Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений

ВЕСТНИК НОВОСИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Серия «Математика, механика, информатика»
Том VI, 2006 г. Выпуск 2. C. 6–32
УДК 517.95
Обратные экстремальные задачи для стационарных
уравнений тепловой конвекции1
Г. В. Алексеев
§ 1. Введение. Постановка прямой краевой задачи
Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым
постановкам задач в теоретической гидромеханике и тепловой конвекции. Примерами
таких задач являются задачи оптимального управления для моделей Навье–Стокса и
Обербека–Буссинеска [1, 2]. Теоретическому исследованию указанных задач посвящен
ряд работ, из которых отметим [3–9]. Задачи управления для близких моделей массопереноса и тепломассопереноса изучены в [10–15]. В цитированных работах исследованы
как теоретические вопросы, касающиеся разрешимости указанных задач и сходимости
конечноэлементных аппроксимаций, так и вычислительные аспекты разработки эффективных численных алгоритмов нахождения оптимальных решений.
Наряду с задачами оптимального управления важную роль в приложениях играют
обратные задачи для моделей тепловой конвекции. Они заключаются в восстановлении
неизвестных плотностей распределенных или граничных источников либо коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения или граничные условия рассматриваемой модели, по дополнительной информации о решении соответствующей краевой задачи. Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию
соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения соответствующего функционала качества, который далее минимизируется на слабых решениях задачи 1. Последнее позволяет исследовать как задачи управления, так и обратные задачи
с единых позиций теории задач условной оптимизации в гильбертовых пространствах.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проекты 04-01-00136 и 06-01-96020-р-восток-а), гранта поддержки ведущих научных школ (код: НШ9004.2006.1) и грантов ДВО РАН (проекты: 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-03-072)
c Г. В. Алексеев, 2006
6
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
Целью настоящей работы является теоретический анализ обратных экстремальных
задач для следующей модели тепловой конвекции:
−ν∆u + (u · grad)u + grad p = f − βT T G в Ω,
−λ∆T + u · gradT = f в Ω,
T = ψ на ΓD ,
div u = 0 в Ω,
u = g на Γ,
(1)
λ(∂T /∂n + αT ) = χ на ΓN .
(2)
Здесь Ω — ограниченная область из пространства Rd , d = 2, 3 с липшицевой границей Γ,
состоящей из двух частей ΓD и ΓN , u и T — скорость и температура в жидкости, p = P/ρ,
где P — давление, ρ = const — плотность жидкости, ν = const > 0 и λ = const > 0 —
коэффициенты вязкости и температуропроводности, f и f — объемные плотности внешних массовых сил и источников тепла, G = −(0, 0, G) — вектор ускорения свободного
падения, βT , g, ψ, α, χ — некоторые функции. Ниже на задачу (1), (2) при заданных
функциях f , g, βT , f , ψ, α и χ будем ссылаться как на задачу 1. Отметим, что все
величины, входящие в задачу (1), (2), считаются размерными, а для определения их
размерностей используется международная система единиц СИ.
Краевая задача (1), (2) исследована в [6], где доказана ее глобальная разрешимость и
локальная единственность. В [6] также сформулированы экстремальные задачи восстановления неизвестных плотностей граничных источников тепла и импульса, доказана
их разрешимость, выведены и проанализированы системы оптимальности.
В данной работе будет сформулирирована общая обратная экстремальная задача
для модели (1), (2). Она заключается в нахождении как плотностей распределенных
или граничных источников тепла и импульса, роль которых играют функции f, ψ, χ и
g, так и коэффициента α, входящего в граничное условие 3-го рода для T в (2). Мы докажем ее разрешимость, выведем и проанализируем системы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума. Основное внимание будет уделено установлению
достаточных условий на исходные данные, обеспечивающих локальную единственность
и устойчивость решений конкретных экстремальных задач. Указанные условия имеют
громоздкий вид. Чтобы сделать их более наглядными, мы введем в рассмотрение аналоги широко используемых в гидродинамике безразмерных параметров чисел Рейнольдса, Рэлея и Прандтля. С использованием безразмерных параметров указанные условия
единственности могут быть записаны в простой форме, близкой к форме условий единственности коэффициентных обратных задач для стационарного линейного уравнения
конвекции-диффузии.
Ниже будем широко использовать пространства Соболева H s (D), s ∈ R и Lr (D),
1 ≤ r ≤ 4, где D представляет собой либо область Ω или её подмножество Q, либо границу Γ или её некоторую часть Γ0 с положительной мерой. Соответствующие пространства вектор-функций будем обозначать через Hs (D) и Lr (D). Скалярные произведения
в L2 (Ω) будем обозначать через (·, ·), скалярные произведения в L2 (Q), L2 (Γ) либо в
L2 (Γ0 ) — через (·, ·)Q , (·, ·)Γ либо (·, ·)Γ0 , норму в L2 (Ω), L2 (Q) либо в L2 (Γ0 ) через · ,
7
Г. В. Алексеев
· Q либо · Γ0 , норму либо полунорму в H 1 (Ω) и H1 (Ω) — через · 1 либо | · |1 ,
норму в H 1/2 (Γ) — через · 1/2,Γ , соотношение двойственности для пары X и X ∗ —
через ·, ·X ∗ ×X или ·, · там, где это не приведет к путанице.
Пусть выполняются условия:
(i) Ω — ограниченная конечно-связная область в пространстве Rd с границей Γ ∈ C 0,1 ,
состоящей из n связных компонент Γ(i) , i = 1, 2, . . . , n;
(ii) открытые участки ΓD и ΓN границы Γ удовлетворяют условиям: ΓD ∈ C 0,1 ,
ΓD = ∅, ΓN ∈ C 0,1 , ΓD ∩ ΓN = ∅, Γ = ΓD ∪ ΓN .
Отметим, что при выполнении условий (i), (ii) существуют линейные непрерывные
операторы следа γ : H 1 (Ω) → H 1/2 (Γ), γ|Γ0 : H 1 (Ω) → H 1/2 (Γ0 ), где Γ0 - один из
1/2
участков ΓD и ΓN . Положим H 1/2 (Γ, Γ \ Γ0 ) = {ϕ ∈ H 1/2 (Γ) : ϕ|Γ\Γ0 = 0}, H0 (Γ0 ) =
{ϕ|Γ0 : ϕ ∈ H 1/2 (Γ, Γ \ Γ0 )}. Введем сопряженные пространства H −1 (Ω) = H01 (Ω)∗ и
H−1 (Ω) = H −1 (Ω)d . Хорошо известно [16], что при выполнении условия (i) справедливы
следующие неравенства, вытекающие из теоремы вложения и непрерывности операторов
следа:
SL4 (Ω) ≤ CΩ S1 ,
vL4 (Ω) ≤ CΩ u1 ,
SL2 (ΓN ) ≤ SL2 (Γ) ≤ CΓ S1 ,
CΩ = const,
(3)
SL4 (ΓN ) ≤ SL4 (Γ) ≤ C̃Γ S1 ,
CΓ , C̃Γ = const.
Главную роль при исследовании рассматриваемых задач будут играть пространства
V = {v ∈ H10 (Ω) : div v = 0}, L20 (Ω) = {p ∈ L2 (Ω) : (p, 1) = 0}, Z = {v ∈ L4 (Ω) :
div v = 0, v · n = 0 на ΓN }, T = H 1 (Ω, ΓD ) ≡ {S ∈ H 1 (Ω) : S|ΓD = 0}. Пространство V
является гильбертовым с нормой v → v1 , пространство Z является банаховым с нормой v → vL4 (Ω) , пространство T является гильбертовым с нормой ·1 , эквивалентной
полунорме | · |1 в силу неравенства Фридрихса-Пуанкаре́ T 1 ≤ cP |T |1 ∀T ∈ T .
Введем билинейные и трилинейные формы: a0 : H1 (Ω) × H1 (Ω) → R, b : H1 (Ω) ×
L20 (Ω) → R, a1 : H 1 (Ω) × H 1 (Ω) → R, b1 : H 1 (Ω) × H1 (Ω) → R, c : L4 (Ω) × H1 (Ω)
×H1 (Ω) → R c1 : L4 (Ω)×H 1 (Ω)×H 1 (Ω) → R для u, p и T , определяемые соотношениями
∇u · ∇vdΩ, b(v, q) = − q div v dΩ, c(u, v, w) =
[(u · grad )v] · w dΩ,
a0 (u, v) =
Ω
Ω
Ω
a1 (T, S) =
b1 S · v dΩ, c1 (u, T, S) = (u · grad T )S dΩ, (4)
∇T · ∇S dΩ, b1 (S, v) =
Ω
Ω
Ω
где b1 = βT G. Хорошо известно, что формы a0 и a1 непрерывны и коэрцитивны на V и
T соответственно, так что с некоторыми константами α0 > 0 и α1 > 0 имеем
a0 (v, v) ≥ δ0 v21 ∀v ∈ V,
a1 (S, S) ≥ δ1 S21 ∀S ∈ T .
(5)
Остальные введенные формы непрерывны и выполняются соотношения
c(u, v, w) = − c(u, w, v),
c(u, v, v) = 0 ∀u ∈ Z, (v, w) ∈ H1 (Ω) × H10 (Ω),
8
(6)
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
c1 (u, T, S) = − c1 (u, S, T ),
c1 (u, S, S) = 0 ∀u ∈ Z,
(T, S) ∈ H 1 (Ω) × T ,
(7)
c(u, v, w) ≤ γ0 u1 v1 w1
∀u ∈ H1 (Ω),
v ∈ H1 (Ω), w ∈ H10 (Ω),
(8)
|c1 (u, T, S)| ≤ γ1 u1 T 1 S1
∀u ∈ H1 (Ω),
T ∈ H 1 (Ω), S ∈ T ,
(9)
∀S ∈ H 1 (Ω), v ∈ H10 (Ω),
|b1 (S, v)| ≤ β1 v1 S1
|(χ, S)ΓN | ≤ χΓN SΓN ≤ γ2 χΓN S1
(10)
∀S ∈ T ,
(11)
1
|(αT, S)ΓN | ≤ αΓN T L4 (ΓN ) SL4 (ΓN ) ≤ γ3 αΓN T 1 S1 ∀T ∈ H (Ω), S ∈ T , (12)
|(T, S)Q | ≤ T Q SQ ≤ γ4 T Q S1
∀S ∈ T (Q ⊆ Ω).
(13)
Здесь γ0 , γ1 , . . . , γ4 , β1 — константы, зависящие от Ω. В частности, γ2 = CΓ , γ3 = (C̃Γ )2 ,
β1 = CΩ2 b1 .
§ 2. Определение, существование и единственность решения задачи 1
Введем в рассмотрение пространства
1
1
H̃ (Ω) = {u ∈ H (Ω) : u · n|ΓN = 0,
u · n dσ = 0, i = 1, . . . , n},
Γ(i)
H̃1/2 (Γ) = {u|Γ : u ∈ H̃1 (Ω)},
X = H̃1 (Ω) × L20 (Ω) × H 1 (Ω),
Y = H−1 (Ω) × L20 (Ω) × H̃1/2 (Γ) × T ∗ × H 1/2 (ΓD ).
(14)
Пусть в дополнение к (i), (ii) выполняются условия:
(iii) f ∈ H−1 (Ω), b1 ∈ L2 (Ω), β1 > 0;
(iv) g ∈ H̃1/2 (Γ), ψ ∈ H 1/2 (ΓD ), χ ∈ L2 (ΓN ), f ∈ L2 (Ω), α ∈ L2+ (ΓN ).
Умножим первое уравнение в (1) на функцию v ∈ H10 (Ω), второе — на функцию
q ∈ L20 (Ω), уравнение в (2) — на функцию S ∈ T , проинтегрируем по Ω с использованием
формул Грина и воспользуемся граничными условиями в (1), (2). В результате получим
слабую формулировку задачи 1. Она заключается в нахождении таких функций u ∈
∈ H̃1 (Ω), p ∈ L20 (Ω), T ∈ H 1 (Ω), что
νa0 (u, v) + c(u, u, v) + b(v, p) = f , v − b1 (T, v) ∀v ∈ H10 (Ω),
λa1 (T, S) + λ(αT, S)ΓN + c1 (u, T, S) = (f, S) + (χ, S)ΓN
b(u, q) = 0 ∀q ∈ L20 (Ω),
u = g на Γ,
∀S ∈ T ,
T = ψ на ΓD .
(15)
(16)
(17)
Определение 2.1. Слабым решением задачи 1 назовем любую тройку (u, p, T ) ∈ X,
удовлетворяющую соотношениям (15)–(17).
Справедлива следующая теорема, доказанная в [6].
9
Г. В. Алексеев
Теорема 2.1. Пусть выполняются условия (i)–(iv). Тогда существует по крайней мере
одно слабое решение (u, p, T ) задачи 1 и справедливы оценки
u1 ≤ Mu ,
p ≤ Mp ,
T 1 ≤ MT .
(18)
Здесь Mu , Mp и MT — неубывающие непрерывные функции норм f −1 , b1 , g1/2,Γ ,
f , ψ1/2,ΓD , χΓN , αΓN . Если к тому же функции f , b1 , g, f, ψ, χ и α «малы» (либо
вязкость ν «велика») в том смысле, что
γ0
1 β1 γ1
Mu +
MT < 1,
δ0 ν
δ0 ν δ1 λ
(19)
где константы δ0 , δ1 , γ0 , γ1 и β1 введены в (5), (8)–(10), то слабое решение задачи 1
единственно.
§ 3. Постановка и разрешимость обратных экстремальных задач
Сформулируем и исследуем ниже экстремальную задачу для модели (1), (2), в которой будем рассматривать в качестве возможных управлений функции ψ, α и χ, входящие
в граничные условия для T , плотность f источников тепла и граничную функцию g для
скорости u. Другими словами, мы разобьем множество всех исходных данных задачи 1
на две группы: группу управлений, куда внесем функции α, χ, ψ, f, g, играющие ниже
роль управлений, и группу фиксированных данных, куда внесем функции f и b1 .
Будем считать, что управления α, χ, ψ, f и g могут изменяться в некоторых множествах K1 , K2 , K3 , K4 , K5 . Через µ0 , µ1 , µ2 , µ3 , µ4 и µ5 обозначим неотрицательные
константы. Более точно, предположим, что выполняются условия
(j) K1 ⊂ L2+ (ΓN ), K2 ⊂ L2 (ΓN ), K3 ⊂ H 1/2 (ΓD ), K4 ⊂ L2 (Ω), K5 ⊂ H̃1/2 (Γ) — непустые замкнутые выпуклые множества; µ0 > 0, µl ≥ 0, l = 1, 2, 3, 4, 5.
Пусть J˜ : X ≡ H̃1 (Ω) × L20 (Ω) × H 1 (Ω) → R — слабо полунепрерывный снизу функционал. Полагая K ≡ K1 × K2 × K3 × K4 × K5 , x ≡ (u, p, T ), u0 = (f , b1 ), u ≡ (α, χ, ψ, f, g),
введем функционал J : X × K → R по формуле
µ2
µ3
µ4
µ5
µ1
˜
+ α2ΓN + χ2ΓN + ψ21/2,ΓD + f 2 + g21/2,Γ .
J(x, u) = µ0 J(x)
2
2
2
2
2
(20)
Подчеркнем, что неотрицательные параметры µl в (20), имеющие при l ≥ 1 смысл параметров штрафа, служат для регулирования относительной важности каждого из слагаемых в (20). Еще одна цель введения размерных параметров µl состоит в том, чтобы
уравнять размерности всех слагаемых в (20) (см. об этом ниже).
Предположим в дополнение к условию (j), что выполняется следующее условие:
(jj) Kl — ограниченное множество, либо µl > 0, 1 ≤ l ≤ 5 и J˜ ограничен снизу.
10
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
Рассматривая функционал J на слабых решениях задачи 1, запишем соответствующее ограничение, имеющее вид ее слабой формулировки (15)–(17), в виде
F (x, u) ≡ F (u, p, T, α, χ, ψ, f, g) = 0.
(21)
Здесь F ≡ (F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ) : X × K → Y — оператор, действующий по формулам
F1 (x, u), v = νa0 (u, v) + c(u, u, v) + b(v, p) + b1 (T, v) − f , v ∀v ∈ H10 (Ω),
F2 (x, u), q = b(u, q) ∀q ∈ L20 (Ω),
F3 (x, u) = γu − g,
F5 (x, u) = γ|ΓD T − ψ,
F4 (x, u), S = λa1 (T, S) + λ(αT, S)ΓN + c1 (u, T, S) − (f, S) − (χ, S)ΓN
∀S ∈ T .
(22)
Сформулируем следующую задачу условной минимизации:
J(x, u) ≡ J(u, p, T, α, χ, ψ, f, g) → inf,
F (x, u) = 0,
(x, u) ∈ X × K.
(23)
В качестве возможных функционалов качества будем рассматривать следующие:
2
2
J0 (x) =
|∇u| dΩ, J1 (x) = T 1 , J2 (x) =
|∇T |2 dΩ, J3 (x) = T − Td 2Q . (24)
Ω
Здесь Td ∈
Ω
L2 (Q)
— заданная функция. (О физическом смысле введенных функционалов
качества можно прочитать в [6, 15]).
Пусть X ∗ ≡ H̃1 (Ω)∗ × L20 (Ω) × H 1 (Ω)∗ и Y ∗ ≡ H10 (Ω) × L20 (Ω) × H̃1/2 (Γ)∗ × T ×
×H 1/2 (ΓD )∗ — двойственные пространства к введенным в (14) произведениям X и Y .
Обозначим через Fx (x̂, û) : X → Y производную Фреше от оператора F по состоянию x
в точке (x̂, û). Через Fx (x̂, û)∗ : Y ∗ → X ∗ обозначим сопряженный к Fx (x̂, û) оператор,
однозначно определяемый по Fx (x̂, û) соотношением
Fx (x̂, û)∗ y∗ , xX ∗ ×X = y∗ , Fx (x̂, û)xY ∗ ×Y
∀x ∈ X, y∗ ∈ Y ∗ .
В соответствии с общей теорией экстремальных задач [17] введем в рассмотрение
элемент y∗ = (ξ, s, ζ, θ, ζ1 ) ∈ Y ∗ , на который будем ниже ссылаться как на сопряженное
состояние, и лагранжиан L : X × K × R+ × Y ∗ → R, где R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}, по
формуле
L(x, u, λ0 , y∗ ) = λ0 J(x, u) + y∗ , F (x, u) ≡ λ0 J(x, u) + F1 (x, u), ξ +
+ (F2 (x, u), s) + ζ, F3 (x, u)Γ + æF4 (x, u), θT ∗ ×T + æζ1 , F5 (x, u)ΓD . (25)
Здесь и ниже ζ, ·Γ = ζ, ·H̃1/2 (Γ)∗ ×H̃1/2 (Γ) , ζ1 , ·ΓD ≡ ζ1 , ·H 1/2 (ΓD )∗ ×H 1/2 (ΓD ) , а æ —
вспомогательный размерный параметр. Его размерность [æ] выберем так, чтобы размерности величин ξ, s, θ сопряженного состояния совпадали с размерностями соответствующих величин основного состояния, т. е. чтобы выполнялись следующие соотношения:
[ξ] = [u] = L0 /T0 ,
[θ] = [T ] = K0 ,
11
[s] = [p] = L20 /T02 .
(26)
Г. В. Алексеев
Здесь и ниже L0 , T0 , M0 , K0 обозначают размерности в системе СИ единиц длины, времени, массы и температуры, выражаемые соответственно в метрах, секундах и градусах
Кельвина. Это позволит ниже ссылаться на величины ξ, s и θ как на «сопряженную»
скорость, «сопряженное» давление и «сопряженную» температуру. Простой анализ соотношения (25) показывает, что необходимым условием выполнения (26) является следующий выбор размерности [æ]:
[æ] = L20 /T02 K02 .
(27)
Положим Zad = {(x, u) ∈ X × K : F (x, u) = 0, J(x, u) < ∞}. Следующие теоремы
устанавливают достаточные условия разрешимости задачи управления (23), справедливости для нее принципа Лагранжа и условия регулярности множителя Лагранжа.
Теорема 3.1. Пусть при выполнении условий (i)–(iii), (j), (jj) J˜ : X → R — слабо
полунепрерывный снизу функционал и Zad = ∅. Тогда существует по крайней мере одно
решение задачи управления (23).
Следствие 3.1. Пусть при выполнении условий (i)–(iii) и (j) µl > 0 либо µl ≥ 0 и Kl —
ограниченные множества при 1 ≤ l ≤ 5. Тогда существует по крайней мере одно решение
задачи (23) при J˜ = Jk , 0 ≤ k ≤ 3.
Теорема 3.2. При выполнении условий (i)–(iii) и (j) оператор Fx (x̂, û) : X → Y является
фредгольмовым для любой пары (x̂, û) ∈ X × K.
Теорема 3.3. Пусть при выполнении условий (i)–(iii) и (j) элемент (x̂, û) ≡ (û, p̂, T̂ , α̂, χ̂,
ψ̂, fˆ, ĝ) ∈ X × K является точкой локального минимума в задаче (23), причем функционал J непрерывно дифференцируем по x в точке x̂ для любого элемента u ∈ K
и выпуклый по u для каждой точки x ∈ X. Тогда существует ненулевой множитель
Лагранжа (λ0 , y∗ ) ∈ R+ × Y ∗ такой, что справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа
Fx (x̂, û)∗ y∗ + λ0 Jx (x̂, û) = 0 в X ∗ ,
(28)
эквивалентное тождествам
νa0 (w, ξ) + c(û, w, ξ) + c(w, û, ξ) + æc1 (w, T̂ , θ) +
+ b(w, s) + ζ, wΓ + λ0 Ju (x̂, û), w = 0 ∀w ∈ H̃1 (Ω), (29)
æ[λa1 (τ, θ) + λ(α̂τ, θ)ΓN + c1 (û, τ, θ) +
+ ζ1 , τ ΓD ] + b1 (τ, ξ) + λ0 JT (x̂, û), τ = 0 ∀τ ∈ H 1 (Ω), (30)
b(ξ, r) + λ0 (Jp (x̂, û), r) = 0 ∀r ∈ L20 (Ω),
(31)
и выполняется принцип минимума
L(x̂, û, λ0 , y∗ ) ≤ L(x̂, u, λ0 , y∗ ) ∀u ∈ K,
12
(32)
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
эквивалентный вариационному неравенству
æ[−λ((α − α̂)T̂ , θ)ΓN + (χ − χ̂, θ)ΓN + ζ1 , ψ − ψ̂ΓD + (f − fˆ, θ)] + ζ, g − ĝΓ ≤
≤ λ0 [J(x̂, u) − J(x̂, û)] ∀u ∈ K. (33)
Теорема 3.4. Пусть выполняются условия теоремы 3.3 и неравенство (19) для всех
u ∈ K. Тогда любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (28), регулярен, т. е. имеет вид (1, y∗ ) и определяется единственным образом.
Ограничимся здесь доказательством теоремы 3.4. Доказательства остальных теорем
аналогичны доказательствам соответствующих теорем в [6].
Для доказательства регулярности множителя Лагранжа достаточно показать, что
система (29)–(31) при λ0 = 0, элементы x̂ = (û, p̂, T̂ ) и û = (α̂, χ̂, ψ̂, fˆ, ĝ) которой связаны
соотношением F (x̂, û) = 0, имеет лишь тривиальное решение. Предположим противное,
т. е. что существует хотя бы одно нетривиальное решение y∗ = (ξ, σ, ζ, θ, ζ1 ) системы
(29)–(31) при λ0 = 0, где элементы x̂ = (û, p̂, T̂ ) и û связаны соотношением F (x̂, û) =
= 0. Тогда, полагая в ней w = ξ, r = s, τ = θ, приходим к равенству b(ξ, s) = 0 и
соотношениям
νa0 (ξ, ξ) = −c(ξ, û, ξ) − æc1 (ξ, T̂ , θ),
(34)
æ[λa1 (θ, θ) + λ(α̂θ, θ)ΓN ] = −b1 (θ, ξ).
(35)
Используя (8)–(10) и оценки (18) для решения x̂ = (û, p̂, T̂ ), имеем
|c(ξ, û, ξ)| ≤ γ0 û1 ξ21 ≤ γ0 Mu (u0 , û)ξ21 ,
æ|c1 (ξ, T̂ , θ)| ≤ γ1 æξ1 T̂ 1 θ1 ≤ γ1 æMT (u0 , û)ξ1 θ1 ,
|b1 (θ, ξ)| ≤ β1 θ1 ξ1 .
(36)
(37)
Учитывая (37), (5) и условие α̂ ≥ 0, из (35) выводим, что
θ1 ≤ (β1 /δ1 λæ)ξ1 .
Используя (36), (37), (38) и (5), из (34) получаем, что
β1 γ1
2
δ0 νξ1 ≤ νa0 (ξ, ξ) ≤ γ0 Mu (u0 , û) +
MT (u0 , û) ξ21 .
δ1 λ
(38)
(39)
Переписав (39) в виде
β1 γ1
δ0 ν − γ0 Mu (u0 , û) −
MT (u0 , û) ξ21 ≤ 0,
δ1 λ
(40)
приходим к выводу в силу (19), что ξ = 0. Из (38) и (29), далее выводим, что θ = 0,
s = 0, т. е. y∗ = 0, а из фредгольмовости оператора Fx (x̂, û)∗ при фиксированной паре
(x̂, û), вытекающей из теоремы 3.2, следует единственность множителя (1, y∗ ).
13
Г. В. Алексеев
Соотношения (29)–(31) вместе с вариационным неравенством (33) и операторным
ограничением (21) представляют собой систему оптимальности. Она состоит из трех
частей. Первая ее часть имеет вид слабой формулировки (15)–(17) задачи 1, эквивалентной операторному уравнению (21), вторая часть состоит из тождеств (29)–(31) для
множителей Лагранжа ξ, s, ζ, θ, ζ1 и, наконец, последняя часть представляет собой принцип минимума (32), эквивалентный неравенству (33) относительно управлений α̂, χ̂, ψ̂, fˆ
и ĝ. Из условий ξ ∈ H10 (Ω), θ ∈ T и (31) вытекает, что пара лагранжевых множителей
(ξ, θ), сопряженная к паре (u, T ), обладает следующими свойствами:
ξ|Γ = 0,
θ|ΓD = 0 и
div ξ = −λ0 Jp (x̂, û) в Ω.
(41)
Отметим, что «сопряженная» скорость ξ в общем случае не обладает свойством соленоидальности, исключая ситуацию, когда J не зависит от давления p. Лишь в этом случае
из (41) вытекает, что div ξ = 0, так что ξ является элементом из пространства V.
Следующий этап состоит в выводе из тождеств (29)–(31) дифференциальных уравнений и граничных соотношений для множителей Лагранжа. Этот этап проводится по
схеме, развитой в [6]. Поэтому ограничимся здесь приведением соответствующих результатов. Обозначим через SH : H̃1 (Ω)∗ → H−1 (Ω), SH : H 1 (Ω)∗ → H −1 (Ω) – линейные
непрерывные канонические операторы. Справедлива теорема
Теорема 3.5. Пусть выполняются условия теоремы 3.3. Тогда существуют функции
ξ ∈ H10 (Ω), s ∈ L20 (Ω), ζ ∈ H̃1/2 (Γ)∗ , θ ∈ T , ζ1 ∈ H 1/2 (ΓD )∗ и константа λ0 ≥ 0, которые
вместе с решением (x̂, û) = (û, p̂, T̂ , α̂, χ̂, ψ̂, fˆ, ĝ) экстремальной задачи (23) удовлетворяют уравнениям
−ν∆ξ − (û · ∇)ξ + ∇ûT · ξ + ∇s + æθ∇T̂ = − λ0 SH Ju (x̂, û) в H−1 (Ω),
(42)
−æ[λ∆θ + û · ∇θ] + b · ξ = − λ0 SH JT (x̂, û) в H −1 (Ω),
(43)
интегральным тождествам (29)–(31) и принципу минимума (32).
Замечание 3.1. Отметим, что все исходные данные краевой задачи (1), (2) выше были
разбиты на две группы: группу жестких данных, куда вошли функции f , b1 , и группу
управлений, куда вошли α, χ, ψ, f, g. В результате такого разбиения была сформулирована задача управления (23) и выведена система оптимальности, состоящая из соотношения (21), уравнения Эйлера-Лагранжа (28), эквивалентного тождествам (29)–(31),
и принципа минимума (32), эквивалентного вариационному неравенству (33). Указанную систему оптимальности можно без труда преобразовать в случае, когда некоторые
элементы из группы управлений переходят в группу жестких данных и наоборот. Так,
например, предположение о том, что g не является управлением, эквивалентно тому,
что множество K5 содержит фиксированный элемент: K5 = {g}. Уравнение ЭйлераЛагранжа (28) при этом не изменяется, поскольку оно получается дифференцированием
14
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
лагранжиана L по переменным состояния, а не по управлениям. Что касается принципа минимума, то формально он будет иметь тот же вид (32), но где следует положить
û = (α̂, χ̂, ψ̂, fˆ), u = (α, χ, ψ, f ), K = K1 × K2 × K3 × K4 . С учетом последнего соответствующее неравенство (33) упрощается за счет отбрасывания последнего слагаемого в
левой части.
Отметим, что условие (19) носит в определенном смысле универсальный характер,
поскольку при выполнении (19) имеет место единственность как решения прямой задачи
(15)–(17), эквивалентной операторному уравнению (21), так и решения y∗ операторного уравнения Эйлера–Лагранжа (28) (при λ0 = 1 и заданной тройке (û, p̂, T̂ )). Однако
отсюда еще не вытекает единственность решения (x, u, y∗ ) всей системы оптимальности
в целом. Для обеспечения единственности указанного решения (x, u, y∗ ) нам придется наложить на исходные данные задачи (23), к числу которых относятся постоянные
коэффициенты ν, λ, функции f , b1 , входящие в группу жестких данных, а также само
множество K, входящее в постановку задачи управления (23), дополнительные ограничения. Этим вопросом мы займемся в следующем параграфе.
§ 4. Единственность решений обратных экстремальных задач
В этом параграфе мы займемся исследованием единственности решений рассматриваемых обратных экстремальных задач. Применим для этого методику, разработанную
в [15]. Данная методика существенно использует систему оптимальности для рассматриваемой задачи управления.
Предварительно отметим, что введенные в (24) функционалы качества можно разбить на две группы: первая группа содержит функционалы J1 , J2 , J3 , зависящие только
от температуры T , тогда как вторая содержит функционал J0 , зависящий только от
скорости. В свою очередь все управления можно разбить на две группы: группу «температурных» управлений, содержащую функции α, χ, ψ и f , и группу гидродинамических
управлений, состоящую из одного управления g. Следовательно, общая задача управления (23) содержит большое количество конкретных задач управления. Выделим среди
них две группы. Первая содержит «температурные» задачи управления, в которых как
функционал качества, так и управление имеют температурный тип. Вторая группа содержит «гидродинамические» задачи управления. Ограничимся ниже исследованием
единственности решения конкретных экстремальных задач температурного типа.
Будем предполагать, что выполняется условие
1 β1 γ1 0
1
γ0 0
Mu +
MT < ,
δ0 ν
δ0 ν δ1 λ
2
где
Mu0 = sup Mu (u0 , u),
MT0 = sup MT (u0 , u).
u∈K
u∈K
15
(44)
Г. В. Алексеев
Чтобы придать условиям (44) наглядный вид и существенно упростить дальнейшие выкладки, введем в рассмотрение следующие параметры:
Re =
γ0 Mu0
,
δ0 ν
Ra =
γ1 β1 0
M ,
δ1 λ δ0 ν T
π=
δ0 ν
.
δ1 λ
(45)
Они являются аналогами широко используемых в механике жидкости безразмерных
параметров: числа Рейнольдса Re, числа Рэлея Ra, а также числа Прандтля Pr. С использованием (45) условие (44) принимает вид
Re + Ra < 1/2.
(46)
Для обоснования корректности введенных обозначений необходимо показать, что все
введенные в (45) параметры являются безразмерными. Для этого нужно знать размерности всех констант δ0 , δ1 , γ0 , γ1 , β1 , а также величин Mu0 , MT0 и Mp0 , входящих в (45).
Чтобы их определить, условимся под основными нормами u, |u|1 и u1 , где u — произвольная скалярная величина, понимать следующие выражения:
2
2
2
u dΩ, |u|1 =
|∇u|2 dΩ, u21 = l−2 u2 + |u|21 .
u =
Ω
Ω
(47)
Здесь l — размерный множитель с размерностью [l] = L0 , величина которого равна 1.
Используя (47), легко выводим, что размерности норм u, |u|1 и u1 связаны с размерностью [u] самой величины u соотношениями
3/2
[u] = [u]L0 ,
1/2
[|u|1 ] = [u1 ] = [u]L0 .
(48)
Отсюда и из оценок (5), (8)–(10) следует, что размерности констант δ0 , δ1 , γ0 , γ1 и β1
определяются соотношениями
[δ0 ] = [δ1 ] = 1,
1/2
[γ0 ] = [γ1 ] = L0 ,
[β1 ] =
L30
.
T02 K0
(49)
Из (48), (49) и (18) в свою очередь вытекает, что
3/2
[Mu0 ] = [Mu ] = [u1 ] = L0 /T0 ,
1/2
[MT0 ] = [T 1 ] = K0 L0 ,
7/2
[Mp0 ] = L0 /T02 .
(50)
Используя (49), (50), далее легко выводим, что все величины Re, Ra и π, введенные в
(45), действительно являются безразмерными.
§ 4.1. Общее свойство решений задач управления
Пусть (x̂, û) ≡ (û, p̂, T̂ , û) — решение задачи (23). В силу теорем 3.3, 3.4 (при выполнении условий теоремы 3.3) существует единственный множитель Лагранжа (1, y∗ ) ≡
≡ (1, ξ, s, ζ, θ, ζ1 ), с которым выполняются тождества (29)–(31), где следует положить
16
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
λ0 = 1, и вариационное неравенство (33). Предположим теперь, что существуют два
решения (xi , ui ) ≡ (ui , pi , Ti , αi , χi , ψi , fi , gi ), i = 1, 2 задачи (23). В силу теоремы 2.1 для
ui и Ti справедливы оценки вида
ui 1 ≤ Mu0 ,
Ti 1 ≤ MT0 ,
i = 1, 2.
(51)
Обозначим через (1, yi∗ ) ≡ (1, ξi , si , ζi , θi , ζi1 ) отвечающие решениям (xi , ui ) множители Лагранжа. Положим α = α1 − α2 , χ = χ1 − χ2 , ψ = ψ1 − ψ2 , f = f1 − f2 , g = g1 − g2 ,
ξ = ξ1 − ξ2 ,
u = u1 − u2 ,
p = p1 − p2 ,
s = s1 − s2 ,
θ = θ1 − θ2 ,
T = T1 − T2 ,
ζ = ζ1 − ζ2 ,
ζ1 = ζ11 − ζ12 .
(52)
Вычтем соотношения (15)–(17), записанные для u2 , p2 , T2 , u2 , из этих же тождеств
для u1 , p1 , T1 , u1 . Будем иметь
νa0 (u, v) + [c(u, u1 , v) + c(u2 , u, v)] + b(v, p) + b1 (T, v) = 0 ∀v ∈ H10 (Ω),
(53)
λa1 (T, S) + λ(α1 T, S)ΓN + λ(αT2 , S)ΓN + c1 (u, T1 , S) + c1 (u2 , T, S) =
= (f, S) + (χ, S)ΓN
b(u, q) = 0 ∀q ∈ L20 (Ω),
u|Γ = g,
∀S ∈ T , (54)
T |ΓD = ψ.
(55)
Положим в (53), (54) v = ξ, S = æ θ и сложим. Получим
νa0 (u, ξ) + [c(u, u1 , ξ) + c(u2 , u, ξ)] + b(ξ, p) + b1 (T, ξ) +
+ æ[λa1 (T, θ) + λ(α1 T, θ)ΓN + λ(αT2 , θ)ΓN + c1 (u, T1 , θ) + c1 (u2 , T, θ)] =
= æ[(f, θ) + (χ, θ)ΓN ]. (56)
Вычтем друг из друга тождества (29)–(31) при λ0 = 1, записанные для (x1 , u1 , y1∗ ) и
(x2 , u2 , y2∗ ). Будем иметь
νa0 (w, ξ) + c(u1 , w, ξ) + c(u, w, ξ2 ) + c(w, u1 , ξ) + c(w, u, ξ2 ) + æc1 (w, T1 , θ) +
+ æc1 (w, T, θ2 ) + b(w, s) + ζ, wΓ = −Ju (x1 , u1 ) − Ju (x2 , u2 ), w ∀w ∈ H̃1 (Ω), (57)
æ[λa1 (τ, θ) + λ(α1 τ, θ)ΓN + λ(ατ, θ2 )ΓN + c1 (u1 , τ, θ) + c1 (u, τ, θ2 ) + ζ1 , τ ΓD ]
+ b1 (τ, ξ) = −JT (x1 , u1 ) − JT (x2 , u2 ), τ ∀τ ∈ H 1 (Ω), (58)
b(ξ, r) = −Jp (x1 , u1 ) − Jp (x2 , u2 ), r ∀r ∈ L20 (Ω).
(59)
Положим здесь w = u, τ =T , r= p и сложим. Учитывая, что b(u, s) = 0, получим
νa0 (u, ξ) + c(u1 , u, ξ) + 2c(u, u, ξ2 ) + c(u, u1 , ξ) + æc1 (u, T1 , θ) + æc1 (u, T, θ2 ) + ζ, gΓ +
+ æ[λa2 (T, θ) + λ(α1 T, θ)ΓN + λ(αT, θ2 )ΓN + c1 (u1 , T, θ) + c1 (u, T, θ2 ) + ζ1 , ψΓD ] +
17
Г. В. Алексеев
+ b1 (T, ξ) + b(ξ, p) = −Ju (x1 , u1 ) − Ju (x2 , u2 ), u −
− JT (x1 , u1 ) − JT (x2 , u2 ), T − (Jp (x1 , u1 ) − Jp (x2 , u2 ), p). (60)
Полагая далее u = u2 в неравенстве (33) для u1 и u = u1 в неравенстве (33) для u2 и
складывая полученные неравенства, будем иметь
−æ(χ, θ)ΓN − æζ1 , ψΓD − æ(f, θ) − ζ, gΓ + λæ(αT1 , θ1 )ΓN − λæ(αT2 , θ2 )ΓN ≤ 0.
(61)
Вычтем (56) из (60) и сложим с (61). Учитывая тождества вида
2c1 (u, u, ξ2 ) + c(u1 , u, ξ) − c1 (u2 , u, ξ) = 2c(u, u, ξ2 ) + c1 (u, u, ξ) = c1 (u, u, ξ1 + ξ2 ),
2c1 (u, T, θ2 ) + c1 (u, T1 , θ) − c1 (u, T2 , θ) = c1 (u, T, θ1 + θ2 ),
(αT, θ2 )ΓN − (αT2 , θ)ΓN + (αT1 , θ1 )ΓN − (αT2 , θ2 )ΓN = (αT, θ1 + θ2 )ΓN ,
(62)
приходим к соотношению
c(u, u, ξ1 + ξ2 ) + æc1 (u, T, θ1 + θ2 ) + λæ(αT, θ1 + θ2 )ΓN ≤ −Ju (x1 , u1 ) − Ju (x2 , u2 ), u −
− JT (x1 , u1 ) − JT (x2 , u2 ), T − (Jp (x1 , u1 ) − Jp (x2 , u2 ), p).
(63)
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 4.1. При выполнении условий теоремы 3.3 для любой пары (xi , ui , yi∗ ) решений
системы оптимальности (21), (28), (32) справедливо соотношение (63).
Замечание 4.1. Отметим, что условие (63) справедливо для разности любых двух
решений (x∗i , ui , yi∗ ), i = 1, 2 системы оптимальности, выведенной в §3 для задачи (23).
Простой анализ показывает, что оно остается справедливым и в случае, когда некоторые из управлений, а именно χ, ψ, f и g переходят в группу жестких данных и, наоборот, заданная функция f переходит в группу управлений. Изменение соотношения
(63) происходит лишь в том случае, когда функция α перестает быть управлением, т. е.
переходит в группу жестких данных, либо когда функция b1 , входящая в тождество
(15), переходит в группу управлений. Это связано с нелинейным вхождением управления α (либо b1 ) в операторное ограничение (21) (см. §3). При этом в случае, когда α
переходит в группу жестких данных, необходимые изменения предварительно следует
внести в (54), (56), (60), где суммы λ(α1 T, S)ΓN + λ(αT2 , S)ΓN , λ(α1 T, θ)ΓN + λ(αT2 , θ)ΓN
и λ(α1 T, θ)ΓN + λ(αT, θ2 )ΓN следует заменить соответственно слагаемыми λ(αT, S)ΓN ,
λ(αT, θ)ΓN и λ(αT, θ)ΓN , а также в (61), где следует отбросить слагаемые с α. В результате этого (61) примет вид
−æ(χ, θ)ΓN − æζ3 , ψΓD − æ(f, θ) − ζ, gΓ ≤ 0.
С учетом указанных изменений неравенство (63) принимает следующий вид:
18
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
c(u, u, ξ1 + ξ2 ) + æc1 (u, T, θ1 + θ2 ) ≤ −Ju (x1 , u1 ) − Ju (x2 , u2 ), u −
− JT (x1 , u1 ) − JT (x2 , u2 ), T − (Jp (x1 , u1 ) − Jp (x2 , u2 ), p). (64)
(64) получается отбрасыванием из левой части (63) слагаемого λ æ(αT , θ1 + θ2 )ΓN , обусловленного именно тем, что α является управлением. Если же b1 становится управлением, то тогда в левую часть (63) следует добавить слагаемое (b1 T, ξ1 + ξ2 ).
§ 4.2. Локальная единственность решения обратной задачи нахождения
плотностей источников
Основываясь на теореме 4.1, установим достаточные условия единственности задачи
управления температурного типа в случае, когда функционал качества зависит лишь от
температуры T , а управлениями являются «температурные» данные (плотности распределеннных и граничных источников) χ, ψ и f . Это эквивалентно в силу замечания 3.1
выбору в качестве K1 и K5 фиксированных элементов α ∈ L2+ (ΓN ) и g ∈ H̃1/2 (Γ). С
учетом этого положим u0 = (f , b1 , g, α), u = (χ, ψ, f ), K = K2 × K3 × K4 . Выбирая для
конкретности J˜ = J1 , рассмотрим экстремальную задачу
J(x) ≡
µ0
µ2
µ3
µ4
T 21 + χ2ΓN + ψ21/2,ΓD + f 2 → inf,
2
2
2
2
F (x, u) = 0, x ∈ X,
u ∈ K.
(65)
Отметим, что в условиях задачи (65) соотношение (53) не изменяется, в (55) следует
положить g = 0, а отвечающее задаче (65) изменение в (54) приводит к замене (63)
неравенством (64), в котором следует учесть, что
(J1 )u = 0,
(J1 )T (xi , ui ), τ = µ0 (Ti , τ )1 ,
(J1 )p = 0,
i = 1, 2.
(66)
Таким образом, для задачи (65) соотношения (55) и (64) принимают вид
b(u, q) = 0 ∀q ∈ L20 (Ω),
u|Γ = 0,
T |ΓD = ψ ≡ ψ1 − ψ2 ,
c(u, u, ξ1 + ξ2 ) + æ c1 (u, T, θ1 + θ2 ) + µ0 T 21 ≤ 0.
(67)
(68)
В силу (67) u ∈ V. Положим в (53) v = u. Получим в силу условия div u = 0 и (6), что
νa0 (u, u) + c(u, u1 , u) + b1 (T, u) = 0,
b(u, p) = 0.
(69)
Используя (8), (10) и (51), имеем
|c(u, u1 , u)| ≤ γ0 u1 1 u21 ≤ γ0 Mu0 u21 ,
|b1 (T, u)| ≤ β1 u1 T 1 .
(70)
Учитывая (5), (70), из (69) выводим, что
(δ0 ν − γ0 Mu0 )u21 ≤ β1 T 1 u1 .
19
(71)
Г. В. Алексеев
Из (44) вытекает, что
β1 γ1 0
δ0 ν
< δ0 ν − γ0 Mu0 −
M ≤ δ0 ν − γ0 Mu0 .
2
α1 λ T
(72)
Используя (72), из (71) выводим, что
δ0 ν
u21 < β1 T 1 u1 .
2
(73)
Отсюда получаем следующую оценку для u1 относительно T 1 :
u1 <
2β1
T 1 .
δ0 ν
(74)
Запишем соотношения (29)–(31) для ξi , si , ζi , θi и ζi1 при λ0 = 1, J = J1 , û = ui ,
T̂ = Ti , i = 1, 2 и положим w = ξi ∈ V, τ = θi ∈ T , r = si . Учитывая (66), получим
b(ξi , si ) = 0 и соотношения
νa0 (ξi , ξi ) + c(ξi , ui , ξi ) + æ c1 (ξi , Ti , θi ) = 0,
æ[λa1 (θi , θi ) + λ(αθi , θi )ΓN ] = −b1 (θi , ξi ) − µ0 (Ti , θi )1 ,
(75)
i = 1, 2.
(76)
Рассуждая, как при выводе (74) из (69), из (76) и (75) последовательно выводим
β1
µ0
ξi 1 +
M0,
α1 λæ
α1 λæ T
β1 γ1 0
γ1 µ0
(δ0 ν − γ0 Mu0 −
MT )ξi 21 ≤
(MT0 )2 ξi 1 .
δ1 λ
δ1 λ
θi 1 ≤
(77)
(78)
Из (78) выводим с учетом (72), что
γ1 µ0
δ0 ν
ξi 21 <
(MT0 )2 ξi 1 .
2
δ1 λ
(79)
Отсюда и (77) приходим с учетом обозначений в (45) к следующим оценкам для ξi , θi :
ξi 1 <
2µ0 MT0 Ra
2 γ1 µ0 MT0 0
,
MT =
δ0 ν δ1 λ
β1
θi 1 <
µ0 MT0 (2Ra + 1)
.
δ1 λæ
(80)
Используя (8), (9) и оценки (74), (80), имеем далее, что
|c(u, u, ξ1 + ξ2 )| ≤ γ0 u21 (ξ1 1 + ξ2 1 ) < γ0
2β1
δ0 ν
2
4Ra
µ0 MT0 T 21 ,
β1
æ|c1 (u, T, θ1 + θ2 )| ≤ æγ1 u1 T 1 (θ1 1 + θ2 1 ) <
2β1
2
(2Ra + 1)µ0 MT0 T 21 .
< γ1
δ0 ν δ1 λ
20
(81)
(82)
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
Пусть исходные данные для задачи (65) таковы, что выполняется неравенство
4Ra 4γ0
M0 (Ra, π) ≡
Ra + π(2Ra + 1) < 1.
π
γ1
(83)
(Отметим, что константа M0 безразмерна). Из (81), (82) выводим с учетом (83), что
|c(u, u, ξ1 + ξ2 ) + æc1 (u, T, θ1 + θ2 )| <
4β1 γ1 µ0 MT0 4γ0
δ0 ν
Ra +
(2Ra + 1) T 21 ≡ µ0 M0 (Ra, π)T 21 < µ0 T 21 . (84)
<
(δ0 ν)2
γ1
δ1 λ
Из (84) и (68) вытекает, что T = 0, а из (74), (53) и (67) следует, что u = 0, p = 0 и ψ = 0.
В таком случае (54) принимает вид (f, S) + (χ, S)ΓN = 0 ∀S ∈ T . Отсюда следует, что
f = 0 и χ = 0. Сформулируем полученный результат.
Теорема 4.2. Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) α ∈ L2+ (ΓN ) и g ∈ H̃1/2 (Γ) —
фиксированные элементы, K2 ⊂ L2 (ΓN ), K3 ⊂ H 1/2 (ΓD ) и K4 ⊂ L2 (Ω) — ограниченные
выпуклые замкнутые множества, причем µ0 > 0, µ2 ≥ 0, µ3 ≥ 0, µ4 ≥ 0, и пусть
выполняются условия (46), (83). Тогда решение ((u, p, T ), χ, ψ, f ) ∈ X × K2 × K3 × K4
задачи (65) единственно.
Следствие 4.1. При выполнении условий теоремы 4.2 система оптимальности для
задачи (65) имеет единственное решение ((u, p, T ), χ, ψ, f, y∗ ) ∈ X × K2 × K3 × K4 × Y ∗ .
Замечание 4.2. Из приведенных выше рассуждений фактически следует результат о
единственности не только решения, но и точки локального минимума в задаче (65).
Замечание 4.3. По аналогичной схеме доказывается единственность решения задачи
вида (65) при замене в ее формулировке нормы T 1 полунормой |T |1 , если предположить, что роль K3 играет множество функций из H 1/2 (ΓD ), совпадающих на некотором
участке Γ0D ⊂ ΓD с функцией ψ0 ∈ H 1/2 (Γ0D ).
§ 4.3. Локальная единственность решения коэффициентной
обратной задачи
Исследуем в этом пункте обратную экстремальную задачу температурного типа, отвечающую ситуации, когда роль единственного управления играет функция α, входящая
в граничное условие 3-го рода для T в (2). Это эквивалентно согласно замечанию 3.1 выбору в качестве K2 , K3 , K4 и K5 фиксированных элементов χ ∈ L2 (ΓN ), ψ ∈ H 1/2 (ΓD ),
f ∈ L2 (Ω) и g ∈ H̃1/2 (Γ). Опять выбирая в качестве функционала качества J˜ функционал J1 , рассмотрим следующую экстремальную задачу:
J(x) =
µ1
µ0
T 21 + α2ΓN → inf,
2
2
F (x, u) = 0, x ∈ X, u = α ∈ K = K1 .
21
(85)
Г. В. Алексеев
Предположим, что существуют два решения (xi , αi ) ≡ (ui , pi , Ti , αi ), i = 1, 2 задачи (85). В силу теоремы 2.1 для ui и Ti справедливы оценки (51). Обозначим через
(1, yi∗ ) ≡ (1, ξi , si , ζi , θi , ζ1i ), i = 1, 2 отвечающие указанным решениям нетривиальные
множители Лагранжа (определяемые при выполнении условия (44) единственным образом). Положим в дополнение к (52) α = α1 − α2 .
Обратившись к теореме 3.3, перепишем принцип минимума (32) с учетом замечания 3.1 и теоремы 3.4 в виде L(xi , ui , 1, yi∗ ) ≤ L(xi , u, 1, yi∗ ) ∀u ≡ α ∈ K, где ui = αi , и
заметим, что лагранжиан L является непрерывно дифференцируемой функцией от α,
причем
Lα (xi , ui , 1, yi∗ ), α = µ1 (αi , α)ΓN + λæ(αTi , θi )ΓN .
(86)
Здесь Lα (xi , ui , 1, yi∗ ) — производная Гато по α в точке (xi , ui , 1, yi∗ ). Поскольку K —
выпуклое множество, то в точке минимума αi необходимо выполняется условие [18,
c. 126]
Lα (xi , ui , 1, yi∗ ), α − αi ≡ µ1 (αi , α − αi )ΓN + λæ((α − αi )Ti , θi )ΓN ≥ 0 ∀α ∈ K1 . (87)
Положим α = α1 в неравенстве (87), записанном при i = 2, и α = α2 в неравенстве (87),
записанном при i = 1. Получим
µ1 (α2 , α)ΓN + λæ(αT2 , θ2 )ΓN ≥ 0,
−µ1 (α1 , α)ΓN − λæ(αT1 , θ1 )ΓN ≥ 0.
Складывая эти неравенства, приходим к соотношению
µ1 α2ΓN ≤ λæ(α, T2 θ2 − T1 θ1 )ΓN = −λæ(αT, θ1 )ΓN − λæ(αT2 , θ)ΓN .
(88)
Основываясь на соотношении (88), выведем теперь достаточные условия, обеспечивающие единственность решения задачи (85). Для этого детально исследуем уравнения,
которым удовлетворяют разности α = α1 − α2 и (52).
Обратимся сначала к соотношениям (15)–(17), которым удовлетворяет каждое из
решений (ui , pi , Ti , αi ). Вычитая тождества (15)–(17), записанные для u2 , p2 , T2 , α2 , из
соответствующих тождеств для u1 , p1 , T1 , α1 , получим (53) и соотношения
λa1 (T, S) + λ(α1 T, S)ΓN + c1 (u1 , T, S) = −λ(αT2 , S)ΓN − c1 (u, T2 , S) ∀S ∈ T ,
(89)
L20 (Ω),
(90)
b(u, q) = 0 ∀q ∈
u|Γ = 0,
T |ΓD = 0.
Положим в (53), (89), (90) v = u ∈ V, S = T ∈ T , q = p. Учитывая (6), (7), получим
равенства (69) и соотношение
λa1 (T, T ) + λ(α1 T, T )ΓN = −λ(αT2 , T )ΓN − c1 (u, T2 , T ).
Из (69) опять приходим к оценке для u относительно T 1 , имеющей вид (74).
22
(91)
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
Обратимся к уравнению (91) для T = T1 − T2 ∈ T . Учитывая (9), (12), (72) и условие
α1 ≥ 0, из (91) выводим, что
λa1 (T, T ) ≤ −λ(αT2 , T )ΓN − c1 (u, T2 , T ) ≤ γ3 λMT0 T 1 αΓN + γ1 MT0 u1 T 1 .
(92)
Используя (5) и оценку (74), из этого неравенства получаем δ1 λT 21 ≤γ3 λMT0 T 1 αΓN
+2(β1 γ1 /δ0 ν)MT0 T 21 . Отсюда выводим с учетом (45), что
2 β1 γ1 0
γ3 λ 0
1−
T 21 ≡ (1 − 2Ra)T 21 ≤
M
M T 1 αΓN .
δ0 ν δ1 λ T
δ1 λ T
(93)
Из (93) и (74) вытекают следующие оценки для T 1 и u1 относительно αΓN :
T 1 ≤
γ3 λMT0
αΓN ,
δ1 λ(1 − 2Ra)
u1 <
γ3 λMT0
2β1
2γ3 λRaαΓN
αΓN =
.
δ0 ν δ1 λ(1 − 2Ra)
γ1 (1 − 2Ra)
(94)
Рассмотрим теперь уравнения (29)–(31) при λ0 = 1, J = J1 для лагранжевых множителей (1, yi∗ ) ≡ (1, ξi , si , ζi , θi , ζ1i ) при û = ui и x̂=xi (û=ui , T̂ =Ti ), i = 1, 2. Полагая в
них w = ξi , τ = θi , r = si , получим равенство (75) и соотношение
æ[λa1 (θi , θi ) + λ(αi θi , θi )ΓN ] = −b1 (θi , ξi ) − µ0 (Ti , θi )1 .
(95)
(Оно получается из (76) заменой α на αi ). Далее, рассуждая, как в п. 4.2, приходим к
оценкам ξi 1 и θi 1 относительно αΓN , которые в точности совпадают с (80).
Вычтем друг из друга уравнения (29)–(31) при λ0 = 1, J = J1 , записанные для
множителей (1, y1∗ ) и (1, y2∗ ). Получим (57)–(59), где следует положить J = J1 . Полагая
в (57)–(59) w = ξ ∈ V, τ = θ ∈ T и r = s ∈ L20 (Ω), получим с учетом (6), (7) и (66)
равенство b(ξ, s) = 0 и соотношения
νa0 (ξ, ξ) + c(ξ, u1 , ξ) = −c(u, ξ, ξ2 ) − c(ξ, u, ξ2 ) − æc1 (ξ, T, θ2 ) − æc1 (ξ, T1 , θ),
(96)
λa1 (θ, θ) + λ(α1 θ, θ)ΓN = −c1 (u, θ, θ2 ) − λ(αθ, θ2 )ΓN − æ−1 b1 (θ, ξ) − æ−1 µ0 (T, θ)1 . (97)
Из (97) выводим с учетом оценок (9)–(12) и условий θ ∈ T , δ1 ≥ 0, что
δ1 λθ21 ≤ γ1 u1 θ1 θ2 1 + γ3 λθ1 θ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 θ1 + β1 æ−1 θ1 ξ1 .
Отсюда приходим к оценке
θ1 ≤
1
β1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 ) +
ξ1 .
δ1 λ
δ1 λæ
Рассуждая, как при выводе (74) из (69), и используя (98), из (96) выводим, что
(δ0 ν − γ0 Mu0 )ξ21 ≤ 2γ0 u1 ξ2 1 ξ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 + γ1 æMT0 θ1 ξ1 ≤
≤ 2γ0 u1 ξ2 1 ξ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 +
23
(98)
Г. В. Алексеев
+
γ1 æMT0
β1 γ1 MT0
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 )ξ1 +
ξ21 .
δ1 λ
δ1 λ
Из этого соотношения и (72) вытекает, что
δ0 ν
ξ21 <
2
δ0 ν −
β1 γ1 0
ξ21 ≤ 2γ0 u1 ξ2 1 ξ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 +
−
M
δ1 λ T
γ1 æMT0
+
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 )ξ1 . (99)
δ1 λ
γ0 Mu0
Используя оценки (80) для ξ2 1 , θ2 1 и (94) для T 1 , u1 , имеем
γ0 u1 ξ2 1 < γ0
2µ0 MT0 Ra 2γ3 λRa
4γ0 γ3 λµ0 MT0 Ra2
αΓN =
αΓN ,
β1
γ1 (1 − 2Ra)
γ1 β1 (1 − 2Ra)
γ1 µ0 MT0
γ3 λMT0
(2Ra + 1)
αΓN =
δ1 λ
δ1 λ(1 − 2Ra)
γ3 λµ0 MT0 πRa(2Ra + 1)
=
αΓN .
β1 (1 − 2Ra)
Из (100), (101) выводим, что
(100)
γ1 æT 1 θ2 <
(101)
2γ0 u1 ξ2 1 ξ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 <
Точно так же имеем
γ3 λµ0 MT0 Ra 8γ0 Ra
+ π(2Ra + 1) ξ1 αΓN .
<
β1 (1 − 2Ra)
γ1
(102)
γ1 æMT0
γ1 θ2 1 u1 <
δ1 λ
2γ3 λµ0 MT0 πRa2 (2Ra + 1)
γ1 MT0 γ1 µ0 MT0 (2Ra + 1) 2γ3 λRaαΓN
=
αΓN ,
<
δ1 λ
δ1 λ
γ1 (1 − 2Ra)
β1 (1 − 2Ra)
γ1 æMT0
γ3 λθ2 1 αΓN <
δ1 λ
γ1 MT0 γ3 λµ0 MT0 (2Ra + 1)
γ3 λµ0 MT0 πRa(2Ra + 1)
<
αΓN ,
αΓN =
δ1 λ · δ1 λ
β1
γ1 MT0
γ1 MT0 γ3 λµ0 MT0
γ3 λµ0 MT0 πRa
µ0 T 1 <
αΓN =
αΓN .
δ1 λ
δ1 λ δ1 λ(1 − 2Ra)
β1 (1 − 2Ra)
Отсюда следует, что
γ1 æMT0
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 ) <
δ1 λ
γ3 λµ0 MT0 πRa 2Ra(2Ra + 1)
1
<
+ (2Ra + 1) +
αΓN ≤
β1
1 − 2Ra
1 − 2Ra
γ3 λµ0 MT0 πRa
(4Ra2 + 2Ra + 1 − 4Ra2 + 1)αΓN =
≤
β1 (1 − 2Ra)
24
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
=
γ3 λµ0 MT0 πRa(2Ra + 2)
αΓN . (103)
β1 (1 − 2Ra)
Учитывая (102), (103), из (99) выводим, что
γ3 λµ0 MT0 Ra 8γ0 Ra
δ0 ν
2
+ π(2Ra + 1) + π(2Ra + 2) αΓN ξ1 .
ξ1 <
2
β1 (1 − 2Ra)
γ1
Отсюда следует, что
ξ1 <
2γ3 λµ0 MT0 M1 αΓN
.
δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
(104)
(105)
Здесь M1 = M1 (Ra, π) — безразмерная константа, зависящая только от числа Рэлея Ra
и числа Прандтля π. Она определяется формулой
8γ0 2
M1 =
Ra + πRa(4Ra + 3) .
γ1
(106)
Используя (105), перепишем (98) в виде
1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 ) +
δ1 λ
β1 2γ3 λµ0 MT0 M1
+
αΓN .
δ1 λæ δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
Из (103) вытекает, что
θ1 ≤
γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 T 1 ) ≤
αΓN .
δ1 λ
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
(107)
(108)
Учитывая (108), из (107) приходим к следующей оценке θ1 через αΓN :
γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
β1 2γ3 λµ0 MT0 M1
+
αΓN =
θ1 ≤
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
δ1 λæ δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
2γ3 λµ0 RaM1
=
+
αΓN =
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
γ3 λµ0 M2
γ3 λµ0
=
[πRa(2Ra + 2) + 2RaM1 ] =
αΓN . (109)
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
Здесь безразмерная константа M2 определяется формулой
M2 = 2πRa(Ra + 1) + 2RaM1 = 2Ra(8
γ0 2
Ra + 4πRa2 + 4πRa + π).
γ1
(110)
Вернемся теперь к неравенству (88), вытекающему из принципа минимума (32), и
оценим в нем правую часть. Используя (12), (80), (94) и (109), имеем
− æλ[(αT2 , θ)ΓN + (αT, θ1 )ΓN ] ≤ γ3 λæ(T2 1 θ1 + T 1 θ1 1 )αΓN ≤
γ3 λµ0 MT0 M2
γ3 λµ0 (MT0 )2 (2Ra + 1)
+
α2ΓN =
≤ γ3 λ
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(δ1 λ)2 (1 − 2Ra)
25
Г. В. Алексеев
M2
πRa(2Ra + 1)
=
+
α2ΓN =
β1 γ1 (1 − 2Ra) β1 γ1 (1 − 2Ra)
γ 2 λ2 µ0 MT0 M3
γ32 λ2 µ0 MT0
[M2 + πRa(2Ra + 1)]α2ΓN = 3
α2ΓN . (111)
=
β1 γ1 (1 − 2Ra)
β1 γ1 (1 − 2Ra)
γ32 λ2 µ0 MT0
Здесь M3 = M3 (Ra, π) — безразмерная константа, определяемая формулой
M3 = M2 + πRa(2Ra + 1) = Ra(16
γ0 2
Ra + 8πRa2 + 10πRa + 3π).
γ1
(112)
Учитывая (111), из (88) выводим, что
γ32 λ2 µ0 MT0 M3
α2ΓN ≤ 0.
µ1 −
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(113)
Предположим, что выполняется условие
µ1 > µ0
γ32 λ2 MT0 M3
.
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(114)
Тогда из (113) вытекает, что α = 0. Отсюда и (94), (53) следует, что T = 0, u = 0 и
p = 0. Тем самым доказана теорема.
Теорема 4.3. Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) χ ∈ L2( ΓN ), ψ ∈ H 1/2 (ΓD ),
f ∈ L2 (Ω), g ∈ H̃1/2 (Γ) — фиксированные элементы, K1 ⊂ L2+ (ΓN ) — ограниченное
выпуклое замкнутое множество и выполняются условия (46), (114), где константа M3 ,
зависящая от чисел Рэлея Ra и Прандтля π, определяется формулой (112). Тогда решение ((u, p, T ), α)∈ X × K1 задачи (85) единственно.
Следствие 4.2. При выполнении условий теоремы 4.3 система оптимальности для задачи (85) имеет единственное решение.
Замечание 4.4. Подчеркнем, что в отличие от задачи (65) локальная единственность
решения задачи (85) доказана лишь при условии, что параметр µ1 в (85) положителен и, более того, удовлетворяет условию (114). В этой связи отметим, что для задачи
управления (65) функции f, ψ и χ, являющиеся управлениями, описывают плотности
источников (импульса или тепла). В то же время единственное управление α в задаче
(85) является коэффициентом граничного условия для T в (2). Таким образом, основное отличие между задачами (65) и (85) состоит в том, что задача (65) относится к
классу обратных экстремальных задач определения источников, тогда как задача (85)
имеет смысл коэффициентной обратной задачи для модели (1)–(2). Именно указанное
различие проявилось при установлении достаточных условий, обеспечивающих единственность решения задачи управления. Действительно, если локальная единственность
решения задачи (65) была доказана без каких-либо предположений на соответствующие
коэффициенты штрафа µi ≥ 0, хотя и в предположении малости исходных данных,
26
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
то локальную единственность коэффициентной задачи (85) удалось доказать лишь в
предположении, что коэффицент µ1 удовлетворяет условию (114). Последнее означает,
что наличие второго слагаемого (µ1 /2)α2ΓN в выражении минимизируемого функционала J в (85) вносит в рассматриваемую коэффициентную обратную экстремальную
задачу регуляризирующий эффект, позволяя доказать единственность ее решения при
выполнении дополнительных условий вида (46), (114).
По аналогичной схеме может быть исследована единственность решения экстремальной задачи (23) при замене в ее формулировке функционала J1 (x) = T 21 функциона-
лом J2 (x) = |T |21 либо функционалом J3 (x) = T − Td 2Q . Рассмотрим для конкретности
задачу
J(x) =
µ1
µ0
T − Td 2Q + α2ΓN → inf,
2
2
F (x, α) = 0,
x ∈ X,
α ∈ K1 .
(115)
Простой анализ показывает, что в условиях задачи (115) соотношения (53), (89), (90),
как и (75), (96), не изменяются, тогда как (95) и (97) переходят с учетом условий
(J3 )T (xi , ui ), τ = µ0 (T − Td , τ )Q ,
(J3 )T (x1 , u1 ) − (J3 )T (x2 , u2 ), τ = µ0 (T, τ )Q , (116)
где T = T1 − T2 , x1 = (u1 , p1 , T1 ), x2 = (u2 , p2 , T2 ), в соотношения
æ[λa1 (θi , θi ) + λ(αi θi , θi )ΓN ] = −b1 (θi , ξi ) − µ0 (Ti − Td , θi )Q ,
(117)
λa1 (θ, θ) + λ(α1 θ, θ)ΓN = −c1 (u, θ, θ2 ) − λ(αθ, θ2 )ΓN −
− æ−1 b1 (θ, ξ) − æ−1 µ0 (T, θ)Q .
(118)
Отсюда следует, что указанные изменения в постановке задачи управления не приводят
к изменениям в оценках (94) величин T 1 и u1 относительно αΓN . В то же время
из соотношения (117) выводим, используя (13), что (вместо (77)) справедлива оценка
θi 1 ≤
β1
µ0
ξi 1 +
(γ 2 Ti 1 + γ4 Td Q ) ≤
δ1 λæ
δ1 λæ 4
µ0 M̃T0
β1
≤
ξi 1 +
,
δ1 λæ
δ1 λæ
M̃T0 ≡ γ42 MT0 + γ4 Td Q .
(119)
С учетом этого, рассуждая, как при выводе (80), приходим из (75), (117) к следующим
оценкам относительно лагранжевых множителей ξi , θi :
ξi 1 <
2µ0 M̃T0 Ra
,
β1
θi 1 <
µ0 M̃T0 (2Ra + 1)
.
δ1 λæ
(120)
Обратимся теперь к соотношениям (96) и (118). Рассуждая, как и выше, при выводе
(98), (99), из (118) и (96) приходим к следующим неравенствам:
θ1 ≤
1
β1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 ) +
ξ1 ,
δ1 λ
δ1 λæ
27
(121)
Г. В. Алексеев
δ0 ν
β1 γ1 0
ξ21 < (δ0 ν − γ0 Mu0 −
M )ξ21 ≤ 2γ0 u1 ξ2 1 ξ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 +
2
δ1 λ T
γ1 æMT0
+
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 )ξ1 . (122)
δ1 λ
Используя новые оценки (120) для ξ2 1 и θ2 1 и прежние оценки (94) для T 1 и u1 ,
имеем (вместо (102), (103)), что
γ3 λµ0 M̃T0 Ra 8γ0 Ra
+ π(2Ra + 1) αΓN ,
2γ0 u1 ξ2 1 + γ1 æT 1 θ2 1 <
β1 (1 − 2Ra)
γ1
γ1 æMT0
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 ) <
α1 λ
γ3 λµ0 M̃T0 πRa(2Ra + 2)
<
αΓN .
β1 (1 − 2Ra)
(123)
(124)
Учитывая (123), (124), из (122) получаем вместо (105) следующую оценку для ξ1 :
ξ1 <
2γ3 λµ0 M̃T0 M1
αΓN .
α0 νβ1 (1 − 2Ra)
(125)
Здесь и ниже M1 , M2 и M3 обозначают введенные выше безразмерные константы, зависящие от Ra и π. Используя (125), перепишем (121) в виде
θ1 ≤
1
β1 2γ3 λµ0 M̃T0 M1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 ) +
αΓN .
δ1 λ
δ1 λæ α0 νβ1 (1 − 2Ra)
Учитывая (124), отсюда приходим к следующей оценке θ1 через αΓN :
M̃T0 γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
β1 2γ3 λµ0 M̃T0 M1
αΓN =
θ1 ≤
+
δ1 λæ δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
MT0 β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
M̃T0 γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
2γ3 λµ0 RaM1
= 0
+
αΓN =
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
MT
=
M̃T0
γ3 λµ0 M2
αΓN .
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ MT0
(126)
Обратимся теперь к неравенству (88) и оценим в нем правую часть. Используя (12),
(94), (120) и (126), имеем
− æλ[(αT2 , θ)ΓN + (αT, θ1 )ΓN ] ≤
γ3 λµ0 MT0 M̃T0 (2Ra + 1)
γ3 λµ0 M̃T0 M2
α2ΓN =
≤ γ3 λ
+
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(δ1 λ)2 (1 − 2Ra)
γ 2 λ2 µ0 M̃T0 M3
M2
πRa(2Ra + 1)
2 2
0
+
α2ΓN = 3
α2ΓN .
= γ3 λ µ0 M̃T
β1 γ1 (1 − 2Ra) β1 γ1 (1 − 2Ra)
β1 γ1 (1 − 2Ra)
28
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
Отсюда и (88) выводим, что
γ32 λ2 µ0 M̃T0 M3
α2ΓN ≤ 0.
µ1 −
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(127)
Предположим, что выполняется условие
µ1 > µ0
γ32 λ2 M̃T0 M3
,
β1 γ1 (1 − 2Ra)
M̃T0 ≡ γ42 MT0 + γ4 Td Q .
(128)
Тогда из (127) вытекает, что α = 0. Отсюда и (94), (53) следует, что T = 0, u = 0 и
p = 0. Тем самым доказана теорема.
Теорема 4.4. Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) χ ∈ L2 (ΓN ), ψ ∈ H 1/2 (ΓD ), f ∈
∈ L2 (Ω), g ∈ H̃1/2 (Γ) — фиксированные элементы, Td ∈ L2 (Q) — заданная функция,
K1 ⊂ L2+ (ΓN ) — ограниченное выпуклое замкнутое множество и выполняются условия
(46), (128), где константа M3 , зависящая от чисел Рэлея Ra и Прандтля π, определяется
формулой (112). Тогда решение ((u, p, T ), α)∈ X × K1 задачи (115) единственно.
Следствие 4.3. При выполнении условий теоремы 4.4 система оптимальности для задачи (115) имеет единственное решение.
Более того, нетрудно показать, что при выполнении условия типа (128) решение задачи (115) обладает также свойством устойчивости относительно малых возмущений
функции Td в норме L2 (Q). Действительно, обозначим (единственное) решение системы
(1)
оптимальности для задачи (115), отвечающее функции Td , через (x1 , δ1 , y1∗ ), а функ(2)
ции Td
(1)
(2)
— через (x2 , α2 , y2∗ ). Положим Td = Td − Td , α = α1 − α2 в дополнение к (52).
Рассуждая как и выше, показываем, что для разностей T и u справедливы оценки (94),
для функций ξi и θi справедливы оценки (120), где следует положить
M̃T0 = γ42 MT0 + γ4 max(Td1 Q , Td2 Q ),
тогда как равенства (117), (118) для θi и θ = θ1 − θ2 переходят в соотношения
(i)
æ[λa1 (θi , θi ) + λ(αi θi , θi )ΓN ] = −b1 (θi , ξi ) − µ0 (Ti − Td , θi )Q ,
(129)
λa1 (θ, θ) + λ(α1 θ, θ)ΓN = −c1 (u, θ, θ2 ) − λ(αθ, θ2 )ΓN −
− æ−1 b1 (θ, ξ) − æ−1 µ0 (T, θ)Q + æ−1 µ0 (Td , θ)Q .
(130)
Используя (130) и (96), приходим вместо (121), (122) к следующим неравенствам:
θ1 ≤
1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN +
δ1 λ
+ µ0 æ−1 γ42 T 1 + µ0 æ−1 γ4 Td Q ) +
29
β1
ξ1 ,
δ1 λæ
(131)
Г. В. Алексеев
δ0 ν
ξ21 ≤ 2γ0 u1 ξ2 1 ζ1 + γ1 æT 1 θ2 1 ξ1 +
2
γ1 æMT0
+
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 + µ0 æ−1 γ4 Td Q )ξ1 (132)
δ1 λ
для θ1 и ξ1 . Они отличаются от (121) и (122) только наличием дополнительного
слагаемого µ0 æ−1 γ4 Td Q в круглых скобках. С учетом этого факта, рассуждая, как и
выше, опять выводим соотношение (123), а вместо (124) получаем соотношение
γ1 æMT0
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 + µ0 æ−1 γ4 Td Q ) <
α1 λ
γ1 γ4 µ0 MT0 Td Q
γ3 λµ0 M̃T0 πRa(2Ra + 2)
<
αΓN +
. (133)
β1 (1 − 2Ra)
α1 λ
Учитывая (123) и (133), из (132) выводим, что
γ3 λµ0 M̃T0 Ra 8γ0 Ra
δ0 ν
2
+ π(2Ra + 1) + π(2Ra + 2) αΓN ξ1 +
ξ1 <
2
β1 (1 − 2Ra)
γ1
γ1 γ4 µ0 MT0 Td Q
+
ξ1 .
δ1 λ
Отсюда следует, что
ξ1 <
(134)
2γ3 λµ0 M̃T0 M1
2 γ1 γ4 µ0 MT0 Td Q
αΓN +
=
δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
δ0 ν
δ1 λ
=
2γ3 λµ0 M̃T0 M1
2γ4 µ0 RaTd Q
.
αΓN +
δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
β1
(135)
Используя (135), перепишем (131) в виде
θ1 ≤
1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 + µ0 æ−1 γ4 Td Q ) +
δ1 λ
β1 2γ4 µ0 RaTd Q
β1 2γ3 λµ0 M̃T0 M1
αΓN +
. (136)
+
δ1 λæ δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
δ1 λæ
β1
Из (133) вытекает, что
1
(γ1 θ2 1 u1 + γ3 λθ2 1 αΓN + µ0 æ−1 γ42 T 1 + µ0 æ−1 γ4 Td Q ) <
δ1 λ
M̃ 0 γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
γ4 µ0 Td Q
< T0
αΓN +
. (137)
δ1 λæ
MT β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
Учитывая (137), из (136) приходим к следующей оценке θ1 через αΓN и Td Q :
M̃T0 γ3 λµ0 πRa(2Ra + 2)
β1 2γ3 λµ0 M̃T0 M1
αΓN +
+
θ1 ≤
δ1 λæ δ0 νβ1 (1 − 2Ra)
MT0 β1 γ1 (1 − 2Ra)æ
+
2γ4 µ0 RaTd Q γ4 µ0 Td Q
+
=
δ1 λæ
δ1 λæ
30
Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции
=
M̃T0
γ3 λµ0 M2
γ4 µ0 (2Ra + 1)
αΓN +
Td Q . (138)
0
β1 γ1 (1 − 2Ra)æ MT
δ1 λæ
Обратимся опять к неравенству (88), и оценим в нем правую часть. Используя (12),
(94), (120) и (138), имеем
− æλ[(αT2 , θ)ΓN + (αT, θ1 )ΓN ] ≤ γ3 λæ(T2 1 θ1 1 + T 1 θ1 )αΓN ≤
γ3 λµ0 MT0 M̃T0 (2Ra + 1)
γ3 λµ0 M̃T0 M2
α2ΓN +
≤ γ3 λ
+
β1 γ1 (1 − 2Ra)
(δ1 λ)2 (1 − 2Ra)
γ3 γ4 µ0 MT0 (2Ra + 1)
Td Q αΓN =
δ1
γ 2 λ2 µ0 M̃T0 M3
γ3 γ4 µ0 MT0 (2Ra + 1)
= 3
Td Q αΓN . (139)
α2ΓN +
β1 γ1 (1 − 2Ra)
δ1
+
Учитывая (139), из (88) выводим, что
γ32 λ2 µ0 M̃T0 M3
γ3 γ4 µ0 MT0 (2Ra + 1)
α2ΓN ≤
Td Q αΓN .
µ1 −
β1 γ1 (1 − 2Ra)
δ1
(140)
Предположим, что выполняется условие
µ1 ≥
γ32 λ2 µ0 M3 2 0
(1)
(2)
γ4 MT + γ4 max(Td Q , Td Q ) + ε,
β1 γ1 (1 − 2Ra)
ε = const > 0.
(141)
Тогда из (140) и (94) приходим к искомым оценкам устойчивости. Они имеют вид
γ3 γ4 µ0 MT0 (2Ra + 1) (1)
(2)
Td − Td Q ,
δ1 ε
γ3 λMT0
γ3 γ4 µ0 MT0 (1 + 2Ra) (1)
(2)
T1 − T2 1 ≤
Td − Td Q ,
δ1 λ(1 − 2Ra)
δ1 ε
2γ3 λRa γ3 γ4 µ0 MT0 (1 + 2Ra) (1)
(2)
u1 − u2 1 ≤
Td − Td Q .
γ1 (1 − 2Ra)
δ1 ε
δ1 − α2 ΓN ≤
(142)
(143)
(144)
Тем самым доказана теорема.
Теорема 4.5. Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) χ ∈ L2 (ΓN ), ψ ∈ H 1/2 (ΓD ),
(i)
f ∈ L2 (Ω), g ∈ H̃1/2 (Γ) — фиксированные элементы, Td
∈ L2 (Q) — заданные функ-
ции, K1 ⊂ L2+ (ΓN ) — ограниченное выпуклое замкнутое множество и выполняются
условия (46), (141), где константа M3 определяется формулой (112). Обозначим через
(i)
((ui , pi , Ti ), αi ) ∈ X × K1 решение задачи (124), отвечающее функции Td , i = 1, 2. Тогда
справедливы оценки устойчивости (142)–(144).
Литература
[1] Mohamed Gad-el-Hak, Flow control, Appl. Mech. Rev., 42, No. 10 (1989), 261–293.
31
Г. В. Алексеев
[2] Flow control, IMA 68, Ed. M. D. Gunzburger, Springer, 1995.
[3] M. D. Gunzburger, L. Hou and T. P. Svobodny, The approximation of boundary control
problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling, Comput.
Fluids., 22, 1993, 239–251.
[4] F. Abergel, E. Casas, Some optimal control problems of multistate equation appearing
in fluid mechanics, Math. Modeling Numer. Anal., 27, 1993, 223–247.
[5] Г. В. Алексеев, Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции, Докл. РАН, 362, № 2 (1998), 174–177.
[6] Г. В. Алексеев, Разрешимость стационарных задач граничного управления для
уравнений тепловой конвекции, Сиб. мат. журн., 39, № 5 (1998), 982–998.
[7] G. V. Alekseev, D. A. Tereshko, On solvability of inverse extremal problems for the
stationary equations of viscous heat conducting fluid, J. Inverse Ill-posed Problems, 6,
No. 6 (1998), 521–562.
[8] Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко, Стационарные задачи оптимального управления для
уравнений вязкой теплопроводной жидкости, Сиб. журн. индустриал. матем., 1,
№ 2 (1998), 24–44.
[9] K. Ito, S. S. Ravindran, Optimal control of thermally convected fluid flows, SIAM J.
Sci. Comput., 19, No. 6 (1998), 1847–1869.
[10] Cãpãtinã Anca, Stavre Ruxandra, A control problem in bioconvective flow, J. Math.
Kyoto Univ. (JMKYAZ), 37, No. 4 (1998), 585–595.
[11] G. V. Alekseev, E. A. Adomavichus, Theoretical analysis of inverse extremal problems
of admixture diffusion in viscous fluids, J. Inv. Ill-Posed Problems, 9, No. 5 (2001),
435–468.
[12] Г. В. Алексеев, Э. А. Адомавичюс, О разрешимости неоднородных краевых задач
для стационарных уравнений массопереноса, Дальневост. мат. журн., 2, № 2 (2001),
138–153.
[13] Г. В. Алексеев, Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 42, № 3 (2002), 380–394.
[14] Г. В. Алексеев, Э. А. Адомавичюс, Исследование обратных экстремальных задач
для нелинейных стационарных уравнений переноса вещества, Дальневост. мат.
журн., 3, №. 1 (2002), 79–92.
[15] Г. В. Алексеев, Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных
уравнений тепломассопереноса, Сиб. мат. журн., 42, № 5 (2001), 971–991.
[16] P. Grisvard, Elliptic problems in nonsmooth domains, London, Pitman, 1985.
[17] А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, М., Наука, 1974.
[18] Ж. Сеа, Оптимизация. Теория и алгоритмы, М., Мир, 1973.
32