Документ 166177
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Цуканова Ольга Анатольевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
Цуканова О. А. Математические методы моделирования экономических систем: уч. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО, 2012
В настоящем учебном пособии излагаются методы экономикоматематического моделирования, которые широко используются в различных областях экономики при принятии управленческих решений. Во всех
разделах приведены краткие теоретические сведения, сформулированы актуальные экономические проблемы, ряд задач снабжен решениями.
Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины
«Математические методы моделирования экономических систем» и предназначено для магистров по направлению 230700.68 «Прикладная информатика», 080005 «Бизнес-информатика».
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в
результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была
утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский
государственный университет информационных технологий, механики и
оптики» на 2009–2018 годы.
© Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, 2012
© О. А. Цуканова, 2012
2
ВВЕДЕНИЕ
Современный специалист при принятии управленческих решений должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их
применять на практике при анализе рыночных процессов, внешней и внутренней среды предприятия, уметь конструировать с использованием известных математических методов экономические системы и анализировать динамику составляющих их идентификаторов.
Данное учебное пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся
по направлению «Прикладная информатика». Учебное пособие также может
быть использовано студентами, аспирантами, преподавателями экономических вузов, менеджерами предприятий.
Целевая направленность – дать общее представление о возможностях
использования математических методов для моделирования экономических
систем. В соответствии с этим учебное пособие включает в себя рассмотрение следующих аспектов:
использование вероятностных методов моделирования экономических
систем;
применение инструментария статистического моделирования;
использование оптимизационных методов и моделей в управлении
экономическими системами;
рассмотрение ряда типовых моделей управления в различных областях
экономики.
Учебное пособие разработано в компетентностном формате, то есть описывает содержание (знания) через решение актуальных проблем и практических
задач. Предусмотрена отработка навыков подготовки и принятия управленческих решений с реализацией типовых задач менеджмента на компьютере с использованием прикладных программ.
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 3
СОДЕРЖАНИЕ ..................................................................................................... 4
1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ......................................................................... 7
1.1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем ...................................................................................... 7
1.1.1. Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и
функциях ............................................................................................................ 7
1.1.2. Числовые характеристики случайных величин ................................. 13
1.1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин .
................................................................................................................. 14
1.1.4. Основные законы распределения случайных величин. Выбор
теоретического закона распределения .......................................................... 19
1.2. Моделирование экономических систем с использованием марковских
случайных процессов ............................................................................................ 26
1.2.1. Основные понятия марковских процессов ......................................... 26
1.2.2. Марковские цепи................................................................................... 27
1.2.3. Непрерывные цепи Маркова................................................................ 30
1.3. Моделирование систем массового обслуживания..................................... 31
1.3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания . 31
1.3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания ....... 34
2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ............................................................................................................... 47
2.1. Статистические показатели. Средние величины и изучение вариации .. 47
2.2. Индексы.......................................................................................................... 49
2.3. Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях .......... 51
2.3.1. Линейная регрессия и корреляция: смысл и оценка параметров..... 51
2.3.2. Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии 58
2.3.3. Нелинейная регрессия .......................................................................... 60
2.4. Множественная регрессия и корреляция .................................................... 64
4
2.4.1. Спецификация модели. Отбор факторов для построения модели ... 64
2.4.2. Выбор формы уравнения регрессии. Оценка параметров уравнения
множественной регрессии .............................................................................. 66
3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ
ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ......................................................... 72
3.1. Линейное программирование ....................................................................... 72
3.1.1. Построение экономико-математических моделей задач линейного
программирования .......................................................................................... 72
3.1.2. Графическое решение задач линейного программирования ............ 75
3.1.3. Симплекс-метод .................................................................................... 82
3.1.4. Методы нахождения опорного решения задачи линейного
программирования .......................................................................................... 87
3.1.5. Экономическая интерпретация решения задачи линейного
программирования .......................................................................................... 90
3.1.6. Экономико-математический анализ полученных оптимальных
решений............................................................................................................ 93
3.2. Транспортные задачи ..................................................................................... 95
3.2.1. Математическая модель транспортной задачи .................................. 95
3.2.2. Опорное решение транспортной задачи ............................................. 96
3.2.3. Метод потенциалов............................................................................... 99
3.3. Теория игр ..................................................................................................... 102
3.3.1. Управление в условиях неопределенности ...................................... 102
3.3.2. Принятие решений в условиях неопределенности .......................... 104
3.3.3. Теория игр. Стратегия игры. Метод линейного программирования
для нахождения решения игр ...................................................................... 107
4. ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ .................................................. 111
4.1. Модели маркетинга ...................................................................................... 111
4.1.1. Игровая модель обмена товарами ..................................................... 111
4.1.2. Задача прикрепления потребителей к поставщикам ....................... 111
4.1.3. Модель определения стадии жизненного цикла товара ................. 112
4.1.4. Модель выбора сегментов рынка ...................................................... 112
4.1.5. Регрессионная модель спроса ............................................................ 113
5
4.1.6. Анализ риска инноваций .................................................................... 113
4.2. Модели финансового менеджмента ........................................................... 115
4.2.3. Модель оценки риска проекта ........................................................... 116
4.2.3. Опционные модели ............................................................................. 117
4.3. Модели антикризисного менеджмента ..................................................... 119
4.3.1. Модели оптимизации управления нововведениями ....................... 119
4.3.2. Модель оптимизации управления продажами и транзакциями ..... 122
4.3.3. Модель оптимизации управления ресурсным потенциалом .......... 124
4.4. Модели экономической безопасности ...................................................... 126
4.4.2. Модель определения зон защиты предприятия в условиях
ограниченности средств ............................................................................... 129
4.4.3. Модель определения объектов защиты в условиях независимости
ущербов .......................................................................................................... 130
4.4.4. Модель распределения работы службы безопасности предприятия ...
............................................................................................................... 132
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 135
Приложение 1 ..................................................................................................... 136
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем» ...................................................................................... 136
Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов» ................................................................... 137
Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания» ............ 138
Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических
исследованиях».................................................................................................... 139
Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция» ........................... 140
Задачи по теме «Линейное программирование».............................................. 141
Задачи по теме «Транспортные задачи» ........................................................... 143
Задачи по теме «Теория игр» ............................................................................. 144
Задачи по теме «Типовые модели управления» ............................................... 145
6
1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем
1.1.1. Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и функциях
В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или
непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным. Совокупность условий, в которых рассматривается данное событие, называют
комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими
комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные
события.
Достоверным называется такое событие (U), которое наступает каждый
раз при реализации данного комплекса условий.
Невозможным называется событие (∅), которое никогда не наступает
при реализации данного комплекса условий.
Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить.
Элементарное событие – это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Совокупность или множество их составляют пространство элементарных событий.
В общем случае пространство элементарных событий может быть любой
природы: конечным и бесконечным, дискретным и непрерывным. Пространство элементарных событий является синонимом достоверного события, так
как один из его элементов непременно наступит.
Пустое множество – это множество, не содержащее элементарных событий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозможного
события.
При изучении случайных событий в ходе системного анализа и моделирования информационных процессов и систем используется группа событий,
между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни события через другие.
Рассмотрим эти соотношения:
1) Событие А содержится в событии В(А ⊂ В). Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, непременно происходит и событие В, то говорят, что событие А содержится в событии В или принадлежит событию В;
7
2) Тождественные события (А = В). Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии А, то говорят, что события А и
В тождественны или равносильны;
3) Произведение событий (𝐶 = 𝐴 ∗ 𝐵). Произведением (или пересечением)
событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит элементы, принадлежащие множествам А и В (𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 = 𝐴 ∗ 𝐴);
4) Несовместные события (А * В = ∅). События А и В называются несовместными, если их совместное появление при испытании невозможно;
5) Сумма событий (𝐶 = 𝐴 + 𝐵 или 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵) . Суммой событий А и В
называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих
событий. Множество С содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В;
6) Полная группа событий (𝐶 = 𝐴 + 𝐵 =∪). События А и В составляют
полную группу событий, если при реализации заданного комплекса условий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий есть событие достоверное;
7) Противоположное событие. Два события А и А (читается «не А»)
называются противоположными, если они составляют полную группу
несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию 𝐴 + 𝐴̅ =∪; 𝐴 ∗ 𝐴̅ =
0.
При классическом определении за вероятность события А принимается
отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m)
к общему числу возможных исходов (n):
𝑚
𝑃(А) =
𝑛
Вероятность и частота (𝑃∗ (𝐴)) события тесно связаны между собой.
Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, есть
все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать, что
𝑚(𝐴)
𝑃(𝐴) ≅ 𝑃∗ (𝐴) =
𝑛
Такой способ определения вероятности события Р(А) называется статистическим.
Частота случайного события А находится в интервале [0;1]:
0 ≤ 𝑃∗ (𝐴) ≤ 1
Частота достоверного события равна единице. Частота невозможного
события равна нулю.
Свойства вероятностей событий:
1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. 𝑃(∅) = 0 ;
8
2. Для любого события А вероятность противоположного события Ā равна
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴);
3. Если событие А влечет за собой событие В, т. е. А В, то 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵);
4. Вероятность события А заключена между нулем и единицей, т.е.
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1;
5. Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
без вероятности их произведения: 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).
Вероятность события определяется при условии реализации некоторой
совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме упомянутых условий, при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности
называются безусловными. Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при условии, что произошло некоторое событие B, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и
обозначаются Р(А/В).
Событие А называется независимым от другого события В, если вероятность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет. В противоположном случае событие А называется зависимым от события В. Следовательно, если события А и В независимые, то Р(А/В) = Р(А).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии,
что первое произошло:
Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р{А/В}
Вероятность произведения независимых событий равна:
Р(А * В) = Р(А) * Р(В)
Вероятность произведения n случайных событий равна произведению
вероятности одного из них на условные вероятности остальных, вычисленных при условии, что все предшествующие события произошли.
Правило сложения вероятностей двух событий гласит, что вероятность наступления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Если события несовместны, то правило сложения вероятностей принимает вид:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Если несовместные события составляют полную группу, т. е.
А1 + А 2 + ... + А п = ∪ и
А i * А j = ∅, i ≠ j, то
𝑃(∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) = 1.
Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Случайной называется такая величина, которая в результате испытания
(реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное
9
значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Если повторять
испытания, то результатом каждого будет какое-либо одно значение случайной величины из множества возможных.
Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Множество значений дискретной случайной величины конечно или
счетно, например: количество отказов автомобилей автопредприятия в течение рабочей смены; число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение одного часа получать заработную плату, и т. д.
Множество значений непрерывной случайной величины представляет
собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу числовой оси, например: расход топлива на километр пробега; время безотказной
работы автомобиля и т. д.
Кроме дискретной и непрерывной случайных величин встречаются случайные величины смешанного типа, для которых наряду с участками непрерывных значений имеются отдельные, изолированные значения.
Закон распределения случайной величины представляет собой соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в
любом интервале.
Основными формами закона распределения являются: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения.
Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены
возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
Xi
X1
X2
X3
….
Xn
Pi
P1
P2
P3
….
Pn
В таблице Xi - i-е значение случайной величины Х; P i - вероятность появления i-го значения случайной величины X. При этом ∑𝑖 𝑃𝑖 = 1
Эмпирический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены наблюдаемые значения (фактические реализации) случайной величины и соответствующие им частоты:
Xi
X1
X2
X3
….
Xn
mi
m1
m2
m3
….
mn
В таблице x i — i-я фактическая (наблюдаемая) реализация случайной
величины Х; m i — количество появлений (частота) величины х i .
Ряды распределения, образованные из значений случайной величины,
характеризующей качественный признак, называются атрибутивными. Ряды
распределений, образованные из значений случайной величины, характеризующей количественный признак явления (события), называются вариационными.
Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной
случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечислить, так как множество их несчетно. Кроме того, вероятность отдельного
значения непрерывной случайной величины равна нулю.
10
Для характеристики непрерывной случайной величины определяют вероятность появления значения случайной величины меньшего x, где x — текущая переменная, т. е. определяют вероятность события X < х. Вероятность
этого события зависит от x, т. е. является функцией х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):
F(x) = Р(Х < х)
Таким образом, функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина X примет любое значение, меньшее х.
Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал
[а, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой
начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в отдельных случаях
функция может иметь скачки — разрывы. Функцию распределения дискретной случайной величины можно определить, зная ее ряд распределения, по
формуле:
𝐹(𝑥) = ∑𝑥𝑖 <𝑥 𝑃(𝑥𝑖 ).
где суммирование распространяется на значения х i которые меньше х.
Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в
качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то
определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого
интервала [ х , х + Δх), примыкающего к x. Разделив эту вероятность на длину интервала Δх, находят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является
плотностью распределения в точке х :
𝑃(𝑥≤𝑋<𝑥+∆𝑥)
𝑓(𝑥) = lim
.
∆𝑥→0
∆𝑥
Плотность распределения f (х ) есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок и длины этого участка при ее
неограниченном уменьшении.
Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок
[a, b ) равна:
𝑏
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен
единице, т. е.
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 1.
Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность достоверного события - попадания случайной величины на участок от - ∞ до ∞, а
значит, равен единице.
11
График плотности распределения называется кривой распределения, лежащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью
абсцисс ограничивает площадь, равную единице (рис. 1.1).
Рис. 1.1. График плотности распределения (кривая распределения)
Вероятность попадания на участок [а, b) равна площади ограниченной
кривой распределения, опирающейся на участок [а, b ) .
Плотность распределения есть производная функции распределения. С
другой стороны:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(−∞ < 𝑋 < 𝑥)
𝑥
откуда
𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥.
Величину F (x) называют интегральной функцией распределения X.
Величина f (x) – дифференциальная функция распределения случайной
величины X. Для оценки особенностей законов распределения случайных
величин определяют числовые характеристики этих велчин.
Пример 1.1. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в
них окажутся пункты проката?
Решение
Пусть А – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится
пункт проката; В – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.
Вероятность события А: Р(А) = 5/100 = 0,05
Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем условную
вероятность: Р(В/А) = 4/99 = 0,04.
Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий: Р(АВ) =
(5/100) *(4/99) = 1/495 = 0,002.
12
1.1.2. Числовые характеристики случайных величин
При решении многих практических задач часто достаточно указать отдельные числовые характеристики, определяющие особенности того или
иного распределения случайной величины. Это прежде всего среднее значение, которое принадлежит к характеристикам положения случайной величины, т. е. представляет такую величину, относительно которой каким-то образом группируются, рассеиваются всевозможные значения случайной величины.
Среднее значение, или математическое ожидание дискретной случайной величины, вычисляется по формуле
𝑀(Х) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 ,
где х i – возможные значения случайной величины X;
P i - вероятность появления i-го возможного значения случайной величины X.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной
величины.
Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание
определяется интегралом:
∞
𝑀(Х) = ∫−∞ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 .
Медианой Me (Х) случайной величины называется такая величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины:
Р ( Х > Me) = Р ( Х < Me).
Медиану применяют в качестве характеристики ряда распределения в
тех случаях, когда имеются очень большие колебания случайной величины.
Модой Мо (Х) дискретной случайной величины называется ее значение,
обладающее наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение, которое отвечает максимальной плотности
распределения.
Для оценки степени разброса, рассеивания значений случайной величины относительно среднего вычисляют следующие характеристики: дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации.
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонений
случайной величины от своего математического ожидания:
𝐷𝑥 = 𝜎𝑥2 = 𝑀|(𝑋 − 𝑚𝑥 )2 |
Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания, т. е. будет больше рассеивание случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
𝜎𝑥2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑚𝑥 )2 ∙ 𝑝(𝑥𝑖 ).
Дисперсия непрерывной случайной величины равна:
13
∞
𝜎𝑥2 = ∫−∞(𝑥 − 𝑚𝑥 )2 ∙ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥.
Среднее квадратическое отклонение ( 𝜎𝑥 ) , которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной.
Величины 𝜎𝑥2 и 𝜎𝑥 показывают абсолютное отклонение от среднего значения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень ее рассеивания. Относительной характеристикой рассеивания является коэффициент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического отклонения и эмпирической средней:
𝜎
𝑉 = 𝑥 ∙ 100%.
𝑥̅
Коэффициент вариации может использоваться для сравнения меры рассеивания (колеблемости) случайных величин, имеющих различную размерность.
Пример 1.2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Х
р
2
0,4
Y
p
4
0,2
0
0,5
6
0,1
1
0,2
8
0,3
2
0,3
Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2X + 3Y
Решение
Используя свойства математического ожидания, а также учитывая, что X и Y - независимые величины, имеем: M(Z) = M (2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y)
Тогда M(X) = 2*0,4+4*0,2+6*0,1+8*0,3 = 4,6
M(Y) = 0*0,5+1*0,2+2*0,3 = 0,8
M(Z) = 2*4,6+3*0,8 = 11,6
1.1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин
Эмпирические ряды распределения, получаемые при обработке первичных статистических данных, оформляются в таблицах или изображаются
графически посредством геометрических образов. Построение эмпирических
графиков и диаграмм позволяет установить на первом этапе исследования, к
какому типу теоретических распределений ближе всего полученное эмпирическое распределение, что облегчает выбор конкретных технических приемов обработки исходных данных.
Статистическая таблица – система строк и столбцов, в которых в
определенной последовательности и связи излагается статистическая информация о социально-экономических явлениях.
Статистические графики представляют собой условные изображения
числовых величин и их соотношений посредством линий, геометрических
фигур, рисунков или географических карт-схем.
14
По способу построения графики делятся на диаграммы, картограммы и
картодиаграммы. Наиболее распространенными являются диаграммы. Они
бывают разных видов: линейные, радиальные, точечные, плоскостные, объемные, фигурные.
На картограмме распределение изучаемого признака по территории
изображается условными знаками (точками, штриховкой, цветом и т.д.), соответствующими определенным интервалам значений величины этого признака. Эти знаки покрывают контур каждого района. Картограмма применяется в тех случаях, когда возникает необходимость показать территориальное
распределение какого-нибудь одного статистического признака между отдельными районами для выявления закономерностей этого распределения.
Картодиаграмма – это сочетание диаграммы с географической картой.
В качестве изобразительных знаков в картодиаграммах используются те или
иные фигуры, которые размещаются на контуре географической карты. Картодиаграммы дают возможность графически отразить более сложные статистико-географические соотношения, чем картограммы.
Начальным этапом статистического изучения вариации является построение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (убывающим) значениям признака и подсчет числа
единиц с тем или иным значением признака. Вариационный ряд часто называют рядом распределения.
Рассмотрим процедуру построения вариационного ряда. Для этого будем рассматривать некоторую случайную величину X. При функционировании экономической системы или ее элемента в течение некоторого времени t
случайная величина X может принять п определенных значений. Совокупность этих случайных значений случайной величины в математической статистике называется статистической выборкой объема п. Если расположить
отдельные значения случайной величины X в возрастающем или убывающем
порядке и указать относительно каждого значения, как часто оно встречалось
в данной совокупности, то получится эмпирическое распределение случайной величины, или вариационный ряд, на основании которого определяются
аналитическая форма неизвестной плотности вероятности Δх , функция распределения F(x) и оцениваются входящие в нее параметры.
Весь диапазон значений непрерывной случайной величины X разбивается на интервалы. Далее подсчитывается количество значений mi, случайной
величины X, приходящейся на каждый интервал, и определяется частота ее
попадания в данный интервал по формуле:
𝑚
𝑝𝑖∗ = 𝑖.
𝑛
Если случайная величина X, принимает значение, попадающее на границу i-го и (i+1)-го интервалов, то это значение учитывается в числе попаданий в (i + 1)-й интервал.
15
Определив таким образом частоты попадания случайной величины X в
каждый интервал, получим вариационный (статистический) ряд, который
представляют в виде таблицы:
Интервал
Частота p∗i
t1 − t 2
p1∗
…
…
t2 − t3
p∗2
t i − t i+1
p∗i
…
…
t k − t k+1
p∗k
Оптимальная длина интервала определяется по формуле:
∆𝑥 =
𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛
1+3.21∙lg n
.
Хmax – Х min - размах вариации случайной величины X.
Число интервалов будет равно:
Xmax−𝑋𝑚𝑖𝑛
k=
.
𝛥𝑥
Если k не целое число, то в качестве числа интервалов надо взять ближайшее к k целое число, не меньшее k .
Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полигона распределения и гистограммы.
Полигон распределения представляет собой многоугольник, который
строится на прямоугольной координатной сетке. В выбранных масштабах на
оси абсцисс наносится шкала для фактических значений случайной величины
𝑚
X, на оси ординат — для частот 𝑝∗ = .
𝑛
Пользуясь этими шкалами, наносят точки M1 с координатами x1 и
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚𝑖
𝑛
.
Точки 𝑀1 (𝑥1 ∙ 𝑖 ) , 𝑀2 = (𝑥2 ∙ 2) , 𝑀𝑘 = (𝑥𝑘 ∙ 𝑘) соединяют ломаной лини𝑛
𝑛
𝑛
ей M1 M2 M3…Mi….Mk. Крайние точки M1 и Mk, если они лежат на оси Ox,
соединяют также со смежными точками соответственно Mo (Xo, 0) и Мk+1
(xk+1,0) на оси абцисс. Полученный таким образом многоугольник M0 M1 M2
…. Mi …. Mk Mk+1 является полигоном распределения.
Рис. 1.2. Полигон распределения реализаций случайной величины X
16
Полигоны распределения чаше всего применяются для изображения
дискретных вариационных рядов.
Гистограмма распределения реализаций случайной величины применяется для графического изображения интервальных рядов распределения. Она
представляет собой многоугольник, построенный с помощью смежных прямоугольников. В случае непрерывных равных интервалов с шириной интервала Δх гистограмма строится следующим образом (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Гистограмма распределения
В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализа𝑝∗
ций случайной величины X. на оси ординат – величины
. Пользуясь этими
∆𝑥
шкалами, строят прямоугольники ABCD, DEFG,основания которых соот𝑝1∗ 𝑝2∗
𝑝𝑘∗
ветствуют ширине интервала Δх, а высоты равны отношениям , , … , .
∆𝑥 ∆𝑥
∆𝑥
Многоугольник ABCEF... QORJA и является гистограммой распределения.
Гистограммы чаще всего применяются для изображения вариационных
рядов с непрерывными значениями случайной величины X. При уменьшении
величины каждого интервала гистограмма будет приближаться к некоторой
плавной кривой, соответствующей графику функции плотности распределения случайной величины X. Следовательно, в результате построения гистограммы можно получить представление о дифференциальном законе распределения случайной величины X.
Пример 1.3. Построить гистограмму и статистическую функцию распределения часовой выработки подвижного состава автопредприятия.
Значения часовой выработки получены в ходе наблюдения за работой автомобилейсамосвалов КамАЗ-5511 в течение календарного года. Объем выборки составил n = 100
наблюдений. Размах вариации равен:
𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 15.13 − 4.0 = 11.13
Величина интервала вариационного ряда определена:
𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 15.13 − 4.0
∆𝑥 =
=
= 7.42 ≈ 8
∆𝑥
1.5
Количество интервалов вариационного ряда равно:
17
𝑘=
𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 15.13 − 4.0
=
= 7.42 ≈ 8
∆𝑥
1.5
Вариационный ряд часовой выработки автомобиля представлен в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Вариационный ряд часовой выработки автомобиля
Интервал
∆𝑥𝑖𝑗 , 𝑚
Частота 𝑝𝑖∗
4-5,5
5,5-7,0
7,0-8,5
8,5- 10
10-11,5
11,513,0
13,014,5
14,5-16
0,07
0,14
0,17
0,17
0,15
0,14
0,11
0,05
Решение
Для построения гистограммы определим ее ординаты из выражения:
𝑚𝑖
𝑝𝑖∗
=
= 𝑎𝑖
𝑛 ∙ ∆𝑥
∆𝑥
𝑝∗
1. ∆𝑥1 =
0.07
4. ∆𝑥4 =
𝑝∗
0.07
𝑝∗
0.11
7. ∆𝑥7 =
1.5
1.5
1.5
𝑝∗
= 0.047
2. ∆𝑥2 =
0.14
= 0.113
5. ∆𝑥5 =
𝑝∗
0.15
= 0.073
8. ∆𝑥8 =
𝑝∗
0.05
1.5
1.5
1.5
𝑝∗
= 0.093
3. ∆𝑥3 =
0.17
= 0.1
6. ∆𝑥6 =
𝑝∗
0.14
1.5
1.5
= 0.113
= 0.093
= 0.033
Основываясь на данных табл. 1.1 и проведенных расчетах построим гистограмму
(рис. 1.4).
Следует отметить, что при неограниченном увеличении объема выборки п кривая
гистограммы частот совпадает с графиком плотности вероятностей.
Построим статистическую функцию распределения часовой выработки автомобиля:
1. при x ≤ 4
F ∗ (xi ) = 0
2. при 4 ≤ x ≤ 5.5
F ∗ (xi ) = 0.07
∗ (x )
3. при 5.5 ≤ x ≤ 7
F i = 0.21
4. при 7 ≤ x ≤ 8.5
F ∗ (xi ) = 0.38
5. при 8.5 ≤ x ≤ 10
F ∗ (xi ) = 0.55
6. при 10 ≤ x ≤ 11.5
F ∗ (xi ) = 0.70
∗ (x )
7. при 11.5 ≤ x ≤ 13
F i = 0.84
8. при 13 ≤ x ≤ 14.5
F ∗ (xi ) = 0.95
9. при 14.5 ≤ x ≤ 16
F ∗ (xi ) = 1.0
18
Рис. 1.4. Гистограмма часовой выработки автомобиля
График статистической функции распределения представлен на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Статистическая функция распределения часовой выработки автомобиля
1.1.4. Основные законы распределения случайных величин. Выбор теоретического закона распределения
Дискретные законы распределения
Биномиальное распределение
Это распределение числа X появления события А в серии из n независимых испытаний. Вероятность наступления события А в каждом испытании
равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 —р. В каждом испытании возможно два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформулированных условиях ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли:
𝑃(𝑋 = 𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 (1 − 𝑝)𝑛−𝑚 , (𝑚 = 0.1, … , 𝑛)
или 𝑃(𝑋 = 𝑚) =
𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!
𝑝𝑚 (1 − 𝑝)𝑛−𝑚 , (𝑚 = 0.1, … , 𝑛),
где P(x=m) – вероятность появления события А равна т раз в серии из n
испытаний.
Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами: р и n. На рис. 1.6 показаны многоугольники биномиального распределения для некоторых значений этих величин.
19
Рис. 1.6. Примеры кривых биноминального распределения
Числовые характеристики биномиального распределения случайной величины X:
• математическое ожидание
М[Х] = п •р ;
• дисперсия
D x = п • р • q = п • р(1 - р);
• коэффициент асимметрии (скошенности) распределения:
𝑞−𝑝
𝑎𝑥 =
;
√𝑛∙𝑝∙𝑞
• коэффициент эксцесса (мера крутости) распределения:
1
𝑐𝑥 =
.
𝑛∙𝑝∙𝑞
Пример 1.4. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.
Решение
Математическое ожидание числа отказов:
𝑀[𝑋] = 𝑛 ∙ 𝑝 = 5 ∙ 0.2 = 1
Дисперсия: 𝐷𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞 = 5 ∙ 0.2 ∙ 0.8 = 0.8
Среднее квадратическое отклонение:
ax
Коэффициент асимметрии:
Коэффициент эксцесса:
cx
𝜎𝑥 = √𝐷𝑥 = √0.8 = 0.8944
q p
0,8 0,2
0,671;
n* p*q
5 * 0,2 * 0,8
1 6 pq 1 6 * 0,8 * 0,2
0,05;
n* p*q
5 * 0,2 * 0,8
Распределение Пуассона
Данное распределение является предельным случаем биномиального
распределения. Предположим, что в биномиальном распределении р → 0 и п
→∞, так, что п*р →М[Х] = а > 0. Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает вид:
20
P( X m)
( a k * e e ) a k a
*e ,
k!
k!
k=0,1,2,…,
что и является распределением Пуассона. Распределение Пуассона зависит
только от одного параметра – математического ожидания М[Х] = а. Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей распределение
Пуассона, равны величине а > 0, а именно дисперсия случайной величины
X , имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому
ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического
распределения к распределению Пуассона.
Пример 1.5. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы
один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.
Решение
Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС следующая:
a m a a1 a
P( X 1)
* e * e a * e a 3 * e3 0,149.
m!
1!
2. Вероятность того, что на АЗС будет находиться хотя бы один автомобиль, равна вероятности того, что на АЗС будет находиться не менее одного автомобиля, т. е.
a
P( X 1) 1 P( X 0) 1 * e a 1 e 3 0,95.
0!
1.
Непрерывные распределения вероятностей
Нормальное распределение
Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. Плотность нормального распределения определяется по формуле:
1
f ( x)
*e
x 2
( x mx ) 2
2
Непрерывная случайная величина X принимает значения от -∞ до +∞.
Соответствующая функция распределения равна:
F ( x)
1
x 2
x
* e
( x mx )
2 x2
dx.
Типичные графики плотности вероятности f(х) и функции нормального
распределения приведены на рис. 1.7.
21
Рис. 1.7. Графики кривых нормального распределения
Основные свойства нормального распределения:
1. нормальное распределение полностью характеризуется математическим
ожиданием и дисперсией;
2. кривая плотности вероятности f(х ) нормального распределения симметрична относительно математического ожидания т х . Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной т х ;
3. при |х| →∞ ветви кривой распределения асимптотически приближаются
к оси 0х;
4. математическое ожидание случайной величины X, распределенной в соответствии с нормальным законом, совпадает по величине с ее модой и
медианой;
5. коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.
При значении σx = 1 и т х = 0 нормальную кривую называют нормированной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормальным законом распределения с плотностью:
z2
1
f ( z)
* e * 2 , z
2
Пример 1.6. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) t = 2 ч.
Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно σt = 0,403 ч. Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5
ч.
Решение
1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:
p(1,5 t 2,5) F (2,5) F (1,5)
z2
(t2 t )
t
; z1
(t1 t )
t
;
2. Определим z:
(2,5 2)
(1,5 2)
z2
1,24; z1
1,24.
0,403
0,403
22
3. По таблицам «Функция распределения для закона Гаусса» определим значение стандартной нормальной функции распределения:
Ф( z 2 ) Ф(1,24) 0,892
Ф( z1 ) Ф(1,24) 0,107
4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5; 2,5] будет равна:
р( 1 , 5 < t < 2,5) = Ф( z 2 ) - Ф(z1) = 0,892 - 0,107 = 0,785.
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:
f k ( x)
k * x k 1 * e x
Г (k )
при x>0, где λ > 0 и k > 0
Г (k) – гамма-функция:
Г (k ) e t * t k 1 * dt
0
Если k – целое неотрицательное число, то Г(k) = k!
Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гаммараспределению, равно: mx
k
При этом дисперсия величины Х определяется по формуле: Dx
k
2
При целом k > 1 гамма-распределение превращается в распределение
Эрланга k-го порядка, т. е.
f k ( x)
* (x) k 1 * e x
(k 1)!
(x>0; k=1,2,…)
Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных
величин х1, + х2 + ... + х к , каждая из которых распределена но показательному закону с параметром λ.
При k = 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром λ.
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение,
если ее плотность распределения выражается формулой: .
f ( x) * e x x>0
Положительная величина λ является параметром показательного распределения.
Функция распределения случайной величины X выглядит следующим
образом:
23
F ( x) 1 e x , 0,0 x
Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Графики показательного распределения
Математическое ожидание случайной величины X , имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е. mx
1
Дисперсия случайной величины X , имеющей показательное распределение, равна Dx
Отсюда x
1
2
1
2
, т.е. x m x
1
,
Коэффициент вариации случайной величины Х, имеющей показательное
распределение, равен единице: Vx
x
mx
,1
Существует важное соотношение между пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону.
Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распределения Пуассона.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на
отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне
его равна нулю.
1
при a x b
f ( x) b a
x b; x a
0
24
Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Кривая равномерного распределения
Значения f ( х ) в крайних точках а и b участка (а, b ) не указываются, так
как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.
Математическое ожидание случайной величины X , имеющей равномерное распределение на участке [a, b], равно: mx
Дисперсия случайной величины X ,
ab
.
2
имеющей равномерное рас-
(b a) 2
пределение на участке [a, b], вычисляется по формуле: Dx
.
12
Отсюда x Dx
ba
2 3
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок [a, b]: P( X )
ba
.
Пример 1.7. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?
Решение
Так как (β - α) = 3 мин., a ( b - а ) = 4 мин., то P(0< X <3) = 3/4= 0,75
Выбор теоретического закона распределения случайной величины
При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее
распределения могут быть определены в первом приближении по таблице
1.2.
Для более точного определения теоретического закона распределения
проводят дополнительную статистическую обработку данных. При обработке
статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного
статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выра25
жала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловленные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается подбор
наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может
быть задан либо функцией распределения F ( х ) , либо плотностью распределения f ( х ) .
Таблица 1.2
Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации
Пределы изменения
коэффициента
вариации V x
V x =< 0,3
0,3 < Vx < 0,4
0,4 =< Vx < 1
Vx = 1
Закон распределения случайной
величины Х
Нормальный
Гамма-распределение
Вейбулла
Экспоненциальный, пуассона
Для построения теоретической кривой распределения исходный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения f ( х ). При этом выбирается такая
функция f ( х ), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпирическим f ( х )≈f*(x). Для оценки правдоподобия этого
приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f ( х ).
Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий
2
χ К. Пирсона и критерий А.Н. Колмогорова.
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем» представлены в Приложении 1 учебного
пособия.
1.2. Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов
1.2.1. Основные понятия марковских процессов
Функция X( t ) называется случайной, если ее значение при любом аргументе X является случайной величиной.
Случайная функция X ( t ) , аргументом которой является время, называется случайным процессом.
Марковские процессы являются частным видом случайных процессов.
Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процес26
сов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью марковских процессов можно описать
(точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем.
Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется
марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени to вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
Классификация марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции
Х(t) и параметра t.
Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:
с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские
последовательности);
с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная
цепь Маркова);
с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 1.10), где кружками обозначены состояния S1 , S 2 ,…,системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы,
а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и
бесконечным (но счетным).
Рис. 1.10. Граф состояний системы S
1.2.2. Марковские цепи
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты
27
t 1, t2 ,…, когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит
процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2, .... k , ... Случайный процесс
в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1),
S ( 2 ) , S ( k ) , где S(0) – начальное состояние системы (перед первым шагом);
S(1) – состояние системы после первого шага; S(k) - состояние системы после k-го шага.
Событие { S ( k ) = Si}, состоящее в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si (i= 1, 2, ...), является случайным событием.
Последовательность состояний S(0), S(1),…,S ( k ) можно рассматривать как
последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и
как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pj ( k )
того, что после k-го шага (и до ( k +1)-го) система S будет
находиться в состоянии Si (i= 1 , 2 , … , п) . Очевидно, для любого k
n
P (k ) 1
i 1
i
Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется
распределение вероятностей состояний в начале процесса P1(0), P2(0), …,
Pi(0), …, Pn(0).
В частном случае, если начальное состояние системы S в точности известно S ( 0 ) = S i , то начальная вероятность Pi(0)= 1, а все остальные равны
нулю.
Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-м шаге из состояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система
S после k-го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно
перед этим (после k - 1 шага) она находилась в состоянии S i .
Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для
каждого момента времени t необходимо задать n2 вероятностей перехода Pij,
которые удобно представить в виде матрицы переходных вероятностей:
P11
P
21
...
Pij
Pi1
...
Pn1
P12 ... P1n
P22 ... P2 n
... ... ...
,
Pi 2 ... Pin
... ... ...
Pn 2 ... Pnn
где P i j - вероятность перехода за один шаг из состояния S i в состояние S j ,
Pij — вероятность задержки системы в состоянии S j .
28
Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а
зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход,
то соответствующая цепь Маркова называется однородной.
Переходные вероятности однородной марковской цепи P i j образуют
квадратную матрицу размера n xn, особенности которой заключаются в
следующем:
1. каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за
один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в самое себя;
2. элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов
системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние);
3. сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
n
P
j 1
ij
____
1, i 1, n
по главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Р ij того, что система не выйдет из состояния S i , а останется в нем.
Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение
вероятностей и матрица переходных вероятностей ||Р ij ||, то вероятности со4.
____
____
стояний системы P i ( k ) ( i 1, n ; j 1, n ) определяются по рекуррентной формуле:
n
Pi (k ) Pj (k 1) * Pji
____
____
(i 1, n; j 1, n )
j 1
Пример 1.8. Рассмотрим процесс функционирования системы - автомобиль. Пусть
автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух
состояний: исправном (S1) и неисправном ( S 2 ) . Граф состояний системы представлен на
рис. 1.11.
Рис. 1.11. Граф состояний автомобиля
В результате проведения массовых наблюдений за работой автомобиля составлена
следующая матрица вероятностей перехода:
0,8 0,2
Pij
0,9 0,1
где
Р11 = 0,8 – вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;
29
Р12 = 0,2 – вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние
«неисправен»;
Р 21 = 0.9 – вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состояние «исправен»;
Р 22 = 0,1 – вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».
0
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан P(0) ,
1
P1 (0) 0 и P2 (0) 1 .
Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.
Решение
Используя матрицу переходных вероятностей, определим вероятности состояний
P i ( k ) после первого шага (после первых суток):
Р 1 (1) = Р1(0)*P11 + P2(0)* P21 = 0 * 0 , 8 + 1 *0,9=0,9
Р 2 ( 1 ) = Р1(0)*Р12 + Р2(0)*Р 22 = 0 *0,2 + 1*0,1 = 0,1.
Вероятности состояний после второго шага (после вторых суток) таковы:
Р 1 ( 2 ) = Р1(1)* Р11 + Р2(1)* Р 21 = 0,9* 0,8 + 0,1*0,9 = 0,81;
Р2 (2) = Р1(1)*Р12 + Р2(1)* Р22 = 0,9* 0,2 + 0,1* 0,1 = 0,19.
Вероятности состояний после третьего шага (после третьих суток) равны:
Р1 (3) = Р1(2)* Р11+ Р2(2)* Р21 = 0,81* 0,8 + 0,19* 0,9 = 0,819;
Р2 (3) = Р1(2)* Р12 + Р2(2)* Р 22 = 0,81* 0,2 + 0,19 * 0,1 = 0,181.
Таким образом, после третьих суток автомобиль будет находиться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.
1.2.3. Непрерывные цепи Маркова
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что
переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные,
а в случайные моменты времени.
В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее невозможно (например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из
строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени). Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.
Пусть система характеризуется п состояниями S0 , S 1 , S2, …, S n , а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через Pi(t) вероятность того, что в момент времени t система S
будет находиться в состоянии Si (i = 0,1, ....,n). Требуется определить для любого t вероятности состояний P 0 (t), P 1 ( t ) , .... Р n (t). Очевидно, что
n
P (t ) 1 .
i 0
i
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Р ij рассматриваются плотности вероятностей перехода λij , представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время Δt из состояния S i в состояние S j к длине промежутка Δt:
30
ij (t ) lim
Pij (t; t )
,
t
где Р ij (t, Δt) - вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в
состоянии S i за время Δt перейдет из него в состояние S j (при этом всегда i ≠
j).
Если λij = const то процесс называется однородным, если плотность вероятности зависит от времени λij = λij ( t ) , то процесс - неоднородный. При
рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием
некоторых потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность λij соответствующих потоков событий. Если все эти потоки
пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S , будет марковским.
При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими
из состояния Si в Sj, проставляют соответствующие интенсивности λij . Такой
граф состояний называют размеченным (рис. 1.12).
t 0
Рис. 1.12. Граф состояний системы
Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов» представлены в Приложении 1
учебного пособия.
1.3. Моделирование систем массового обслуживания
1.3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в
случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом
поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении
системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации,
когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают
следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал об31
служивание выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы
приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживании приступает к обслуживанию
следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного
рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего
требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить: посты
технического обслуживания автомобилей; посты ремонта автомобилей; персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач; станции технического обслуживания автомобилей; аудиторские фирмы; отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий; телефонные
станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого
вида являются: входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание; дисциплина очереди; механизм обслуживания.
Входной поток требований. Для описания входного потока требуется
задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов
поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении.
Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым
поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются
из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами: первым пришел – первый обслуживаешься; пришел последним – обслуживаешься первым; случайный отбор заявок; отбор заявок по критерию приоритетности; ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место
очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания; количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры; вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.
п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может
иметь не один канал обслуживания, а несколько. Система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все
32
каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно,
можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое
требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет
характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового
обслуживания определяются следующими основными факторами:
вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
количеством и производительностью обслуживающих каналов;
дисциплиной очереди;
мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования
систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
относительная и абсолютная пропускная способность системы;
средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
среднее время ожидания в очереди;
средняя длина очереди;
средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.
Предметом теории массового обслуживания является установление
зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового
обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного
процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий
поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и
построить математическую модель системы массового обслуживания. Дан33
ные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем
массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения
статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового
обслуживания, различают два основных вида СМО:
системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент,
когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и
ждет, пока не освободится один из каналов.
Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с
ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться: длина
очереди; время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди,
ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания: одноканальные системы; многоканальные системы.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще
всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных
систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного
момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
1.3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания
Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность
распределения длительностей интервалов между поступлениями требований
имеет вид:
f1 (t ) e t
где - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
f 2 (t ) e t
где - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Система работает с отказами.
Данная система массового обслуживания может быть представлена в
виде графа (рис. 1.13), у которого имеются два состояния:
34
S0 - канал свободен (ожидание);
S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).
S0
S1
Рис. 1.13. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»;
P1(t) — вероятность состояния «канал занят».
P0(t) + P1(t) = 1
P1 (t ) 1 P0 (t )
P0 (t )
e ( )t
Для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное,
как относительная пропускная способность системы q. Действительно, P0—
вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t
среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также
равно P0(t), т.е.
q P (t )
0
По истечении большого интервала времени (при t ) достигается стационарный (установившийся) режим:
q P0
Зная относительную пропускную способность, можно найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок,
которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
A q
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
Pотк P1 1 P0 1
Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля
необслуженных заявок среди поданных.
35
Пример 1.9. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост
ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка – автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят – получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока
автомобилей 1, 0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8
часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Pотк.
Необходимо сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной,
которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили
следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
1
1
0,555
tоб 1,8
2. Вычислим относительную пропускную способность:
q
0,555
0,356
1 0,555
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать
примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
A q 1 0,356 0,356
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
3. Вероятность отказа:
Pотк 1 q 1 0,356 0, 644
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост EO получат отказ в
обслуживании.
4. Определим номинальную пропускную способность системы (автомобилей в час):
Aном
1
tобсл
1
0,555
1,8
0,555
1,5 больше, чем фактическая пропускОказывается, что в Аном в 1,5 раза
0,356
ная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени
обслуживания.
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток
заявок - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, посту36
пившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований подступает
на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые
клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не
попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Источник,
порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно
большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис 1.14.
S0
S1
S2
...
...
Sn
...
...
SN
Рис. 1.14. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — «канал свободен»;
S1— «канал занят» (очереди нет);
S2 — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
…………………………
Sn— «канал занят» (n — 1 заявок стоит в очереди);
…………………………
SN — «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в системе будет описываться системой алгебраических уравнений, решение которой для модели СМО имеет вид:
где
P0 n , 1, n 1, 2..., N
Pn 1
( N 1) , 1
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
Pотк
1 N
, 1
N 1
1
PN
1 , 1
( N 1)
относительная пропускная способность системы:
37
q 1 Pотк
1 N
, 1
1
N 1
1
1 1 , 1
( N 1)
абсолютная пропускная способность:
A q
среднее число находящихся в системе заявок:
1 ( N 1) N N N 1
, 1
LS n Pn
(1 ) (1 N 1 )
n0
N / 2, 1
N
среднее время пребывания заявки в системе:
WS
LS
(1 PN )
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в
очереди:
Wd WS 1/
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди)
Lq (1 PN )Wd
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 1.10. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики,
ограниченно и равно 3 [(N-1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится
три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стацио
нарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживаний автомобилей:
1
1
0,952
t 1, 05
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение
интенсивностей и , т. е.
0,85
0,893
0,952
38
3. Вычислим финальные вероятности системы:
P0
1
1 0,893
0, 248
N 1
1
1 0,8935
P1 P0 0,893 0, 248 0, 221
P2 2 P0 0,8932 0, 248 0,198
P3 3 P0 0,8933 0, 248 0,177
P4 4 P0 0,8934 0, 248 0,158
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
Pотк P4 4 P0 0,158
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
q 1 Pотк 1 0,158 0,842
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики (автомобиля в час)
A q 0,85 0,842 0, 716
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в
системе массового обслуживания):
LS
1 ( N 1) N N N 1
(1 ) (1 N 1 )
0,893 1 (4 1) 0,8934 4 0,8935
(1 0,893) (1 0,8935 )
1, 77
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе (час):
LS
1, 77
2, 473
(1 PN ) 0,85(1 0,158)
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание
(час):
Wq WS 1/ 2, 473 1/ 0,952 1, 423
WS
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
Lq (1 PN ) Wq 0,85 (1 0,158) 1, 423 1, 02
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной,
так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (
Pотк 0,158 ).
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием без ограничения на
вместимость блока ожидания (т. е. N ). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на
длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
LS n Pn
n 0
1
39
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
WS
LS
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
Lq LS
1
(1 )
2
(1 )
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
Wq
Lq
(1 )
Пример 1.11. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок
для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона
и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик: вероятности состояний системы (поста диагностики); среднее число автомобилей,
находящихся в системе (на обслуживании и в очереди); среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди); среднее число автомобилей в очереди на обслуживании; среднюю продолжительность пребывания автомобиля в
очереди.
Решение
1. Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей определены в примере 1.10:
a. = 0,952; = 0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P0 = 1 - = 1- 0,893 = 0,107;
P1 = (1- ) • = (1 - 0,893) • 0,893 = 0,096;
P2 = (1- ) • 2 = (1 - 0,893) • 0,8932 = 0,085;
P3 = (1- ) • 3 = (1 - 0,893) • 0,8933 = 0,076;
P4 = (1- ) • 4 = (1 - 0,893) • 0,8934 = 0,068;
P5 = (1- ) • 5 = (1 - 0,893) • 0,8935 = 0,061 и т. д.
Следует отметить, что P0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет
10,7%, так как P0= 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
0,893
8,346
1 1 0,893
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе (час):
LS
WS
LS
1
1
9,817
(1 ) 0,952 (1 0,893)
40
5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
Lq LS
2
0,8932
7, 453
(1 ) (1 0,893)
6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди (час):
0,893
Wq
8, 766
(1 ) 0,952 (1 0,893)
7. Относительная пропускная способность системы:
q=1
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность:
A q 0,85 1 0,85
В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового
обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока , при этом параллельно
может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/ . Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания
каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по
сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за
счет обслуживания одновременно n клиентов.
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с
отказами имеет вид, показанный на рис. 3.3
S0
S1
2
S2
3
...
...
k
Sk
...
...
( k 1)
n
Sn
Рис. 1.15. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — все каналы свободны;
S1— занят один канал, остальные свободны;
…………….
Sk – заняты ровно k каналов, остальные свободны;
…………………………
Sn – заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.
41
Начальные условия решения системы таковы:
P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = … = Pk(0) = … = Pn(0) = 0
Стационарное решение системы имеет вид:
k!
Pk n k P0, k 0,1, 2,..., n
k!
k 0 k !
1
P0 n k , k 0,1, 2,..., n
k !
k 0
где
Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами
Эрланга.
Вероятностные характеристики функционирования многоканальной
СМО с отказами в стационарном режиме:
вероятность отказа (заявка получает отказ, если приходит в момент,
когда все n каналов заняты. Величина Pотк характеризует полноту
обслуживания входящего потока):
Pотк Pn
n
n!
P0,
вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же
— относительная пропускная способность системы q) дополняет Pотк
до единицы:
q 1 Pотк 1
n
n!
P0,
абсолютная пропускная способность:
A q (1 Pотк )
среднее число каналов, занятых обслуживанием ( k ) следующее:
n
k k Pk (1 Pотк )
k 1
Величина k характеризует степень загрузки СМО.
Пример 1.12. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр
(ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток
задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания tобсл = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Требуется вычислить финальные значения: вероятности состояний ВЦ; вероятности
отказа в обслуживании заявки; относительной пропускной способности ВЦ; абсолютной
пропускной способности ВЦ; среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
42
Решение
1. Определим параметр потока обслуживаний:
1
0,555
tобсл 1,8
2. Приведенная интенсивность потока заявок:
1
/ 1/ 0,555 1,8
3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:
P1
P2
P3
1!
2
2!
3
P0
P0 1,8 P0
1
3
k
k!
1
0,186
1 1,8 1, 62 0,97
k 0
P0 1, 62 P0
P1 1,8 0,186 0,334
P2 1, 62 0,186 0,301
P0 0,97 P0
P3 0,97 0,186 0,180
3!
4. Вероятность отказа в обслуживании заявки:
Pотк P3 0,180
5. Относительная пропускная способность ВЦ:
q 1 Pотк 1 0,180 0,820
6. Абсолютная пропускная способность ВЦ:
A q 1 0,820 0,820
7. Среднее число занятых каналов — ПЭВМ:
k (1 Pотк ) 1,8 (1 0,180) 1, 476
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято
1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного
ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в
среднем в 18% случаев (P3— 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных и можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с
ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется
следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями и соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/µ.
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с
ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений, решение которой имеет вид:
n
P
n n ! P0
n
P
P0
n
C ! C !n c
0nC
nC
43
где
C 1 n
C
P0
n 0 n ! C ! 1
C
1
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном
режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью
определяются по следующим формулам:
вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам:
n
P
n n ! P0
n
P
P
n C ! C !n c 0
0nC
nC
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
C
Lq
PC
2
(C )
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
LS Lq
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
Wq
Lq
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
WS Wq
Рассмотрим примеры
служивания с ожиданием.
1
многоканальной
системы
массового
об-
Пример 1.13. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность = 2,5 механизма в сутки, среднее
время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0,5
сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов
перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: вероятности состояний системы; среднее число заявок в очереди на обслуживание; среднее число находящихся в системе заявок; среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди; среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
1. Определим параметр потока обслуживаний:
1
1/ 0,5 2
t
44
2. Приведенная интенсивность потока заявок:
при этом / c 2,5 / 2 3 0, 41
/ 2,5 / 2, 0 1, 25
Поскольку / c , то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
1
C 1 n
C
1
1
P0
n 0 n ! C ! 1
C
1 2
3
2
3
1
1
2
1! 2! 3!1
6 1
3
3
1
0, 279
1, 252
1, 253
1 1, 25
2
1, 25
6 1
3
P1
1
1!
2
P0 1, 25 0, 279 0,349
2
1, 25
0, 279 0, 218
2!
2!
3
3
1, 25
P3
P0
0, 279 0, 091
3!
3!
4
4
1, 25
P4
P0
0, 279 0, 028
4!
4!
P2
P0
4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской:
5.
6.
7.
8.
Pот.о P0 P1 P2 P3 0, 279 0,349 0, 218 0,091 0,937
Среднее число заявок и очереди ни обслуживание:
C
3 1, 25
Lq
PC
0, 091 0,111
2
2
(
C
)
(3
1,
25)
Среднее число находящихся в системе заявок:
LS Lq 0,111 1, 25 1,361
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживаLq 0,111
0,044
ние (суток): Wq
2,5
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (суток):
1
1
WS Wq 0, 044 0,544
2
45
Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания»
представлены в Приложении 1 учебного пособия.
46
2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Статистические показатели. Средние величины и изучение вариации
Статистический показатель – это обобщающая характеристика какого-то
свойства совокупности, группы. Этим он отличается от индивидуальных значений, которые называются признаками (например, средняя продолжительность ожидаемой жизни родившегося поколения в стране – статистический
показатель, а продолжительность жизни конкретного человека – признак).
Статистический показатель имеет указание на территориальные границы
объекта и границы во времени.
Объектами статистического исследования могут быть самые разнообразные явления и процессы. Поэтому чрезвычайно велико и разнообразие
статистических показателей.
Показатели конкретных свойств изучаемого объекта – это, например,
средний возраст работников предприятия, объем реализованной продукции
предприятия, валовой внутренний продукт государства и т.д. Особенностью
этих показателей является то, что они формируются не только статистикой.
В построении этих показателей их качественное содержание определяется
конкретной предметной наукой: показатель рождаемости – демографией, показатель внутреннего валового продукта – теорией экономики.
Качественный экономический анализ должен быть основан не на отдельных показателях, а на системе показателей. При этом нужно следовать
определенным принципам их построения. Особые сложности возникают, когда показатель должен обобщить разнонаправленные значения (положительные, отрицательные, нулевые).
Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями
называют вариацией.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции,
то есть замене множества различных индивидуальных значений признака
средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.
Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство,
какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений
признака должен быть сохранен неизменным.
Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным (например, средняя заработная плата, средний доход и т.д.). Формула средней арифметической величины имеет вид:
𝑥̅ = (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ): 𝑛 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
,
47
где 𝑥̅ – средняя величина;
n – численность совокупности.
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин,
то средняя будет являться квадратической средней величиной (𝑥̅ кв). Ее формула такова:
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
√
𝑥кв =
̅̅̅̅
𝑛
Пример 2.1. Имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: Х1 =
100м, Х2 = 200 м, Х3 = 300 м. Найти среднюю длину участка.
Решение
Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина
(100+200+300)/3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех
участков со стороной 200 м была бы равна 3*(200 м)2 = 120 000 м2. В то же время площадь
исходных трех участков равна: (100м)2+(200м)2+(300м)2 = 140000м2. Правильный ответ
дает квадратическая средняя:
𝑥кв = √
̅̅̅̅
1002 + 2002 + 3002
= 216м2
3
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменными произведение индивидуальных
величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:
𝑛
̅̅̅̅̅̅
𝑥
геом = √𝑥1 ∗ 𝑥2 ∗ … ∗ 𝑥𝑛
Основное применение геометрическая средняя находит при определении
средних темпов роста.
Пример 2.2. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к
предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Каков средний темп роста цены за год?
Решение
Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в (2+3)/2 = 2,5 раза, то за два года цена возросла бы в
2,5*2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: √6 =
2,45 раза.
Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат
осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.
Пример 2.3. Максимальный размер выигрыша в лотерее составляет 1 000 000 руб., а
минимальный – 100 руб. Какую величину выигрыша можно считать средней?
Решение
48
Средняя арифметическая явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и
1 000 000 руб., крупный, никак не средний выигрыш – он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Геометрическая средняя дает верный с точки
зрения экономики и логики ответ: √100 ∗ 1 000 000 = 10 000 руб.
Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Формула ее такова:
𝑥гарм =
̅̅̅̅̅̅̅
𝑛
∑𝑛𝑖=1
1
𝑥𝑖
Пример 2.4. Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40
км/ч, а обратно порожняком со скорость 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за
обе поездки?
Решение
Пусть расстояние перевозки составляло S км. Никакой роли при расчете средней
скорости величина S не играет. При замене индивидуальных значений скорости Х1 = 60 и
Х2 =40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время,
затраченное на обе поездки.
Время поездок есть S/X1 + S/X2. Итак, S/Xср + S/Xср = S/X1 + S/X2. Сократив все
члены равенства на S, получим: 1/Xср + 1/Xср = 1/X1 + 1/X2 , т.е. выполняется условие
гармонической средней. Подставляя Х1 и Х2, получаем Хср = 48 км/ч
Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, так как приводит к другому времени движения, чем на самом деле.
Существует следующее соотношение, которое называется правилом
мажорантности средних:
𝑥̅гарм ≤ 𝑥̅геом ≤ 𝑥̅арифм ≤ 𝑥̅квадр ≤ 𝑥̅куб
2.2. Индексы
В статистике индексы пользуются в качестве показателей изменений.
Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления
(простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых
элементов). Индексы измеряют изменения сложных явлений. С их помощью
можно не только дать обобщенную оценку изменения, но и выявить роль отдельных факторов.
Индексы являются показателями сравнения как с прошлым периодом,
так и с другой территорией, а также с некоторым нормативом или плановым
заданием.
Каждый индекс включает отчетные и базисные данные.
Сравнение с отдаленной базой может быть проведено непосредственно с
помощью базисного индекса, охватывающего весь период, или поэтапно – с
помощью цепных индексов.
49
Индексы подразделяются на сводные (общие) и обозначается как I, и индивидуальные – обозначается i.
Часто можно слышать, что уровень потребительских цен понизился или
повысился. Речь в этом случае идет об индексе цен на потребительские товары. Общее изменение образуется под влиянием изменений цен на отдельные
товары. Таким образом, имеется ряд отношений:
𝑝11 𝑝12 𝑝13
,
,
𝑝01 𝑝02 𝑝03
,…,
𝑝1𝑛
𝑝0𝑛
,
где pij – цены на товар j в период времени i.
Эти отношения не что иное, как индивидуальные индексы, и сводный индекс представляет собой средний из них:
𝑝1𝑗
̅̅̅̅̅
𝐼𝑝 = ( ),
𝑝0𝑗
где j – номер товара.
На практике, если говорить конкретно об измерении динамики цен на
все продовольственные или непродовольственные товары, то ясно, что если,
например, цены на ювелирные изделия из золота удвоятся, а цены на хлеб
останутся неизменными, это не значит, что в целом цены выросли на 50%
((2+1)/2=1,5). Таким образом, индекс цен для каждого товара должен сопровождаться неким «весом», которые позволяет оценить относительную значимость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный
вес в общей стоимости покупок в базисном периоде:
𝑞𝑜𝑗 𝑝0𝑗
𝑑0 = ∑
,
𝑖 𝑞𝑜𝑗 𝑝0𝑗
где qoj – объем потребления товара j.
Если обозначить удельный вес отдельных затрат doi, то получим общий
индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных индексов цен:
∑𝑗 𝑖𝑝𝑗 𝑑0𝑗 ∑𝑗 𝑖𝑝𝑗 𝑞0𝑗 𝑝0𝑗
𝐼𝑝 =
=
∑𝑗 𝑑0𝑗
∑𝑗 𝑞0𝑗 𝑝0𝑗
т.е. 𝐼𝑝 = 𝑖̅𝑝
Каждый сводный индекс может быть представлен как средний из индивидуальных. В этом смысле, как и любая средняя, сводный индекс характеризует центральную тенденцию. Значение индекса среднего из индивидуальных зависит от изменений осредняемых индивидуальных индексов и от изменений признака-веса.
Пример 2.5. Цены на товары A, B, C, D, E составили в базисном периоде 10, 15, 20,
25, 30 руб. соответственно, в отчетном периоде – 11, 30, 28, 40, 27 руб. Доля товаров в базисной выручке – 15, 26, 19, 25, 15 % соответственно. Рассчитать невзвешенный и взвешенный средний индекс цен.
Решение
Составим таблицу 2.1 для расчета индексов.
Невзвешенный средний индекс цен: 𝑖̅𝑝 =
∑ 𝑖𝑝
5
7
= 5 = 1,4
50
̅̅̅𝑜 = 1 = 0,2
Среднее значение веса: 𝑑
5
Взвешенный средний индекс цен: 𝑖̅𝑝 =
Товар
A
B
C
D
E
Итого
∑ 𝑖𝑝 𝑑𝑜
∑ 𝑑𝑜
=
1,486
1
= 1,486
Расчетные данные для примера 2.5
Цена, руб.
Индекс
Доля в баi
зисной
выp
Po
Pi
ручке do
10
11
1,1
0,15
15
30
2,0
0,26
20
28
1,4
0,19
25
40
1,6
0,25
30
27
0,9
0,15
1,00
Таблица 2.1
ipdo
0,165
0,520
0,266
0,400
0,135
1,486
Индексы считаются правильно построенными, если они удовлетворяют
ряду тестов: обратимости во времени; обратимости по факторам; «кружному» испытанию; соизмеримости; пропорциональности; включенияисключения.
Индексы широко используются для анализа изменений средних взвешенных величин (средней, заработной платы, производительности труда,
трудоемкости и т.д.).
2.3. Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях
2.3.1. Линейная регрессия и корреляция: смысл и оценка параметров
Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной
взаимной связи. Исследование взаимозависимостей между объективно существующими явлениями играет большую роль в экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений
между явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который
является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.
Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками: функциональную или жестко детерминированную и статистическую
или стохастически детерминированную.
Функциональная связь двух величин возможна лишь при условии, что
вторая из них зависит только от первой. В реальной природе, обществе, экономике такие связи крайне редки.
Если с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые с некоторыми вероятностями, но ее
среднее значение или иные статистические (массовые) характеристики изменяются по определенному закону, связь является статистической. То есть
51
при статистической связи разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения значений другой переменной.
Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения
признака X закономерным образом изменяется среднее значение признака Y,
в то время как в каждом отдельном случае значение признака Y (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.
Если же с изменением значения признака Х среднее значение признака
Y не изменяется закономерным образом, но закономерно изменяется другая
статистическая характеристика (показатели вариации, асимметрии, эксцесса
и т.п.), то связь является не корреляционной, а статистической.
Статистическая связь между двумя признаками (переменными величинами) предполагает, что каждый из них имеет случайную вариацию индивидуальных значений относительно средней величины. Если же такую вариацию имеет только один из признаков, а значения другого являются жестко
детерминированными, то говорят лишь о регрессии (например, при анализе
динамических рядов можно измерять регрессию уровней ряда урожайности
в зависимости от различных лет). Таким образом, односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия.
Регрессия относительно числа переменных может быть простой (регрессия между двумя переменными) и множественной (регрессия между зависимой переменной Y и несколькими объясняющими переменными (x1, x2,
… xm)).
Относительно формы зависимости регрессия бывает линейной (выражается линейной функцией) и нелинейной (выражается нелинейной функцией).
При использовании на практике корреляционно-регрессионного метода
необходимо выполнение следующих условий:
наличие данных по достаточно большой совокупности, число которых
зависит от цели анализа, требуемой точности и надежности параметров
связи, от числа факторов, корреляция с которыми изучается. Обычно
считается, что число наблюдений должно быть в 5-10 раз больше числа
факторов;
надежное выражение закономерности в средней величине;
необходимость подчинения распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону распределения
вероятностей.
В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение ставит
следующие основные задачи:
измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной –
одной или нескольких (зависимость средних величин результативного
признака от значений одного или нескольких факторных признаков);
52
измерение тесноты связи двух (или большего числа признаков между
собой).
Первая задача решается оценкой параметров уравнения регрессии. Вторая - расчетом коэффициентов корреляции.
Поясним на графике (рис. 2.1, а и б) различия между корреляцией и регрессией.
Угол наклона линии регрессии относительно оси абсцисс один и тот же
на рисунках а и б. Однако, на рисунке а точки корреляционного поля концентрируются около линии регрессии, тогда как на рисунке б точки поля
корреляции разбросаны. Очевидно, что теснота связи, то есть мера корреляции между х и у, в случае а будет высокой, а в случае б – низкой. Следовательно, уравнение регрессии в случае а будет статистически значимо, а в
случае б оно может быть статистически незначимо. Таким образом, случаи а
и б различаются величиной коэффициентов корреляции, но в то же время будут иметь одинаковые коэффициенты регрессии:
(а) ryx ≠ (б) ryx;
(а) byx = (б) byx.
Рис. 2.1. Регрессия при разной интенсивности корреляции:
а – тесная корреляция; б – слабая корреляция
Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разработана для функциональных связей и является общей. Основным методом решения задачи нахождения параметров уравнения связи является метод
наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Ф. Гауссом (1777—1855).
Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически измеренных значений зависимой переменной у от ее значений, вычисленных по
уравнению связи с факторным признаком, одним или несколькими, х.
Для измерения тесноты связи применяется ряд показателей. При парной
связи теснота связи измеряется прежде всего корреляционным отношением,
которое обозначается греческой буквой η. Квадрат корреляционного отноше53
ния – это отношений межгрупповой дисперсии результативного признака,
которая выражает влияние различий группировочного факторного признака
на среднюю величину результативного признака, к общей дисперсии результативного признака, выражающей влияние на него всех причин и условий.
Квадрат корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации:
2
𝜂 =
̅̅̅2 ∗𝑓𝑗
∑𝑘
̅̅̅−𝑦)
𝑗
𝑗=1(𝑦
̅̅̅2 ,
∑𝑛 (𝑦
̅̅̅−𝑦)
𝑗
𝑖=1
где k – число групп по факторному признаку;
𝑦̅ – общее среднее значение;
fj – частота в j-й группе;
n – число единиц в совокупности;
yi – значение результативного признака для i-й единицы;
y̅i – среднее значение y в j-ой группе.
Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь
между двумя – парная линейная корреляция.
Практическое ее значение в том, что есть системы, в которых среди всех
факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного
признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в
изучении сложных многофакторных связей.
Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:
у = а + bх,
где y – среднее значение результативного признака у при определенном
значении факторного признака х;
а – свободный член уравнения;
b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу
его измерения, - вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.
Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов
(МНК) по данным о значениях признаков x и y в изучаемой совокупности,
состоящей из n единиц.
Исходное условие МНК для прямой линии имеет вид:
𝑓(𝑎, 𝑏) = ∑𝑛𝑖=1[𝑦𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 )]2 ⟶ 𝑚𝑖𝑛.
Для отыскания значений параметров а и b, при которых f (a,b) принимает минимальное значение, частные производные функции приравниваем к
нулю и преобразуем полученные уравнения, которые называются нормальными уравнениями МНК для прямой:
𝜕𝑓
= 2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖) (−1) = 0,
𝜕𝑎
54
𝜕𝑓
= 2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖) (−𝑥𝑖 ) = 0.
Отсюда система нормальных уравнений имеет вид:
𝑛𝑎 + 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ,
𝜕𝑏
𝑎 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 .
Путем преобразований получаем:
𝑏=
∑𝑛
̅)
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̅ )(𝑦𝑖 −𝑦
𝑛
̅̅̅2 ,
∑ (𝑥𝑖 −𝑥)
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ .
𝑖=1
Коэффициент парной линейной регрессии, обозначенный b, имеет смысл
показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией
результативного признака у. Он измеряет среднее по совокупности отклонение y от его средней величины при отклонении признака х от своей средней
величины на принятую единицу измерения.
Теснота парной линейной корреляционной связи, как и любой другой
формы связи, может быть измерена корреляционным отношением η. Кроме
того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесноты связи – коэффициент корреляции ryx. Этот показатель представляет собой
стандартизованный коэффициент регрессии, то есть коэффициент, выраженный не в абсолютных единицах измерения признаков, а в долях среднего
квадратического отклонения результативного признака:
𝑟𝑦𝑥 =
∑𝑛
̅)
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̅ )(𝑦𝑖 −𝑦
𝜎𝑥 𝜎𝑦
̅̅̅2 , 𝜎𝑦 = √̅̅̅
̅̅̅2 .
, 𝜎𝑥 = √̅̅̅
𝑥 2 − (𝑥)
𝑦 2 − (𝑦)
Коэффициент корреляции может принимать значения -1≤ r ≤1; по абсолютной величине 0 ≤ |r| ≤ 1. Отрицательные значения ryx свидетельствуют об
обратной связи признаков у и x, положительные – о прямой связи.
Обычно считают связь сильной, если r > 0,7; средней – при 0,5 < r < 0,7;
слабой – при r < 0,5. Максимально тесная связь – это связь функциональная:
rxy_max = 1.
Пример 2.6. Рассмотрим анализ корреляционной парной линейной связи по данным
16 сельскохозяйственных предприятий о затратах на 1 корову и надое молока на 1 корову
(таблица 2.2).
Средние значения признаков: 𝑥̅ = 1605 руб.\голов, 𝑦̅ = 35,2 ц/голов.
Сопоставляя знаки отклонений признаков x и y от средних величин, видим явное
преобладание совпадающих по знакам пар отклонений: их 14, и только 2 пары, несовпадающих знаков.
Немецкий психиатр Г. Т. Фехнер предложил меру тесноты связи в виде отношения
разности числа совпадающих и несовпадающих знаков пар отклонений к сумме этих чисел:
КФехнера = (С – Н)/(С + Н) = (14 – 2)/ (14 + 2) = 0,75
Коэффициент Фехнера – очень грубый показатель тесноты связи, не учитывающий
величину отклонений признаков от средних значений, но он может служить некоторым
55
ориентиром в оценке интенсивности связи. В данном случае значение коэффициента указывает на тесную связь признаков.
Вычислим на основе итоговой строки табл. 2.2 параметр уравнения парной линейной
корреляции – коэффициент регрессии:
b = 28473,7 /818533 = 0,0347
Он означает, что в среднем по изучаемой совокупности отклонение затрат на 1 корову от средней величины на 1 руб. приводило к отклонению с тем же знаком среднего
надоя молока на 0,0347 ц, т.е. на 3,47 кг на корову.
Таблица 2.2
Корреляция между затратами на 1 корову и надоем молока в среднем от 1 коровы
Номер
единиц
совокупности
Затраты
на одну
корову,
руб./гол
ов, xi
Надой
от одной коровы, ц,
yi
𝑥𝑖 − 𝑥̅
𝑦𝑖 − 𝑦̅
(𝑥𝑖 −
𝑥̅ ) ∗(
𝑦𝑖 − 𝑦̅)
(𝑥𝑖
− ̅̅̅
𝑥)2
(𝑦𝑖
− ̅̅̅
𝑦)2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1602
1199
1321
1678
1600
1355
1413
1490
1616
1693
1665
1666
1628
1604
2077
2071
34,2
19,6
27,3
32,5
33,2
31,8
30,7
32,6
26,7
42,4
37,9
36,6
38,0
32,7
51,7
55,3
563,2
-3
-406
-283
+73
-5
-250
-192
-115
+11
+88
+60
+61
+23
-1
+472
+466
-
-1,0
-15,6
-7,9
-2,7
-2,0
-3,4
-4,5
-2,6
-8,5
+7,2
+2,7
+1,4
+2,8
-2,5
+16,5
+20,1
-
+3,0
+6333,6
+2235,7
-197,1
+10,0
+850,0
+864,0
+299,0
-93,5
+633,6
+162,0
+85,4
+64,4
+2,5
+7788,0
+9366,6
+28473,
7
9
164836
80089
5329
25
62500
36864
13225
121
7744
3600
3721
529
1
222784
217156
818533
1,00
243,36
62,41
7,29
4,00
11,56
20,25
6,76
72,25
51,84
7,29
1,96
7,84
6,25
272,25
404,01
1180,32
∑
Расчетные
значения
надоя,
ц., yi
35,1
21,1
25,3
37,7
35,0
26,5
28,5
31,2
35,6
38,2
37,3
37,3
36,0
35,2
51,6
51,4
563,0
Источник: Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики.
Свободный член уравнения регрессии: а = 35,2 - 0,0347 * 1605 = -20,49
Уравнение регрессии в целом имеет вид: 𝑦̃= 0,0347x - 20,49 (рис. 2.2).
Отрицательная величина свободного члена уравнения означает, что область существования признака у не включает нулевого значения признака х и близких к нулю значений. Можно рассчитать минимально возможную величину фактора x, при котором обеспечивается наименьшее значение признака y.
Xmin = a:b = 20,49:0,0347 = 590,5 руб./головы
- это наименьшая сумма затрат на 1 корову, при которых корова способна давать молоко.
Если же область существования результативного признака включает нулевое значение
признака-фактора, то свободный член является положительным и означает среднее значение результативного признака при отсутствии данного фактора, например, среднюю урожайность картофеля при отсутствии органических удобрений.
Коэффициент корреляции равен:
56
𝑟𝑥𝑦 =
28473,7
= 0,916
√818533 ∗ 1180,32
Полученное в примере значение 0,916 свидетельствует об очень тесной связи надоев
молока с затратами в расчете на 1 корову.
Полученное значение гораздо больше коэффициента Фехнера. Квадрат коэффициента корреляции, т.е. коэффициент детерминации, составил 0,839, или 83,9%. Отсюда можно
сделать вывод о том, что вариация надоев молока на 1 корову связана с вариацией затрат в
хозяйствах, произведенных в среднем на 1 корову.
Рис. 2.2. Зависимость удойности от затрат на содержание коров
Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограниченной совокупности (по выборке), являются лишь оценками той или иной статистической закономерности, поскольку в любом параметре сохраняется элемент
не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значения признаков. Поэтому необходима статистическая оценка степени точности и надежности параметров корреляции. Под надежностью здесь понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не
включает в себя величины противоположных знаков.
Вероятностная оценка параметров корреляции проводится по общим
правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической
статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней
случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии bсредняя
ошибка оценки вычисляется как:
𝑚𝑏 =
где
∑𝑛
(𝑦 −𝑦̂ )2 :(𝑛−2)
,
√ 𝑖=1∑𝑛 𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥)
̅̅̅2
𝑖
𝑖=1
𝑦̂𝑖 - расчетные значения результативного признака для i-й единицы;
n-2 – число степеней свободы (теряются 2 степени свободы, поскольку
линейная парная регрессия имеет два параметра).
57
Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии можно вычислить вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интервал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью находится отношение коэффициента к его средней ошибке, т. е.t-критерий Стъюдента
𝑏
𝑡= .
𝑚𝑏
Расчетное значение t-критерия Стъюдента сравнивается с табличным
(таблицы в справочной литературе «Значения t-критерия Стъюдента при
уровнях значимости 0,10; 0,05; 0,01»).
Если полученное (расчетное) значение критерия намного больше табличного, то вероятность нулевого значения коэффициента регрессии меньше
10%, 5% или 1 % (в зависимости от выбранного уровня значимости), и, соответственно, в сконструированной регрессионной модели влияние факторааргумента х на фактор-результат y существенно.
Пример 2.7. На основе данных из примера 2.6 вычислим среднюю ошибку оценки
коэффициента регрессии:
195,4 ∶ 14
= 0,00413
818533
Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии, вычислим вероятность того,
что нулевое значение коэффициента входит в интерал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью найдем соотношение коэффициента к его средней ошибке, т.е. tкритерий Стъюдента:
𝑏
0,0347
𝑡=
=
= 8,4
𝑚𝑏 0,00413
Табличное значение t-критерия Стьюдента при 16-2 степенях свободы и уровне значимости 0,01 (см. таблицы «Значения t-критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10;
0,05; 0,01») составляет 2,98. Полученное значение критерия намного больше, следовательно, вероятность нулевого значения коэффициента регрессии менее 0,01. Гипотезу о
несущественности этого коэффициента можно отклонить: данные табл. 2.2 надежно говорят о влиянии вариации затрат на 1 корову на вариацию надоя молока от коров.
𝑚𝑏 = √
2.3.2. Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии
Уравнение регрессии применимо и для прогнозирования возможных
ожидаемых значений результативного признака. При этом следует учесть,
что перенос (экстраполяция) закономерности связи, измеренной в варьирующей совокупности в статике на динамику не является, строго говоря, корректным и требует проверки условий допустимости такого решения, которое
выходит за рамки статистики и может быть сделано только специалистом,
хорошо знающим объект (систему) и возможности его развития.
Ограничением прогнозирования на основе регрессионного уравнения,
тем более парного, служит условие стабильности или по крайней мере малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится «внешняя среда» протекающего про58
цесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака потеряет свое
значение.
При таком прогнозировании следует соблюдать еще одно ограничение:
нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличающиеся от входящих, в базисную информацию, по которой вычислено уравнение
регрессии. При качественно иных уровнях фактора, если они возможны в
принципе, параметры уравнения были бы другими. Можно рекомендовать
при определении значений факторов не выходить за пределы 1/3 размаха вариации как минимального, так и максимального значения признака-фактора,
имеющегося в исходной информации.
Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого
значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значением средней ошибки прогноза, или доверительным интервалом прогноза,
с достаточно большой вероятностью. Средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при значении факторного признака,
равном xk, вычисляется следующим образом:
𝑚𝑦̂(𝑥𝑘 )
1
(𝑥𝑘 − 𝑥̅ )2
= 𝑆𝑦_ост ∗ √ + 𝑛
𝑛 ∑𝑖=1(𝑥𝑖 − ̅̅̅
𝑥)2
где 𝑚𝑦̂(𝑥𝑘) - средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при x=xk;
𝑆𝑦_ост – оценка среднего квадратического отклонения результативного признака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней
свободы вариации;
xk — ожидаемое значение фактора;
𝑥̅ – среднее значение фактора по совокупности;
n — объем выборки.
̂2
∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦)
√
𝑆𝑦_ост =
𝑛−2
Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента (табличное значение при различных степенях свободы и уровне значимости).
Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу
дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза
положения линии регрессии и среднего квадратического отклонения индивидуальных значений от линии регрессии (остаточной вариации), т.е.
2
𝑚𝑦(𝑥𝑘 ) = √𝑚𝑦2̂(𝑥𝑘 ) + 𝑆𝑦_ост
Главным источником ошибки (неопределенности) прогноза индивидуальных значений является не столько неопределенность прогноза линии ре59
грессии, сколько значительная вариация надоев за счет других факторов,
кроме входящих в уравнение регрессии.
Пример 2.8. Рассчитать точечный прогноз и доверительные границы прогноза индивидуальных значений надоя молока на 1 корову при расходе 2200 руб. на 1 голову (по
данным примера 2.6).
Прогнозируемое значение результативного показателя получается при подстановке в
уравнение регрессии ожидаемой величины факторного признака. Так, если подставить в
уравнение 𝑦̃= 0,0347x - 20,49 расход средств на одну корову, равный 2200 руб., то получим ожидаемый надой молока от коровы, равный 55,85 ц.
Сопроводим полученный точечный прогноз доверительным интервалом прогноза.
По данным табл. 2.2 находим 𝑆𝑦_ост:
195,4
𝑆𝑦_ост = √16−2 = 3,736 ц на 1 корову.
При xk = 2200 руб. на 1 голову имеем:
1 (2200 − 1605)2
√
𝑚𝑦̂(𝑥𝑘) = 3,736 ∗
+
= 2,629 ц на 1 корову.
16
818533
Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить
ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента. При 14 степенях свободы и доверительной
вероятности 0,95 (α = 0,05) значение t-критерия равно 2,14. Получаем доверительные границы: 55,85 ± 2,629 *2,14, или от 50,22 до 61,48 ц от 1 коровы. Интервал довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии связана с малым объемом
выборки. При объеме совокупности, равном 400, и той же вариации надоев ошибка прогноза была бы в 5 раз меньше и доверительный интервал был бы уже.
Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения:
𝑚𝑦(𝑥𝑘) = √2,6292 + 3,7362 = 4,56.8 ц на 1 корову
Доверительные границы прогноза индивидуальных значений надоя молока на 1 корову при расходе 2200 руб. на 1 голову составляют с вероятностью нахождения внутри
границ, равной 0,95:
55,85 ± 4,568 *2,14, или от 46,07 до 65,63 ц.
2.3.3. Нелинейная регрессия
Если между общественными и экономическими явлениями существуют
нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих
нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.
Различают два класса нелинейных регрессий:
регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим
переменным могут служить следующие функции:
полиномы разных степеней: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝜀; 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 +
𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3 + 𝜀;
60
𝑏
равносторонняя гипербола: 𝑦 = 𝑎 + + 𝜀.
𝑥
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся
функции:
степенная 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑏 ∗ 𝜀;
показательная 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑏 𝑥 ∗ 𝜀;
экспоненциальная 𝑦 = 𝑒 𝑎+𝑏𝑥 ∗ 𝜀.
Нелинейная регрессия по включенным параметрам не имеет никаких
сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как в линейной
регрессии, методом наименьших квадратов, ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени
𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝜀,
заменив переменные х=х1, х2=х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:
𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝜀,
для оценки которого используется метод наименьших квадратов.
Соответственно, для полинома третьего порядка
𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + 𝜀
при замене х=х1, х2=х2, х3=х3, получим трехфакторную модель линейной регрессии
𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + 𝜀.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии
с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Среди нелинейной
полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничения в применении полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше
изгибов имеет кривая и, соответственно, меньше однородность совокупности
по результативному признаку.
Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь изменяется на обратную или обратная на
прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака:
приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:
𝑏
𝑦
̂𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 , т. е. 𝑏 + 2𝑐𝑥 = 0 и 𝑥 = − .
2𝑐
Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности
связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемы, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.
При b>0 и c<0 кривая симметрична относительно высшей точки, т.е.
точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на
61
падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при
изучении зависимости заработной платы работников физического труда от
возраста – с увеличение возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дельнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается максимум.
Пример 2.9. Потребление товара А (единиц) в зависимости от уровня дохода семьи
(тыс. руб) характеризуется уравнением вида ̂
𝑦𝑥 = 5 + 6𝑥 − 𝑥 2 . Найдем величину дохода,
при котором потребление максимально.
Приравняем к нулю первую производную ̂
𝑦𝑥` = 6 − 2𝑥 = 0. Отсюда x=3 (тыс. руб).
При b<0 и c>0 парабола второго порядка симметрична относительно
своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т.е. снижение на рост. Например, зависимость от
объема выпуска продукции затрат на производство, зависимость урожайности от количества внесенных удобрений.
Ввиду симметричности кривой параболу второй степени не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической
формой. Если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной
функцией, например степенной.
В классе нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, хорошо известна равносторонняя гипербола 𝑦 =
𝑏
𝑎 + . Она может быть использована для характеристики связи удельных
𝑥
расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции,
времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микро-,
но и на макроуровне. Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и
𝑏
процентом прироста заработной платы y: 𝑦 = 𝑎 + + 𝜀.
𝑥
1
Если в уравнении равносторонней гиперболы заменить на z, получим
х
линейное уравнение регрессии 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑧 + 𝜀, оценка параметров которого
может быть дана МНК.
При b > 0 имеем обратную зависимость, которая при x→∞ характеризуется нижней асимптотой, т.е. минимальным предельным значением y, оценкой которого служит параметр a. Так, для кривой Филлипса 𝑦
̂𝑥 = 0,00679 +
1
0,1842 величина параметра а, равная 0,00679 означает, что с ростом безра𝑥
ботицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соот62
ветственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором заработная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.
При b < 0 имеем повышающуюся функцию с верхней асимптотой при
х→∞, т.е. максимальным предельным уровнем y, оценку которого в уравнении дает параметр a. Примером может служить взаимосвязь доли расходов
на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов).
Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название
кривой Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода
доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно, с увеличением дохода доля расходов на непродовольственные товары будет возрастать. Однако этот рост не беспределен, ибо сумма долей на все товары не может быть больше 100%, а на отдельные непродовольственные товары данный предел может соответствовать величине параметра a для уравнения вида
𝑏
𝑦̂х = 𝑎 − ,
𝑥
где 𝑦̂ - доля расходов на непродовольственные товары;
х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).
Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г.
Лизер для этих целей применили полулогарифмическую кривую
𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∗ ln 𝑥 + 𝜀.
Заменив ln 𝑥 на z, вновь получим линейное уравнение 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑧 + 𝜀 .
Данная функция линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров a и b может быть найдена МНК.
Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна,
то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена
к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она
не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических
исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко используется степенная функция
𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑏 ∗ 𝜀,
где y – спрос (количество);
х – цена;
𝜀 - случайная ошибка.
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо
включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне
линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приводит его к линейному виду: ln 𝑦 = ln 𝑎 + 𝑏 ∗ ln 𝑥 + ln 𝜀
Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены МНК.
63
Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит
от вида уравнений и особенностей итеративной процедуры.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑏 ∗ 𝜀. Это связано с тем, что параметр b в ней имеет
четкое экономическое истолкование, т.е. является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько
процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.
Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида 𝑦̂х =
105,56 ∗ 𝑥 −1,12 , то, следовательно, с увеличением цена на 1% спрос снижается в среднем на 1,12%.
В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не
является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х,
обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:
𝑥̅
̅
Э = 𝑏 ∗ ̅.
𝑦
Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению ln 𝑦 = ln 𝑎+b*ln 𝑥 + ln 𝜀.
1
Уравнение вида 𝑦̂х =
характеризует прямую зависимость результа𝑎−𝑏𝑥
тивного признака от фактора. Оно целесообразно при очень медленном повышении уровня результативного признака и росте значений фактора.
Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
2.4. Множественная регрессия и корреляция
2.4.1. Спецификация модели. Отбор факторов для построения модели
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании,
если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования,
можно пренебречь. Вместе с тем исследователь никогда не может быть уверен в справедливости данного предположения. Например, для того, чтобы
иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. В
этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их
в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.
Общий вид многофакторного уравнения регрессии следующий:
𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏1 𝑥1 + ⋯ + 𝑏𝑘 𝑥𝑗 = 𝑎 + ∑𝑘𝑗=1 𝑏𝑗 𝑥𝑘 ,
где k – число факторных признаков (независимых переменных).
Коэффициенты условно чистой регрессии bj – частные производные потребления y по соответствующим факторам xj:
64
𝑏1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥1
, 𝑏2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥2
, … , 𝑏𝑘 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑘
в предположении, что все остальные xj постоянны.
Свободный член уравнения вычисляется по формуле:
𝑎 = 𝑦̅ − ∑𝑘𝑗=1 𝑏𝑗 𝑥̅𝑗 .
Термин «коэффициент условно-чистой регрессии» означает, что каждая
из величин bj измеряет среднее по совокупности отклонение результативного
признака от его средней величины при отклонении данного фактора хj – от
своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все
прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних
значениях (не изменяются, не варьируют).
Таким образом, в отличие от коэффициента парной регрессии коэффициент условно-чистой регрессии измеряет влияние фактора, абстрагируясь
от связи вариации этого фактора с вариацией остальных факторов. Если было
бы возможным включить в уравнение регрессии все факторы, влияющие на
вариацию результативного признака, то величины можно было бы считать
мерами чистого влияния факторов.
Включить все факторы в уравнение регрессии невозможно, так как: 1)
часть факторов может быть неизвестна современной науке, познание любого
процесса всегда неполное; 2) по части известных теоретически факторов нет
информации либо таковая ненадежна; 3) численность изучаемой совокупности (выборки) ограничена, что позволяет включить в уравнение регрессии
ограниченное число факторов.
Факторы, включаемые в уравнение множественной регрессии, должны
отвечать следующим требованиям:
быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель
качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то
нужно придать ему количественную определенность (например, в
модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модель стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости: районы могут быть проранжированны);
не должны быть коррелированны между собой и тем более находиться в точной функциональной связи.
Многофакторная система требует уже не одного, а множества показателей тесноты связей, имеющих разный смысл и применение. Основой измерения связей является матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Матрица парных коэффициентов корреляции (общий вид)
Признак
У
Х1
.
У
1
𝑟𝑦𝑥1
…
Х1
…
Хк
1
…
65
.
.
Хк
𝑟𝑦𝑥𝑗
𝑟𝑥1 𝑥𝑗
1
𝑟𝑦𝑥𝑘
𝑟𝑥1 𝑥𝑘
𝑟𝑥𝑗𝑥𝑘
1
По этой матрице можно судить о тесноте связи факторов с результативным признаком и между собой. Хотя все эти показатели относятся к парным
связям, все же матрицу можно использовать для предварительного отбора
факторов для включения их в уравнение регрессии. Не рекомендуется включать в уравнение факторы, слабо связанные с результативными признаками,
но тесно связанные с другими факторами. Совершенно недопустимо включать в анализ факторы, функционально связанные друг с другом, т.е. с коэффициентом корреляции, равным (или близким) 1. Включение таких пар признаков приводит к вырожденной матрице коэффициентов корреляции и неопределенности решения.
2.4.2. Выбор формы уравнения регрессии. Оценка параметров уравнения
множественной регрессии
Коэффициенты условно-чистой регрессии bj являются именованными
числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравнимы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные показатели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициента парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным
коэффициентом регрессии или β-коэффициентом
𝜎𝑥𝑗
𝛽𝑗 = 𝑏𝑗
𝜎𝑦
Данный β-коэффициент при факторе xj определяет степень влияния вариации фактора xj на вариацию результативного признака у при отвлечении
от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.
Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:
𝑥̅𝑗
𝑒𝑗 = 𝑏𝑗
𝑦̅
Коэффициент эластичности фактора xj говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от средней величины на 1% и при отвлечении
от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на ej процентов от 𝑦̅ . Чаще интерпретируют и употребляют коэффициенты эластичности
в терминах динамики: при увеличении фактора на 1% его средней величины
результативный признак увеличится на ej процентов его средней величины.
На основе данной матрицы вычисляется общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным призна66
ком – коэффициент множественной детерминации R2.
R
ryx1
1
* rx 2 x1
rxkx1
2
y , x1 ,xk
*
ryx 2
rx1x 2
1
rx 2 xk
ryxk
rx1xk
rx 2 xk
1
rx1x 2
rx 2 x1
1
rxkx1 rx 2 xk
где rij – парные коэффициенты корреляции.
1
0
ryx1
ryx 2
ryxk
rx1xk
rx 2 xk
1
Если же учесть конечность объема совокупности n, число факторов k, а
также свойство метода, по которому по мере приближения числа k к числу n
коэффициент детерминации автоматически приближается к 1 и достигает ее
при k=n-1 независимо от реальной роли факторов, то необходимо корректировать коэффициент множественной детерминации на потерю степеней свободы вариации:
𝑛−1
2
𝑅корр
= 1 − (1 − 𝑅2 )(
)
𝑛−𝑘−1
Корректированный коэффициент детерминации ниже, чем некоррелированный, причем разность их значений тем меньше, чем меньше факторов
входит в уравнение регрессии. Если из числа факторов исключить факторы,
слабо связанные с результативным признаком (т.е. низким значением 𝛽𝑗 ,
например, 𝛽𝑗 < 0,1), то некорректированный коэффициент детерминации немного уменьшится (он всегда уменьшается при исключении части факторов),
но корректированный коэффициент может даже возрасти за счет уменьшения
разности между R2 и корректированным R2.
Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d2j).
d 2j rxi y j
k
d
2
j
R2
j 1
67
Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровождать вероятностными оценками и проверять их надежность, так как это необходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогнозировании развития определенной системы.
Средняя ошибка условно-чистого коэффициента регрессии bp для фактора Xp имеет вид:
mbp
S yоос
1
2
S x p n 1 Rx p , x1x p 1 , x p 1xk
,
где Syост – оценка остаточного среднего квадратического отклонения результативного признака с учетом степеней свободы вариации:
n
(y
S yоос
i 1
i
~
yi ) 2
,
n k 1
где Sxp – оценка среднего квадратического отклонения признака хр:
n
S xp
(x
i 1
i
yi ) 2
,
n 1
где R2Xp,X1…Xp-1,Xp+1…Xk – коэффициент множественной детерминации для
фактора Xp.
Для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У
расчетные значения t-критерия Стьюдента, сравниваются с критическими. tкритерий Стьюдента рассчитывается по формуле:
t
bp
mb
Пример 2.10. Построить на основе данных таблицы 2.4 корреляционнорегрессионную модель, где фактор-результат (Y) – это объем рекламного рынка в России
в течение 1996 – 2009 годов, влияющие факторы – среднедушевые денежные доходы
населения (X1), объем инвестиций организационно-правовых структур (X2).
Рассчитаем параметры уравнения множественной регрессии, коэффициенты парной
корреляции, коэффициент детерминации, доверительный интервал с помощью инструментария MS Excel в режиме «Анализ данных» («Описательная статистика», «Регрессия»,
«Ковариация», «Корреляция»).
Для данной задачи уравнение множественной регрессии будет иметь вид:
Y = 0,89 Х1 + 1,84 Х2 - 4,04
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в период 1996 - 2009 гг. объем рынка рекламы России в среднем по совокупности возрастал на 890 млн рублей в год при увеличении среднедушевого дохода населения в год на одну тысячу рублей, на 1840 млн руб68
лей при увеличении инвестиций в основной капитал на душу населения в одну тысячу
рублей.
Коэффициенты уравнения регрессии (b1=0,89, b2=1,84) показывают изменение среднего по совокупности отклонения результативного признака от его средней величины при
отклонении данного фактора xj (j=1,2) от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены
на средних значениях.
Свободный член выполняет роль доводки до функционального соотношения между
средними величинами и экономического смысла не имеет. Отрицательная величина свободного члена подразумевает, что нулевые значения факторов в производстве невозможны.
Таблица 2.4
Динамика изменения объемов рынка рекламы, среднедушевых денежных доходов населения, объема инвестиций в основной капитал в России в течение 1996 –
2009 годов
Год
Объем рынка реклаСреднедушевые деИнвестиции в основмы, млрд руб.,
нежные доходы насеной капитал на душу
Y
ления в год, тыс. руб.,
населения, тыс. руб.,
X1
X2
1996
3,81
9,228
2,551
1997
6,72
11,292
2,782
1998
13,63
12,096
2,778
1999
15,01
19,56
4,606
2000
25,01
27,372
7,949
2001
41,03
36,744
10,308
2002
69,39
47,364
12,129
2003
88,72
62,04
15,124
2004
111,02
76,92
19,921
2005
142,30
97,344
25,232
2006
176,30
122,352
33,196
2007
228,70
151,212
46,630
2008
267,00
158,773
61,724
2009
174,67
157,184
49,380
Сумма
1363,31
991,070
294,310
Среднее
97,3793
70,791
21,022
Дисперсия
7728,24
3263,068
381,504
Стандартное
87,91041
57,123
19,532
отклонение
Источник. Цуканова О.А. Формирование системы стратегического управления социально-экономическим развитием продуцентов рекламно-издательских услуг в мегаполисе.
Для получения сравнимых относительных показателей рассчитывают стандартизированный коэффициент регрессии или -коэффициент (табл. 2.5). j-коэффициент при
факторе xj определяет степень влияния вариации фактора xj на вариацию результативного
признака y при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в
уравнение регрессии.
Коэффициенты регрессии также могут быть выражены в виде относительных сравнимых показателях связи – коэффициентах эластичности (ej).Данные коэффициенты пока69
зывают, на сколько результативный признак отклонится от своего среднего значения при
отклонении фактора Xj от средней величины на 1% (табл. 2.4).
На основе данных табл. 2.5 можно сделать вывод о том, что более значительное
влияние на вариацию объема рынка рекламы в России оказывает фактор X1 - среднедушевые денежные доходы населения в год (0,578 > 0,409). При отклонении среднедушевых
денежных доходов населения в год на 1% или инвестиций в основной капитал на душу
населения на 1% уровень объема рекламы в России изменится на 0,65%, и 0,40% соответственно.
Таблица 2.5
Сравнительная сила влияния факторов-аргументов на фактор-результат (объем
рынка рекламы)
Факторы Xj
Ej (коэффициент элаj (стандартизированный
стичности)
коэффициент регрессии)
Х1 (среднедушевые
0,578
0,65
денежные доходы
населения в год, тыс.
руб.)
Х2 (инвестиции в ос0,409
0,40
новной капитал на душу населения, тыс.
руб.)
Основой измерения связей в многофакторной системе является матрица парных коэффициентов корреляции.
Таблица 2.6
Матрица парных коэффициентов корреляции
Признак
У (объем рынка реХ1 (среднедушевые
Х2 (инвестиции в
кламы, млрд руб.)
денежные доходы
основной капитал,
населения в год,
млн руб.)
руб.)
У
1
Х1
0,97
1
Х2
0,97
0,98
1
На основе матрицы парных коэффициентов корреляции (табл. 2.6) вычисляется общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным признаком – коэффициент множественной детерминации R2.
Для данной задачи коэффициент множественной детерминации составляет 0,95 и
представляет собой отношение части вариации результативного признака, объясняемой за
счет вариации входящих в уравнение факторов, к общей вариации результативного признака за счет всех факторов. Таким образом, два фактора, включенные в уравнение регрессии, объясняют 95% вариации уровня объемов рекламы в России. Коэффициент корреляции равен 0,97, следовательно, связь между факторами является очень сильной.
Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d2). Для конкретного расчета d21 составляет 56%, d22 - 39%. При этом можно отметить, что совокупное влияние всех факторов, входящих в уравнение регрессии не равно сумме влияния каждого из них.
70
Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровождать вероятностными оценками и проверять их надежность, так как это необходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогнозировании развития определенной
системы. Для этого рассчитывается (табл. 2.7) средняя ошибка коэффициента регрессии,
для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения
t-критерия Стьюдента сравниваются с критическими (табличными).
На основе данных табл. 2.7 можно сделать вывод о том, что расчетное значение tкритерия Стьюдента больше критического при уровне значимости 0,05 для всех коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции. Следовательно, коэффициент корреляции
с очень большой вероятностью больше нуля, и связь установлена надежно. Также надежно установлено, что генеральное значение коэффициентов b1 и b2 не является нулевым,
влияние (условно-чистое) факторов Х1 и Х2 на вариацию Y существенно. Величина b0
оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели факторов Х1 и Х2)
факторов на результат Y.
Таблица 2.7
Определение средней ошибки, доверительных интервалов для параметров корреляционно-регрессионной модели
Коэффициенты регрессии
Коэффициент
Статистические параметры
множественной
b1
b2
b0
регрессии
Средняя ошибка (mbp)
0,45
1,328
9,08
0,07
Расчетный t-критерий Стью1,95
1,38
0,44
13,5
дента (tp)
Критический t-критерий Сть0,10
0,05
0,01
юдента при 11 степенях сво1,7959
2,2010
3,1058
боды при уровне значимости
0,10; 0,05; 0,01.
Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
71
3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В
УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
3.1. Линейное программирование
3.1.1. Построение экономико-математических моделей задач линейного
программирования
Задачей линейного программирования называется задача исследования
операций, математическая модель которой имеет вид:
n
f ( X ) c j x j max(min)
(3.1)
j 1
n
a x
j 1
ij
j
b, i I , I M 1, 2,..., m
(3.2)
j
bi , i M
(3.3)
n
a x
j 1
ij
x j 0, j J , J N 1, 2,..., n
(3.4)
При этом система линейных уравнений (3.2) и неравенств (3.3), (3.4),
определяющая допустимое множество решений задачи W , называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f ( X ) называется целевой функцией или критерием оптимальности.
В частном случае, если I , то система (3.2) - (3.3) состоит только из
линейных неравенств, а если I M , то – из линейных уравнений.
Если математическая модель задачи линейного программирования имеет
вид:
n
f ( X ) c j x j min
(3.5)
j 1
n
a x
j 1
ij
j
bi , i 1, m
(3.6)
bi 0
x j 0, j 1, n
(3.7)
то говорят, что задача представлена в канонической форме.
Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае
нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой
с противоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
72
если в исходной задаче требуется определить максимум лилейной
функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить
это ограничение на -1;
если среди ограничений имеются неравенства, то путем вверения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
если некоторая переменная не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью
между двумя новыми неотрицательными переменными xk xk xl , где l
- свободный индекс, xk 0, xl 0 .
Каноническая задача линейного программирования имеет вид:
Z(X) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn → (max) min
(3.8)
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(3.9)
xj≥0, j = 1,2,…,n
Пример 3.1. Привести к канонической форме задачу линейного программирования:
min L 2 x1 x2 x3 ;
2 x2 x3 5;
x1 x2 x3 1;
2 x1 x2 3
x1 0, x2 0, x3 0
Решение
Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x4,
x5, x6. Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы
ограничений перевранные x4, x6 вводятся в левую часть со знаком «+», а во второе уравнение вводится со знаком «-».
2 x2 x3 x4 5;
x1 x2 x3 x5 1;
2 x1 x2 x6 3;
x4 0, x5 0, x6 0
Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого
два последних уравнения умножим на -1:
73
2 x2 x3 x4 5;
x1 x2 x3 x5 1;
2 x1 x2 x6 3;
В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные,
входящие в систему ограничений, должны быть неотрицательными. Допустим, что
x1 x1 x7 , где x1 0, x7 0
Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:
2 x2 x3 x4 5;
x1 x2 x3 x5 x7 1;
2 x1 x2 x6 2 x7 3;
L min 2 x1 x2 x3 2 x7 ;
x1 0, xi 0, i 2, 7.
Рассмотрим процесс построения математических моделей задач линейного программирования на примере.
Пример 3.2. Использование мощностей оборудования.
Предприятие имеет m моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: Т — время работы каждой машины; продукции j-го вида должно быть
выпущено не менее Nj единиц.
Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой i-й машины
по выпуску j-го вида продукции bij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на выпуск j-го вида продукции cij .
Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции xij , обеспечивающее
минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени
работы машин Т и заданному количеству продукции Nj .
По условию задачи машины работают заданное время T, поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде:
n
x
j 1
ij
T , i 1, m
Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:
n
b x
i 1
ij ij
N j , j 1, n
Задача решается на минимум затрат на производство:
m
Z min
i 1
n
c x
j 1
ij ij
Необходимо также учесть неотрицательность переменных xij 0 .
Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины,
т. е. обеспечить полную загрузку машины. При этом количество выпускаемой продукции
74
каждого вида должно быть по крайней мере не менее Nj . Однако в некоторых случаях не
допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:
n
x
j 1
ij
n
b x
i 1
ij ij
T , i 1, m
N j , j 1, n
xij 0
m
Z min
i 1
n
c x
j 1
ij ij
3.1.2. Графическое решение задач линейного программирования
Графический способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать для:
решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами;
решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.
То есть графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:
Z(X) = c1x1 + c2x2 → (min) max
(3.10)
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 ≤ (≥)𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 ≤ (≥)𝑏2
{ 21 1
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 ≤ (≥)𝑏𝑚
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
(3.11)
(3.12)
Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1 x1 ai 2 x2 bi ;
(i 1, m); x1 0; x2 0 . В том случае, если система неравенств совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей
— выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.
Областью допустимых решений системы неравенств может быть: выпуклый многоугольник; выпуклая многоугольная неограниченная область;
пустая область; луч; отрезок; единственная точка.
Целевая функция определяет на плоскости семейство параллельных
прямых, каждой из которых соответствует определенное значение Z.
75
Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.
Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи
принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае
имеет вид c1x1 + c2x2 = l, где l – const. Все линии уровня параллельны между
собой. Их нормаль 𝑛̅ = (𝑐1 , 𝑐2 ).
Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну
общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой
эта область находится в одной из полуплоскостей.
Вектор C (c1 ; c2 ) с координатами с1 и с2, перпендикулярный к этим
прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а противоположный вектор – направление убывания Z.
Если в одной и той же системе координат изобразить область допустимых решений системы неравенств (3.11) - (3.12) и семейство параллельных
прямых (3.10), то задача определения максимума функции Z сведется к
нахождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из
семейства Z = const, и которая соответствует наибольшему значению параметра Z.
Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на
нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из
вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное
значение.
Для определения данной вершины построим линию уровня
Z c1 x1 c2 x2 0 проходящую через начало координат и перпендикулярную
вектору C (c1 ; c2 ) , и будем передвигать ее в направлении вектора C (c1 ; c2 )
до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.
Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи (3.10)
— (3.12), отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. 3.1- 3.4. Рис. 3.1 характеризует такой случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А. Из рис. 3.2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ.
На рис. 3.3 изображен случай, когда максимум недостижим, а на рис. 3.4
— случай, когда система ограничений задачи несовместна. Отметим, что
нахождение минимального значения Z при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях
лишь тем, что линия уровня Z передвигается не в направлении вектора
C (c1 ; c2 ) , а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные
выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения.
76
Рис. 3.1. Оптимум функции Z достижим в точке А
Рис. 3.2. Оптимум функции Z достигается в любой точке AB
Рис. 3.3. Оптимум функции Z не
достижим
Рис. 3.4. Область допустимых решений – пустая область
77
Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:
1. Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (3.11) — (3.12) знаков неравенств на знаки равенств. Если
область допустимых значений является пустым множеством, то задача не имеет
решения ввиду несовместимости системы ограничений.
2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
3. Определить многоугольник решений.
4. Построить вектор C (c1; c2 ) .
5. Построить прямую Z c1 x1 c2 x2 0 , проходящую через научало координат и перпендикулярную вектору C .
6. Передвигать прямую Z c1 x1 c2 x2 в направлении вектора C , в результате чего либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает
максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов.
7. Определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.
Пример 3.3. Определение оптимального ассортимента продукции.
Предприятие изготавливает два вида продукции - П1 и П 2 , которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукций используются два вида сырья - А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход
сырья на единицу продукции вида П1 , и вида П 2 дан в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Расход сырья продукции
Расход сырья
Сырье
на 1 ед. продукции
Запас сырья,
ед.
П1
П2
А
2
3
9
В
3
2
13
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает
спроса на продукцию П 2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию
П 2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. — для П1 и 4 д. е. для П 2 .
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы
доход от реализации продукции был максимальным?
Решение
Предположим, что предприятие изготовит x1 единиц продукции П1 и x2 единиц продукции П 2 . Поскольку производство продукции П1 и П 2 ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:
78
2 x1 3 x2 9;
3 x1 2 x2 13;
x1 x2 1;
x2 2;
x1 0;
x2 0
Доход от реализации x1 единиц продукции П1 и x2 единиц продукции П 2 составит
F 3x1 4 x2 .
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения Fmах.
Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут
быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции
и затраты станочного времени.
Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции геометрическим способом.
Построим многоугольник решений (рис. 3.5). Для этого в системе координат Х10Х2 на
плоскости изобразим граничные прямые:
2 x1 3 x2 9 ( L1 )
3 x1 2 x2 13 ( L2 )
x1 x2 1
( L3 )
x2 2
( L4 )
Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость
определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на
рис. 3.5 показаны стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.
Для построения прямой Z 3x1 4 x2 0 строим вектор-градиент C (3; 4) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора C . Из рис. 3.5 следует, что по отношению к
многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С, где функция принимает
максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L3 . Для определения ее
координат решим систему уравнений:
2 x1 3x2 9
x1 x2 1
79
Рис. 3.5. Решение задачи (пример 3.3) линейного программирования геометрическим способом
Оптимальный план задачи x1 =2,4; x2 =1,4. Подставляя значения x1 и x2 в линейную
функцию, получим:
Z max 3 2, 4 4 1, 4 12,8
Полученное решение означает, что объем производства продукции П1 должен быть
равен 2,4 ед., а продукции П 2 — 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8
д. е.
Геометрическим способом можно также решать задачи линейного программирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу
преобразуют методом Жордана—Гаусса.
Пример 3.4. Решить задачу линейного программирования:
𝑍(𝑋) = −𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 7𝑥5
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 − 3𝑥5 = 4
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 − 8𝑥5 = 3
𝑥2 + 𝑥3 − 4𝑥5 = −4
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3,4,5
Методом Жордана-Гаусса приведем систему уравнений-ограничений задачи к равносильной разрешенной (табл. 3.2). Одновременно исключим разрешенные неизвестные из целевой функции.
80
Таблица 3.2
x1
-1
1
0
-1
-1
2
1
-2
0
0
1
0
0
0
1
0
x2
1
1
1
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
x3
1
4
1
1
1
3
0
2
1
3
0
2
0
1
0
0
x4
2
1
0
3
2
-1
-2
5
0
3
-2
1
-1
1
-2
-1
x5
-3
-8
-4
7
-3
-5
-1
4
-4
-3
-1
2
-3
-1
-1
4
b
4
3
-4
0
4
-1
-8
4
-4
15
-8
-12
-9
5
-8
-22
Используя последнюю часть табл. 3.2, запишем задачу линейного программирования в
преобразованном виде:
𝑍(𝑋) = −𝑥4 + 4𝑥5 + 22 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥2 − 𝑥4 − 3𝑥5 = −9
{ 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 = 5
𝑥1 − 2𝑥4 − 𝑥5 = −8
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3,4,5
Отбросим в уравнениях-ограничениях неотрицательные разрешенные неизвестные x1,
x2, x3 и заменим знаки равенства знаками неравенства, получим вспомогательную задачу
линейного программирования с двумя переменными:
𝑍(𝑋) = −𝑥4 + 4𝑥5 + 22 → 𝑚𝑖𝑛
−𝑥4 − 3𝑥5 ≤ −9
{ 𝑥4 − 𝑥5 ≤ 5
−2𝑥4 − 𝑥5 ≤ −8
𝑥4 ≥ 0, 𝑥5 ≥ 0
Решаем задачу графическим методом (рис. 3.6). Свободный член в целевой функции 22
на отыскание оптимального решения не влияет и учитывается только при вычислении значения целевой функции.
81
Рис. 3.6. Решение задачи (пример 3.4) линейного программирования геометрическим способом
Находим оптимальное решение вспомогательной задачи 𝑋 ∗ = 𝐿1 ∩ 𝐿2
−𝑥4 − 3𝑥5 = −9, (𝐿1 )
𝑥4 − 𝑥5 = 5, (𝐿2 )
−4𝑥5 = −4
𝑥5∗ = 1, 𝑥4∗ = 6, 𝑋 ∗ = (6,1)
Вычисляем минимальное значение целевой функции Z(X*) = -1*6 + 4*1 + 22 = 20.
Находим оптимальное решение исходной задачи. Для этого используем систему ограничений в разрешенном виде:
𝑥2 − 𝑥4 − 3𝑥5 = −9
𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 = 5
𝑥1 − 2𝑥4 − 𝑥5 = −8
+{
Вычисляем:
Х2* = -9 + Х4* + 3 Х5* = -9+6+3*1=0
Х3* = 5 – Х4* + Х5* = 5-6+1 = 0
Х1* = -8 + 2 Х4*+ Х5*= -8+2*6 + 1 = 5
Получаем Х* = (5,0,0,6,1)
Ответ: min Z(X) = 20 при Х* = (5,0,0,6,1)
3.1.3. Симплекс-метод
Симплексный метод основывается на следующем:
область допустимых значений решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек, т.е. многогранником или многоугольным множеством;
82
оптимальным решением задачи линейного программирования является
одна из угловых точек области допустимых значений;
угловые точки области допустимых решений алгебраически представляют собой некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений задачи.
Данный метод состоит в целенаправленном переборе опорных решений
задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов
расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.
Основное содержание симплексного метода:
1)
2)
3)
найти начальное опорное решение;
осуществить переход от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции ближе к оптимальному;
определить критерии завершения процесса решения задачи, позволяющие своевременно прекратить перебор решений на оптимальном решении или сделать заключение об отсутствии решения.
Опорное решение задачи линейного программирования
Пусть имеется задача линейного программирования в канонической форме
(3.8 – 3.9).
Будем считать, что правые части всех уравнений системы ограничений неотрицательны. Если в каком-либо уравнении правая часть отрицательна, то это
уравнение нужно умножить на -1.
Опорным решением задачи линейного программирования называется такое
допустимое решение Х = (х10, х20, …, хm0, 0, …), для которого векторы условий
(столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) А1, А2, … ,
m, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.
Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть
больше ранга r системы векторов условий (числа линейно независимых уравнений системы ограничений). В дальнейшем будем считать, что система ограничений состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r=m.
Если число отличных от нуля координат опорного решения равно m, то
решение называется невырожденным, в противном случае – вырожденным.
Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, включающий в свой состав векторы, соответствующие отличным от нуля
координатам опорного решения.
Базисное решение находится методом Жордана – Гаусса. При этом разрешающие элементы для преобразований Жордана необходимо выбирать из
условия, обеспечивающего неотрицательность правых частей уравнений системы,
𝑏
𝑏
𝜃𝑜𝑘 = 𝑚𝑖𝑛𝑖 { 𝑖 } = 𝑙 при 𝑎𝑖𝑘 > 0,
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑙𝑘
83
где k – номер вектора условия Ak, вводимого в базис (номер выбираемого
столбца матрицы системы ограничений);
l – номер вектора Al, выводимого из базиса (номер строки матрицы системы, в которой следует выбрать разрешающий элемент для преобразований
Жордана).
С помощью данного условия можно выбрать разрешающий элемент в любом столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется хотя бы один
положительный элемент. Если при выборе разрешающего элемента данное
условие нарушается, в правой части системы уравнений появляются отрицательные величины.
Используя данное условие, можно получить допустимое базисное решение, которое является начальным опорным решением.
Аналогичное условие используется при переходе от одного опорного решения к другому.
Алгоритм симплексного метода
Рассмотрим систему ограничений и линейную форму вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Zmin= co + c1x1 + c2x2 + … + cnxn
xj≥0, j = 1,2,…,n
Используя метод Жордана – Гаусса, приведем записанную систему к виду,
где выделены базисные переменные.
Введем условные обозначения:
x1, x2, … xr – базисные переменные;
xr+1, xr+2, … xn – свободные переменные.
Таблица 3.3
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
Свободный
член
x1
x2
…
xr
Zmin
β1
β2
…
βr
γ0
Симплекс-таблица
xr+1
xr+2
…
xn
α1r+1
α2r+1
…
αrr+1
γr+1
…
…
…
…
…
α1n
α2n
α1r+2
α2r+2
…
αrr+2
γr+2
αrn
γn
84
Данная таблица называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменением содержания этой таблицы.
Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему:
1. В последней строке симплекс-таблицы находят наименьший положительный элемент, не считая свободного члена. Столбец, соответствующий этому элементу, считается разрешающим.
2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят
наименьшее из этих отношений, оно соответствует разрешающей
строке.
3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.
4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплексотношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симплекс-таблицы.
5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей
таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей
строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная
становится свободной переменной и наоборот. Симплекс-таблица
преобразована следующим образом (табл. 3.4):
Таблица 3.4
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
Преобразование симплекс-таблицы
Свободный
…
xr+1
x1
член
xn
xr+2
β1/ α1r+2
α1r+1/ α1r+2
1/α1r+2
…
α1n/ α1r+2
x2
-(α2r+2) /α1r+2
…
…
…
…
…
…
…
xr
-(αrr+2)/α1r+2
…
Zmin
-(γr+2) /α1r+2
…
6. Элемент табл. 3.4, соответствующий разрешающему элементу табл.
3.3, равен обратной величине разрешающего элемента.
7. Элементы строки табл. 3.4, соответствующие элементам разрешающей строки табл. 3.3, получаются путем деления соответствующих
элементов табл. 3.3 на разрешающий элемент.
8. Элементы столбца табл. 3.4, соответствующие элементам разрешающего столбца табл. 3.3, получаются путем деления соответствующих
элементов табл. 3.3 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.
9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл. 3.3, одна вершина которого
85
совпадает с разрешающим элементом, а другая – с элементом, образ
которого мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый элемент из табл. 3.4 будет равен соответствующему элементу табл. 3.3 минус дробь, в знаменателе которой стоит разрешающий элемент, а в числителе - произведение элементов из двух
неиспользованных вершин прямоугольника.
10. Как только получится таблица, в которой в последней строке все элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное
значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а оптимальное решение определяется свободными членами при
базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае равны, нулю.
11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача
не имеет решений (минимум не достигается).
Пример 3.5. Решение задачи симплексным методом:
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
{ 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥4 = 1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥5 = 2
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5
Приведем задачу к виду, допускающему применение симплекс-алгоритма:
𝑥3 = 1 − (−𝑥1 + 𝑥2 )
𝑥4 = 1 − (−𝑥1 − 𝑥2 )
𝑥5 = 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )
Подставим в выражение Zmax величины х2, х4, х5:
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 6𝑥1 − 7𝑥2 + 3
По алгоритму целевая функция должна стремится к минимуму.
𝑍𝑚𝑖𝑛 = −𝑍𝑚𝑎𝑥 = −6𝑥1 + 7𝑥2 − 3 = −3 − (6𝑥1 − 7𝑥2 )
Составим симплекс-таблицу:
Таблица 3.5
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X3
X4
X5
Zmin
Свободный
член
X1
X2
1
1
2
-3
-1
1
1
6
1
-1
1
-7
86
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, в нашем примере он равен +6, первый столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное
симплекс-отношение равно 1. Разрешающий элемент находится на пересечении строки переменной х4 и столбца – х1.
Переходим к следующей таблице, используя правило прямоугольника:
Таблица 3.6
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X3
X4
X5
Zmin
Свободный
член
X1
X2
2
1
1
-9
1
1
-1
-6
0
-1
2
-1
В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено: Zmin = -9; X =(0;0;2;1;1); Zmax = -Zmin = 9.
3.1.4. Методы нахождения опорного решения задачи линейного программирования
Алгоритм симплекс-метода можно применять лишь в том случае, если выделено первое допустимое решение, т.е. исходная задача линейного программирования приведена к виду
𝑥1 = 𝛽1 − (𝛼1𝑟+1 𝑥 𝑟+1 + 𝛼1𝑟+2 𝑥𝑟+2 + ⋯ + 𝛼1𝑛 𝑥𝑛 )
…
{
𝑥𝑟 = 𝛽𝑟 − (𝛼𝑟𝑟+1 𝑥𝑟+1 + 𝛼𝑟𝑟+2 𝑥𝑟+2 + ⋯ + 𝛼𝑟𝑛 𝑥𝑛 )
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝛾0 − (𝛾𝑟+1 𝑥𝑟+1 + 𝛾𝑟+2 𝑥𝑟+2 + ⋯ + 𝛾𝑛 𝑥𝑛
При этом 𝛽1 ≥ 0, … , 𝛽𝑟 ≥ 0 , тогда, положив свободные неизвестные
𝑥𝑟+1 , 𝑥𝑟+2, 𝑥𝑛 равными нулю, получаем опорное решение 𝑥1 = 𝛽1 ; 𝑥2 =
𝛽2 ; … ; 𝑥𝑟 = 𝛽𝑟 .
Рассмотрим метод нахождения опорного решения, основанный на введении искусственных переменных. Для этого запишем задачу линейного программирования в общем виде. Будем рассматривать задачу с числом неизвестных «n» и «r» ограничениями:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
(3.13)
{ 21 1
…
𝑎𝑟1 𝑥1 + 𝑎𝑟2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟
87
Перепишем систему (3.13) в другом виде. Для этого введем искусственные
переменные y1, y2,…, yr так, чтобы был введен базис. Тогда система примет вид
𝑦1 = 𝑏1 − (𝛼11 𝑥 1 + 𝛼12 𝑥2 + ⋯ + 𝛼1𝑛 𝑥𝑛 )
…
{
𝑦𝑟 = 𝑏𝑟 − (𝛼𝑟1 𝑥1 + 𝛼𝑟2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑟𝑛 𝑥𝑛 )
(3.14)
Системы (3.13) и (3.14) будут эквивалентны в том случае, если все yi, для
̅̅̅̅𝑟 будут равны 0. Кроме того, мы считаем, что все 𝛽𝑖 ≥ 0 для 𝑖 = 1,
̅̅̅̅𝑟. В
𝑖 = 1,
противном случае соответствующие ограничения из системы (3.13) умножим
на -1. Для того чтобы yi были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким
образом, чтобы все искусственные переменные yi перешли в свободные неизвестные.
В этом случае система (3.14) после преобразования примет вид
𝑥1 = 𝛽1 − (𝛼1𝑟+1 𝑥 𝑟+1 + 𝛼1𝑟+2 𝑥𝑟+2 + ⋯ + 𝛼1𝑛 𝑥𝑛 + 𝑐11 𝑦1 + ⋯ + 𝑐1𝑟 𝑦𝑟 )
…
(3.15)
{
𝑥𝑟 = 𝛽𝑟 − (𝛼𝑟𝑟+1 𝑥𝑟+1 + 𝛼𝑟𝑟+2 𝑥𝑟+2 + ⋯ + 𝛼𝑟𝑛 𝑥𝑛 + 𝑐𝑟1 𝑦1 + ⋯ + 𝑐𝑟𝑟 𝑦𝑟 )
От системы (3.14) к системе (3.15) всегда можно перейти шагами симплекс-метода. При таком переходе в качестве линейной формы рассматривают
функцию 𝐹𝑚𝑖𝑛 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑟 , равную сумме искусственных переменных.
Переход заканчивают, когда 𝐹𝑚𝑖𝑛 = 0 и все искусственные переменные yi переведены в свободные неизвестные.
Анализ вариантов решений:
1) Если 𝐹𝑚𝑖𝑛 ≠ 0, а все yi переведены в свободные переменные, то задача
не имеет положительного решения.
2) Если 𝐹𝑚𝑖𝑛 = 0, а часть yi осталась в базисе, то для перевода их в свободные переменные необходимо применять специальные приемы.
В симплекс-таблице, соответствующей системе (3.15), после того, как
𝐹𝑚𝑖𝑛 = 0, а все yi – свободные, вычеркивают сроку для 𝐹𝑚𝑖𝑛 и столбцы для yi и
решают задачу для исходной линейной формы 𝑍𝑚𝑖𝑛 .
Рекомендуется вводить минимум искусственных переменных.
Пример 3.6. Решение задачи линейного программирования симплекс методом. Для
нахождения опорного плана использовать метод искусственных переменных.
Ограничения:
3𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 1
2𝑥
{ 1 − 2𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥5 = −4
𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥4 − 𝑥5 = −5
Целевая функция:
̅̅̅̅
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑥1 + 2𝑥2 , xi≥0, 𝑖 = 1,5
В базис можно выделить переменную х3. Введем две искусственные переменные – y1 и
y2.
𝑥3 = 1 − (3𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥4 );
𝑦1 = 4 − (−2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥4 + 𝑥5 );
88
𝐹𝑚𝑖𝑛
𝑦2 = 5 − (−𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥4 + 𝑥5 );
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 0— (−𝑥1 − 2𝑥2 );
= 𝑦1 + 𝑦2 = 9— (−3𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥4 + 2𝑥5 )
Составим симплекс-таблицу:
СвоСвободные
боднеизвестный
ные
член
Базисные
неизвестные
X3
1
Y1
4
Y2
5
Zmin
0
Fmin
9
X1
X2
X4
X5
3
-2
-1
-1
-3
-5
2
3
-2
5
2
-1
-2
0
-3
0
1
1
0
2
Наименьший положительный элемент в строке линейной формы Fmin=2. Разрешающий
элемент находится на пересечении столбца переменной x5 и строки переменной y1.
Заполним следующую симплекс-таблицу:
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X3
X5
Y2
Zmin
Fmin
Свободный
член
X1
X2
X4
Y1
1
4
1
0
1
3
-2
1
-1
1
-5
2
1
-2
1
2
-1
-1
0
-1
0
1
-1
0
-2
Наименьший положительный элемент в строке линейной формы Fmin=1. Минимальное
симплекс-отношение соответствует строке переменной y2.
Заполним новую симплекс-таблицу:
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X3
X5
X2
Zmin
Fmin
Свободный
член
X1
Y2
X4
Y1
6
2
1
2
0
8
-4
1
1
0
5
-2
1
2
-1
-3
1
-1
-2
0
5
3
-1
-1
-1
89
Так как Fmin=0, а y1 и y2 переведены в число свободных, переход к первому опорному
решению завершен. Строку, соответствующую Fmin, и столбцы переменных y1 и y2 вычеркиваем в последней таблице и переписываем ее в новом виде:
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X3
X5
X2
Zmin
Свободный
член
X1
X4
6
2
1
2
8
-4
1
1
-3
1
-1
-2
Решим задачу для исходной линейной формы Zmin. В последней таблице находим разрешающий элемент. Он равен 8. Выполняя действия согласно алгоритму симплекс-метода,
получим следующую таблицу:
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X1
X5
X2
Zmin
Свободный
член
X1
X4
6/8
5
2/8
10/8
1/8
4/8
-1/8
-1/8
-3/8
-12/8
-5/8
-13/8
В последней строке (Zmin) положительных элементов нет, следовательно, оптимальное
решение найдено.
6 2
Значение целевой функции равно 10/8. Оптимальный план 𝑋̅ = (8 : 8 ; 0; 0; 5).
Задачи по теме «Линейное программирование» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
3.1.5. Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования
Результирующая симплекс-таблица содержит информацию по весьма важными данными, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно: оптимального решения; статуса ресурсов; ценности каждого ресурса; чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов,
вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.
90
Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно извлечь непосредственно из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся
к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.
Для иллюстрации возможностей получения указанной выше информации
по первым трем пунктам из заключительной симплекс-таблицы воспользуемся
задачей об ассортименте продукции. Эта задача формулируется следующим
образом: максимизировать: 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 (доход) при следующих ограничениях: 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9 (сырье А); 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13 (сырье В); 𝑥1 − 𝑥2 ≤ 1 (спрос);
𝑥2 ≤ 2 (спрос).
Оптимальная симплекс-таблица имеет вид:
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
X1
Y2
Y4
X2
Zmin
Свободный
член
Y1
Y3
2,4
3
0,6
1,4
12,8
0,2
-1
-0,2
0,2
1,4
0,6
-1
0,4
-0,4
0,2
̅̅̅̅ - выравнивающие переменные.
В таблице yj, 𝑖 = 1,4
Оптимальное решение
При интерпретации результатов оптимизации в задаче об ассортименте
продукции нас прежде всего интересуют объемы производства продукции П1 и
П2, т.е. значения управляемых переменных х1 и х2. Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты
можно представить в следующем виде:
Управляемые
переменные
Х1
Х2
Zmax
ОптимальРешение
ные значения
2,4
Объем производства продукции П1 должен быть
равен 2,4 ед. в сутки
1,4
Объем производства продукции П2 должен быть
равен 1,4 ед. в сутки
12,8
Доход от реализации продукции будет равен 12,8
д.е. в сутки
Статус ресурсов
В модели, построенной для задачи об ассортименте продукции, фигурируют четыре ограничения со знаком «≤». Первые два ограничения (определяющие допустимый расход исходного сырья) представляют собой истинные
91
ограничения на ресурсы. Третье и четвертое ограничения относятся к спросу.
Эти требования можно рассматривать как ограничения на соответствующие ресурсы, так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению
представительства предприятия на рынке сбыта. В отношении финансовых
средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ресурсов, требующее распределения дополнительных вложений.
Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов (дефицитный или недефицитный) для любой модели линейного программирования можно установить
непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на
значения выравнивающих переменных. Применительно к нашей задаче можно
привести следующую сводную таблицу:
Ресурс
Сырье А
Сырье В
Превышение объема
производства продукции П1 по отношению к объему
производства продукции П2
Спрос на продукцию П2
Выравнивающая переменная
Y1=0
Y2=3
Y3=0
Статус ресурса
Дефицитный
Недефицитный
Дефицитный
Y4=0,6
Недефицитный
Положительное значение выравнивающей переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является
недефицитным. Если же выравнивающая переменная равна 0, то это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из сводной таблицы
видно, что ресурсы 2 и 4 связаны с запасами сырья В и возможностями сбыта
продукции П2. Поэтому любое увеличение их запасов сверх установленного
максимального значения приведет лишь к тому, что они станут еще более недефицитными. Оптимальное решение задачи при этом останется неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить решение (увеличить доход), - это сырье А и возможности по сбыту продукции П1, поскольку
из оптимальной симплекс-таблицы видно, что они дефицитные. В связи с этим
логично поставить вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать
предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов
с тем, чтобы получить от них максимальную отдачу.
Ценность ресурса
Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального
значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса.
Рассмотрим Z-уравнение оптимальной симплекс-таблицы решения задачи
об ассортименте продукции:
Z = 12,8 - (1,4*y1 + 0*у2+ 0,2*у3 + 0*у4).
92
Положительное приращение переменной y1 относительно ее текущего нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z, причем коэффициент пропорциональности равен 1,4 д. е. Однако из первого ограничения
модели следует 2x1+3x2+y1=9, т.е. увеличение у1 эквивалентно снижению запаса
ресурса 1 (сырья А). Отсюда следует, что уменьшение запаса первого ресурса
вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции Z с коэффициентом
пропорциональности, равным 1,4 д. е. Аналогичные рассуждения справедливы
и для ресурса 3.
В отношении ресурсов 2 и 4 было установлено, что их ценность равна 0
(U2 = U4 = 0) . Этого и следовало ожидать, так как ресурсы 2 и 4 оказались недефицитными. Такой результат получается всякий раз, когда соответствующие
выравнивающие переменные имеют положительное значение.
Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных Ui, была представлена в стоимостном (д.е.) выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка
соответствующих ресурсов. На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения Z. При применении ограничений модели соответствующие экономически оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение
тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты
предпочитают использовать такие термины, как теневая цена или двойственная
оценка. Заметим, что теневая цена характеризует интенсивность улучшения оптимального решения Z. Однако при этом не фиксируется интервал значений
увеличения запасов ресурсов, при которых интенсивность улучшения целевой
функции остается постоянной. Для большинства практических ситуаций логично предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превышении которого соответствующее ограничение становится избыточным, что в
свою очередь приводит к новому базисному решению и соответствующим ему
новым теневым ценам.
3.1.6. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений
При определенных значениях изменения коэффициента целевой функции
оптимальные значения переменных остаются неизменными (хотя оптимальное
значение Z при этом меняется). Основная цель анализа на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции заключается
в том, чтобы найти интервалы изменений коэффициентов целевой функции,
при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, положим, что доход, получаемый с единицы продукции П1, изменяется от 3 до 3 +
δ1, где δ1 может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
93
𝑍𝑚𝑎𝑥 = (3 + 𝛿1 )𝑥1 + 4𝑥2
Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить,
все вычисления, необходимые для получения оптимальной симплекс-таблицы,
то последнее Zmax-уравнение будет выглядеть следующим образом:
Свободные переменные
Zmax
Свободные члены
Y1
12,8+2,4 δ1
Y2
1,4+0,2 δ1
0,2+0,6 δ1
Это уравнение (строка целевой функции) отличается от Z-уравнения до
введения δ1 только наличием членов, содержащих δ1. Коэффициенты при δ1
равны коэффициентам при соответствующих переменных в х1-уравнении (х1строка) симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения:
СвоСвободные
боднеизвестный
ные
член
Базисные
неизвестные
X1
2,4
Y1
Y3
0,2
0,6
Мы рассматриваем х1-уравнение, так как коэффициент именно при этой
переменной в выражении для целевой функции в начальной симплекс-таблице
изменился на δ1.
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при
значениях δ1, удовлетворяющих условию неотрицательности (задача на отыскание максимума) всех коэффициентов при свободных переменных в Zуравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства:
1,4 + 0,2 δ1 ≥ 0;
0,2 + 0,6 δ1 ≥ 0.
Из первого неравенства получаем, что δ1 ≥ - 07, а из второго следует, что δ1
≥ -1/3. Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента
- 1/3 ≤ δ1 ≤ +∞.
Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при пе1
2
ременной х1 до значения, равного (3 + (− )) = 2 , или при его увеличении до
3
3
+∞ оптимальные значения переменных остаются неизменными.
Следует отметить, что оптимальное значение Z будет изменяться в соответствии с выражением (12,8+2,4 δ1), где - 1/3 ≤ δ1 ≤ +∞.
Мы рассмотрели случай изменения коэффициента при базисной переменной х1. В случае изменения коэффициента при свободной переменной в целевой
функции происходит изменение коэффициента только при данной переменной
в оптимальной симплекс-таблице. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай,
когда коэффициент при свободной переменной у1, (первая выравнивающая переменная) изменяется от 0 до δ2 . Выполнение преобразовании, необходимых
94
для получения заключительной симплекс-таблицы, приводит к следующему результирующему Z-уравнению:
Свободные переменные
Zmax
Свободные члены
Y1
Y2
1,4 – δ2
12,8
0,2
Из приведенного фрагмента заключительной симплекс-таблицы видно, что
единственное отличие от Z-уравнения до введения δ2 состоит в том, что коэффициент при у3 уменьшился на δ2 . Таким образом, коэффициент при свободной
переменной в результирующем Z-уравнении нужно уменьшить на ту же величину, на которую он увеличивался в исходном Z-уравнении.
3.2. Транспортные задачи
3.2.1. Математическая модель транспортной задачи
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2 , …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b1, b2, …, bn. Известны Сij (i = 1, 2,…m; j = 1, 2, … n) – стоимости перевозки единицы груза от
каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида
bj
b1
b2
…
bn
c11
c21
…
cm1
c12
c22
…
cm2
…
…
…
…
c1n
c2n
…
cmn
ai
a1
a2
…
am
Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются xij (i = 1,2,
…, m; j = 1,2,…, n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому jму потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок
𝑥11 𝑥12 … 𝑥1𝑛
𝑥21 𝑥22 … 𝑥2𝑛
𝑋 = ( ………………. )
𝑥𝑚1 𝑥𝑚2 … 𝑥𝑚𝑚
Математическая модель транспортной задачи в общем случае имеет вид
𝑛
𝑍(𝑋) = ∑𝑚
𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 → 𝑚𝑖𝑛
(3.16)
95
∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
(3.17)
∑𝑚
(3.18)
𝑖=1 𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (3.19)
Целевая функция задачи (3.16) выражает требование обеспечить минимум
суммарных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из m уравнений
(3.17) описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью. Вторая группа из n уравнений (3.18) выражает требование полностью
удовлетворить запросы всех n потребителей. Неравенства (3.19) являются
условиями неотрицательности всех переменных задачи.
Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи состоит в следующем: найти переменные задачи
𝑋 = (𝑥𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1,2, … 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛,
удовлетворяющие системе ограничений (3.17), (3.18), условиям неотрицательности (3.19) и обеспечивающие минимум целевой функции (3.16).
В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.
𝑛
∑𝑚
(3.20)
𝑖=1 𝑎𝑖 = ∑𝑗=1 𝑏𝑗
Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель - закрытой. Если ж е это равенство не выполняется, то задача называется задачей с
неправильным балансом, а ее модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков
равнялись суммарным запросам потребителей, то есть задача должна быть с
правильным балансом.
3.2.2. Опорное решение транспортной задачи
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое
решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным
координатам, линейно независимы.
Ввиду того что ранг системы векторов условий транспортной задачи равен
N = m + n – 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат
больше, чем N.
Для проверки линейной независимости векторов условий, соответствующих координатам, допустимого решения, используют циклы.
Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), …(ik, j1), в которой две и только две соседние
клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя
также находятся в одной строке или столбце.
Система векторов условий транспортной задачи линейно независима тогда
и только тогда, когда из соответствующих им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла. Следовательно, допустимое решение транспортной зада96
чи 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1,2, … 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛 является опорным только в том случае,
когда из занятых им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.
Метод вычеркивания. Для проверки возможности образования цикла используется так называемый метод вычеркивания, который состоит в следующем.
Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка, то она не может
входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркнуть все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, затем вычеркнуть все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к строкам и продолжить
вычеркивание строк и столбцов. Если в результате вычеркиваний все строки и
столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов условий
является линейно независимой, а решение – опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов условий линейно зависима, а решение не является опорным.
Метод северо-западного угла. Согласно данному методу запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего
угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов
очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только
одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик
или потребитель. При этом нулевые перевозки принято заносить в таблицу
только в том случае, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполнению, т.е. в таблицу заносятся только базисные нули (0*), остальные клетки с
нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения
необходимо проверить, что число занятых клеток равно m + n – 1 и векторы
условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает
стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное по данному методу, может быть далеким от оптимального.
Метод минимальной стоимости. Данный метод позволяет построить
опорное решение, которое достаточно близко к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи 𝑐 = (𝑐𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1,2, … 𝑚; 𝑗 =
1,2, … 𝑛. Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min{𝑐𝑖𝑗 }, и исключается из рассмотрения
𝑖,𝑗
только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную
клетку, соответствующую min{𝑐𝑖𝑗 }, заполняют по тем же правилам, что и в ме𝑖,𝑗
97
тоде северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его
запасы заканчиваются. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен,
но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от него требуется поставить
груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично поступают с потребителем.
Пример 3.7. Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного
угла, для транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
bj
250
300
200
200
9
7
2
8
10
3
3
6
8
1
4
12
ai
200
350
400
Решение
Распределяем запасы первого поставщика. Так как его запасы а1 = 200 меньше запросов
первого потребителя b1 = 250, то в клетку (1,1) записываем перевозку х11 = 200 и исключаем
из рассмотрения первого поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы
первого потребителя b1` = b1 – a1 = 250 - 200 = 50.
Распределяем запасы второго поставщика. Так как его запасы а2 = 350 больше оставшихся неудовлетворенными запросов первого потребителя b1` = 50, то в клетку (2,1) записываем перевозку х21= 50 и исключаем из рассмотрения первого потребителя. Определяем
оставшиеся запасы второго поставщика
a2` = a2 - b1` = 350 – 50 = 300. Так как a2`= b2 = 300, то в клетку (2,2) записываем х22 = 300 и
исключаем по своему усмотрению либо второго поставщика, либо второго потребителя.
Пусть исключили второго поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы второго потребителя b2` = b2 - a2` = 300 - 300 = 0.
Распределяем запасы третьего поставщика. Так как а3 > b2` (400 > 0), то в клетку (3,2)
записываем x32 = 0 и исключаем второго потребителя. Запасы третьего поставщика не изменились a3` = а3 - b2` = 400 - 0 = 400. Сравниваем a3` и b3 (400 > 200), в клетку (3,3) записываем х33 = 200, исключаем третьего потребителя и вычисляем a3`` = a3` - b3 = 400 - 200 = 200.
Так как a3``= b4, то в клетку (3, 4) записываем x34 = 200. Ввиду того что задача с правильным
балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены
полностью.
Результаты построения опорного решения приведены в таблице.
bj
250
300
200
200
ai
200
9
8
3
1
10
6
4
200
350
7
50
400
300
2
3
0
8
200
12
200
98
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно
быть равно N = m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6. В таблице занято 6 клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым». Следовательно,
векторы условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное
решение действительно является опорным.
3.2.3. Метод потенциалов
Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.
Если допустимое решение 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1,2, … 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛 транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков ui, i = 1, 2, … m и потребителей vj, j = 1,2, …, n, удовлетворяющие следующим условиям:
𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 при 𝑥𝑖𝑗 > 0,
(3.21)
𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 ≤ 𝑐𝑖𝑗 при 𝑥𝑖𝑗 = 0,
(3.22)
Группа равенств (3.21) используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет m + n неизвестных ui, i =
1,2,…,m и vj, j = 1,2,…n. Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно m + n - 1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них
можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.
Группа неравенств (3.22) используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:
∆𝑖𝑗 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 − 𝑐𝑖𝑗 ≤ 0 при 𝑥𝑖𝑗 = 0 (3.23).
Числа ∆𝑖𝑗 называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов
условий) транспортной задачи.
Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий
(клеток таблицы) оценки неположительные.
Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при
улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l,k) таблицы, соответствующую max{∆𝑖𝑗 } = ∆𝑙𝑘 . Если ∆𝑙𝑘 ≤ 0, то решение оптимальное. Если же ∆𝑙𝑘 >
0, то для соответствующей клетки (l,k) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз θ = min{хij} по этому циклу.
Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом:
1. Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е.
𝑛
∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 > ∑𝑗=1 𝑏𝑗 ,
то необходимо ввести фиктивного (n + 1)-го потребителя с запросами
𝑛
𝑏𝑛+1 = ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 − ∑𝑗=1 𝑏𝑗 ,
равными разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и
нулевыми стоимостями перевозок единиц груза сi(n+1) = 0.
99
2.Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е.
𝑛
∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 < ∑𝑗=1 𝑏𝑗 ,
то необходимо ввести фиктивного (m + 1)-го поставщика с запасами
𝑎𝑚+1 = ∑𝑛𝑗=1 𝑏𝑗 − ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 ,
равными разности суммарных запросов потребителей и запасов поставщиков,
и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза с(m+1)j = 0.
3.При составлении начального опорного решения в последнюю очередь следует
распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответствует наименьшая стоимость
перевозок, равная нулю.
Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:
1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и
нулевыми стоимостями перевозок.
2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости
или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения
по количеству занятых клеток (их должно быть m+n -1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используя метод вычеркивания).
3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для
этого решают систему уравнений
𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 при 𝑥𝑖𝑗 > 0,
которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного
решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам
𝑢𝑖 = 𝑐𝑖𝑗 − 𝑣𝑗 при 𝑥𝑖𝑗 > 0, если известен потенциал 𝑣𝑗 , и
𝑣𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 − 𝑢𝑖 при 𝑥𝑖𝑗 > 0, если известен потенциал 𝑢𝑖 .
4. Проверить выполнение условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам
∆𝑖𝑗 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 − 𝑐𝑖𝑗
и те из них, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы клеток.
Если для всех свободных клеток ∆𝑖𝑗 ≤ 0, то вычисляют значение целевой
функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной
оценкой, опорное решение не является оптимальным.
5. Перейти к новому опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка
100
𝑚𝑎𝑥{∆𝑖𝑗 } = ∆𝑙𝑘
Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки
«+» и « - » , начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой.
Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину θ =
min{хij}. Клетка со знаком « - », в которой достигается min{хij}, остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным m + n – 1.
Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.
Пример 3.8. Имеются три сорта бумаги в количестве 10, 8 и 5 т, которую можно использовать на издание четырех книг тиражом 8000, 6000, 15 000, 10 000 экземпляров. Расход
бумаги на одну книгу составляет: 0,6; 0,8; 0,4; 0,5 кг, а себестоимость тиража книги при использовании i-го сорта бумаги задается следующей матрицей (д.е.):
24 16 32 25
𝑐𝑖𝑗 = (18 24 24 20)
30 24 16 20
Определить оптимальное распределение бумажных резервов.
Решение
Задача по своему экономическому смыслу не является транспортной, в то же время
можно построить математическую модель, аналогичную транспортной задаче.
Потребности в бумаге легко определить, зная тираж и расход на одну книгу:
8000 * 0,6 = 4,8 т
15 000 * 0,4 = 6 т
6000 * 0,8 = 4,8 т
10 000 * 0,5 = 5 т
Общие запасы бумаги составляют 23 т, а общие потребности – 20,5 т, поэтому необходимо в таблицу ввести фиктивный тираж В5 с нулевыми затратами. В связи с тем, что мы составляет модель относительно бумаги, а матрица cij характеризует себестоимость печатания
книги, необходимо исходную матрицу преобразовать относительно единицы бумаги (каждый столбец матрицы cij разделим на количество бумаги, приходящейся на одну книгу).
Согласно изложенному составим первую таблицу:
потребители
Исходные данные
В2
В3
В1
поставщики
А1
В4
В5
Запасы, т
40
20
80
50
0
10
А2
30
30
60
40
0
8
А3
50
30
40
40
0
5
Потребность, т
4,8
4,8
6
5
Используя метод потенциалов, получим оптимальное решение:
Оптимальное решение
потребители
В1
В2
В3
В4
2,4
23
В5
Запасы, т
101
поставщики
А1
40
20
80
4,8
А2
30
30
4,8
А3
Потребность, т
4,8
60
1
50
30
4,8
50
0
10
40
0
8
40
0
5
2,8
2,2
40
5
6
2,4
5
2,4
23
Анализ решения: бумаги 1-го сорта в количестве 4,8 т затрачено на издание второй
книги; 2,8 т – на издание четвертой книги; 2,4 – не использовано. Бумаги 2-го сорта затрачено: на первую книгу – 4,8 т; на издание третьей книги – 1 т; на издание четвертой книги – 2,2
т; бумага 3-го сорта использована на издание третьей книги в количестве 5 т.
Задачи по теме «Транспортные задачи» представлены в Приложении 1
учебного пособия.
3.3. Теория игр
3.3.1. Управление в условиях неопределенности
Рассмотренные задачи линейного программирования формулировались и
решались в предположении наличия полной информации. Их можно отнести к
совокупности задач принятия решений в условиях определенности. В реальных
экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в
которой он функционирует и развивается.
При принятии управленческих решений о функционировании и развитии
экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды – неопределенность.
Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в
достоверности информации. В условиях рыночной экономики существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов.
Неопределенность обуславливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в
процессе производства сталкивается предприятие, особое место занимают ситуации риска.
Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери предприятием
части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных
расходов в результате осуществления определенной хозяйственной деятельности.
Анализ многочисленных определений риска позволяет выявить основные
моменты, которые являются характерными для рисковой ситуации, такие, как:
102
случайный характер события, который определяет, какой из возможных исходов реализуется на практике;
наличие альтернативных решений;
известны вероятности исходов событий и ожидаемые результаты;
существует вероятность возникновения убытков;
существует вероятность получения дополнительной прибыли.
В абсолютном выражении риск может определяться величиной возможных потерь в материально-вещественном (физическом) или стоимостном (денежном) выражении, если только ущерб поддается таком измерению. В относительном выражении риск определяется как величина возможных потерь, отнесенная к некоторой базе, в виде которой наиболее удобно принимать либо
имущественное состояние предприятия, либо общие затраты ресурсов на данный вид хозяйственной деятельности, либо ожидаемый доход от хозяйственной операции.
Потери, которые могут быть в хозяйственной деятельности, целесообразно
разделять на материальные, трудовые, финансовые, временные, специальные.
Для выбора альтернативного варианта капитальных вложений в условиях
риска обычно используют показатель математического ожидания:
M ( x ) xk * p k
k
где М(х) – ожидаемый результат проекта;
Xk – результат при k-ом сценарии;
Pk – вероятность реализации k-ого сценария.
Данный показатель применяют для того, чтобы количественно определить
величину риска. При этом необходимо знать возможные последствия какогонибудь отдельного действия и вероятность самих последствий. Таким образом,
математическое ожидание события равно абсолютной величине этого события,
умноженной на вероятность его наступления.
При количественной оценке риска потребителя интересует на только ожидаемое значение (математическое ожидание), но и изменчивость неопределенного результата. Меру изменчивости принято определять с помощью дисперсии, среднего квадратического отклонения и вариацией.
Дисперсия определяется по формуле: D ( x k M ( x)) 2 * p k
k
Среднее квадратическое отклонение: D
Коэффициент вариации:
* 100%
M (x)
Все эти показатели характеризуют колебания анализируемых факторов
(затрат или выгод), и чем больше значения перечисленных статистических показателей, тем выше риск.
Для анализа риска существуют различные способы такие, как статистический, экспертный, расчетно-аналитический, аналогий.
103
Статистический способ состоит в том, что изучается статистика потерь,
имевших место в аналогичных видах хозяйственной деятельности, устанавливается частота появления определенных уровней потерь. В общее число случаев стоит также включать те предпринимательские проекты, в которых потерь не
было, а был выигрыш, то есть превышение расчетной прибыли. Иначе показатели вероятностей потерь и угроза риска окажутся завышенными.
Экспертный способ (метод экспертных оценок) заключается в том, что
группа экспертов дает свои оценки вероятностей возникновения определенных
уровней потерь, по которым затем можно найти средние значения экспертных
оценок и с их помощью построить кривую распределения вероятностей.
Расчетно-аналитический способ базируется на теоретических представлениях, но прикладная теория риска хорошо разработана только применительно к
страховому и игровому риску.
При использовании способа аналогий применяются базы данных о риске
аналогичных проектов, исследовательских работ.
На основе имеющейся информации об окружающей среде, вероятности,
степени и величине риска разрабатываются различные варианты рискового
вложения капитала и приводится оценка их оптимальности путем сопоставления ожидаемой прибыли и величины риска. Это позволяет правильно выбрать
стратегию и приемы управления риском, а также способы снижения степени
риска.
В условиях риска доход cj от реализации единицы продукции j не является
фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое
значение которой не известно, но описывается с помощью функции распределения f(cj). Часть дохода cjxj, определяемая продукцией j, также случайная величина, если даже значение переменной xj, определяющей уровень выпуска продукции j, задано.
С точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределенность представляют собой два крайних случая, а риск определяет промежуточную ситуацию, в которой приходится принимать решение.
3.3.2. Принятие решений в условиях неопределенности
Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в
которой принимается управленческое решение о развитии экономического объекта. Внешняя среда (природа) может находиться в одном из множества возможных состояний. Это множество может быть конечным или бесконечным.
Будем считать, что множество состояний конечно.
Пусть Si – состояние «природы», при этом 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, где n – число возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое
состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого управленческого решения. Будем считать, что множество управленческих решений Rj также конечно и равно m. Реализация Rj плана в условиях, когда «природа» находится в Si состоянии, приводит к определенному результату,
104
который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры
могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана), потери от принимаемого решения, полезность, риск и другие количественные критерии.
Данные, необходимы для принятия решения в условиях неопределенности,
обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным
действиям (управленческие решения) Rj, а столбцы – возможным состояниям
природы Si.
Допустим, каждому Rj-ому действию и каждому возможному Si-му состоянию «природы» соответствует результат (исход), определяющий результат (выигрыш, полезность) при выборе j-го действия и реализации i-го состояния - Vij.
R1
R1
…
Rm
S1
V11
V21
…
Vm1
S1
V12
V22
…
V12
…
…
…
…
…
Sn
V1n
V21
…
Vmn
Следовательно, математическая модель задачи принятия решений определяется множеством состояний {Si}, множеством планов (стратегий) {Rj} и матрицей возможных результатов ||Vij||.
В отдельных задачах рассматривается матрица рисков ||rij||. Риск – мера
несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Элементы матрицы рисков ||rij|| связаны с элементами
платежной матрицы производителя в табл. 5.1 следующим соотношением:
max{𝑉𝑖𝑗 } − 𝑉𝑖𝑗 , если 𝑉 − выигрыш
𝑟𝑖𝑗 = { 𝑖
𝑉𝑖𝑗 − min{𝑉𝑖𝑗 }, если 𝑉 − затраты
𝑖
Таким образом, риск – это разность между результатом, который можно получить, если знать действительное состояние внешней среды, и результатом, который будет получен при i-ой стратегии.
Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд
критериев.
Критерий Лапласа опирается на то, что все состояния внешней среды
Sj полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию Sj ставится вероятность qj, определяемая по формуле:
1
qj ,
n
где n – количество событий Sj.
Для принятия решения для каждого управленческого решения Ri вычисляют среднее арифметическое значение выигрыша:
1 n
M i ( R) Vij
n j 1
105
Среди Mi (R) выбирают минимальное значение, которое будет соответствовать оптимальному управленческому решению Ri, если элементы матрицы ||Vij|| - затраты предприятия.
1 n
Ri n Vij
j 1
min
Если элементы матрицы ||Vij|| соответствуют доходу (выигрышу) предприятия, то выбирают максимальное значение Mi (R).
Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена
матрицей рисков ||rij||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:
min
1 n
Ri n rij
j 1
Применение критерия Вальда не требует знания вероятностей наступления события Sj. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности и основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий Ri.
Если в исходной матрице результат Vij представляет собой затраты предприятия, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный
критерий. Для определения оптимальной стратегии Ri необходимо в каждой
строке матрицы результатов найти наибольший элемент max {Vij}, а затем выбирается действие Ri (строка i), которому будет соответствовать наименьший
элемент из этих наибольших элементов, то есть действие, определяющее результат, равный
W min max{Vij }
i
j
Если в исходной матрице по условию задачи результат Vij представляет
выигрыш предприятия, то при выборе оптимальной стратегии используется
максиминный критерий.
Минимаксный критерий Вальда приводит иногда к нелогичным стратегиям из-за чрезмерной пессимистичности. Данный критерий целесообразно применять, когда даже минимальный риск недопустим. Если определенный риск
вполне допустим, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа.
Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков ||rij||. Независимо от того,
является ли Vij доходом или затратами, rij определяет величину потерь предприятия и является мерой несоответствия между разными возможными вариантами стратегий. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности
выбирать то управленческое решение Ri, при котором величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (т.е. используется минимаксный критерий).
W min max{rij }
i
j
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма. Использование данного критерия основано на
том, что внешняя среда может находиться в самом выгодном состоянии с вероятностью α и в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- α), при этом
106
0≤α ≤ 1 Если α=0, то получаем пессимистический критерий Вальда. Если результат Vij представляет собой затраты, то выбирается действие, дающее
Wmin min [ min Vij (1 ) max Vij ]
i
j
j
Если результат Vij - доход предприятия, то используется формула
W max [ max Vij (1 ) min Vij ]
i
j
j
Выбор конкретного критерия для принятия решений о размерах целесообразных затрат в условиях неопределенности является наиболее ответственным
этапом. Критерий выбирается с учетом конкретной ситуации, специфики решаемой задачи и в соответствии с целями предприятия, а также опираясь на
прошлый опыт. Если даже минимальный риск недопустим, то следует применять критерий Вальда. В случае, когда определенный риск вполне приемлем, то
можно воспользоваться критерием Сэвиджа.
3.3.3. Теория игр. Стратегия игры. Метод линейного программирования
для нахождения решения игр
В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений в условиях
определенности, риска и неопределенности, в которых внешняя среда (природа)
предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодействующие стороны, интересы которых противоположны. При конфликтных
ситуациях решения принимаются в условиях неопределенности двумя и более,
разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои
решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений в условиях
конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру.
Игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной
ситуации. Эти правила устанавливают:
выбор образа действия субъектов на каждом этапе игры;
информацию, которой обладает каждый субъект при осуществлении
таких выборов;
плату для каждого субъекта после завершения любого этапа игры.
Игру можно определить следующим образом:
имеются n конфликтующих сторон (субъектов), принимающих решения, интересы которых, не совпадают;
сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные
игрокам;
определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);
всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию.
̅ = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖.
Платежи задаются в виде матрицы А
В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с
двумя субъектами) и множественные (имеющие не менее трех субъектов).
107
Каждый субъект имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, то есть стратегий.
Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение субъекта от начала игры до ее завершения. Стратеги каждого субъекта
определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой
суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном
случае она называется игрой с ненулевой суммой.
Игра называется конечной, если у каждого субъекта имеется конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.
Если первый субъект имеет m стратегий, а второй - n стратегий, то говорят, что мы имеем дело с игрой m x n. Рассмотрим игру m x n. Пусть заданы
множество стратегий: для первого игрока {Аi}, для второго игрока {Bj}, платежная матрица А̅ 𝑚 𝑥 𝑛 = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖, где aij – выигрыш первого игрока или проигрыш второго игрока при выборе ими стратегий Аi и Bj соответственно. Каждый
из игроков выбирает однозначно с вероятностью I некоторую стратегию, т.е.
пользуется при выборе решения чистой стратегией. При этом решение игры
будет в чистых стратегиях. Поскольку интересы игроков противоположны, то
первый игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок,
наоборот, минимизировать свой проигрыш.
Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком проводится при полном отсутствии информации о принимаемом решении вторым игроком. Следует отметить, что и первый, и второй игрок являются разумными противниками, которые находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с
нулевой суммой используется очень «пессимистичный» критерий, так называемый критерий мини-макса-максимина.
Так, если первый субъект применяет стратегию Аi, то второй будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии Вj свести выигрыш
первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к
минимуму. Величина этого минимума
𝛼𝑖 = min 𝑎𝑖𝑗 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
𝑗
Первый субъект (при любых ответах противника) будет стремиться найти
такую стратегию, при которой 𝛼𝑖 обращается в максимум:
𝛼 = max 𝛼𝑖 = max min 𝑎𝑖𝑗
𝑖
𝑖
𝑗
Величина 𝛼 называется нижней ценой игры. Ей соответствует максиминная стратегия, придерживаясь которой первый субъект при любых стратегиях
противника обеспечит себе выигрыш, не меньший 𝛼. Другими словами, нижняя
цена игры является гарантированным выигрышем субъекта.
108
Аналогично определим по каждому столбцу матрицы 𝛽𝑗 = max 𝑎𝑖𝑗 , 𝑖 =
𝑖
̅̅̅̅̅
1, 𝑛 , найдем минимальное значение 𝛽𝑗 :
𝛽𝑗 = min 𝛽𝑗 = min max 𝑎𝑖𝑗 .
𝑗
𝑗
𝑖
Величина 𝛽 называется верхней ценой игры. Ей соответствует минимаксная
стратегия второго игрока. Величина 𝛽 представляет собой гарантированный
проигрыш субъекта при любой стратегии первого субъекта.
Пример 3.9. Дана платежная матрица 3 х 4, которая определяет выигрыши игрока А.
Вычислить нижнюю и верхнюю цены данной игры.
10 4 11 7
̅
А = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖ = ( 7 6 8 20)
6 2 1 11
Решение
Представим нашу игру в виде следующей таблицы:
Стратегии первого игрока, Ai
A1
A2
A3
Значение βj
β
В1
10
7
6
10
-
Стратегии второго игрока, Bj
В2
В3
4
11
6
8
2
1
6
11
6
-
В4
7
20
11
20
-
Значение,
αi
4
6
1
-
α
6
-
Если игрок А выбирает первую стратегию, он может получить выигрыш в размере 10,
4, 1 или 7 д. е. в зависимости от выбранной стратегии игроком В. При этом выигрыш игрока
будет не меньше α1 = min{10; 4; 11 ; 7} = 4 д. е. независимо от поведения игрока В. Аналогично при выборе игроком А второй стратегии гарантированный выигрыш α2 = min {7; 6; 8;
20} = 6 д. е. При выборе игроком А третьей стратегии выигрыш α3 = min{6; 23; 1; 11} = 1 д. е.
̅̅̅̅ определяют минимально гарантироТаким образом, минимальные значения αi, 𝑖 = 1,3
ванный выигрыш для игрока А, если он выбирает соответствующую стратегию i. Величина
max 𝛼𝑖 = 𝑚𝑎𝑥{4; 6; 1} = 6 д. е. будет гарантированным выигрышем игрока А при любых
𝑖
стратегиях игрока В. Выбранная игроком А вторая стратегия называется максиминной
стратегией, а соответствующее ее значение выигрыша α2 = 6 д.е., будет нижней ценой игры.
Второй игрок стремится минимизировать свой проигрыш. Выбрав первую стратегию
β1, игрок В может проиграть не более чем β1 = max{10;7;6} = 10 д.е. независимо от выбора
стратегии игроком А. Аналогично рассуждая, получим следующие результаты (д. е.): β2 =
max{4;6;2} = 6; β3 = max{11;8;1} = 11; β4 = max{7;20;11} = 20.
Игрок В выбирает стратегию β2, которая минимизирует его максимальные проигрыши:𝛽 = min 𝛽𝑗 = min{10; 6; 11; 20} = 6 д. е.
𝑗
Величина β = 6 д. е. будет гарантированным проигрышем субъекта В при
любых стратегиях субъекта А. Выбранная субъектом В вторая стратегия называется минимаксной стратегией, а соответствующее ее значение проигрыша β2
= 6 д. е. будет верхней ценой игры.
̅ = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖ выполняется неравенСледует отметить, что для любой матрицы А
ство: β ≥ α.
109
Если β = α, т. е. верхняя цена равна нижней цене игры, то соответствующие чистые стратегии называются оптимальными, а про игру говорят, что она
имеет седловую точку. Седловая точка является минимальным элементом соответствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца.
Эта точка есть точка равновесия игры, определяющая однозначно оптимальные
стратегии. Оптимальность здесь означает, что ни один субъект не стремится
изменить свою стратегию, так как его противник может на это ответить выбором другой стратегии, дающей худший для первого субъекта результат.
Величина С = β = α называется ценой игры. Она определяет средний выигрыш игрока А и средний проигрыш субъекта В при использовании ими оптимальных стратегий. В нашем, примере цена игры С = 6 д.е., оптимальная пара
стратегий - А2 и В2.
Если в платежной матрице А все элементы строки Аi =(ai1, ai2, …, ain) не
меньше соответствующих элементов строки Ak =(ak1, ak2, …, akn), а по крайней
мере один строго больше, то строка Ai называется доминирующей, а строка Ak –
доминируемой.
Аналогичны понятия «доминирующий столбец» и «доминируемая строка».
Первому субъекту невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминируемые строки; второму субъекту невыгодно применять стратегии,
которым соответствуют доминирующие столбцы. Поэтому при решении игры
можно уменьшить размеры платежной матрицы путем удаления из нее доминирующих столбцов и доминируемых строк.
Известно несколько методов нахождения оптимальных стратегий в играх
двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим один из методов – метод линейного
программирования для нахождения решения игр.
Пример 3.10. Рассмотрим игру 3 х 4.
В
1
2
3
4
𝛼𝑖
А
1
4
3
2
-5
-5
2
-2
5
-1
4
-2
3
-3
2
-3
6
-3
4
5
2
6
𝛽𝑗
Определим 𝛼𝑖 и 𝛽𝑗 , где 𝛼𝑖 – минимум в i-й строке; 𝛽𝑗 - максимум в j-м столбце.
Нижняя цена игры равна максимину α = -2, верхняя цена игры равна минимаксу β = 2.
Так как α ≠ β, то седловая точка игры отсутствует, задача должна решаться в смешанных
стратегиях.
Нижняя цена игры – число отрицательное, поэтому, возможно, значение игры М не будет положительным. Число С, которое необходимо прибавить ко всем элементам матрицы,
должно быть не меньше 2. Пусть С = 6. Тогда матрица принимает вид
В
1
2
3
4
А
1
10
9
8
1
2
4
11
5
10
3
3
8
3
12
Задача игрока В записывается в форме задачи линейного программирования
110
Lmax = Y1 + Y2 + Y3 + Y4
при ограничениях
10𝑌1 + 9𝑌2 + 8𝑌3 + 𝑌4 ≤ 1
{4𝑌1 + 11𝑌2 + 5𝑌3 + 10𝑌4 ≤ 1
3𝑌1 + 8𝑌2 + 3𝑌3 + 12𝑌4 ≤ 1
̅̅̅̅ .
Yj ≥ 0, = 1,4
Решая задачу симплекс-методом, получим:
Lmax = 0,16; Y1 = 0; Y2 = 0; Y3 = 0,12; Y4 = 0,04
Таким образом, решением исходной задачи будет следующее:
1
1
𝑀 = −𝐶 =
− 6 = 0,25
𝐿
0,16
𝑌
0
𝑌
0
𝑌
0,12
𝑌
0,04
𝑞10 = 𝐿1 = 0,16 = 0; 𝑞20 = 𝐿2 = 0,16 = 0; 𝑞30 = 𝐿3 = 0,16 = 0,75; 𝑞40 = 𝐿4 = 0,16 = 0,25
В нашем примере первая и вторая стратегии игрока В, бесполезны, так как 𝑞10 = 𝑞20 = 0.
При случайном чередовании третьей и четвертой стратегий с относительными частотами
𝑞30 = 0,75 и 𝑞40 = 0,25 соответственно игроку В обеспечен средний выигрыш в размере М =
0,25.
Оптимальные стратегии игрока А получаются из решения двойственной задачи.
Задачи по теме «Теория игр» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
4. ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
4.1. Модели маркетинга
4.1.1. Игровая модель обмена товарами
Рассмотрим игру двух лиц с ненулевой суммой. Игрок А имеет а единиц
товара, игрок В – b единиц другого товара. При обмене товарами каждый из игроков стремится извлечь пользу.
Для участника А итог обмена обозначим через (х, у), для участника В итог
деятельности будет (а - х, b - у). Для определяемых величин х и у учитываются
ограничивающие условия. Значение х находится в пределах от 0 до а, значение
y – в пределах от 0 до b.
В координатах х, у для прямоугольника допустимых значений искомых
неизвестных строятся линии равной выгодности. Для участника А это совокупность параллельных выпуклых функций, для участника В – это совокупность
параллельных вогнутых функций. Точки возможных условий контракта — это
точки касания функций полезности результата для участников.
4.1.2. Задача прикрепления потребителей к поставщикам
Объединение имеет в своем составе три филиала, которые в течение месяца производят однородную продукцию. Эту продукцию получают три потребителя, расположенные в разных местах.
111
Тарифы перевозок единицы груза от филиалов к потребителям, мощности
поставщиков и спрос потребителей заданы в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Поставщики
1
2
3
Спрос потребителей
Стоимость перевозок к потребителям
1
2
3
7
6
4
3
8
5
2
3
7
90
90
120
Мощности
поставщиков
120
100
80
Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общая стоимость перевозок за месяц будет минимальной.
Решение
Это транспортная задача, алгоритм решения которых рассмотрен в гл. 3.2.
Обозначим через хij – объем перевозок от i-го потавщика к j-му потребителю.
Оптимальное решение задачи: х12 = 10, х13 = 110, х21= 90, х23 = 10, Х32 = 80 ед.;
значение целевой функции при оптимальном решении L = 1060.
4.1.3. Модель определения стадии жизненного цикла товара
Модель основана на изменении выручки по годам для всех товаров, входящих в анализируемую группу.
Пусть изменения распределены нормально. Если рост выручки меньше µ 0,5σ, то это фаза спада. Если больше µ + 0,5σ, то фаза роста. Если в промежутке, то зрелость или насыщение. Если выручка до 5% от прогнозируемого максимума выручки, то фаза внедрения. Если уменьшается доля продукта в сбыте
предприятия, снижается маржинальный доход от продукта, то его нужно снимать с производства.
4.1.4. Модель выбора сегментов рынка
Пусть n – число возможных сегментов рынка данного предприятия и данного товара (n ≥ 2); N — число сегментов, на которых предприятие желало бы
продавать свой товар (N ≤ n); Кj — количество товара, которое может быть реализовано на j-м сегменте; Сj – удельные переменные затраты по реализации товара на j-м сегменте; Zj – совокупные постоянные, затраты по реализации товара на j-м сегменте; Рj – цена товара на j-м сегменте, Р – минимально необходимая выручка.
Обозначим через xj – булеву переменную, которая показывает, целесообразно или нет работать на j-м сегменте.
Тогда модель выбора сегмента:
112
𝑚𝑖𝑛𝐿 = ∑𝑛𝑗=1(𝐶𝑗 𝐾𝑗 + 𝑍𝑗 )𝑥𝑗 ,
𝑛
∑ 𝑃𝑗 𝐾𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑃
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑥𝑗 ≤ 𝑁
𝑗=1
{𝑥𝑗 = {1 ∧ 0}, (𝑗 = 1, … , 𝑛)
4.1.5. Регрессионная модель спроса
Данная модель строится в виде уравнений, характеризующих зависимость
потребления товаров и услуг от различных факторов. Модель может быть как
однофакторной, так и многофакторной. Алгоритм построения корреляционнорегрессионных моделей рассмотрен в гл. 2.3 – 2.4.
Примером однофакторной модели зависимости спроса от влияющих на него факторов может быть линейная модель зависимости расходов (спроса) на
продукты питания (y) от среднедушевого дохода семей (х1), которая выражается
линейной функцией вида y = a0 + a1x1.
В многофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (y)
могут быть включены такие факторы-аргументы, как среднедушевой доход семей (х1), размер семей (х2) и другие.
4.1.6. Анализ риска инноваций
На стадии выхода на рынок проявляется множество случайных факторов,
предсказать которые из-за их неопределенности зачастую невозможно (конкурентные действия, реакция рынка). Поэтому выход на рынок с новым товаром
для фирмы всегда рискован.
Анализ риска позволяет выбрать вариант инновационной политики, при
котором он будет минимален. Для этого необходимо сформировать таблицу вероятностей рыночных состояний и полезности, соответствующих каждому варианту политики разработки нового товара.
Объективное рыночное состояние, которое зависит от конъюнктуры рынка
(отнесенная к определенному периоду ситуация со сложившимися соотношением спроса и предложения, динамикой цен, положением конкурентов), может
быть определено, например, как «отличное», «хорошее», «нормальное», «ниже
среднего» или «плохое». При анализе рынка также необходимо анализировать
результат фирмы, достигнутый после реализации нововведений (уровень выручки, прибыли, рентабельности, т.е. «полезность» товара для фирмы.
Для измерения степени неопределенности явлений целесообразно используют показатель «энтропия».
Энтропия i-го варианта развития определяется:
𝑃
𝐻𝑖 = − ∑𝑛𝑘=1 𝑃𝑖𝑘 𝑙𝑔𝑃𝑖𝑘 = −𝑙𝑔 ∏𝑘=1 𝑃𝑖𝑘𝑖𝑘 ,
где Рik – вероятность реализации события.
113
Чем меньше энтропия 𝐻𝑖 , тем меньше неопределенность выбранного варианта.
Однако знание варианта с большей определенностью не позволяет его выбрать, так как не учитывается полезность этого выбора 𝛼𝑖𝑘 с вероятностью Рik.
Чем выше неопределенность рыночных состояний или больше интервал изменения полезности, т. е. отклонение возможной полезности от ожидаемой, тем
выше степень риска нововведения. Суммарное отклонение возможной полезности от ожидаемой (средней) по i-му варианту составит:
Δ𝛼𝑖 = ∑𝑛𝑘=1|𝛼𝑖𝑘 − 𝑀(𝛼𝑖 ), 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚|, где
𝑀(𝛼𝑖 ) – математическое ожидание полезности i-го варианта, т.е. ожидаемая полезность:
𝑀(𝛼𝑖 ) = ∑𝑛𝑘=1 𝛼𝑖𝑘 𝑃𝑖𝑘 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение соответственно составят
𝐷(𝛼𝑖 ) = 𝑀[𝛼𝑖𝑘 − 𝑀(𝛼𝑖 )]2 = ∑𝑛𝑘=1[𝛼𝑖𝑘 − 𝑀(𝛼𝑖 )]2 𝑃𝑖𝑘 ,
𝜎(𝛼𝑖 ) = √𝐷(𝛼𝑖 )
Чем меньше значение 𝜎, тем меньше неопределенность и риск, так как
среднеквадратичное отклонение характеризует колебания различных ситуаций
от ожидания.
Также для измерения риска рассчитывают коэффициент вариации
100∗𝜎(𝛼𝑖 )
𝑉(𝛼𝑖 ) =
.
𝑀(𝛼𝑖 )
Чем больше значение этого коэффициента, тем выше степень риска.
Пример 4.1. Пусть при анализе рыночных ситуаций для трех возможных вариантов
вывода на рынок нового товара получены следующие данные (табл. 4.2). По приведенным
формулам получены оценки (табл. 4.3).
Таблица 4.2
Варианты
Возможные состояния получения заданного уровня прибыли
«отличное»
«хорошее»
«плохое»
i
Pi1
αi1
Pi2
αi2
Pi3
αi3
1
0,6
55
0,1
22
0,3
-5
2
0,2
100
0,7
30
0,1
-20
3
0,7
40
0,2
25
0,1
5
Варианты
1
2
3
H(αi)
0,39
0,35
0,35
M(αi)
33,7
39,0
33,5
D(αi)
735,21
1149,0
125,25
σ(αi)
27,115
39,90
11,19
Таблица 4.3
V(αi)
80,46
86,91
33,41
Из анализа оценок следует:
min{H(αi)} = min{0,39; 0,35; 0,35} = 0,35 = H(α2) = H(α3);
max{ M(αi)} = max {33,7; 39,0; 33,5} = 39,0 = M(α2);
min{ D(αi)} = min {735,21; 1149,0; 125,25} = 125,25 = D(α3);
min{ σ(αi)} = min{27, 115; 33,90; 11,19} = 11,19 = σ(α3);
min{ V(αi)} = min{80,46; 86,91; 33,41} = 33,41 = V(α3)
114
Отсюда следует, что предпочтение выхода имеет третье наименование товара, как вариант инновационной политики с меньшим риском
4.2. Модели финансового менеджмента
4.2.1. Модели размещения и развития производства
Два традиционных направления вложения доходов – это текущее потребление и наращивание капитала. Такая ситуация возникает для отдельного человека, предприятия, государства в целом. Текущее потребление обеспечивает
приобретение ресурсов, товаров, продуктов для использования в настоящем периоде. За счет этого сохраняется жизнедеятельность и условия существования.
Наращивание капитала не является самоцелью. Капитал необходим как инструмент повышения будущих доходов. Если сегодня часть дохода вложена в
капитал, то завтра потребитель вправе рассчитывать на получение дополнительных благ либо на снижение затрат на их получение.
В простейшем виде задача управления доходами формулируется как
определение х{t} – текущее потребление в год t и y(t) – вложение в капитал в
год t. Потребности в период t обозначим через Х(t).
Разница Х(t) - х(t) – это неудовлетворенная потребность. Вкладывая средства в y(t), потребитель тем самым повышает текущее неудовлетворение.
Вложения в капитал у(t) характеризуются потоком доходов в будущем.
Этот поток может быть различным. Отдача может проявиться через разовую
выплату через некоторый период задержки, в виде постоянной отдачи на несколько последующих периодов, как достаточно сложная функция прироста
доходов в будущем.
Для иллюстрации значимости текущего потребления и вложений в капитал
рассмотрим отдачу в виде:
P(t) = γy(t – Δ), где
где у – прирост дохода с единицы средств капитала; Δ – издержки, вызванные освоением капитала.
Состояние потребителя в период t будет характеризоваться оценкой:
X(t) – x(t) - γy(t – Δ).
Общая оценка, охватывающая длительный интервал времени:
𝐽 = ∑𝑇𝑡=1 𝛼(𝑡) ∗ (X(t)– x(t) − γy(t – Δ)),
где 𝛼(𝑡) – значимость единицы неудовлетворенной потребности в период
t. В оценку входят три параметра: α, γ, Δ. От их значений зависит стратегия
управления доходами. Чем меньше значение γ, больше Δ и значительнее падение α(t) во времени, тем более предпочтительным будет превращение дохода в
текущее потребление.
Обобщение ситуации, связанной с управлением доходами, происходит за
счет учета инфляции денежной массы, разнообразия видов капитала, изменения
структуры потребления во времени. Усложнение оценки приводит к следующему ее виду:
115
𝐽 = ∑𝑇𝑡=1 𝛼(𝑡) ∗ (𝑋(𝑡) − 𝑥(𝑡) − ∑∞
∆=1 𝛾(∆)𝑦(𝑡 − ∆) ∗ 𝑓(𝑡),
где f(t) – изменение ценности денежных средств во времени,
γ(Δ) – отдача капитала, сформированного Δ лет назад.
Если учесть структуру капитала, то оценка становится более сложной:
𝐽 = ∑𝑇𝑡=1 𝛼(𝑡) ∗ (𝑋(𝑡) − 𝑥(𝑡) − ∑𝑖 ∑∞
∆=1 𝛾(∆)𝑦(𝑡 − ∆)) ∗ 𝑓(𝑡),
Параметры α, Δ и f объективно сдерживают вложения в капитал, но параметр γ стимулирует наращивание капитала. Изымая единицу дохода от текущего потребления, потребитель рассчитывает на существенный выигрыш в будущем:
𝛼(𝑡) < ∑∞
𝑡=1 𝛾(𝑡 + 𝜏)𝑓(𝑡 + 𝜏).
Это условие предпочтения вариантов для вкладывания единицы дохода в
год t.
Рассматривая проблему определения х(t) и y(t) как стратегию управления
доходами, необходимо учитывать, что сумма дохода в год t является следствием сложения труда и накопленного ранее капитала:
x(t) + y(t) = f(T, K).
Накопленный капитал К равен
𝐾 = ∑∞
∆=1 𝑦(𝑡 − ∆)𝛼(∆),
где α(Δ) – потеря (износ) капитала за время Δ.
В качестве производственной функции f (T,K) можно принять один из многих вариантов, приводимых в литературе и наиболее подходящий к статистике
рассматриваемого объекта.
4.2.3. Модель оценки риска проекта
Трудности принятия решений по проектам обусловлены значительной степенью неопределенности будущих условий, в которых будет осуществляться
проект, и возможной противоречивостью сравнительных оценок нескольких
проектов, когда по одному из показателей эффективности проектов лучшим будет один проект, а по другому, показателю более предпочтителен другой.
Фактор неопределенности будущих условий осуществления проекта приводит к появлению риска для инвесторов и к необходимости принятия мер для
его снижения. Противоречивость сравнительной оценки проектов по различным критериям вызывает необходимость дополнительного анализа сравниваемых проектов для окончательного выбора одного из них.
Под неопределенностью понимается неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта, в том числе связанных с ними затратами и
результатами. Неопределенность, связанная с возможностью возникновения в
ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий, характеризуется понятием риска.
116
Пример 4.2. Величины прибыли (Пt) в рассматриваемом году t и их вероятности (Рt)
характеризуются значениями в табл. 4.4.
Таблица 4.4
t
Пt
Pt
Пt*Pt
1
2
3
4
5
8000
9000
10000
11000
12000
∑
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
800
1800
4000
2200
1200
10000
(П𝑡 − П𝑡)
∗ 𝑃𝑡
400000
200000
0
200000
400000
1200000
2
[
𝜎(П)
]
(1 + 𝑅)𝑡
532900
236844
105264
46784
20793
942585
2
П𝑡
(1 + 𝑅)𝑡
5333
4000
2963
2173
1580
16049
Ожидаемая средняя прибыль составит:
𝑇
̅ = ∑ П𝑡 ∗ 𝑃𝑡 = 10000
П
𝑡=1
Это будет наиболее вероятной величиной, однако нужно учесть риск, связанный с такой оценкой прибыли. Считается, что показателем абсолютного риска является среднеквадратическое отклонение σ. Чем больше среднеквадратическое отклонение, тем выше риск.
Величина среднеквадратического отклонения σ для прибыли Пt определяется по следующему выражению:
𝑇
̅ )2 ∗ 𝑃𝑡 = √1200000 = 1095
𝜎(П) = √∑(П𝑡 − П
𝑡=1
Общая величина риска по проекту определяется как среднеквадратическое отклонение
чистой текущей стоимости σ (NPV), которое определяется по выражению:
𝑇
𝜎(П) 2
𝜎(𝑁𝑃𝑉) = √∑ [
] = √942585 = 971
(1 + 𝑅)𝑡
𝑡=1
Во многих случаях удобнее пользоваться не величиной среднеквадратического отклонения σ, а величиной относительного риска, определяемого как отношение среднеквадратического отклонения к ожидаемому значению:
𝑇
𝑁𝑃𝑉 = ∑
𝑡=1
𝜎(П)
= 16049
(1 + 𝑅)𝑡
4.2.3. Опционные модели
Широко используемая в настоящее время для оценки капитальных вложений методология дисконтированного денежного потока имеет недостатки, среди которых можно выделить следующие:
оценка ожидаемых денежных потоков ложна, так как требуется большая
точность в предсказании изменения цен на выпускаемую продукцию и
потребляемые ресурсы на несколько лет вперед. Ошибка велика как в вычислении будущих денежных потоков, так и при определении соответствующей безрисковой ставки процента;
практическое использование принципа DCF крайне затруднено, когда
проект включает один или несколько значительных операционных опци117
онов. Операционные опционы возникают, когда менеджмент может отложить принятие решения о характере операции до какого-либо момента
на будущее, когда будет разрешена какая-нибудь значительная неопределенность. Подобные операционные опционы усложняют расчет ожидаемых денежных потоков, безрисковых процентных ставок из-за сложной
структуры рисков;
принцип дисконтированного денежного потока косвенно предполагает,
что фирмы держат реальные активы пассивно. При его использовании не
учитываются опционы, заложенные в реальных активах, но финансовый
менеджер может активно использовать их, предпринимая действия для
нивелирования потерь по проектам или реализовывая потенциальные новые возможности.
Американские ученые С. Мейсон, Р. Мертон и Е. Альтман предположили,
что должен быть сформулирован новый принцип оценки капитальных вложений, включающий в себя теорию ценообразования опционов на финансовых
рынках ее развитым математическим аппаратом. Для этого необходимо провести аналогию между финансовыми опционами и операционными опционами,
другими словами, представить инвестиционный проект как опционный контракт.
Опционный контракт – документ, удостоверяющий право покупки или
продажи товара, валюты или ценных бумаг по оговоренной цене. Различают
европейский опцион, допускающий покупку или продажу в определенный
день, и американский опцион, допускающий покупку или продажу до определенного дня. Контракт на покупку называется call-опционом, на продажу – putопционом.
Новый принцип оценки капитальных вложений сейчас находит на Западе
все более широкое применение в практике анализа инвестиционных проектов в
самых разных отраслях: горнодобывающая промышленность, добыча полезных
ископаемых, перерабатывающая промышленность, машиностроение.
Модель Блэка-Шоулза (Вlack-Scholes option pricing model) была разработана в 1973 г. для оценки премии европейских call-опционов на акции. В основу
модели положена концепция формирования безрискового портфеля активов,
динамика стоимости которых не зависит от динамики курса акций. Рассматривался портфель, состоящий из акций и опциона.
При построении модели учитывался ряд ограничений:
краткосрочные процентные ставки известны и постоянны в течение срока
действия опциона; краткосрочные кредитные и депозитные процентные
ставки одинаковы;
цена акции изменяется случайным образом с дисперсией, пропорциональной квадрату цены акции, поэтому распределение возможных значений цен акций является лог-нормальным, дисперсия доходов по акциям
постоянна;
не учитываются операционные расходы на покупку/продажу опциона и
акций, а также налоги.
118
Условие, согласно которому доходность безрискового портфеля, состоящего из акций и опционов, равна безрисковой ставке процента в любой момент
времени, описывается с помощью частного дифференциального уравнения, решением которого и является формула Блэка-Шоулза.
В соответствии с этой формулой стоимость европейского call-опциона
определяется разностью между, ожидаемым взвешенным курсом базового актива и ожидаемой дисконтированной величиной цены использования (издержками) данного опциона:
𝐶 = 𝑆 ∗ 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾 ∗ 𝑒 −𝑟𝑇 ∗ 𝑁(𝑑2 )
𝜎2
)∗𝑇
2
𝑆
𝐾
ln( )+(𝑟+
𝑆
𝐾
ln( )+(𝑟+
𝜎2
)∗𝑇
2
𝑑1 =
𝑑2 =
,
𝜎 √𝑇
𝜎 √𝑇
где С – премия европейского call-опциона;
S – цена базового актива (цена акции по рыночным данным);
К – цена исполнения;
T – время, оставшееся до момента исполнения опциона;
R – безрисковая процентная ставка;
σ – стандартное отклонение цены базового актива;
N(d) – функция нормального распределения.
Для определения N(d) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Ехсе1-функцию НОРМСТРАСП(d). Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет
следующий вид:
1
𝑑2
2
−
НОРМСТРАСП(d) =
∗𝑒
√2𝜋
где d – это значение, для которого строится распределение.
4.3. Модели антикризисного менеджмента
4.3.1. Модели оптимизации управления нововведениями
В качестве критерия выбора нововведений чаще других используется ожидаемый прирост дохода, подлежащий максимизации. Этот критерий представляет собой естественный переход от строго детерминированной ситуации (от
условий полной определенности) к ситуации с рисками, формально состоящий
в переходе от потенциальных к ожидаемым эффектам. Этот критерий может
использоваться, когда приходится отбирать единственный оптимальный вариант нововведения из имеющихся альтернатив.
При формировании портфеля нововведений интересы предприятия концентрируются вокруг критериев выручки, прибыли, качества продукции, уровня затрат, времени на реализацию нововведений, рисков.
Задачу максимизации прироста прибыли от реализации портфеля нововведений можно считать противоположной задаче минимизации риска. Тогда
формализацией известного принципа «риск против прибыльности» может слу119
жить биматричная игра, где за самостоятельных игроков принимаются два вида
интересов управляющего органа: максимизация прироста прибыли и минимизация риска, а матрицы имеют вид:
∆П11
∆П = ( ⋮
∆П𝑚1
⋯
⋱
⋯
∆П1𝑛
⋮ );
∆П𝑚𝑛
𝑅11
𝑅=( ⋮
𝑅𝑚1
⋯ 𝑅1𝑛
⋱
⋮ ),
⋯ 𝑅𝑚𝑛
̅̅̅̅̅̅
где ΔПij – прирост прибыли от реализации i-го нововведения (𝑖 = 1,
𝑚) в j-м
̅̅̅̅̅̅
(𝑗 = 1,
𝑛) заказе из портфеля предприятия;
Rij – вероятность неполучения прироста прибыли в объеме ΔПij при реализации
i-го нововведения j-м заказе; ΔПij, Rij ≥ 0.
Путем преобразований получим:
∆П𝑖 =
∑𝑛𝑗=1 ∆П𝑖𝑗 ,
𝑅𝑖 =
∑𝑛
𝑗=1 ∆П𝑖𝑗 𝑅𝑖𝑗
∑𝑛
𝑗=1 ∆П𝑖𝑗
(4.1)
где ΔПi – прирост прибыли от реализации i-го нововведения;
Ri – средневзвешенная вероятность риска от реализации i-го нововведения.
В результате этого получаем биматричную игру, описываемую матрицами
∆П1 ⋯
0
𝑅1 ⋯ 0
⋱
⋮ ); 𝑅 = ( ⋮ ⋱
⋮ )
∆П = ( ⋮
(4.2)
0
⋯ ∆П𝑛
0 ⋯ 𝑅𝑛
При предпочтительности первого критерия – максимизации прироста прибыли, оптимальная смешанная стратегия первого игрока находится как решение второго игрока, т. е.:
1
1
𝑉2 = ∑𝑛 ⁄ ;
𝜆∗𝑖 = 𝑉2 ∗
(4.3)
𝑖=1 1
𝑅𝑖
𝑅𝑖
где V2 – гарантированный выигрыш первого игрока (как решение второго игрока), выраженный в общей величине риска портфеля нововведений;
𝜆∗𝑖 - вероятности, с которыми игроки применяют свои чистые стратегии, или
пропорции, в которых смешивают их, т.е. это искомые коэффициенты интенсивности использования нововведений или пропорции распределения ресурсов.
На основе полученной стратегии игрока 1 можно определить потенциальный эффект (прибыльность) реализации портфеля нововведений:
∆Пп = ∑𝑛𝑖=1 𝜆∗𝑖 ∆П𝑖
(4.4)
и риск реализации портфеля нововведений, характеризующий вероятность получения от их реализации прироста прибыли в размере ΔПп:
𝑅п = ∑𝑛𝑖=1 𝜆∗𝑖 𝑅𝑖
(4.5)
Данная формула описывает разложение общей величины риска на различные нововведения, так как параметр 𝜆∗𝑖 𝑅𝑖 есть доля риска, приходящаяся на i-е
нововведение.
На каждое нововведение отводится такой объем ресурсов, который соответствует оценке его полезности, т. е.
𝐾𝑖 = 𝐾 ∗ 𝜆∗𝑖
(4.6)
120
где К – общий объем средств, выделенных на реализацию нововведений.
Если в качестве приоритета своей деятельности предприятие принимает
стратегию минимизацию рисков, то оптимальная смешанная стратегия второго
игрока, отвечающая в большей мере интересам предприятия, находится как решение первого игрока, т.е.:
1
1
𝑉1 = ∑𝑛 ⁄ ;
𝑧𝑖∗ = 𝑉1 ∗
(4.7)
𝑖=1 1
∆П𝑖
∆П𝑖
где V1 – гарантированный выигрыш второго игрока (как решение первого игрока), выраженный в общем приросте прибыли портфеля нововведений;
𝑧𝑖∗ - вероятности, с которыми игроки применяют свои чистые стратегии, или
пропорции, в которых смешивают их, т. е. это искомые коэффициенты интенсивности использования нововведений или пропорции распределения ресурсов.
Оценки потенциальной рискованности и потенциального эффекта (прибыльности) портфеля нововведений соответственно составят:
𝑅п = ∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖∗ 𝑅𝑖
(4.8)
В соответствии с реализацией игры средства предприятия распределяются
пропорционально найденным интенcивностям использования нововведений
𝐾𝑖 = 𝐾 ∗ 𝑧𝑖∗
(4.9)
где К – ресурсы предприятия;
Кi - ресурсы предприятия, выделенные на реализацию i-го нововведения.
Пример 4.3. Пусть по исходным данным гипотетического предприятия сформированы
̅̅̅̅ , тыс. руб.) и риска нововведений (𝑅̅ , доли процента):
матрицы прироста прибыли (∆П
0,15 0,10 0,20
1000 850 1200
̅
∆П = ( 800 1000 900 );
𝑅 = (0,12 0,10 0,18)
0
0,25 0,20
0
1000 800
Преобразовав матрицы по формулам (4.1), получим:
0,156
0
0
3050
0
0
∆П = ( 0
𝑅̅ = ( 0
0,206
0 )
2700
0 );
0
0
0,228
0
0
1800
Отдавая предпочтение максимизации прироста прибыли, при формировании портфеля
нововведений имеем:
1
1
𝑉2 = 3
=
= 0,0603
1
1
1
∑𝑖=1 1⁄𝑅1
+
+
1⁄0,156 1⁄0,206 1⁄0,228
1
1
𝜆1∗ = 𝑉2 ∗
=
∗ 0,0603 = 0,386
𝑅1 0,156
1
1
𝜆∗2 = 𝑉2 ∗
=
∗ 0,0603 = 0,349
𝑅2 0,206
1
1
𝜆∗3 = 𝑉2 ∗
=
∗ 0,0603 = 0,265
𝑅3 0,228
Потенциальный эффект (прирост прибыли) портфеля нововведений составит
ΔП = 3050* 0,386 + 2700 * 0,349 + 1800 * 0,265 = 2596,6 тыс. руб.,
а потенциальный риск портфеля
Rп = 0,156 0 * 0,386+ 0,206 *0,349 + 0,228 * 0,265 = 0,1809 ≈18,09%.
121
Общий риск реализации всего портфеля распределится между рисками составляющих
его нововведений следующим образом:
𝑅1п = 𝑅2п = 𝑅3п = 0,0603 ≈ 6,03%
Приведенный пример показал еще один важнейший результат биматричной игры: при предпочтительности критерия прироста прибыли, подлежащего
максимизации, общий риск портфеля нововведений распределяется равномерно
между отдельными нововведениями портфеля.
4.3.2. Модель оптимизации управления продажами и транзакциями
Стратегия продаж определяет пути, по которым продукция предприятияпроизводителя попадает к конечному потребителю. В сущности, это выбор системы сбыта и конкретных каналов реализации продукции.
Система сбыта влияет не только на прибыль, получаемую предприятиемпроизводителем от реализации продукции, но и на сами параметры ее сбыта.
Транзакционная политика, как составная часть стратегии продаж, включает в себя сбор и переработку информации о потенциальных сегментах и клиентах-потребителях продукции, конкурентах, группах стратегического влияния,
проведение переговоров и принятие решений, контроль за соблюдением контрактов и принуждение к их выполнению, защиту прав собственности. Именно
с трансакционными издержками и связана реализация этой политики.
Транзакция (от лат. Transaction – совершение, акт экономического взаимодействия, договор, сделка) является базовой единицей анализа в экономике
транзакционных издержек. Категория «транзакция» охватывает как материальные, так и контрактные аспекты обмена, сопровождаемые взаимными уступками. Она понимается предельно широко и используется для обозначения как обмена товарами, так и различными услугами, сделок как долговременного, так и
краткосрочного характера, как требующих детализированного документального
оформления, так и предполагающих простое взаимопонимание сторон.
Каждая рыночная транзакция связана с определенными издержками. Транзакционные издержки – операционные издержки сверх основных затрат на
производство и обращение, косвенные, сопряженные расходы. Их можно определить как издержки экономического взаимодействия в каких бы формах оно
ни протекало. Транзакционные издержки включают издержки сбора и переработки информации, проведения переговоров, контроля за соблюдением контрактов и принуждения к их выполнению.
Снижение транзакционных издержек в значительной мере зависит от системного накопления информации о потенциальных клиентах, конкурентах,
группах стратегического влияния, которых можно рассматривать в качестве потенциальных партнеров по рыночным транзакциям. Международный опыт поиска и анализа подобной информации свидетельствует о том, что игнорирование этой функции приводит к существенному росту транзакционных издержек.
Мероприятия по снижению транзакционных издержек не всегда должны
быть направлены на экономию издержек по подготовке и заключению непосредственно самой сделки. Принципиальным является обеспечение заданного
122
уровня эффективности использования этих издержек, т. е. получение прибыли,
реально оправдывающей эти издержки. Определяющим в снижении транзакционных издержек является предотвращение потенциально неэффективных издержек на совершение сделок.
Для этого также может быть использован игровой подход. Учитывается,
что, с одной стороны, предприятие стремится обеспечить наибольшую выручку
за счет своевременного сбыта продукции в полном объеме. С другой стороны,
предприятие заинтересовано в минимизации производственных и трансакционных издержек. Эти интересы не противоположные, а различные. Наличие различных интересов субъектов, а следовательно, и целей предприятия, позволяет
рассматривать возникшую игровую ситуацию как биматричную игру. В этой
игре два менеджера предприятия, которые имеют различные интересы и цели
функционирования. Значит, в этой игре стратегии субъектов могут быть представлены в виде двух платежных матриц:
𝑃1 𝐵1
𝐵=( ⋮
0
⋯
0
𝐶1 + 𝑦1
⋱
⋮ ); 𝐶 = ( ⋮
0
⋯ 𝑃𝑛 𝐵𝑛
⋯
0
⋱
⋮ )
⋯ 𝐶𝑛 + 𝑦𝑛
где Bi – выручка от реализации i-го заказа;
Рi – вероятность поступления в установленный срок денежных средств от
реализации i-го заказа;
уi – искомые транзакционные издержки i-го заказа.
Вероятность поступления денежных средств от реализации заказа определяется, как любой коммерческий риск, одним методов расчета. Среди методов
можно отметить, например, прямой вероятностный метод, основанный на вычислении частоты случайного события; приближенный вероятностный метод,
когда множество вариантов пытаются сознательно упростить или сузить в расчете на то, что полученная таким образом модель, хотя она и грубая, окажется
практически полезной; косвенный (качественный) метод, ограниченный, измерением каких-то других показателей, косвенно характеризующих определенный риск.
Сформулированная биматричная игра отличается тем, что в ней в стратегиях субъекта 2 содержатся искомые переменные – транзакционные издержки,
которые необходимо определить.
Известно, что реализация биматричных игр с платежными матрицами, в
которых по диагонали проставлены только значимые элементы, а все остальные
элементы равны нулю, при различных предпочтениях критериев оптимальности (выручки, подлежащей максимизации, или общих издержек, подлежащих
минимизации) обеспечивают приблизительно одинаковые решения. Это означает, что полученные соотношения используемых стратегий принципиально
одинаково определяют оптимальные пропорции распределения средств.
123
Пусть менеджмент предприятия отдал предпочтение минимизации производственных и транзакционных издержек. Тогда оптимальная смешанная стратегия второго субъекта находится как решение задачи первого субъекта:
1
1
𝑉1 = ∑𝑛 ⁄ ;
𝑧𝑖 = 𝑉1 ∗
∆П𝑖
𝑖=1 1 В𝑖
̅̅̅̅̅
где 𝐵𝑖 ≈ 𝑝𝑖 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1,
𝑛.
Из решения биматричной игры можно найти ее цену, характеризующую
гарантированную выручку предприятия, а также вероятности применения игроками своих стратегий или пропорций, в которых смешиваются стратегии, т. е.
получить искомые коэффициенты интенсивности заказов и пропорции распределения ресурсов (например, денежных средств, выделяемых на транзакционную деятельность предприятия).
Итак, из решения биматричной игры можно рассчитать:
• потенциальную выручку от реализации портфеля заказов:
Вп = ∑𝑛𝑖=1 𝐵𝑖 𝑧𝑖 ;
• потенциальные общие издержки на портфель заказов:
Сп = ∑𝑛𝑖=1(𝐶𝑖 + 𝑦𝑖 )𝑧𝑖 .
Эти соотношения можно использовать для нахождения величины издержек
предприятия, связанных с его транзакциями. Для этого потребуется исследо𝐵
вать соотношение Э = п , которое характеризует эффективность использования
Сп
предприятием ресурсов (объем выручки на рубль общих издержек, или оборачиваемость издержек). В этой формуле параметр 𝐵п является найденной в результате реализации игры величиной, а параметр Сп – искомой.
Предположим, что эффективность использования портфеля трансакций
(Эп) задана. Тогда следует, что общие издержки на транзакционную деятельность предприятия составляют:
1
Зт = ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑧𝑖 = ∗ ∑𝑛𝑖=1 𝐵𝑖 𝑧𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑧𝑖 , где ∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖 = 1.
Э
Следовательно, частные издержки по отдельным транзакциям будут равны: 𝑦𝑖 = Зт 𝑧𝑖 .
Таким образом, при найденных значениях игры 𝑧𝑖 (𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛), задавая допустимые значения коэффициента эффективности транзакций, можно найти соответствующие им значения транзакционных издержек и их распределение по
транзакциям. И, наоборот, по заданным транзакционным издержкам, найти их
распределение по транзакциям и коэффициент эффективности издержек.
4.3.3. Модель оптимизации управления ресурсным потенциалом
Реализация стратегии предприятия, известной как «отсечение лишнего» и
связанной с продажами части его активов, - весьма сложное мероприятие. Полученные в результате реализации стратегии размеры продаж активов, обусловленные ориентацией предприятия на цели выживаемости, - это объемная
характеристика. Необходимо знать, какие конкретные элементы ресурсного по124
тенциала, т. е. виды внеоборотных и оборотных активов должны быть проданы
и в каком количестве.
При решении этих вопросов необходимо учитывать множество факторов:
важность различных активов для самого предприятия, спрос на них, затраты на
хранение избыточных запасов готовой продукции, материалов, сырья, полуфабрикатов, незавершенного производства, ожидаемый эффект (выручка, прибыль) от продажи сверхнормативных запасов, риски, связанные с возможностью получения ожидаемого эффекта от их продажи.
Отсюда следует, что проблема управления ресурсным потенциалом предприятия является многовариантной и многокритериальной. Здесь может быть,
как и в стратегии диверсификации и дифференциации, использована теория
игр.
Построению платежной матрицы игры в стратегии «отсечение лишнего»
должен предшествовать отбор элементов (видов) активов, которые могут быть
проданы предприятием. Порядок рассмотрения активов, подлежащих продаже,
может быть таким:
1. краткосрочные финансовые вложения в облигации, займы и т. п.;
2. запасы сырья, материалов, полуфабрикатов, незавершенное производство, запасы готовой продукции;
3. дебиторская задолженность за товары, работы и услуги, авансы, выданные поставщикам;
4. незавершенное строительство;
5. основные средства (здания, сооружения, транспорт, оборудование).
После отбора видов имущества, подлежащего продаже, определяется, что
получит предприятие в результате реализации части имущества. Так, при продаже запасов интересом предприятия может быть ожидаемая выручка, которая
используется для погашения задолженности. В результате продажи части запасов уменьшатся затраты, связанные с хранением запасов.
Таким образом, у предприятия налицо два вида интересов: максимизация
выручки от продажи имущества и минимизация затрат на хранение запасов.
Эти интересы различные. Для их согласования может быть использована
биматричная игра.
Пример 4.4. В продажу товарно-материальных ценностей на основе предварительного
отбора намечены четыре вида запасов, параметры которых для построения биматричной игры представлены в матрицах В и С (в тыс. руб.):
1000 0
0 0
120 0 0
0
0 2000 0
0
0 240
0
0
𝐵=(
), С = (
)
0
0 3000
0
0
0 360
0
0 0 0 4000
0 0 0
480
При предпочтительности максимизации выручки результаты реализации биматричной
игры таковы:
125
𝑉2 =
1
= 57,6 руб.
1
1
1
1
+
+
+
120 240 360 480
𝜆1∗ = 0,48, 𝜆∗2 = 0,24, 𝜆∗3 = 0,16, 𝜆∗4 = 0,12
Вп = 1920 тыс. руб.; Сп = 230,4 тыс. руб.
При предпочтительности минимизации затрат:
1
𝑉1 =
= 480 тыс. руб.
1
1
1
1
1000 + 2000 + 3000 + 4000
∗
∗
𝑧1 = 0,48, 𝑧2 = 0,24, 𝑧3∗ = 0,16, 𝑧4∗ = 0,12
Вп = 1920 тыс. руб.; Сп = 230,4 тыс. руб.
Cравнение результатов решения биматричной игры показывает, что оба критерия
предпочтительности обеспечивает одинаковые решения. Это означает, что максимизация
выручки тождественна минимизации затрат на хранение запасов, и наоборот, минимизация
затрат на хранение запасов тождественна максимизации выручки. Этот вывод достаточно
ясен, так как затраты на хранение запасов были взяты процентом от выручки.
Очевидно, в качестве первого предпочтительного критерия необходимо использовать
прибыль от реализации запасов, так как при этом прибыль не пропорциональна выручке от
их продажи.
4.4. Модели экономической безопасности
4.4.1. Модель определения зон и средств защиты предприятия от угроз
Определить размер целесообразных затрат на обеспечение безопасности
информации можно с помощью следующего подхода.
Пример 4.5. Допустим, что для каждой из возможных неприятностей известны размеры и величины ущерба, если никакое противодействие не предпринимается (ситуация Ro, таблица 4.5). Величины ущерба в этом случае выписаны в
первой строке матрицы.
Индекс ноль означает, что неприятность не произошла. В первой колонке
этой матрицы стоят затраты на противодействие данной неприятности при разном уровне противодействия. Индекс ноль в этом случае означает, что никаких
затрат не производится (V11=0). Считается, что противодействие Ri способно
предотвратить все неприятности Sj такие, что i >=j и совсем не способно уменьшить неприятность Sk при i < k.
В итоге величины затрат, элементы Vij матрицы, определяются по следующему правилу:
Vij
V1i V j 1 , j i
Vi1 , j i
126
Таблица 4.5
Платежная матрица производителя
Противодействие
Событие
S1
S0
0
5
10
15
R0
R1
R2
R3
10
5
10
15
S2
20
25
10
15
S3
30
35
40
15
Первичный поверхностный анализ позволяет сделать некоторые выводы.
Пусть, например, финансовые возможности производителя ограничены, и он
может организовать противодействие степени не больше, чем R2, в то время как
ожидать надо неприятность степеней S3.. Из матрицы в таблице 4.5 видно, что
затраты на какое-либо противодействие лишь увеличат потери производителя.
Другой исход имеет место, если подрядчик производителя готов выполнить
работу лишь большого объема и высокой степени противодействия, например R3.
Если можно ожидать неприятность не более, чем степени S1, то от бездействия
ущерб будет меньше, чем от противодействия, которое доступно производителю. В том случае, когда у производителя есть возможность маневра, он обычно
может выбирать и путь решения стоящей перед ним задачи.
Выбор способа минимизации затрат зависит от того, какова исходная информация о различных степенях неприятности.
Математическая модель задачи принятия решений определяется множеством состояний {Sj}, множеством стратегий (противодействий) {Ri} и матрицей возможных результатов ||Vij||.
В отдельных задачах рассматривается матрица рисков ||rij||. Элементы
матрицы рисков ||rij|| связаны с элементами платежной матрицы производителя в табл. 4.6 следующим соотношением:
max Vij Vij , еслиV выигрыш
i
rij
Vij , еслиV затраты
Vij min
i
Таблица 4.6.
Матрица рисков
0
5
10
15
5
0
5
10
10
15
0
5
15
20
25
0
Таким образом, риск – это разность между результатом, который можно получить, если знать действительное состояние внешней среды, и результатом, который будет получен при i-ой стратегии.
127
Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд
критериев (см. гл. 3.3).
В соответствии с критерием Лапласа каждому состоянию Sj ставится
1
1
вероятность qj, определяемая по формуле 𝑞𝑗 = = = 0,25
𝑛
4
Для принятия решения для каждого действия Ri вычисляют среднее
арифметическое значение выигрыша:
1 n
M i ( R) Vij
n j 1
М0(R) = 15; М1(R) = 17,5; М2(R) = 15; М 3(R) = 15
Среди Mi(R) выбирают минимальное значение, т. е. в примере М 0(R) =
М3(R) = 15
Таким образом, в соответствии с критерием Лапласа целесообразным
противодействием будет R0 или R3.
Критерий Вальда опирается на принцип наибольшей осторожности и основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий Ri.
W min max{Vij }
i
R0
R1
R2
R3
j
S0
S1
S2
S3
0
5
10
15
10
5
10
15
20
25
10
15
30
35
40
15
max{Vij }
W
j
30
35
40
15
15
Таким образом, в соответствии с критерием Вальда целесообразным
противодействием будет R3.
Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков ||rij||. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Ri, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной
ситуации (т.е. используется минимаксный критерий).
W min max{rij }
i
j
min max{rij }
W
15
20
25
15
15
i
0
5
10
15
5
0
5
10
10
15
0
5
15
20
25
0
j
15
128
Таким образом, в соответствии с критерием Сэвиджа целесообразным
противодействием будет R0 или R3.
Использование критерия Гурвица основано на том, что внешняя среда может находится в самом выгодном состоянии с вероятностью α и в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- α). Если результат Vij представляет собой
затраты, то выбирается действие, дающее
Wmin min [ min Vij (1 ) max Vij ]
i
R0
R1
R2
R3
j
j
S0
S1
S2
S3
0
5
10
15
10
5
10
15
20
25
10
15
30
35
40
15
max Vij
min Vij
30
35
40
15
0
5
10
15
j
j
W
Wmin
(α = 0,5)
15
20
25
15
15
15
Таким образом, в соответствии с критерием Гурвица целесообразным
противодействием будет R0 или R3.
Окончательное решение по выбору вариантов противодействия выбирается с учетом конкретной ситуации, специфики решаемой задачи и в соответствии с целями предприятия, а также опираясь на прошлый опыт. Если даже
минимальный риск недопустим, то следует применять критерий Вальда. В случае, когда определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться
критерием Сэвиджа.
4.4.2. Модель определения зон защиты предприятия в условиях ограниченности средств
Пусть одно из исследуемых предприятий, на котором имеется n защитных
зон (объектов) и которое может подвергнуться нападению криминальных
структур, располагает ограниченным количеством средств, которые могут использоваться для защиты только одной зоны (объекта). Ценность (полезность)
зоны (объекта) может быть выражена, например, в ее (его) остаточной стоимости, стоимости хранящейся на складах продукции, и составляет величину bi.
Тогда математическое ожидание ущерба, наносимого предприятию, при
выборе различными сторонами зон (объектов) i и j (𝑖, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) можно рассчитать:
̅̅̅̅̅̅
𝑏 (1 − 𝑝), если 𝑖 = 𝑗(𝑖, 𝑗 = 1,
𝑛)
𝑧𝑖𝑗 = { 𝑖
,
̅̅̅̅̅̅
𝑏𝑖 , если 𝑖 ≠ 𝑗(𝑖, 𝑗 = 1,
𝑛)
где p – вероятность неуничтожения (незащищенности) зоны (объекта), p>1.
Очевидно, что криминальная структура (игрок 1) будет стремиться максимизировать величину zij, а предприятие (игрок 2) – минимизировать ее, т.е. ин129
тересы сторон прямо противоположны и их взаимодействие составляет содержание антагонистического конфликта.
Пример 4.6. Максимальная месячная стоимость продукции и материальных ресурсов,
хранимых на складах, составляет: b1 = 150, b2 = 120, b3 = 100 тыс. руб. (здесь b1 – стоимость
готовой продукции на первом складе, а b2, b3 – стоимость материальных ресурсов на втором
и третьем складах). Предполагается, что вероятность незащищенности объектов-складов составляет p = 50% = 0,5.
Тогда платежная матрица примет вид:
75 150 150
𝐻 = (120 60 120).
100 100 50
Для игрока 1 (криминальная структура)антагонистическая игра описывается системой
неравенств:
75𝑥1 + 120𝑥2 + 100𝑥3 ≥ 𝜐
150𝑥1 + 60𝑥2 + 100𝑥3 ≥ 𝜐
{
150𝑥1 + 120𝑥2 + 50𝑥3 ≥ 𝜐
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
Для игрока 2 (предприятие) игра имеет вид:
75𝑦1 + 120𝑦2 + 100𝑦3 ≤ 𝜐
120𝑦1 + 60𝑦2 + 120𝑦3 ≤ 𝜐
{
100𝑦1 + 100𝑦2 + 50𝑦3 ≤ 𝜐
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 1
Их решением будут оптимальные векторы и цена этих игр:
Х* = (4/9; 5/9; 0); Y* = (2/3; 1/3; 0); 𝜐 = 100 тыс. руб.
Таким образом, игрок 2 (предприятие) должен с вероятностью 2:3 защищать склад готовой продукции, с вероятностью 1:3 – второй объект (первый склад материальных ресурсов) и не защищать – третий объект (второй склад материальных ресурсов) вовсе. Игрок 1
должен с вероятностью 4:9 угрожать складу готовой продукции, с вероятностью 5:9 – второму объекту (первому складу материальных ресурсов) и не угрожать третьему объекту (второму складу материальных ресурсов).
4.4.3. Модель определения объектов защиты в условиях независимости
ущербов
Здесь можно рассмотреть основные производственные подразделения
промышленного предприятия: поточные и автоматические линии, гибкие производственные системы и другие производства, в которых их звенья (блоки)
технологически взаимосвязаны. Выход из строя (отказ) одного из звеньев приводит к прекращению производственной деятельности всего объекта. Отказ одного из звеньев объекта возможен не только по техническим причинам, но и по
причинам криминального характера. Например, в силу заинтересованности
криминальных структур в ликвидации предприятия как наиболее опасного конкурента или хотя бы в утрате им конкурентных преимуществ.
Предполагается, что средства защиты j-го вида нейтрализуют j-ю стратегию криминальной структуры. Следовательно, ущерб звена объекта защиты будет rij = 0. В остальных случаях ущерб не зависит от того, выполнено ли мероприятие по защите отдельного звена объекта или нет. Для j-й стратегии криминальной структуры положим величину ущерба, который она причиняет пред130
приятию, равной lj. Для удобства будем считать, что l1 > l2 > … > ln. Кроме того,
положим cj = 0. Такая ситуация характерна для моделей конфликтов, в которых
затраты на защиту звена (блока) пренебрежимо малы по сравнению с возможным ущербом.
Тогда платежная матрица примет вид
0 … 𝑙1
𝐻 = ( 𝑙2 … 𝑙2 )
𝑙𝑛 … 0
Очевидно, что игрок 2 (предприятие) будет стремиться минимизировать
свой ущерб и, рассчитывая на худший случай, должен считать, что игрок 1
(криминальная структура) ему антагоничен.
Для игрока 2 (предприятие) стратегии его поведения определятся реализацией антагонистической игры вида:
𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 → 𝑚𝑎𝑥
0𝑝1 + 𝑙2 𝑝2 + ⋯ + 𝑙𝑛 𝑝𝑛 ≤ 1
𝑙1 𝑝1 + 0𝑝2 + ⋯ + 𝑙𝑛 𝑝𝑛 ≤ 1
…
𝑙1 𝑝1 + 𝑙2 𝑝2 + ⋯ + 0𝑝𝑛 ≤ 1
𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 ≥ 0
{
где yi/υ = pi (𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛)
Пусть технологическая структура предприятия включает пять технологически взаимосвязанных агрегатов, выход из строя одного из которых вследствие возможного повреждения приводит к простою всей производственной
системы. Для предотвращения возможных повреждений и простоев производственной системы необходимо, чтобы перед началом работы агрегаты были
проверены на исправность. Расходы на предупреждение аварий существенно
меньше, чем убытки, которые причиняют всей производственной системе простои агрегатов в отказах.
Величина убытков зависит от степени загрузки и ремонтной сложности агрегата, который выводится из строя, и складываются в основном из затрат на их
ремонт или замену. Эти затраты на устранение отказов могут быть существенно
большими, чем на этапе профилактических осмотров. Кроме того, в величину
убытков следует включить и потери от недовыпуска продукции предприятием
вследствие простоя производственной системы в целом. Такими статистическими данными об убытках предприятия, как правило, не располагают и, повидимому, их вообще невозможно получить. Поэтому показатель «убытки» от
выхода из строя каждого агрегата заменим на экспертную оценку влияния выхода его из строя на убытки производственной системы в целом, т. е. на экспертную оценку «важности» объекта защиты по отношению к причиняемым
убыткам. При определении такой оценки и учитываются стоимость каждого агрегата и время (возможность) его замены.
131
4.4.4. Модель распределения работы службы безопасности предприятия
Задачей службы безопасности предприятия является не только организация защиты (обороны) его зон (объектов) от криминальных акций, но и организация поиска и возможных вариантов нападений.
Пусть на предприятии имеются n зон (объектов) возможного нападения
криминальных структур с целью ограбления. Предполагается, что в одной из
зон (объектов) организована криминальная группа. Для ее выявления в организационной структуре предприятия предусмотрено специальное подразделение
из L человек, оснащенных современными техническими средствами. Численность подразделения делима, максимально возможное число таких подгрупп
равно L. Если в группу входит по l человек, то число таких подгрупп равно r =
L/l. Для общности рассуждений будем считать, что число таких подгрупп соответствует r. Эти подгруппы службы безопасности могут быть распределены по
зонам (объектам) защиты различным образом. Например, все r подгрупп могут
действовать в первой зоне (объекте) или в первую зону (объект) можно послать
(r - 1) подгруппу, во вторую зону (объект) – одну подгруппу, в остальные — ни
одной и т. д.
Очевидно, что вероятность обнаружения криминальной структуры одной
подгруппой в j-й зоне (объекте) зависит от многих условий, характеризующих
эту зону (объект). Обозначим эту вероятность через 𝜔𝑗 и будем считать, что обнаружение действия криминальной структуры каждой подгруппой службы безопасности являются независимыми событиями.
Обычно противоборствующие стороны располагают априорной информа̅̅̅̅̅̅
цией о значениях 𝜔𝑗 (𝑗 = 1,
𝑛) и поэтому каждая из них может определить вероятность обнаружения криминальной структуры в j-й зоне (объекте) по формуле
ℎ𝑗 = 1 − (1 − 𝜔𝑗 )𝑞𝑗 ,
где qj – число подгрупп службы безопасности, действующих в j-й зоне
(объекте).
Игрок 1 (предприятие) распределяет подгруппы службы безопасности по
зонам (объектам) с расчетом максимизировать вероятность обнаружения действий криминальной структуры. Игрок 2 (криминальная структура) выбирает
зону нападения с расчетом минимизировать эту вероятность. Очевидно, что
игроки преследуют прямо противоположные цели, и поэтому конфликт антагонистичен, т. е. выигрыш игрока 1 в точности равен проигрышу игрока 2.
Таким образом, математической моделью распределения поисковых усилий подгрупп службы безопасности и выбора зоны (объекта) возможных действий криминальной структурой является конечная антагонистическая игра, которую можно задать матрицей выигрышей
ℎ11 … ℎ1𝑛
𝐻 = ( … … … ),
ℎ𝑚1 … ℎ𝑚𝑛
где m – число чистых стратегий предприятия (игрок 1); n – число чистых
стратегий криминальной структуры (игрок 2); hij = H (i,j) – выигрыш игрока 1 в
ситуации (i, j).
132
Чистой стратегией игрока 1 является вектор 𝑖 = (𝑞1𝑖 , 𝑞2𝑖 , … , 𝑞𝑛𝑖 ) компоненты
которого 𝑞1𝑖 ∈ [0, 𝑟] – целые неотрицательные числа, число подгрупп службы
безопасности, направляемых в j-ю зону (объект) согласно i-й чистой стратегии
∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗𝑖 = 𝑟; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚.
Чистой стратегией игрока 2 является выбор зоны (объекта) нападения. Полезностью нападающей стороны (игрока 1), очевидно, будет вероятность обнаружения криминальной структуры в j-й зоне (объекте), которая определяется по
формуле
𝑖
ℎ𝑗𝑖 = 1 − (1 − 𝜔𝑗 )𝑞𝑗 .
Пример 4.7. Пусть на гипотетическом предприятии, в котором имеют место хищения
продукции в массовом количестве внутрипроизводственной криминальной структурой,
имеются три склада готовой продукции. Функционирует подразделение службы безопасности численностью в 6 человек, которое может быть разделено, например, на три группы численностью по 2 человека. Вероятность обнаружения криминальной структуры одной группой службы безопасное задается экспертными оценками параметров 𝜔1 = 0,5; 𝜔2 =
0,3; 𝜔3 = 0,2.
Рассматриваемую ситуацию распределения поисковых усилий можно систематизировать (таблица 4.7).
Стратегии
игрока 1
1 = (3,0,0)
2 = (0,3,0)
3 = (0,0,3)
4 = (2,1,0)
5 = (2,0,1)
Стратегии игрока 2 (конкурентная структура)
1
2
3
0,875
0
0
0
0,657
0
0
0
0,488
0,750
0,300
0
0,750
0
0,200
Стратегии
игрока 1
6 = (0,2,1)
7 = (1,2,0)
8 = (1,0,2)
9 = (0,1,2)
10 = (1,1,1)
Таблица 4.7
Стратегии игрока 2 (конкурентная структура)
1
2
3
0
0,510
0,200
0,500
0,510
0
0,500
0
0,360
0
0,300
0,360
0,500
0,300
0,200
Оптимальные стратегии игроков определятся:
X* = (0; 0; 0,38; 0,32; 0; 0,30; 0; 0; 0; 0);
Y* = (0,15; 0,31; 0,54); цена игры υ = 0,265.
Таким образом, с вероятностью 0,38 в третьей зоне осуществляют поиск три подразделения; с вероятностью 0,88 в первой зоне осуществляют поиск два подразделения и во второй зоне – одно подразделение и, наконец, с вероятностью 0,3 во второй зоне осуществляют
поиск два подразделения и в третьей зоне – одно подразделение. В свою очередь, криминальная структура с вероятностью 0,15 выбирает для хищения первую зону, с вероятностью
0,31 – вторую зону и с вероятностью 0,54 – третью. В результате вероятность обнаружения
криминальной структуры будет равна 0,265. Если считать период планирования равным 30
дням, то осуществляют поиск: 30*0,38 = 12 дней три подразделения в третьей зоне; 30*0,32 =
9 дней два подразделения в первой зоне и одно подразделение во второй зоне; 30*0,3 = 9
дней два подразделения во второй зоне и одно подразделение в третьей зоне.
Отклонение предприятия от приведенного оптимального распределения групп службы
безопасности может уменьшить эту вероятность, а отклонение криминальной структуры от
оптимального выбора склада для осуществления злоумышленных действий может привести
к увеличению этой вероятности.
133
Задачи по теме «Типовые модели управления» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
134
ЛИТЕРАТУРА
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических
систем: учеб. пособие. - изд. 2-е, перераб. и доп. - М: Финансы и статистика, 2008. – 430 с.
Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических
систем: учеб. пособие. - М: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.
Высшая математика для экономистов / под ред. проф. Н. Ш. Кремера .—
3-е изд .— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010 .— 478 с.
Высшая математика для экономистов. Практикум / под ред. проф. Н. Ш.
Кремера .— 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 .— 477 с.
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. 3-е изд. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 528
с.
Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник/ под
ред. И.И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656 с.
Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel: уч. Пособие. – М.:
Финансы и статистика, 2006. – 368 с.
Попов А. М. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая
математика для экономистов — М.: Юрайт, 2011 .— 440 с.
Практикум по эконометрике: учеб. пособие под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е
изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие/
под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.:ИНФРМА-М, 2007. – 575 с.
Советов Б.Я. Моделирование систем. Практикум: учеб.пособие для ву-зов/
Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – 3-е изд., стер. – М.:Высш.шк., 2005.
Цуканова О.А. Формирование системы стратегического управления социально-экономическим развитием продуцентов рекламно-издательских
услуг в мегаполисе: монография. – СПб.: ООО «Издательство «Герда»,
2010.
Эконометрика: учебник под. ред. И.И. Елисеевой . – 2-е изд., перераб. и
доп. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 576 с.
135
Приложение 1
ЗАДАЧИ
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем»
1.1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными? N=20, n=4, m=5, k=2.
1.2. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным
образом 2 изделия будут некачественными?
1.3. Поезда метрополитена следуют через 1,5 мин. Какова вероятность того,
что время ожидания поезда не превысит 1 мин?
1.4. Средняя часовая выручка магазина В = 100 д.е. Среднее квадратическое
отклонение часовой выручки σВ = 25 д.е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Определите вероятность получения в течение одного часа выручки в размере
от 80 до 120 д.е.
1.5. Средняя часовая выручка магазина В = 120 д.е. Среднее квадратическое
отклонение часовой выручки σВ = 25 д.е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Определите вероятность получения в течение одного часа выручки в размере
от 80 до 120 д.е.
1.6. Средняя часовая выручка магазина В = 100 д.е. Среднее квадратическое
отклонение часовой выручки σВ = 25 д.е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Определите вероятность получения в течение одного часа выручки в размере
от 70 до 110 д.е.
1.7. На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них
- 0,002. Число отказов станков – случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Требуется определить вероятность безотказного
функционирования всех элементов.
1.8. На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них
- 0,001. Число отказов станков – случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Требуется определить вероятность безотказного
функционирования всех элементов.
1.9. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре
ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье
равными, определить вероятности появления в ней: одного мальчика,
двух мальчиков.
1.10. Определите математическое ожидание и моду числа остановок автобуса
перед светофорами на маршруте, если случайная величина Ч – число
остановок – задана следующей таблицей распределения:
136
xi
P(xi)
0
0,05
1
0,05
2
0,2
3
0,5
4
0,1
5
0,1
1.11. Определите математическое ожидание и моду числа остановок автобуса
перед светофорами на маршруте, если случайная величина Ч – число
остановок – задана следующей таблицей распределения:
xi
P(xi)
0
0,03
1
0,03
2
0,15
3
0,3
4
0,1
5
0,1
1.12. Определите среднее квадратическое отклонение числа отказов оборудования, если случайная величина Х – число отказов оборудования – задана следующей таблицей распределения:
xi
P(xi)
0
0,3
1
0,1
2
0,05
3
0,1
4
0,2
5
0,2
6
0,05
Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
2.1. В моменты времени t1, t2, t3 производится осмотр ЭВМ. Возможны следующие состояния ЭВМ: S0 – полностью исправна; S1 – незначительные
неисправности, которые позволяют эксплуатировать ЭВМ; S2 – существенные неисправности, дающие возможность решать ограниченного
число задач; S3 – ЭВМ полностью вышла из строя.
Матрица переходных состояний имеет вид
0,5 0,3
0,2
0
0
0,4
0,4 0,2
‖
‖𝑃𝑖𝑗 ‖ = ‖
0
0
0,3 0,7
0
0
0
1
Постройте граф состояний. Найдите вероятность состояний ЭВМ после
одного, двух, трех осмотров, если в начале (при t = 0) ЭВМ была полностью исправна.
2.2. Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт эксплуатации этих
марок автомобилей свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрица переходных вероятностей, соответствующие состояниям
«работает хорошо» (состояние 1) и «требует ремонта» (состояние 2):
0,9 0,1
‖
0,6 0,4
0,8 0,2
Автомобиль марки В 𝑃𝑏 = ‖
‖
0,7 0,3
Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля.
Требуется определить марку автомобиля, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование (по результатам двухлетней эксплуатации).
Автомобиль марки А 𝑃𝑎 = ‖
137
2.3. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находится в одном из двух состояний: исправном (S1) или неисправном (S2).
В результате массовых наблюдений за работой автомобиля составлена
следующая матрица вероятностей перехода:
0,8 0,2
‖
0,9 0,1
0
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан Р(0) = [ ].
1
Требуется определить вероятность состояний автомобиля через четыре
дня.
𝑃𝑖𝑗 = ‖
Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания»
3.1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную
линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока λ =
0,5 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора 𝑡̅ = 1 мин.
Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся
режиме работы.
3.2. В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров.
Простейший поток задач, поступающих на вычислительный центр,
имеет интенсивность λ = 10 задач в час. Среднее время решения задачи
равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания.
3.3. На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности λ = 4 машины в час. Время осмотра распределено
по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может
находится не более 5 автомобилей. Определите вероятностные
характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
3.4. На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности λ = 4 машины в час. Время осмотра распределено
по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может
находится сколько угодно автомобилей. Определите вероятностные
характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
3.5. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых
может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников,
получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина
очереди не регламентирована. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислите вероятностные
характеристики СМО в стационарном режиме.
3.6. Пост диагностики автомобилей представляет собой трехканальную
СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда
138
пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику λ = 0,6 автомобилей в час. Средняя продолжительность диагностики
𝑡̅ = 1,5 часа. Все потоки событий в системе простейшие. Определите в
установившемся режиме вероятностные характеристики системы.
Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях»
4.1. По 7 областям региона известны данные за 200__ год. Требуется для
характеристики зависимости доли расходов на покупку продовольственных товаров от доходов рассчитать параметры линейной функции. Найти показатели тесноты связи по каждой модели. Оценить модель через F-критерий Фишера.
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
Расходы на покупку
продовольственных
товаров, % к общему
объему расходов, y
68,8
58,3
62,6
52,1
54,5
57,1
51,0
Среднемесячная
заработная плата 1
работающего, тыс.
руб., x
4,5
5,9
5,7
7,2
6,2
6,0
7,8
4.2. По 8 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли (тыс.
руб.) y от выработки продукции на одного человека (единиц) x по данным, представленным в таблице. Построить линейное уравнение парной регрессии. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции
и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую
значимость параметров регрессии и корреляции.
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
Прибыль предприятия, тыс. руб., y
163
195
139
158
154
161
159
175
Выработка продукции на одного
человека, x
89
106
67
88
73
87
76
115
139
4.3. Имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость y
от х: y = 8 – 7x + e. Известно также, что rxy = -0,5; n = 20.
1) Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в
этой модели: с вероятностью 90%; с вероятностью 99%.
2) Проанализируйте результаты, полученные в п.1 и поясните причины их
различий.
Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция»
5.1. Задачу решить с помощью инструментария MS Excel в режиме «Анализ данных».
1) Рассчитать основные показатели описательной статистики и сделать
соответствующие выводы (режим работы «Описательная статистика»);
2) Определить параметры уравнения линейной регрессии и провести его
анализ (режим работы «Регрессия»);
3) По выборочным данным требуется установить наличие взаимосвязи
между указанными показателями (режимы работы «Ковариация» и
«Корреляция».
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 году.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Чистый доход,
п млрд долл.
/
США, y
п
2,4
3,0
4,2
2,7
1,6
2,4
3,3
1,8
2,4
1,6
Оборот капитала, млрд долл.
США, x1
Численность
служащих, тыс.
чел., x2
18,8
35,3
71,9
93,6
10,0
31,5
36,7
13,8
64,8
30,4
82
103
225
675
43,8
102,3
105
49
50,4
480
5.2. По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты
регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции y (млн
руб.) от численности занятых на предприятии x1 (чел.) и среднегодовой
стоимости основных фондов х2 (млн руб.):
Коэффициент детерминации
Множественный коэффициент корреляции
???
0,85
140
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров
t-критерий для параметров
1)
2)
3)
y = ??? + 0,48x1 + 20x2
2
0,06
???
1,5
???
4
Восстановить пропущенные характеристики.
С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
Проанализируйте результаты регрессионного анализа.
5.3. Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было
построено уравнение множественной регрессии:
Y = 21,1 – 6,2x1 + 0,95x2 + 3,57x3; R2 = 0,7
(1,8) (0,54) (0,83)
где y – цена объекта, тыс. долл.;
х1 – расстояние до центра города, км;
х2 – полезная площадь объекта, кв. м.;
х3 – число этажей в доме, ед.;
R2 – коэффициент множественной детерминации.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.
1) Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной
совокупности равен нулю.
2) Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.
3) Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.
4) Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии b1, b2, b3 в генеральной совокупности одновременно равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).
5) Поясните причины расхождения результатов, полученных в п. 1, 2 и 3,
с результатами, полученными в п. 4.
Задачи по теме «Линейное программирование»
6.1. Решить задачу линейного программирования графическим методом:
𝑍(𝑋) = 2𝑥1 + 𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 12
2𝑥1 − 𝑥2 ≤ 12
2𝑥1 − 𝑥2 ≥ 0
2𝑥1 + 𝑥2 ≥ 4
𝑥2 ≥ 0
{
6.2.
Решить задачу линейного программирования графическим методом:
141
𝑍(𝑋) = 4𝑥1 − 3𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5
5𝑥 − 2𝑥2 ≤ 20
{ 1
8𝑥1 − 3𝑥2 ≥ 0
5𝑥1 − 6𝑥2 ≤ 4
6.3.
При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:
Питательные
вещества
Белки
Углеводы
Протеины
Количество единиц питательных веществ
на 1 кг
Корма 1
Корма 2
3
1
1
2
1
6
Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 6.д.е.
Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную
стоимость.
6.4.
Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий
запас железа – 3 т, проволоки – 18 т. На один трансформатор первого
вида расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За
каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает
прибыль 3 д.е., второго – 4 д.е.
Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу
максимальную прибыль.
6.5.
Заводы № 1, 2, 3 производят однородную продукцию в количестве соответственно 500, 400 и 510 единиц. Себестоимость производства
единицы продукции на заводе № 1 составляет 25 д.е., на заводе № 2 –
20 д.е., на заводе № 3 – 23 д.е. Продукция отправляется в пункты А, В,
С, потребности которых равны 310, 390 и 450 единицам. Стоимости
перевозок 1 ед. продукции заданы матрицей
7 5 1
С = (2 3 2)
3 5 4
Составьте оптимальный план перевозок продукции при условии, что
коммуникации между заводом № 2 и пунктов А не позволяют пропускать в рассматриваемый период более 250 единиц продукции.
6.6.
Решите задачи линейного программирования симплекс-методом:
142
6.7.
𝑚𝑎𝑥𝐿 = 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 16
{2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 14
2𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 4
̅̅̅̅
𝑥𝑗 ≥ 0; 𝑗 = 1,4
Решите задачи линейного программирования симплекс-методом:
𝑚𝑎𝑥𝐿 = 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 12
{ 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 8
3𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 15
̅̅̅̅
𝑥𝑗 ≥ 0; 𝑗 = 1,4
Задачи по теме «Транспортные задачи»
7.1.
Составить начальное опорное решение, используя метод северозападного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой
таковы:
bj
250
300
200
200
ai
200
9
8
3
1
350
7
10
6
4
400
2
3
8
12
7.2.
Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
bj
80
120
160
120
ai
120
1
3
4
2
160
4
5
8
3
200
2
3
6
7
7.3.
Решить транспортную задачу методом потенциалов:
bj
5
5
10
10
ai
5
3
4
6
5
5
5
2
7
6
10
9
5
2
2
15
9
4
4
9
10
4
6
2
3
5
13
10
6
5
4
143
7.4.
7.5.
Решить транспортную задачу методом потенциалов:
bj
5
5
10
10
ai
5
3
4
6
4
5
6
3
7
6
10
10
5
2
2
15
9
4
4
9
10
6
6
2
3
8.2.
12
10
6
5
4
Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; А2; А3 и пять
пунктов потребления этого груза – В1; В2; В3; В4; В5. В пунктах А1; А2;
А3 находится груз а1; а2; а3 соответственно. Груз необходимо доставить
в пункты В1; В2; В3; В4; В5 в количестве b1; b2; b3; b4; b5 соответственно.
Расстояния между пунктами в км заданы матрицей ||D||. Требуется
найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками
однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей, используя параметры, представленные ниже. Элементы матрицы ||D|| помещены в таблицу.
АТ = (а1; а2; а3) = (250; 200; 200)
BТ = (b1; b2; b3; b4; b5) = (120; 130; 100; 160; 110)
27
22
35
8.1.
5
36
23
42
35
26
38
31
32
32
29
35
39
Задачи по теме «Теория игр»
Дана платежная матрица 3 х 4, которая определяет выигрыши игрока
А. Вычислить нижнюю и верхнюю цены заданной игры.
10
4
11
7
7
6
8
20
6
2
1
11
Решите игру с платежной матрицей ||А||.
2
3
6
1
-2
5
5
4
3
5
5
0
144
8.3.
Решите игру с платежной матрицей ||А||.
2
3
6
1
-2
7
5
4
3
5
3
0
8.4.
̅̅̅̅) каждому возможному состоянию
При выборе стратегии Rij (𝑗 = 1,3
̅̅̅̅) соответствует один результат (исход) Vji (𝑗 = 1,3
̅̅̅̅;
природы Si (𝑖 = 1,4
̅̅̅̅).Элементы Vji, являющиеся мерой дохода при принятии реше𝑖 = 1,4
ния, приведены ниже в таблице (д.е.):
Стратегии
Состояние природы
S1
S2
S3
S4
R1
2
6
5
8
R2
3
4
1
4
R3
5
1
6
2
Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α = 0,5)
8.5.
̅̅̅̅) каждому возможному состоянию
При выборе стратегии Rij (𝑗 = 1,4
̅̅̅̅) соответствует один результат (исход) Vji (𝑗 = 1,4
̅̅̅̅; 𝑖 =
игры Si (𝑖 = 1,4
̅̅̅̅). Элементы Vji, являющиеся мерой выигрышей при принятии ре1,4
шения, приведены ниже в таблице:
Стратегии
Состояния игры
S1
S2
S3
S4
R1
2
10
5
0
R2
3
4,5
9
6
R3
-5
3
-2
-4
R4
8
5
-3
-5
Выберите оптимальное решение в соответствии с критерием Гурвица
с условием, что внешняя среда находится в выгодном состоянии с вероятностью 50%.
Задачи по теме «Типовые модели управления»
9.1. Затраты на защиту информации в условиях угроз различной степени
составляют R0 = 0 (защита не предпринимается); R1 = 15; R2 = 25; R3 =
35. Убытки от событий, связанных с кражей и несанкционированным
доступом к информации составляют S0 = 0 (событие не произошло); S1
= 6; S2 = 11; S3 = 16 . Считается, что противодействие Ri способно
предотвратить все неприятности Sj такие, что i >=j и совсем не способно
уменьшить неприятность Sk при i < k. Составить платежную матрицу,
матрицу рисков, определить целесообразный размер затрат на защиту
информации с помощью критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица
(q = 0,25).
145
9.2. Максимальная месячная стоимость продукции и материальных ресурсов, хранимых на складах, составляет: b1 = 155, b2 = 120, b3 = 110 тыс.
руб (здесь b1 – стоимость готовой продукции на первом складе, а b2 и b3
– стоимость материальных ресурсов на втором и третьем складах).
Складам угрожает кражей криминальная структура. Предполагается, что
вероятность незащищенности объектов-складов составляет 50%. Составить платежную матрицу, игру для игрока 2 (предприятие), антагонистическую игру для игрока 1 (криминальная структура). Найти
оптимальные векторы и цены этих игр.
9.3. Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лорен11
1
ца: 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥
12
2
Какую часть дохода получают 12% наиболее низко оплачиваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.
9.4. Объем продаж при цене в 15 тыс. руб. составляет 1500 штук товара,
при цене в 16 тыс. руб. – 1400 штук. Издержки на единицу товара составляют 12 тыс. руб. (при цене 15 тыс. руб.). Увеличение цены на
100% ведет за собой увеличение издержек на 20%. Зависимость между
спросом и ценой на товар линейная. Найти объем производства, при
котором прибыль максимальна.
9.5. Для сборки первых 50 CD-плейеров (1 единица продукции) потребовалось 70 человеко-часов. В последующем для сборки любой единицы
продукции – 50 плейеров – требовалось меньшее время в соответствии с
формулой обучения f(x) = 70x-0,24. Найти время, которое потребовалось
для производства 5 единиц продукции (250 CD-плейеров) после того,
как 2 единицы уже были произведены.
9.6. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имею следующий вид:
5p + 2x = 50; 5p – 6x = 10
9.7. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид p = 150/(2x + 5). Найти
выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 90.
9.8. Функция совокупных издержек производства некоторой продукции
имеет вид C(x) = 1000 + 2x + 0,04x2. Найти среднее значение издержек
при изменении объема производства от 100 до 200 единиц.
146
Ольга Анатольевна Цуканова
Математические методы моделирования экономических систем
Учебное пособие
В авторской редакции
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Зав. редакционно-издательским отделом Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99
Подписано к печати ____________
Тираж ____ экз.
Заказ № ___
147
Редакционно-издательский отдел
Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных
технологий, механики и оптики
197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49
148