Отзыв официального оппонента «ВОПРОСЫ

Отзыв официального оппонента
о диссертации Басалаева Сергея Геннадьевича
«ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МЕРЬІ В
СУБРИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ»,
представленной на соискание ученой степени кандидата
физико- математическихнаук по специальности 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ
Диссертация Басалаева Сергея Геннадьевича «Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии» посвящена исследованию
ряда взаимосвязанных тонких вопросов субримановой геометрии, ана-
лиза иа субримановых структурах и геометрической теории меры. Все
перечисленные разделы относятся к интенсивно развиваемым направлениям современной математики, решенные в диссертации задачи актуальны по содержанию и могут иметь применения к рящ/ смежных разделов
таких как теория субэллиптических уравнений, геометрическая теория
управления и др.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка
литературы. Во введении приводится обзор темы диссертации, рассказывается об истории рассматриваемых задач, приводятся формулировки известных результатов, на которые автор ссылается в дальнейшем, а
также приводится краткое описание основных результатов диссертации.
Первая глава «Локальная геометрия многообразий Карно» состоит
из 5 разделов. В разделе 1.1 приводится определение пространств Карно - Каратеодори и их важного частного случая - многообразий Карно. Приводятся примеры многообразий Карно. В разделе 1.2 приводятся
известные свойства пространств Карно - Каратеодори и многообразий
Карно, установленные в работах С. К. Водопьянова., М. Б. Кармановой,
А. В. Грешнова и других математиков. В разделе 1.3 автор доказывает теорему об эквивалентности квазиметрик, построеных по координатам первого и второго рода. Из этой теоремы следгует справедливость
известной теоремы М. Громова о нильпотентизации в ее исходной формулировке, в координатах второго рода.
В разделе 1.4 автор доказывает теорему о соединимости точек многообразия Карно с векторными полями класса 01 горизонтальными кривыми. Этот результат является обобщением теоремы Рашевского - Чоу и
сопровождается новым доказательством. Это позволяет определить метрику Карно - Каратеодори. В разделе 1.5 автор изучает свойства метрики Карно - Каратеодори, а также меры Хаусдорфа на многообразии
Карно в этой метрике.
Вторая глава «Неравенство Пуанкаре» состоит из двух разделов. В
разделе 2.1 автор доказывает неравенство Пуанкаре для многообразий
Карно с векторными полями гладкости Сда. В качестве следствия нера-
венства Пуанкаре, используя известный результат П. Хайлаша на метрических пространствах более общего вида, в разделе 2.2 автор доказывает
теоремы вложения типа Соболева.
Третья глава «Аппроксимативная дифференцируемость отображений многообразий Карно» состоит из 4 разделов. В разделе 3.1 приводятся основные определения дифференцируемости отображений многообразий Карно, дифференциала отображения, субримановой производной. В
разделе 3.2 приводится определение аппроксимативного предела, доказывается несколько утверждений об измеримости и аппроксимативном
пределе, а также приводятся определения аппроксимативной субримановой производной и аппроксимативного дифференциала отображения
многобразий Карно. В разделе 3.3 автор формулирует и доказывает основной результат главы - теорему об аппроксимативной дифференцируемости отображений многообразий Карно. В теореме формулируются
несколько эквивалентных критериев аппроксимативной дифференцируемости. Общая схема доказательства схожа с доказательством аналогичной теоремы для групп Карно в работе С. К. Водопьянова в 2000 г.,
вместе с тем она содержит новые нетривиальные детали. В разделе 3.4 в
качестве приложений теоремы об аппроксимативной дифференцируемости автор приводит альтернативное доказательство теорем Радемахера
и Степанова для многообразий Карно (до этого они были доказаны другим способом в работе С. К. Водопьянова в 2007 г.), а также доказывает
формулу площади для аппроксимативно дифференцируемых отображений (обобщение результата М. Б. Кармановой 2010 г. для липшицевых
отображений).
В четвертой главе «Свойства поверхностей уровня слаборегулярных
функций на группах Карно» автор изучает поверхности уровня вещественнозначных функций, непрерывно дифференцируемых в субримановом смысле, на группах Карно. Глава состоит из 3 разделов. В разделе
4.1 приводятся определение непрерывно дифференцируемого отображения многообразий Карно и критерий непрерывной дифференЦИРУЄмости
отображения из работы С. К. Водопьянова 2007 года. В разделе 4.2 приводится определение групп Карно, основные сведения о них, определение
Н-регулярной гиперповерхности на группе Карно, а также некоторые результаты из работы В. РгапсЬі, Н. Ѕегаріопі, Р. Ѕегга Саззапо 2003 г., в
частности, теорема о неявной функции для непрерывно дифференцируемых отображений на группах Карно. В разделе 4.3 автор доказывает
ряд утверждений, среди которых основной результат главы - теорема о
2
том, что параметризации поверхностей уровня непрерывно дифференцируемых функций являются решениями некоторых систем дифференциальнь1х уравнений (законов сохранения). Также для таких поверхностей
доказана формула площади. Приводятся парамегризации поверхностей
уровня на двухступенчатых группах Карно и на группе Энгеля.
В заключении автор отмечает наиболее важные результаты работы
и указывает направления возможных приложений полученных результатов.
Результаты сформулированы в диссертации четко, доказательства
аккуратные и подробные.
Диссертация содержит небольшое количество несущественных опечаток. Так, например, в определении 5 раздела 1.2 фразу «Если выполне-
но условие (2) определения 2...›› следует заменить на «Если выполнено
условие (3) определения 2...», так как именно условие (3) в определении 2
выделяет многообразия Карно среди пространств Карно - Каратеодори
общего вида. На стр. 94 (формула (4.5)), стр. 95 (формула (4.6)), стр. 99
(формулировка теоремы 34) вместо символа градиента 7 стоит буква П.
Все опечатки легко исправимы, не затрудняют чтение диссертации и не
портят общее благоприятное впечатление от работы.
Работа выполнена по актуальной тематике. Основные результаты новые, своевременно опубликованы. Полученные результаты, без сомнения,
найдут применение в различных областях анализа, геометрии, уравнений
в частных производных и теории управления. Автореферат правильно и
полно отражает содержание диссертации.
Считаю, что диссертация Басалаева Сергея Геннадьевича «Вопросы
геометрической теории меры в субримановой геометрии» удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым ВАК к кандидатским диссертаци-
ям, а ее автор заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата
физико- математическихнаук по специальности 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ.
К. ф.- м. н.,доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО
«Новосибирский государственный технический университет»
4.09.2014
И. М. Пупышев
Ия И нд
996”
"Іцдг