ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1 задача. Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а так же написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую "схему гибели и размножения". 01 12 23 k-1,k k,k+1 n-1,n ┌────┐ ┌────┐ ┌────┐ ┌────┐ ┌────┐ ┌────┐ │ S0 ├─>│ S1 ├─>│ S2 ├─>..─>│ Sk ├─>...─>│Sn-1├─>│ Sn │ │ │<─│ │<─│ │<─..<─│ │<──..<─│ │<─│ │ └────┘ └────┘ └────┘ └────┘ └────┘ └────┘ 10 21 32 k,k-1 k+1,k n,n-1 Рис. 1. Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S1, S2,..., Sn-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) только с одним соседним состоянием. Термин "схема гибели и размножения" ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции. Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие (для краткости будем называть систему S и протекающий в ней процесс простейшим). Пользуясь графом рис. 1 составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S0 имеем: 01p0 = 10p1 Для второго состояния S1: (12 + 10)p1 = 01p0 + 21p2 Подставляя в последнее равенство уравнение для первого состояния, получаем упрощенное уравнение для второго состояния S1: 12p1 = 21p2; далее, совершенно аналогично: 23p2 = 32p3; и вообще: k-1,k pk-1 = k,k-1pk; где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р0, р1,... , рn удовлетворяют уравнениям: 01p0 = 10p1 12p1 = 21p2 … k-1,k pk-1 = k,k-1pk; … n-1,n pn-1 = n,n-1pn; (1) кроме того, надо учесть нормировочное условие: р0+р1+р2+...+рn = 1. Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (1) выразим р1 через р0: 01 p1 = ───── p0. 10 (2) Из второго с учетом (2) получим: 12 12 01 p2 = ──── p1 = ───── p0, 21 21 10 (3) из третьего, с учетом (3): 23 12 01 p3 = ──────── p0, 32 21 10 (4) и вообще для любого k (от 1 до n): k-1,k ... 12 01 pk = ───────────── p0. k,k-1 ... 21 10 (5) Обратим внимание на формулу (5). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk). Таким образом, все вероятности состояний р0, р1,..., рn выражены через одну из них (р0). Подставим это выражение в нормировочное условие получим, вынося за скобку р0: 01 12 01 n-1,n… 12 01 p0 ( 1 + ── + ────── + ... + ─────────── ) = 1 10 21 10 n,n-1… 21 10 отсюда получим выражение для р0: 01 12 01 n-1,n… 12 01 -1 p0 = ( 1 + ── + ────── + ... + ─────────── ) (6) 10 21 10 n,n-1… 21 10 (скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р0 (см. формулы (2)-(5) ). Заметим, что коэффициенты при рi в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (6). Значит, вычисляя р0 мы уже нашли все эти коэффициенты. Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.