Книга - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ФИЗИКА»
Практические занятия
по дисциплине
«Физика»
Квантовая механика. Ядерная физика
Часть III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
РПК «Политехник»
Волгоград
2006
3
УДК 53(075/8)
П 69
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИЗИКА». КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА. ЧАСТЬ III.: Методические указания / Сост.
Ю. А. Гнедов; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2006. – 55 с.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлению
«Электроэнергетика». Рассматривается материал, относящийся к
разделам «Квантовая механика» и «Ядерная физика». Приведён в
компактном виде теоретический материал соответствующих разделов,
типовые задачи и задачи, предложенные для самостоятельного
решения.
Илл. 15. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент к. х. н. доцент Караваев В. Б.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.
Составитель Юрий Александрович Гнедов
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИЗИКА».
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА. ЧАСТЬ III.
Методические указания. Под редакцией автора
Темплан 2006 г., поз. № 35. Подписано в печать 15. 03. 2006 г.
Формат стандартный 60×84 1/16 Бумага листовая. Гарнитура «Times».
Усл. печ. л. 3,44. Усл. авт. л. 3,31. Тираж 100 экз. Заказ № 17.
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК "Политехник"
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2006.
4
ВВЕДЕНИЕ
Методические
указания
предназначены
для
студентов,
обучающихся по направлению «Электроэнергетика». Рассматривается
материал относящийся к разделам «Квантовая механика» и «Ядерная
физика». Приведен в компактном виде теоретический материал
соответствующих разделов и типовые задачи, а также задачи для
самостоятельного решения.
5
Практическое занятие № 1.
Тема: Тепловое излучение. Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина.
Цель занятия: Ознакомиться с основными законами теплового
излучения.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить теоретический материал;
2) решить типовые задачи;
3) решить самостоятельно предложенные задачи.
Основные теоретические положения.
Определения:
1) Энергетическая (интегральная) светимость R 
W
W
, где
S t
t
мощность, излучаемая с поверхности площадью S.
2) Излучательная способность (спектральная плотность
dR
dR
или r 
.
d
d
энергетической светимости) r 
 - длина волны,
 - частота (круговая частота)
Законы: 1) Стефана – Больцмана
R  T 4 , где  = 5,710-8
2) I закон Вина  max 
Вт
м  К4
2
b
, где b = 2,910-3 мК.
T
3) II закон Вина rmax  c  T где с=1,310-5
5

Вт
м  К5
3
max – длина волны, на которую приходится максимум излучения,
rmax – максимальное значение r.
4) Гипотеза Планка: энергия излучается и поглощается порциями.
 = h
5) Формула Планка
6
4 2 c 2
r 

5
где  
1
e
2 c
kT
1
h
23
; e = 2,7; к  1,38  10
Дж/К.
2
Типовые задачи
1) Вычислить max для человека (t = 37С), электрической
лампочки (t  2500C), Солнца (t = 5600C) ядерного взрыва (t 
2107C).
m 
b
;
T
2) Вычислить мощность теплового излучения Солнца (считая, что
R   7  10 8 м, T  6000 К, коэффициент черноты = 1).
W
W
 T 4 
 4R 2 T 4
S t
t
5
3) Оценить rmax для человека rmax  c  T
Задачи для самостоятельного решения.
1) Вычислить суточные потери энергии для человека, считая, что
площадь его тела S = 2м2, а температура окружающей среды
1) -20С.
2) +20С.
Сравнить с энергией, получаемой с продуктами питания.

W  St Tr4  Tср4

2) Оценить энергию кванта, соответствующего max для человека.
  h
c
 max
dR
dR
3) Установить связь между r 
и r 
d
d
dR d
d
d c
c


    2 ; r 
d d
d d   

4) Вывести из формулы Планка формулы Релея – Джинса и Вина.
7
Если  велико (формула Р-Д), то e
hc
k T
1
Если  мало (формула В), то
e
hc
k T
 1
e

hc
kT
hc
k T
1
5) Вывести из формулы Планка законы Вина
Используем условие экстремальности
dr
0
d


hc
hc
hc kT
d  5 
kT
5

5
e

e
0


0

k

T
d  khc
 e T  1 
hc
 x , получаем xe x  5e x  1  0
обозначая
kT
x
Полагая e  1 , имеем x  5, т.е
hc
 5  max и rmax
k max T
6) Вывести из формулы Планка законы Релея – Джинса.

R=
 r d . Используем справочный интеграл
0

x 3 dx  4
0 e x  1  15
Дополнительные задачи
В.С Волькенштейн “Сборник задач по общему курсу физики”
(18.5; 18.6; 18.9; 18.12; 18.15; 18.20).
Теоретические вопросы (для проверки усвоения)
1. Какова природа теплового излучения?
2. Чем интересно тепловое излучение?
3. Как формулируются законы Стефана – Больцмана и Вина?
4. Сформулируйте гипотезу Планка.
5. В чем сущность инфракрасной и ультрафиолетовой катастроф?
6. Выглядит график r()?
7. Какое тело при равной температуре светит ярче черное или
белое?
8. Как формулируется закон Кирхгофа?
8
9. Что является примером черного тела?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 367-374 с.
Практическое занятие № 2.
Тема: Специальная теория относительности.
Цель занятия: Вывести преобразования Лоренца, рассмотреть законы
релятивистской динамики и их следствия.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить теоретический материал;
2) решить типовые задачи;
3) решить самостоятельно предложенные задачи.
Основные теоретические положения.
1. Прямые и обратные и обратные преобразования Лоренца:
I x  x   v t  ; y = y; z = z;
2
1
t
v
x
c2
v2
1 2
c
t 
x 
t 
v
c2
x  vt
или
; y = y; z = z;
v2
1 2
c
v
x
c2
v2
1 2
c
t
9
2. Кинематические и динамические следствия:
0
m0
v  v2
v2
;v  1
; 
;m 
;
2
2
2
v1 v2
c
v
v
1 2
1 2
1 2
c
c
c
2
m0c
m0 v
;
E  mc 2 
p
v2
v2
1 2
1 2
c
c
l  l0 1 
E  p 2 c 2  m 02 c 4 ;Eкип = E – m0c2
Типовые задачи
1) Оценить массу, теряемую солнцем ежесекундно (используя
данные предыдущего занятия)
m =
W
c2
2) Вывести зависимость l от v.
l 0  x'2  x1' 
x 2  x1
2
v
c2
1
l

1
2
v
c2
;
t 2'  t1'
3) При какой скорости длина тела сокращается l в 2 раза?
v
3
1
v2
l0  l0 1  2 ;  
c
2
2
c
4) Вывести зависимость  от v.
 0  t 2'  t1'
  t 2  t1 
t 2'  t1'
1
2
v
c2
'
; x2
 x1'
5) Вывести формулу сложения скоростей, направленных
одинаково.
10
  x'

 t' 
 v
x
  t'
  v'  v


2
t
 v  x'  1  v' v

 t' 1  2 
c2
 c  t' 
vабс
6) Вывести преобразования Лоренца
x’ = (x-vt);
y’ = y; z’ = z;
ct’ =  (ct - x)
y
y’
v
0
x’
0’
x
Рис. 2.1
Для света с = const, поэтому интервал ds = 0(=dx2 + dy2 + dz2 - c2t2)
c2t2 – x2 – y2 – z2 = (ct’)2 – (x’)2 – (y’)2 – (z’)2
c2t2 – x2 = 2(c2t2 - 2xct + 2x2) - 2(x2 – 2xvt + v2t2)
x и t независимы, поэтому
2
2
с2 = 2c2 - 2v2 2 = с  2  1
v
-1 = 22 - 2 2 = 22 + 1
0 = -2c2 + 22v 2 =  2  v
c


v
v
v 1 c2 2
2
  
 

 1
 
c
c 2 c 2 v2
c
1 
  1  2 
v  
2
2
11


2
2
с2 2
2 1
2 2
2 с


1




1


1
v2
v2
4
с2 2 c2 c2 1
 2  2  2  4  2 2  1  1 
2
v
v
v 
2
с
 c2
v
1
2 = 2;  =
 2  2  1  2   2 
2
c
v
v
 v
1 2
c


v
x
c2
Итог: x' 
;y’= y; z’= z; t' 
v2
v2
1 2
1 2
c
c
t
x  vt
Задачи для самостоятельного решения.
1) Доказать что при v << c преобразование Лоренца переходит в
преобразование Галилея.
2) Установить связь Eкип и р.
2
Ek + m0c =
E
p c  m c  p = 2k
c
2
2
2
0
4
2
3) Доказать, что при v << с 
Ek 
m0 c 2
1
2
v
c2
 2 m0 c 2 
1 

E
k


mv 2
(использовать
2
 m0 c 2 )
4) Оценить динамическую массу кванта с длиной волны 10 -10м
m 0 c 2  h  h
c

5) Вывести формулу для импульса  - кванта
h  mc 2  p 2 c 2  p  
h
c2
6) Какой скоростью обладает протон на ускорителях ИФВЭ
(Россия).
12
Е = 76 ГэВ и Батавии (США) Е = 2103 ГэВ.
Дополнительно:
1) В 17.10; 17.20; 17.22; 17.23.
2) Проанализировать формулу для релятивистского эффекта
Доплера.
v2
1 2
c
'  
v
1
c
3) Привести преобразования электрического и магнитного полей
при преобразованиях Лоренца.
v
v
E 'z  H 'y
E 'y  H 'z
'
c
c
; Ez 
; Hy  Hy
E x  E'x ; E y 
2
2
v
v
1 2
1 2
c
c
v
v
H 'y  E 'z
H 'z  E 'y
c
c
Hy 
; Hz 
2
v
v2
1 2
1 2
c
c
Теоретические вопросы
1. Сформулировать постулаты Эйнштейна.
2. Почему частица с m0  0 не может двигаться быстрее скорости
света? Со скоростью равной скорости света?
3. Возможна ли скорость, превышающая скорость света?
4. Доказать, что частица с массой покоя 0 должна иметь скорость
равную скорости света.
5. В чем суть парадокса близнецов.
6. Где применяются динамические следствия СТО?
7. В чем заключается эффект Доплера.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 67-79 с.
13
Практическое занятие № 3
Тема: Законы фотоэффекта. Эффект Комптона.
Цель занятия: Изучить законы квантовой теории излучения.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1)
2)
3)
4)
Порядок проведения занятия:
повторить теоретический материал;
решить типовые задачи;
решить самостоятельно предложенные задачи;
опрос по теории.
Основные теоретические положения.
1) Законы Столетова.
2) Гипотеза Эйнштейна: электромагнитная энергия
распространяется в виде отдельных порций (квантов) – фотонов с
энергией.
   h  h
c

 
3) Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
  A 
mv 2
2
Работа выхода
A  h êð  h
c
êð
,
mv 2
- кинематическая
2
энергия электрона при вылете.
mv 2
 eU 3  e , где U3 – задерживающая разность
2
потенциалов,  - потенциал металлической поверхности при
длительном освещении.
4) Эффект Комптона (изменение длины волны при рассеянии
рентгеновского излучения на свободных электронах).
12
’, ’

, 
0
pe
Рис. 3.1
  '  
h
1  cos 
me с
’ - длина волны рассеянного излучения,
 - длина волны падающего излучения,
me – масса электрона,
 - угол рассеяния.
5) Давление света p  hn1 
   (1   ) 
I
c
W
1   
S t c
 - коэфф. отражения, n – концентрация фотонов, I –
интенсивность волны.
Типовые задачи
1. 19.14В. Найти работу выхода, максимальную скорость и
задерживающий потенциал, если кр = 2750 А, а свет имеет  =
1800 А.
c
mv 2
c
 h  A  e m  eU 3
2

кр = 2750 А,
Ah
 = 1800 А,
m = 910-31 кг.
e = 1.610-19 Кл.
c = 3109 м/с.
h = 6.610-24 Дж.с
A–?
vmax - ?
U3 - ?
êð
;
13
2.
19.32B. Найти энергию рассеянного кванта при наблюдении
эффекта Комптона, если при  

энергия электрона равна
2
половине начальной энергии кванта.
 = E e +  ’
h
1  cos 
mc
 = 2’  ’ = 2,
c
 ’ = h
'
   
’
E e =  ’
T

2

 ’ – ?

pe
3.
Рис. 3.2
19.26B. Найти давление света на стенки электрической 100 –
ваттной лампы. Колба лампы представляет собой сферический
сосуд радиусом 5 см. Стенки лампы отражают 4% (и 6 %
пропускают) падающего на них света. Вся мощность идет на
излучение.
Дано:
N = 100 Вт.
r = 0.05 м.
I отр
I0
 4 00
I погл
 90 0 0
I0
p-?
F-?
I отр
1   1
с
I
pпогл  погл 1   0
с
p = pотр + pпогл
отр = 1 погл = 0
F = p 4r2.
pотр 
Задачи для самостоятельного решения.
1) Вывести формулу для эффекта Комптона.
’


m0 c 2  h  h   p 2 c 2  m02 c 4


 h 
h
 p
c
c
Рис. 3.3
14
Закон сохранения энергия - импульса в рамках СТО, для
электрона первоначально покоившегося.
Возведем в квадрат.
(m0c2 + h - h’)2 = p2c2 + m02c4
h  h 2  p 2 c 2
m02c4 + h22 + h2’2 + 2m0c2h - 2m0c2h’ – 2h2’ = p2c2 + m02c4
h22 + h2’2 – 2h2’cos  = p2c2
Приравняем левые части
h22 + h2’2 + 2m0c2h - 2m0c2h - 2m0c2h’ - 2h2’ = h22 + h2’2 –
2
2h ’cos 
c
c c 
1  cos 
 h
 
   
h
1  cos 
m0c(’ - ) = h(1-cos  )      
m0 c
h
  - комптоновская длина волны. Очевидно, что эффект
m0 c
m0c2( - ’) = h’(1 – cos  ) m0 c 
2
максимален для частиц наименьшей массы (при наличии у них заряда).
2) Оценить  по порядку величины.

6,6  10 34
 0,25  10 11 м
31
8
9  10  3  10
То есть эффект заметен лишь для рентгеновского излучения.
3)Вывести формулу для давления света
 p
fl 
- сила, возникающая под действием одного фотона.
t
F = fl N
N = nSct; p  
pl 
F
S
ct
h
, если поглощен
c
фотон.
p l  2
n
h
, если отражен.
c
Рис. 3.4
15
S
F  hn1    w( 1   ) 
I
1   ,
c
где w- плотность энергии. I – интенсивность волны.
1) Работа выхода для лития А = 2,4 эВ. Каким будет потенциал
шарика радиусом 2 см, если его осветить светом с длиной волны
 = 510-7 м.?;
h
c
 A  e

Дополнительные задачи.: 19.5B; 19.7B; 19.10B; 19.15B; 19.25B;
19.27B; 19.33B.
Теоретические вопросы
1. Что такое фотоэффект?
2. Сформулируйте законы Столетова.
3. В чем отличие гипотез Планка и Эйнштейна.
4. Запишите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
5. Что такое дуализм?
6. В чем смысл эффекта Комптона?
7. На какую поверхность давление света больше на белую или
черную?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 378-385 с.
Практическое занятие № 4.
Тема: Теория атома водорода по Бору.
Цель занятия: Рассчитать характеристики траектории электрона в
водородном атоме.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить теоретический материал;
2) решить типовые задачи;
3) решить самостоятельно предложенные задачи.
Основные теоретические положения.
1) Постулаты Бора. 2) mvr = n  , где n = 1,2,3… - номер орбиты,
16
h
; m, v и r – масса, скорость, и радиус орбиты электрона.
2
mvr = n 
mv 2
ze 2

- II з-н Ньютона для водородоподобного атома
2
4 0 r 2

3)
E
mv 2
2
 ze 2 
 - энергия электрона в водородоподобном атоме
  
 4 0 r 
1 
 1
 2,
2
m 
n
4) Формула Бальмера – Ридберга:   R
где  - частота фотона, R = 3,31015 Гц – постоянная Ридберга,
n – номер орбиты на которую переходит электрон, m – номер
орбиты, с которой переходит электрон.
5) Графическое преставление спектра энергии и спектра
излучения.
Ионизованное состояние
n=
n=5
n=4
n=3
n=2
серия
Бальмера
(видимая)
n=1
Рис. 4.1
Отметить:
1) Трудности с реальным соотношением энергий – график в
верхней части слишком плотно заполнен уровнями.
2) Каждому переходу соответствует своя частота излучения.
Типовые задачи
1) Вывести формулу для расчета скорости электрона в атоме
водорода.
17
mvr = n  mv 2 r 
ze 2

40
ze
mv 2
ze 2
n

v

,

40
2
40 r 2
1,6  10 19 
ze 2
1
v

  ì / ñ
5
12
 34
n
4 0 n
4  3,14  8,85  10  10
2
2) Вывести формулу для расчета радиуса орбиты электрона в
водородоподобном атоме ( используя результат предыдущей задачи).
n n 40 n 40  2 n 2



mv
mze 2
mze 2
4  3,14  8,85  10 12  (10 34 ) 2 2
 n ì 
2
9  10 31  1,6  10 19
r


3) Установить связь между кинетической и потенциальной
энергией электрона в атоме водорода, вывести формулу полной
энергии электрона.
mv 2
ze 2
ze 2
2
 mv 

r
40 r
40 r 2
E
mv 2 
ze 

  
2
 40 r 
подставляем предыдущий результат и получаем.
E
ze 2
80 r

ze 2
40 r

ze 2
80 r
, то есть E = -Ek , |Eпот| = 2Ek.
Используя предыдущий результат получаем
ze 2 mze 2
mz 2 e 4
1
E

 2 ( Äæ )
2 2
2 2 2
80 40 n 
32  0 h n
E1=13,6 эВ, 1эВ = 1,610-19 Дж.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Вычислить скорость, энергию и радиус орбиты для электрона в
ионизированном атоме гелия.
18
Использовать формулы, полученные в предыдущих задачах при
условии Z=2.
2) Найти частоту и период обращения для электронов в атоме
водорода и урана (при условии, что у урана остался один электрон)
T
2r
1 n
n
ze 2
 2T 
 2T
,
где
(или mv2 = 2 |E| )
v

v
v mv
mv 2
4 0 n
1
  ;Отметить, что T  10-16 (c),  = 1016 Гц, что очень сильно
T
отличается от параметров микромира.
3) Вывести формулу Бальмера – Ридберга.
Из закона сохранения энергии имеем
h = Em-En  

Em  En
mz 2 e 4  1
1 

 2 ,
3 2 3  2
2
64  0   n
m 
R – постоянная Ридберга.
Оценить величину R, отметить, что есть еще одна постоянная
Ридберга - для .
4) Вычислить максимальные и минимальные значения  и  для
серии Бальмера
1
 1
 1 1
  , min  R 2  2 
2

3 
2
2
 max  R
5) Определить потенциал ионизации атома водорода.
1 
 1
eU  h  h  2  2  , где n = 1, m =  .
m 
n
Дополнительно:
1) Теория для рентгеновских лучей (Формула Мозли):
1 
 1
 2  , где  - постоянная экранирования.
2
m 
k
  Rz   2 
2) Интенсивность  - лучей, прошедших через пластинку
толщиной x: I = I0 e-kx
Найти  для К – серии рентгеновских лучей, если антикатод сделан
из железа ( для K – серии k = 1, m = 2,  = 1)
Дополнительные задачи. 20.9B; 20.11B; 20.13B; 20.14B.
19
Вопросы по теории.
1) Обосновать необходимость планетарной модели, опираясь на
опыты Резерфорда по рассеянию  - частиц на фольге тяжелых
металлов.
2) Почему классическая физика не допускала существования
планетарной модели?
3) Сформулируйте постулаты Бора.
4) Как от номера орбиты зависит v,r и E?
5) В чем проявилось расширение понятия квантования в модели
Бора?
6) Есть ли связь между частотою обращения электрона и
частотою излучаемых фотонов.
7) При каких переходах излучается оптическое и при каких
рентгеновское излучение?
Объяснить происхождение линейчатого и сплошного спектров.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 386-393 с.
Практическое занятие №5.
Тема: Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля.
Цель занятия: Ознакомиться с волновыми свойствами микрочастиц и
правилами расчёта длины волны де Брой.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1)
2)
3)
4)
Порядок проведения занятия:
повторить теоретический материал;
решить типовые задачи;
решить самостоятельно предложенные задачи;
информация о порядке проведения контрольной работы.
Основные теоретические положения.
1) Гипотеза де Бройля – не только поле, но и вещество обладает
двойственными свойствами.
2)

h
h

p mv
20
3)
m0
m
1
5)
2
,4)
v
c2
Eêèï  e   e 
(m – m0)c2 = e
6)
E
 ( x, t ) 
p 2 c 2  m02 c 4  Eкип  m0 c 2
mv 2
при v << c;
2
при v  c.
k 0 
 Ae
i (t  kx )
dk
ko 
7) v 

k
, v ãð 
d
dk
Типовые задачи
1) Вывести  для релятивистской частицы с кинетической
энергией Ek.
h
,
p 2 c 2  m02 c 4  Ek  m0 c 2
p
2 2
p c  m02 c 4  E k2  m02 c 4  2m0 c 2 E k
1
p
E k ( E k  2m0 c 2 )
c

2) Сколько волн де Бройля укладывается на орбите атома
водорода с номером n?
mvr = n 

2r 2r  mv 2n
h


n
,N 

h
h
p
3) Вывести связь v и vгр.
v ãð 
dv
dv d
dv d 2
dv
d
d

(v  k )  v  k
 v  k
 v  k
( )  v  
dk dk
dk
d dk
d dk k
d
21
Задачи для самостоятельного решения.
1) Найти длины волны де Бройля  протона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов. U: 1) 1 КВ,2) 1 МВ.
p2
mv 2
m2v 2
 e  U1 
 1  p1  2meU1
2
2m
2m
h
e = 1,610-19 Кл.  
p1
1)
m = 1,610-27 кг.
2)

h

p
ch
Ek ( Ek  2m0 c 2 )
Ek = eU2
2) Определить длину волны де Бройля электронов,
бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница
сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны.  = 3
нм.
 h
c


p e2 c 2  m04
1 2
1 2 c2
2 4
pe 
  m0 c 
h 2  m02 c 4 ;
c
c

e 
h
pe
4) Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в
однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину
волны де Бройля  электрона.
В
mv 2
 evB  mv  erB
r
h
h
 
p erB
v
Fл
Рис. 5.1
5) На грань кристалла под углом  = 60 к ее поверхности падает
параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью.
Определить
эту
скорость,
если
электроны
испытывают
22
интерференционное отражение I порядка. Расстояние l между
атомными плоскостями кристалла равно 0,2 нм.
2dsin = k   = 2dsin;
h
h
 2d sin  ; v 
mv
2dm sin 

 
d
Рис. 5.2
Если v<<c, то решение завершено, если v > c, значит следует
учитывать зависимость массы от скорости.
6) Какую скорость регистрирует прибор – фазовую или
групповую?
7) Волновой
пакет
образован
двумя
плоскими
монохроматическими волнами. Найти фазовую и групповую скорость
y1  cos( 1002t  3x )
y2  cos( 1003t  3,01x )


  1
v1  1 , v2  2 v ãð  2
k1
k2
k 2  k1
8) Найти выражение для фазовой скорости v =  / k в
релятивистском и нерелятивистском случае.
т.к
v 
mv 2 v
h
E
 ,
имеем v 

2mv 2
hk
p
если v < c.
m0 c 2
v 
1
v2

c2

mv
1
c2
при v  c.
v
v2
c2
23
Теоретические вопросы
1)
Сформулировать гипотезу де Бройля.
2)
Записать формулу де Бройля.
3)
Что такое волновой пакет (группа волн)?
4)
Чем отличаются фазовая и групповая скорости?
5)
Что такое дисперсия?
6)
Можно ли наблюдать волновые свойства у объектов
микромира? Макромира? Каким образом?
7)
Оценить длину волны для человека и электрона в атоме
водорода.
В Заключительной части – информация о порядке проведения
контрольной работы и образцы заданий:
1) При увеличении Т черного тела в два раза длина волны max
уменьшилась на  = 400 нм. Определить Т1 и Т2.
2) Вычислить скорость частицы, если m = 3 m0.
3) Определить vmax для электронов, вылетающих из металла, если
после длительного освещения металл имеет потенциал U= 0,9 В.
4) Монохроматическое излучение с  = 500 нм падает нормально
на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силою F = 10 нН.
Определить число фотонов падающих на эту поверхность ежесекундно.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 393-396 с.
Практическое занятие № 6.
Тема: Контрольная работа № 1.
Цель занятия: Проверить усвоение пройденного материала.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) информация о порядке проведения контрольной работы.
2) выдача индивидуальных заданий;
3) выполнение контрольной работы.
Темы включенные в контрольные задания:
1)
Тепловое излучение.
2)
Специальная теория относительности.
24
3)
4)
Фотоэффект и эффект Комптона.
Давление света.
Примерные задания.
Варианты
I
II
III
IV
V
Номера задач [2]
34.11; 5.4; 35.3; 36.2
34.12; 5.12; 35.6; 36.4
34.13; 5.15; 35.2; 36.5
34.17; 5.27; 35.9; 36.10
34.21; 5.29; 35.4; 36.12
Практическое занятие №7.
Тема: Принцип неопределенности Гейзенберга соотношение
неопределенностей.
Цель занятия: Выработать навык в определении неточности измерения
физических параметров.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1)
2)
3)
4)
Порядок проведения занятия:
повторить теоретический материал;
решить типовые задачи;
решить самостоятельно предложенные задачи;
опрос по теории.
Основные теоретические положения.

2

y  p y 
2

z   p z 
2

E  t 
2
1) x  p x 
xi – неопределенность в
определении координаты,
pi – неопределенность в
определении импульса.
E – неопределенность в определении энергии в течение времени
t.
25
2) Принцип неопределенности Гейзенберга и принцип
дополнительности Бора.
Типовые задачи
1) 45.23 [2] Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ
находится в металлической пылинке диаметром d = 1мкм. Оценить
относительную неточность v, с которой может быть определена
скорость электрона.
9  10 31  9  1016
(эВ)  0,5 МэВ  T, значит v << c и
me c 
1,6  10 19
2
можно считать

p 2 m2v 2
2mT
2T
T

v

x  d , v 
2
2md
2m
2m
m
m
v
 m



v
2 md 2 T 2 d 2 mT
2) 45.25 [2] Считая, что x равна дебройлевской длине волны,
p
для этой частицы.
p


h
h
h
 x  p   p 
x 
  p
2
2 x
mv p
x
p
x
1


p
2 x   2 4
определить
3) Частица с импульсом p испытывает дифракцию на щели
шириной а. Доказать, что для нее выполняются неравенства
Гейзенберга, если считать, что частица отклоняется в области первого
максимума (дифракционного).
y

h
sin 

y sin   
p y  p sin  
x a sin   k
p y  y 
Рис. 7.1
26
h sin 


h

sin 
Задачи для самостоятельного решения.
1) 45.22 [2] Определить неточность в определении координаты
электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью v = 1,5106 м/с,
если неточность v составляет 10% от v. Сравнить результаты с
диаметром атома.
2) Во сколько раз дебройлевская длина  частицы меньше
неопределенности x ее координаты, которая соответствует
неопределенности импульса в 1%?
3) 46.26 [2] Используя соотношение неопределенностей оценить
минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном
потенциальном ящике шириной l.
4) 45.28 [2] Принимая, что минимальная энергия нуклона в ядре Е
равна 10 МэВ, оценить линейные размеры ядра.
5) 45.29 [2] Доказать (используя соотношение неопределенностей),
что электроны не могут находиться внутри ядра с диаметром
5 фм = 510-15м.
6) 45.31 [2] Масса пылинки m = 10-12 г. Можно ли установить,
наблюдая за движением пылинок, отклонения от законов классической
механики?  = 210 кг/м3, условия близкие к нормальным, пылинка –
шар.
7) Почему ширина спектральных линий отлична от нулевой?
E  t 
h
E  
2
8) Оценить Е для атома водорода
а) находящегося в основном состоянии.
б) в возбужденном и временем жизни  = 10-8с.
9) Оценить неопределенность массы и размеры для резонансных
состояний элементарных частиц с  = 10-23с. (Принять
E  mc 2 
p
)
2m
Вопросы по теории.
1) Сформулируйте принцип неопределенности Гейзенберга.
2) Каков смысл x, p, E и t в неравенствах Гейзенберга?
3) Можно ли использовать понятие траектории в квантовой
механике? Почему?
4) В чем смысл принципа дополнительности Бора?
5) Следствием чего являются ограничения на точность измерению?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 393-398 с.
27
Практическое занятие № 8
Тема: Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для
стационарных состояний.
Цель занятия: Ознакомить студентов с основами квантовой механики.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить аксиомы нерелятивистской квантовой механики;
2) рассмотреть конкретный пример поведения частицы в
потенциальной яме;
3) решить самостоятельно предложенные задачи.
Основные теоретические положения.
1) Уравнение Шредингера в общем виде:
dψ
h2  d 2
d2
d2 

 ψ  Û ψ , где i   1 ,
ih



dt
2m  dx 2 dy 2 dz 2 
h

, m – масса частицы,
2
Û - оператор потенциальной энергии,  - волновая функция.
d
 E  для
2) Стационарное уравнение Шредингера: i
dx 2
одномерного пространства


d 2 2m
 2 E  Uˆ   0
dx 2

3) Условие нормировки:
| |
2
dv  1
4) Используемые обозначения:
 d  d  d 

i
j  k - оператор Набла.
dx
dy
dz
2

d
d2
d2
   2  2  2  2 - оператор Лапласа.
dx
dy
dz
28
2

  Uˆ  Hˆ  , где Ĥ - оператор полной энергии –
2m
гамильтониан.
5) Свойства волновой функции и смысл ||2.
Типовые задачи
1) Найти волновую функцию частицы, находящейся в
одномерном потенциальном ящике (яме) с бесконечно высокими
стенками. Проанализировать полученные результаты.
U
U =
I
II
, x  0
0, 0  x  a
,   x  a
III
x
0
a
Рис. 8.1
Уравнение Шредингера для I II и III областей имеет вид:
d
 2 d 2
 E  
 
dt
2m dx 2
 2 d 2
во II области E  
2m dx 2
 2 d 2
 
в III области E  
2m dx 2
в I области
i
Очевидно, что решения в I и III областей получить стационарным
образом невозможно из-за бесконечности.
Однако, используя определение потенциальности на границах (в
точках х = 0 и х = а), получаем, что выходу частицы из области II
препятствуют бесконечно большие силы, значит можно из физических
соображений считать, что  I   III  0
В самом деле:
29
Fx
Fx
x0
U
  x
xa
U
  x
x0
xa

0
  .
 | x2  x1 |

0
 
| x2  x1 |
Решение во II области имеет вид:
  A sin(  x   ) , где  
2mE
2
Используя условие непрерывности волновой функции в точке x =
0, получаем
I
x0
  II
x0
 0  A sin     0,  ,2 ...
Выбираем  равным 0.
В точке х = а имеем
 II
xa
  III
xa
 0  A sin  , т.е.  = , 2, 3…n ,
где n 0, т.к. при  = 0
=0.
Из этого условия получается, что решения возможны только при
условии дискретности энергии.
 2 a 2  n 2 2
2mEa 2
 2 2n2
2 2
  n , т.е. E 
2
2ma 2
.
Остается найти А. Для этого, используем условие нормировки:

a
2
2
2
 |  | dx  1   | A | sin  x dx  1

0
1  cos 2 x
a
dx | A | 2  1 | A |
z
2
0
a
| A |2

Окончательно:
 | A | sin  x 
неопределенным множитель eip !).
Спектр энергии имеет вид:
30
2
a
2
sin  x
a
(остается
U
Е3
Е2
Е1
х
а
0
Рис. 8.2
En=E1n2, т.е. разность энергий Е растет с n, однако дискретность
проявляется с ростом n слабее т.к. важно не E, а
E 1
 .
E
n
2) Частица в потенциальном ящике находится в основном
состоянии (n = 1). Какова вероятность нахождения частицы: 1) в
средней трети ящика. 2) в крайней трети ящика?
2a
3
W1   |  | 2 dx 
a
3
a
3
2a
3
2
sin  x  dx  0,6
a a
3
W2   |  | 2 dx  0,2
0
Задачи для самостоятельного решения.
1) Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося
в водородоподобном атоме.
2) Написать
уравнение
Шредингера
для
линейного
гармонического осцилятора.
3) Найти решение уравнения i
4) Доказать, что в случае
только от координаты.
d
 E
dt
 e
31
 iEt

 (x)
вероятность зависит
5) Представить графики ||2 в случаях n = 1, n = 2, n = 3.
Вопросы по теории:
1. В чем проявляется принцип причинности в уравнении
Шредингера?
2. Может ли ||2 быть больше 1?
3. Чем отличается лапласовский детерминизм от квантового?
4. Сформулируйте аксиомы квантовой теории.
5. Что такое собственные значения и собственные функции
оператора.
6. Как формулируется принцип соответствия?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 398-407 с.
Практическое занятие № 9.
Тема: Квантовая модель атома водорода. Квантовые числа.
Цель занятия: Ознакомить студентов с особенностями движения
микрочастиц.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить теоретический материал;
2) решить типовые задачи;
3) решить самостоятельно предложенные задачи.
Основные теоретические положения.
1) Коэффициент прозрачности
De
De

2
2 m (U  E ) d
h
2

h
для прямоугольного барьера.
d

2 m (U  E )dx
0
.
2) Уравнение Шредингера.
i
d
2 2
 E  
   Uˆ
dt
2m
32
2 2
ze 2
E  

.
2m
40 r
3)
1 d  2 d  1  1 d 
d
1 d 2

r

sin





d sin 2  d 2
r 2 dr  dr  r 2  sin  d 
4)
dW   n,e,m r , ,   dV
  2m
  2 E  U   0
 
2
dV  r 2 sin  d d dr
1
 100 (r ) 
a 3

r
a
e ;
r
r 

2  e 2 a ;

a
4 2a 3 
40 
a
 53  10 9 м – Боровский радиус.
2
me
Le   e(e  1) Ls   s(s  1)
Le, z  me L s , z  m s
 200 r  
1
Типовые задачи
1) Составить систему уравнения для нахождения коэффициента
прозрачности в случае прямоугольного барьера конечной ширины и
высоты.
y = En
 2 d 2
2m dx 2
 2 d 2
II) ( E  U )  
2m dx 2
 2 d 2
III) E  
2m dx 2
I) E  
E
I
II
0
III
d
Рис. 9.1
33
2mE
2
 1  A1e i x  B1e i x 1 
1
1
2m(U  E )
2
 2  A2 e i x  B2 e  x  2 
2
2
 3  A3 e i x  B3 e i x
1
1
Условие неразрывности:
1
2
x0
 2
3
x0
;
 1'
x0
  2' ( x  0)
 2'
  3' ( x  a )
xa
xa
xa
A1 + B1 = A2 + B2
-i1A1 + i1B1 = - 2A2 +  2B2

;
A2 e  2 a  B2 e  2 a  A3 e  i1a
  2 A2 e  2 a   2 B 2 e  2 a  i 1 A3 e  i1a
B3 = 0, т.к нет причин в III области для возникновения обратной
волны.
Коэффициент прозрачности
Коэффициент отражения
D
| A3 | 2
| A1 | 2
| B1 | 2
| A1 | 2
2) 46.78 (ч). Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую
разность потенциалов =10 КВ. Во сколько раз отличаются De и Dp ,
если высота барьера U = 20 кэВ, а
d = 0,110-12 ?

2
De e 
 2

Dp
e 
2 me (U  e )d
2 m p (U  e )d
 74
3) Доказать, что волновая функция электрона в атоме водорода
распадается на два сомножителя.
34
1 d  2 d  1
r

r 2 dr  dr  r 2
 1 d 
d 
1 d 2  2m 
ze 2 
  0 
 2  E 
 sin 


2
2 
d  sin  d   
40 r 
 sin  d 
 2m
 1 d 
d  2 d   ze 2
d 
1 d 2 
 E  2 r 2  
r
  
 sin 


dr  dr   40 r
d  sin 2  d 2 
 sin  d 

Если переставить (r,,) в виде R(r)V(,), то разделив левую и
правую часть на ( r,,), получим:
d 2 R 2 dR 
2 l (l  1) 

  

R  0 , где
2
r dr 
r
dr
r 2 
 02, 4V  l (l  1)V (т.е угловая часть – собственная функция L)
момента импульса, принимаем без доказательства).
4) При малых r найти асимптотическое решение для функции R.
Введем   r  R , тогда
d 2 R 2 dR 
2 l (l  1) 

  

0 
2
r dr 
r
dr
r 2 
d 2 
2  l (l  1) 
  

 (r )  0
2
r
dr
r 2 

При малых r слагаемыми с  и  можно пренебречь по сравнению
l (l  1)
с
r2
d 2  l (l  1)

 . Ищем решение в виде  (r )  r  .
2
2
dr
r
 2
 (  1)r  l (l  1)r  2  0   (  1)  l (l  1) , решение
возможно, если:
1)
1 = -l
2)
2 = l + 1Решение конечно, если   r
5) Атом водорода находится в основном состоянии.
( l 1)
  Ce

| |
2

r
a
. Найти С из условия нормировки.
4r 2 dr  1 Интегрируя дважды получаем C 
0
35
1
a 3
.
6) Найти полный момент импульса, если l=3, S 
3
.
2
Используем jmax = l + S,
jmin = l – S
Возможные значения отличаются на 1.
Самостоятельно – записать уравнения для случая E > U0
Вопросы по теории.
1) Отличаются ли энергии в строгой теории и теории Бора?
2) Что соответствует боровской орбите в теории Шредингера?
3) Как выглядит условие нормировки.
4) Сформулируйте смысл 4х квантовых чисел.
5) Сформулируйте правило сложения моментов в квантовой
механике.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 404-412 с.
Практическое занятие № 10.
Тема: Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Теория
теплоемкости по Эйнштейну.
Цель занятия: Рассмотреть основы квантовой теории системы частиц.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1.
2.
3.
4.
1)
2)
3)
4)
5)
Порядок проведения занятия:
повторить теорию;
решить типовые задачи;
самостоятельное решение задач;
опрос по теории.
Основные теоретические положения.
Принцип Паули.
Принцип минимальности энергии.
Квантовые числа, их смысл, значения.
Конфигурация электронных оболочек.
Классическая теория теплоемкости (закон Дюлонга-Пти)
C  dU
dT при m=µ.
36
C  3R( TE ) 2 
E 

K
exp(
E
T
)
E
(exp T 1 ) 2
- характеристическая температура по Эйнштейну.
Типовые задачи
1)Сколько возможных состояний у электрона с главным
квантовым числом n и орбитальным ?
- ,…-1, 0, 1,…  2 +1
и удвоение из-за спина
N=2(2 +1)
2)Сколько возможных состояний у электрона с
фиксированным значением n?
3)Записать конфигурации первых атомов (в таблице
Менделеева)
Пример: 1s22s2р
4) Объяснить на примере Na особенности оптического спектра
щелочных атомов.
Для последнего электрона
5) Записать энергию молекулы при учете колебательного и
вращательного движения атомов
E  Ee  E  Er , где
37
Ее – энергия электронов;
E  (  12 ) , -колебательная энергия молекулы.
υ- квантовое число 0, 1, 2…
Еr – вращательная энергия молекулы.
Er 
I 2 2


L2
2I
 2 j ( j 1)
2I
, где
I-момент инерции молекулы;
j-квантовое число момента импульса (j=0, 1, …).
Правила отбора:
6)Вывести формулу Дюлонга-Пти.
При m=µ U  2i kT  N A  3RT , т.к. 3 колебания, каждому
соответствует согласно теореме




E  Ek  En  2  kT2 ; Ek  En
C  dU
dT  3R
7)Считая известной энергию квантового осциллятора
 n  (n  12 ) , вычислить среднюю энергию.
Вероятность Pn, если считать, что верно распределение Больцмана
Pn 
Nn
N


 n
e kT


 n
e kT
n
38
Средняя энергия по определению

    Pn   n 

ne
n 0


n
 n
kT
 12 

 n
e kT
n 0
d
dx
Используем равенство
ln y 
y
y
и преобразуем I слагаемое
следующим образом:


n 0
ne


 n
kT

 
 n
e kT
d
d ( kT )
ln  (e

 nkT
)
n 0
n 0
Используем равенства:

 (e

 nkT
)
n 0
Окончательно
  


e kT
1
d
1
 n 
1 e kT
; dx
(ln 11e  x )  
1
  1
e kT
 12 
8)Рассчитать внутреннюю энергию и молекулярную теплоемкость,
используя   
U  3N     ; 3 из-за того, что 3 направления колебаний.
3 N A
 32 N A 
При m=µ U  

e kT 1

C
dU
dT

3 N A e kT ( 

( e kT

kT 2
)

3N A

( e kT
1) 2
1) 2
9)Найти С при высоких и низких температурах
T – велико;
C

kT
3 N A 2 2
kT 2 ( kT ) 2
При низких T,
 1 ; e

kT
1

kT
 3kN A  3R
kT  
39

 e kT  ( kT2 )
2
2
C
3N A

e kT
 kT2 
2
2
k E     E 
3 N A (  ) 2
kT 2

kT
e
 kT
, - характеристическая температура по
Эйнштейну.
Дополнительные задачи [2]. 50.8; 50.13; 50.14
Вопросы по теории
1) Какие принципы использованы при построении таблицы
Менделеева?
2) Чему равно максимальное число электронов в оболочке и слое?
3) Чем отличается классическая теория теплоемкости от квантовой
теории Эйнштейна?
4) Какие недостатки у классической теории теплоемкости?
5) Какие недостатки у теории Эйнштейна?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 377-383 с.
Практическое занятие № 11.
Тема: Квантовая теория свободных электронов в металле.
Цель занятия: Изучить особенности квантовой теории теплоёмкости.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) вывести формулы для расчёта теплоёмкости в теории Дебая;
2) решить самостоятельно предложенные задачи;
3) опрос по теории.
1)
2)
3)
4)
Основные теоретические положения.
Теория теплоемкости Дебая.
Электронный газ в металлах.
Распределение Бозе-Эйнштейна.
Распределение Ферми-Дирака.
40
Типовые задачи
1. Вычислить число стоячих волн в объеме L в интервале от  до
d
Условие образования стоячей волны вдоль оси X:
Lx  n x  x 
x 
nx vx


2nv x
x
2n x v x
2v
 d x 
dn x v x  v y  v z  v
Lx
Lx
dN  dnx dn y dnz 
( Lx Ly Lz )
(2v)3
dx d y dz 
V
 2 d
2

d


4


V
(2T )3 v 3
2 2v 3
2. В твердом теле могут одновременно распространяться
продольная и 2 поперечных волны. Если в единице объема n атомов, то
как связана величина max с n ?
 2 d
 число колебаний в интрвале d
2 2 v 3

3
 max
3
3  n   dN  

  max  v 3 6 2 n
2 3
3
2

v
0
dN   3 
max
3. Вычислить
кристалла.
внутреннюю
энергию
единичного
 m

3
   2 d
9n
1
U    dN       h
 3 2 3  v 3  m2  3

2
2

v
6

n


m
0
e kT  1 

 U0 
9 n
 m3
m
 d
0
e kT  1

m

1
  2  
0

объема

  2
 d 
e  1

kT
3

3

U 0  3n  m  - энергия нулевых колебаний в кристалле.
8

4. Определить теплоемкость единицы объема кристалла.
dU 9n
C

dT  m3
m

0
e
e



kT
h
kT
  4 d
2

 1 kT 2

;
5. Найти С для случаев T >>  и T <<  .
41
Д 

- температура Дебая
k

а) Т <<
C
 e kT >> 1
9n e
 m3



kT

kT
 4 d
~ T 3
2
kT

kT
U  U o  3nKT C  3nK
б) T >>  e
 1
Задачи для самостоятельного решения.
1) Вычислить удельную теплоемкость цинка по классической
теории  = 91 кг/кмоль.
2) Вычислить по классической теории удельную теплоемкость
Cu2O.
 Cu  64 кг кмоль
 O  16 кг кмоль
3) Определить относительную погрешность, если вместо С по
Эйнштейну использовать классическое значение С. Считать, что T =  .
 E 
E
3
eT
C Э  3R 
2
 T   E

 e T  1




4) Вычислить удельную теплоемкость селена при T1 = 3 K и
T2 = 300 K.
 Д  90 K T   Д ; с  3R T << Д
3
 T
12 4  T 
C
R
 234 R
 

5
 Д
 Д




3
5) Определить максимальную энергию фотона в кристалле, для
которого  Д  200 K . Какое количество фотонов с максимальной
энергией возбуждается в среднем при 300K?
42
Д 
h max
 i  k Д N i 
k
1
i
e kT  1
Теоретические вопросы:
1) Записать классическое распределение Больцмана.
2) Какие частицы называют бозонами и фермионами?
3) Какие частицы – бозоны или фермионы подчиняются
принципу Паули?
4) Записать распределение Бозе-Эйнштейна.
1
Ni 
e
( Ei   )
kT
1
N i - среднее число бозонов b состоянии с энергией Еi,  химический потенциал (определяется только температурой и
плотностью числа частиц).
5) Записать распределение Ферми – Дирака.
1
Ni 
e
( Ei   )
kT
1
6) Представить распределение Ферми – Дирака графически.
7) Что означает термин “вырождение”?
8) Электронный газ в металле является вырожденным или
невырожденным при комнатной температуре?
9) Что такое энергия Ферми и поверхность Ферми?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 434-439 с.
Практическое занятие № 12.
Семинарское занятие
Тема: “Нерелятивистская квантовая механика” (коллоквиум)
Цель занятия: Проверить степень усвоения квантовой теории.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
43
Порядок проведения занятия:
1) при необходимости консультация по возникшим вопросам;
2) опрос по теории в соответствии с перечнем вопросов.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Гипотеза де Бройля.
2) Неравенства Гейзенберга и их смысл. Принцип
дополнительности Бора.
3) Уравнение Шредингера. Смысл и свойства волновой функции.
4) Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
5) Прохождение частицы через потенциальный барьер.
6) Квантовый осциллятор. Энергетический спектр и спектр
излучения.
7) Атом водорода в теории Шредингера.
8) Спектр излучения щелочных атомов.
9) Молекулярный спектр излучения.
10) Молекула водорода.
11) Теория теплоемкости по Эйнштейну.
12) Теория теплоемкости по Дебаю.
13) Распределения Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака.
14) Зонная теория полупроводников. Собственная и примесная
проводимость.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 393-442 с.
Практическое занятие № 13.
Тема: Контактные явления.
Цель занятия: 1) Ознакомить студентов с квантовой теории
полупроводников.
3) Рассчитать основные характеристики ядер.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1)
2)
3)
4)
Порядок проведения занятия:
повторить теорию электропроводности полупроводников;
решение типовых задач;
повторить теорию строения ядра;
самостоятельно рассчитать основные характеристики
конкретных ядер.
44
1.
2.
3.
4.
Основные теоретические положения.
Зонная теория проводников, полупроводников и диэлектриков
(графическое представление).
Контактные явления в полупроводниках. Диоды и триоды.
Атомное ядро и его характеристики.
Энергия связи.
Типовые задачи
1) Оценить значение энергии Ферми для полупроводников ( в
рамках зонной модели) – энергию электронов в валентной зоне будем
считать равною 0, а энергию в зоне проводимости E1.
Приравнивая вероятность обнаружения электрона на уровне E1
вероятности его отсутствия на уровне E = 0, получаем
1
e
e
 EF
kT
e

 1   e

 E1  2 E F 
kT
( E1  E F )
kT
( E  EF )
kT
 1
1
 EF
kT
1
e
1
EF
E1  E F
  kT

 1 e
 1  e kT  1 


 1  E1  2 E F ;  E F 
E1
2
2) Записать вероятность перехода в зону проводимости для
донорной примеси.
3) Записать вероятность перехода электрона из валентной зоны на
акцепторный уровень.
4) Представить вольт - амперную характеристику
кристаллического диода для 2-х возможных вариантов включения.
5) Вычислить плотность ядерной материи считая, что R = 1,210-15
1/3
A м.

A
4 3
R
3
1 а.е.м = 1,6610-27 кг.
6) Вывести формулу для вычисления
использовании метода скрещенных полей.
45
массы
иона
при
R
R
B
Рис. 13.1
mv 2
 eU  v 
2
2eU
m
mv 2
 evB
R
2eU
eR 2 B 2
2 2 2
m
e R B m
m
2U
2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Найти дефект массы и энергию связи для
7
3
Li (вэВ) ,
Li = 7,01601 а.е.м.
mn = 1,00867 а.е.мmn = 1,00783 а.е.м
m  Zm p  ( A  Z )mn   я
W  m  c 2
W

1эВ = 1,610-19 Кл.1В = 1,610-19 Дж.
A
2) Вывести формулу для расчета энергии связи через массы
атомов (а не ядер!); Используем mат = mя + Zme.
3) Доказать, что тяжелым ядрам выгодно деление, а легким
синтез.
4) Какая энергия выделяется при объединении 2 х протонов и 2 х
нейтронов?
5) Определить отношение сечений 1/ ядер
алюминия
27
13
Al ,  = r2, где r = r0 A1/3
46
209
83
Bi и
6) Ядро
234
93
Np захватило электрон из K оболочки и испустило  -
частицу. Ядро какого элемента получилось в результате этих
превращений?
7) Какую часть от объема кобальта составляет объем его ядра?
 = 4,5103 кг/м3.
8) Какие возможные значения спина (в единицах  ) могут иметь
ядра
2
1
H , 13 H , 23 He , 24 He .
Теоретические вопросы.
1) Чем
отличаются
в
зонной
модели
проводники,
полупроводники и диэлектрики?
2) Как выглядит график зависимости электропроводности
полупроводника от температуры?
3) Каковы особенности собственной и примесной проводимости?
4) Из каких частиц состоит ядро?
5) Что такое энергия связи и удельная энергия связи?
6) Как выглядит график  (А)?
7) Как связана кинетическая энергия нуклонов с удельной
энергией связи?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 442-448 с.
Практическое занятие №14.
Тема: Атомное ядро. Закон радиоактивного распада. Правило
смещения.
Цель занятия: Изучить законы радиоактивного распада.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) повторить теорию;
2) решение типовых задач;
3) самостоятельное решение задач.
Основные теоретические положения.
1) Закон радиоактивного распада N  N 0 e
N 0 - начальное число ядер,
47
 t
N – число ядер в момент t.
e = 2,7
 - постоянная распада.
0,69
T – период полураспада.
T
N  N 0  N - число ядер, распавшихся за время t.
dN
 N - число распадов за 1 секунду.
2) Активность A 
dT
m
3) N 
N A - число ядер содержащихся в массе m,  - молярная


масса.
4) Условие радиоактивного равновесия
1 N1  2 N 2     N N N
5) Принципиальные схемы распадов.
X  ZA42Y  24   - распад.
X  Z A1Y  10 e 00 ~
 - распады
A
Z
A
Z
A
Z
A
Z
X  Z A1Y  10 e 00 
X  ZA X  00   - распад.
Типовые задачи
1) Какой элемент получается из урана-238 после 3 х  и 2
распадов?
U 3 24   2 10 e  2~  ZAX
238
92
238 = 12 + А  А = 226
92 = 6 –2 + Z  Z = 88
226
88
X  226
88 Ra
2) Оценить возраст Земли, считая, что в урановой руде на 3 атома
урана приходится 1 атом свинца.
N  N 0 e  t

N
3

e
N0 3 1
0 , 69
t
T

3
4
48

0,69
3
(ln 3  ln 4)  4,5  10 9
сек.
t  ln  t 
T
4
0,69
Задачи для самостоятельного решения:
1) Какая часть начального количества атомов распадается за один
229
Th (Т = 7103 мт). N  N 0  1  e t
год в радиоактивном изотопе
N0
2) За один год начальное количество радиоактивного изотопа
уменьшилось в 3 раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года?
210
4
Po в течение 1 часа образовался He ,
3) При распаде
который при нормальных условиях занял объем 89,5 см 3. Определить Т
210
Po известной).
– полония (считая массу
4) Активность препарата за время t уменьшилось в К = 250 раз.
Найти
t
.
T
5) За время t = 1 сут. активность изотопа уменьшилась от
А1 = 118 ГБк до А2 = 7,4 ГБк. Найти Т.
6) Определить активность фосфора-32 массой 1 кг (Т = 14,3 сут.).
7) Определить массу m2 радона-222, находящегося в
радиоактивном равновесии с радием-226 массой m1 = 1 г.
TRh = 3,8 сут.
ТRa = 1,62103 лет.
22
8) 11 Na излучает -кванты с энергией  = 1,28 МэВ. Определить
мощность Р гамма-излучения и энергию W, излучаемую за время t = 5
мин изотопом массой m = 5 г. (считать, что при распаде излучается
лишь фотон).
9) Вывести закон, по которому изменяется число ядер дочернего
элемента, если он сам радиоактивен и в начальный момент его
количеств равно нулю.
dN1
 1 N1  N1  N 01e t1
dt
dN 2
 1 N1  2 N 2  1 N 01e 1t  2 N 2
dt
 t
Считая, что e 1  1
2 dN 2
 dt  2
2 N 2  1 N 01
49
N2
ln( 2 N 2  1 N 01 ) I  2 t
0
2 N 2  1 N 01
 e  t
 1 N 01
2
Теоретические вопросы:
1) Что такое радиоактивность?
2) Чем
отличается
искусственная
радиоактивность
от
естественной?
3) Запишите принципиальные схемы ,  и  - распадов.
4) Чем отличается электрон от позитрона?
5) Каковы свойства нейтрино?
6) Что такое активность препарата, и в каких единицах она
измеряется?
7) Как меняется радиация в зависимости от толщины
поглотителя?
8) Какое излучение является наиболее опасным?
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 424-437 с.
Практическое занятие №15.
ТемаЯдерные реакции.
Цель занятия: Изучить экзоэнергетические реакции деления и синтеза.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
1)
2)
3)
4)
Порядок проведения занятия:
повторить теорию;
решение типовых задач;
самостоятельное решение задач;
информация о порядке проведения контрольной работы.
Основные теоретические положения.
1) Энергия реакции
A1
Z1
X ( ZA22a ,ZA33 b ) ZA44 Y ( ZA22a ZA11 X ZA33 b ZA44 Y ) :
Q  ( ma  mx  mb  m y )c 2 .
50
Если Q > 0 реакция экзоэнергетическая
Q < 0 реакция эндоэнергетическая
2) Цепная реакция и условия ее осуществления.
пример
1
0
140
94
1
n 235
92 U  54 Xe 38 Sr  2 0 n
3) Реакция синтеза и условия ее осуществления.
пример: 1 H  1 H  2 He  0 n
2
3
4
1
Типовые задачи
1) Выразить Q через кинетические энергии участвующих частиц.
Используем закон сохранения энергии
E1  E2  E3  E4
m1c 2  T1  m2 c 2  T2  m3 c 2  T3  m4 c 2  T4 
Q  T3  T4  T1  T2
2) Рассчитать порог эндоэнергетической реакции.
Используем инвариантность 4-х мерного вектора энергии
импульса.
( p1  p 2 )2  ( p3  p 4 )2 / c  1 /
Левую часть вычислим в системе отсчета, где II частица покоится,
а I движется
( p1  p2 )2  2E1m2
Правую вычислим в системе центра масс:
2
( p3  p 4 )min
 ( m3  m4 )2
E1 min 
( m3  m 4 ) 2
2m2
3) Найти электрическую мощность P для а.э.с, расходующей 0,1 кг
235
U в сутки, если к.п.д = 16 %, Q1 = 200 мэВ.
Pt
Q

P
Q
t
m
0,1
Q  Q1  N  Q1  N A  200  10 6  1,6  10 19
 6  10 26 ( Дж )

235
t  24  3600( c )
4) Определить энергию реакции синтеза
2
1
H  13H  24 He  01n
51
Q  ( m2H  m3H  m4He  mn )c 2
mn  1,00867 а.е.м
m2 H  2 ,01410 а.е.м
m3H  3,01605 а .е.м
m4 He  4,00260 а .е.м
Задачи для самостоятельного решения
1) Какое вещество рождается в реакции
1
1
4
A
p  197
79 Au  2   Z Y
2) Определить энергию Q ядерной реакции
9
энергия связи Be равно 58,16 мэВ, а ядра
10
9
Be( n ,  )10 Be , если
Be - 64,98 мэВ.
n Be    Be
9
10
E
E
Q  ( mn  m9Be  m11Be )c 2  mn  4m p  5mn  9 Be  4m p  6mn  10 Be 2 c 2
c
c 
2

3) Вычислите температуру при которой возможно начало реакции
синтеза ядер водорода.
e2
 kT , где r  10 15 м.
40 r
4) Доказать, что при одинаковой массе реагирующего вещества
выход энергии в термоядерных реакциях выше, чем в реакции деления
урана.
Для частных случаев показать, что
Q
Q
для реакции синтеза выше
для реакции деления.
A
A
3
5) Определить массу атомов H зная, что Q для
2
H ( d , p )3 H равняется 4,03 мэВ
m2n  2,01410 а.е.м  md
m p  1,00783 а .е.м
6) Определить кинетическую энергию и скорость теплового
нейтрона при t = 27 C.
52
mn v 2
3
  kT 
2
2
10
7) Определить энергию распада ядер 6 C , выбросившего позитрон
и нейтрино.
mC  10,00168 а.е.м
mBe  10,01294 а.е.м
me  0,00055 а.е.м
8) Мощность а.э.с 10 МВт. Определить массовый расход топлива
принимая Q1 = 200 мэВ и  = 20 %. Какую долю энергии покоя
составляет выделяющаяся энергия?
9) e+ и e- с одинаковыми кинетическими энергиями 0,24 мэВ
превратили в 2. Найти .
Вопросы по теории.
1) Почему деления идущие спонтанно идут с меньшей
вероятностью, чем реакции деления под действием нейтронов?
2) Для чего разгоняют ядра легких элементов при проведении
реакций синтеза?
3) Какие недостатки у а.э.с? Достоинства?
4) Назовите преимущества реакций синтеза по сравнению с
реакциями деления.
5) Сформулируйте условия необходимые для осуществления
управляемых реакций синтеза.
6) При выполнении каких условий возможна цепная реакция?
7) Перечислите методы удержания плазмы.
Литература:
1.
Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 484-494 с.
53
Практическое занятие № 16.
Тема: Контрольная работа № 2.
Цель занятия: Проверить усвоение пройденного материала.
Время, отведённое на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1) информация о порядке проведения контрольной работы;
2) выдача индивидуальных заданий;
3) выполнение контрольной работы.
Темы включенные в контрольную работу:
Строение ядра,
Радиоактивность,
реакции деления,
реакции синтеза.
Примерный вариант контрольной работы: [2].
1) 40.14 Какую часть объема атома кобальта составляет объем ядра
  4,5  10 3 кг/м3.
2) Для реакции
 6Li  p  7Li Q  5,025 мэВ . Найти по
этим данным m6 Li считая остальные массы известными.
3) Какая энергия выделяется при делении всех ядер, содержащихся
в 1 г урана –235.
4) Доказать, что тяжелым ядрам выгодно деление.
54
Литература
1. Трофимова Т.И., Курс физики. М.: Высшая школа, 2002 – 541 с.
2. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа,
1988. – 527 с.
3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: «Наука»,
1969. – 464 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
3
1. Практическое занятие № 1
4
2. Практическое занятие № 2
7
3. Практическое занятие № 3
12
4. Практическое занятие № 4
16
5. Практическое занятие № 5
20
6. Практическое занятие № 6
24
7. Практическое занятие № 7
25
8. Практическое занятие № 8
28
9. Практическое занятие № 9
32
10.Практическое занятие № 10
36
11.Практическое занятие № 11
40
12.Практическое занятие № 12
43
13.Практическое занятие № 13
44
14.Практическое занятие № 14
47
15.Практическое занятие № 15
50
16.Практическое занятие № 16
54
55
Литература
55
54
56