Уроки

Тема урока. Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Цель урока. Повторить, обобщить и систематизировать материал по теме «Системы
линейных уравнений с двумя переменными».
Развивать умение применять полученные знания на практике.
Воспитать настойчивость, прилежания в работе и культуру устной и письменной
математической речи.
Тип урока. Обобщения и систематизация учебных достижений учащихся.
Ход урока
Задания для заключительного повторения темы: «Системы линейных уравнений»
І. Решение систем линейных уравнений.
1. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными графическим
способом.
І вариант
ІІ вариант
3х  у  1,
2 х  3 у  14;
а) 
3х  у  4,
2 х  3 у  10;
3х  у  1,
6 х  2 у  2;
б) 
а) 
3 х  у  4,
6 х  2 у  8;
3 х  2 у  8,
в) 
6 х  2 у  4.
б) 
3х  у  1,
6 х  2 у  1.
в) 
ІІІ вариант
IV вариант
5 х  2 у  1,
2 х  3 у  8;
а) 
3х  у  13,
2 х  3 у  5;
5 х  2 у  1,
10 х  4 у  2;
б) 
5 х  2 у  1,
10 х  4 у  1.
в) 
а) 
2 х  3 у  5,
4 х  6 у  10;
б) 
2 х  3 у  5,
4 х  6 у  5.
в) 
2. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными способом
подстановки, пользуясь алгоритмом:
1. Выразите в одном из уравнений одну переменную через другую(у через х).
2. Полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно
уравнение с одним неизвестным х.
3. Решив это уравнение, найти значение х.
4. Подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.
5. Запишите ответ.
Пример.
2 х  у  11,

5 х  2 у  41;
 у  11  2 х,

5 х  2(11  2 х)  41;
 у  11  2  7,  у  3,


 х  7;
 х  7.
 у  11  2 х,

5 х  22  4 х  41;
 у  11  2 х,

9 х  63;
 у  11  2 х,

 х  7.
Ответ: (7;-3).
І вариант
II вариант
6 х  3 у  4,
 у  2 х  5;
5 х  у  24,
б) 
7 х  3 у  2;
4 х  7 у  33
в) 
2 х  5 у  25.
2 х  3 у  3,
 х  21  3 у;
а) 
а) 
3х  2 у  8,
 х  3 у  21;
б) 
5 х  2 у  48,
2 х  3 у  23.
в) 
III вариант
IV вариант
 у  12  5 х,
3х  5 у  5;
а) 
 х  11  4 у,
3х  2 у  5;
11х  у  9,
8 х  11у  13;
б) 
 6 х  5 у  2,
8 х  3 у  1.
в) 
а) 
29  22 у  80,
17 х  у  33;
б) 
4 х  3 у  1,
10 х  4 у  1.
в) 
3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными способом сложения,
пользуясь алгоритмом:
1. Уровнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;
3. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти
второе неизвестное.
4. Запишите ответ.
Пример.
2 х  3 у  8,

7 х  5 у  5;
10 х  15 у  40,

 21х  15 у  15,
2  (5)  3 у  8,

 х  5;
 10  3 у  8,

 х  5;
3 у  18,

 х  5;
=55,
-11х
х=-5
 у  6,

 х  5.
Ответ: (-5;-6).
І вариант
ІІ вариант
6 х  7 у  19,
5 х  7 у  25;
а) 
5 х  2 у  1,
15 х  3 у  3;
б) 
3х  8 у  13,
5 х  18 у  6.
в) 
а) 
б) 
в) 
ІІІ вариант
5 х  7 у  6,
2 х  7 у  76;
7 х  2 у  1,
17 х  6 у  9;
4 х  5 у  1,
5 х  7 у  5.
IV вариант
2 х  4 у  11,
4 х  4 у  1;
а) 
4 х  7 у  15,
3х  7 у  1;
4 х  7 у  15,
15 х  у  29;
б) 
4 х  7 у  90,
5 х  6 у  20.
в) 
а) 
7 х  4 у  22,
12 х  у  12;
б) 
8 х  9 у  2,
5 х  4 у  11.
в) 
4. Найдите ошибку в решении примеров и сделайте правильное решение.
Выразите переменную х через переменную у и переменную у через переменную х.
І вариант
ІІ вариант
а)4х-у=8;
а) у-2х=-7;
у=8-4х; х 
у 8
.
4
у=-7-2у; х 
б)2у-х=6,
б) х-3у=4;
6 х
.
х=6-2у; у 
2
х=4+3у; у 
в) 2х+3у=1;
у=-2-3х; х 
б)х-5у=2;
х=2+5у; у 
х=1+2у; у 
1  3х
.
2
ІV вариант
а) 7х+у=2;
27
.
3
у=7х-2; х 
б) х-2у=3;
2 х
.
5
х=3+2у; у 
в) 5х-2у=3;
х
4 х
.
3
в) 3х-2у=1;
1  3у
х
; у=1-2х.
2
ІІІ вариант
а)у-3х=-2;
7 у
.
2
3 х
.
2
в) 2х-5у=7;
3  2у
; у=3-5х.
5
у2
.
7
х=7+5у; у 
7  2х
.
5
5. Заполните пустые клеточки и решите системы двух уравнений с двумя
переменными.
І вариант
 х  2 у  2,
2 х  у  9,
а) 
 х  2 у  2,
х 
,

4 х  2 у  18, 2 х  у  9,
; 
х 

у 
=
Ответ: (
).
7 х  3 у  13,
 х  2 у  5;
б) 
Ответ: (1;-2)
7 х  3 у  13,

х 
13  3 у  7

х 
35  14 у  3 у  13  у 


х 
х 
ІІ вариант
2 х  у  2,
3х  2 у  3,
а) 
4 х  2 у  4,  х 
,

3х  2 у  3, 2 х  у  2,
; 
х 

у 
=
Ответ: (
).
4 х  у  11,
6 х  2 у  13;
б) 
у 

6 х  2 у  13;
у 

13  6 х  2
у 
у 


6 х  8 х  22  13;  х 
Ответ: (4,5; 7).
ІІІ вариант
 у  3х  2,
2 у  5 х  5,
а) 
 2 у  6 х  4,  х 
,

2 у  5 х  5,
 у  3х  2,
; 
х 

у 
=
Ответ: (
).
 х  у  6,
3х  5 у  2;
б) 
х 

3х  5 у  2;
х 

2  5 у  3
х 
х 


18  3 у  5 у  2;  у 
Ответ: (4; 2).
ІV вариант
2 х  у  8,
3х  2 у  2,
а) 
4 х  2 у  16,  х 
,

3х  2 у  2, 2 х  у  8,
; 
х 

у 
=
Ответ: (
).
8 у  х  4,
2 х  21 у  2;
б) 
Ответ: (-20; -2).
х 

2 х  21 у  2;
х 

2  21 у  2
х 
х 


16 у  8  21у  2;  у 
II. Решение задач составлением системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.
І вариант
Задача1. Двум работникам по плану необходимо изготовить 360 деталей. Первый
рабочий изготовил в 1,5, а второй в 2 раза больше от нормы, а вместе они
изготовили 600 деталей. Сколько деталей необходимо было изготовить каждому
ученику по плану?
Заполните пропуски в объяснении решения задачи.
І ситуация. Пусть первый рабочий должен был по плану изготовить… деталей, а
второй рабочий - … деталей, тогда вместе они должны были изготовить … деталей,
что по условию составляет 360 деталей.
І уравнение ….
ІІ ситуация. Первый рабочий изготовил в 1,5 раза деталей больше, т.е. он изготовил
… деталей, а второй рабочий изготовил в 2 раза деталей больше, т.е. … деталей.
Вместе они изготовила деталей …, что по условию задачи составляет 600 деталей.
II уравнение….
Составьте систему и решите её удобным для вас способом.
Ответ: 240 дет.; 120 дет.
Задача 2. В двух сосудах содержится некоторое количество воды. Если из первого
сосуда перелить во второй 25% воды, то во втором сосуде будет воды вдвое больше,
чем в первом. Если же со второго сосуда перелить в первый 11 л воды, то в первом
сосуде будет в три раза больше воды, чем во втором. Сколько воды было в каждом
сосуде?
Решение
І ситуация
І сосуд
Было, л
Перелили, л
Стало, л
х
Х – 0,25
0,75х
Уравнение
2 • 0,75х = у + 0,25
у
ІІ сосуд
У + 0,25
Выделите вторую ситуацию, составьте таблицу и решите систему двух линейных
уравнений с двумя переменными.
ІІ ситуация
Было, л
І сосуд
ІІ сосуд
Ответ: 16 л; 20 л.
Перелили, л
Стало, л
Уравнение
ІІ вариант
Задача 1. Двое рабочих получили за работу 117 грн. Первый работал 15 дней, а
второй 14 дней. Сколько денег получал за день каждый рабочий, если первый за 4
дня получил на 11 грн. больше, чем второй за 3 дня?
Заполните пропуски в объяснении решения задачи.
І ситуация. Пусть первый рабочий получал за 1 день … грн, а второй - … грн.
Первый рабочий за 15 дней получил … грн, а второй рабочий за 14 дней
получил … грн. Вместе они получили … грн., что составляет по условию задачи 117
грн.
І уравнение ….
ІІ ситуация. Первый рабочий за 4 дня получил … грн., а второй рабочий за 3 дня
получил … грн. Первый рабочий получил на … грн. больше, что по условию задачи
составляет 11 грн.
II уравнение….
Составьте систему и решите её удобным для вас способом.
Ответ: 5;3.
Задача 2. В два бидона налили молоко. Если с первого перелить во второй
1
4
молока, то во втором бидоне будет в 2 раза больше, чем в первом. Если же из
второго перелить в первый 11 л молока, то в первом бидоне молока будет в три раза
больше, чем во втором. Сколько молока в каждом бидоне?
Решение.
І бидон
Было, л
Перелили, л
х
1
х
4
у
ІІ бидон
Стало, л
х
1
3
х х
4
4
у
Уравнение
3
1
х2  у х
4
4
1
х
4
Выделите вторую ситуацию, составьте таблицу и решите систему двух линейных
уравнений с двумя переменными.
Было, л
І бидон
ІІ бидон
Ответ: 16 л; 20 л.
Перелили, л
Стало, л
Уравнение
ІІІ вариант
Задача 1. За 10 м материи двух сортов заплатили 226 грн. сколько купили материи
каждого сорта, если цена материи первого сорта 25 грн., а второго 19 грн.?
Заполните пропуски в объяснении решения задачи.
І ситуация.Пусть материи первого сорта было … м, а второго … м. Вместе материи
первого и второго сорта было … м, что по условию задачи составляет 10 м.
І уравнение ….
ІІ ситуация. 1 м материи первого сорта стоит 25 грн.; т.е. за всю материю первого
сорта заплатили … грн. 1 м материи второго сорта стоит 19 грн., т.е. за всю материю
второго сорта заплатили … грн. Вместе за материю первого и второго сорта
заплатили … грн., что по условию задачи составляет 226 грн.
II уравнение….
Составьте систему и решите её удобным для вас способом.
Ответ: 6м; 4 м.
Задача 2. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 2
см, то площадь увеличиться на 28см2. Если же длину прямоугольника увеличить на
1 см, а ширину уменьшить на 2 см, то площадь уменьшиться на 56 см2. Найдите
начальное значение длины и ширины прямоугольника.
Решение.
І ситуация
Начально
е
значение
Длина, см
Увеличили или
уменьшили длину и
ширину, площадь
Уравнение
х
х-4
Ширина, см
у
у+2
Площадь,
см2
z
ху + 28
( х – 4 )( у + 2 ) = ху + 28
Выделите вторую ситуацию, составьте таблицу и решите систему двух линейных
уравнений с двумя переменными.
ІІ ситуация.
Начально
е
значение
Длина, см
Ширина, см
Площадь,
см2
Ответ: 30 см; 6 см.
Увеличили или
уменьшили длину и
ширину, площадь
Уравнение
IV вариант
Задача 1. Для кормления 12 коней и 18 коров отпускали ежедневно 228 кг сена.
Сколько сена отпускали каждому коню и каждой корове, когда известно, что 5
коням отпускали на 14 кг сена больше, чем 6 коровам?
Заполните пропуски в объяснении решения задачи.
І ситуация. Пусть каждому коню отпускали … кг сена ежедневно, а каждой корове
… кг сена. Тогда для 12 коней необходимо … кг сена, а для 18 коров … кг сена.
Вместе необходимо … кг, что по условию задачи составляет 228 кг.
І уравнение ….
ІІ ситуация. 5 коней ежедневно получают … кг сена, а 6 коров ежедневно получают
… кг сена. Кони получают сена на … больше, чем коровы, что по условию задачи
составляет 14 кг.
II уравнение….
Составьте систему и решите её удобным для вас способом.
Ответ: 10 кг; 6кг.
Задача 2. Если длину и ширину прямоугольника увеличить на 1 см, то площадь
прямоугольника увеличится на 31 см2. Если же длину уменьшить на 4 см, а ширину
увеличить на 4 см, то площадь прямоугольника увеличится на 16 см2. Найдите
начальную длину и ширину прямоугольника.
Решение.
І ситуация
Начально
е
значение
Длина, см
Увеличили или
уменьшили длину и
ширину, площадь
Уравнение
х
х +1
Ширина, см
у
у+1
Площадь,
см2
ху
ху + 31
( х + 1 )( у + 1 ) = ху + 31
Выделите вторую ситуацию, составьте таблицу и решите систему двух линейных
уравнений с двумя переменными.
ІІ ситуация.
Начально
е
значение
Длина, см
Ширина, см
Площадь,
см2
Ответ: 19 см; 11 см.
II.Итог урока
Увеличили или
уменьшили длину и
ширину, площадь
Уравнение