применение метода вихревых элементов к задаче торможения

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62-Механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(бакалаврская работа)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВИХРЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К ЗАДАЧЕ
ТОРМОЖЕНИЯ СФЕРЫ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
Работа завершена:
“___”__________ 2015 г.
_______________
(В. Е. Желнов)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
К. ф.-м. н.,
Ассистент кафедры аэрогидромеханики КФУ
“___”__________ 2015 г.
________________
(А.Н. Нуриев)
Заведующий кафедрой аэрогидромеханики КФУ
Д. ф.-м. н., профессор
“___”__________ 2015 г.
________________
Казань —2015
(А.Г. Егоров)
Оглавление
Введение ............................................................................................................ 3
1. Метод вортонов ............................................................................................. 5
2. Обоснование Vortex Method ........................................................................ 8
3. Постановка задачи ........................................................................................ 9
3.1 Определяющие уравнения ................................................................... 9
3.2 Граничные условия............................................................................. 10
4. Разработка программы ............................................................................... 11
4.1 Вложенные сетки, метод «деревьев»................................................ 11
4.2 Численные методы ............................................................................. 14
4.3 Взаимодействие с телом .................................................................... 15
4.4 Диффузия ............................................................................................. 16
4.5 Конвекция ............................................................................................ 17
4.6 Вычисление скорости по заданному полю завихренности ............ 18
5. Результаты ................................................................................................... 20
Заключение ...................................................................................................... 25
Литература ....................................................................................................... 26
~2~
Введение
Математическое моделирование особенно необходимо при решении задач
обтекания тел потоком жидкости или газа в таких отраслях как авиация,
гидромеханика, аэродинамика. Часто нам необходимо знать нагрузки,
действующие на тело, такие как подъемная сила, сила сопротивления,
момент и др. Основным способом их определения на протяжении многих лет
являлся эксперимент. В настоящее время накоплено огромное количество
экспериментальных данных, позволяющих определять точность результатов
математического моделирования, однако во многих случаях этих данных
недостаточно или достаточно дорого провести опыты.
Впервые в России исследования в области мат моделирования обтекания
профилей были проведены в начале XX века Н.Е. Жуковским. С
использованием теории функций комплексного переменного он получил
решение стационарной задачи о расчете безотрывного обтекания профилей
простых форм неограниченным потоком идеальной несжимаемой среды.
Именно Н.Е. Жуковский впервые смоделировал крыловой профиль в потоке
при помощи вихревого слоя, расположенного на нем. Им же в 1904 г. была
получена известная формула, которая связывает подъемную силу крыла и
циркуляцию поля скоростей вдоль профиля.
С развитием науки во второй половине XX века стало возможным
проводить вычислительный эксперимент. Это значительно сократило
расходы на опыты, позволило в кротчайшие сроки получать правдоподобную
картину течения на компьютере. Численные методы, которые используются
для анализа математической модели течения жидкостей и газов можно
разбить на два класса: сеточные и бессеточные (вихревые). Первые сейчас
хорошо развиты и с их помощью решают достаточно много задач механики.
Их главным недостатком является большие затраты вычислительных
ресурсов на проведение расчета. Также этот метод испытывает сложности
~3~
при решении задач аэрогидроупругости, это проявляется, когда обтекаемое
тело
деформируется,
тогда
требуется
на
каждом
временном
шаге
перепостроение эйлеровой сетки.
Целью же данной работы является моделирование бессеточного метода
вортонов для движения тела сферической формы в вязкой жидкости.
Основные задачи работы:
1. Дискретизация уравнений и граничных условий.
2. Написание программного комплекса.
3. Визуализация процесса с помощью модулей OpenGL.
4. Анализ полученных результатов.
~4~
1. Метод вортонов
Использование бессеточных методов с лагранжевой системой координат
оказывается более удобным. Тогда силовое воздействие движущейся среды
на тело должно быть выражено через характеристики вихревого поля. До
недавнего времени такие формулы существовали лишь для ограниченного
класса течений. Бессеточные лагранжевы или вихревые методы позволяют
моделировать течения несжимаемой среды, они способны решать широкий
класс задач аэрогидродинамики и аэрогидроупругости с достаточно большой
точностью и требуют меньших затрат машинного времени.
Исторически, моделирование с методами вихревых датируются 1930-х
годов, с расчетами Розенхеда. В течение нескольких десятилетий сетки
являлись единственным методом решения задач, однако с появлением задач
нестационарных отрывных течений метод вихревых элементов стал более
популярен и до сих пор остается в качестве мощного инженерного
инструмента
для
прогнозирования
нагрузок
в
аэродинамических
конфигураций. Современные разработки этого метода описаны в работах
Хорин в 1970-х, в трехмерных расчетах Леонард (в США) и Rehbach (во
Франции). Эти работы развили интерес прикладных математиков для
изучения свойства сходимости в начале 1980-х годов. Самый первый полный
анализ был сделан в США учеными Hald и Majda. В Европе, примерно в то
же время, группа исследователей Raviart использовали методов частиц для
физики плазмы. За последние два десятилетия произошли значительные
изменения в дизайне быстрых методов эффективной оценки поля скоростей,
усовершенствовался
численный
анализ
новых
точных
методов
для
уменьшения вязких эффектов. Вихревые методы в последние годы
предлагают альтернативу методам конечных разностей и спектральных
методов для численного разрешения уравнений Навье-Стокса.
~5~
Значительный вклад в их развитие внесли научные школы С. М.
Белоцерковского [1], A. Леонарда [2], Г. Котте [3], К. Камемото [4] и др.
Среди
работ
по
обоснованию
вихревых
методов
можно
выделить
исследования М. А. Басина и Н. В. Корнева [5], В. Ю. Кирякина [6], Дж. Биля
и А. Майды [7]. Достаточно полный обзор вихревых методов имеется в
работах Т. Сарпкайи [8] и А. Леонарда.
За последние несколько лет были применены много методов для
визуализации
течения
жидкости,
чтобы
добиться
реалистичности
компьютерной графики. Многие из них основаны на уравнениях НавьеСтокса. Они определяют физические законы, которые описывают движение
несжимаемой ньютоновской жидкости. Vortex method обладает следующими
преимуществами
над
остальным
для
компьютерных
графических
приложений:
 Он может генерировать очень сложные эффекты с небольшой
затратностью вычислений.
 Он основан на системе частиц и, следовательно, может быть легко
интегрирован со многими эффектами, происходящими в потоке.
С помощью него смоделированы достаточно много эффектов. Например, в
2D моделировании метод вихревых частиц очень эффективный. На каждом
шаге по времени необходимо решить только одно уравнение Пуассона. В 3D
вычислениях, на каждом временном шаге мы должны решить три уравнения
Пуассона, по одному для каждого компонента вектора. В методе вихревых
элементов,
частицы
после
нескольких
шагов
имеют
тенденцию
концентрироваться в тех областях, где градиент скорости очень высок. Это
может привести к ложным вихревым структурам. Чтобы избежать этого в
случае 2D, полезно делать перестройку сетки на каждом временном шаге.
~6~
Метод частиц применяется для имитации нестационарных потоков
жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Первая успешная
презентация вихревых методов, содержащая невырожденную дискретизации
уравнений Навье-Стокса, была предложена Хорин (1973) и назван Random
Vortex Метод. Позже, Хорин изменил его для учета граничных условий, и
назвал его метод вихревой пелены(1978) [9].
Также вихревые методы являются эффективным инструментом для
изучения отрывных течений и перемешивания зон. Например, с помощью
него была проанализирована динамика смешения жидкостей, поведение
потока внутри каналов, смоделирована картина течения потока ветра вокруг
здания.
Многие из вышеупомянутых работ подтверждены экспериментами или с
использованием других численных методов. Кроме того, отдельно изучена
сходимость этого метода для пространственных и временных параметров
дискретизации.
~7~
2. Обоснование vortex method
В настоящей работе использован бессеточный метод вихревых объемов,
который теоретически обоснован в статье Басина и Корнева [5]. Основная
идея метода состоит в нахождении преобразования, выделяющего в
безграничном объеме соленоидальную составляющую в произвольном
векторном
поле.
Это
позволяет
использовать
для
аппроксимации
завихренности жидкости любые несоленоидальные векторные функции.
~8~
3. Постановка задачи
Сфера, имеющая радиус R, движется с постоянной скоростью U(5, 0, 0)
сквозь вязкую несжимаемую жидкость.
3.1 Определяющие уравнения
Первым шагом в моделировании является выбор того, какие основные
уравнения использовать. Основным уравнением является уравнение НавьеСтокса:
⃗
⃗𝑝
𝜕𝑈
∇
⃗
⃗
⃗
⃗
+ 𝑈(∇ ∙ 𝑈) = −
+ ν∆𝑈
𝜕𝑡
𝜌
(3.1)
⃗ ∙𝑈
⃗ =0
∇
(3.2)
⃗ — дифференциальный оператор Гамильтона (набла), ∆ — оператор
где ∇
Лапласа, — время, ν — коэффициент кинематической вязкости , p —
⃗ — скорость среды.
давление, 𝑈
⃗ =∇
⃗ ×𝑈
⃗ — свойство движения жидкости или
Завихренность 𝜔 = 𝑟𝑜𝑡𝑈
газа, при котором в среде существуют «вихри» — вращающиеся элементы
объёма. В терминах завихренности уравнение (3.1) примет вид:
𝐷𝜔
⃗
| = ν∆𝜔
⃗
𝐷𝑡 𝑈⃗
где
⃗⃗⃗
𝐷𝜔
𝐷𝑡
|𝑈⃗ =
∂
∂𝑡
(3.3)
⃗ ∙ ∇) — субстанциональная (материальная) производная.
+ (𝑈
~9~
3.2 Граничные условия
Для любых дифференциальных уравнений чтобы получить решение без
констант интегрирования, необходимы граничные условия. Жидкость может
взаимодействовать с объектами в ней, а также с другими жидкостями,
которые не смешиваются.
Граничное условие на бесконечности в вихревых методах выполняется
автоматически, при этом не требуется искусственно ограничивать расчетную
область, как это делается в сеточных методах.
На сфере выполняются условия прилипания:
⃗ |𝜕𝛺 = 0.
𝑈
(3.4)
Эти граничные условия выражают, как тело влияет поток жидкости, и
наоборот как поток жидкости влияет на движение тела.
~ 10 ~
4. Разработка программы.
Первым шагом в моделировании является дискретизация. Использование
метода вортонов в настоящей работе влечет за собой применения
следующего метода дискретизации: частицы + вихрь. Далее рассмотрим
подробнее все этапы разработки метода.
4.1 Вложенные сетки, метод «деревьев»
В программе для интерполяции скорости в точки используются
вложенные
сетки
(рис
1).
Для
реализации
воспользуемся
классом NestedGrid — шаблонный контейнер C++. Концепция данного
метода довольно проста.
Рис. 1. Связь между слоями во вложенных сетках
~ 11 ~
Имея регулярную сетку parent, разбиваем нужные нам ячейки на более
мелкие. Каждая ячейка на верхнем уровне представляет собой кластер на
нижнем.
Переход к завихренности как к первичной величине лежит в основе
используемого в работе метода. Её можно воспринимать как циркуляцию в
точке. Таким образом, вихри могут воздействовать на tracers, тем самым
организовывая
течение,
например,
как
показано
на
рис.
2:
Рис. 2. Взаимодействие vortons
Моделирование N vortons с N tracers потребует N2 операций.
Для
сокращения операций реализован подход «деревьев» (рис 3а). Его реализация
состоит в собирании несколько vortons, находящих недалеко друг от друга,
пренебрежением расстоянием между ними, и объединением их в кластер. До
тех пор, пока эти кластеры достаточно далеко, данный подход работает
достаточно хорошо для визуальных эффектов. Фактические vortons - это
строка нижней узлов. На уровне выше расположен кластер vortons, затем —
кластер кластеров и т. д.
~ 12 ~
Для расчета скорости в точке кластера необходимо проходить по дереву
сверху вниз, как показано на рисунке 3(б): посетить каждый кластер и узнать
расположена
ли
данная
точка
в
нем.
Рис. 3. (a) Вихревые кластеры, (b) Отыскание скорости в точке кластера
~ 13 ~
4.2 Численные методы
Численные методы, используемые в визуализации, включают в себя
интерполяцию значений между узлами, приближая частные производные,
входящие в уравнение.
Интерполяция.
Основная идея интерполяции, реализованная в программе, состоит в
осреднении значений по узлам сетки для получения значения внутри ячейки.
В зависимости от количества используемых узлов используется тот или иной
вид
интерполяции
как
показано
на
рисунке
Рис. 4. Интерполяция: (а) линейная (b) кубическая (с) глобальная.
~ 14 ~
4:
4.3 Взаимодействие с телом
В методе частиц для использование граничных условий требует от нас
осуществления следующих операций:
1. Вычислить скорость в точке столкновения тела с vorton
Для решения это пункта необходимо использовать интерполяцию
2. Узнать куда переместить вортон
Новая скорость (относительно тела) в точке контакта должна равняться
нулю (условие прилипания и непротекания). Vorton должен занять
такую новую позицию, чтобы обеспечить (за счет своей завихренности)
в этой точке скорость -u (отрицательную старую скорость), тем самым
обнулив суммарную скорость. Поэтому прямая на которой находится
вортон должна быть ортогональна одновременно
u и вектору
завихренности.
3. Узнать какую завихренность передать vorton
4. Обеспечить обратное воздействие на тело: изменить его момент и
скорость.
~ 15 ~
4.4 Диффузия
Математически в уравнениях Навье-Стокса она выражается: ν∆𝜔
⃗ , где ν
— вязкость и ∆ - оператор Лапласса - сумма вторых пространственных
производных. Фактически, этот оператор ведет себя как размывание
завихренности. В данной работе имеенно этот факт взят за основу, и
реализован обмен завихренностью между vortons.
Этот процесс требуется знание «соседей» для каждого vorton. С
помощью подхода деревьев мы решаем эту проблему. В данной ситуации
удобно воспользоваться регулярной сеткой, таким образом чтобы каждая
ячейка содержала ссылки на vortons, которые находятся в ней. Зная
нахождения любого vorton мы можем обратится к узлам данной ячейки и
выявить его «соседей».
Рис.5. Отыскание «соседей»
~ 16 ~
В жидкости с вязкостью 𝜈, каждый вортон 𝑝 обменивается частью его
завихренности 𝜔
⃗ 𝑝 c соседями по формуле:
⃗⃗⃗ 𝑝
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝜈 ∑𝑁
⃗ 𝑖−𝜔
⃗ 𝑝)
𝑖=1(𝜔
(4.1)
В этом случае пары частиц формулу можно переписать:
⃗⃗⃗ 1
𝑑𝜔
𝑑𝑡
⃗⃗⃗ 2
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝜈(𝜔
⃗ 2−𝜔
⃗ 1)
= 𝜈(𝜔
⃗ 1−𝜔
⃗ 2 )= −
(4.2)
⃗⃗⃗ 1
𝑑𝜔
𝑑𝑡
(4.3)
Эти уравнения показывают, что этот обмен сохраняет общую
циркуляцию(при условии, что частицы имеют одинаковый размер). Эта
формулировка сильно упрощает ситуацию. Например, она не учитывает
расстояние между вортонами а также их размеры. Среди прочего, вязкость 𝜈
не является в точности кинематической вязкостью.
4.5 Конвекция
Уравнение вихря включает в себя конвективное слагаемое, которое
представляет собой нелинейный член, описывающий перенос вещества. В
методе частиц это слагаемое в основном означает, что vortons должны
следовать за потоком, то есть, они перемещаются в соответствии со
скоростью жидкости. Итак, нам необходимо узнать скорость в месте
расположения каждого vorton с помощью введенной сетки. Интерполируя по
ней перемещаем vorton, затем используем взаимодействие vortons и tracers и
восстанавливаем картину течения на текущем шаге.
~ 17 ~
4.6 Вычисление скорости по заданному полю завихренности
Скорость в любой точке пространства можно посчитать используя
формулу:
⃗ (𝑥) =
𝑈
1
∫
4𝜋
⃗𝜔
⃗⃗ (𝑥 ′ )×𝑟
𝑟3
𝑑𝑥′
(4.4)
Данный интеграл выразим в сумму по всем имеющимся vortons:
⃗ (𝑥 ) =
𝑈
1
4𝜋
∑𝑁
𝑖=1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗𝑖
𝜔𝑖 ×𝑟
(4.5)
𝑟𝑖 3
Где r – расстояние от точки до vorton, i – его номер, ω – завихренность.
Эта формула имеет недостаток: если расстояние между vorton и данной
точкой очень мало, скорость обращается в бесконечность. Чтобы этого
избежать, наделяем каждый vortex размером
. В такой случае можно
переписать формулу в виде:
𝑢
⃗ (𝑥 ) =
𝑟𝑖 −3 : 𝑟 ≥ 𝜎
∑𝑁
𝜔 × ⃗𝑟𝑖 ∆𝑉𝑖 { −3
⃗⃗⃗⃗
4𝜋 𝑖=1 𝑖
𝜎𝑖 : 𝑟 ≤ 𝜎
1
(4.6)
Вспомним про идею создания кластеров из votrons, назовем эти кластеры
supervortons.
Рис. 6. Дерево влияний
~ 18 ~
Каждый уровень в дереве является контейнером информации. Каждая
ячейка сетки содержит завихренность и положения votrons, которые в ней
находятся. Тогда положение supervorton
- это есть среднее положение всех
составляющих vortons в кластере, математически это выражается в виде:
𝑥∑
= ∑𝑁
𝑖=1 𝜔𝑖 𝑥𝑖 .
Данный метод экономит количество операций и оптимизирует работу
программы.
~ 19 ~
5. Результаты
Рассмотрим торможение сферы в потоке частиц в зависимости от числа
Рейнольдса.
Все рисунки,
кроме первого,
демонстрируют
положение сферы (место где она имеет нулевую скорость).
Рис. 7. Начальное положение сферы и частиц
~ 20 ~
конечное
Рис. 8. Re = 20000
Рис. 9. Re = 13000
~ 21 ~
Рис. 10. Re = 10000
Рис. 11. Re = 8000
~ 22 ~
Рис. 12. Re = 6000
Рис. 13. Re = 5000
~ 23 ~
Рис. 14. Re = 2000
Рис. 15. Re = 1000
~ 24 ~
Заключение
В данной работе реализован бессеточный метод частиц для решения
уравнений Навье-Стокса, используя ОС Ubuntu 14.04, Eclipse 3.8.1, написана
программа на языке С++. Данный программный комплекс готов решать
задачи движения тела в вязкой жидкости. В настоящей работе данная
программа была успешно рассмотрена применительно к задаче о торможении
тела сферической формы с начальным импульсом. Были представлены
картины течения при разных числах Рейнольдса. По результатам можно
сделать вывод, что программа дает правдоподобную картину течения. При
увеличении числа Re за счет увеличения вязкости жидкость быстрее
останавливает сферу.
~ 25 ~
Литература
1.
Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы / Под ред.
С.М. Белоцерковского. М.: ЦАГИ, 2000. 265 с.
2.
Leonard A. Vortex methods for flow simulation // Journal of Computational
Physics. 1980. N 37. P. 289–335.
3.
Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: theory and practice.
Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 328 p
4.
Vortex methods: selected papers of the First International Conference on
Vortex Methods / K. Kamemoto, M. Tsutahara. Singapore, 2000. 220 p.
5.
Басин М. А., Корнев Н. В. А Аппроксимация поля завихренности в
безграничном объеме. Журнал технической физики, 1994, с. 179-185.
6.
Кирякин В.Ю., Сетуха А.В. О сходимости вихревого численно-го
метода решения трехмерных уравнений Эйлера в лагранжевых
координатах // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 9. С. 1276
7.
Beale J.T., Majda A. Vortex methods ii: higher order accuracy in two and
three dimensions // Mathematics of Computation. 1982. V. 39, N 159. P. 29–52
8.
Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция
(1988) // Современное машиностроение. Сер. А. 1989. № 10. С. 1–60
9.
Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow, J. Fluid Mech., 57
(1973), p. 785.
~ 26 ~