Научно-образовательный материал «Определение программ в терминах wp»

Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский государственный индустриальный университет
ГОУ ВПО МГИУ
Научно-образовательный материал
«Определение программ в терминах wp»
Состав научно-образовательного коллектива:
Роганова Н.А., к.т.н.
Курасов Ю.В., ведущий инженер
Москва 2010 г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГРАММ В ТЕРМИНАХ wp
До сих пор все наши манипуляции с wp основывались на том, что мы считали
известным, как именно выполняются те или иные команды, из которых
состоит программа S.
Сейчас мы полностью изменим точку зрения. Будем считать первичным
предикат wp и условия, которым он удовлетворяет. Это позволит нам
определить в терминах wp семантику команд языка Ruby, а затем доказывать
различные утверждения о программах.
Пустой оператор
Для пустого оператора определение выглядит так:
wp("",R) = R.
Хотя определение и не требует доказательства, полезно убедиться, что оно не
противоречит нашему внутреннему пониманию того, как именно работает
пустой оператор.
Оператор выхода
Оператор выхода exit, выполнение которого приводит к немедленному
завершению выполнения программы, определяется следующим образом:
wp("exit", R) = F.
Ясно, что независимо от начальных условий после завершения выполнения
программы никакие утверждения относительно её переменных истинны быть
не могут.
Последовательное выполнение
Следующее определение описывает результат последовательного выполнения
двух операторов одного за другим:
wp("Sl; S2",R) = wp("Sl",wp("S2", R)).
Простое присваивание Пусть х — некоторая
переменная, а е — произвольное выражение. Тогда
wp("x = e " , R ) = domain(e)lk&,Re,
где domain{e) — предикат, описывающий множество всех состояний, в
которых может быть вычислено значение е (т. е., где е определено), a R^
обозначает подстановку в предикат R выражения е вместо всех свободных
вхождений переменной х.
Замечание
1
Данное определение может вызвать некоторые вопросы, так как на первый
взгляд кажется, что оно не соответствует нашему интуитивному пониманию
того, что делает оператор присваивания. Поэтому рассмотрим ряд примеров,
которые развеют эти сомнения.
Пример 1
wp("x = 5", х = 5) — (Т&&(5 = 5)) — Т, что вполне правильно, так как
присваивание переменной х числа 5 всегда делает х равным пяти.
Пример 2
wp("x = 5", х ф 5) — (Т&&(5 ф 5)) = F, что тоже правильно, ибо присваивание
переменной х числа 5 никогда не сможет сделать х ф 5.
Пример 3
wp("x = х + 1", х < 0) — (х + 1 < 0) — (х < — 1), где предикат domain(x + 1)
опущен.
Пример 4 Здесь, наоборот, про domain(e)
забывать нельзя: wp("x = 1/у",ж $С 0) = (уф0)кк(1/у^0) = ( у < 0 ) .
Множественное присваивание
Пусть ж1, ж2 — переменные, a el, е2 — произвольные выражения. Введём
обозначение domain(el}e2) = domain(el) Л domain(e2). Тогда
wp("xl,x2 = е1,е2",Я) = domain(el,e2)&&Rxel'^,
где Щх'е2 обозначает одновременную подстановку в предикат R выражений el
и е2 вместо всех свободных вхождений переменных xl и х2 соответственно.
Пример
«ф("х,у = у,х", х = З А у = А) = (х = З А у = A)xyf = (у = ЗЛх = 4).
Ещё пример
Вычислите wp("х,у = х-у,у-х", х + у — с).
Решение
иф("х,у = х-у ,у-х", х + у — с) = (х — у + у — х = с) — (с = 0).
Замечание
Определение множественного присваивания обобщается естественным
образом на случай произвольного числа переменных.
Массивы с функциональной точки зрения
Массив b [0. .п-1] можно считать простой переменной Ь, а «индексацию» его
элементов (т. е. получение элемента b [i] по его индексу) — вызовом
2
метода [] массива b с параметром i. Именно так всё и «устроено на самом
деле» в Ruby и многих других языках программирования.
Массивы и присваивание
По этой причине присваивание M b[i] = е" элементу массива можно рассматривать, как простое присваивание "b = (b; i:e)". При этом будет
использоваться следующее обозначение:
(h ■ л г -п
J &Ы' если i ^ 3 I е,
если г = j.
Присваивание элементу массива
Для массива Ь[0..п — 1] допустимыми значениями индекса принято считать
диапазон [0..п — 1], хотя язык Ruby допускает и отрицательные величины (с
особой трактовкой). Поэтому
iup("b[i] = e",i?) — inrange{b,i)hhdomain(e)hlkR{bi:e\,
где предикат inrange(b, г) определён так: inrange(b, i ) = 0 ^ i A i < n .
Пример
тр(»Ы±1 = 5 » , Ь И = b[j}) = (ЬЩ = 6[i])^:5) = = ( ( Ь ; г : 5 ) [ г ] =
( Ь ; г : 5 ) И ) = = (г ф j Л 5 = b[j}) v (г = j Л 5 = 5) = = (г ^ i Л 5 =
ЬЩ) V (г = j) = = (г ф j V г = j) Л (5 - ВД V г = j) = = Т Л (5 = ЬЩ
V г = j) = (5 = ВД V г = j). Более сложный пример Найдите
iup("b[b[i]] = i " , b [ i ] = i).
Решение
wp("b[b[i]] = i " , b [ i ] = i) =
= (b[i\ = i)Um) = ( ( b ; b [ i ] : i ) [ i ] = i) =
= ((b[i\ ф i A b[i] = i) V (b[i\ = г Л г = г) = =
FV(b[H = i) = (6[г] = г).
РЕГУЛЯРНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Точные определения будут даны намного позже (на 3-м курсе), но использовать это важное понятие мы начнём уже сейчас.
Сопоставление с образцом
Регулярные выражения (regular expressions) в языке Ruby являются объектами
типа Regexp и используются, например, в механизме сопоставления с
образцом (pattern matching).
Обычные и специальные символы Простейший способ
задать регулярное выражение — использовать конструкцию /regexp/. Все
символы, кроме ., I, (, ), [, \, ",{,+,$,* и ? представляют в регулярных
выражениях самих себя. Для того чтобы включить в регулярное выражение
один перечисленных специальных символов, необходимо экранировать его с
помощью символа \.
Значение специальных символов
Символ
Значение
Используется для экранирования
Любой символ, кроме ' \п'
\
Обязательно начало строки
Обязательно конец строки
Примеры
$
Выражение
Значение
Слово Маша
/Маша/
Слово Маша, в котором вторая буква может быть
/М.ша/
заменена на любой символ
ЛМаша/
л
/ Маша$/
В строке Маша ела кашу это регулярное выражение содержится, а в строке Я Маша — нет Такое
регулярное выражение будет обнаружено только в
строке с единственным словом Маша (даже
пробелы до или после него недопустимы)
Задание класса символов
Для определения класса символов применяется конструкция [characters], в
которой почти все специальные символы становятся обычными. При этом
знак - (минус) используется для задания диапазона; а символ " сразу после
открывающей квадратной скобки означает операцию дополнения. Кроме того,
используется ряд сокращений, среди которых \d = [0-9] (десятичные цифры),
\D = [л0-9], \s = [\s\t\r\n\f] (пробельные символы), \S = ["As\t\r\n\f].
Примеры
Выражение
/М[аи]ша/
/М[ла]ша/
Значение
Слова Маша и Миша
Слово Маша, в котором вторая буква обязательно
заменена на любой другой символ Десятичная
/[l-9]\d/
запись чисел от 10 до 99
Сложные регулярные выражения
Круглые скобки применяют для группировки, а символ I используется для
обозначения дизъюнкции регулярных выражений. Кроме того, если г —
некоторое регулярное выражение, то
ноль или более повторений г
г*
одно или более повторений г
г+
r{m,n> от т до п повторений г
r{m,} не менее т повторений г
ноль или одно повторение г
г?
Примеры
Выражение
Значение
Десятичная запись всех натуральных
/[l-9]\d*/
чисел
Слова Маша, МаМаша, МаМаМаша и так
/(Ma)+ша/
далее
Строка, начинающаяся с как минимум
/~\s+M[an]iiia\s*$/
одного пробельного символа, за которым следует одно из слов Маша или Миша
и, возможно, другие пробельные символы
Языки и регулярные выражения
С помощью регулярных выражений удобно описывать достаточно широкий
класс языков (также называемых регулярными).
Задача 1 Опишите язык, задаваемый
грамматикой G = (Е, TV, Р, S), где Е = {0,1}, N = {S, Т}, а множество правил Р
таково:
S -> ОТ | IS Г -)•
OS | IT Ответ 1
В данном случае язык пуст: L(G) = 0, поэтому использовать регулярные
выражения нет необходимости.
Задача 2
S ->• ОТ | 15
Т ->• ОТ | г
Ответ 2
Язык L(G) представляется так (при использовании синтаксиса регулярных
выражений Ruby): /1*0+/, что часто записывают в виде 1*0+.
Задача 3 5 ->• 05 | ОТ Г ->• IT | г
Ответ 3 L(G) = 0+1* или /0+1*/ в
Ruby. Задача 4 5 ->• ОТ | ГО | 1 Т
->• 05 | 50 Ответ 4
В данном случае язык L(G) состоит из всех цепочек над алфавитом {0,1},
содержащих чётное число нулей и ровно одну единицу, которая может быть
расположена на произвольной позиции. Он может быть задан пра-волинейной
грамматикой
5 -> IT | 010Г | 005 Г -> 00Т | г и регулярным
выражением
L(G) = (00)*(010 + 1)(00)* или /(00)*(010|1)(00)*/.
УПРАВЛЯЮЩИЕ КОНСТРУКЦИИ ЯЗЫКА RUBY
Операторы и выражения
В языках программирования различают операторы (statements) и вира(expressions). Последние характеризуются тем, что возвращают значение.
Замечание 1
В русском языке для выражений иногда используют термин «инструкции»,
что не слишком помогает избежать путаницы.
Замечание 2 В большинстве других языков
программирования условные операторы и различные операторы циклов
действительно являются операторами и не возвращают никакого значения. В
Ruby же почти всё является выражением!
Пример
i = gets.to_i
s = if
i <= 2 then "мало"
elsif i < 10 then "много"
else
end
puts s
"очень много"
Условные операторы IF и UNLESS
В операторе if-then-elsif-then-else-end количество elsif-ветвей может быть
любым, a else часть может отсутствовать. При этом ключевое слово then
необходимо только в случае написания выражения, вычисляемого при
некотором условии, на одной строке с ним.
Оператор unless-then-else-end является «отрицательной формой» оператора
if-then-else-end.
Пример конструкции CASE
i = gets.to_i s =
case i
when 0..2 then "мало"
when 3..9 then "много"
else
"очень много"
end
puts s
Ещё один пример
case gets.chop!
when "exit", "quit"
exit when /~\s*[l9]\d*\s*$/
puts "Число" when
/(\d*)\+(\d*)/
puts "#{$l.to_i+$2.to_i}"
else
puts
"Ошибка" end
Циклы WHILE и UNTIL
Как и условные операторы if и unless цикл while-end и его «отрицательная
форма» until-end могут быть использованы в форме модификаторов
выражений. Вот пример «однострочника» (oneliner), печатающего количество
введённых строк.
п = 0; п += 1 while gets; puts n
Итераторы
Циклы есть в большинстве языков программирования, но Ruby предоставляет
ещё одну возможность — в нём есть итераторы. С их помощью написать
правильную программу значительно легче.
3.times
do puts
"A" end
O.upto(3) do
puts "A"
end
2.downto(0) do
puts "A"
end
Примеры итераторов
(0..2).each do
puts "A"
end
[1, 2, 3].each do
puts "A"
end
["А","Б","В"].each do
puts "A"
end
Итератор LOOP
Конструкция
loop {
# Блок операторов
} представляет собой наиболее общую форму реализации идеи итерации
(бесконечного повторения некоторых действий). Прервать её выполнение
может либо возникновение исключительной ситуации, либо наличие в его
теле специальных контрольных операторов.
Контрольные операторы
Выполнение одного из следующих операторов внутри цикла или итератора
изменяет нормальную последовательность операций следующим образом.
Конструкция
Действие
Прерывает выполнение цикла (итератора)
break
Повторяет текущую итерацию с начала без пеredo
репроверки условия (для цикла) или повторной
next
обработки текущего элемента (для итератора)
Прерывает выполнение текущей итерации и наretry
чинает следующую
Повторяет выполнение цикла или итератора с
самого начала
Пример
Следующая программа напечатает число 12.
i=0
while i < 10 i = i
+1
next if i >= 12
redo if i >= 3
end puts i
Итератор FOR
В таких языках как Java, C++ и С, оператор for представляет собой
модифицированный while, дополненный выражениями, выполняемыми до
начала цикла и после каждой его итерации. В языке Ruby for является просто
«синтаксическим
сахаром»,
облегчающим
написание
итераторов
определённого вида. Следующие две конструкции эквивалентны.
for i in list
list.each do |i|
i.puts
i.puts
end
end
УПРАВЛЯЮЩИЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕРМИНАХ wp
Замечание Основным условным оператором,
имеющимся практически во всех языках программирования, является
оператор IF. Оператор WHILE играет аналогичную роль среди операторов
цикла. Поэтому именно их мы и определим формально с помощью
слабейшего предусловия, понимая под IF и WHILE следующие программы:
if е then SI
while е
else
S2
S
end
end
Определение оператора IF
wp("IF", R) = domain(e)&,&,
(e =>■ wp("Sl",R)) A (!e => wp("S2",R)).
Пример
В качестве примера использования этого определения убедимся в том, что
wp("x >= у ? z=x : z=y", z = тах(х, у)) = Т.
Решение
wp("x >= у ? z=x : z=y",z = тах(х,у)) = ( ( ( х ^ у) =>- w;p("z=x", z = max(х,
у)))А\(х ^ у) =>• "z=y",z = тах(х,у)) = (((х ^ у) =>■ (х = тах(х,у)))А\(х ^ у) =>■ (у
= тах(х,у))) = ((!(# ^ у) V (х = тах(х, у ) ) ) Л \ ( \ ( х ^ г/)) V (у = тах(х, у))) = (((ж
< г/) V (ж = тах(х, у))) А ( х ^ у ) У (у = тах(х,у))).
Продолжение решения
Покажем, что каждый из двух членов получившейся конъюнкции
(((х < у) V (х = тах(х, у ) ) ) Л (х ^ у) V (у = тах{х, у)))
является тавтологией.
Рассмотрим, например, первый из них — ( ( х < у)W(x = тах(х, у)). Если ж
< ?/, то истинен первый дизъюнктивный член. В противном случае х ^ у и
поэтому истинен её второй член.
Теорема об операторе IF
Пусть предикат Q удовлетворяет условию
((Q Л е) => wp(Sl, Д)) Л ((QA!e) =Ф wp(,S2, Л)).
Тогда (и только тогда)
Q =>■ wp("IF", R).
Вспомогательные определения
HQ(R) = domain{e)k,k,{\e A R),
Hk(R) = #fc_i(i2) V (domain(e)kkwp(S)Hk_l(R)))
Здесь предикат Hk(R) описывает множество всех состояний, в которых
выполнение цикла WHILE заканчивается не более, чем за к итераций, в
состоянии, удовлетворяющем R.
Определение оператора WHILE wp("miLE", R) = (Эк ^ 0Hk(R)). Пример Для
цикла WHILE с условием продолжения i < 1 и телом i += 1 и постусловия R
= (г = 1) имеем HQ(R) = (г ^ 1Лг = 1) = (г = 1). Действительно, именно при
таком предусловии выполнение цикла завершится за ноль итераций и даст
результат R.
Далее, легко посчитать wp(" IF", H0(R)) = (г + 1 = 1) = (г = 0) и Ях(Л) = (г =
1) V (г < 1 Л г = 0) = (г = 1 V г = 0).
Аналогично находим Я2(Д) = (z = l V z = 0 V i = — 1) и т. д.
Итоговое замечание
Определение цикла WHILE в терминах слабейшего предусловия не помогает, как мы чуть позже поймём, писать правильные программы. Поэтому для
этих целей нам потребуются иные методы.