О возможности изменения типа производственной функции

Слабые связи, нерациональное использование ресурсов и развитие агломераций1
В.Д.Матвеенко
1 Введение
Значительная часть различий стран, регионов, агломераций в выпуске объясняется
различиями в общей производительности факторов (TFP) (см., например, Prescott, 1998, Hsieh,
Klenow, 2009). Объяснения этих различий даются как в рамках теории экономического
развития (например, невозможность привлечь или эффективно использовать современные
технологии, что может быть связано с несовершенными институтами и вызванной ими
ловушкой бедности), так и в рамках теорий рынков (industrial organization), международной
торговли и экономики труда (например, учитываются условия входа на рынок и выхода с
него, влияние размера рынка и экономической политики, в том числе, размеров явных и
неявных налогов и субсидий, торговых барьеров, на степень конкуренции, размер фирм,
предложение труда, накопление капитала и т.д.). Все эти подходы вскрывают особую роль
дополнительности (комплементарности) видов деятельности в экономике. Производство,
включая производство идей, как на уровне отдельной фирмы, так и на уровне отрасли,
агломерации, региона, экономики в целом, состоит из отдельных разнородных видов
деятельности (activities), которые являются взаимодополняющими и образуют сложную
систему с многочисленными обратными связями. Эти виды деятельности могут быть в
большей или меньшей степени согласованы между собой. Дополнительность может касаться
технологических цепочек, обмена информацией, особых отношений и договоренностей между
отдельными компаниями и местными правительствами, этнических различий, политических
связей и преферентных отношений и т.д.
В случае, когда размещение ресурсов между видами деятельности неэффективно, в том
смысле, что перераспределение ресурсов может привести к увеличению производительности,
говорят о нерациональном распределении ресурсов (misallocation); этот термин получил
распространение в современной литературе после появления статьи Hsieh, Klenow, 2009, в
которой для Китая и Индии даны оценки возможного роста выпуска в случае гипотетического
перераспределения ресурсов. В последние годы появилось значительное число исследований,
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00878а).
выявляющих разнообразные факторы, порождающие misallocation. Обзор литературы о связи
misallocation и производительности дается в работе Restuccia, Rogerson, 2013.
Данная работа относится к тому направлению исследований, которое связывает
misallocation с дополнительностью видов деятельности и ставит вопрос об отрицательном
влиянии дополнительности на темп роста или уровень ВВП (например, Raurich et al., 2011,
Jones, 2011).
При анализе дополняющих видов деятельности часто используются супермодулярные
функции; родственный подход связан с использованием тропической (идемпотентной
математики). Соотношение между этими подходами рассматривается в разделе 2.
В разделе 3 изучается вариант модели Jones, 2011 с двумя базовыми товарами, которые
выпускаются, продаются на конкурентных рынках и используются для производства агрегатов
финального товара и промежуточного товара. Получено уравнение, определяющее величину
TFP и, соответственно, ВВП. Дается ответ на вопрос: как степень дополнительности
промежуточных товаров влияет на величину ВВП? В противоположность заключению Jones,
2011, мы приходим к неожиданному результату: играет роль не только степень
дополнительности (эластичность замещения) функции агрегирования промежуточных
товаров, но и специфическая форма этой функции (наличие или отсутствие весов).
В разделе 4, продолжая изучение роли дополняющих промежуточных товаров и слабых
звеньев сети, мы используем сетевую модель экономического развития с конечным числом
агентов (Matveenko, 1995). Принципиальное отличие от раздела 3 состоит в том, что вместо
агрегирующей функции используются производственные функции Леонтьева отдельных
агентов, производящих промежуточные товары. Модель позволяет раскрыть динамический
смысл понятий слабого звена и нерационального использования ресурсов (misallocation) и
показать связь долгосрочных темпов роста со слабыми звеньями.
Эта модель применяется для анализа процесса агломерации и деагломерации
(диффузии). Предполагается наличие двух типов агентов: «стационарных», которые связаны
постоянно с определенными местоположениями, и «свободных», способных менять
местоположение и, соответственно, переключать свою производственную функцию на
взаимодействие со стационарными агентами в новом местоположении, а также давать
трансферты этим стационарным агентам. Под трансфертами могут пониматься, например,
инвестиции, налоги, взятки и т.п. Асимптотическое поведение такой модели может быть
исследовано методами идемпотентной (тропической) математики. Построена переходная
2
динамика для примера с двумя стационарными агентами (находящимся в «центре» и на
«периферии») и одним свободным агентом.
2 Функции, учитывающие дополнительность
Стандартным способом анализа дополнительности в экономике стало использование
супермодулярных функций (см., например, Milgrom, Roberts, 1990, 1994). Мы используем
производственные
функции
Леонтьева
и
CES,
которые
являются
одновременно
супермодулярными и возрастающими положительно однородными (ВПО) функциями. В этом
разделе показаны некоторые соотношения для этих классов функций.
В дальнейшем неравенство x  y для n-мерных векторов означает, что xi  yi при всех
i  1,..., n. Неравенство x  y означает, что xi  yi при всех i  1,..., n. Символ  используется
для обозначения максимума чисел и покоординатного максимума векторов, а символ  ,
соответственно, обозначает минимум. Так, функция Леонтьева записывается в виде:
l , x   li xi ,
i 1,..., n
где l  (l1 ,..., ln ) – вектором параметров (технологических коэффициентов; она представляет
собой аналог скалярного произведения с идемпотентной операцией   
Функция f называется супермодулярной, если
f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) ;
субмодулярной, если
f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) .
Функция f называется возрастающей, если из x  y следует, что f ( x)  f ( y ) ; функция
называется ВПО функцией, если она возрастающая и положительно однородная первой
степени: f (x)  f ( x) для любого числа   0 и любого вектора x  0 .
Супермодулярность функций Кобба-Дугласа и CES следует из положительности
смешанных производных. Супермодулярность функции Леонтьева вытекает из следующего
утверждения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если функции одной переменной f i (.), i  1,..., n – возрастающие, то
функция n переменных
F ( x1 ,..., xn )   f i ( xi )
i 1,..., n
является супермодулярной и возрастающей.
3
Доказательство. Для доказательства супермодулярности функции F требуется
проверить выполнение неравенства:
 f i ( xi  yi )   f i ( xi  yi )   f i ( xi )   f i ( yi ) . (1)
i 1,..., n
i 1,..., n
i 1,..., n
i 1,..., n
Первое слагаемое в левой части не меньше, чем каждое из двух слагаемых в правой части, а
второе слагаемое в левой части совпадает с одним из слагаемых в правой части. Отсюда
следует справедливость неравенства (1), т.е. функция F супермодулярна.
Если x  y , то f i ( xi )  f i ( yi ) и, следовательно F ( x)  F ( y ) , т.е. функция F возрастает.
Предложение доказано.
Функции Леонтьева, Кобба-Дугласа и CES являются ВПО функциями. При этом
функция Леонтьева играет особую роль, поскольку со всякой ВПО функцией F связан
двойственный объект – опорное множество  – такое, что функция F представима как
решение задачи выбора коэффициентов функции Леонтьева:
F ( x)  max l , x .
l
(2)
Доказательство этого факта см. в статье Matveenko, 2010. Применительно к производственной
функции, опорное множество называют технологическим меню – см. Jones, 2005, Матвеенко,
2009, Matveenko, 2010. Далее используем только этот термин.
Можно заметить, что представление (2) аналогично известному представлению
сублинейной функции в форме супремума скалярного произведения, когда векторы
коэффициентов выбираются из некоторого сопряженного множества (см., например, Макаров,
Рубинов, 19732. Эту аналогию можно развить, введя следующие определения. Функция f
называется супераддитивной в смысле максимума, если
f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) .
(3)
Функция f называется субаддитивной в смысле минимума, если
f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) .
Следующее утверждение показывает, что каждое из этих понятий эквивалентно понятию
возрастающей функции.
Функция f называется супераддитивной (субаддитивной) , если f ( x  y )  () f ( x)  f ( y ) , и называется
суперлинейной (сублинейной), если она супераддитивна(субаддитивна) и положительно однородна первой
степени. Суперлинейная функция представима в виде f ( x)  inf px , где px - скалярное произведение, P –
2
pP
некоторое множество векторов, характеризующее функцию f. Аналогично, сублинейная функция f представима в
виде f ( x)  sup qx .
qQ
4
ТЕОРЕМА 1 (Матвеенко, 2009). Следующие три свойства эквивалентны:
1) Функция f является возрастающей,
2) Функция f является супераддитивной в смысле максимума,
3) Функция f является субаддитивной в смысле минимума.
СЛЕДСТВИЕ. Необходимым условием возрастания функции f является неравенство
f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y) . (4)
Доказательство. Согласно теореме 1, выполняются неравенства:
f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) ,  f ( x  y)   f ( x)  f ( y) .
Складывая эти неравенства почленно, получаем (4). Следствие доказано.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для супермодулярной функции условие (4) является не только
необходимым, но и достаточным условием возрастания функции f.
Доказательство. Определение супермодулярной функции может быть записано в виде:
f ( x  y)  f ( x  y)   f ( x)  f ( y)   f ( x)  f ( y) .
Пусть выполняется неравенство (4), тогда:
f ( x  y)  f ( x  y)   f ( x)  f ( y)   f ( x)  f ( y)
Суммируя последние два неравенства и сокращая, получим (3), следовательно, по теореме 1,
функция f возрастает. Предложение доказано.
Аналогично можно доказать, что для субмодулярной функции, (4) – это не только
необходимое, но и достаточное условие возрастания.
Теорема 1 показывает, что понятие возрастающей функции, в определенном смысле,
параллельно как понятию супераддитивной функции, так и понятию субаддитивной функции.
Соответственно, помимо (2), имеет место также и представление ВПО функции в форме:
F ( x)  min {li , xi } .
l
Пусть
F (x )
–
ВПО
функция,
M1
i
–
ее
множество
единичного
уровня,
M1  {x : F ( x)  1} . Сузим область определения следующим образом: будем рассматривать
ВПО функции на пространстве Rn , которое состоит из положительных n-мерных векторов и
начала координат. Это сужение позволяет для каждого вектора x  M1 рассматривать вектор
обратных
элементов:
x   ( x11 , x21 ,..., xn1 ) .
Заметим,
что,
в
случае,
когда
F (x )
-
производственная функция, xi1 - это средняя производительность i-го фактора производства.
Действительно, выполняется xi1  F ( x) / xi , поскольку F ( x)  1 при x  M1 .
5
Технологическое меню 1  {l : l  x  , x  M1} порождает, в смысле (2), функцию F (x) .
Эквивалентным образом, оно может быть описано так. Для функции F (x) определим так
называемую сопряженную функцию:
F  (l ) 
1
1
1
F  ,..., 
ln 
 l1
.
Технологическое меню может быть найдено как множество единичного уровня сопряженной
функции:
1  {l : F  (l )  1} .
В
случае
производственной
функции,
экономическая
интерпретация сопряженной функции F  (l ) следующая: для каждого вектора l  (l1 ,..., ln ) она
показывает минимальное значение общей производительности факторов (TFP), A, такое, что
функция AF (.) допускает средние производительности факторов, равные l1 ,..., ln .
ТЕОРЕМА
2
(Matveenko,
2011).
Технологическое
меню
1
-
единственное
порождающее функцию F.
Сопряженная функция и технологическое меню легко вычисляются. Будем говорить,
~
~
что технологическое меню  шире, чем технологическое меню  (а  уже, чем  ), если для
~
~ ~
каждого элемента l   найдется такой элемент l   , что l  l . Следующая теорема
приводится без доказательства.
1
p
ТЕОРЕМА. Для семейства CES функций ( x  x  ...  x ) , p  1, p  0 с ростом
p
1
p
2
p
n
эластичности замещения технологическое меню сужается. Для семейства CES-функций
1
p
( x   2 x  ...   n x ) , p  1, p  0 с фиксированными весами  1 ,...,  n такими, что
p
1 1
p
2
p
n
0   i  1 , 1  ...   n  1 , с ростом эластичности замещения технологическое меню
расширяется.
3 Агрегирование дополняющих промежуточных товаров и роль слабых связей
Пусть в экономике производится два базовых товара, i  1, 2 ; их производство
описывается производственными функциями:
Qi  Ai F ( Ki , H i , X i ), i  1, 2 .
6
Для сектора i, через Qi обозначается выпуск, Ai - общая производительность факторов
(TFP) в секторе, K i - капитал, H i - человеческий капитал, X i - используемый в данном
секторе объем промежуточных товаров. Функция F (.) обладает стандартными свойствами
неоклассической производственной функции. Принципиальное отличие в модели между
капиталом и промежуточными товарами состоит в том, что промежуточные товары не
накапливаются, а полностью расходуются.
Каждый произведенный базовый товар i продается в каком-то количестве ci для
использования в качестве финального товара для потребления и инвестиций, а в каком-то
количестве z i для использования в качестве промежуточного товара в производстве:
Qi  ci  z i , i  1, 2 .
Количества ci and z i используются, соответственно, при формировании агрегатов финального
и промежуточного товаров. Агрегат финального товара, Y, формируется согласно уравнению:
Y  R(c1 , c2 ) ,
тогда как формирование агрегата промежуточных товаров описывается уравнением:
X  S ( z1 , z 2 ) .
Агрегат финального товара используется для потребления и инвестиций:
Y CI .
Динамика капитала описывается уравнением:
K  I  K ,
где  - коэффициент износа. s depreciation coefficient. Капитал используется в секторах
i  1, 2 :
K  K1  K 2 .
Фирмы этих секторов платят за аренду капитала и компенсируют износ. Запас человеческого
капитала меняется экзогенно и арендуется секторами:
H  H1  H 2 .
Потребительские предпочтения описываются функцией полезности:

U   e t u (C (е)) dt ,
0
где u (.)  0, u (.)  0 .
Финальный товар служит «нумератором», его цена принимается за единицу.
7
Обозначения для цен, по которым товары продаются на рынках, собраны в таблице.
Good
Q1 , c1 , z1
Q2 , c2 , z2
Y
X
K
H
Price
p1
p2
1
q
r
w
Таблица 1. Обозначения цен товаров.
Балансовые условия и естественные условия оптимальности для задач, решаемых
экономическими агентами, приводят к следующему уравнению (вывод не приводим):


B

Y  (1   X ) BR F  K , H , S  X Y  , (5)
BR 1   X 

где  X - доля промежуточных продуктов в ВВП,


 A 
 A 
A1 R1,   1  
A1 S 1,   1  
 A2  
 A2  


BR 
, BS 
,
A1  A1 
A1  A1 
1
 
1    
A2  A2 
A2  A2 
функции  (.) и  (.) соответствуют зависимостям
p
p  z
с2
   2  , 2    2
с1
 p1
 p1  z1

 .

Решение уравнения (5) относительно Y дает производственную функцию экономики в целом.
В явном виде решить уравнение (*) можно, предполагая, что доля промежуточных товаров
постоянна и равна   (0, 1) :
F ( K , H , X )  f ( K , H )1 X  .
здесь функция f ( K , H ) обладает постоянной отдачей от масштаба и другими стандартными
свойствами неоклассической производственной функции. Имеем:
Y  Af ( K , H ) ,
где TFP равна:
A  (1   )


1
1
S
BR B
.
(6)
Агрегированная экономика выглядит в точности так, как односекторная неоклассическая
экономика с производственной функцией Af ( K , H ) с множителем TFP, в котором B R и BS
зависят от коэффициентов TFP A1 и A2 секторов, производящих базовые товары.
8
Будем использовать два способа спецификации функций R (.) и S (.) как CES-функций.
При первой спецификации:

1

R(c1 , c2 )  (c1  c2 ) , 0    1 ,

1
S ( z1 , z 2 )  ( z1  z 2 )  ,   0 ,
При второй спецификации:
1
R (c1 , c2 )  (c1  (1   )c2 )  , 0    1, 0    1 ,
1


S  ( z1 , z 2 )  (z1  (1   ) z 2 ) , 0    1,   0 .

В обоих случаях, положительный знак параметра  означает низкую степень
дополнительности финальных товаров, с1 и с2 , а отрицательный знак  отражает высокую
степень дополнительности промежуточных товаров. Равенство (6) превращается,
соответственно, в
A  (1   )

1

1

 A1



 A2 


1
1

 1
 A1  A21 







1  

 1
, (7)
в случае первой спецификации, и в
A ,  (1   )

1




1
1

1
A1
 (1   )
1
1

A2 


1
1





1
1 

1 
A1
 (1   )
1
1 

1 
A2




1  

 1
, (8)
в случае второй спецификации функций агрегирования.
В современных исследованиях по теории производственных функций предполагается
возможность изменения параметров производственной функции. В нашем случае,
предположим, что экономика, в определенной мере, свободна в выборе параметра степени
дополнительности  , и исследуем изменение TFP в (7) и (8) при изменении степени
дополнительности  .
Интуиция, сформулированная в Jones, 2011, состоит в том, что повышение степени
дополнительности вредит TFP. Тем более удивительно, что результат, который мы получаем
(доказательство не приводим), оказывается зависящим от вида спецификации CES-функции
агрегирования промежуточных товаров. При первой спецификации функции агрегирования
промежуточных товаров, S (.) (без весов), более жесткая связь между промежуточными
9
товарами, т.е. более высокое абсолютное значение  ) ведет к более высокой TFP.
Максимальный ВВП в таком случае достигается при функции Леонтьева,
S L ( z1 , z 2 )  min{ z1 , z 2 } , (9)
1


которая является пределом функции S ( z1 , z 2 )  ( z1  z 2 )

при    . Таким образом,
слабое звено определяет максимально возможную величину TFP.
В противоположность этому, при второй спецификации функции агрегирования
промежуточных товаров, S  (.) (с весами), более жесткая связь между промежуточными
товарами (т.е. более высокое  ) ведет к снижению TFP. Функция Леонтьева (9), которая
теперь является пределом функции S  ( z1 , z 2 ) при    , обеспечивает минимальный ВВП3,
а максимальный ВВП достигается при   0 , когда, в пределе, B S превращается в функцию
Кобба-Дугласа, BS  A1 A21 .
Аналогичным образом, можно исследовать результаты изменения параметра  . При
первой спецификации функции R (.) , уменьшение  желательно для увеличения TFP. При
  0 ВВП неограниченно растет. Минимальный ВВП достигается при   1 , когда, в
пределе, BR  max{ A1 , A2 }. При второй спецификации, R  , увеличение  желательно для
увеличения TFP. Максимальный ВВП достигается при   1 , когда

1
  и, в пределе,
R  max{ A1 , A2 } .
4 Модель дополнительности в сети и ее применение для анализа процессов агломерациидеагломерации
В модели, исследованной в разделе 3, использовалась функция агрегирования
дополняющих промежуточных товаров, по существу, представляющая собой «черный ящик».
Отойти от подобной конструкции и провести более детальный анализ роли слабых звеньев и
Джонс (Jones, 2011) не видит этого различия между спецификациями CES-функции, когда на с. 7 пишет, что
«Экономически, более сильная степень дополнительности придает больший вес самым слабым связям и
уменьшает выпуск», тогда как он использует агрегирующую CES-функцию без весов. На самом деле, в таком
случае более сильная степень дополнительности увеличивает ВВП, а не уменьшает. На с. 15 он снова настаивает
на том, что значение СES-функции без весов и со степенью    хуже, чем значение аналогичной функции,
3
но со степенью
 /(1   )  1 .
На самом деле, в первом случае значение функции выше.
10
дополняемости промежуточных товаров позволяет модель сетевой структуры с взаимными
положительными экстерналиями, которая рассматривается в данном разделе.
Роль экстерналий в пространственных структурах, таких как страны, регионы, города,
общины подчеркивалась многими авторами. При этом было выработано две точки зрения на
роль экстерналий в экономическом росте. В работах Marshall, 1890, Arrow, 1962, Griliches,
1979,
Romer,
1986
и
др.
рассматривались
экстерналии
«маршаллианского»
типа,
специфические для одной отрасли экстерналии, обеспечивающие специализацию и экономию
масштаба; региональная агломерация маршаллианского типа исследовалась, например, Michel
et al., 1999, Glaeser, 1999, Beenstock, Felsenstein, 2010. Другой полход к агломерационным
экстерналиям восходит к работе Джекобс (Jacobs, 1969), в которой утверждалось, что знания
могут распространяться между различными дополняющими друг друга отраслями, имеющими
одно и то же местоположение. Такого рода экстерналии часто называют «джекобианскими».
Лукас (Lucas, 1988) назвал их «экстерналиями творческих профессий». Такие экстерналии не
ограничены только знанием, но могут относиться к любым формам взаимного влияния,
дополнительности и взаимозависимости. Фактически, имеется много общего между
творческим влиянием или обменом идеями между людьми творческих профессий и
экстерналиями между различными элементами городской системы (такими как разные виды
бизнеса, квалифицированный и неквалифицированный труд, образование, медицина,
жилищное и дорожное хозяйство, общественный транспорт, энергия и освещение, аварийные
службы и т.д.) Лукас (Lucas, 1988, p. 38) отмечает, что «город, экономически, подобен ядру
атома: если бы мы постулировали только обычный список экономических сил, города должны
были бы разлететься. Теория производства не содержит ничего, что удержало бы город
вместе…» Конечно, город – это только один пример системы с взаимными дополняющими
экстерналиями.
«Основная
часть
нашей
жизни
– творческая»,
- замечает
Лукас.
Джекобианские экстерналии в пространственных системах с различных точек зрения
исследовались многими авторами.
Матвеенко (1995) предложил модель развития системы агентов с взаимными
положительными джекобианскими экстерналиями. Поскольку и многие чисто рыночные
элементы, такие, как занятость или размер рынка, во многом, действуют подобно
экстерналиям, область применения подобной модели развития не ограничивается лишь
системами с чистыми экстерналиями. Другая модель такого рода предложена Фуджитой
(Fujita, 2007, Berliant, Fujita, 2008, 2009); она интерпретируется как модель чистых
11
экстерналий знания и мотивируется тем фактом, что в промышленно развитых странах
происходит сдвиг от общества, основанного на массовом производстве товаров к «обществу
силы мозга» или «С-обществу». Каждая из этих моделей пытается отделить индивидуальные
возможности
развития
агентов
(потенциальные
возможности
у
Матвеенко
или
гарантированные возможности у Фуджиты) от возможностей, предоставляемых кооперацией.
В Матвеенко, 1995 индивидуальные возможности агентов развиваться могут быть ограничены
недостаточными размерами экстерналий, создаваемых другими агентами. Обе модели имеют
своим результатом, при некоторых условиях, сходимость траекторий к траектории
устойчивого роста. Модели могут порождать эндогенные межрегиональные взаимодействия и
миграцию агентов.
В данном разделе развивается подход Matveenko, 1995 и применяется к объяснению
таких явлений в пространственных экономических системах, как миграция факторов
производства, агломерация и деагломерация (дисперсия).
Напомним известный пример взаимных положительных экстерналий, создаваемых
двумя агентами: «садом» и «пасекой». Пасека оказывает положительное влияние на
производственные возможности сада, тогда как сад создает корм для пчел. Если один из
агентов, заинтересованный в своем собственном развитии, столкнется с недостаточным
размером экстерналии, он будет заинтересован либо в развитии также и другого агента, либо в
переносе, по крайней мере частично, своей деятельности в другое местоположение, где он
будет более свободен от такого рода ограничения.
Пусть i  1,2,..., n - экономические агенты (фирмы, органы власти, группы труда
различного типа и т.д.) Каждый агент i в период времени t  0,1,...
характеризуется
единственным положительным числом, xit , которое называется значением. Это может быть,
например, прибыль, выручка, благосостояние, знание, present value, или некоторая
агрегированная переменная, например, композит физического капитала и знания, или
некоторая не измеряемая прямо латентная переменная. Развитие i-го агента описывается как
изменение его значения; мы полагаем, что значение агента в следующий период зависит от его
собственного значения и значений некоторых других агентов в предыдущий период, при этом:
1.
Развитие i-го агента ограничено его собственными потенциальными
возможностями, описываемыми фиксированным темпом роста aii  0 :
xit 1  aii xit , t  0, 1,...; i  1,..., n;
12
2.
Развитие i-го агента ограничено ограничениями со стороны положительных
экстерналий, создаваемых некоторыми другими агентами:
xit 1  aij xtj , j  1,..., n, j  i, t  0,1,...; i  1,..., n;
где aij  0 - коэффициенты, описывающие ограничения на развитие i-го агента, вызываемые
ограниченностью положительных экстерналий, создаваемых j-м агентом. Здесь aij   , если
агент j не создает экстерналии, используемой агентом i или если экстерналия, создаваемая j
никогда не может стать недостаточной для i. В конкретных случаях коэффициенты aij могут
учитывать географические расстояния, транспортные издержки, другие трансакционные
издержки и т.п. Каждый агент максимизирует пошагово свое значение при указанных
ограничениях,
в
результате
получаются
следующие
уравнения,
характеризующие
равновесную траекторию при заданных начальных значениях x10 ,..., xn0 :
xit 1   aij x tj  ai , x t
j 1,..., n
t  0,1,...; i  1,..., n ,
в терминах функции Леонтьева, или
xt 1  A  xt , t  0,1,...,
в терминах тропической математики, где A  ( aij ) - квадратная матрица со строками a i ;
xt , xt 1 - положительные векторы; произведение A  x t аналогично обычному произведению
матрицы и вектора, но с идемпотентной операцией    .
Поведение системы xt  At  x 0 , t  1,2,... определено свойствами матрицы A. Система
демонстрирует различные паттерны, такие как сходимость к собственному вектору со
стабильным темпом роста, стабильный спад, сходимость к циклу и т.д. 4 Важный результат
состоит в том, что часто малое изменение одного из элементов матрицы A приводит к
радикальному изменению
паттерна
поведения
системы
(т.н.
эффект
бабочки
или
катастрофическая бифуркация). Это можно проиллюстрировать на примере. Независимо от
В типичном случае, последовательность  x , где  - собственное число в смысле идемпотентной алгебры,
сходится к собственному вектору x . Роль собственных векторов в сетевых структурах отмечает, например,
Кругман (Krugman, 2007): “Важен собственный вектор. Действительно. Поисковая машина Google использует
ссылки между веб-сайтами, чтобы проранжировать сайты по важности, через, очевидно, циркулярный процесс, в
котором важность сайта определяется числом ссылок, которые он получает с других сайтов, взвешенных по их
важности. Этот процесс обладает большим формальным сходством с процессом, который порождает
географические концентрации экономической активности в некоторых из моделей, над которыми работали Маса
Фуджита, Тони Венэйблс и я; в обоих случаях то, что возникает – это собственный вектор с наибольшим
собственным числом».
4
t
t
13
начального состояния, матрица
1.01 1 

A  
 1 1.01
ведет к циклу, тогда как матрица
1 1.01
 ведет к стационарному состоянию. Долгосрочный темп роста для системы с
A  
1 1.01
1 1
a 
a
2
матрицей A   11 12  равен   min{ a11, a22 , a122 a21
} . Важно заметить, что экстерналия
 a21 a22 
может быть несвязывающей (т.е. такой, что агент не чувствует ее недостаточности), пока
агент i «мал», но когда этот агент развивается, он может ощутить ограничение, вызванное
недостаточным развитием другого агента или группы агентов.
В качестве простого примера рассмотрим динамику системы, состоящей из двух
«стационарных» агентов: 1 (находится в центре) и 2 (находится на периферии) и одного
«свободного» агента: 3. Индивидуальный потенциальный темп роста «стационарного» агента
в центре выше, чем на периферии: a11  a22 . Пусть a11  1.2, a22  1.1, a33  1.5,
a31  0.4, a32  2 . Остальные четыре элемента матрицы A равны aij   . Решение
«свободного» агента описывается уравнением:
x3t 1  min{ a33 x3t , max{ a31x1t , a32 x2t }} .
Пусть «свободный» агент первоначально находится в центре, и начальное состояние
модели: ( x10  2, x20  0.7, x30  0.5) . Здесь «свободный» агент не испытывает недостатка
экстерналии
и
продолжает
( x11  2.4, x12  0.77, x31  0.75) ;
экстерналии
и
оставаться
«свободный»
передвигается
на
в
агент
центре.
На
испытывает
периферию.
На
следующем
в
центре
шаге:
недостаток
следующем
шаге:
( x12  2.88, x22  0.85, x32  1.13) ; «свободный» агент действует на периферии и не встречает
недостатка
экстерналии.
Далее,
когда
( x13  3.46, x23  0.93, x33  1.70) ,
( x14  4.15, x24  1.02, x34  1.86) , ( x15  4.98, x25  1.13, x35  2.05) , ( x16  5.97, x26  1.24, x36  2.26) ,
он встречает ограничение недостаточной экстерналии, но предпочитает оставаться на
периферии. Однако, на следующем шаге, когда ( x17  7.17, x27  1.36, x37  2.48) , «свободный»
агент возвращается в центр, далее ( x18  8.60, x28  1.50, x38  2.87) .
14
Рис. 1.
Эта динамика иллюстрируется рис. 1. Три прямые линии соответствуют ограничениям
на развитие «свободного» агента, которые вызваны его собственными потенциальными
возможностями и ограничениями экстерналий. Жирная линия показывает результирующее
значение, которое получает «свободный» агент. Число 1 указывает, что «свободный» агент
находится в центре, число 2 соответствует его пребыванию на периферии.
Следующий этап исследования состоит во введении трансферабельных значений:
теперь агент может передавать часть своего значения другому агенту. В случае
трансферабельных значений не только местоположение и темп роста «свободного» агента, но
и темпы роста «стационарных» агентов являются эндогенными.
Продолжим предыдущий пример. Если «свободный» агент заинтересован в своем росте
(а не в текущем состоянии, как раньше) и может делиться значением со «стационарным»
агентом, это приведет к следующей динамике: ( x13  3.46, x23  0.93, x33  1.70) до трансферта и
( x13  3.46, x23  1.13, x33  1.50)
после
( x14  4.15, x24  1.24, x34  2.25)
до
трансферта,
равного
0.26;
того,
трансферта
как
и
сделан
трансферт,
равный
( x14  4.15, x24  1.50, x34  1.99)
( x15  4.98, x25  1.65, x35  2.98)
до
0.20;
после
трансферта
и
( x15  4.98, x25  1.98, x35  2.65) после трансферта, равного 0.33; ( x16  5.97, x26  2.18, x36  3.97)
до трансферта и т.д. При такой структуре перераспределения, периферия развивается быстрее
центра! Эта динамика представлена на рис. 2.
15
Рис. 2.
Можно доказать, что темп роста в подсистеме, возникающей, когда «свободный» агент
остается в местоположении i (в центре или на периферии), равен
i3 
a33 (aii  a3i )
.
a33  a3i
Отсюда следует, что условие того, что периферия более предпочтительна для развития
«свободного» агента, чем центр, состоит в том, что
 a 
 a 
a11  a311  22   a22  a32 1  11  .
 a33 
 a33 
В данное выражение входит индекс i-го региона:
 a 
aii  a3i 1  jj , j  i ,
 a33 
Который включает члены, относящиеся к «стационарному» темпу роста региона, aii ,
ограничению на экстерналию в данном регионе, a3i , а также (с противоположным знаком)
относительный стационарный темп роста в альтернативном местоположении,
a jj
a33
.
Более интересны ситуации, когда развитие «свободных» агентов, таких, как группы
квалифицированного труда разной специализации, зависит от развития «свободных» фирм.
Последние передвигаются на периферию, и некоторое время спустя «свободный»
квалифицированный труд также приобретает тенденцию двигаться на периферию. Важный
16
вопрос состоит в идентификации “условий, при которых «свободные» агенты навесгда
остаются на периферии. Как прямые связи, в терминологии Кругмана (стимул работников
быть близко к производителям потребительских товаров) и обратные связи (стимул
производителей концентрироваться там, где рынок больше) могут быть легко учтены в
модели.
Торговля между городами, регионами или странами также может быть включена в
данную модель. Для этого, часть коэффициентов aij может интерпретироваться как
ограничения, относящиеся к потенциальным торговым потокам между агентами, и если эти
потоки актуализируются, это означает наличие торговли между соответствующими
регионами. Модель имеет также выход на анализ экономической политики.
Модель вполне соответствует многочисленным примерам динамики агломераций и
поведения агентов, рассмотренных в работах Johansson and Quigley, 2004 и Henderson, 2010.
Литература
1. Макаров В.Л., Рубинов А.М. 1973. Математическая теория экономической динамики и
равновесия. М.: Наука.
2. Матвеенко В.Д. 2009. «Анатомия» производственной функции: технологическое меню и
выбор наидучшей технологии. Экономика и математические методы 45(2), 85-95.
3. Arrow K. 1962. The economic implications of learning by doing. Review of Economic Studies 29,
155-173.
4. Beenstock M., Felsenstein D. 2010. Marshallian theory of regional agglomeration. Papers in
Regional Science 89(1), 155-172.
5. Berliant M., Fujita M. 2008. Knowledge creation as a square dance on the Hilbert
cube.
International Economic Review 49(4), 1251-1295.
6. Berliant M., Fujita M. 2009. Dynamics of knowledge creation and transfer: the two person case.
International Journal of Economic Theory 5(2), 155-179.
7. Fujita M. 2007. Towards the new economic geography in the brain power society. Regional
Science and Urban Economics 37, 482-490.
8. Glaeser E.L. 1999. Learning in cities. Journal of Urban Economics 46, 254-277.
9. Griliches Z. 1979. Issues in assessing the contribution of R&D to productivity growth. Bell
Journal of Economics 10, 92-116.
17
10. Henderson J.V., 2010. Cities and development. Journal of Regional Science 50(1), 515-540.
11. Hsieh C. and Klenow P. 2009. Misallocation and manufacturing TFP in China and India.
Quarterly Journal of Economics 124(4), 1403-1448.
12. Jacobs J. 1969. The economy of cities. New York: Random House.
13. Johansson B., Quigley J.M. 2004. Agglomeration and networks in spatial economies. Papers in
Regional Science 83(1), 165-176.
14. Jones C.I. 2005. The shape of production function and the direction of technical change.
Quarterly Journal of Economics 120, 517-549.
15. Jones C.I. 2011. Intermediate goods and weak links in the theory of economic development.
American Economic Journal: Macroeconomics 3, 1-28.
16. Krugman P. 1991. Increasing returns and economic geography. Journal of Political Economy 99,
483-499.
17. Krugman P. 2007. The “new” economic geography. Where are we? In: M. Fujita, ed. Regional
integration in East Asia. New York: Palgrave Macmillan.
18 Krugman P., Elizondo R.L. 1996. Trade policy and the Third World Metropolis. Journal of
Development Economics 49(1), 137-150. Reprinted in: M. Fujita, ed. (2005) Spatial economics: v. 2,
ch.14.
19. Lucas R.E., Jr. 1988. On the mechanics of economic development. Journal of Monetary
Economics 22, 3-42.
20. Marshall A. 1890. Principles of economics. London: Macmillan.
21. Matveenko V. 1995. Development with positive externalities: the case of the Russian economy.
Journal of Policy Modeling 17(3), 207-221.
22. Matveenko V.D. 2010. Anatomy of production function. Economics Bulletin 30(3), 1906-1913.
23. Milgrom P., Roberts J. 1990. The Economics of Modern Manufacturing: Technology, Strategy
and Organization. American Economic Review 80(3), 511-528.
24. Milgrom P., Roberts J. 1994. Complementarities and systems: understanding japanese economic
organization. Estudios Economicos 9(1), 3-42.
25. Michel P., Perrot A., Thisse J.-F. 1999. Interregional equilibrium with heterogeneous labour.
Journal of Population Economics 9, 95-114.
26. Prescott E.C. 1998. Needed: A theory of total factor productivity. International Economic Review
39, 525-552.
18
27. Raurich X., Sanchez-Losada F., Vilalta-Bufi M. 2011. Labor mobility and productivity growth.
Working Papers in Economics 254, Universitat de Barselona. Espai de Recerca in Economia.
28. Restuccia D. and Rogerson R. 2013. Misallocation and productivity. Review of Economic
Dynamics 16(1), 1-10.
29. Romer P. 1986. Increasing returns and long-run growth. Journal of Political Economy 94, 10021037.
29. Thisse J.-F. 2010. Towards a unified theory of economic geography and urban economics.
Journal of Regional Science 50(1), 281-296.
19