4 ) . Т.к. точка. М должна находиться над сферой, следовательно она должна принадлежать горизонтально проецирующей фигуре/-/ - проеци­ рующей сферу, и быть над точкой пересечения сферы с горизонталь48 Рис.53 но проецирующей прямой, проходящей через М • Чтобы, при этом, точка / V находилась под X . сечение Ъ горизонтально проецирую­ щей фигуры^ должно содержать точки, расположенные над сферой Ф . Интервал между любой такой точкой и соответствующей точкой сферы может быть принят з а место расположения точки М без учета требования, накладываемого на М точкой N . С у ч е ­ том требования, связанного с точкой / V , точкя Л/ должны н а ­ ходится слева от профильной плоскости Г=^/^ . Таким образом, решение поставленной задачи будет существовать если: - сечение X и <Н будет содержать точки, расположенные над сферой Ф ; - точка А / будет находится или правее Н или принадлежать / 9 . но в определенной области пространства, в зависимости от расположения я X . 49 Ряс.54 Областью возможных раняченная: плоскостью содержащей внутри себя расположенной под 2Г , решеняй является часть пространства, о г ^ » нялиндрической поверхностью & , Й , верхней полусферой или частью е е , и плоскостью /" , 2.4. Решение 1Ш с использованием преобразования комплексного чертежа 2 . 4 . 1 . Решение первой главной позиционной задачи При решения I Ш З преобразование чертежа привлекается в о с ­ новном в двух случаях: - преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия, у ч а с т вуюа1ая в пересечении, стала линией уровня или прооцирующей (последнее - только для прямой линии); 50 - преобразовать комплексный чертеж так, чтобы поверхность (плоскость), участвующая в пересечении, стала проецирующей. Вели с помопп>ю преобразования чертежа можно один из геомет­ рических образов (линию или поверхность), участвующих в пересе­ чении, перевести в положение проецирующего, то тем самым реше­ ние I ГПЗ-З сводится к решению I П13-2. Преобразование чертежа, п^ иводящее к тому, что линия обще­ го положения становится линией уровня, позволяет сделать графи­ чески более точным или упростить решение задачи. Пример 12. Построить проекции точек пересечения заданных прямой О общего положения и сферы Ф ( р и с . 5 5 ) . Рис.55 51 Оба геометрических образа являются непроецирующими. По алгоритму третьего случая решения I ГПЗ необходимо через ^ про­ вести плоскость А . найти ее линию /77 пересечения с и точкя А^ и /*/^ пересечения /77 с Л . Линяя /77= '^ЛЛ - окруж­ н о с т ь . На одну из плоскостей проекций (вэависимости от того какая А будет взята:АЛ лляАИПг) /77 будет проециро­ ваться в эллипс - лекальную кривую. Последнее усложняет построе­ ния и приводит к снижению графической точности решения. Поэто­ му целесообразно преобразовать чертеж т а к , чтобы а стала л и ­ нией уровня. Тогда А . проходя через О. , должна быть парал­ лельна той новой плоскости проекций, которой параллельна ^ . Проекция окружности/77-*Р/7Л в новом поле проекций будет т а к ­ же окружностью. Таким образом, в процессе решения задачи не на­ до строить лекальную кривую. Запишем пространственный я графический алгоритмы решения. ГА лл. е. П. ш. П.2. /77< < = Л ^ . 3. ( Г / с : / 7 7 ^ . 4. 5. 7. 8. Ш.9. 10. П. 2 . 4 . 2 . Решение второй главной позиционной задачи При решении 2 ШЗ преобразование чертежа привлекается в ос­ новном в том случае, когда комплексный чертеж можно преобразо­ вать т а к , чтобы одна из поверхностей, участвующих в пересече­ нии, стала проецирующей. Если в результате преобразования ч е р ­ тежа одна из поверхностей станет проецирующей, то решение 2 П13-3 практически будет сведено к решению 2 П13-2. Пример 13. Построить проекции >^ * линии Л" пересечения к о нич^еской поверхности Ф общего вида и плоскости Е ( / ? П / ) (рис.56). Заданные поверхности не являются проецирующими. Одна из 52 Рис.56 поверхностей - . л о с к о с т ь . Следовательно молно преобразовать чертеж т а к , чтобы она стала проецирущей. Введем новую плоскость проекций , перпендикулярную /7^ и 2Г • Тогда на гори­ зонталь спроецируется в точку /т^ , а Л - в прямую Л^ . Таким образом третий случай 2 ШЗ в системе ( Р^, Р^) сведен ко второму случаю в системе ( / 7 } ) . Одна проекция лкнии /г уже непосредственно задана в поле /7^ , а проекции и нахо­ дятся исходя из условия принадлежности А к Ф , 3. МЕТРИЧВСКШС ЗАДАЧИ 3.1 Общие замечания Всякая задача, в условии или в процессе решения которой присутствует численная характеристика, является метрической. Метрические задачи определяются и формируются исходя из группы аксиом движения Решение метрических задач аппаратом и средствами начерта- тельной геометрия является геометрически строгим. Однако р е з у л ь ­ тат решенля в с е г д а приближенный, если сравнивать его с р е з у л ь ­ татом решения той же задачи аналитическими методами. Это о ч е ­ видно, т . к . точность любых графических построений является относительной* . В связи с этим в курсе начертательной геометрии рассматриваются, как правило, метрические задачи, во-первы..^, только относительно линейных образов (точки, прямые, плоскости) я , во-вторых, связанные только с такими понятиями как: р а с с т о я ­ ние, угол, геометрические характеристики плоской фигуры. При­ чем, все эти задачи решаются на уровне определения натурально­ го (проекционного не искоженного) вида отрезка прямой, угла, плоской фигуры. Непосредственное измерение длины отрезка, вели­ чины у г л а , площади закрытой плоской фигуры я т . п . какой-нибудь единицей измерения, как правило, не проводят. Из всего многообразия метрических задач выделяют две з а д а ­ чи , которые называют основными метрическими задачами (ОМЭ)|^^. Первая основная метрическая задача ( I ОМЗ) - задача на п е р ­ пендикулярность Прямой линии и плоскости. Вторая основная метрическая задача (2 ОМЗ) - задача на оп­ ределение расстояния между двумя точками (на определение на­ турального вида отрезка пря?.юй). Эти две задачи называются основными потому, что на основа­ нии их можно решить любую другую метрическую задачу, т . е . р е ­ шение любой метрической задачи можно свести к решению основных метрических задач ( конечно, при этом следует ^нать решения ранее пройденных позиционных задачь). По этому, чтобы решать любые метрические задачи необходимо уметь решать две основные метри­ ческие задачи. Решение 2 ОМЗ подробно разобрано в первой части курса в р а з д е л е , посвященном метрической определенности комп­ лексного чертежа. Рассмотрим решение I ОМЗ. 3.2. Решение первой основной метрической задачи 3.2.1. Теорема о проецировании прямого угла Если две прямые в пространстве взалмно перпендикулярны и одна из них параллельна плоскости проекций, а вторая ей не п е р х) Приведенные рассуждения о точности результатов решения метрических задач справедливы и для результатов решения дру­ гих задач (позиционных, на параллельность). Однако это заме­ чание особенно важно в разделе метрических задач, т . к . они связаны с понятием "численная характеристика". пендикулярна, то проекция этих прямых взаимно перпендикудярнн. Эту теоред^ шхно представить в следующей записи: Доказательство (Рис.57). Рис.57 Теорема связывает три геометрические завзсимости: перпен­ дикулярность двух прямых в пространстве, параллельность одной из них плоскости проекций и перпендикулярность проекций п р я ­ мых. Если любые две зависимости принять з а данные, то третья зависимость становится результатом. Поэтом^' наряду с записью ( / ) мояно дать еще две записи, которые в определенном смысле можно рассматривать как обратные теоремы: о1Ьло,1Ь, =^о(V^Ь) ///7/ {2 ) ОЛ 4 /\О(УЪ)]\П, ^а1Ь. (3) Все рассуждения проведены относительно плоскости /7/, Оче­ видно, что они справедливы и относительно любой другой плоскос­ ти проекций. 3.2.2. Первая ОСНОВНЕЛ метрическая задача имеет две конкретные формулировки: - построить прямую линию, проходящую через ьаданную точку перпендикулярно заданной плоскости; - построить плоскость, проходящую через заданную точку п е р 55 пендикулярно заданной прямой линии. Рассмотрим решение I ОМЗ для первой конкретной форкоглировки. Пусть заданы: точка М и плоскость X. (/У О / ) • Нужно пост­ роить проекции /7/ и прямой /7 , перпендикулярной 2^ и проходящей через / V ( р и с . 5 8 ) . Проведем анализ решения задачи. Допустим, что кгисим-т обра­ зом прямая /7-/. Л уже построена. Тогда /7 должна быть перпен­ дикулярна всем прямым, принадлежащим X. . в том числе и ее г о ­ ризонталям и фронталям: /71Г=>П1./1 Л /71/. , Если Л Х ^ " // / 7 / , то по вышеприведенной теореме /7<-^ П^. Если/7_^У' и / \1 Пг » то по той же теореме / ^ - ^ ^ . Следова­ тельно, чтобы П(^троить фронтальную проекцию /7^ искомой пря­ мой /7 , нужно через Л/^ провести прямую, перпендикулярную ;^ • Чтобы построить горизонтальную проекцию ^/ искомой прямой /7 нужно ч е р е з п р о в е с т и прямую, перпендикулярную . Прямая П, у которой П,Х Н4 ъ П^}, перпендикулярна двум пере­ секающимся прямым ( Л и / ) плоскости X • Следовательно, так заданная прямая, лерпендикулярна ^ . Все вышеизложенное, учитывая зависимости ( I ) и ( 3 ) , можно представить в виде: /?1 Г(ЬП/) <^ п,1 /?,л п^!/^ (4) Очевидно, что для приведенного решения, безразлично придалежят точка. М плоскости X или не принадлежит. Рассиютрим решение I ОМЗ для второй конкретной формулиров­ ке. Пусть заданы: точка / V и прямая О . Нужно задать плос­ кость ^ ( ^ / у / ^ , перпендикулярную О и проходящую ч е р е з / / (рис.59). Зададим горизонталь т а к , чтобы /7/ была бы перпен­ дикулярна О/. Тогда, рассматривая прямые /р я О относитель­ но и учитывая зависимость ( 3 ) , можно утверждать, что ОХ Н. Проведя аналогичные построения и рассуждения относительно пря­ мой а , ф р о н т а л и у ^ / / и плоскости / ^ , можем сделать заклю­ чение, что . Прямые / и / , проходя через одну точ­ ку / V • и шляются пересекающимися прямыми и, следовательно, оп­ ределяют некоторую плоскость {шлкЦа ) . Таким образои:/7^^.(7,Л/^10^==^21{/7п/^XО. 56 /7/ Рис.58 Рис.59 Анализируя решения I ОМЗ для первой и для второй конкретных формулировок можно с к а з а т ь , что зависимость (^^ ) является о б ­ щей я основополагаицей при решении I ОМЗ на комплексном чертеже. 3.3. Решение метрических задач на базе двух основных метрических задач 3 . 3 . 1 . Чтобы выявить обобщенные алгоритмы решения метржческих задач на определение расстояния, угла или плоской фигуры на базе двух основных метрических задач, разберем подробно решение какой-нибудь одной задачи такого типа. Рассмотрим решение задачи на определение расстояния от з а ­ данной точки до заданной плоскости. Расстояние от точки до п л о с ­ костя определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Отрезок этот ограничен данной точкой я т о ч ­ кой пересечения перпендикуляра с плоскостью. Нужно определить натуральный вид этого отрезка. Учитывая все только что сказанное, чтобы решить задачу необходяж) выполнить следующие три укрупнен­ ные операпии: I . Опустить из точки М (рис.60) перпендикуляр/7 на п л о с костьХ (^/?/ ) . 2. Найти точку N Г . пересечения перпендикуляра /7 с плоскостью 57 3. Определить нэтуральный вид отрезка Л/]. На р и с . 6 0 показано построение перпендикуляра ^ и неиюждение точки пересечения /7 с ^ . Постробние перпендикуляра - это первая основная метрическая задача, подробно рассмотренная в ш е . Построение точкя пересечения прямой /7 с плоскостью ^ - первая главная позиционная задача (см.раздел "Позиционные з а д а ч и " ) . З а ­ пишем пространственный алгоритм приведенного на чертеже решения Рис.60 Рис. 61 На р и с . 6 1 показано определение натурального вида о т р е з к а Л / ] Итак, можно записать следуюошй укрупненный алгоритм решения з а ­ дачи в целом: I . Решить первую основную метрическую задачу. 2. Решить первую главную позиционную задачу. 3. Решить вторую основную метрическую задачу. Все метрические задачи, связанные с определением расстояний, имеют один и тот же укрупненный алгоритм. Например, если нужно определить расстояние от прямой до параллельной ей плоскости, то достаточно на заданной прямой взять произвольную точку, а 58 дальше точно следовать вшеприведеннону алгоритму. Бели нужно определить расстояние между параллельными плоскостями, то в одной из них следует взять произвольную точку, а дальше следовать т о ­ му же алгоритму. Лдя определения расстояния от точки до прямой линии необ­ ходимо построить плоскость, перпендикулярную данной прямой и про­ ходящую через данную точку, затем найти точку пересечения пост­ роенной плоскости с данной прямой и определить натуральный вид полученного отрезка данной прямой. Нетрудно увидеть, что и для этой задачи укрупненный алгоритм решения тот же: I . Решить I ОМЗ (только во второй конкретной формулировке). 2. Решить I газ. 3. Решить 2 газ. Бели нужно определить расстояние между параллельными прямы­ ми, то на одной из них берется произвольная точка, а дальше р е ­ шение идет по алгоритм? предыдущей задачи. В таблице I приведены все рассмотренные задачи на определе­ ние расстояния и их укрупненные алгоритмы. 3.3.2. Аналогичный анализ решения на базе двух основных метрических задач можно провести и для других групп метрических задач. Например, если нужно определить натуральный вид треугольни­ ка, заданного своими проекциями на комплексном чертеже, то д о с ­ таточно определить натуральные виды (длины) всех трех сторон и в удобном месте чертежа по трем сторонам построить натуральный вид треугольника. Таким образом, решение поставленной задачи опирается только на вторую ОМЗ. Если нужно определить натуральный вид какого-нибудь линейно­ го угла, заданного на комплексном чертеже своими проекциями, то эта задача сводится к предыдущей. Для этого достаточно в плос­ кости угла провести прямую, пересекающую обе стороны угла, полу­ чить тем самым треугольник и определить его натуральный вид. Все утлы треугольника, в том числе и рассматриваемый, будут представлены в натуральном виде. И т . п . В таблице 2 приведена группа задач на определение натураль­ ного вида плоской фигуры и у г л о в . 59 Таблица I <. ||М,п| |Ы11| ш юмз ||а11п| 1. -ЮМЗ Далее. п ^^М. по предыдущей 2. 1 Г П З зада'^е 1^ = п П 1 . Далее по предыдущр.й задаче 3. 2. О И З [Г1пА 2 1ГПЗ Долее по задаче 5. 2 ОМЗ ||М,N. Таблица 2 Л Л ^ Ц а Г Ы (*Й'Па,Ь \. 2 ОМЗ 2 ОМЗ 1М,В| 1Ш.В1 2. 2 ОМЗ 2. 1т,А| 11В.В1 3. 2 ОМЗ \кЛ А. Ц л А В О ! 6(3 2 ОМЗ 3. 2 ОМЗ 1А.В1 А. Н д А О В ! 2.*|Ь = ЛП1 а=ЛПГ Дапее по предыдущей зобаие 3.4. Решение метрических задач с использованием преобра­ зования комплексного чертежа 3.4.1. Как уже было отмечено выше, в учебном курсе начертатель­ ной геометрии рассматриваются метрические задачи, связанные с такими понятиями как: отрезок прямой, угол, плоская фигзгра. Ве­ ли прямая ляния, которой принадлежит отрезок, определяющий р а с ­ стояние, или плоскость, который принадлежит плоский угол или плоская фигура, спроецируются на плоскость проекций без иска­ жений, то на этой плоскости проекций будет получено решение задачи. На этом выводе и основывается применение преобразова­ ния комплексного чертежа к решению метрических задач. Запишем алгоритмическое предложение для решеняя метряческях задач С использованием преобразования чертежа: I.Выявить геометрический образ, несущий на себе искомую численную характеристику (учитывая сказанное в начале этого параграфа очевидно, что таким геометрическим образом может быть или прямая или плоскость). 2. Определить "решающее положение оригинала" относительно плоскости проекций. 3.Определить те задачи из четырех основных задач преобра­ зования комплексного чертежа, с помощью которых можно привести оригинал в решающее положение. 4.Выбрать конкретный способ преобразования чертежа и р е а ­ лизовать решение на чертеже. "Решающим полокением оригинала" является такое положение оригинала относительно плоскости проекций, когда геометричес­ кий образ, несущий искомую численную характеристику, иртецируется без искажения. 3 . 4 . 2 . Рассмотрим пример решения задачи Пример 14. Определить расстояние от данной точки Д / до данной плоскостя 21(/7(1:/). Расстояние от точки до плоскости определяется отрезком п е р ­ пендикуляра / 7 , опущенного из точки/*/ на данную плоскость. Следовательно, геометрическим образом, несущим искомую числен­ ную характеристику, является прямая линия / 7 . Решапцим положением оригинала (точка и плоскость 21 как единая жесткая система) является положение, при котором прямая /7 будет параллельна плоскости проекций. Однако учитывая, что прямая / 7 не дана, условка параллельности /7 плоскости п р о е к - ций можно заменить условием перпендикулярности плоскости I . той же плоскости проекций ^11П^П\\П). Чтобы п л о с к о с т ь ^ общего положения стала проецирующей, необ­ ходимо решить третью основную задачу преобразования комплексного чертежа. В качестве конкретного способа преобразования чертежа возь­ мем способ введения новой плоскости проекций. \ ^ < /г Рис.62 Новая плоскость Пз проекций (рис.62) берется перпендику­ лярно П( и перпендикулярно горизонтали /? плоскости "2- . Но­ вая ось проекций ОС/^,^ в этом случае перпендикулярна /т^ На плоскость 2. проецируется в прямую . Из т о ч к и о п у с ­ каем перпендикуляр /7^ на 2.^ • находим точку А/у пересечения /7^ с ^ з - Полученный о т р е з о к / / * ^ , / Ц 7 Р Э в е н р ^ Л / / я , следовательно, определяет расстояние от до ^ . Анализ и решение задачи на этом можно считать законченными. Для определения точки /V/ необходимо построить /7/ .Т.к. ^ линия уровня по отношению к , то проекция ^/ должна быть па62 раллельна ^ - ^ ^ з . Кроме того Положение /7, можно определят- и на основании теоремы о проеци­ ровании прямого угла: /7_/. /)Л /?II = ^ /7^/1/ . Т.к. ^Л^гшз • то /7у II ОС^з • Точка Л/^ находится на линии связи ( ' ^ , А ^ ) и, при этом, \/\/г,^г.-г1=1М, •^^-5 1. Запишем последовательность графических операций. 3. 4. Рз', Х Л ' Л М з . <^Ш,=-'ЪП ( N 3 , ^ ) . Пример 15. Построить натуральный вид сечения геометрического тела (ограниченного отсеками нескольких поверхностей и плоскостей) фронтально проецирующей плоскостью (рис.63). Геометрическим образом, несушим искомый вид сечения я в л я е т ­ ся плоскость X . Решающее положение - ^ параллельна плоскости проекций. Для этого нужно решить четвертую основную задачу п р е ­ образования комг ексного чертежа. В качестьэ конкретного с п о с о ­ ба преобразования выберем способ введения новой плоскости проек­ ций. Плоскость /7^ должна быть параллельна X и, следовательно, перпендикулярна /7^ . Новая ось ' ^ ^ з проекций будет параллель­ на X / . Для удобства дальнейших построений в качестве оси •ЗГ/,^ возьмем горизонтальную ось симметрии фигуры, предетавляицей и з о б ­ ражение геометрического тела на /7, . Построение натурального в и ­ да сечения ведется по общим правилам построения изображений в поле /7з , когда осуществляется переход от системы (/%^/?г) к системе ( /7^, ). В таблице 3 приведены некоторые метрические задачи с у к а ­ занием: геометрических образов, несущих искомую численную х а ­ рактеристику; решающих положений оригинала; соответствующих основных задач преобразования чертежа. 63 Таблица 3 Позиции Задачи Геометрический образ, несущий искомую чис­ ленную характеристику Решающее положение Ц П п И Л п ^ М |111Г| 1 ||1МГ И д . (=»п11П) 211 П п И Л п Ш : (^пПП) г»; п И 1(^Г)1П ^ г). (=»П11П) ^ ^ п п11:лпЛ1:лп:эМ. (ФпИП) 1(У1)1П п 1 1 : л п П 1 ; п 1 и п П 1 . (=^п11П) Н У А; п11:лпП1:лпП1. 1 1| л А В В | 64 Л , А=>А,ЪВ. Ц П (:фП(1П) Основные за<>ачи преобразооа ним чертежа Задача 3 Задана ^ Задача 3 Задача 1 и Задача 2 Задача 1 и Задача 2 Задача 1 и Задача 2 Задача 1 и Задача 2 ЛИП Задача 3 и Задача 4 д и п Задача 3 и Задача 4 л и п Задача 3 и Задача 4 ЛИТЕРАТУРА I . Монж Г. Начертательная геометрия: Изд-во АН СССР, 1947. 2. Погорелое А.В. Основания геометрии.!*.;Наука, 1968. 3. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия: Учебное пособив /шт. М.,1988. 4. Рыжов Н.Н. Преобразование комплексного чертежа: Сб.научнометодических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. Шп.16/МПИ.М.,1990. 5. Рыжов Н.Н. Метрика бинарных моделей пространства и а л г о ­ ритмизация решения метрических з а д а ч . Сб.научно- методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып. 15/М1Ш.М.,1989. б.Рыжон Н.Н. О теореме Монжа //Труды Московского семинара по начертательной геометрии. Изд-во Советская наука. 1958 7 Рыжов Н.Н. Курс начертательной геометрии. Часть I.•Уч^^ное пособие /МАДИ(ТУ). Ы.,1995. 66 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 I . Преобразование комплексного чертежа 1 . 1 . Общие замечания 1.2. Способ введения новоЁ плоскости проекций 1.3. Основные задачи преобразования комплекс­ ного чертежа 1.4. Вращение оригинала вокруг проецирупцей прямой 1.5. Вращение оригинала вокруг прямой линии уровня 4 4 5 2. Позиционные задачи 2^ 2 . 1 . Общие замечания 2 . 2 . Задачи на взаимное пересечение геометрических образов 2.3. Задачи на взаимный порядок геометрических образов 2.4. Решение ШЗ с использованием преобразования комплексного чертежа II 13 18 20 21 43 50 3. Метрические задачи 53 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Общие замечания Решение первой основной метрической ?-чдачи Решение метрических задач на базе двух ОМЗ Решение метрических задач с использованием преобразования комплексного чертежа 53 54 57 61 Литература 65 67