УДК 664.7 Математическое моделирование продолжительности

УДК 664.7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ
ПРОЦЕССА ЗАМОРАЖИВАНИЯ И ПЛАВЛЕНИЯ ЭВТЕКТИЧЕСКОГО
РАСТВОРА В АККУМУЛЯТОРАХ ХОЛОДА
Г.А. Белозеров*, Б.С. Бабакин**, Б.А. Макаров***
*Государственное научное учреждение «Всероссийский научноисследовательский холодильный институт», г. Москва, ул. Костякова, 12
**Московский государственный университет прикладной биотехнологии,
г. Москва, ул.Талалихина, 33, e-mail: babakin@bk.ru
***Открытое акционерное общество Центральный научно-исследовательский
институт «Курс», г. Москва, ул. Авиамоторная, 10
Длительность процесса кристаллизации эвтектического раствора неограниченной пластины
могла бы быть представлена как сумма трех компонентов: длительность процесса охлаждения
эвтектического раствора жидкой фазы 1 первоначальной температуры t0 до начала кристаллизации;
длительность процесса кристаллизации 2 и длительность процесса предварительного охлаждения
твердой фазы 3 до некоторой конечной температуры tк в центре пластины.
математическое моделирование,
аккумулятор холода
замораживание,
плавление,
эвтектический
раствор,
В аккумуляторных системах охлаждения используют теплоту плавления
эвтектических растворов. В настоящее время перспективным способом
безмашинного охлаждения является применение аккумуляторов холода в
авторефрижераторах
при
внутригородских
перевозках.
Применение
аккумуляционного охлаждения в авторефрижераторах создает экологическую
чистоту окружающей среды.
За рубежом данный вид охлаждения широко используется, в частности,
фирма «Carrier Transicold» (Франция) предлагает серию установок с машинноаккумуляционным охлаждением “Vatna” для изотермических автофургонов
объемом от 4 до 23 м3 с температурой замерзания эвтектического раствора
минус 32°С. Установки предназначены для перевозки мороженого и быстрозамороженных продуктов и рассчитаны на 14 ч непрерывной работы при
температуре окружающего воздуха 30°С.
Мировой лидер в производстве эвтектических плит – фирма «FIT s.p.a.» из
Италии предлагает на российском рынке серии эвтектических плит моделей EBS
и EFR.
Ниже рассматривается математическая модель продолжительности
процесса замораживания (плавления) аккумуляционных охлаждающих приборов
(см. рис. 1, 2).
Приближённое определение продолжительности процесса кристаллизации
эвтектического раствора неограниченной пластины принято при граничных
условиях третьего рода.
Рис.1. Температурное поле в плоской неограниченной пластине
при ее охлаждении
Fig.1. The temperature field in a plane infinite plate at cooling
Продолжительность процесса кристаллизации эвтектического раствора
неограниченной пластины можно представить как сумму трёх составляющих:
продолжительности процесса охлаждения жидкой фазы эвтектического раствора
τ1 от начальной температуры t0 до начала процесса кристаллизации;
продолжительности процесса кристаллизации τ2 и продолжительности процесса
переохлаждения твёрдой фазы τ3 до некоторой конечной температуры tk в центре
неограниченной пластины.
Если пренебречь конвективным теплообменом, то продолжительность
процесса охлаждения жидкой фазы τ1 от начальной температуры t0 до
температуры t3 кристаллизации эвтектического раствора на внешней поверхности
может быть определена из решения одномерного нестационарного уравнения
теплопроводности:
t x
 2 t x,  2
 aæ
x ,
(1)
  0;R  x  R  .


При граничных начальных условиях
t R , 
q   æ
  t R ,   t î .ñ ;
x
t o,  
 0;
x
t x, o   t o  const ,
(2)
где аж, λж – соответственно коэффициенты температуропроводности и
теплопроводности жидкой фазы; α – коэффициент теплоотдачи на внешних
поверхностях неограниченной пластины; tо.с – температура окружающей среды, оС.
Решение уравнения (1) при граничных условиях (2) имеет следующий вид:




t 0  t x, 
x
 1   A n cos  n exp   2n Fo æ ,
t 0  t î .ñ
R
n 1


(3)
2
2
2 sin  n
n 1 2Bi æ Bi æ   n
где A n 
; μn – тень корня
  1
 n  sin  n cos  n
 n Bi 2æ  Bi æ   2n
a 
1
 ; Fo æ  æ2 – число Фурье;
характеристического уравнения, ctg 
R
Bi æ
R
Bi æ 
– критерий Bio для жидкой фазы эвтектического раствора.
æ
Для больших чисел Фурье можно ограничиться первым членом ряда (3), и
тогда приближённо продолжительность процесса охлаждения жидкой фазы
можно будет определить по следующей зависимости:


R2
A11

,
1 
ln
a æ 12  Bi 2æ  12 1  3  


t0  t3
где 3 
.
t 0  t o .c.
Точное значение τ1 можно определить путём численного решения
уравнения (3) относительно числа Фурье Foж при
t t
3  0 3 и x  R .
t 0  t o .c.
Наибольшую сложность представляет определение продолжительности
процесса τ2 кристаллизации эвтектического раствора.
Для
приближённого
определения
продолжительности
процесса
кристаллизации эвтектического раствора воспользуемся вторым методом Л.С.
Лейбензона.
Предположим, что в каждый момент времени распределение температур в
твёрдой фазе определяется по линейному закону (квазистационарная модель)
t t
x 
t  t 3  3 o .c .
,
1
 R
1
Bi T
R
где ξ – координата границы раздела фаз.


Рис.2. Температурное поле в плоской неограниченной пластине
при замораживании эвтектического раствора
Fig.2. The temperature field in a plane infinite plate at freezing eutectic solution
Текущее значение энтальпии твёрдой фазы будем определять по
следующей зависимости:
w T  w T3  C PT t 3  t  ,
(4)
где wT3 – энтальпия твёрдой фазы эвтектического раствора при
температуре кристаллизации; СPT – теплоёмкость твёрдой фазы.
Аналогичным образом определим текущее значение энтальпии жидкой фазы:
w æ  w æ 3  C Pæ t  t 3  ,
(5)
где wжз – энтальпия жидкой фазы эвтектического раствора при температуре
кристаллизации; Срж – удельная теплоёмкость жидкой фазы.
Уравнение теплового баланса для каждого момента времени можно
записать следующим образом:

R


d 
t

w
dx



dx


(6)
 æ æ
T T
T
x  R d  0 .

d  0

x


0

В уравнении (6) первый член характеризует изменение во времени
теплосодержания жидкой фазы; второй – изменение во времени теплосодержания
твёрдой фазы; третий – изменение во времени теплового потока на внешних
поверхностях пластины.
Для простоты в этом уравнении начальный момент времени принят
равным нулю.
Определяем текущее значение первого и второго интегралов в уравнении (6):



 æ w æ dx  æ  w æ 3  ñðæ t  t 3 dx  æ w æ    æ ñðæ t  t 3 dx .
0
0
(7)
0
Величину второго слагаемого приближённо определим следующим образом:


0 æ ñðæ t  t 3 dx  R Q æ ,
где Qж – общее количество теплоты, которое необходимо отвести от жидкой
фазы, чтобы охладить последнюю до температуры кристаллизации от состояния, в
котором находилась жидкая фаза в момент начала кристаллизации:
R
Q æ    æ ñðæ t æ  t 3 dx ,
0
где Tж – пространственное распределение температуры в момент времени
τ1 начала процесса кристаллизации, которое можно определить приближённо по
формуле:


 x
t æ  t 0  t 0  t î .ñ 1  À1 cos ,  exp  12 Fo æ1  .
 R


Следовательно:

 À

Q æ  ñðæ  æ R t 0  t 3   t 0  t î .ñ 1  1 sin , exp   2 , Fo æ1   .
 1


Таким образом, первое слагаемое в уравнении (6) приближённо
определяется следующим выражением:


(8)
0 æ w æ dx  æ w æ   R Q æ .
Второе слагаемое в уравнении (6) определяется при линейном законе
изменения распределения температуры по толщине твёрдой фазы:
R
R
R
t 3  t o .c . x  







w
dx


w

ñ
t

t
dx


w
R




c
dx 
T
T3
T pT 
 T T  T T3 ð3 3
1
 R

1
Bi T
R


t t
1


  T w T 3 R      T c pT R 3 o.c. 1   .
(9)
1

2
R
1 
Bi T
R
После подстановки выражений (8) и (9) для первого и второго слагаемых в
уравнение (10) и произведя дифференцирование, получим следующее уравнение,
определяющее скорость перемещения границы раздела фаз:
2
 
 
1

 
 
1
d   R   d

 d 1



H

Q


c
R
t

t

 T
æ 
T pT
3
o .c .
  d
R
d  1

 d 2
 Bi  1  R 
(10)
 T

1 t 3  t o .c .
 T
 0.
R 1 1 
Bi T
R
В уравнении (10) Н – скрытая теплота фазового перехода
(кристаллизации), определяемая следующим образом:
1
 æ w æ 3   Òw Ò3  .
H
T
2
Интегрируя уравнение (10), получим формулу для определения
продолжительности процесса кристаллизации эвтектического раствора:
2
1 R T H  Q æ 
2  1  T c pT R  2
2
 2 ln 1  Bi T   1  
2 
1   
2 Ò
Bi 
t 3  t o.c.   Bi  4  T  Bi T
R
или в безразмерной форме
Q
T H  æ
a
1
R 1  2   1  2 ln 1  Bi   1  2  .
Fo T 2  2 2T 
(11)
T


2  T c pT t 3  t o.c.   Bi  4  Bi T2
Bi 
R
В формуле (11) первое слагаемое определяет продолжительность процесса,
необходимого для собственно кристаллизации и охлаждения жидкой фазы до
температуры кристаллизации; второе – определяет продолжительность процесса,
необходимого для переохлаждения твёрдой фазы.
В конце продолжительности процесса кристаллизации, согласно
принятому допущению, распределение температуры по толщине твёрдой фазы
будет определяться линейной зависимостью:
t t x
t  t 3  3 o .c . .
1
1 R
Bi
Для определения продолжительности процесса переохлаждения твёрдой
фазы τ3 необходимо решить уравнение теплопроводности (5) при следующих
граничных и начальных условиях:
TR , 
T
 a t R ,   t o.c. ,
x
t o, 
 0,
(12)
x
t t x
t x , o   t 3  3 o . c . .
1
1 R
Bi T
При этом в уравнении теплопроводности (1) коэффициент для жидкой
фазы aж необходимо заменить на коэффициент температуропроводности твёрдой
фазы эвтектического раствора аТ.
Это решение имеет следующий вид:

 x 

(13)
t x,   t î .ñ.  t 3  D n cos   n  exp   2n Fo T  .
n 1
 R 

Коэффициенты Dn разложения начального распределения температуры
определяются по формуле








t 3  t o .c . x   x 
n
2 
Dn 
1
cos  n dx 
 n  sin  n cos  n R 0   1
 R  R 
 1T3 
 
  Bi T






t 3  t o .c . 1
2

1  cos  n   n sin  n .

sin  n 
 n  sin  n cos  n 
 1
 


 1T3 n


Bi
 T



Для больших значений числа Фурье продолжительность процесса
переохлаждения твёрдой фазы τ3 можно определить, учитывая только первый
член ряда Фурье (13):
D1 t 3
D1 t 3
1
R2
Fo T 3  2 ln
или
.
3 
ln
2
 1 t 1  t o .c .
a T  1 t 3  t o .c .
Точное значение продолжительности процесса переохлаждения твёрдой
фазы τ3 можно определить путём численного решения уравнения (13)
относительно числа Фурье F0T3 при t(0,τ) = t1.
Таким образом, продолжительность всего процесса кристаллизации
эвтектического раствора будет равна:
 0  1   2  3
или в безразмерной форме
a
Fo 0  Fo T1 æ  Fo T 2  Fo T 3 .
àÒ
Аналогичным образом может быть рассмотрена обратная задача плавление эвтектического раствора неограниченной пластины.
R
APPROXIMATE COMPUTATION OF THE TIME PERIOD OF THE EUTECTIC
SOLUTION FREEZING OR MELTING IN THE COLD ACCUMULATOR
G.A. Belozerov, B.S. Babakin, B.A. Makarov
The duration of crystallization process of the eutectic solution of unrestricted plate could be presented as sum of three components: duration of the cooling process of the eutectic solution liquid phase τ1
from initial temperature t0 to the crystallization beginning; duration of the crystallization process τ2 and
duration of the subcooling process of the solid phase τ3 to some final temperature tk at the center of the
plate.
approximate computation, freezing, melting, eutectic solution, cold accumulator