Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
А.А. Перов
Л.В. Солнышкова
МАГНИТОТРАНСПОРТ И ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ РЕШЕТОЧНЫХ
СТРУКТУР СПИНТРОНИКИ
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией физического
факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям
подготовки 010700 «Физика», 210600 «Нанотехнология», 210100 «Электроника и микроэлектроника», специальностям 010701 «Физика», 210601 «Нанотехнология», 010803
«Микроэлектроника и полупроводниковые приборы»
Нижний Новгород
2010
3
УДК 538.915
ББК 22.314
П26
П26 Перов А.А., Солнышкова Л.В. МАГНИТОТРАНСПОРТ И ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СТРУКТУР СПИНТРОНИКИ: Учебно-методическое пособие / Под ред. А.А. Перова. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. – 44 с.
Рецензент: кандидат физико-математическихнаук, доцент К.А. Марков
Исследуются квантовые состояния в низкоразмерных полупроводниковых структурах n-типа со спин-орбитальным взаимодействием. Находятся
электронные волновые функции, энергетический спектр двумерных полупроводниковых сверхрешеток в присутствии постоянного магнитного поля. Изучены транспортные и оптические явления в присутствии взаимодействия Рашбы и
Дрессельхауза, в том числе целочисленный квантовый эффект Холла в 2D электронном газе. Обсуждаются методы экспериментального изучения эффектов
спин-орбитального взаимодействия.
Данное пособие предназначено для студентов старших курсов физического ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010700 «Физика»,
210600 «Нанотехнология», 210100 «Электроника и микроэлектроника», специальностям 010701 «Физика», 210601 «Нанотехнология», 010803 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы» и специализирующихся в области физики наноструктур.
Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии физического факультета ННГУ,
к.ф.-м.н., доцент Е.А. Солдатов
УДК 538.915
ББК 22.314
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2010
© А.А. Перов, Л.В. Солнышкова, 2010
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Квантовые состояния двумерного электрона с учётом
спин-орбитального взаимодействия …………………………………….
1.1. Гетероструктуры на основе GaAs  AlGaAs ………………………
1.2. Спектр и волновые функции электрона с учетом
спин-орбитального взаимодействия……………..…………………
1.3. Спектр и волновые функции электрона с учётом
спин-орбитального взаимодействия Рашбы в магнитном поле ….
1.4. Магнитные блоховские состояния носителей в двумерных
полупроводниковых решеточных структурах с учетом
спин-орбитального взаимодействия Дрессельхауза ………………
ГЛАВА 2. Магнитопоглощение электромагнитного излучения
2DEG со спин-орбитальным взаимодействием ………………………...
2.1. Оптические переходы между магнитными подзонами Ландау
в отсутствие СО взаимодействия …………………………………..
2.2. Оптические переходы на уровнях Ландау, расщепленных
периодическим потенциалом, с учетом СО взаимодействия
Рашбы ………………………………………………………………...
ГЛАВА 3. Квантовый эффект Холла в двумерных периодических
структурах со спин-орбитальным взаимодействием ………………….
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………………...
5
4
5
5
6
9
12
23
23
25
36
42
ВВЕДЕНИЕ
Исследование квантовых состояний блоховского электрона в магнитном
поле в течение нескольких десятилетий привлекает внимание теоретиков и экспериментаторов [1-17]. К настоящему времени экспериментально уже наблюдались эффекты, подтверждающие существование расщеплённой структуры
уровней Ландау [8]. Для их регистрации в реальных кристаллах необходимы
недостижимые пока магнитные поля порядка 1000 Т. В это же время, магнитные подзоны блоховских электронов наблюдаются в экспериментах по магнитотранспорту в искусственных кристаллах – поверхностных 2D-сверхрешётках,
помещённых в перпендикулярное магнитное поле. В последнее десятилетие достигнут прогресс в создании таких полупроводниковых структур с длиной свободного пробега, существенно превышающей период потенциала [9]. При этом
квантовые состояния двумерных электронов со спин-орбитальным (СО) взаимодействием, движущихся в периодическом поле поверхностной сверхрешётки
и перпендикулярном магнитном поле остаются практически не изученными.
В работе Таулесса с сотрудниками [6] было получено выражение, позволяющее рассчитать холловский кондактанс газа невзаимодействующих двумерных электронов в периодическом потенциале. В частности, было показано,
что в таких системах холловский кондактанс, измеренный в единицах e 2 / h ,
имеет целочисленное значение, когда уровень Ферми находится между магнитными подзонами. Этот результат имеет топологическую природу [18] и не зависит от вида периодического потенциала.
Теоретические исследования магнитотранспорта в 2D электронном газе
со спин-орбитальным взаимодействием показывают, что в сильных магнитных
полях, когда наблюдается целочисленный квантовый эффект Холла, при достаточно большой константе СО взаимодействия в холловском сопротивлении образуются новые плато [19], и происходит расщепление SdH пика  xx .
Данное учебно-методическое пособие организовано следующим образом.
В главе 1 обсуждаются квантовые состояния двумерного электронного
газа со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы и Дрессельхауза. Рассмотрены механизмы возникновения указанных типов СО взаимодействия в твердых телах.
Глава 2 посвящена аналитическому и численному изучению поглощения
электромагнитного излучения двумерным электронным газом, находящимся в
двоякопериодическом электростатическом поле поверхностной сверхрешётки и
в перпендикулярном магнитном поле, с учётом СО взаимодействия Рашбы.
В главе 3 исследуется транспортная проблема, а именно, квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе с СО взаимодействием Дрессельхауза в присутствии периодического электростатического поля сверхрешетки и постоянного однородного магнитного поля.
Глава 1. Квантовые состояния двумерного электрона с учётом
6
спин-орбитального взаимодействия
1.1. Гетероструктуры на основе
GaAs/AlGaAs
Квантовые структуры выращиваются из различных материалов, однако
для этой цели наиболее удачной парой является полупроводник GaAs — арсенид галлия и твердый раствор Al x Ga1 x As , в котором часть атомов галлия заменена атомами алюминия. Величина х — это доля атомов галлия, замещенных
атомами алюминия; обычно она изменяется от 0,15 до 0,35. Периоды кристаллических решеток в указанных соединениях отличаются не более чем на десятую долю процента. В процессе изготовления гетероструктуры очень важно
точно задать положение легирующих примесных атомов. Обычно легируется
область AlGaAs (например, атомами Si, которые являются донорами), a GaAs
делается насколько возможно чистым, но все же обычно остается слабо легированным полупроводником р-типа. Доноры в слое AlGaAs располагаются на
расстоянии в несколько десятков нанометров от границы перехода [20].
Рис. 1.1. Структура энергетических зон на границе двух полупроводников
Электроны из легированной области, расположенной на некотором удалении от перехода, мигрируют и скапливаются по другую сторону перехода у дна
зоны проводимости. Положительный заряд образовавшихся ионизированных
доноров притягивает их к поверхности. В результате образуется дипольный слой
— положительный заряд в AlGaAs , а отрицательный — в GaAs . Электрическое
7
поле этого слоя приведет к изгибу энергетических зон полупроводников. Если
край зоны проводимости окажется ниже уровня Ферми, то здесь образуется так
называемый инверсионный слой. Движение электронов вдоль слоя будет свободным, а в поперечном направлении ограниченным, что при выполнении ряда
условий приведет к размерному квантованию. Таким образом, в инверсионном
слое будет находиться двумерный электронный газ.
Главное преимущество такой системы состоит в том, что электроны в инверсионном слое и примесные атомы оказываются пространственно разделенными и, как следствие, процессы рассеяния будут подавлены. Поэтому в таких
гетеропереходах удается получить предельно высокие подвижности и выполнить условие квантования.
1.2. Спектр и волновые функции электрона с учетом
спин-орбитального взаимодействия
Рассмотрим двумерный электронный газ на границе двух полупроводников (рис. 1.1) [1]:
Гамильтониан, описывающий спин-орбитальное взаимодействие, нахо2
дится из разложения уравнения Дирака с точностью до членов порядка v 2 и
c
имеет вид:

(1.1)
Hˆ SO 
V r σˆ  pˆ  ,
2
2mc
где m - масса свободного электрона, c - скорость света, V - потенциальная энергия, p̂ - оператор импульса, σ̂ - вектор, составленный из матриц Паули. В том
случае, когда 2D электроны находятся в несимметричной квантовой яме (треугольной), спин-орбитальное взаимодействие описывается гамильтонианом
Рашбы:




 2kˆ 2
 2kˆ 2
ˆ
ˆ
H
 σˆ z  k 
  kˆxˆ y  kˆ yˆ x ,


2m
2m
(1.2)
где  - константа взаимодействия, m  – эффективная масса электрона, z - единичный вектор нормальный к плоскости двумерного электронного газа. Слагаемое, определяющее спин-орбитальное взаимодействие в гамильтониане
Рашбы, зависит от импульса, и поэтому можно говорить о том, что оно играет
роль эффективного магнитного (“зеемановского”) поля. В таком поле вырождение по импульсу снимается.
Собственные значения энергии записываются как [8]
8
E (k ) 
 2k 2
 k,
2m
(1.3)
где k  k x2  k y2 . Видно, что спектр состоит из двух ветвей, причем основное
состояние соответствует нижнему знаку во втором слагаемом. График функции
E (k x  0, k y ) обеих ветвей представлен на рис. 1.2.
2k y
2
   k y для электрона с учётом спин2m 
орбитального взаимодействия Рашбы
Рис. 1.2. Закон дисперсии E (0, k y ) 
Собственные функции гамильтониана (1.2) имеют вид:
1   ie i 
,
k (r ) 
2  1 
(1.4)
где
  arctan k x k .
y
В импульсном пространстве зависимость энергии от волнового вектора
представляется двумя параболоидами вращения. Их проекция на плоскость
( k x , k y ) приведена на рис. 1.3:
9
Рис. 1.3. Изоэнергетические поверхности закона дисперсии (1.3). Стрелки, касательные к
окружностям, показывают направление спина электрона, нормально ориентированные –
определяют направление импульса электрона.
Вектор [z  kˆ ] в гамильтониане Рашбы играет в данной задаче роль эффективного магнитного поля, направленного против часовой стрелки на рис.1.3.
Внешняя окружность представляет собой проекцию ветви энергии, соответствующей основному состоянию электрона, спин направлен наиболее выгодным образом – по эффективному полю. Энергия неосновного состояния (внутренняя окружность) выше, чем энергия основного при том же k . Спин в данном случае, как видно из рис.1.3, направлен против эффективного поля.
Таким образом, учет спин-орбитального взаимодействия приводит к тому,
что спин электрона оказывается расположенным в плоскости его движения и
коллинеарен вектору эффективного магнитного поля гамильтониана Рашбы.
Спин-орбитальное взаимодействие снимает двукратное спиновое вырождение
свободного двумерного электрона с массой, равной его эффективной массе в
полупроводнике.
1.3. Спектр и волновые функции электрона с учетом спинорбитального взаимодействия Рашбы в магнитном поле
10
Наложение внешнего однородного постоянного магнитного поля, направленного перпендикулярно к плоскости проекций импульсов электронов, существенным образом меняет квантовые состояния системы. Для того чтобы найти
решение уравнения Шредингера, необходимо в самом уравнении учесть действие перпендикулярного магнитного поля. Магнитное поле учитывается посредством векторного потенциала, зная который можно легко найти действующее магнитное поле, так как H  rot A . Поправка, обусловленная наложением
магнитного поля, в уравнении Шредингера вводится через оператор обобщённого импульса.
Выбрав калибровку Ландау для векторного потенциала: A  (0, Η  x,0) ,
так что H 0 z , можно записать гамильтониан электрона в магнитном поле с учётом спин-орбитального взаимодействия Рашбы [20]:
e
(pˆ  A) 2

e
c
Hˆ 
Eˆ  [z  σˆ ]  (pˆ  A)  g B Hˆ z ,

c
2m
(1.5)
где ˆ z - матрица Паули,  B – магнетон Бора, Ê  единичный оператор (матрица).
Вводя операторы рождения
aˆ  
lH
( pˆ y  i  pˆ x )
 2
и уничтожения
aˆ 
для осциллятора, где l H 
lH
( pˆ y  i  pˆ x )
 2

– магнитная длина, гамильтониан (1.5) можно
m
переписать как
1
 2 0

Hˆ  c (aˆ  aˆ  )  g B Hˆ z 
2
l H  aˆ 
aˆ 
.
0 
(1.6)
Собственная функция данного гамильтониана имеет вид:
k y (r ) 
e
 x  x0  Cn 

 n  l    ,
2 n
 H  Cn 
ik y y
11
(1.7)
 x  x0 
 – собствен– центр («точка подвеса») осциллятора,  n 
eH
 lH 
ная функция электрона в магнитном поле. В выражении (1.7) суммирование веC  
дётся по состояниям Ландау, спинор  n  определяет амплитуду вероятности
C 
 n
определенной ориентации спина электрона в n -ом состоянии Ландау.
Подстановка волновой функции (1.7) в уравнение Шредингера с гамильтонианом (1.6) дает систему однородных алгебраических уравнений для компонент спинора
где x0 
ck y
 

 C    2  m  1 C m
1  C m
1  
m


 c (m  )    g B H 








2  Cm 
  C m  l H  m  C m 1 
C  
 . (1.8)
E m
C  
 m
Приравнивая элементы соответствующих строк, получаем:
 
1
 2

m  1 C m
C m ( c (m  )  g B H  E ) 
1  0,
2
lH


C   2 m  C  ( (m  1 )  g H  E )  0.
m
c
B
 m 1 l
2

H
Отметим, что при   0 энергетический спектр будет иметь вид:
1
E  c (m  )  g B H ,
2
(1.9)
что соответствует состояниям Ландау электрона с учетом зеемановского расщепления. Перепишем далее уравнение (1.8) в матричном виде, сместив определенным образом нумерацию компонент спинора:


1
 2
  c (m  )  g B H  E

m 1

2
lH

 C m    0  . (1.10)

 C    0 
 2
3
m 1
 c (m  )  g B H  E  m 1   

lH
2


Приравнивая определитель матрицы к нулю и решая секулярное уравнение, получим выражение, определяющее энергетический спектр частицы:
12
2
1

2 8
Es  c s 
(c  2 g B H ) 
s,
2
2
lH
s = 1,2,3,4…
(1.11)
При этом отдельно для состояния с s  0 имеем:
E  E0  c / 2  g B H .
(1.12)
Данная энергия соответствует низшему уровню Ландау с учетом зеемановского
сдвига как будто в отсутствие спин-орбитального взаимодействия Рашбы. При
этом спин электрона направлен против магнитного поля. Волновая функция,
описывающая такое электронное состояние имеет вид:
 e
k y (r ) 
ik y y
 x  x0  0 
  .
 0 
l
2
 H  1 
(1.13)
Для того чтобы определить волновые функции, соответствующие уровням энергии (1.11), необходимо подставить соответствующие значения энергии
в матрицу системы уравнений (1.10). В результате, для значений энергии
2
1

2 8
Es  c s 
(c  2 g B H ) 
s получим рекуррентное соотношение
2
2
lH
для компонент спинора:
С n  
 2(n  1)
lH

С n1
.
1
8 2
(  c  2 g B H ) 2 
n  E0
2
2
lH
Положив C n1  1, будем иметь:
 2(n  1)
Сn  
lH 
1
8
(c  2 g B H ) 2 
n  E0
2
2
lH
2
.
(1.14)
В итоге нормированная волновая функция для состояний ветви E s принимает
вид:
13

 x  x0  
 Ds  s 1 
 
l
e

 H  ,
k (r ) 


y
1  Ds2    x  x0  
s
 

 lH  

ik y y
где Ds 
 2s
2

2
(1.15)
.
l H ( E0  E0  2s
)
2
lH
Проделав
аналогичные
вычисления
2
1

2 8
Es  c s 
(c  2 g B H ) 
s,
2
2
lH
для
значений
энергии
можно получить нормированные
волновые функции рассматриваемой ветви спектра:

 x  x0  
  s 1 
 
l
e

 H  .
ky (r ) 


1  Ds2   D   x  x0  
s s


 lH  

ik y y
(1.16)
1.4. Магнитные блоховские состояния носителей в двумерных
полупроводниковых решеточных структурах с учетом
спин-орбитального взаимодействия Дрессельхауза
В рамках предлагаемой модели гамильтониан электрона, совершающего
квантовомеханическое движение в двоякопериодическом электростатическом
поле поверхностной сверхрешетки, а также в постоянном магнитном поле с
учетом СО взаимодействия Дрессельхауза и зеемановского расщепления имеет
вид
Hˆ  Hˆ 0  V ( x, y ) .
(1.17)
В выражении (1.17) функция V ( x, y )  V0 cos( 2x / a)  cos( 2y / a) моделирует
периодический потенциал сверхрешетки с периодом a . В качестве "нулевого"
гамильтониана Ĥ 0 выбран гамильтониан электрона в магнитном поле с учетом
зеемановского сдвига и спин-орбитального взаимодействия Дрессельхауза:
1
Hˆ 0 
(pˆ  eA / c) 2 Eˆ  Hˆ D  g B Hˆ z ,
2m*
14
(1.18)



Hˆ D  ˆ x pˆ x  ˆ y ( pˆ y  eAy / c) .

Здесь pˆ x, y – проекции оператора импульса p̂ , m * – эффективная масса электрона, ˆ i (i  x, y, z ) – матрицы Паули,  - параметр СО взаимодействия Дрессельхауза,  B – магнетон Бора. Векторный потенциал постоянного магнитного
поля выбран в калибровке Ландау A  (0, H  x,0) . Структура квантовых состояний рассматриваемой системы зависит от параметра    /  0 | e | Ha 2 / 2c
– числа квантов магнитного потока через элементарную ячейку сверхрешетки
(  0 – квант магнитного потока).
В представлении гамильтониана Ĥ 0 при рациональном значении параметра   p / q ( p и q – взаимно простые числа) собственная функция гамильтониана (1.17), определяющая состояние электрона в  -й магнитной подзоне
при заданном значении квазиимпульса, представляет собой двухкомпонентный
спинор
L/2 p
 1k ,  ( x, y ) 
    eik x (lqa  nqa / p ) e 2iy (lp  n) / a 
k ,  ( x, y )  

 2k ,  ( x, y )  l   L / 2 n 1
 

 (k )   ( x, y )  B  (k )  ( x, y ), L  .
A
(
k
)

(
x
,
y
)

B
  sn

sn
snlk
0nlk
0n
snlk
 s 1

(1.19)
Нормированные базисные спиноры
0(nl)k ( x, y)  e
()
snl
k ( x, y ) 
( )
snl
k ( x, y ) 
ik y y   0  ln 


0
 ,

 Ds s  ln 

,
2   s 1 ln  
1 | Ds |
e
ik y y
  s  ln  


2  Ds  s 1 ln 
1 | Ds |
e
ik y y
есть собственные функции гамильтониана Ĥ 0 (1.18), отвечающие его соб2
( s  1,2,3,...) .
ственным значениям Es  c s  ( E0 ) 2  2s 2 / l H
15
2
Здесь Ds  (i 2s  / l H ) /( E0  ( E0 ) 2  2s 2 / l H
) ,  0  ln  – собственные
2
функции гармонического осциллятора, l H
 c / | e | H – магнитная длина,
E0  c / 2  g B H – энергия состояния электрона при s  0 в отсутствие по-
ля
сверхрешетки,
–
циклотронная
частота,
c | e | H / m*c
 ln  ( x  x0  lqa  nqa / p) / l H , x0  ck y / | e | H .
Поскольку спинорная волновая функция (1.19) одновременно является
собственной функцией гамильтониана (1.17) и оператора магнитной трансляции, она обязана удовлетворять обобщенным периодическим условиям Блоха в
магнитном поле (условиям Пайерлса):
k ,  ( x  qa, y  a)  k ,  ( x, y ) exp( ik x qa ) exp( ik y a) exp( 2iy / a) .
Квазиимпульс электрона k определен в магнитной зоне Бриллюэна (МЗБ):


qa
 kx 

qa

;

a
 ky 

a
.
Запишем стационарное уравнение Шредингера в собственном базисе исходного невозмущенного гамильтониана Ĥ 0 (1.18). Матрица гамильтониана
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ имеет блочную структуру вида:
 A
 s
 A
 s
Bs 
, s  1,2,3....
Bs 
(1.20)
Здесь матричные элементы блоков As и Bs получены в результате скалярного
домножения обеих частей стационарного уравнения Шредингера на базисную
функцию k (r) и последующей группировки членов при одинаковых коэфy
фициентах. Соответственно, As и Bs получены в результате скалярного домножения стационарного уравнения Шредингера на симметризованную базисную функцию ky (r) . Внутри каждого такого блока также содержатся подблоки с фиксированным s и значениями n  1,2,... p . При этом собственная функция гамильтониана имеет вид вектора-столбца следующей структуры:
16
 A1 
 0
 ... 
 p
 A0 
 ... 
 n
 As 
 ... 
 p
 As 
 B1 
 0
 ... 
B p 
 1 
 ... 
 Bsn 


 ... 
B p 
 s 
Будем рассматривать задачу в двухуровневом приближении, то есть будем учитывать взаимодействие соседних ветвей спектра E s и E s1 невозмущенного гамильтониана (1.18). Такое рассмотрение справедливо при определенном выборе параметров модели, когда разность энергий внутри этой пары
много меньше, чем между соседними парами E s  E s1   c . В результате
матрица гамильтониана будет иметь следующий блочный вид:
 A
 s ' s
 A
 s ' s 1
B s' s 1 
.


B s '1 s 1 
Матричные элементы для блока As's могут быть получены аналитически. Матрица имеет трехдиагональный вид:
n  n' , элементы главной диагонали:
q


1
2
E   D
  V cos qa  k  2n  e 2 p 

1

s

1
s

1
 p y
2

 0
a  
 
1  Ds 1 


 q 
 q  
 Ds 1 2 L0s 1   L0s   
 p
 p  

n  n'1, элементы верхней диагонали:
17
qa
q
ik x


V0
 q 
 q  
1
2
p
e
e 2 p  Ds 1 L0s 1   L0s   
2 1 D 2
 p
 p 

s
n  n'1, элементы нижней диагонали:
V0
1
e
2 1 D 2
s
ik x
qa q


 q 
 q  
2
p
e 2 p  Ds 1 L0s 1   L0s    .
 p

 p 
Матричные элементы блока Bs'1 s 1 :
n  n' , элементы главной диагонали:
q




qa
2

n


 E   D 2  1  V cos
2p


 0
ky 
 e

2 s s

p
a




1  Ds 


 q 
 q  
 Ds 2 L0s 1   L0s   
 p
 p  

1
n  n'1, элементы верхней диагонали:
qa
q
ik x


V0
 q 
 q  
1
2
p
e
e 2 p  Ds L0s 1   L0s   
2 1 D 2
 p
 p 

s
n  n'1, элементы нижней диагонали:
qa
q
ik x


V0
 q 
 q  
1
2
p
e
e 2 p  Ds L0s 1   L0s    .
2 1 D 2
 p
 p 

s
Матричные элементы блока B s' s 1 имеют вид:
n  n' , элементы главной диагонали:
q
V0
1  Ds
2
1  Ds 1
 qa 
 q  
2n    2 p  * 1  q 
 Ds 1Ls    Ds* L1s 1   
sin   k y 
 e
2
a 
 p
 p
 p 

18
n  n'1, элементы верхней диагонали:
V0
1  Ds
2
1  Ds 1
1  qa

2 2  2 plH
qa
q
 ik x p  2 p
e
e


 *
 q 
1
1 1  q  
 Ds 1
L1s    Ds*
Ls 1  
p
s

1
s


 p 

n  n'1, элементы нижней диагонали:
V0
1  Ds
2
1  Ds 1
1  qa

2 2  2 plH
qa
q
 ik x p  2 p
e
e


.
 *
 q 
1
1 1  q  
 Ds 1
L1s    Ds*
Ls 1  
p
s 1  
s
 p 

Матричные элементы As' s 1 такие же, как и B s' s 1, так как матрица гамильтониана Ĥ является эрмитовской.
Рассмотрим далее взаимодействие двух соседних ветвей спектра E0 и
E1 . Данное приближение становится оправданным, когда величина СО и зеемановского расщепления значительно меньше характерной энергии Ландау
 ñ . Волновая функция электрона (1.19) в данном случае имеет вид:


 x  x0  lqa  nqa / p  


 
D


1
1
 p
l
1


 
H
 k x , k y ( x, y )    
A1n (k )

2
 x  x0  lqa  nqa / p  
l   n 1 1  D1
  0 
 

l


  (1.21)
H


 x  x0  lqa  nqa / p   ik lqa  nqa  2iy lp  n
x
 
p 

a  e ik x y

e
e
lH
 

0

 
B0n (k ) 0 


и представляет из себя вектор-столбец
 
 k x ,k y ( x, y )   1  ,
 2 
где
19

 p 
 x  x0  lqa  nqa / p 
1
 ( x, y ) 

 
A1n (k ) D11 
1




2
l


H
l   n 1  1  D1


lp  n
2iy




x

x

lqa

nqa
/
p
n
0
a  e ik x y ,
  e
 B0 (k ) 0 
lH




lp  n
 p
ik x lqa  nqa  2iy



x

x

lqa

nqa
/
p
p 
n
0
a  e ik x y .
  e 
e
 2 ( x, y )    A1 (k ) 0 
lH


l   n 1


Элементы матрицы гамильтониана Ĥ , описывающие расщепление не-
возмущенных уровней пары E 0 и E1 , имеют вид:
Матричные элементы блока As's :
n  n' , главная диагональ:
q

 E  1  D 2    V cos qa  k  2n  e 2 p  D 2 L0  q   L0  q  

 1
1 
 p y
0 p 
 1 1 p 
2
 0
a  
 
 
 

1  D1  
1
n  n'1, верхняя диагональ:
V0
1
e
2 1 D 2
1
ik x
qa q


 q  
2  q 
p
e 2 p  D1 L10    L00   
p
p





n  n'1, нижняя диагональ:
V0
1
e
2 1 D 2
1
ik x
qa q


 q  
2  q 
p
e 2 p  D1 L10    L00   
p
p




Матричные элементы блока Bs'1 s 1 :
n  n' , главная диагональ:
q
 qa 
2n    2 p 0  q 
E0  V0 cos  k y 
L0  
 e
p
a




 p
n  n'1, верхняя диагональ:
20

qa
q
qa
q
V0 ik x p  2 p 0  q 
e
e
L0  
2
 p
n  n'1, нижняя диагональ:
V0 ik x p  2 p 0  q 
e
e
L0  
2
 p
Матричные элементы блока B s' s 1 :
n  n' , главная диагональ:

q
 qa 
2n  
2 p 1  q 
sin   k y 
L0  
   e
2
p
a




 p
1  D1
V0 D1*
n  n'1, верхняя диагональ:
qa
q
qa
q
1/ 2
ik x

V0
 q 
D1*
p
2 p  q 

 L10  
e
e
2 1 D 2
 2p
 p
1
n  n'1, нижняя диагональ:
1/ 2
ik x

V0
 q 
D1*
p
2 p  q 

 L10  
e
e
2 1 D 2
 2p
 p
1
Во всех выражениях для матричных элементов Lnm ( ) – присоединенные полиномы Лагерра.
На рис. 1.4а и рис. 1.4b показана зависимость положения магнитных подзон электрона от величины напряженности внешнего магнитного поля, пропорциональной числу квантов магнитного потока p / q . В первом случае (рис. 1.4а)
система представляет собой 2D электронный газ в гетеропереходе
AlGaAs/GaAs с поверхностной сверхрешеткой с периодом a  80 nm и амплитудой периодического потенциала V0  1 meV . Данная структура в расчетах
характеризуется малым значением константы СО взаимодействия Дрессельхау21
за   1.0  10 12 eV  m и относительно малым значением g-фактора Ландэ
g  0.44 . Эффективная масса электрона в структуре AlGaAs/GaAs была выбрана равной m*  0.067 m0 . Параметры другой системы (рис. 1.4b) соответствуют гетероструктуре GaAs/In 0.23Ga 0.77 As , где константа Дрессельхауза и gфактор достигают значений   1.0  10 11eV  m и g  4.0 соответственно.
Эффективная масса электрона в In 0.23Ga 0.77 As выбрана равной m*  0.05m0 . В
обоих случаях показано расщепление четырех низших уровней энергии электрона с гамильтонианом Ĥ 0 на магнитные подзоны. Стрелками отмечены магнитные подзоны при p / q  3 / 1 , в которых были рассчитаны законы дисперсии
и вычислен холловский кондактанс. Точками большего размера отмечено положение уровней энергии E0 и E1 в отсутствие периодического потенциала
сверхрешетки.
Законы дисперсии E (k ) в магнитной зоне Бриллюэна при трех квантах
магнитного потока через элементарную ячейку сверхрешетки в структурах
AlGaAs/GaAs и GaAs/In 0.23Ga 0.77 As показаны на рис. 1.5a и рис. 1.5b соответственно. Стрелками на рис. 1.5а обозначены положения уровня Ферми, при которых в дальнейшем (см. Главу 3) будут рассчитываться значения холловского
кондактанса полностью заполненных магнитных подзон. Здесь и в дальнейшем
рассматриваются магнитные подзоны низшей пары невозмущенных полем
сверхрешетки уровней E 0 и E1 . Расчетные параметры систем здесь те же, что
и на рис. 1.4. Можно видеть (рис. 1.4a и рис. 1.5a), что уровни энергии E 0 и E1
расщепляются на шесть магнитных подзон вследствие действия на электрон
периодического поля сверхрешетки при p / q  3 / 1 . Расщепление, обусловленное СО взаимодействием и эффектом Зеемана, здесь достаточно мало из-за малых значений константы Дрессельхауза и g-фактора Ланде в GaAs . Таким образом, вырождение по спину снимается, и формируются три пары магнитных
подзон, в двух из которых (вторая и третья снизу) магнитные подзоны вложены
друг в друга (рис. 1.5a). Отметим, что соотношение вкладов СО и зеемановского взаимодействий в расщепление уровня, обусловленное периодическим потенциалом, зависит от периода сверхрешетки a при фиксированном значении
числа квантов потока  . Расчеты показывают, что для системы AlGaAs/GaAs с
уменьшением периода сверхрешетки магнитные подзоны становятся хорошо
разрешенными по энергии. Так при значении периода решетки a  35 nm
( p / q  3 / 1 ) третья и четвертая подзоны в спектре мгновенно касаются друг
друга в некоторой точке МЗБ, и при дальнейшем уменьшении периода все подзоны разделены между собой энергетическими щелями. Как будет видно дальше, такая перестройка энергетического спектра приводит к изменению закона
квантования холловского кондактанса полностью заполненных подзон Ландау.
22
Рис. 1.4. Зависимость положения магнитных подзон от величины магнитного поля,
пропорциональной числу квантов потока через элементарную ячейку сверхрешетки:
*
m
/GaAs
а) для электрона в структуре AlGaAs
: m 0.067
0,
12
V0  1 meV, a  80 nm, 1.010
eV m, g  0.44;
*
/In
Ga
As
m0,
0
.23
0
.77
b) для системы GaAs
: m 0.05
11
V0  1 meV, a  80 nm, 1.010
eV m, g  4.0 .
Стрелкой отмечены шесть магнитных подзон при p/ q 3/1, для которых
рассчитаны законы дисперсии.
23
В структуре GaAs/In 0.23Ga 0.77 As (рис. 1.5b) вследствие сильного СО взаимодействия и зеемановского расщепления все шесть магнитных подзон
при p / q  3 / 1 , группирующиеся вблизи положения уровней E 0 и E1 , отделены друг от друга узкими энергетическими щелями. Наличие в спектре таких
энергетических щелей приводит к особому виду кривизны Берри, которая
определяет закон квантования холловского кондактанса полностью заполненных магнитных подзон.
Рис. 1.5. Законы дисперсии электрона при p/ q 3/1 для систем с параметрами,
обозначенными на рис.1.4:
/GaAs
a) три пары магнитных подзон для структуры AlGaAs
, из
которых две вложенных(обозначены стрелкой на рис. 1.4a).
/In
Ga
As
0
.23
0
.77
b) шесть магнитных подзон для струтуры GaAs
(обозначены стрелкой на рис. 1.4b).
Стрелками здесь обозначены положения уровня Ферми, при которых будет рассчитан холловский кондактанс электронного газа.
24
Глава 2. Магнитопоглощение электромагнитного излучения
2DEG со спин-орбитальным взаимодействием
2.1. Оптические переходы на уровнях Ландау, расщепленных
периодическим потенциалом
В работе [23] была развита теория межподзонного поглощения электромагнитного излучения 2D электронным газом в решетках квантовых точек в
постоянном магнитном поле. Все расчеты авторами были проведены в рамках
модели, не учитывающей спин электрона. Гамильтониан электрона в периодическом двумерном потенциале, постоянном магнитном поле и в поле электромагнитной волны имеет вид:

e
e
1
H
(pˆ  A 0  A w ) 2  V ( x, y) ,
c
c
2 m
(2.1)
где A 0  H (0, x,0) - векторный потенциал внешнего постоянного магнитного
поля, направленного вдоль оси 0 z , A w  векторный потенциал поля световой
волны, функция V ( x, y)  V0 cos2 (x a) cos2 (y a) моделирует периодический
потенциал квадратной решётки квантовых точек при V0  0 и антиточек при
V0  0 . Выделим в (2.1) «нулевой» гамильтониан

e
1
H0 
(pˆ  A 0 ) 2  V ( x, y) .
c
2 m
(2.2)
Собственные функции Ĥ 0 , удовлетворяющие обобщённым условиям Блоха,
имеют вид:
nqa 

(lp  n) ik (lqa  nqa )
 x  x0  lqa 

2

iy
1
1
p  ik 2 y
(i )
p

a e
 k(i ) ( x, y ) 
C

e
e



Nn  N 

l
La q N  0 n 1
H
l




1
 eik1 x eik 2 yU k(i ) ( x, y )
.
La q
(2.3)


Здесь k пробегает все значения из магнитной зоны Бриллюэна
25


qa
 k1 

qa

;

a
 k2 

a
,
(2.4)
индекс i задаёт номер магнитной подзоны.
Переменное световое поле может быть учтено по теории возмущения с
возмущающим гамильтонианом:
e
e
(2.5)
Wˆ 
(pˆ  A 0 ) A w ,
mc
c
где pˆ  i r .
Пусть световая волна поляризована вдоль оси 0 x


A w  i Aw  i A0eigr it .
(2.6)
Тогда из условия поперечности электромагнитной волны
divA w  0 .
(2.7)
получим, что g1  0 , g 2  0 . Кроме того, ( A w , A 0 )  0 .
Для оператора Ŵ в приближении k  g , g  0 будем иметь
e
Wˆ 
pˆ x Aw ,

m c
ie

Wˆ  
A0e it .
x
mc
(2.8)
Заметим, что функция (2.3) нормирована на объём 2D кристалла V  L2 a 2 q , а
функции U k(i ) нормированы на объём элементарной ячейки сверхрешетки
 0  qa 2 .
Матричный элемент перехода из  -го состояния в  -ое определяется
выражением:

(  )  ( ) 2
 
Wkk


,
k
'
W

,
k


 k ' W k d r .
'
(V )
Так как
 k (r)  eikrUk (r ) ,
26
U k (r )  U k (r  am ) ,
то от интегрирования по объёму кристалла можно перейти к интегрированию
по одной ячейке  0 по правилу:
 
Wkk'
 e
i (k  k')a ξ

 
 ie 

  U (  ) U k( ) d 2 r ' .
A0 e  it  
k ' x

L2 a 2 q
 m c  0
1
Далее используя явный вид U k (r ) :
nqa 

 x  x0  lqa 
 2iy (lp  n) ik1 (lqa  nqa )
p 
(i )
p ,
a e
U k(i )  e ik1 x   C Nn
e
  N 

lH
N  0 n 1
l






 f
получим для Wkk
выражение
 f
Wkk
 A0 e
 it 1
e


(  ) ( )
C Nn 
  CMs
qa mc N , M  0 n, s 1
nqa 
nqa 


 x  x0  lqa 

 x  x0  lqa 

p
p
 pˆ  
dx.
   M 
x N



l
l
H
H
l  qa / 2








qa / 2
Обсудим далее влияние спин-орбитального взаимодействия на процесс
поглощение электромагнитного излучения двумерным электронным газом.
2.2. Оптические переходы на уровнях Ландау, расщепленных
периодическим потенциалом, с учетом СО взаимодействия
Рашбы
Гамильтониан электрона, находящегося в периодическом двумерном потенциале поверхностной двоякопериодической сверхрешетки, а также в постоянном магнитном поле и в поле электромагнитной волны с учётом СО взаимодействия Рашбы имеет вид [24]:
27
e
e
1

e
e

Hˆ 
(pˆ  A 0  A w ) 2 Eˆ   ˆ x ( pˆ y  Ay )  ˆ y ( pˆ x  Aw )  
2m 
c
c

c
c

(2.9)
g B Hˆ z  V ( x, y ),
где A 0  H (0, x,0) – векторный потенциал внешнего постоянного магнитного
поля, направленного вдоль оси 0 z , A w – векторный потенциал поля световой


волны, функция V ( x, y )  V0  cos 2x  cos 2y   моделирует периодичеa
a 


ский потенциал квадратной сверхрешётки. Выделим в (2.9) «нулевой» гамильтониан
e
1

e

Hˆ 0 
(pˆ  A 0 ) 2 Eˆ  ˆ x ( pˆ y  Ay )  ˆ y pˆ x   g B Hˆ z  V ( x, y) .
c

c

2m
(2.10)
Собственные функции Ĥ 0 , удовлетворяющие обобщённым условиям Блоха,
имеют вид [25]:
 k(i ) ( x, y ) 
p

1
e ik 2 y e


La q n 1l  
2iy
(lp  n ) ik  lqa  nqa 
1
p 
a e 




nqa 


x

x

lqa



0

1
p  0 
 (i )

   Bn(i ) (k )
  An (k ) 0

 1 
lH

1  D12









 e ik1 x e ik 2 yU k(i ) ( x, y )
nqa  



 x  x0  lqa 
 
p  
  

0

 
lH


 

  

nqa  


 x  x0  lqa 
 

p
 
  D11 

 
lH


 



 

1
.
La q
(2.11)
Здесь k пробегает все значения из магнитной зоны Бриллюэна


qa
 k1 

qa

;

a
 k2 

a
.
(2.12)
Отметим, что выражение (2.11) получено в рамках так называемого двухуровневого приближения для гамильтониана (1.6). При этом параметры сверх-
28
решетки, значения констант СО взаимодействия и напряженность внешнего
магнитного поля выбраны так, чтобы имели место следующие соотношения:
E s  E s1 ~ V0  c .
В частности, выражение (2.11) для волновой функции электрона в сверхрешетке описывает его квантовые состояния в магнитных подзонах, на которые рас-
щепились периодическим потенциалом уровни энергии E0 и E1 невозмущенной задачи (1.11). В дальнейшем будет рассмотрена задача по расчету вероятностей прямых дипольных переходов между состояниями электрона в подзонах
указанной пары уровней.
Переменное световое поле может быть учтено по теории возмущения с
возмущающим гамильтонианом [26]:
e
e
e
Wˆ 
(pˆ  A 0 ) A w 
ˆ y A w ,

c
c

m c
(2.13)
где p  i r .
Пусть световая волна поляризована вдоль оси 0 x :
A w  iAw  iA0eigr it .
(2.14)
где g  квазиимпульс фотона,   частота фотона.
Из условия поперечности электромагнитной волны divA w  0 получим,
что компоненты вектора g могут быть выбраны в виде: g1  0 , g 2  0 , что соответствует нормальному к плоскости 2D электронного газа падению ЭМВ.
Кроме того, можно заметить, что векторы A w и A 0 ортогональны друг другу,
т.е. ( A w , A 0 )  0 .
В приближении k  g , g  0 возмущающий гамильтониан (2.13) принимает вид:
ie
 e
Wˆ  
A0e it

A0e itˆ y .

x c 
m c
(2.15)
Заметим, что функция (2.11) нормирована на объём кристалла V  L2 a 2 q .
Рассчитаем далее матричный элемент перехода из начального состояния
« i »: i, k , в конечное состояние « f »: f , k
29
i f
( f )  ˆ (i ) 2
Wkk'
 f , k' Wˆ i, k   k'
W k d r .
(2.16)
(V )
Выделяя в волновой функции (2.11) периодическую часть U k (r )
 k (r)  eikrUk (r ) ,
U k (r )  U k (r  am ) ,
перейдем от интегрирования в (2.16) по объёму кристалла к интегрированию по
одной магнитной элементарной ячейке  0 площадью qa 2 по правилу [26]:
i f
Wkk'
 e
i (k  k ' )a 

 
 ie 

  U k( 'f ) U k(i ) d 2r ' .
A0 e  it  

x
L2 a 2 q
 m c  0
1
Далее, используя явный вид U k (r )


nqa 



(lp  n) ik (lqa  nqa )
 x  x0  lqa 

p 

2iy
1
p
(i )
 ik1 x
ik 2 y
p

 0  
a e
Uk  e
e e
A
(
k
)

 n
0
 1 
l
H

n 1l  



nqa  



 x  x0  lqa 
 
p
  
 
0


 
lH


 
1 

 ,
 Bn (k )
nqa  
2

1  D1
 x  x0  lqa 


p
 
  D11 

 
lH


 


 

(2.17)
i f
получим для Wkk
выражение:
30


nqa 



 x  x0  lqa 

p  qa / 2 
p  0 
 *( f ) 
i f
it 1 e
 
Wkk  A0 e
 An  0 
 1 
qa c n1l 
l
H
qa / 2 


 
nqa  



 x  x0  lqa 
 
p  
  
 0
 
nqa 


lH
x

x

lqa




0

 


p
1 
1


*( f )
(
i
)



 0  
 pˆ  ˆ  A 
Bn
x
y
m
0

 1 
nqa   m*


 
lH
1  D12 
 x  x0  lqa 



p 




  D11



lH



 


 

nqa  



 x  x0  lqa 
 
p  
  
 0
 
lH


 
1 
(i )

 dx.
 Bm
nqa  

2
1  D1 
 x  x0  lqa 

p
 
  D11 

 
lH


 


 

(2.18)
В сильных магнитных полях (l H  a ) осцилляторные волновые функции достаточно быстро убывают по экспоненциальному закону. Поэтому в интеграле
(2.18) ограничимся слагаемым в сумме при l  0 , а пределы интегрирования будем считать бесконечными.
В результате получим
31


nqa 



 x  x0  lqa 

p   
p  0 
 *( f ) 
i f
 it 1 e
 
Wkk  A0 e
 An  0 
 1 
qa c n 1l   
lH



 
nqa  



 x  x0  lqa 
 
p  
  
0

 
nqa 


lH
 x  x0  lqa 






  (i ) 
1

p  0 
 1
*( f )





 
 Bn
pˆ  ˆ  A 
 1 
nqa   m* x  y  m 0 
2

l
H
1  D1
 x  x0  lqa 




p  




  D11



lH


 


 

nqa  



 x  x0  lqa 
 
p  
  
0

 
lH


 
1
(i )

 dx.

 Bm
nqa  
2 

1  D1
 x  x0  lqa 


p  

  D11



l


H

 


 

(2.19)
Для вычисления интеграла в (2.19) воспользуемся операторами рождения и
уничтожения для гармонического осциллятора, действия которых на его собственную функцию определены как
aˆ  n  n  1 n  1 ,
aˆ n  n n  1 ,
aˆ  aˆ n  n n .
Тогда оператор импульса p̂ x примет вид
pˆ x  
i
lH 2
Используя явный вид матрицы Паули ˆ y
32
(aˆ  aˆ  ) ,
0  i
,
0 
ˆ y  
i
(2.20)
результат интегрирования в (2.19) может быть записан следующим образом:

p
A0 e  it
i
i f
ˆ
ˆ
W
 fWi 
e
Amf * Bni  Ani Bmf *

c
1  D12 n, m 1
 qamD*l1

H 2

 
 
.
(2.21)
Число фотонов, поглощённых в единицу времени единицей площади поверхности, равно



2
1 2
i f
W

E
(
k
)

E
(
k
)



d k,
f
i
2
Ф  kk
2
(2.22)
где Ф – плотность потока фотонов. Здесь предполагается, что волновые векторы электрона в начальном и конечном состояниях совпадают, то есть речь идёт
о прямых межподзонных переходах.
Проведем аналитические и численные расчеты коэффициента поглощения электромагнитного излучения двумерным электронным газом в соответствии с формулой (2.21). В расчетах вероятностей переходов и числа поглощенных фотонов будем использовать актуальные параметры решеточных
структур как с сильным ( GaAs/In 0.23Ga 0.77 As ) [28], так и слабым
( AlGaAs/GaAs ) СО взаимодействием [29]. Значения выбранных нами расчетных параметров максимально приближены к реализуемым в эксперименте.
Напряженность магнитного поля, измеренная в квантах магнитного потока
p / q  4 / 1, что соответствует напряжённости магнитного поля H  2  10 4 Oe ,
амплитуда периодического потенциала
V0  1 meV , постоянная решётки
a  80 nm . Используя линейный закон аппроксимации по доле индия в твердом
растворе InGaAs, эффективная масса электрона выбрана равной m*  0.05m0 , gg  4.0 .
фактор
Ланде
Константа
СО
взаимодействия
Рашбы
  2.5  10 11 eV  m .
Для структуры AlGaAs/GaAs были выбраны следующие расчетные параметры: эффективная масса m*  0.067 m0 , g-фактор Ланде g  0.44 , постоянная взаимодействия Рашбы   2.5  10 12 eV  m .
На рис. 2.1. представлен спектр поглощения ЭМИ двумерным электронным газом в структуре In 0.23Ga 0.77 As , когда заполнена низшая подзона уровня
E1 . При этом концентрация электронов составляет величину порядка
n ~ 1011 cm  2 . Здесь по горизонтали отложена частота переходов, а по верти-
33
кальной оси – в относительных единицах число поглощённых фотонов в единицу времени с единицы площади поверхности. На рис. 2.1. видны семь достаточно хорошо разрешённых по частоте пиков поглощения ЭМИ, соответствующих переходам из указанной заполненной подзоны в оставшиеся семь свободных. Ширина пиков в пересчёте на энергию в среднем составляет величину
порядка E ~ 0.025 meV , что соответствует температуре T ~ 3K . Длины волн
указанных переходов не превосходят   0.5 mm , соответствующей переходу
1 8 на рис.2.1. Переходы в подзоны уровня E0 в среднем более интенсивны,
чем в незаполненные подзоны уровня E1 . Вероятности переходов отличны от
нуля вследствие перемешивания спинорных состояний невозмущённого спектра рассматриваемой пары уровней.
1->8
7000
Коэфф. погл., отн. ед.
6000
5000
4000
1->7
3000
1->5
2000
1000
1->3
1->2
1->4
1->6
0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Частота, THz
Рис. 2.1. Спектр поглощения ЭМИ двумерным электронным газом в структуре

In0.23Ga0.77As, когда заполнена низшая подзона уровня E1 .
На рис. 2.2 представлен спектр поглощения ЭМИ 2D электронным газом
в структуре In 0.23Ga 0.77 As , когда заполнены две подзоны низшего подуровня
Ландау. Видно, что в спектре поглощения наряду с пиками, соответствующими
переходам из первой подзоны, присутствуют пики, отвечающие переходам из
второй полностью заполненной магнитной подзоны в оставшиеся шесть свободных. Наиболее интенсивными являются переходы из второй заполненной
подзоны уровня E1 во вторую (переход 2  6 ) и четвёртую 2  8 ) подзоны
уровня E0 .
34
50000
2->6
2->8
Коэфф. погл., отн. ед.
40000
30000
20000
2->5
1->8
1->7
10000
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Частота, THz
Рис. 2.2. Спектр поглощения ЭМИ двумерным электронным газом в структуре

In0.23Ga0.77As, когда заполнена две низшие подзоны уровня E1 .
На рис. 2.3 представлен спектр поглощения для структуры
In 0.23Ga 0.77 As , когда полностью заполнен низший подуровень Ландау. На рисунках обозначено наиболее ярко выраженные пики, они имеют большую интенсивность, что связано с наибольшей вероятностью переходов между состояниями подзон. Именно эти переходы могут быть экспериментально зарегистрированы в спектрах фотолюминесценции, рассматриваемой структуры. Проведённые нами расчёты магнитооптических характеристик двумерных электронов
могут составить теоретическую базу для экспериментального исследования
спин-пайерлсовских состояний носителей в гетеропереходах с поверхностной
сверхрешёткой.
35
350000
Коэфф. погл., отн. ед.
300000
3->7
250000
200000
150000
4->5
100000
2->8
3->8
3->5
50000
1->7
1->8
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Частота, THz
Рис. 2.3. Спектр поглощения ЭМИ двумерным электронным газом в структуре
In0.23Ga0.77As, когда полностью заполнен низший уровень Ландау.
Спектр поглощения для структуры GaAs , когда заполнена низшая подзона уровня E1 , представлен на рис. 2.4:
Коэфф. погл., отн. ед.
200
150
100
1->8
1->6
50
1->7
1->5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Частота, THz
Рис. 2.4. Спектр поглощения ЭМИ двумерным электронным газом в структуре AlGaAs/

GaAs, когда заполнена низшая подзона уровня E1 .
36
Можно отметить, что для данной структуры спектр поглощения имеет
слабо выраженные по интенсивности и достаточно размытые по частоте пики
поглощения.
Проведённый анализ симметрии состояний электронов в структуре
AlGaAs/GaAs , а также результаты расчётов позволяют установить факт её высокой прозрачности в субмиллиметровом диапазоне длин волн падающего излучения. Существование малых вероятностей переходов, определяющих  ( ) в
данном случае, объясняется тем, что в структурах со слабым СО взаимодействием в магнитном поле волновые функции исходных состояний со спином,
направленным преимущественно по полю (вдоль оси 0 z ), содержат малую долю примеси конечных состояний, волновые функции которых имеют направление спина преимущественно против поля.
37
Глава 3. Квантовый эффект Холла в двумерных периодических
структурах со спин-орбитальным взаимодействием
Квантовый эффект Холла в двумерных периодических структурах имеет
топологическую природу [18]. Ранее было изучено влияние спин-орбитального
расщепления на топологические инварианты (первые числа Черна) магнитных
подзон, определяющие их холловский кондактанс [6,8,18,28,29].
В случае, когда система помещена в слабое электрическое поле, холловский кондактанс может быть рассчитан по формуле Кубо:
 xy  ie 2 
(v y )k , k (v x ) k ,k  (v x )k , k (v y ) k ,k

E (k )  E (k )
2
E (k )  E F  E  (k )
,
(3.1)
где E F - уровень Ферми, а суммирование производится по всем состояниям,
лежащим ниже и выше уровня Ферми. Индексы  и  нумеруют магнитные
подзоны. При наличии СО взаимодействия Дрессельхауза проекции оператора
скорости на оси x и y определяются выражениями:
vx 
H   i x / m*

p x 
 /

,
*
 i x / m 
 /
(3.2a)
*

i / 
H   i y / m  c x
.
vy 

p y 
 i / 
 i y / m*  c x 

(3.2b)
С учетом выражения (3.1) холловский кондактанс полностью заполненной  -й магнитной подзоны может быть записан в виде:
e2

 xy 


e2
2
  (k )d k 
 lH
 (1) (k ) d 2k .


2h
2h
2
(3.3)
Интегрирование в выражении (3.3) производится по заполненным состояниям в
магнитной зоне Бриллюэна. Функция   (k ) есть z компонента кривизны Берри, определяемая выражением
 uk uk

 xy  i  


k x
38
k y

 c.c  .


(3.4)
В нашем случае, uk ( x, y) - периодическая часть спинорной магнитной блоховской функции: uk ( x, y)  k ( x, y)  exp(ikr) . Первый член в квадратных
скобках в выражении (3.3) определяет так назывемый "идеальный" холловский
кондактанс каждой из p магнитных подзон, равный e 2 / ph . В то же время,
вследствие аргументов Лафлина, каждая полностью заполненная магнитная
подзона вносит вклад в холловский кондактанс, равный целому кратному от

e 2 / h [31]. Таким образом, интеграл от   (k ) по магнитной зоне Бриллюэна,
деленный на 2 , всегда целое число, называемое топологическим числом Черна.
В представлении гамильтониана Ĥ 0 имеет место следующее выражение

для 1 (k ) :
H /
H /




*


*
mm
)  ( d / (k )d l (k ) l l )
 (  d m (k )d / (k )

m
l

k

k
x
y
/
/


ll
 (1) (k )  i   mm
 c.c. .
[ E  (k )  E (k )]2

  




(3.5)
Здесь H mm' есть матричные элементы гамильтониана (1.7) в собственном базисе Ĥ 0 . Коэффициенты d m (k ) - собственные векторы матрицы гамильтониана
H mm' ( m, m'  1,...,2 p ), связанные с коэффициентами Asn (k ) и Bsn (k ) в выражении для магнитной блоховской функции.
Вид функции   (k ) для различных магнитных подзон изображен на
рис.3.1a и рис. 3.1b в структурах AlGaAs/GaAs и GaAs/In 0.23Ga 0.77 As соответственно. Расчетные параметры указаны в подписях к рисунку. Из сравнения
данных, представленных на рис. 1.5a, рис. 1.5b и рис. 3.1a, рис. 3.1b, следует,
что максимум функции   (k ) в k -пространстве реализуется в тех точках МЗБ,
где энергетические щели, разделяющие подзоны, наименьшие.
39

Рис. 3.1. Кривизна Берри   (k ) в магнитной зоне Бриллюэна для двумерного
электронного газа
*
m
/GaAs
а) в структуре AlGaAs
с параметрами: m 0.067
0,
12
V0  1 meV, a  80 nm, 1.010
eV m, g  0.44;
*
/In
Ga
As
m0,
0
.23
0
.77
b) в структуре GaAs
с парметрами : m 0.05
11
V0  1 meV, a  80 nm, 1.010
eV m, g  4.0 .
Цифрами отмечены номера магнитных подзон.
40
Распределения значений холловского кондактанса по магнитным подзонам в зависимости от положения уровня Ферми для структур AlGaAs/GaAs и
GaAs/In 0.23Ga 0.77 As представлены на рис. 3.2a и рис. 3.2b соответственно.
Здесь число квантов магнитного потока через элементарную ячейку решетки
равно трем. В системах со слабым спин-орбитальным взаимодействием (рис.
1.4a и рис. 1.5a), где СО и зеемановский вклад в расщепление уровней Ландау
меньше, чем расщепление, обусловленное действием периодического потенциала, квант холловского тока несет средняя подзона из каждой группы трех подзон (рис. 3.2a). Результаты наших вычислений [32] здесь хорошо согласуются с
результатами Таулесса, где в слабом периодическом потенциале и в отсутствии
спин-орбитального взаимодействия и зеемановского расщепления только центральная подзона каждого уровня Ландау несла холловский ток при q  1,3,5,... .
С уменьшением периода сверхрешетки закон квантования холловского кондактанса существенно изменяется. Как было отмечено выше, при критическом
значении периода a  35 nm третья и четвертая подзоны касаются друг друга в

некоторой точке МЗБ. В результате, кривизна Берри   (k ) , и как следствие,
топологические инварианты (первые числа Черна) этих подзон, определяющие
холловкий кондактанс, резко меняются. В решеточной структуре AlGaAs/GaAs
при p / q  3 / 1 , a  35 nm , V0  1 meV , g  0.44 , и   1.0  10 12 eV  m нами
было установлено новое правило квантования холловского кондактанса магнитных подзон (в единицах e 2 / h ): 1,1,-1,0,1,0 . Таким образом, даже в системах
со слабым спин-орбитальным взаимодействием при определенных геометрических параметрах сверхрешетки возможна реализация качественно новых законов квантования холловского кондактанса двумерного электронного газа, обусловленная изменением топологических характеристик квантовых состояний
носителей.
41
Рис. 3.2. Закон квантования холловского кондактанса в шести полностью заполненных магнитных подзонах при p/ q 3/1
/GaAs
a) в структуре AlGaAs
;
GaAs
/
In
Ga
As
0
.23 0
.77
b) в структуре
.
42
Если спин-орбитальное и зеемановское взаимодействие сравнимы с характерной энергией Ландау (структура GaAs/In 0.23Ga 0.77 As ), распределение
холловского кондактанса по магнитным подзонам в единицах e 2 / h определяется последовательностью чисел:
1,1,-1,0,1,0 (рис.3.2b). Видно, что холловский ток здесь несут первая, вторая,
третья и пятая магнитные подзоны.
Таким образом, при трактовке результатов возможных транспортных экспериментов необходимо учитывать наличие спин-орбитального взаимодействия, так как оно приводит к новому закону квантования холловского кондактанса.
43
ЛИТЕРАТУРА
1. Harper P.G. Single band motion of conduction electrons in a uniform magnetic
field // Proc.Phys.Soc.A. – 1955. – V. 68. – P. 874 – 878.
2. Harper P.G. The general motion of conduction electrons in a uniform magnetic
field, with application to the diamagnetism of metals // Proc.Phys.Soc.A. –
1955. – V. 68. – P. 879 – 892.
3. Langbein D. The tight-binding and nearly-free-electron approach to lattice
electrons in external magnetic fields // Phys.Rev. – 1969. – V. 180, № 3. – P.
633 – 648.
4. Hofstadter D.R. Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic field // Phys.Rev.B. – 1976. – V. 14. – P. 2239 –
2249.
5. Kohmoto M., Hatsugai Y. Peierls stabilization of magnetic-flux states of twodimensional lattice electrons // Phys.Rev.B. – 1990. – V. 41, № 13. – P. 9527 –
9529.
6. Thouless D.J., Kohmoto M., Nightingale M.P., et al. Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential // Phys.Rev.Lett. – 1982. – V. 49,
№ 6. – P. 405 – 408.
7. Kohmoto M. Zero modes and the quantized Hall conductance of the twodimensional lattice in a magnetic field // Phys.Rev.B. – 1989. – V. 39, № 16. –
P. 11943 – 11949.
8. Schlösser T., Ensslin K., Kotthaus J.P., et al. Landau subbands generated by a
lateral electrostatic superlattice - chasing the Hofstadter butterfly // Semicond.Sci.Technol. – 1996. – V. 11. – P. 1582 – 1585.
9. Silberbauer H. Magnetic minibands in lateral semiconductor superlattices //
J.Phys.:Condens.Matter. – 1992. – V. 4. – P. 7355 – 7364.
10.Claro F.H., Wannier G.H. Magnetic subband structure of electrons in hexagonal lattices // Phys.Rev.B. – 1979. – V. 19, № 12. – P. 6068 – 6074.
11.Barelli A., Bellissard J., Jacquod P., et al. Double batterfly spectrum for two
interacting particles in the Harper model // Phys.Rev.Lett. – 1996. – V. 77, №
23. – P. 4752 – 4755.
12.Rauh A. Degeneracy of Landau levels in Crystals // Phys.Stat.Sol.(b). – 1974.
– V. 65. – P. K131 – K135.
13.Rauh A. On the broadening of Landau levels in Crystals // Phys.Stat.Sol.(b). –
1975. – V. 69. – P. K9 – K13.
14.Butler Frank A., Brown E. Model calculations of magnetic band structure //
Phys.Rev. – 1968. – V. 166, № 3. – P. 630 – 636.
15.Зильберман Г.Е. Энергетический спектр электрона в кристалле в магнитном поле // ЖЭТФ. – 1956. – Т. 30, вып. 6. – С. 1092.
16.Зильберман Г.Е. Электрон в периодическом электрическом и однородном
магнитном полях. I. // ЖЭТФ. – 1957. – Т. 32, вып. 2. – С. 296 – 304.
17.Зильберман Г.Е. Электрон в периодическом электрическом и однородном
магнитном полях. II. // ЖЭТФ. – 1957. – Т. 33, вып. 2 (8). – С. 387 – 396.
18.Usov N.A.// Zh. Eksp. Teor. Fiz. – 1988. – V. 94. – P. 305– 317.
44
19.Demikhovskii V. Ya. and Perov A. A. Hall Conductance of a TwoDimensional Electron Gas with Spin-Orbit Coupling at the Presence of Lateral
Periodic Potential // Phys.Rev.B – 2007. – V. 75. – P. 205307.
20. Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А. Физика квантовых низкоразмерных
структур. – М.: Логос, 2000 – 225 с.
21.Wang X. F. and Vasilopoulos P. Magnetotransport in a two-dimensional electron gas in the presence of spin-orbit interaction // Phys.Rev.B – 2003. – V. 67.
– P. 085313.
22.Перов А.А., Кузнецова О.А. Магнитные спиновые блоховские состояния
электронов, находящихся в поле двумерной решетки // Материалы XI
Международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», . – 2007.
– Т. 2. – С. 303 – 304.
23.Демиховский В.Я., Перов А.А. Оптические переходы и циклотронный резонанс на уровнях Ландау, расщеплённых периодическим потенциалом //
ЖЭТФ. – 1998. – Т. 114, вып. 5 (11). – С. 387 – 396.
24.Перов А.А., Солнышкова Л.В. Магнитопоглощение электромагнитного
излучения двумерным электронным газом со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы в гетеропереходе с поверхностной сверхрешеткой
//ФТП. – 2009. – Т. 43. – С. 214.
25.Demikhovskii V. Ya. and Perov A. A. Harper-Hofstadter problem for a 2D
electron gas with k-linear Rashba spin-orbit coupling // Europhys. Lett. – 2006.
– V. 76. – P. 477 – 483.
26.Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. – М.:Наука, 1978. –
592 с.
27.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). – М.:Наука, 1989. – 768 с.
28.Geisler M.C., Smet J.H., Umansky V., Klitzing K.von, Naundorf B., Ketzmerick R., and Schweizer H. // Phys. Rev. Lett. . – 2004. – V. 92. – P. 256801.
29.Albrecht C., Smet J.H., Klitzing K.von, Weiss D., Umansky V., and
Schweizer H. // Phys. Rev. Lett. – 2001. – V. 86. – P. 147.
30.Chang M-C. and Niu Q. Berry phase, hyperorbits, and the Hofstadter spectrum: Semiclassical dynamics in magnetic Bloch bands // Phys. Rev.B. – 1996.
– V. 53. – P. 7010.
31.Laughlin R.B. Phys. // Phys. Rev.B. – 1981. – V. 23. – P. 5632.
32.Перов А.А., Солнышкова Л.В. Магнитные блоховские состояния и транспорт носителей в двумерных полупроводниковых решеточных структурах со спин- орбитальным взаимодействием // Письма в ЖЭТФ. – 2008. –
Т. 88. – С. 717.
45