3 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ (простые

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
(простые проценты) А.И. ПИЛИПЕНКО
Пример 1.2.1. Вклад в размере 10 тыс. руб. помещен в банк под простую
процентную ставку 26% годовых. 1. Рассчитать наращенную сумму к концу
третьего года. 2. Какова будет величина начисленных процентов? 3. Если банк
осуществляет регулярные выплаты начисленных процентов, то какая сумма
приходится: а) на каждый год; б) на каждый квартал?
Решение. 1. Запишем формулу наращения простыми процентами
FV  PV (1  nr ) .
(1.1)
Полагая в этой формуле РV = 10 000 руб., п = 3 года, r = 0,26, получим
наращенную сумму через 3 года при условии, что не происходят выплаты
простых процентов:
FV  10000(1  3  0,26)  17800 руб.
На рис. 1 показано, как этот результат можно получить, обратившись к
MS EXCEL и используя финансовую функцию БС.
Рис. 1. Расчет наращенной суммы FV с помощью функции БС из
категории Финансовые 1
1
Замечание. В диалоговом окне Ставка число периодов начисления процентов
умножается на процентную ставку, а в диалоговом окне Кпер выставлена цифра 1, а не 3 –
число периодов начисления процентов. Это связано с тем, что финансовая функция БС
предназначена для расчета сложных процентов по формуле
FV  PV (1  r ) n ,
где число периодов начисления процентов n является показателем степени множителя, на
который умножается PV (мультиплицирующего множителя). А множитель, на который
умножается PV в формуле (1.1) всегда имеет показатель степени, равный единице.
3
Обратим внимание на тот факт, что финансовые функции MS EXCEL, как
правило, отражают направление потоков денежных средств. Поэтому в
шаблоне записи исходных данных сумма PV в ячейке В3 взята со знаком
«минус» – денежные средства ушли от нас в банк. Тогда рассчитанная
наращенная сумма будет иметь знак «плюс» – денежные средства вернулись к
нам.
2. Величина начисленных за три года процентов составит
I = FV – PV, или I  PV  n  r ,
(1.2)
т.е. I = 17 800 – 10 000 = 7 800 руб., или иначе I  10000  3  0, 26  7800 руб..
3. При регулярных выплатах начисленных процентов:
а) на каждый год, следуя формуле (1.2) при n = 1, приходится
I ежегодн  10000  1  0, 26  2600 руб., или иначе I ежегодн 
I 7800

 2600 руб.
n
3
б) на каждый квартал, следуя формуле (1.2) при n = 0,25, приходится
I кварт  10000  0,25  0, 26  650 руб.,
или иначе I кварт 
I ежегодн I 2600
 
 650 руб. (см. рис. 2).
4
12
4
Рис. 2. Расчет суммы ежегодных выплат начисленных процентов Iежегодн
I
I
I
и I кварт  ежегодн 
4
12
n
обосновывается тем, что приращение вклада In = PVnr при наращении
простыми процентами растет линейно вместе со сроком его хранения n (см. рис.
3).
Замечание
1. Применение формул I ежегодн 
Замечание 2. Следуя формуле (1.1), проценты на уже начисленные
проценты не начисляются независимо от срока хранения вклада. Поэтому имеет
смысл начисленные простые проценты регулярно получать и использовать,
например, для иных инвестиций.
4
Рис. 3. Расчет суммы регулярных выплат начисленных процентов по
общей формуле In = PVnr, которая введена в ячейку В17 с абсолютными
ссылками на неизменяемые множители (ячейки $В$11 и $В$15), что позволяет
распространить построенную формулу на ячейки В18 и В19 простым
протягиванием
Пример 1.2.2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под
простую процентную ставку 12% годовых, чтобы она увеличилась в 1,2 раза?
Решение. Анализируемая ситуация описывается формулой наращения
простыми процентами (1.1)
FV  PV (1  nr ) .
(1.1)
После очевидных преобразований получаем выражение
FV
(1  nr ) 
,
PV
в котором дробь, стоящая в правой части, равна 1,2. Таким образом, приходим к
выводу, что искомый срок определяется из условия равенства множителя
0, 2
наращения величине 1,2: (1  nr )  1, 2 . Отсюда n 
или, окончательно,
r
0, 2
n
 1,667 года. Значит, если в году 365 дней, то необходимый срок
0,12
составит 1 год и 243 дня, т.к. 0,667×365 = 243,33.
Подумайте, как изменится результат, если целый год – високосный.
Расчеты можно автоматизировать, обратившись к финансовым функциям
MS EXCEL. На рис. 4 и рис. 5 показано, как это сделать, используя функцию
5
СТАВКА из категории Финансовые 2. Обратим внимание на то, что в
соответствии с условием задачи целесообразно принять значения PV = -1, FV =
1,2.
Рис. 4. Заполнив аргументы функции СТАВКА, мы получаем, что произведение
nr равно 0,2. Стало быть, для нахождения n этот результат надо разделить на
значение процентной ставки (см. рис. 5)
Рис. 5. Получен искомый срок финансовой операции, выраженный в годах. Для
того чтобы долю года рассчитать в днях, над умножить ее на соответствующее
число дней в году (високосном или невисокосном)
2
Замечание. Если бы речь шла о вычислении срока финансовой операции при
начислении сложных процентов по формуле FV  PV (1  r )n , то следовало бы обратиться к
финансовой функции КПЕР. Поскольку в условии задачи говорится о начислении простых
процентов, т.е. исходной становится формула FV  PV (1  nr ) , в которой неизвестный срок
финансовой операции n является множителем при известной процентной ставке r, то следует
использовать функцию СТАВКА.
6
Для решения задачи можно было бы использовать функцию БС, как это
показано на рис. 6 - рис. 8. В шаблоне исходных данных в ячейке В6 значение
срока операции n не заполнено – позже будем его искать с помощью
инструмента Подбор параметра, – в ячейке В7 значение PV примем
равным -1 (рис. 6).
Рис. 6. В ячейку В8 введена функция БС. Ее значение оказалось равным 1.
(Почему?)
Поставив курсор в ячейку В8, обратимся в Сервис и вызовем
инструмент Подбор параметра (см. рис. 7).
Рис. 7. Заполнение диалоговых окон инструмента Подбор параметра
7
Рис. 8. Результат, полученный инструментом Подбор параметра
8