Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
для направления 01.04.04 «Прикладная математика» программы обучения
«Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
Автор программы:
Шур М. Г., доктор физ.-мат. наук, профессор, m.shur@inbox.ru
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ «____» ___________ 2014 г.
Зав. кафедрой
Л. И. Кузьмина
Рекомендована секцией УМС
Председатель
«___» __________ 2014 г.
Утверждена УС
факультета Прикладной математики и кибернетики
Ученый секретарь
«___» __________ 2014 г.
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 01.04.04 «Прикладная математика» программы
обучения
«Системы
управления
и
обработки
информации
в инженерии» подготовки магистра, изучающих дисциплину «Функциональный анализ».
Программа разработана в соответствии с:

ФГОС ВПО;

Образовательной программой 01.04.04 «Прикладная математика» программы
обучения
«Системы
управления
и
обработки
информации
в инженерии» подготовки магистра;

Рабочим учебным планом университета по направлению 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра, утвержденным в 2014 г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ» являются:

усвоение основных понятий и методов функционального анализа;

создание теоретической базы для обучения смежным математическим дисциплинам;

обучение практическим навыкам приближенного решения функциональных и
интегральных уравнений.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать
 свойство компактности и его применения в математике;
 теорию ограниченных линейных операторов, включая элементы спектральной
теории и ее приложения к теории линейных интегральных уравнений;
 классическое преобразование Фурье и его аналог для суммируемых в квадрате
функций;
 элементы вариационного исчисления.

Уметь
 применять методы функционального анализа при решении прикладных задач.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Способен к самостоятельному
освоению новых методов
исследования, изменению
научного и научно-
Формы и методы обучения,
Код по
Дескрипторы — основные
способствующие
ФГОС/НИУ
признаки освоения
формированию и развитию
компетенции
СК-М3
Способен к
самостоятельному
освоению новых методов
исследования,
Лекции, семинары,
текущие и контрольные
учебные работы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
производствен-ного профиля
деятельности
Компетенция
Способен порождать
принципиально новые идеи и
продукты, обладает
креативностью,
инициативностью
Способен создавать тексты,
сообщения
использующих
функциональный анализ, и
к изменению профиля
деятельности
Формы и методы обучения,
Код по
Дескрипторы — основные
способствующие
ФГОС/НИУ
признаки освоения
формированию и развитию
компетенции
СЛК-М8
Способен предлагать
принципиально новые
идеи, связанные с
применением
математических методов и
проявлять инициативу
Те же
ИК-М2.2.1, Способен создавать
ИК-М2.2.2 тексты, сообщения,
использующие язык
функционального анализа
Те же
Способен использовать
методы и формы оформления
результатов деятельности
ИК-М3.1
Способен оформлять
результаты
профессиональной
деятельности в виде текста
или программного
продукта
Те же
Способен описывать
проблемы и ситуации
профессиональной
деятельности, используя язык
и аппарат науки
ИК-М5.2
Для описания проблем и
ситуаций
профессиональной
деятельности способен
привлечь язык и методы
функционального анализа
и других ветвей
математики
Те же
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин (вариативная
часть).
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

«Математический анализ»;

«Линейная алгебра и геометрия».
Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями
компетенциями:

знание курса «Математический анализ» в полном объеме;

знание курса «Линейная алгебра и геометрия» в части, касающейся теории матриц и
теории линейных пространств.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра



«Теория вероятностей и математическая статистика»;
«Теория случайных процессов»;
«Математическая физика».
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
5. Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
1
Дополнения к теории интеграла
2
Компактность
3
Линейные функционалы и
операторы
4
Элементы вариационного
исчисления
ИТОГО:
Аудиторные часы
Всего
часов
40
Лекции
Семинары
4
4
Самостоятельная
работа
40
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий (неделя)
Итоговый
Форма контроля
Коллоквиум 1
1 год
3
Параметры
4
8
Каждый коллоквиум проводится в устной
форме (по 2 аудиторных часа) и завершается
на консультации
Коллоквиум 2
18
Домашняя работа
16
Письменная работа, состоящая в решении 5
задач (задание выдается на 12-й неделе и
принимается на 16-й)
Экзамен
21
Принимается в устной форме (4 часа)
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
На коллоквиуме и экзамене для получения оценок 4–5 баллов студент должен
продемонстрировать знание основных определений и примеров и не допускать
принципиальных ошибок в формулировках основных теорем. При полном ответе ставятся
оценки 8–10 баллов в зависимости от наличия или отсутствия небольших недочетов
(например, ошибок технического характера или неполной аргументации).
Оценки при текущем контроле выставляются по 10-балльной шкале.
6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине
При текущем или итоговом контроле работа студента оценивается в соответствии с п.6.1.
Преподаватель оценивает работу студента на семинарах: учитывается его активность и
правильность предлагаемых им решений. Оценивается также самостоятельная работа
студентов: учитывается правильность решения задач, включенных в текущие домашние
задания, полнота аргументации и число решенных задач. Оценки за работу на семинарах и за
самостоятельную работу преподаватель выставляет в рабочую ведомость.
Оценка за текущую работу в третьем модуле определяется по формуле:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
O

О
0
,
6
·
O

0
,
4
·
O
,
т
е
к
у
щ
и
й
3
д
о
м
.
з
а
д
.
к
о
л
л
.
1
т
е
к
у
щ
.
д
.
з
.
а во втором модуле — рассчитывается по формуле:
O

0
,
4
·
O

0
,
4
·
O

0
,
2
·
O
.
т
е
к
у
щ
и
й
4
к
о
л
л
.
2
д
о
м
.
з
а
д
.
т
е
к
.
д
.
з
.
Накопленные оценки даются формулами:
O

O
i

,
4
)
,
н
а
к
о
п
л
.
i
т
е
к
у
щ
и
й
i (3
O

0
,
5
·
O

0
,
5
·
O
.
и
т
о
г
о
в
а
я
н
а
к
о
п
л
.
н
а
к
о
п
л
.
3
н
а
к
о
п
л
.
4
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается по формуле :
O

0
,
3
·
O

0
,
7
·
O
.
р
е
з
у
л
ь
т
.
и
т
о
г
о
в
а
я
н
а
к
о
п
л
.
э
к
з
а
м
е
н
Каждая из указанных оценок округляется по арифметическому способу.
7. Содержание дисциплины
Раздел 1. Дополнения к теории интеграла
Лекции 1, 2. Пространства суммируемых и суммируемых в квадрате функций.
Интегрирование в произведении пространств.
По материалу лекций 1, 2 проводятся семинары 1, 2 (каждый семинар занимает 2
аудиторных часа).
Литература: базовый учебник (см. п. 10.7, гл. 7).
Раздел 2. Компактность
Лекции 3, 4. Вполне ограниченные и компактные множества.
Лекции 5. Свойства непрерывных функций на компактах. Компактность шара и
конечномерность пространства.
Семинары 3–5 проводятся по материалу лекций 3–5.
Литература: базовый учебник, гл. 2, §§ 6, 7.
Раздел 3. Линейные функционалы и операторы
Лекции 6,7. Сопряженное пространство и операторы слабая и сильная сходимость в нем.
Примеры: пространства, сопряженные гильбертову пространству и пространству C[a, b] .
Лекция 8. Ограниченные линейные операторы. Основные примеры, вычисление и оценка
нормы. Диагональный оператор в гильбертовом пространстве.
Лекции 9, 10. Обратный оператор. Спектр и резольвента оператора.
Лекции 11, 12. Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма. Элементы теории
линейных интегральных уравнений.
Лекции 13, 14. Сопряженные и самосопряженные операторы.
Лекции 15, 16. Преобразование Фурье.
Семинары 6, 7 проводятся по тематике лекций 6, 7. На семинаре 8 начинается коллоквиум
по материалу лекций 1–7. Семинары 9–11 соответствуют лекциям 8–10, а семинары 12, 13 —
лекциям 11, 12. Семинары 14, 15 проводятся по материалу лекций 11, 12, а семинар 16 —
лекций 15, 16.
Литература: базовый учебник, гл. 4 и гл. 8, §§ 4, 5.
Раздел 4. Элементы вариационного исчисления
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
Лекции 17. Дифференцируемость функционала. Вычисление дифференциала
функционала из простейшей задачи вариационного исчисления.
Лекция 18, 19. Необходимое условие экстремума и уравнение Эйлера. Примеры.
Лекции 20. Условный экстремум и правило множителей Лагранжа. Примеры.
Семинары 17, 19, 20 проводятся по материалу лекций 17–19. Коллоквиум 2 по материалу
лекций 8–17, 8–10, принимается на семинаре 18. Самостоятельная домашняя работа
принимается на 16-й неделе (выдается на 12-й).
Литература: Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач. — М.: Наука,
1974; гл. 1.
8. Образовательные технологии
Все семинары, кроме семинаров 8 и 18, проводятся в интерактивной форме и на них
решаются соответствующие задачи. При необходимости кратко обсуждаются
соответствующие теоретические положения.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы (для коллоквиума 1) берутся из списка, приведенного в пункте 9.1
(вопросы 1–13). Вопросы 14–27 разбираются на коллоквиуме 2.
9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу:
1. Определить пространства L( ) и L ( ) , где
— некоторая мера, ввести в них
линейные операции и нормы, а во втором из них — также скалярное произведение. Для
случая конечной меры
доказать, что L( ) содержится в L ( ) .
L[ a, b]
[ a, b]
2. Доказать сепарабельность пространства
для каждого отрезка
вещественной оси.
L ( )
L [ a, b]
3. Доказать полноту пространства
. Объяснить, почему
можно
рассматривать, как пополнение пространства C [a, b] .
4. Сформулировать теорему Фубини.
5. Приведите определение вполне ограниченного множества в полном метрическом
пространстве. Выведите эквивалентное определение с использованием сходящихся
подпоследовательностей. Приведите примеры.
6. Докажите теорему Арцела и проиллюстрируйте ее применение на примерах.
7. Приведите определение компакта в полном метрическом пространстве. Приведите
примеры. Опишите связь между свойствами а) компактности и б) ограниченности и
замкнутости множества.
8. Докажите теоремы о непрерывных функциях на компактах.
9. Докажите, что замкнутый шар в нормированном пространстве компактен тогда и
только тогда, когда пространство конечномерно.
10. Приведите примеры ограниченных линейных функционалов в пространстве C[a, b] .
Сформулируйте теорему Рисса об общем виде функционалов этого типа.

2

2
2
2
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
11. Докажите теорему Рисса об общем виде ограниченного линейного функционала в
гильбертовом пространстве. Какие следствия влечет эта теорема для функционалов,
заданных в l и L [a, b] ?
12. Определите два вида сходимости в сопряженном пространстве и установите связь
между ними. Приведите примеры. Докажите, что дельта-функция является слабым пределом
некоторой последовательности функционала «типа функции». Допустимо ли здесь слабые
пределы заменить сильными?
13. Сформулируйте теорему о слабой компактности шара в сопряженном пространстве.
14. Приведите примеры линейных ограниченных операторов в банаховых пространствах.
Вычислите норму а) диагонального оператора в гильбертовом пространстве, б) оператора
2
2
умножения на функцию, действующего в L [a, b] .
15. Определите понятие обратного оператора. Что означает обратимость оператора на
языке отображений? На языке уравнений? Приведите примеры. Выведите условия
обратимости диагонального оператора в гильбертовом пространстве.
16. Докажите теорему Неймана и теорему об обратимости оператора, близкого к
обратимому.
17. Определите понятия резольвенты и спектра оператора. Приведите соответствующие
примеры для диагонального оператора в гильбертовом пространстве и оператора умножения
в L [ a, b] .
18. Докажите теорему о спектре ограниченного линейного оператора (включая
разложение резольвенты в ряд Лорана).
19. Оцените норму интегрального оператора в L [a, b] и изложите метод решения
интегральных уравнений, основанный на разложении резольвенты в ряд Лорана.
20. Докажите теорему о спектре конечномерного оператора и изложите метод решения
интегральных уравнений с вырожденными ядрами.
21. Определите понятие компактного оператора и приведите примеры. Докажите
компактность интегрального оператора с квадратично суммируемым ядром.
22. Сформулируйте альтернативу Фредгольма и докажите теорему о спектре компактного
оператора.
23. Определите понятие сопряженного оператора в гильбертовом пространстве и
приведите примеры (в частности, найдите оператор, сопряженный а) диагональному
оператору и б) интегральному оператору).
24. Выведите простейшие свойства самосопряженных операторов. Докажите, что
спектральный радиус самосопряженного оператора равен его норме.
25. Докажите теорему Гильберта о структуре самосопряженного компактного оператора.
Проиллюстрируйте ее на примере оператора свертки.
26. Сформулируйте теорему о спектре самосопряженного оператора.
27. Определите классическое преобразование Фурье и выведите его простейшие свойства.
28. Определите оператор Фурье в пространстве L ( ) , докажите его унитарность и
найдите его спектр.
29. Определите дифференцируемые (по Фреше и Гато) функционалы. Найдите
дифференциал простейшего функционала вариационного исчисления.
30. Выведите необходимое условие экстремума дифференцируемого функционала.
Приведите примеры.
2
2
2
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
31. Выведите уравнение Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.
Примеры а) задача о брахистохроне; б) задача о минимальной площади поверхности
вращения.
32. Выведите правило Лагранжа в задаче на условный экстремум. Примеры: а) задача
Дидоны, б) задача о цепной линии.
33. Объясните метод Ритца решения простейшей вариационной задачи.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Функциональный анализ» для направления 01.04.04 «Прикладная
математика» программы обучения «Системы управления и обработки информации
в инженерии» подготовки магистра
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1. Базовый учебник
1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. — М.: Наука, 1989.
(Допустимо использовать также любое другое издание учебника).
10.2. Основная литература
1. Ананьевский И. М. Вопросы и задачи по функциональному анализу для студентов
факультета прикладной математики. — М.: МИЭМ, 1996.
2. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.:
Наука, 1988.
3. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.
10.3. Дополнительная литература
1. Бородин П. А., Савчук А. М., Шейпак И. А. Задачи по функциональному анализу.
Части 1, 2. — М.: Изд-во ПС мех.-мат. ф-та МГУ, 2010.
2. Rudin W. Functional analysis. — New York–Toronto: McGraw–Hill Book Company, 1974.
10.4. Справочники, словари, энциклопедии
1. Функциональный анализ (под общей редакцией Крейна С. Г.). Сер. «Справочная
математическая библиотека». — М.: Наука, 1979.
2. Математическая энциклопедия. Тома 1–5. — М.: Советская энциклопедия, 1977–1985.