Решения задач. 5-6 класс Задача 1: Квадрат 4 ×4 разграфлен

Решения задач. 5-6 класс
Задача 1: Квадрат 4×4 разграфлен прямыми, параллельными его сторонам, на 16 одинаковых клеток. Найти 6 способов разрезания квадрата на две одинаковые части так, чтобы линия
разреза шла по сторонам клеток (способы считаются различными, если части, получающиеся
при одном способе, не равны частям, получающимся при другом способе).
Решение: Один из способов разрезания квадрата на две равные части состоит в следующем:
начинаем от середины квадрата проводить ломаную без самопересечений по сторонам клеток,
одновременно симметрично продолжая эту ломаную с другой стороны относительно центра
квадрата. С помощью этого метода можно разрезать данный квадрат на две одинаковые части
следующими 6-ю способами:
Задача 2: Выпишите цифры 0, 1, 2, . . . , 9 в таком порядке, чтобы из любых трех подряд
идущих цифр сумма каких-то двух равнялась 7.
Решение: Все цифры от 0 до 7 можно разбить на пары следующим образом: (0, 7), (1, 6),
(2, 5), (3, 4). При этом сумма цифр в каждой паре равна 7. Заметим, что цифры 8 и 9 не
могут стоять внутри последовательности, удовлетворяющей условию задачи. В самом деле,
пусть цифра a стоит слева от цифры 8, а цифра b стоит справа от нее, и предположим, что
цифра a не является крайней (если она является крайней, то цифра b не стоит с краю, и
можно провести следующие рассуждения для нее), при этом слева от нее стоит цифра c. Итак,
следующая последовательность является частью искомой: . . . ca8b . . .. Тогда из условия задачи
следует, что a + b = 7 и a + c = 7. Но для каждой цифры, не превосходящей 7 существует только
одна, сумма с которой равна 7. Следовательно a = c, что невозможно.
Таким образом можно считать, что искомая последовательность цифр начинается с 8 и заканчивается 9. Далее можно заполнить оставшуюся часть последовательности, разместив пары
(0, 7), (1, 6), (2, 5) и (3, 4) в произвольном порядке но так, чтобы цифры из каждой пары стояли
рядом. Например, это можно сделать следующим способом: 8071625349. Легко проверить, что
эта последовательность цифр удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 8071625349.
Задача 3: Сколько в сутках моментов времени, когда угол между часовой и минутной
стрелкой равен 60 градусам?
Решение: Заметим, что во время обхода минутной стрелки циферблата в течении 12-ти
часов она пересекает часовую ровно 11 раз. Следовательно в течении суток найдется ровно 22
момента, в которые часовая стрелка совпадает по направлению с минутной. Для каждого такого
состояния существует два момента, когда угол между часовой и минутной стрелками равен 60
градусам: когда минутная стрелка еще не дошла до часовой и уже перешла ее. Следовательно в
сутках ровно 44 момента, когда угол между часовой и минутной стрелками равен 60 градусов.
Ответ: 44.
Задача 4: Каждый из трех игроков записывает сто слов, после чего записи сравнивают. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех списков. Могло ли случиться
так, что у первого игрока осталось 54 слова, у второго – 75 слов, а у третьего – 80 слов?
Решение: Пусть A — множество слов первого игрока, которые пришлось вычеркнуть, и
пусть B — объединение всех вычеркнутых слов (см. рисунок). Так как изначально первый
игрок написал 100 слов, то |A| = 46.
Множество A заштриховано, множество B обведено толстой линией.
Множество B состоит из всех слов, которые вычеркнул второй игрок и слов, которые вычеркнул третий игрок. Следовательно, общее число этих слов не больше, чем сумма чисел слов,
вычеркнутых вторым и третьим игроком. То есть |B| 6 (100 − 75) + (100 − 80) = 45. Заметим,
что A ⊆ B, следовательно |A| < |B|. Противоречие.
Ответ: Такое невозможно.