УДК 537.633.9 Диэлектрическая восприимчивость мультиферроиков с магнитными вихрями П.И. Карпов Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» Аннотация Исследована спиновая система на решетке в XY модели с определенным типом взаимодействия типа мультиферроиков между векторами намагниченности и поляризации, при температуре ниже температуры Березинского-Костерлица-Таулесса. Посчитан вклад пар вихрь-антивихрь (которые образуют электрические диполи) в диэлектрическую восприимчивость системы. Явления магнетизма и сегнетоэлектричества в настоящее время находят широкое технологическое применение. Поэтому вещества, сочетающие в себе свойства и ферромагнетиков и сегнетоэлектриков, называемые мультиферроиками, представляют особый интерес, как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных технологических применений. Мультиферроики очень интересны с точки зрения возможных технологических приложений, например: создание магнитоэлектрической памяти RAM, запись информации с помощью вихрей, создание спинтронных устройств. Благодаря эффекту магнитоэлектрического контроля, в мультиферроиках возможен простой и быстрый способ изменения электрических и магнитных свойств. В данной работе мы исследуем тонкие пленки из мультиферроиков. Для описания магнитной подсистемы мы используем классическую двумерную XY модель с взаимодействием между ближайшими соседями: E = J M i M j = JM 2 cos(i j ) <i, j > <i, j > Здесь Mi – намагниченность на i-ом узле, Mi = M 0{cos i , sin i } . Если меняется плавно, можно рассмотреть непрерывный предел: 1 1 E = E0 JM 2 (i j ) 2 = E0 s ( ) 2 d 2 r (1) 2 2 <i , j > где s JM 2 / r0 – спиновая жесткость системы, r0 – параметр решетки. Минимум энергий достигается для конфигураций (x) , таких что = 0 . Одно из решений, дающих локальный минимум энергии, называется вихрем и имеет вид: y ( x, y ) n arctg 0 x Здесь n – целое число, называемое топологическим зарядом или силой вихря. Конфигурацию с n 0 называют антивихрем. Вихрь с топологическим зарядом n имеет энергию Ev = n 2 s ln( R / r0 ) , где R – длина порядка размера системы. Таким образом, одиночные вихри не появляются в макроскопической системе из-за логарифмической расходимости их энергии. Зато пара вихрь-антивихрь обладает конченой энергией (r – расстоянием между центрами вихря и антивихря): 2 Eva = 2n 2 s ln r r0 (2) Поэтому при любой температуре T < TKT благодаря тепловым флуктуациям имеется некоторое количество пар вихрь-антивихрь. При низких температурах образуются, в основном пары с n 1 , которые и дают главный вклад в диэлектрическую восприимчивость системы, поэтому для простоты мы будем рассматривать только их. Рассмотрим, какие изменения надо внести в XY модель при рассмотрении мультиферроика, т.е. если мы хотим учесть взаимодействие электрической и магнитной подсистем. Плотность энергии мультиферроика равна [2]: P2 w= P((M)M M(M)) i M j i M j , 2e (3) где e – затравочная диэлектрическая восприимчивость (про отсутствии вихрей), – константа взаимодействия электрической и магнитной подсистем, | M |= M 0 = const . Минимизируя энергию по P , получим: P = e ((M)M M(M)) (4) и энергия преобразуется в: 1 w = (M 02 2 e M 04 )( ) 2 2 (5) Это выражение согласуется с выражением для энергии в обычной XY модели (без PM взаимодействия) (1) с эффективной спиновой жесткостью s = 2M 02 2 e M 04 . Таким образом, при включении PM взаимодействия в XY модели перенормируется константа связи. Поэтому и в XY модели с PM взаимодействием вихревые конфигурации реализуют локальные минимумы энергии и являются устойчивыми конфигурациями. РМ связь (2) приводит к появлению электрического заряда в коре вихря [2]: q = 2ne M 02 . Мы видим, что электрический заряд вихря пропорционален его топологическому заряду, а значит пара вихрь-антивихрь образует диполь. Рассмотрим систему невзаимодействующих дипольных пар вихрь-антивихрь (при температуре T < TKT ) на двумерной решетке в электрическом поле Е. Для простоты будем полагать, что топологические заряды вихрей равны только n = 1 . Электростатическая энергия такого диполя с зарядами q и q (расположенными в коре вихря и антивихря соответственно) во внешнем поле с расстоянием r между вихрем и антивихрем равна qrE . Электростатическая энергия взаимодействия вихря и антивихря равна 2q 2 ln( r / r0 ) , энергия взаимодейстия вихря и анитвихря в XY модели дается выражением (2). Таким образом, полная энергия такого диполя равна [1]: r U total = qrE 2q~ 2 ln (6) r0 где q~ – это комбинация электрического и топологического зарядов вихря: q~ 2 = q 2 n 2 s , < 0 – химический потенциал (т.е. | | – это энергия создания диполя с зарядами на соседних узлах решетки). Мы рассматриваем случай низкой концентрации диполей, поэтому | | должен быть достаточно большим. Обозначим 2 ~ U (r ) = qrE 2q ln( r / r0 ) . Тогда большая статсумма (в единицах k B = 1 ) : n U (r1 ) ... U (rn ) Z(E, T ) = exp exp = T T configurations n (7) n 2 2 1 d QCM d r U (r ) exp ( ) = exp 2 r02 r02 T n ( n!) Здесь мы заменили суммирование по всем вихревым конфигурациям интегрированием, QCM – координата центра масс диполя, = 1 / T . Введем обозначение: K = exp ( ) d 2QCM / r02 , тогда мы получим: d 2r U (r ) Z(E, T ) = I 0 2 K 2 exp == I 0 (2 Z1 (E, T ) ) r T 0 (8) где Z1 (E, T ) – статсумма для одного диполя, I 0 ( z ) – модифицированная функция Бесселя первого рода. Вычислим Z1 : 2 q~ 2 1 r T d r U (r ) K qrE cos Z1 ( E , T ) = K 2 exp exp (9) = dr d r0 T T r0 r0 Теперь, используя (8) и (9), в приближении слабого поля E 0 мы можем посчитать диэлектрическую восприимчивость системы: r02 q 2 K T 2 I1 (2 ) (10) = ln Z = 2 ~ S E 2S ( q 2 2) I 0 (2 ) E =0 2 K . ~ q 2 1 Найдем асимптотическое поведение χ при малых температурах. В этом q2 приближении: T TKT , а значит q 2 2 , а также | | 1 , поэтому K и δ 2 малы. Используя асимптотику модифицированной функции Бесселя [5]: ( z / 2) I ( z ) ( 1) мы получим в нулевом приближении по E и T: 4e2 2 1 q2 = exp ( ) ~ 2 = exp ( ) (11) 2 q 2 2/M 02 2 e (1 4e ) В заключение, мы вычислили вклад пар вихрь-антивихрь (образующих электрические диполи) в диэлектрическую восприимчивость тонкопленочного мультиферроика. Приближение невзаимодействующих диполей хорошо применимо при низких температурах (когда exp ( ) 1 ). В пределе низких температур решение (10) дает активационную экспоненту (11). При температурах, приближающихся к температуре TKT решение (10) дает расходящуюся χ, что отражает процесс диссоциации пар вихрь-антивихрь. Автор благодарен Фонду некоммерческих программ «Династия» за финансовую поддержку. где S – площадь системы, = Z1 ( E = 0) = Список литературы: [1] J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. J.Phys. C6, 1181 (1973) [2] M. Mostovoy, Ferroelectricity in spiral magnets. Phys.Rev.Lett. 96, 067601 (2006) [3] L.D.Landau, E.M.Lifshits, L.P. Pitaevskii. Electrodynamics of Continuous Media. Vol. 8 (1rst ed.) (1984). Butterworth-Heinemann. [4] P.M.Chaikin and T.C.Lubensky, Principles of condensed matter physics, Cambridge University Press, 1995. [5] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications.