Исследование движения большой орбитальной космической системы цепочечной структуры

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 4(23)
УДК 629.195.1
Исследование движения большой орбитальной
космической системы цепочечной структуры
в гравитационном поле под действием сил
светового давления
И. Ф. Талипов
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
ilin-09011988@ya.ru; (951) 951-12-27
Н. А. Репьях
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
mpu@psu.ru; (342) 2-396-309
Рассматривается математическая модель большой орбитальной космической системы
(БОКС) цепочечной структуры, включающей треугольный элемент. Приведено исследование движения 5-массовой системы. Предполагается, что стержни невесомы и точечные
массы сосредоточены в шарнирах и на концах стержней. Система совершает движение в
плоском центральном гравитационном поле. Приведено описание движения системы на конечном промежутке времени вокруг гравитационного центра.
Ключевые слова: центральное гравитационное поле; голономная орбитальная система;
большая орбитальная космическая система (БОКС); математическая модель движения.
Введение
Работа пассивных систем ориентации
спутников основана на использовании свойств
гравитационного и магнитного полей, эффекта
сопротивления атмосферы и светового давления, гироскопических свойств вращающихся
тел. Важное свойство пассивных систем ориентации спутников и космических систем заключается в том, что они не требуют датчиков
ориентации и исполнительных элементов и
могут функционировать продолжительное
время, не расходуя энергию и топливо.
Для разработки пассивных систем
прежде всего надо понять структуру действующих сил на орбитальную станцию и поведение системы в свободном движении.
В работе продолжаются исследования
И.А. Вертипрахова и Н.А. Репьяха по динамике БОКС [1].
Обеспечение и поддержание заданной
ориентации искусственных спутников Земли
представляет собой одну из важнейших задач
управления их движением. Определенная
ориентация требуется как для коррекции траектории, так и для успешного выполнения
своих функций спутниками связи, метеорологическими и навигационными спутниками,
для проведения в космосе многих научных
исследований, а также для экономии энергии
спутника. В зависимости от поставленных
задач ориентация искусственных спутников
может осуществляться активными или пассивными методами.
© Талипов И. Ф., Репьях Н. А., 2013
68
Исследование движения большой орбитальной космической системы…
1. Описание системы
и вывод уравнений движения
S j – функции сил светового давления.
Gj  g
Действующие на систему внешние силы
потенциальны. Это силы гравитации, действующие на материальные точки (рис. 1),
расположенные на концах невесомых стержней системы, силы светового давления (рис.
2). Система имеет 5 степеней свободы, а значит, и обобщенных координат. За обобщенные координаты q1 , q2 , q3 , q4 , q5 приняты:
m j m землиr j
r j3
.
(3)
Здесь g – гравитационная постоянная,
R
S j  2 p0   сол  земля
R
 сол  парус
2

2
 l j cos  j n j , (4)

p0 – солнечная постоянная, n j – вектор нор-
абсцисса и ордината опорной точки m1 и углы наклона стержней к оси ОХ абсолютной
системы координат, центр которой совпадает
с центром ньютоновского центра гравитации
[2].
мали к теневой поверхности,  j – угол падения света на поверхность l j [3].
Для простоты расчетов функцию тени и
полутени земли вводить не будем.
y
m2
a2
a1
m1
G1
m4
m3
G2
G3
a4
a5
m5
G4
G5
O
x
Рис. 1. Схема действующих гравитационных сил
Рис. 2. Схема действующих сил
Для построения математической модели
движения БОКС рассматриваемой структуры
введем неподвижную, связанную с Землей
систему координат OXY и зададим обобщенные координаты системы.
Положение первой точки m1 будем
определять с помощью координат (x, y). Положения остальных точек зададим углами отклонения  j ( j  1..n) стержней l j относи-
Поскольку связи, наложенные на точки,
голономны, математическая модель движения
системы строится в виде уравнений Лагранжа
второго рода.

d  T
dt   q˙
 i

  T   U , гдеi  1..k .
 qi
qi

(1)
Здесь T – кинетическая энергия системы, U –
силовая функция, qi – обобщенные коорди-
тельно оси OX [4].
Физическая модель имеет в данном случае 5 степеней свободы, соответственно вектор-строка обобщенных координат, описывающая положение механической системы, равна
наты, qi – обобщенные скорости.
q1  x, q2  y, q3  1 , q4   4 , q5  5 .
На каждую j-ю точку m j системы дей-
q  {x  t  , y t  , 1 t  , 4 t  ,5 t } .
ствует сила
Fj  G j  S j ,
(2)
Запишем координаты точек механической системы в абсолютной системе координат XOY [5]:
где G j – функции гравитационных сил,
69
И. Ф. Талипов, Н. А. Репьях
S xj  x j x j 1 



qi 
j 1 2  qi
x
m1 :  1 ;
 y1
QSi  
 x  x1  l1 cos 1
m2 :  2
;
y

y

l
sin

 2
1
1
1
 x  x2  l2 cos  2
m3 :  3
,
 y3  y2  l2 sin  2
S yj  x j y j 1 




2  qi
qi 
5
где  2  1    arccos
2
R 

 

S xj  2 p 1  l j cos   j  cos   j ,
2
 2

 R2 
,
(5)
2
R 

 

S yj  2 p 1  l j sin    j  cos   j ,
2
 2

 R2 
для треугольного элемента
 x  x3  l4 cos  4
m4 :  4
;
 y4  y3  l4 sin  4
 x  x4  l5 cos 5
m5 :  5
;
 y5  y4  l5 sin 5
 j – угол падения света на парус l j ,
p – солнечная постоянная для Земли,
R1 – расстояние Солнце – Земля,
R2 – расстояние Солнце – Парус.
В результате математических преобразований получим уравнения (12) движения
системы [5]:
Из равенств (5) определяются скорости
v j  x j2  y j2
(6)
2
2
y j  
d  5 m j  x j
Ii   



dt  j 1 2  qi
qi  


2
2
5 m  x
y 
 j  j  j  
qi 
j 1 2 
 qi
5
m j Mrj  x j y j
   g 

3 
2
2

q
j 1
x j  y j  i qi
точек системы и значение кинетической энергии T системы
m j v 2j
j 1
2
T 
,
(7)
где v j – абсолютная скорость точки m j .
Частная производная T по обобщенным
координатам примет вид
5 m
T
 j
qi j 1 2
 x j 2 y j 2 


.
qi 
 qi
S xj  x j x j 1  S yj



qi  2
j 1 2  qi
5

Qi  QGi  QSi ,

,


xj  yj
2
2
3
 y j y j 1 



 qi qi 
Исследование поведения системы проводилось на модели, состоящей из пяти тел,
принимаемых за материальные точки. Определяющими параметрами системы являются
массы тел, длины стержней и начальные
условия. Орбитальное движение системы
m1 , m2 ,, m5 зададим движением первой
точки, предполагая, что в начальный момент
она находится на расстоянии Rземли+ h от гравитационного центра и имеет начальную скорость, соответствующую круговой скорости
для этого расстояния:
(10)
где
m j Mrj
(12)
2. Исследование движения
5-массовой БОКС
(9)
5
 xj  yj
QGi  G j , 

 qi qi
j 1




(i = 1, 2,…, 5).
(8)
Обобщенные силы Q в обобщенных координатах:
Gj  g
(11)
где
l12  l2 2  l32
2l1l2
5
,
,
( rj – радиус-вектор точки m j )
70
Исследование движения большой орбитальной космической системы…
v0 
M
Rз  h
На первом этапе движения системы к
моменту t1 (рис. 4) за счет гравитационного
поля происходит смещение положения "хво-
,
где Rз – радиус земли, h – начальная высота
ста". Так как система с учетом S j располага-
точки m1 над поверхностью Земли [5].
Начальное состояние системы полностью определяется размером БОКС и положением точек m1 , m2 ,, m5 в начальный момент
времени. Предполагается, что в начальный
момент времени t система движется согласно
условиям (13), паруса l j полностью отража-
ется практически параллельно к действию
силы светового давления – системы не сильно
различаются своей ориентацией.
ют световой поток.
Ниже приводится анализ движения 2
БОКС из пяти точек:
I – в поле гравитационных сил,
II – в поле сил гравитации и светового
давления, соединенных последовательно, с
образованием
треугольника
в
точках
m1 , m2 , m3 в транспортирующей системе
координат m1 xy (рис. 3, 4, 5, 6, 7), при этом
Рис. 4. Системы в момент времени
t1 =60 c
массы всех тел одинаковы и равны m  60 кг,
длины стержней {l1 , l2 , l3 , l4 , l5 } = {500, 600,
700, 1000, 1500} м соответственно, начальные
углы и их угловые скорости равны:
К моменту времени t 2 (рис. 5) наблюдается ускорение вращения модели без учета
1  0,  2  0,  4  0, 5  0 ,
наоборот замедляет свое вращение за счет
действия сил давления на "хвостовые" паруса.
сил светового давления. Модель с учетом S j
(13)
1  0.01,  2  0.01,  4  0.01, 5  0.01.
В начальный момент времени системы
изображены на рис. 3.
Рис. 5. Системы в момент времени
t 2 =120 c
С увеличением угла наклона к световому потоку возрастает действие сил светового давления, вследствие чего "хвостовые"
паруса начинают ускоряться, придавая противоположное вращение системы с парусами (рис. 6).
Рис. 3. Системы в начальный момент времени t 0
71
И. Ф. Талипов, Н. А. Репьях
необходимо вводить массы стержней или парусов, учитывать функцию тени как от источника гравитации, так и от самих парусов.
Также необходимо учесть и действие возмущающих факторов (например, притяжение
Луны и Солнца, реликтовые излучения, электромагнитные излучения).
Исследование движения 5-массовой системы проводилось численно с применением
пакета Wolfram Mathematica 9.01 в предположении равных масс точек, начального поступательного состояния системы в плоском
центральном гравитационном поле c полным
отражением светового потока. Приведено
описание последовательных состояний системы в транспортирующей системе координат
для двух моделей на промежутке одного оборота системы вокруг опорной точки m1 .
Создана визуализация движения 5массовой системы в свободном вращении вокруг источника гравитации c действием сил
светового давления.
К моменту времени t 4 = 240 с система с
парусами приобретает хаотическое движение
за счет увеличения импульса сил S j . Система
без парусов приобретает вращение против
часовой стрелки. Система с парусами приобретает двойное вращение, вращение 3 звеньев
против часовой стрелки и вращение "хвоста"
по часовой стрелке (рис. 7).
Рис. 6. Системы в момент времени
t 3 =180 c
Список литературы
1. Вертипрахов И.А., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Динамика стержневой большой
орбитальной космической системы цепочечной структуры // Вестник Пермского
университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 4 (12). С.
42–47.
2. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателем постоянной
мощности // Космические исследования.
1964. Т. 2.
3. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев
В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966.
4. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука, 1986.
5. Маланин В.В., Остапенко Е.Н., Репьях
Н.А. Свободное движение пятиточечной
стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры в
транспортирующей системе координат //
Вестник Пермского университета. Сер.:
Математика. Механика. Информатика.
2013. Вып. 3 (22). С. 59–62.
Через некоторое время движение системы с парусами будет приобретать все более
хаотический характер.
Рис. 7. Системы в момент времени
t 4 =240 c
Заключение
Данные модели движения описывают
действие сил G j и S j на БОКС. Для дальнейшего развития модели динамики БОКС
72
Исследование движения большой орбитальной космической системы…
Motion study of a large orbital space system
chain structure in the gravitational field under
the influence of light pressure
I. F. Talipov, N. A. Repyah
Perm State University, Russia, 614990, Perm, st. Bukireva, 15
mpu@psu.ru; (342) 2-396-309
The mathematical model of a large orbital space system (LOSS) chain structure. 5 shows the analysis of motion-mass system. It is assumed that the mass of the rods and weightless concentrated
hinges. The system is in motion in a flat central gravitational field. The description of the motion
of the system at a certain interval of time around a gravitational center. Motion Study of 5-mass
system was carried out numerically using the package Wolfram Mathematica 9.01 , assuming
equal weights of points, the initial state of the system forward in the flat central gravitational field
of total reflection of the light flow. The description of the successive states of the system in the
carrier coordinate system for the two models in the interval of one revolution around the reference
point m1 . Created visualization of motion 5-mass system in the free rotation around the source of
gravity c the forces of light pressure.
Key words: central gravitational field; holonomic orbital system; large orbital space system
(LOSS); mathematical model of the motion.
73