аналитические свойства решений системы двух
реклама
Учреждение образования “БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ” Конкурс научных работ студентов Республики Беларусь по естественным и техническим наукам Девиз: “Редукция” АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Автор: Бычков Вячеслав Викторович, студент группы 220601 ФИТУ АСОИ 3 курс Научный руководитель: Цегельник Владимир Владимирович, Доктор физико-математических наук, доцент Зав. кафедрой высшей математики БГУИР Минск 2004 Реферат 14 стр.; 8 источников Ключевые слова: автомодельное решение, уравнение Кортевега де Фриза, уравнения Пенлеве, рациональные решения, высшие аналоги уравнений Кортевега де Фриза и Пенлеве, двух- и трёхпараметрические семейства полярных решений, преобразование Беклунда. Объектом исследования является система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве ( 4 P2 ) . Целью работы является исследование некоторых аналитических свойств решений указанной системы. Используя метод исключения, получены два нелинейных дифференциальных уравнения шестого порядка, связанные между собой простым масштабным преобразованием. Основным результатом работы является доказательство наличия у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Рассматриваемая система и полученные результаты являются новыми. 2 Отзыв научного руководителя В работе аналитических рассматривается свойств актуальная задача исследования системы двух нелинейных решений дифференциальных уравнений третьего порядка, порождённой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Теория высших аналогов уравнений Пенлеве интенсивно развивается, так как последние являются точными автомодельными редукциями хорошо известных высших аналогов уравнений в частных производных. В работе показано существование у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого показано существование рациональных, а также двух- и трёхпараметрических семейств полярных решений у рассматриваемой системы. Работа выполнена самостоятельно с привлечением библиографических источников. 3 достаточно большого объёма Содержание Введение ................................................................................................................... 5 Заключение ............................................................................................................ 13 Основная часть ........................................................................................................ 8 Список использованных источников .................................................................. 14 4 Введение Среди решений уравнений в частных производных встречаются решения, зависящие от какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, следовательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Решения, обладающие указанным свойством, называются автомодельными решениями. Отметим, что под ОДУ понимается как одно обыкновенное дифференциальное уравнение, так и система таких уравнений. Например, известное уравнение Кортевега де Фриза (KdV) U t 6UU x U xxx 0 допускает как стационарные решения (решения типа “бегущая волна”) U ( x, t ) W ( x ct ) (при этом W ( y ) , y x ct удовлетворяют ОДУ d 2W 3W 2 cW K , dy 2 K const ), так и автомодельное решение U ( x, t ) (3t ) где f ( z ) , z x(3t ) 1 3 2 3 f ( z) , удовлетворяют уравнению d3 f df df 6f z 2f . 3 dz dz dz Отметим, что термин “автомодельное решение” относится, вообще говоря, к решению, зависящему (нетривиальным образом) от меньшего числа независимых переменных, чем полное решение. Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Установление 5 автомодельности всегда является успехом для исследователя: автомодельность упрощает вычисление и представление характеристик явления. Автомодельность позволяет во многих случаях свести задачу математической физики к решению ОДУ, что существенно, во многих случаях, упрощает исследование. Кроме того, автомодельные решения используются как эталоны при оценке приближённых методов решения более сложных задач. Широкая компьютеризация научных исследований и открытие метода обратной задачи (ОЗР) вызвали ещё больший интерес к автомодельным решениям [1-3]. Во-первых, автомодельность по-прежнему продолжает привлекать как глубокий физический факт, свидетельствующий о наличии определённого типа стабилизации исследуемых объектов, и имеющий место для достаточно широкого круга условий [4]. Во-вторых, автомодельные решения играют важную роль при изучении поведений решений уравнений в частных производных по истечении длительного времени (в области, где нельзя пренебречь вкладом фона). В-третьих, открытие метода ОЗР позволило установить тесную связь между автомодельными решениями нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемых методом ОЗР, и решениями ОДУ P-типа, т. е. ОДУ, общий интеграл которых не содержит многозначных подвижных особых точек. Следует отметить, что аналитические свойства решений ОДУ P-типа первого и второго порядка достаточно хорошо изучены. Наибольший интерес в настоящее время привлекают так называемые высшие аналоги уравнений P-типа. 6 По всем этим причинам поиск автомодельностей в последнее время начинается сразу, как только открывается новая область исследования. В данной работе исследуются некоторые аналитические свойства решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Характерной особенностью уравнений данной системы является то, что они определяют преобразования (прямое и обратное) Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве есть точная автомодельная редукция высшего аналога уравнения Кортевега де Фриза, имеющего широкий спектр приложений в нелинейной физике. Метод исследования аналитических свойств решений указанной выше системы состоит в исследовании эквивалентных ей двух нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка с учётом аналитических свойств решений высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Полученные в работе результаты являются новыми. 7 Основная часть 1. Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве [5] W(4) 10 W2 W'' 10 W (W' ) 2 6 W5 z W ( 4 P2 ) имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами W 1 W 2 1 , 2 W''' 4 W W'' 2 (W' ) 2 12 W2 W' 6 W2 z (1) W W 1 2 1 , 2 W'''1 4 W 1 W''1 2 (W' 1 ) 2 12 W21 W' 1 6 W41 z (2) соответственно с произвольным параметром . Это означает, что если известно решение уравнения 2 '' '' 2 5 W(4) 1 10 W 1 W 1 10 W 1 (W 1 ) 6 W 1 z W 1 ( 1) при некотором фиксированном значении параметра (3) , то формула (2) позволяет получить решение уравнения ( 4 P2 ) при фиксированном значении параметра . И наоборот, если известно решение уравнения ( 4 P2 ) при фиксированном значении параметра , то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3). При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля. 2. Система (1), (2) эквивалентна по W уравнению P0 W(6) P1 W(5) P 0 , (4) где P0 4(1 2 ) 2 (6 6 2 12 3 ) 8 P1 (4(1 2 ) 2 (4 z 4 z ) 16 z 2 (1 2 ) 2 W 4(1 2 ) 2 (24 24 )(W ) 4 192 z(1 2 ) 2 (W ) 5 576(1 2 ) 2 (W )9 ( 4( 48 48 )(1 2 ) 2 (W ) 2 192 z(1 2 ) 2 (W ) 3 1152(1 2 ) 2 (W )7 )W' (4(1 2 ) 2 (8 8 ) 512 z (1 2 ) 2 W 7680(1 2 ) 2 (W )5 )(W' ) 2 7296(1 2 ) 2 (W )3 (W' )3 1088(1 2 ) 2 W (W' ) 4 ( 4( 16 16 )(1 2 ) 2 W 416 z (1 2 ) 2 (W ) 2 2496(1 2 ) 2 (W )6 2688(1 2 ) 2 (W ) 4 W' 1472(1 2 ) 2 (W ) 2 (W' ) 2 )W'' 1408(1 2 ) 2 (W ) 3 (W'' ) 2 (4(1 2 ) 2 (8 8 ) 32 z (1 2 ) 2 W 192(1 2 ) 2 (W )5 1536(1 2 ) 2 (W ) 3W' 1216(1 2 ) 2 W (W' ) 2 448(1 2 ) 2 (W ) 2 W'' )W(3) 128(1 2 ) 2 W (W(3) ) 2 ( 48 z(1 2 ) 2 288(1 2 ) 2 (W ) 4 576(1 2 ) 2 (W ) 2 W' 96(1 2 ) 2 (W' ) 2 192(1 2 ) 2 WW'' 96(1 2 ) 2 W(3) )W(4) ) P (4 z 2 (1 2 ) 2 48 z (1 2 ) 2 W 4 144(1 2 ) 2 W 8 ( 96 z(1 2 ) 2 W 2 576(1 2 ) 2 W 6 )W' (16 z (1 2 ) 2 672(1 2 ) 2W 4 )(W' ) 2 192(1 2 ) 2W 2 (W' )3 16(1 2 ) 2 (W' ) 4 (32 z (1 2 ) 2 W 192(1 2 ) 2 W 5 384(1 2 ) 2 W 3W' 64(1 2 ) 2 W (W' ) 2 )W'' 64(1 2 ) 2 W 2 (W'' ) 2 (16 z (1 2 ) 2 96(1 2 ) 2 W 4 192(1 2 ) 2 W 2W' 32(1 2 ) 2 (W' ) 2 64(1 2 ) 2 WW'' )W(3) 16(1 2 ) 2 (W(3) ) 2 ) Относительно W 1 система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка (5) P0 W(6) 1 P1 W 1 P 0 , (5) где P0 4(1 2 ) 2 (18 30 2 12 3 ) P1 (4(1 2 ) 2 (8 z 4 z ) 16 z 2 (1 2 ) 2 W 1 4(48 24 )(1 2 ) 2 (W 1 ) 4 192 z (1 2 ) 2 (W 1 )5 576(1 2 ) 2 (W 1 )9 ( 4(96 48 )(1 2 ) 2 (W 1 ) 2 192 z (1 2 ) 2 (W 1 )3 1152(1 2 ) 2 (W 1 ) 7 )W' 1 ( 4(16 8 )(1 2 ) 2 512 z (1 2 ) 2 W 1 7680(1 2 ) 2 (W 1 )5 )(W' 1 ) 2 7296(1 2 ) 2 (W 1 )3 (W' 1 )3 1088(1 2 ) 2 W 1 (W' 1 ) 4 (4(1 2 ) 2 (32 16 )W 1 416 z (1 2 ) 2 (W 1 ) 2 2496(1 2 ) 2 (W 1 )6 2688(1 2 ) 2 (W 1 ) 4 W' 1 1472(1 2 ) 2 (W ) 2 (W' 1 ) 2 )W''1 1408(1 2 ) 2 (W 1 )3 (W''1 ) 2 (4(1 2 ) 2 ( 16 8 ) 32 z (1 2 ) 2 W 1 192(1 2 ) 2 (W 1 )5 1536(1 2 ) 2 (W 1 )3W' 1 1216(1 2 ) 2 W 1 (W' 1 ) 2 2 (3) 2 2 448(1 2 ) 2 (W 1 ) 2 W''1 )W(3) 1 128(1 2 ) W 1 (W 1 ) (48 z (1 2 ) 288(1 2 ) 2 (W 1 ) 4 576(1 2 ) 2 (W 1 ) 2 W' 1 96(1 2 ) 2 (W' 1 ) 2 (4) 192(1 2 ) 2 W 1W''1 96(1 2 ) 2 W(3) 1 )W 1 ) 9 P (4 z 2 (1 2 ) 2 48 z (1 2 ) 2 W 14 144(1 2 ) 2 W 18 (96 z (1 2 ) 2W 12 576(1 2 ) 2 W 16 )W' 1 (16 z (1 2 ) 2 672(1 2 ) 2W 14 )(W' 1 ) 2 192(1 2 ) 2W 12 (W' 1 )3 16(1 2 ) 2 (W' 1 ) 4 (32 z (1 2 ) 2 W 1 192(1 2 ) 2 W 15 384(1 2 ) 2 W 13W' 1 64(1 2 ) 2 W 1 (W' 1 ) 2 )W''1 64(1 2 ) 2 W 12 (W''1 ) 2 (16 z (1 2 ) 2 96(1 2 ) 2 W 14 2 (3) 2 192(1 2 ) 2 W 12W' 1 32(1 2 ) 2 (W' 1 ) 2 64(1 2 ) 2 W 1W'' 1 )W(3) 1 16(1 2 ) (W 1 ) ) . Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований 1 , W W 1 . Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Все решения уравнения ( 4 P2 ) являются одновременно решениями уравнения (4). В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из ( 4 P2 ) найти W(5) , W(6) и вместе с W(4) подставить в уравнение (4). Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения ( 4 P2 ) . Лемма. Уравнение ( 4 P2 ) можно записать в виде системы S z 6(W 2 W '' ) 2 2((2W '' ) 2 2WW '' W ''' ), S ' 1 2 2 SW . (6) Справедливость этого утверждения устанавливается исключением S из системы (6). Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения ( 4 P2 ) при 1 2 , которое определяется общим решением уравнения W ''' 2WW '' 2(W ' ) 2 3(W 2 W ' ) 2 z 0 2 (7) Действительно, если в (6) положить 1 2 , S 0 , то мы получаем уравнение (7). 10 Для интегрирования уравнения (7) введём функцию q W 2 W ' . Тогда S z 2 q 6q 2 2q'' и система (6) перепишется в виде q W 2 W ' , ' ''' 2 ''' 2 6qq q W ( z 6q 2q ), (8) а уравнение (7) – в виде z 6q 2 2q ' 0 . Ясно, что уравнение (9) (9) интегрируется посредством первого 3 трансцендентна Пенлеве q '' 6 y 2 t заменой q h1 y , z h3t , где h1 h3 2 , h3 5 4 . Таким образом, справедлива [5] Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати W ' W 2 q , где q – произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения ( 4 P2 ) . Известно также [5], что уравнение ( 4 P2 ) имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда Z . Они легко получаются из тривиального решения W 0 при 0 с помощью формул (1), (2). В частности, при 1 1 z 1 z имеем решение W , а при 1 решение W . Характерной особенностью уравнения ( 4 P2 ) является то, что оно является частным случаем уравнения D 1SWK (W ' ) zW 0 , где SW 4W 2 4W ' D 1W D 2 , D d , dz ( 2 K P2 ) K m 1 , получающегося из высшей иерархии (mKdV ) Кортевега де Фриза (2m 1)U t X mU , (10) 11 где X 1 DU U x D помощи редукции H1 , U X mU (2U 2 DUD 1 D 2 ) , U ( x, t ) t 2 (2 m1) (W ' ( z) W 2 ( z )) , X m 1U D z xt 1 H m , m2 U (2 m 1) . При при m2 уравнения ( 2 K P2 ) и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием U ( x, t ) t 2 3 (W ' ( z ) W 2 ( z )) , z xt 1 3 . Для m 3 в ( 2 K P2 ) получаем уравнение ( 4 P2 ) . Ещё одной важной особенностью уравнения ( 4 P2 ) является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5). Подробное описание различных свойств решений уравнения ( KdV ) в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8]. 12 Заключение Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило четырёхпараметрического доказать семейства решений, существование порождаемого у неё общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух- и трёхпараметрических семейств полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой. В процессе исследований использовался вычислений МАТЕМАТИКА. 13 пакет символьных Список использованных источников 1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. – М.: Мир. 1987. – 479 с. 2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. – М.: Мир. 1989. – 328 с. 3. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. – М.: Мир. 1985. – 472 с. 4. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. – Л.: 1982. – 255 с. 5. Gromak V. I. Backlund transformations of Painleve’ equations and their applications // The Painleve’ property, one century later. CRM series in Mathematical Physics /. Ed. R. Conte. – New York: Springer-Verlag, 1999. – P. 687-734. 6. Airault H. Rational solutions of Painleve’ equations // Stud. Appl. Math. – 1979. – Vol. 61. – P. 31-53. 7. Громак В. И., Голубева Л. Л. Обобщённое второе управление Пенлеве четвертого порядка // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз.-мат. Навук. – 2004 (в печати). 8. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. – М. 2002. – 304 с. 14