Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 1(13)
УДК 517.3
Из истории развития биномиальной
и полиномиальной теорем
А. Е. Малых
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Россия, 614000, Пермь, Сибирская, 24
malych@pspu.ru; 8(342)280-37-55
Е. И. Янкович
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Россия, 614000, Пермь, Сибирская, 24
lenumf@mail.ru; 8(908)26-88-742
Показан исторический процесс развития биномиальной и полиномиальной теорем. Представлены знания средневековых ученых Индии, стран ислама и Западной Европы. Показано, что Б. Паскаль первым установил связь между биномиальными коэффициентами и
C nm . Оценен научный вклад И. Ньютона и его предшественников. Рассмотрено расширение биномиальной теоремы до полиномиальной.
Ключевые слова: биномиальная теорема; сочетания; расширение степени бинома; полиномиальная теорема; треугольник Паскаля; производящая функция; ряды; перестановки с повторением элементов.

В русле исследований индусов находилась практическая задача извлечения корней
натуральной степени, и для небольших показателей они разработали методы, основанные
на разложении разности, записываемой в анаn
литическом виде как a  b  – a n . Очевидно, при выполнении таких операций, индусские ученые могли находить значения биномиальных коэффициентов. Подтверждением
этого факта служит отрывок из работы Омара
Хайяма (1100): "Индусские методы нахождения сторон квадратов и кубов основаны ... на
знании квадратов девяти чисел 1,2, ... ,9 вместе с их произведениями, образованными при
перемножении их друг с другом, двух и трех
одновременно. Я написал работу, которая
устанавливает корректность этих методов, и
... расширил метод для случая 4, 5, 6, корней
[столь высоких, как пожелаете], которого до
сих пор не было. Доказательства я дал ... чисто арифметические, основанные на арифметике "Элементов" [Евклида] " [2, с. 263].
В статье А.Е.Малых [1] показан исторический процесс развития биномиальной
теоремы в средние века и до середины XIX
столетия. В ней представлен вклад ученых
разных стран (Индии, арабского халифата,
Западной Европы). Большое внимание уделено исследованию Исаака Ньютона (1642–
1727), касающегося расширения биномиальной теоремы на случай дробных и отрицательных показателей степени.
Правило разложения бинома по натуральным степеням n ( n  2 ) прослеживается
уже в школе Пифагора (VI – V вв. до н.э.), где
средствами геометрической алгебры доказывались тождества для разложения квадратов
суммы и разности двух чисел. В "Началах"
(кн. II, предл. IV) Евклида (III в. до н.э.) таким
же
образом
получены
формулы
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2 .
Третья степень
разложения бинома представлена в работах
Брахмагупты (598 – 626).
© Малых А. Е., Янкович Е. И., 2013
84
Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем
Вслед за Индией ученые стран ислама,
переняв знания, полученные в Древней Греции, также заинтересовались разложением
натуральной степени бинома. В числе наиболее ранних следует отметить работу Абу-лВафы ал-Бузджани (X в.). Как следует из
трактата, ученый интересовался нахождением
n
разности a  b  – a n и умел вычислять значения корней до седьмой степени включительно.
Ас-Самав’ал (XII в.) в главе I книги II "Блестящей [книге] о науке арифметике"доказал
биномиальную теорему для n  3, 4, 7 , а в п.
8 описал формулу бинома и нашел коэффициенты разложения по степеням для n  1; 12,
поместив их в представленную ниже табл. 1.
Разложение натуральных степеней бинома в "Сборнике по арифметике с помощью
доски и пыли" (1265) Насир Эд-Дина ат-Туси
(ум. 1274) было расширено до двенадцатой
степени включительно.
Метод, предложенный впоследствии
Гиясэддином Джемшидом ал-Каши (XIV–XV
вв.), практически совпадал с тем, который
применял ат-Туси [2, с. 33–34]. Он записывал
все промежуточные выкладки в одной таблице, тогда как ат-Туси их стирал.
Разложением натуральной степени бинома интересовались и китайские ученые,
записывая его не в виде таблицы, а используя
треугольное расположение биномиальных
коэффициентов. Так, известный алгебраист
XIV в. Чжу Ши-Цзе на титульном листе своего сочинения "Яшмовое зеркало четырех элементов" (1307) привел арифметический треугольник, в котором записал биномиальные
коэффициенты до восьмой степени. Еще ранее, в начале XII в., биномиальная теорема
была известна Цзя Сяню, описавшему ее в
сочинении "Объяснение таблиц цепного метода извлечения корней". Известно, что и более ранние ученые интересовались этим вопросом [3, ч. 2, с. 7, 13, 96].
1
6
15
20
15
6
1
1
5
10
10
5
1
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
Вещь
Квадрат
Куб
1
7
21
35
35
21
7
1
Квадратоквадрат
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Квадрато-куб
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
Кубо-куб
Квадрато- кубокуб
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
Квадрато-кубокуб
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
Кубо-кубо-кубокуб
Квадрато-кубокуб
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
Квадратоквадрато-кубокуб
Кубо-кубо-кубокуб
Таблица 1
1
1
Таблица 2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
126
1
6
21
56
126
252
1
7
28
84
210
462
1
8
36
120
330
792
В XVI в. арифметический треугольник
стал известен и в Западной Европе. Впервые
он был помещен на титульном листе книги
Апиано (1527) [4]. Через 17 лет М. Штифель в
"Курсе арифметики" продолжил таблицу би-
85
А. Е. Малых, Е. И. Янкович
номиальных коэффициентов до значений
n  17 [5]. Он последовательно умножал
Наиболее полное систематическое и
научное обоснование свойств числа сочетаний было изложено в "Трактате об арифметическом треугольнике" (1665) Б. Паскаля
(1623–1662). В нем впервые в истории ученому удалось установить, что биномиальные
коэффициенты и сочетания чисел из n элементов по m одно и то же. Поэтому его исследования касались также изучения сочетаний и выяснения их свойств [8, 9]. Разложение бинома натуральной степени аналитически стало записываться в виде
 x  a n
на x  a  , указывая, что при этом
коэффициент
при
члене,
содержащем
x nm  a m ,
определяется как сумма коэффи-
циентов при членах

x nm  a m
x nm  a m1
и
n1
в разложении x  a
. Из этого можно
сделать вывод о том, что Штифель знал реm 1
n 1
куррентную формулу C n 1  C n  C n и
использовал её при заполнении таблицы. Биномиальные коэффициенты понадобились
ученому также для вычисления дробной части
корня n -й степени из натурального числа по
формуле
n
N  n an  r  a 
r
a  1n  a n
m
n
a  b n   C ni a n-i b i .
i 0
Исторический процесс развития биномиальной теоремы свидетельствует о том, что
важная математическая проблема не возникает неожиданно в голове одного ученого. Подход к ней осуществляется на протяжении длительного времени многочисленными известными и безымянными исследователями. Недаром И. Ньютон однажды обмолвился о том,
что не достиг бы своих эпохальных открытий,
если бы не стоял на плечах гигантов.
Во второй половине XVII в. интерес к
биномиальной теореме возник в связи с разложением функции в степенные ряды. Эта проблема была важной для математического анализа. Первые публикации по этому вопросу
выполнил Н. Меркатор (  1620–1687), получив
разложение
логарифмической
функции
ln 1  x  почленным интегрированием бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
В "Трактате по алгебре" Дж. Валлис
(1616–1703) вплотную подошел к открытию
биномиального ряда [10]. Результаты его исследований подготовили почву для расширения понятия степени бинома на дробные, а
затем и отрицательные показатели степени,
выполненные И.Ньютоном. Впоследствии
было установлено, что своим появлением
биномиальный
ряд
обязан
Г.Бриггсу
(  1561–1630) и опубликованной им работе
"Arithmetica Logarithmica" (1620). Одновременно с Ньютоном приблизился к биномиальному разложению Дж. Грегори (1638–
1676). Он разложил многие функций в сте-
.
Вслед за Штифелем арифметическим
треугольником заинтересовался и Н. Тарталья. В "Общем трактате о числе и мере"
(1556) он представил табл. 2. В ней коэффициенты разложения степени бинома расположены вдоль диагонали, соединяющей номера
соответствующих строк и столбцов. Таблица
была нужна ему для подсчета различных выпадений игральных костей и составлена для
n  1,18 .
После работ Дж. Кардано, Р. Бомбелли
[6],
А. Штифеля, У. Оутреда, П.Эригона,
П.Фаульгабера, продвинувшего разложение
бинома для n  20 [7], и других ученых биномиальный треугольник стал повсеместно
применяться в Западной Европе. Следует заметить, что на протяжении всего этого времени биномиальные коэффициенты не были
связаны с числами сочетаний. Оба эти понятия изучались отдельно.
Интересно заметить, что А.Т.Гарриот
(1560–1621) в "Artis Analytical Praxis" использовал символическую запись для произведения апотомов, которые представил в виде
a  b  aaaa baaa  bcaa,
ac 
ad 
caaa  bdaa,
daaa  bfaa bcda,
a f 
faaa  cdaa bcfa 
пенные ряды, в частности, ln
1 x
. Заметим,
1 x
что еще в 1695 г. Г.В.Лейбниц записал раз-
 dfaa cdfa  bcdf .
ложение степени n 
86
1
бинома в виде
m
Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем
m
y  a  ym 
m m-1
m
y a
1
1
Естественно, что биномиальная теорема
может быть обобщена на случай большего
числа членов, т.е. речь идет о возведении
многочлена в натуральную степень. Поэтому
теорема называется полиномиальной. Заметим, что данный термин принадлежит
Г.В.Лейбницу, который дал такое название в
письме И.I Бернулли (1695). Последний же
считал ее "замечательным правилом", когда
познакомился с анализом работы Абрахама
де Муавра, опубликованной в журнале "Philosophical Transactions" (1697, с. 619). В ней была доказана теорема о том, что полином можно записать в двух совершенно разных формах: в виде суммы n одночленов и производящей функции для z.
В первой разложение полинома степени
m - 1 m-2 2
y a  ...
2
К открытию общего биномиального ряда пришел также И. Ньютон в результате переписки через графа Г. Ольденбурга – секретаря Лондонского Королевского общества – с
Лейбницем. Биномиальное разложение ученый записал в виде
P  PQ
m
n

,
m
mn
m  2n
 P  AQ 
BQ 
CQ  ...
n
2n
3n
где P  PQ – величина, для которой требуетm
n
ся найти корень, или степень, или корень из
ее степени; P – первый член величины; Q –
совокупность остальных членов, деленных на
первый;
m
– показатель степени (целый,
n
n

дробный, положительный или отрицательный); A, B, C ,... – последовательно полученные значения:
i 1
i
C a a ...a
вид
1
1
2
2
n
n
,
где
 k (*). Тогда справедлива запись
a1  a2  ...  an k   C a1 a2 ... an
1
2
n
(1)
при условии (*).
m
mn
A  P ; B  AQ; C 
BQ
n
2n
m
n
n
Сумма

i 1
и т.д. [9].
В следующем ответном письме от 24
октября 1676 г., посланном также через
Г.Ольденбурга, Ньютон отметил, что к такому
выводу его привело изучение работ Валлиса.
После долгих размышлений Ньютон
обнаружил правила образования коэффициентов при разложении дробной степени бинома.
Для произвольной рациональной степени с
бинома в ряд оно было найдено и имело вид
a  x c
имеет
k
i
 k является характери-
стическим свойством для произведения натуральных степеней чисел, стоящих в правой
части (1), а значение C может быть выражено через степень k каждого члена, так как,
выбирая из k факториалов любое число  ,
повторяющееся  1 раз далее из оставшихся
k  1 
факториалов выбирают повторяю-
щиеся  2 раз и т.д. По правилу произведения
такой выбор может быть выполнен следующим числом способов:

c(c  1) c  2 2
a x 
2
c(c  1)(c  2) c 3 3

a x  ...
23
 
 a c  ca c 1 x 
k
1
k 1
2
... 
k 1   2  ...  n
n
1
.
(2)
Заметим, что (2) может быть упорядочено по возрастающим значениям  i . Поэто-
Свою формулу Ньютон считал одним из
самых значительных результатов. От нее он в
конце концов пришел к интегральному исчислению [11].
Л.Эйлер (1707–1783) разработал свою
теорию рядов, отметив, что опирался при
этом на биномиальную теорему. Его результаты в начале XIX столетия вновь получил О.
Коши (1789–1857), установивший, кроме того, интервал сходимости биномиального ряда.
му
коэффициент
   ... 
k
1
k 1
2
C
определяется
k 1  2 ...  n 1
n
как
!
   ! k!...
.
 !
1
2
n
Тогда выражение (1) может быть представлено в виде
a1  a2  ...  an k  ∑
k!
a11 a2 2 ...an n , (3)
( )  1! 2 !... n !
87
А. Е. Малых, Е. И. Янкович
где
n

i 1
i
 0  1  ...   n  k ,
0   0  1  1  ...  n   n   . Значения С 
сто
 k . Последнее соответствие озна-
чает, что в сумме
n

i 1
i
могут быть определены через факториалы
 k , представляющей
следующим
все n значений для  n , могут быть  = 0 или
 – натуральное число [12].
В качестве примера рассмотрим
a  b  c 5 . В этом случае
соотношения
образом:
C 
k!
.
 0 !  1!... n !
Следовательно, формулу (4) можно представить
в
виде
k  5 и n  3.
a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  C  a00 a11 ...ann z  ,
Следовательно, нужно представить число 5
всевозможными способами в виде трех слагаемых, различных или повторяющихся. Число
таких способов разбиения: 5=5+0+0, 5=4+1+0,
5=3+1+1, 5=3+2+0, 5=2+2+1.
Для каждого из случаев находят число
перестановок с повторениями элементов, используя коэффициент под знаком суммы в
правой части соотношения (3). Последовательно получают коэффициенты C при членах разложения:
где суммирование производится по всем  i .
При дальнейшем изучении полиномиальной теоремы возник ряд вопросов: каково
число членов в разложении полинома
a1  a2  ...  an k ; сколько среди них раз-
личных? Над ними работал Хр. Брианшон
(1783–1864). Решение первой задачи он
1, т.е.
5!
5!
 1 ; С2 
 5;
5!0!0!
4!1!0!
5!
5!
С3 
 20 ; С 4 
 10 ;
3!1!1!
3!2!0!
5!
С5 
 30 .
2!2!1!
С1 
ся выражение
~k
ний С n с повторениями элементов. Оно может быть приведено к подсчету сочетаний
~
Сnk  Cnkk 1 без повторения элементов.
a  b  c 5 
Аналогичные исследования полиномиальной теоремы проводили и другие ученые.
Так, один из них – Л. Эттингер (1797–1869)
смог ответить на ряд сформулированных ниже вопросов, продолжив тем самым исследования современников. К ним относились: каково количество слагаемых, у которых эле-
 a 5  b 5  c 5  5a 4 b  5a 4 c  5b 4 c 
 5ab 4  5ac 4  5bc 4 
 20a 3bc  20ab 3 c  20abc 3  10a 3b 2 
 10a 3 c 2  10b 3 c 2  10a 2 b 3  10a 2 b 3 
 10b 2 c 2  30a 2 b 2 c  30b 2 c 2 a  30c 2 a 2 b.
мент
Вторая форма полиномиальной теоремы
записывается в виде
a
r ; в которых a встречается в степени r ; элемент a встречается
в r -й или (r  s ) -й степенях; каково число

вида C a0 0 a11 ...an n . В этом случае для пока-
ai i  0; n 
встречается, по крайней мере, в r -й
в степени, большей
, (4)
в правой части которой под знаком суммы
коэффициент A представляет ряд слагаемых
зателей степеней при
a
степени; среди которых имеется элемент


n k , т.е. число размещений с
~
Ank  nk . При решении второй
повторениями
задачи, весьма подробно обсуждаемой Брианшоном, оказалось, что каждый из членов
разложения (3) является суммой сочетаний kго класса, содержащего n элементов с неограниченными повторениями. Найденное число
выражается формулой для подсчета сочета-
С учетом, что показатели степеней при
основаниях обладают перестановочным свойством, то полиномиальное разложение 5-й
степени рассматриваемого трехчлена имеет
вид
a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n   A  z
ai i  0; n  значение
a1  a2  ...  an  1 . Тогда получит-
нашел, придав каждому
всех оставшихся членов?
имеют ме-
88
Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем
Все ответы на эти вопросы были полу-
полиномиальной теорем продолжалось, по
крайней мере, до середины XIX столетия; были получены не только новые научные факты,
но и найдены приложения.
чены для a  an , учитывая, что полиномиальное разложение представлено в виде
a1  a2  ...  an k 
a1  a2  ...  an k 
k
k 1
 a1  ...  a n 1   1k  a1  ...  a n 1  a n 

  a
k
2
 ...  an1 
k 2
1
Список литературы
1. Малых А.Е. Из истории биномиальной теоремы // Ярославский педагогический вестник. Т. III (естественные науки). 2010. № 3.
С. 25–31.
2. Ал-Каши Г.Д. Ключ арифметики. Трактат
об окружности / пер. Б.А.Розенфельда, коммент. А.П.Юшкевича, Б.А. Розенфельда. М.:
Гостехиздат, 1956.
3. Needham J. Science and Civilisation in China.
History of Science Thought. Vol. 2. Mathematics and Science of the heaven and Earth.
L.,1959.
4. Apianus P.E. Arithmetic. Ingöldstadt, 1527.
5. Stifel M. Arithmetica Integra. Norimbergæ,
1544.
6. Bombelli R. Algebra. Bologna, 1572.
7. Faulhaber J. Academia algebræ. Ülmi, 1631.
8. Малых А.Е., Янкович Е.И. Теоретические основы элементарной комбинаторики: формирование и развитие // История науки и техники. 2012. №11. С. 12–21.
9. Pascal B. Traité du Triangle Arithmètigue.
Oeures. P., 1908. T.3.
10. Wallis J. Opera mathematica. Oxford, 1695–
1699. Vol. 1–3.
11. Ньютон И. Математические работы / пер.
и
коммент.
Д.Мордухай–Болтовского.
М.;Л.: ОНТИ, 1937.
12. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik.
Leipzig, 1901. Kap. 2. S. 45–63.
an2  ...
Так, найденное им значение
 n  1
k r
k
r
 ( kr1 )( n  1) k r 1  ...
...  k (n  1)  1
дает ответ на первый поставленный вопрос, а
 n(k1r )   n(k1r 1)  ...   n(11)   n(01) 
   ...

...        


n k r 2
n2
n1
n2
n k r 3
n2
n2
n2
n k r 1
n1
– на второй.
Заметим, что полученные ответы нами
даны в авторской записи. В ней выражение
~ k r
k 
r
( k r )
  означает C k , а  n1 – Cnr .
r 
Исследование полиномиальной теоремы
и ее свойств затрудняется тем, что каждый из
ученых вводил свои обозначения. Среди них
были Хр. Крамп, А. Крелль, Дж. Вейнгартнер,
А. Вейсс, А. Этинхаузен и др. Их результаты
показывают, что изучение биномиальной и
Aut of the history of binomial and polynomial
theorems
A. E. Malykh, E. I. Yankovich
Perm State Humanitarian Pedagogical University, Russia, Sibirskaja st., 24
malych@pspu.ru; (342) 280-37-55
The article shows a historical process of development of binomial and polynomial theorems. The
contribution of Indian, Islamic and Western European middleage scientists is presented. It’s
showed that B.Pascal was win, who arranged the connection between binomial coefficients and
C nm . Scienfitic knowledge of I. Newton and his predecessors in this problem is estimated.
Ex-
tending of binomial theorem to polynomial is examined.
Key words: binomial theorem; compositions, development of binom’s degree, polynomial theorem; triangle of Pascal; generating function; rows; permutations and combinations with repetition of elements.
89