Частичный предел последовательности

Реферат на тему:
Частичный предел последовательности
План:
Введение




1 Определение
2 Обозначения
3 Примеры
4 Свойства
Примечания
Введение
Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её
подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых
последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу
единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной
последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных
пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы
последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы
характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов
последовательности.
Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.
1. Определение
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её
подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая
предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов.
В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить
бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно
положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно
или
.
Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных
пределов последовательности.
Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных
пределов последовательности.
Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных
точек, а верхним — наибольшую.[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.
2. Обозначения
Нижний предел последовательности


(в отечественной литературе);
(в иностранной литературе).
Верхний предел последовательности


:
:
(в отечественной литературе);
(в иностранной литературе).
3. Примеры




(в другой терминологии оба предела равны
)
4. Свойства

Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка,
и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой
некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел
последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний
пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать
и
допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы
существуют вообще у любой числовой последовательности.
Числовая последовательность
сходится к тогда и только тогда, когда

.
Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной



числовой последовательности
, начиная с некоторого номера, зависящего
от , лежат внутри интервала
.
Если за пределами интервала
лежит лишь конечное число элементов
ограниченной числовой последовательности
содержится в интервале
, то интервал
.
Примечания
1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов //
Математический анализ - sci-lib.com/book000401.html / Под ред. А. Н. Тихонова. —
3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. —
ISBN 5-482-00445-7