Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»
Факультет информатики и вычислительной техники
Кафедра математического и аппаратного обеспечения информационных систем
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
_________________ А.Ю. Александров
«_____»_________________ 2013 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Квалификация (степень) выпускника 62 – бакалавр
Профиль Информационная безопасность организации
Форма обучения – очная
Учебный план 2013 года приема
Цикл дисциплин – Математический и естественнонаучный
Компонент цикла дисциплин – Обязательные дисциплины
Курс – 2
Семестр – 3
Всего часов – 144
Чебоксары - 2013
2
Рабочая программа основана на требованиях Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 090900 Информационная безопасность, утвержденного приказом Минобрнауки
28.10.2009 г. №496 и в соответствии с рабочим учебным планом, утвержденным проректором по учебной работе 13 декабря 2013 г.
СОСТАВИТЕЛЬ:
кандидат технических наук,
доцент
Н.Н. Иванова
ОБСУЖДЕНО:
на заседании кафедры МиАОИС факультета 03 декабря 2013 г., протокол №3
заведующий кафедрой
И.Т. Артемьев
ОДОБРЕНО:
методической комиссией факультета ИВТ 13 декабря 2013 г., протокол №3
декан факультета
СОГЛАСОВАНО:
начальник
учебно-методического управления
Б.М. Калмыков
М.Ю. Харитонов
3
1. Цель освоения учебной дисциплины
Целью дисциплины является изучение основных понятий и методов математической логики и теории алгоритмов, используемых в информатике и вычислительной технике.
Задачи: приобретение умений использования их для построения несложных логических моделей предметных областей, реализации логического вывода и оценки вычислительной сложности алгоритмов; получение представление о направлениях развития данной дисциплины и перспективах ее использования в информатике и вычислительной технике; изучение основ логики высказываний, логики предикатов и теории алгоритмов, специальной математической символики для выражения количественных и качественных отношений между объектами, основных методов и алгоритмов математической логики, связанных с моделированием и оптимизацией систем различной природы.
2. Место учебной дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной части математического и естественного цикла дисциплин.
Для освоения дисциплины «Математическая логика и теории алгоритмов» используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в ходе изучения основных
общематематических дисциплин.
Приобретенные в результате изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» знания, умения и навыки используются во всех без исключения естественнонаучных и инженерных дисциплинах, модулях и практиках ООП.
3. Компетенции студента, формируемые в результате освоения учебной дисциплины, ожидаемые результаты образования и компетенции студента по завершении
освоения программы учебной дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
общекультурных:
способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и
выбору путей ее достижения, владеть культурой мышления (ОК-8);
способностью к саморазвитию, самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11);
общепрофессиональных:
способностью использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, применять достижения информатики и вычислительной техники, перерабатывать большие объемы информации проводить целенаправленный поиск в различных
источниках информации по профилю деятельности, в том числе в глобальных компьютерных системах (ПК-2);
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные понятия, концепции, принципы логики высказываний, исчисления
высказываний, логики предикатов, теории алгоритмов.
Уметь: применять аппарат логики высказываний, логики предикатов для спецификации проектируемых информационных систем, символической записи определений и
теорем, доказательства корректности алгоритмических описаний; применять аппарат теории алгоритмов при анализе свойств алгоритмических описаний.
4
Владеть: положениями аппарата математической логики и теории алгоритмов для
постановки и решения практических задач.
4. Структура и содержание учебной дисциплины
4.1. Структура дисциплины
№
п/п
1.
Наименование
раздела
дисциплины
Классическая математическая логика
2.
Неклассические
логики
3.
Теория алгоритмов
Содержание раздела
Введение в математическую логику. Алгебра высказываний. Булевы
функции. исчисление высказываний. Логика предикатов. Исчисление предикатов.
Модальная логика. Нечеткая логика. Системы искусственного интеллекта
Машина Тьюринга. Рекурсивные
функции. Нормальные алгоритмы
Маркова. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Сложность
алгоритма
Формируемые
компетенции
(ОК, ПК)
ОК-8, ОК-11
ПК-1, ПК-2
ОК-8, ОК-11
ПК-1, ПК-2
ОК-8, ОК-11
ПК-1, ПК-2
4.2. Объем дисциплины и виды учебной работы
№№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Аудиторные
занятия
Семестр 3
Раздел 1. Классическая математическая
логика
Тема 1. Введение в математическую логику
Тема 2. Алгебра высказываний
Тема 3. Булевы функции
Тема 4. Исчисление
высказываний
Тема 5. Логика предикатов
Тема 6. Исчисление
предикатов
Тема 7. Логические
основы ЭВМ
Раздел 2. Неклассические логики
Тема 8. Модальная логика
Лекции
Практические
занятия
Лабораторные
занятия
Самостоятельная
работа
2
Контроль
самостоятельной
работы
Всего
часов
Из них
в интерактивной
форме
2
2
2
4
1
7
4
2
4
1
7
4
2
4
2
8
4
2
4
2
8
4
2
4
2
8
4
2
2
2
6
4
2
2
2
6
4
5
№№
п/п
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Аудиторные
занятия
Лекции
Тема 9. Нечеткая ло- 2
гика. Системы искусственного интеллекта
Раздел 3. Теория алгоритмов
Тема 10. Введение в
2
теорию алгоритмов.
Основные виды алгоритмических систем.
Тема 11. Машина
2
Тьюринга
Тема 12. Рекурсивные
2
функции
Тема 13. Нормальные
4
алгоритмы Маркова
Тема 14. Неразреши2
мые алгоритмические
проблемы
Тема 15. Сложность
2
алгоритма
Экзамен
Итого
32
Практические
занятия
Лабораторные
занятия
Самостоятельная
работа
Контроль
самостоятельной
работы
Всего
часов
Из них
в интерактивной
форме
4
2
8
4
4
2
8
4
4
2
8
4
4
2
8
4
4
2
10
4
2
2
6
4
2
2
6
4
48
36
62
38
144
58
2
2
Вид промежуточной аттестации: экзамен в 3 семестре, расчетно-графическая работа
в 3 семестре.
4.3. Темы занятий и краткое содержание
Тема 1. Введение в математическую логику. Логика и интуиция. Логика традиционная и математическая логика. История математической логики. Математическая логика
и современные ЭВМ. Формальная логика. Основные законы формальной логики. Логическая форма умозаключений. Примеры правильных и неправильных умозаключений.
Тема 2. Алгебра высказываний. Понятие высказывания. Операция над высказываниями: отрицание высказывания, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность высказываний. Союзы языка и логические операции. Конструирование сложных
высказываний. Понятие формулы алгебры высказываний (АВ). Логическое значение составного высказывания. Построение таблиц истинности для формул. Классификация формул алгебры высказываний. Тавтологии алгебры высказываний, их значение и основные
правила получения тавтологий. Понятие логической равносильности формул. Признак
равносильности формул. Примеры равносильных формул. Равносильные преобразования
формул. Равносильности в логике и тождества в алгебре. Понятие нормальных формул.
Совершенные нормальные формы. Представление формул АВ совершенными дизъюнктивными и конъюнктивными формами. Способы представления формул АВ к совершенной нормальной форме.
Тема 3. Булевы функции. Понятие множества. Включение и равенство множеств. Операции над множествами. Бинарные отношения и функции. Понятие n-арного отношения.
Происхождение булевых функций (БФ). БФ от одного и двух аргументов. Свойства логических операций. Выражение одних БФ через другие. БФ от n аргументов. Понятие БФ. Число
6
БФ. Выражение БФ через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. БФ и формулы АВ. Нормальные формы БФ. Система БФ. Полные системы БФ. Специальные классы БФ. Теорема Поста о полноте системы БФ. Релейно-контактные схемы и другие приложения теории БФ.
Тема 4. Исчисление высказываний. Первоначальные понятия. Система аксиом.
Правила вывода. Понятие формального вывода и его свойства. Теорема о дедукции и
следствия из нее. Применение теоремы о дедукции. Производные правила вывода. Выводимость формулы и ее тождественная истинность. Лемма о выводимости. Полнота исчисления высказываний (ИВ). Непротиворечивость ИВ. Разрешимость ИВ. Независимость
системы аксиом ИВ. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в ИВ: алгоритм Квайна, алгоритм редукции, метод резолюций.
Тема 5. Логика предикатов. Понятие предиката. Классификация предикатов. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов. Логические операции над предикатами: отрицание предиката, конъюнкция и дизъюнкция двух предикатов.
Свойства отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Кванторные операции над предикатами.
Квантор общности. Квантор существования. Численные кванторы. Область действия квантора. Понятие формулы логики предикатов (ЛП). Классификация формул ЛП. Тавтологии
ЛП. Понятие равносильности формул. Приведенная форма для формул ЛП. Предварительная нормальная форма для формул ЛП. Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул ЛП. Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде. Решение
проблемы для формул на конечных множествах. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном множестве. Проблема разрешения выполнимости. Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные. Решение проблемы для -формул и -формул.
Тема 6. Исчисление предикатов. Первоначальные понятия исчисления предикатов
(ИП). Система аксиом. Правила вывода. Теорема о дедукции. Применение теоремы о дедукции. Эквивалентные формулы ИП. Получение приведенных и нормальных форм формул ИП. Дедуктивная эквивалентность формул ИП. Нормальные формулы Сколема.
Оправданность аксиоматизации. Непротиворечивость формализованного ИП. Теорема
Гёделя о существовании модели. Полнота и адекватность формализованного ИП. Неполнота формализованного ИП в широком и узком смыслах.
Тема 7. Логические основы ЭВМ. Понятие логического элемента. Основные логические элементы. Построение функциональных схем.
Тема 8. Модальная логика. Основные определения. Основные логические операции. Модальные операторы. Основные модальности. Семантика Крипке.
Тема 9. Нечеткая логика. Основные определение. Понятие нечеткого множества.
Основные операции над нечеткими множествами. Лингвистическая переменная. Функция
принадлежности. Фаззификация. Дефаззификация.
Тема 10. Введение в теорию алгоритмов. Интуитивное представление об алгоритмах. Неформальное понятие алгоритма. Необходимость уточнения понятия алгоритма.
Тема 11. Машина Тьюринга. Основные узлы машины Тьюринга (МТ). Разновидности МТ. Функционирование МТ. Данные МТ. Элементарные шаги МТ. Применение
МТ к словам. Определение заключительного слова по заданному начальному слову и системе команд. Определение закономерностей в работе МТ. Конструирование МТ: задание
внешнего алфавита, множества состояний и системы команд. Композиция МТ. Определение функции вычислимой по Тьюрингу. Запись на ленте МТ значений аргументов функций. Стандартное начальное положение МТ. Запись результата вычислений на ленте. Правильная вычислимость функций на машине Тьюринге. Тезис Тьюринга.
Тема 12. Рекурсивные функции. Исходные функции. Определение операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Определения примитивно рекурсивных, частично рекурсивных и общерекурсивных функций. Тезис Чёрча. Примитивно рекурсивные функции. Примеры примитивно рекурсивных функций. Суперпозиция прими-
7
тивно рекурсивных функций. Определение примитивно рекурсивного предиката. Оператор условного перехода. Вычислимость по Тьюрингу примитивно рекурсивных функций.
Функция Аккермана. Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций. Частичная рекурсивность функций, вычислимых по Тьюрингу.
Тема 13. Нормальные алгоритмы Маркова. Определение марковской подстановки. Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Определение правильно вычислимой функции. Принцип нормализации. Совпадение класса всех нормально вычислимых
функций с классом всех функций, вычислимых по Тьюрингу. Эквивалентность различных
теорий алгоритмов.
Тема 14. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Нумерация алгоритмов.
Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по Тьюрингу функций. Проблема распознавания самоприменимости и применимости. Алгоритмически неразрешимые проблемы в общей теории алгоритмов. Теорема Райса.
Тема 15. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Временная и емкостная сложность. Асимптотическая сложность, порядок сложности, сложность в среднем и в худшем случае. Легко- и трудноразрешимые задачи. Недетерминированная машина Тьюринга. Языки и задачи. Классы задач P и NP. NP-полные задачи. Примеры NPполных задач. Полиномиальная сводимость и трансформируемость. Теорема Кука о NPполноте проблемы выполнимости формул логики высказываний.
Содержание практических занятий
Алгебра высказываний. Высказывания и операции над ними. Формулы АВ. Построение таблиц истинности. Тавтологии АВ. Равносильности формул. Отыскание нормальных форм. Применение нормальных форм. Решение «логических» задач.
Булевы функции. Число БФ. Равенство БФ. Свойства БФ. Полные и неполные системы БФ. Базисы БФ. Применение БФ к релейно-контактным схемам.
Исчисление высказываний. Построение выводов из аксиом. Теорема дедукции и ее
применение. Производные правила вывода и их применение. Проверки общезначимости и
противоречивости в ИВ с помощью алгоритма Квайна, алгоритма редукции и метода резолюций.
Логика предикатов. Понятие предиката и операции над предикатами Множество
истинности предиката. Равносильность и следование предикатов. Формулы ЛП, их интерпретация и классификация. Равносильность формул ЛП. Тавтологии ЛП. Равносильные преобразования формул. Проблемы разрешимости для общезначимости и выполнимости формул ЛП.
Исчисление предикатов. Построение выводов из аксиом. Теорема о дедукции и ее
применение. Получение приведенных и нормальных форм формул ИП. Дедуктивная эквивалентность формул ИП. Нормальные формулы Сколема.
Логические основы ЭВМ. Построение функциональных схем по структурным формулам. Получение структурных формул по функциональным схемам. Упрощение функциональных схем.
Нечеткая логика. Построение характеристических функций. Задание лингвистической переменной. Определение нечеткого множества. Основные операции с нечеткими
множествами
Машина Тьюринга. Применение МТ к словам. Конструирование МТ. Вычислимые
по Тьюрингу функции.
Рекурсивные функции. Примитивно рекурсивные функции. Общерекурсивные и
частично рекурсивные функции.
Нормальные алгоритмы Маркова. Марковские подстановки. Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Нормально вычислимые функции.
8
5. Образовательные технологии
В процессе преподавания дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» используются как классические, так и активные формы и методы обучения. Применение любой формы обучения предполагает также использование новейших IT-обучающих технологий.
При проведении лекционных занятий по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов» используются компьютерные и мультимедийные средства обучения, а
также демонстрационные и наглядно-иллюстрационные (в том числе раздаточные) материалы. Для внедрения интерактивной модели обучения в рамках лекционных занятий используются следующие методы и технологии: лекция с проблемным изложением, лекциявизуализация, метод «эвристической беседы» и др. При проведение практических занятий
используются следующие технологии: занятия семинары, метод «эвристической беседы»,
метод «мозговой штурм» и др.
Предусматривается проведения отдельных форм текущего контроля в виде тестирования.
№ темы
Тема 1. Введение в математическую логику
Тема 2. Алгебра высказываний
Вид
занятия
Используемые
интерактивные технологии
Всего
часов
лекция
лекция-визуализация
2
лекция,
практическое
занятия
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
лекция с проблемным изложением
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением
4
Тема 3. Булевы функции
лекция,
практическое
занятия
Тема 4. Исчисление высказываний
лекция,
практическое
занятия
Тема 5. Логика предикатов
лекция,
практическое
занятия
Тема 6. Исчисление предикатов
лекция,
практическое
занятия
Тема 7. Логические основы ЭВМ
лекция,
практическое
занятия
Тема 8. Модальная логика
лекция
Тема 9. Нечеткая логика. Систелекция,
мы искусственного интеллекта
практическое
занятия
Тема 10. Введение в теорию аллекция
лекция с проблемным изложением
горитмов. Основные виды алгоритмических систем.
4
4
4
4
4
4
4
4
9
№ темы
Тема 11. Машина Тьюринга
Тема 12. Рекурсивные функции
Тема 13. Нормальные алгоритмы
Маркова
Тема 14. Неразрешимые алгоритмические проблемы
Тема 15. Сложность алгоритма
Вид
занятия
Используемые
интерактивные технологии
лекция,
практическое
занятия
Лекция-визуализация, лекция
с проблемным изложением, «эвристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
лекция,
Лекция-визуализация, лекция
практическое с проблемным изложением, «эвзанятия
ристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
лекция,
Лекция-визуализация, лекция
практическое с проблемным изложением, «эвзанятия
ристическая беседа», занятия семинары, метод «мозговой штурм»
лекция
лекция с проблемным изложением
лекция
лекция с проблемным изложением
Итого
Всего
часов
4
4
4
4
4
58
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
6.1. Примерный перечень вопросов к зачету
Зачет учебным планом не предусмотрен.
6.2. Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Природа математической логики. Формальная логика. Основные формы мышления (понятие, высказывание, умозаключение). Простые и сложные высказывания. Основные законы формальной логики.
2. Понятие и структура аксиоматических систем.
3. Понятие и структура формальных систем.
4. Основные логические операции алгебры высказываний (АВ). Пропозиционная
переменная. Постоянные и переменные высказывания АВ.
5. Определение формулы АВ. Равносильность формул. Важнейшие примеры равносильных формул.
6. Двойственные операции и двойственные формулы АВ. Закон двойственности.
7. Проблема разрешения в алгебре высказываний.
8. Элементарные произведение и суммы. Теорема о тождественной истинности элементарной суммы. Теорема о тождественной ложности элементарного произведения.
9. КНФ и ДНФ. Преобразования формул алгебры высказываний к КНФ и ДНФ. Теорема о существовании КНФ и ДНФ формулы алгебры высказываний.
10. Критерии тождественной истинности и ложности формул алгебры высказываний.
11. СКНФ и СДНФ. Преобразование формул алгебры высказываний к СКНФ и СДНФ,
используя равносильности алгебры высказываний
12. СКНФ и СДНФ. Преобразование формул алгебры высказываний к СКНФ и СДНФ с
помощью таблиц истинности.
13. Понятие множества. Включение и равенство множеств. Операции над множествами. Бинарные отношения и функции. Понятие n-арного отношения.
14. БФ от одного и двух аргументов. Свойства логических операций.
15. Выражение одних БФ через другие.
10
16. БФ от n аргументов. Число БФ. Выражение БФ через конъюнкцию, дизъюнкцию
и отрицание.
17. БФ и формулы АВ. Нормальные формы БФ.
18. Система БФ. Полные системы БФ.
19. Специальные классы БФ. Теорема Поста о полноте системы БФ.
20. Применение БФ к релейно-контактным схемам.
21. Описание исчисления высказываний (ИВ). Символы ИВ. Формулы ИВ. Элементарные формулы ИВ, части формул ИВ.
22. Выводимые формулы ИВ. Аксиомы ИВ.
23. Правила вывода формул в ИВ (подстановки и заключения).
24. Некоторые составные правила ИВ (Правила силлогизма, перестановки посылок,
соединения посылок, разъединения посылок и т.д.).
25. Понятие выводимости формулы из набора формул ИВ. Теорема дедукции.
26. Эквивалентные формулы в ИВ. Теорема эквивалентности.
27. Непротиворечивость аксиом ИВ.
28. Полнота ИВ.
29. Алгоритмы проверки выводимости формул ИВ. Алгоритм Квайна.
30. Алгоритмы проверки выводимости формул ИВ. Метод редукции.
31. Алгоритмы проверки выводимости формул ИВ. Метод резолюций.
32. Описание логики предикатов (ЛП). Символы ЛП. Логические функции. Предикаты. Предметные области и предметы. Переменные высказывания и предикаты. Элементарные высказывания и элементарные формулы.
33. Кванторы всеобщности и существования. Свободные и связные переменные ЛП.
34. Равносильные и приведенные формулы ЛП. Теорема о существовании приведенной формулы.
35. Нормальные формулы и нормальные формы. Теорема о существовании нормальной формулы.
36. Проблема разрешения в ЛП. Выполнимые, тождественно истинные для некоторой области , тождественно истинные, невыполнимые формулы ЛП.
37. Решение проблемы разрешения для логики предикатов с одной переменной.
38. Разрешающие функции (функции Сколема) и теорема Лёвингейма.
39. Описание исчисления предикатов (ИП). Символы ИВ. Формулы ИВ. Части формул ИВ.
40. Кванторы ИП. Область действие квантора в ИП. Коллизия переменных в ИП.
41. Аксиомы ИП.
42. Правила образования выводимых формул в ИП: заключения, подстановки в переменное высказывание и переменный предикат.
43. Правила образования выводимых формул в ИП: замены свободной предметной
переменной, переименования связанных предметных переменных.
44. Правила связывания кванторами.
45. Непротиворечивость ИП.
46. Определение выводимости формул из набора формул в ИП. Теорема дедукции.
47. Эквивалентные формулы в ИП.
48. Приведенные и нормальные формы формул в ИП. Теорема о существовании
нормальной формулы в ИП.
49. Дедуктивная эквивалентность. Связь эквивалентности и дедуктивной эквивалентности.
50. Проблемы ИП (непротиворечивости, полнота в узком смысле, полнота в широком смысле).
51. Логические основы ЭВМ. Простейшие преобразователи информации. Структурная формула. Функциональная схема.
11
52. Модальная логика. Основные понятия.
53. Нечеткая логика. Основные понятия.
54. Определение алгоритма. Требования к алгоритмам. Стороны понятия алгоритма.
Алгоритмическая модель. Основные классы универсальных алгоритмических моделей.
55. Рекурсивные функции. Исходные функции. Операторы суперпозиции, рекурсии
и минимизации.
56. Определение примитивно-рекурсивных, рекурсивных и частично рекурсивных
функций. Примитивно-рекурсивный предикат. Тезис Черча.
57. Основные свойства рекурсивных функций.
58. Машина Тьюринга. Основные узлы, функционирование.
59. Функция, вычислимая по Тьюрингу. Функция правильно вычислимая по
Тьюрингу. Зацикливание машины. Эквивалентность и суперпозиция машин Тьюринга.
Тезис Тьюринга.
60. Нормальные алгоритмы Маркова. Определение алфавита, слова, пустого слова.
Объединение слов. Расширение алфавита. Понятие алгоритма. Схема алгоритма. Принцип
нормализации.
61. Нумерация алгоритмов, нумерация машин Тьюринга.
62. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем.
63. Характеристики сложности вычислений.
64. Классы задач P и NP.
6.3. Распределение самостоятельной работы
№№
п/п
1.
2.
4.
Самостоятельная работа
Подготовка к практическим занятиям
Самостоятельное изучение учебных вопросов
Подготовка к экзамену
Итого часов самостоятельной работы
Всего
часов
Семестр
5
13
13
36
62
13
13
36
62
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение учебной дисциплины
7.1. Рекомендуемая основная литература
№
1.
2.
3.
Название
Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов:
учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. – М.: ИНРФАМ; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. – 224 с.
Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие / И.А. Лавров,
Л.Л. Максимова. – 5-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2004. –
255 с.
Шабунин, Л.В. Математическая логика. Логика высказываний
и логика предикатов: учеб. пособие / Л.В. Шабунин, отв. ред.
А.А. Стакун. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. – 56 с.
Количество
единиц
в библиотеке
159
150
175
12
7.2. Рекомендуемая дополнительная литература
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Название
Тип издания
Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы,
учебное
графы: Лаб. Баз. Знаний / О.Е. Акимов. – 2-е изд.,
доп. – М.: Лаб. Баз. Знаний, 2003. – 376 с.
Верещагин, Н.К. Лекции по математической логике и
учебное
теории алгоритмов / Н.К. Верещагин, А. Шень. – М.:
МЦНМО, 2000. – 287 с.
Волгин, Л.И. Алгебраические логики: взаимоотношеспециализиния, законы и свойства: Новые технологии / Л.И. Волрованное
гин. М.: Новые технологии, 2003. – 24 с.
Гашков, С.Б. Арифметика. Алгоритмы. Сложность выучебное
числений: учеб. пособие для вузов с углубл. изучением
математики / С.Б. Гашков, В.Н. Чубариков. – 3-е изд.,
испр. – М.: Дрофа, 2005. – 319 с.
Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической
учебное
логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для вузов
по специальности «Математика» / В.И. Игошин. – 3-е
изд., стер. – М.: Academia, 2007. – 303 c.
Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритучебное
мов: учеб. пособие для вузов по специальности «Математика» / В.И. Игошин. – М.: Academia, 2004. – 447 с.
Колмогоров, А.Н. Математическая логика: учеб. посоучебное
бие для вузов мат. спец. / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. – М.: Изд-во УРСС, 2004. – 238 с.
Комбинаторика и логика: сб. ст. / сост. А.А. Егоров. – периодическое
М.: Бюро «Квантум», 2003. – 126 с. (Приложение к
журналу «Квант»).
Круглов, В.В. Нечеткая логика и искусственные
учебное
нейронные сети: учеб. пособие для вузов по специальности «Приклад. информатика (по областям)» /
В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. – М.: Физматлит, 2001. – 224 с.
Логика и комбинаторика: сб. ст. / сост. А.А. Егоров. – периодическое
М.: Бюро «Квантум», 2002. – 127 с. (Приложение к
журналу «Квант»).
Лыскова, В.Ю. Логика в информатике: метод. посоучебное
бие / В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. – М.: Лаб. Баз.
Знаний, 2004. – 158 с.
Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков, сост. и
специализиобщ. ред. Н.М. Нагорного. – М.: Изд-во МЦНМО,
рованное
2003. – 626 с.
Матрос, Д.Ш. Теория алгоритмов: учебник для вузов по
учебное
специальности информатика / Д.Ш. Матрос, Г.Б. Поднебесова. – М.: Бином. Лаб. знаний, 2008. – 202 с.
Наголкин, А.Н. Алгебра логики в золотом сечении.
специализиЕще один шаг в область нечетких логик и компьютеррованное
ного интеллекта / А.Н. Наголкин. – М.: Макс Пресс,
2006. – 181 с.
Количество
единиц
в библиотеке
10
10
10
10
42
261
10
1
3
10
20
10
10
3
13
№
Название
Тип издания
15. Новак, В. Математические принципы нечеткой логики:
Физматлит / В. Новак, И. Перфильева, И. Мочкорж;
пер. с англ. под ред. А.Н. Аверкина. – М.: Физматлит,
2006. – 347с.
16. Тель, Ж. Введение в распределенные алгоритмы /
Ж. Тель, пер. с англ. В.А. Захарова. – М.: Изд-во
МЦНМО, 2009. – 616 с.
17. Усков, А.А. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика / А.А. Усков, А.В. Кузьмин. – М.: Горячая линияТелеком, 2004. – 143с.
18. Боровская, Е.В. Основы искусственного интеллекта:
учеб. пособие / Е.В. Боровская, Н.А. Давыдова. – М.:
Бином. Лаб. знаний, 2010. – 127 с.
19. Системы искусственного интеллекта: практический курс:
учеб. пособие для вузов по специальности «Физика» /
В.А. Чулюков, И.Ф. Астахова, А.С. Потапов и др. – М.:
Бином. Лаб. Знаний; Физматлит, 2008. – 292 с.
20. Ездаков, А.Л. Функциональное и логическое программирование: учеб. пособие / А.Л. Ездаков. – 2-е изд. –
М.: Бином. Лаб. знаний, 2011. – 119 с.
21. Пегат, А. Нечеткое моделирование и управление /
А. Пегат; пер. с англ. А.Г. Подвесовского, Ю.В. Тюменцева; под ред. Ю. В. Тюменцева. – М.: Бином. Лаб.
знаний, 2009. – 798 с.
Количество
единиц
в библиотеке
специализированное
1
специализированное
1
учебное
5
учебное
9
учебное
9
учебное
10
специализированное
5
7.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Герасимов А.С. Курс математической логики и теории вычислимости: учебное пособие [Электронный ресурс]. URL: http://gas-teach.narod.ru/cmlct/CMLCT_3ed.pdf.
Талыпов К.К. Математическая логика и теория алгоритмов: конспект лекций [Электронный ресурс]. URL: http://poks.iip.kg/attachments/039_%D0%9C%D0%9B%D0%B8%
D0%A2%D0%90%28%D0%BB%29.pdf.
Самохин А.В. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное пособие [Электронный ресурс]. URL: http://vm.mstuca.ru/posobia/logic.pdf.
Галуев Г.А. Математическая логика и теория алгоритмов: учебно-методическое пособие [Электронный ресурс]. URL: http://www.matmex.spb.ru/download/0607/Soloviev/
tsure057.pdf.
8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
№
п/п
Номер
аудитории
Наименование специализированных аудиторий
и лабораторий
1.
В-302
Лекционная аудитория
Перечень
оборудования
ПК на 10 мест с
подключением к
сети Интернет,
проектор
Краткое описание
и характеристика
компьютерной
техники и средств автоматизации экспериментов
Power Point
14
Приложение 1
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ
ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Практические занятия направлены на расширение и детализацию знаний, полученных студентами на лекциях в обобщенной форме, а также на выработку и закрепление
навыков профессиональной деятельности. Главной целью практических занятий является
обеспечить студентов возможностью овладения навыками и умениями использования
теоретического знания применительно к особенностям изучаемой отрасли.
План практических занятий:
 вступление преподавателя;
 ответы на вопросы студентов по неясному материалу;
 практическая часть как плановая;
 заключительное слово преподавателя.
Важнейшей стороной любой формы практических занятий являются упражнения.
Основа в упражнении – пример, который разбирается с позиций теории, развитой в лекции. Как правило, основное внимание уделяется формированию конкретных умений,
навыков, что и определяет содержание деятельности студентов – решение задач, графические работы, уточнение категорий и понятий науки, являющихся предпосылкой правильного мышления и речи. Проводя упражнения со студентами, следует специально обращать
внимание на формирование способности к осмыслению и пониманию.
Цель занятий должна быть ясна не только преподавателю, но и слушателям. Следует
организовывать практические занятия так, чтобы студенты постоянно ощущали нарастание сложности выполняемых заданий, испытывали положительные эмоции от переживания собственного успеха в учении, были заняты напряженной творческой работой, поисками правильных и точных решений. Большое значение имеют индивидуальный подход и
продуктивное педагогическое общение. Обучаемые должны получить возможность раскрыть и проявить свои способности, свой личностный потенциал. Поэтому при разработке
заданий и плана занятий преподаватель должен учитывать уровень подготовки и интересы
каждого студента группы, выступая в роли консультанта и не подавляя самостоятельности
и инициативы студентов.
Курс математической логики требует от студентов умения абстрагироваться и грамотно оперировать математическими категориями. На практических занятиях можно использовать, так называемые «деловые игры», а также такие интерактивные технологии,
как метод «мозговой штурм», «эвристическая беседа» и др.
Основным в идеологии дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
является следующее. В математической логике: усвоение основных понятий, формул логики высказываний и предикатов, глубокое понимание аксиоматического метода построения формальных теорий и доказательства теорем. В теории алгоритмов: введение в проблематику теории вычислимых функций, понимание того, что такое эффективная вычислимость, вычислимая функция, усвоение методологии доказательства эффективной вычислимости на основе понятия рекурсивности и машины Тьюринга.
15
Приложение 2
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СТУДЕНТАМ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Основными задачами студента при изучении данной дисциплины являются усвоение
фундаментальных понятий и основных методов математической логики и теории алгоритмов, приобретение практических навыков решения задач и алгоритмического мышления.
Рекомендуется систематически повторять основные понятия и законы математической логики. Поддерживать навыки решения «ключевых» задач логики высказываний, логики предикатов, алгебры логики. При упрощений логических выражений рекомендуется
учитывать, в первую очередь, приоритетность логических связок. При доказательствах
рекомендуется использовать теоремы теории, задающие основные семантические следствия. Из многообразия существующих методов доказательств на истинность рекомендуется выбирать наиболее простой в терминах задачи, использовать таблицы истинности
рекомендуется только в простых выражениях, содержащих минимальное количество атомарных выражений. Перечисленные рекомендации позволят с успехом демонстрировать
знания и умения на промежуточных и итоговом формах контроля знаний.
Студенты очной формы обучения нормативного срока обучения изучают дисциплину «Математическая логика и теория алгоритмов» в течение 2 и 3 семестров. Виды и объем учебных занятий, формы контроля знаний, темы и разделы дисциплины, количество
лекционных часов и количество часов самостоятельной работы студентов на каждую из
тем приведены в п. 4.2 рабочей программы.
Самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины заключается в проработке каждой темы в соответствии с методическими указаниями, а также в выполнении
домашних заданий, которые выдаются преподавателем на аудиторных занятиях.