гебра в Ð

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Изоморфизм колец. Гомоморфизм колец
Кольца K 1 и K 2 называются изоморфными, если можно установить
такое отображение h : K 1  K 2 , при котором для  x, y  K 1 : h x  y  
h  x   h  y  и h x  y   h x   h y  .
Задача 72. Доказать, что кольцо вещественных квадратных матриц
n -го порядка изоморфно кольцу линейных операторов n -мерного линейного
пространства V относительно фиксированного базиса l1 , l 2 ,  , l n  .
Решение. Пусть K – кольцо квадратных матриц n -го порядка с
вещественными элементами,  – кольцо линейных операторов n -мерного
пространства V над полем . Возьмем произвольный линейный оператор
   и рассмотрим его матрицу A относительно базиса l1 , l 2 ,  , l n  :
 a11 a12  a1n 
 a11 




 a 21 a 22  a 2 n 
 a 21 
A
, где 
– координатный столбец вектора
   
 




a
a

a
a
n2
nn 
 n1
 n1 
 l1  в базисе l1 , l 2 ,  , l n  ,
 a12 


 a 22 
   – координатный столбец вектора  l 2  в базисе l1 , l 2 ,  , l n  ,


a
 n2 
 a1n 


a


  2 n  – координатный столбец вектора  l n  в базисе l1 , l 2 ,  , l n  .



a
 nn 
Так как координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно, то
для оператора  в базисе l1 , l 2 ,  , l n  матрица A определена однозначно.
Обратно, пусть дана произвольная матрица
 a11 a12  a1n 


a
a

a

22
2n 
A   21
.
   


a
a

a
n2
nn 
 n1
Можно ли считать ее матрицей некоторого оператора  в базисе
l1 , l 2 ,  , l n  и есть ли еще оператор  , для которого матрицей в базисе
l1 , l 2 ,  , l n  будет та же матрица A ?
Построим векторы a1  a11 l1  a 21 l 2    a n1l n , a 2  a12 l1  a 22 l 2  
 a n 2 l n , …., a n  a1n l1  a 2 n l 2    a nn l n . Существует линейный оператор 
такой, что  l1   a1 ,  l 2   a 2 ,…,  l n   a n . Это оператор  : V  V .
x  x1l1    x n l n    x   x1 a1  x 2 a 2    x n a n .
Этот
оператор
линейный, так как   x  y     x     y  и   x     x  , где x, y  V ,   .
Этот оператор  имеет своей матрицей в базисе l1 , l 2 ,  , l n  матрицу
 a11 a12  a1n 


a
a

a

22
2n 
.
A   21
   


 a n1 a n 2  a nn 
Причем, этот оператор определяем однозначно. Действительно, если бы
существовал еще один линейный оператор  : V  V такой, у которого
матрицей была бы матрица A в базисе l1 , l 2 ,  , l n  , то мы имели бы
 a12 
 a1n 
 a11 
 x1 
 x1 






 
 
a
a
a
x






 
x 
 l1    21  ,  l 2    22  ,  ,  l n    2 n  и   x   A   2  , где  2  –











 
 
 a n2 
 a nn 
 a n1 
 xn 
 xn 
координатный столбец вектора x в базисе l1 , l 2 ,  , l n  . Но тогда,   x     x 
для  x V , т. е.  и  одинаковые.
Итак, множество квадратных матриц n -го порядка с вещественными
элементами взаимооднозначно отображается на множество линейных
операторов n -мерного пространства V над  с фиксированным базисом.
Матрицы можно складывать и перемножать. Операторы можно
складывать и перемножать. При этом, если A   , B   , то
A  B     , A  B     . Действительно,     x     x     x  и тогда
   li  
  li    li  и координатный столбец вектора    li  будет
суммой координатных столбцов векторов  li  и  li  , т. е. сумма i -ых
столбцов матриц A и B . Другими словами, для оператора    матрицей в
базисе l1 , l 2 ,  , l n  будет A  B . Аналогично доказывается и второй факт о
матрице произведения оператора:     x      x  .
Итак кольцо Mat n;  изоморфно кольцу линейных операторов
линейного n -мерного пространства V над  относительно данного базиса
l1 , l 2 ,  , l n  .
Задача 73. Проверить, будет ли гомоморфизмом отображение кольца
x на : если каждому многочлену из x поставить в соответствие его
младший коэффициент.
Решение. Зададим отображение h : f  a 0 x n  a1 x n 1    a n 1 x 
 a n  a n , т. е. h f   a n . Проверим верно ли: h f1  f 2   h f1   h f 2  .
Пусть:
f 1  a 0' x n  a1' x n 1    a n' 1 x  a n' , f 2  a 0" x n  a1" x n 1    a n" 1 x  a n" .
Тогда





 
f1  f 2  a 0'  a 0" x n  a1'  a1" x n 1    a n' 1  a n" 1 x  a n'  a n"

и
h f 1  f 2   a n'  a n" , h f 1   a n' , h f 2   a n" . Итак, h f1  f 2   h f1   h f 2  ,
т. е. h –гомоморфизм кольца x на поле , т. к. полный h –образ кольца
x совпадает с  (любое комплексное число может быть младшим
коэффициентом какого-то многочлена из x).
Идеалы. Главные идеалы
Подкольцо A кольца K называется левым (правым) идеалом этого
кольца, если оно вместе с каждым элементом a  A содержит также все
элементы вида ra a r  , где r пробегает кольцо K .
Другими словами, непустое подмножество A кольца K называется
левым (правым) идеалом, если
1) A –подгруппа группы K   ,
2) для любых r  K , a  A произведение ra  A a r  A .
Если A одновременно является и левым и правым идеалом в кольце K ,
то A называется двусторонним идеалом или просто идеалом.
Из определения следует, что не всякое подкольцо данного кольца есть
его идеал, но всякий идеал данного кольца есть его подкольцо.
Задача 74. Пусть K –кольцо и a  K . Доказать, что
A  x | x  ra, r  K 
является левым идеалом.
Решение. A  –подгруппа группы K   . Действительно, если x1  r1 a ,
x 2  r2 a , где r1 , r2  K , то x1  x 2  r1  r2 a  A ,  x1   r1 a  K , т. е. A –
подгруппа группы K   .
Пусть   K . Найдем x   ra    r a ,  r  K , т. е. x  A . По
определению, A –идеал кольца K .
Этот идеал называется идеалом, порожденным элементом a и
обозначается символом a  .
Задача 75. В кольце 10 найти идеал, порожденный элементом 2.
Решение. Искомый идеал J состоит из всех элементов вида r 2 , где
J  0  2, 1  2, 2  2, 3  2, 4  2, 5  2, 6  2, 7  2, 8  2, 9  2 
r  10 .
Итак,
 0, 2, 4, 6, 8  2  . Идеал a  называется главным идеалом кольца K .
a1 , a 2 ,  , a n  K .
A  x | x  r1 a1  r2 a 2    rn a n ,
Пусть
Тогда
ri  K  представляет собой левый идеал, порожденный элементами
a1 , a 2 ,  , a n , а B  y | y  a1 r1  a 2 r2    a n rn , r1 , r2 ,  , rn  K – правый
идеал. Если A  B , то говорят о главном идеале, порожденном элементами
a1 , a 2 ,  , a n . В этом случае главный идеал обозначается символом
a1 , a 2 ,  , a n  .
Задача 76. В кольце  найти идеал, порожденный элементами 6 и 15.
Решение. Искомый идеал J будет состоять из элементов вида
x  r1  6  r2  15 , где r1 , r2  . Тогда x  3r1  2  r2  5 , где r1  2 
 r2  5  . Заметим, что любое целое число a может быть представлено в
виде a  r1  2  r2  5 . Действительно, НОД 2, 5  1 , a 1 и поэтому
целочисленное уравнение a  r1  2  r2  5 с неизвестными r1 , r2 имеет
решение (сведения из теоремы чисел). Другими словами J  6;15  3 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.