СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ 2 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
2
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
4
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
7
ВЕТВЕЙ ЦЕПИ
2. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
8
2.1 Составление уравнения в дифференциальной форме
8
2.2 Расчёт цепи в символической форме
9
3. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ) В
10
СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
3.1 Определение мгновенных значений токов ветвей
12
4. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
14
(МУП)
5. ПРОВЕРКА БАЛАНСА МОЩНОСТЕЙ
16
6. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММЫ ТОКОВ И
19
НАПРЯЖЕНИЙ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Изм. Лист
Разраб.
№ докум.
Смоляченко А.Ю.
Провер.
Реценз.
Н. Контр.
Утверд.
Ф.И.О.
Подпись Дата
21
СКФ МТУСИ 210700. 15 ПЗ
Курсовая работа
Теория электрических
цепей
Лит.
Лист
Листов
1
21
Группа ДИ-21
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Составить схему цепи и выбор параметров в соответствии с двумя
последними
цифрами
(n,m)
в
номере
студенческого
билета.
Схема
рассчитываемой электрической цепи условно предоставлена графом (рис.1) с
шестью пронумерованными ветвями:
4
3k
3
5
1
2k
1k
2
6
Рисунок 1- Граф схемы
1. Составить для данной цепи систему уравнений по законам Кирхгофа,
записав ее в двух формах:
а) дифференциальной;
б) символической.
2. Методом контурных токов (МКТ) определить комплексные действующие
значения токов во всех ветвях цепи.
3. Записать выражения для мгновенных значений токов ветвей, проверить
выполнимость первого закона Кирхгофа для всех узлов и второго закона
Кирхгофа для всех контуров цепи.
4.
Методом
узловых
потенциалов
(МУП)
определить
комплексные
действующие значения потенциалов всех узлов цепи. Потенциал одного из узлов
(любого) равным нулю;
5. Проверить баланс мощностей. Найти значения коэффициента мощности для
приемников электрической энергии.
6. Построить векторную диаграмму токов для одного из узлов цепи и векторную
диаграмму напряжений для одного из контуров.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
2
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Согласно варианту из методических указаний первая цифра 1 - выбираем код
цепи 145623, и по коду и графу (рис.1) составляем схему цепи, которой
соответствует состав ветвей, приведённый в табл.1:
Таблица 1.
Код цепи
Состав
ветвей
1
R1
L1
4
R2
C1
5
L2
C2
6
e1(t)
R3
2
e2(t)
L3
3
e3(t)
C3
Принимая во внимание граф (рис.1), по коду 145623 составляем схему цепи
(рис.2):
R2
i3
C1
Z3
I33
1
i1
e3(t)
Z1
e1(t)
I11
Z2
L2
C3 2 i4
R3
C2
3
i6
Z4
e2(t)
R1
Z5
L1
I22
L3
Z6
i5
i2
4
Рисунок 2 - Электрическая схема цепи
Параметры элементов цепи задаются из табл.2 согласно последней цифре
m=2 номера студенческого билета. Для рассматриваемого варианта величины
параметров принимают значения:
R1 = 50 [Ом];
L1 = 1,0·10-3 [Гн];
С1= 0,7 [мкФ];
R2 = 55 [Ом];
L2 = 0,8 ·10-3 [Гн];
С2= 0,6 [мкФ];
R3 = 12 [Ом];
L3 = 2,5·10-3 [Гн];
f=2000 [Гц];
С3= 3 [мкФ];
e1(t)=60cos(ωt-70°)=60sin(ωt+20°) [B]; e2(t)=100cosωt=100sin(ωt+90°) [B];
e3(t)=25sin(ωt+10°) [B].
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
3
Для заданных источников электрической энергии произведем замену
синусоидальных Э.Д.С. e1 t  , e2 t  , e3 t  комплексными числами, по правилу:


E
U
E  m  m e j ,
2
2
(1)
Определим комплексные действующие значения Э.Д.С. источников,
имеющихся в цепи. Запишем Э.Д.С. этих источников в синусоидальной форме:
e1(t)=60cos(ωt-70°)=60sin(ωt+20°) [B];
e2(t)=100cosωt=100sin(ωt+90°) [B];
e3(t)=25sin(ωt+10°) [B].
а затем с учетом формулы перевода, запишем их комплексные действующие
значения в показательной форме :
Е̇1 =
Е̇2 =
60
𝑒 𝑗20° = 42,43𝑒 𝑗20° , 𝐵
√2
100
𝑒 𝑗90° = 70,71𝑒 𝑗90° , 𝐵
√2
25 𝑗10°
Е̇3 =
𝑒
= 17,68𝑒 𝑗10° , 𝐵
√2
Используя формулу Эйлера: e j  cos   j sin  ,
Переходим от показательной к алгебраической форме записи этих Э.Д.С.:
Е̇1 = 42,43 ∙ 𝑐𝑜𝑠20° + 𝑗42,43 ∙ 𝑠𝑖𝑛20° = 39,87 + 𝑗14,51, 𝐵
Е̇2 = 70,71 ∙ 𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗70,71 ∙ 𝑠𝑖𝑛90° = 𝑗70,71, 𝐵
Е̇3 = 17,68 ∙ 𝑐𝑜𝑠10° + 𝑗17,68 ∙ 𝑠𝑖𝑛10° = 17,41 + 𝑗3,07, 𝐵
Полученные данные лежат в основе дальнейших расчетов заданной цепи.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
4
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ВЕТВЕЙ ЦЕПИ.
Определим
численное
значение
комплексных
сопротивлений
ветвей
рассматриваемой цепи. Для этого рассчитаем сопротивления всех входящих в
ветви реактивных элементов на заданной по условию частоте:
ω=2πf =2π·2000=12570, рад/с.
Рассчитаем реактивные сопротивления индуктивных элементов
𝑥𝜔𝐿1 = 𝜔 ∙ 𝐿1 = 12570 ∙ 1,0 ∙ 10−3 = 12,57 [Ом];
𝑥𝜔𝐿2 = 𝜔 ∙ 𝐿2 = 12570 ∙ 0,8 ∙ 10−3 = 10,056 [Ом];
𝑥𝜔𝐿3 = 𝜔 ∙ 𝐿3 = 12570 ∙ 2,5 ∙ 10−3 = 31,425 [Ом].
И емкостных элементов:
𝑥𝐶1 =
𝑥𝐶2 =
𝑥𝐶3 =
1
𝜔𝐶1
1
𝜔𝐶2
=
=
1
𝜔𝐶31
1
12570∙0,7∙10−6
1
12570∙0,6∙10−6
=
1
12570∙3∙10−6
= 113,65 [Ом];
= 132,59 [Ом];
= 26,52 [Ом].
Рассчитаем сопротивления ветвей
Z1=-j·-1/(·C3)=- -j·1/(1,257·104·7·10-6)=-j26,53=26,53·e-j90°, Ом.
Z2= R3=12=12·ej0°, Ом,
Z3= R2-j·1/(·C1)=55 – j·1/(1,257·104·0,7·10-6)=55-j113,7=126,30 · е-j64,19°, Ом,
Z4= j·( ·L2-1/(·C2))=j·(1,257·104·0,0008-1/(1,257·104·0,6·10-6))=-j122,6=122,6·e, Ом,
j90°
Z5= R1+j··L1=50+j·1,257·104·0,001=50+j12,57=51,56·ej41,11°, Ом,
Z6= j· ·L3=j·1,257·104·0,0025=j31,42=31,42 · ej90°, Ом,
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
5
2. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
2.1 Составление уравнения в дифференциальной форме
Система уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной форме
составляется для мгновенных значений токов в ветвях. Соответствующие
уравнения для узлов 1, 2, 3 будут иметь вид:
Узел 1: i1-i2+i3=0
Узел 2: -i1+i4-i5=0
Узел 3: -i3-i4+i6=0
Уравнения по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме
составляются с учётом математических выражений для напряжений на
индуктивности U L t  и на ёмкости U C t  . Эти напряжения определяются по токам
iL t  , iC t  в индуктивном и в ёмкостном элементах по формулам [1]:
diL t 
,
dt
(2)
1
iC t dt .
C
(3)
U L t   L
U C t  
Напряжение на резистивном элементе
R
определяется по закону Ома:
U R t   iR t R
(4)
При составлении системы уравнений следует также учитывать направление
обхода соответствующего контура. Составим совокупность уравнений для всех
трех контуров заданной схемы при обходе каждого контура по часовой стрелке.
Контур 1:
1
𝐶3
∫ 𝑖1 (𝑡) 𝑑𝑡 − 𝑖5 𝑅1 − 𝐿1
Контур 2: 𝐿2
𝑑𝑖4 (𝑡)
𝑑𝑡
Контур 3: 𝑖3 𝑅2 +
+
1
𝐶1
1
𝐶2
𝑑𝑖5 (𝑡)
𝑑𝑡
∫ 𝑖4 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐿3
1
+𝑖2 𝑅3 = 𝑒3 (𝑡) + 𝑒1 (𝑡)
𝑑𝑖2 (𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑖5 𝑅1 + 𝐿1
∫ 𝑖3 (𝑡) 𝑑𝑡 − 𝐶 ∫ 𝑖4 (𝑡) 𝑑𝑡 − 𝐿2
2
𝑑𝑖4 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑖5 (𝑡)
−
𝑑𝑡
1
𝐶3
= 𝑒2 (𝑡)
∫ 𝑖1 (𝑡) 𝑑𝑡 = −𝑒3 (𝑡)
Полученная система из шести уравнений позволяет определить все шесть
неизвестных токов в ветвях цепи.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
6
2.2 Расчёт цепи в символической форме
Уравнения
в символической
форме
составляются
для
комплексных
действующих значений всех трех заданных источников синусоидального
напряжения и для комплексных действующих значений токов в ветвях цепи.
Уравнения
по
первому
закону
Кирхгофа
аналогичны
соответствующим
уравнениям в дифференциальной форме с заменой временной функции тока его
комплексной характеристикой.
Узел 1: İ1–İ2+İ3=0
Узел 2: -İ1+İ4-İ5=0
Узел 3: -İ3-İ4+İ6=0
Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются с учётом комплексных
значений для сопротивлений индуктивности и ёмкости, а также с учётом
направления обхода каждого контура:
Контур 1: İ1·Z3-İ5·Z5+İ2·Z2=Ė1 + Ė3
Контур 2: İ4·Z4+İ6·Z6+İ5·Z5 =Ė2
Контур 3: İ3·Z3-İ4·Z4-İ1·Z1 =-Ė3
-j26,53·İ1+12·İ2+(-50-j12,57)·İ5=57,28+j17,58
-j122,6·İ4+(50+j12,57)·İ5+j31,42·İ6=j70,71
j26,53·İ1+ (55-j113,7) ·İ3+j122,6·İ4=-17,41-j3,07
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
7
3. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ) В
СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.
Метод контурных токов является одним из наиболее широко используемых
методов анализа электрических цепей переменного тока. При использовании
этого метода в каждом из независимых контуров цепи задается контурный ток,
условно протекающий по всем элементам контура. Численно этот ток равен току,
протекающему в главной ветви контура, которой считается ветвь, входящая
только в данный контур и не являющаяся составной частью других контуров.
Относительно контурных токов составляется система алгебраических
уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Решение
этой системы позволяет определить токи в контурах, а по ним находятся токи в
каждой из ветвей схемы цепи. Достоинством МКТ является значительно меньшее
по сравнению с методом законов Кирхгофа число уравнений, необходимых для
расчёта значений токов, протекающих в ветвях рассматриваемой цепи.
Число уравнений (N1) , которые необходимо составить при использовании
данного метода, определяется числом ветвей схемы (NB), числом узлов (Ny) в ней
и числом ветвей, содержащих источник тока (Nт) [1]:
N = NB - NY +1- NT
(5)
Расчёт в матричной форме:
В рассматриваемой цепи шесть ветвей (NB =6), четыре узла (Ny = 4) и
нет ветвей, содержащих источники тока (Nт ). Общее число уравнений, которые
нужно составить по МКТ в данном случае, будет равно:
N = 6 - 4 +1 - 0 = 3,
и, следовательно, число независимых контуров для рассматриваемой цепи
должно быть равно трем.
В схеме цепи выбираем произвольно три независимых контура и
положительные направления их обхода. Главной ветвью первого контура (1k)
будет ветвь под номером 6, главной ветвью второго контура (2k) - ветвь 2, а
главной ветвью третьего контура (3 k) - ветвь 4.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
8
Остальные ветви каждого из контуров являются смежными, так как являются
общими для двух контуров.
Схема цепи, подготовленная для расчёта установившегося режима методом
контурных токов на базе символического метода представления синусоидальных
функций, представлена на рис. 3 в схеме показаны контурные токи, используемые
этим методом.
Рисунок 3 – Эквивалентная схема цепи
Определим комплексные значения элементов матрицы [Z]в соответствии с
формулами 23,24 из [1].
Z 11=Z1+Z5+Z2=-j26,53+50+j12,57+12=62-j13,96=63,55·e-j12,69°, Ом,
Z 12=-Z5= -50-j12,57=51,56·e-j165,89°, Ом,
Z 13=-Z1=j26,53=26,53·ej90°, Ом,
Z21=-Z5=-50-j12,57=51,56·e-j165,89°, Ом,
Z22=Z4+Z6+Z5=-j122,6+j31,42+50+j12,57=50-j78,59=93,15·e-j57,53°, Ом,
Z23=-Z4=j122,6=122,6·ej90°, Ом,
Z31=-Z1=j26,53=26,53·ej90°, Ом,
Z32=-Z4=j122,6=122,6·ej90°, Ом,
Z33=Z3+Z4+Z1=55-j113,7-j122,6-j26,53=55-j262,8=268,49·e-j78,18°, Ом.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
9
Далее находим комплексные значения

E kk
для контурных э.д.с. по формуле
(25)из [1]
Ė11=Ė1 + Ė3 = 17,41 + j3,07 + 39,87̇ + j14,51 = 57,28 + j17,58, В,
Ė22= Ė1 = 𝑗70,71, В
Ė33= -Ė3=-17,41-j3,07, В.
Систему из 3-х уравнений рассчитываем в программе «Sigma-2» .
Подставляя найденные значения в соответствующие формулы, находим
значения контурных токов:
İ11·Z 11+İ22·Z 12+İ33·Z 13=Ė11
İ11·Z 21+İ22·Z 22+İ33·Z 23=Ė22
İ11·Z 31+İ22·Z 32+İ33·Z 33=Ė33
Находим численные значения всех комплексных сопротивлений и э.д.с.
(62-j13,96)·İ11+(-50-j12,57)·İ22+j26,53·İ33=57,28+j17,58
(-50-j12,57) ·İ11+(50-j78,59)·İ22+j122,6·İ33=j70,71
j26,53 ·İ11+j122,6·İ22+(55-j262,8)·İ33=-17,41-j3,07
İ11=-0,3796+j1,727, А;
İ22=-1,224+j2,011,А;
İ33=-0,3628+j1,122,А.
По формулам определяем комплексные токи во всех ветвях цепи:
İ1= I11-I33=-0.3796+j1,727+0,3628-j01,122=-0,01689+j0,6049=0,6051·ej91.60° , А,
İ2= İ11=-0,3796+j1,727=1,7682· ej102,40°, А,
İ3= İ33 =-0.3628+j1.122=1,1792· ej107,92°, А,
İ4=-İ22-İ33=-1,224+j2,011+0,3628-j1,122=-0,8613+j0,889=1,2378·ej134,09°, А,
İ5=-İ11+İ22=0,3796-j1,727- 1,224+j2,011=-0,8444+j0,284=0,8909·ej161,41°, А,
İ6= İ22 =-1,224+j2,011=2,3542·ej121,33°, А.
Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для узла 1рассматриваемой
цепи İ1=İ2-İ3
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
10
Складывая в алгебраической форме комплексные значения İ2и İ3, получаем
численное значение тока İ1
İ1=(-0,3796+j1,727) –(-0,3628+j1,122)= -0,01689+j0,6049, А.
Полученный результат совпадает со значением тока İ 1=-0,01689+j0,6049,А
полученным ранее.
Аналогичная проверка для других узлов цепи подтверждает выполнение
первого закона Кирхгофа с достаточно высокой точностью.
Узел 2: İ1=İ4-İ5
İ1=(-0,8613+j0,889)-(-0.8444+j0.284)=-0.01689+j0.6049, A
Узел 3: İ3=-İ4+İ6
İ3=-0.8613-j0.889-1.224+j2.011=-0.3628+j1.122, A
3.1 Определение мгновенных значений токов ветвей
Для
записи
мгновенных
значений
токов
ветвей
воспользуемся
представлением найденных токов в показательной форме. Ограничимся здесь
записью только первых трёх токов соответствующих.
Используя временную функцию в форме e(t)=Umsin(ωt+ψ) и её комплексное
представление(1), запишем для первых трёх токов временные функции:
𝑖1 (𝑡) = 0,6051√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 91,60°),
𝑖2 (𝑡) = 1,7682√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 102,40°),
𝑖3 (𝑡) = 1,1792√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 107,92°),
𝑖4 (𝑡) = 1,2378√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 134,09°),
𝑖5 (𝑡) = 0,8909√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 161,41°),
𝑖6 (𝑡) = 2,3542√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 121,33°),
Покажем выполнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений
токов в произвольный момент времени. С этой целью рассчитываем значения
токов в момент времени t1, равный: t1=1·10-3, с.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
11
При выполнении расчётов следует учесть, что переменная составляющая
фазы ωt1 измеряется в радианах, поэтому начальная фаза тоже должна
подставляться в радианах. Подставим численные значения ω и t1 и определим
мгновенные значения токов:
𝑖1 (𝑡 ) = 0.6051√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 91.60°) = 0.6050 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 1.59872) =
0.8530𝑠𝑖𝑛(12,570 + 1,59872) = 0,85263, 𝐴,
𝑖2 (𝑡 ) = 1.7682√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 102.40°) = 1.7682 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 1,78722)
= 2.493162𝑠𝑖𝑛(12.570 + 1,78722) = 2.43304 𝐴
𝑖3 (𝑡 ) = 1,1792√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 107,92°) = 1,1792 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 1.88338)
= 1,66267𝑠𝑖𝑛(12.570 + 1.88338) = 1.58023, 𝐴
𝑖4 (𝑡 ) = 1,2378√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 134,09°) = 1,2378 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 2,3403)
= 1,745298𝑠𝑖𝑛(12,570 + 2,3403) = 1,2492, 𝐴
𝑖5 (𝑡 ) = 0,8909√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 161,41°) = 0,8909 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 2,8171)
= 1,256169𝑠𝑖𝑛(12,570 + 2,8171) = 0,3962, 𝐴
𝑖6 (𝑡 ) = 2,3542√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 121,33°) = 2,3542 ∙ 1,41𝑠𝑖𝑛(12570 ∙ 10−3 + 2,1176)
= 3,3194𝑠𝑖𝑛(12,570 + 2,1176) = 2,8291, 𝐴
Первые три тока действуют в узле 1 электроцепи. Легко убедиться, что для
найденных
значений
соотношение
𝐼1̇ = 𝐼2̇ − 𝐼3̇ = 2,43304 − 1,58023 =
0,8528, А выполняется с достаточно высокой точностью.
Проведём аналогичную проверку для двух других узлов:
Узел 2: 𝐼1̇ = 𝐼4̇ − 𝐼5̇
𝐼1̇ = 1,2492 − 0,3962 = 0,8530, А
Узел 3: 𝐼3̇ = −𝐼4̇ + 𝐼6̇
𝐼3̇ = −1,2492 + 2,8291 = 1,5799, А
Данная проверка также подтверждает достаточно высокую точность
вычислений.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
12
4. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (МУП)
Метод узловых потенциалов (МУП) является наиболее универсальным
методом расчёта электрических цепей. Число уравнений по данному методу
определяется числом узлов NY схемы и составляет
N2 = NY – 1.
Для рассматриваемой цепи составим по МУП систему уравнений:
v̇ 1·Y11v̇ 2·Y12v̇ 3·Y13=İ11
v̇ 1·Y21v̇ 2·Y 22v̇ 3·Y 23=İ22
v̇ 1·Y 31v̇ 2·Y 32v̇ 3·Y 33=İ33
Выразим комплексные проводимости ветвей через их комплексные
сопротивления Zkи рассчитаем численные значения проводимостей Yk:
Y11=1/Z1+1/Z2+1/Z3=1/(-j26,53)+1/12+1/(55-j113,7)=1/26,53·е-j90° +0,0833+1/126,30·ej64,19°
=0,0377·ej90° +0,0833 +0,0079·ej64,19°=j0,0377+ 0,0833+0,003449+j0,007128 =0,08678
+j0,04483, См,
Y12=Y21=-(1/Z1)=-1/(-j26,53)=-1/26,53· e-j90° =-0,0377· ej90° =– j0,0377, См,
Y13=Y31=-(1/Z3)=-1/(55-j113,7)=-1/126,30·e–j64,19° =-0,0079·ej64,19° =
-0,003449-j0,007128, См,
Y22=1/Z1+1/Z4+1/Z5=1/(-j26,53)+1/(-j122,6)+1/(50+j12,57)=
=1/26,53·e–j90°+1/122,6·e-j90°+1/51,56·ej14,11° =0,0377·ej90°+0,0082·ej90°+0,0194·e–j14,11°
=j0,0377+j0,008158+0,01881 – j0,0047=0,01881+ j0,04113, См,
Y23=Y32=-(1/Z4)=-1/(-j122,6)=-1/122,6·e-j90° =-0,0082·ej90°=- j0,008158, См,
Y33=1/Z3+1/Z4+1/Z6=1/(55-j113,7)+1/(-j122,6)+1/j31,42=1/126,30·e–j64,19° +1/122,6·ej90°
+1/31,42·ej90°=0,0079·ej64,19°+0,0082·ej90°+0,03183·e-j90° =
=0,003449+j0,007128+j0,008158-j0,03183=0,003449 – j0,01654, См.
С помощью программы «Sigma-2» произведём расчёт
Рассчитаем узловые токи:
İ11=-Ė3/Z1+Ė1/Z2=(-17,41+j3,07)/(-j26,53)+(39,87+j14,51)/(12)=3,438+j0,5528, А;
İ22=Ė3/Z1 =(17,41+j3,07)/(-j26,53)=-0,1157+ j0,6563, А;
̇ 2/Z6=-(-j70,71)/(j31,42)=-2,251,А.
İ33=−E
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
13
(0,08678+j0,04483)·V1+(- j0,0377)· V2+ (-0,003449-j0,007128) ·V3=3,438+j0,5528
-j0,0377·V1+(0,01881+j0,04113)·V2+(-j0,008158)·V3=-0,1157+j0,6563
(-0,003449-j0,007128)·V1+(-j0,008158)·V2+(0,003449-j0,01654)·V3=-2,251
Расчёт искомых комплексных потенциалов всех трёх узлов цепи:
v̇ 1=44,43-j6,214, В;
v̇ 2=45,79-j3,591,В;
v̇ 3=-63,18-j109,2,В.
Комплексные токи во всех ветвях:
I1=(V1-V2+E3)/Z1=(44,43-j6,214-45,79+j3,591+17,41+j3,07)/(-j26,53)=
(16,05+j0,447)/(-j26,53)=16,0562·ej1.60°/26,53·e–j90°=0,6052·e j91,60°=-0,01689+j0,6049,
А,
I2= (V4-V1+E1)/Z2 =(0-44,43+j6,214+39,87+ j14,51)/12=-0,3796+j1,727, А,
I3=(V1-V3)/Z3=(44,43-j6,214+63,18+j109,2)/(55-j113,7)=(107,61+j102,986)/(55j113,7)= 148,95·ej43,74°/126,30·e–j64,19°=1,17933·ej107,93° =- 0,3628+j1,122, А,
I4= (V2-V3)/Z4=(45,79-j3,591+63,18+j109,2)/(-j122,6)=(108,97+j105,609)/(j122,6)=151,749·ej44,10°/122,6·e–j90° =1,2378·ej134,10° =-0,8613+j0,889, А,
I5=(V4-V2)/Z5=(0-45,79+j3,591)/(50+j12,57)=45,93·e j175,51°/51,56·ej14,11°=
=0,8908· ej161,40°=-0,8444+j0,284, А,
I6=(V3-V4+E2)/Z6=(-63,18-j109,2-0+j70,71)/j31,42=(-63,18-j38,49)/j31,42=
73,98·e–j148,65°/31,42·ej90°=2,35455·e–j238,65°=-1,224+j2,011, А,
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
14
5 ПРОВЕРКА БАЛАНСА МОЩНОСТЕЙ
Баланс
комплексных
мощностей
заключается
в
определении
комплексных мощностей всех источников электрической энергии в
сопоставлении полученных значений с комплексными мощностями всех
потребителей. В качестве потребителей в данной цепи выступают
резистивные и реактивные элементы. По закону сохранения энергии сумма
комплексных мощностей всех источников должна равняться суммарному
значению
комплексных
мощностей,
потребляемых
всеми
ветвями
электроцепи [1].
Рассчитаем сначала комплексные мощности всех трёх источников
𝐸̇1 , 𝐸̇2 , 𝐸̇3 электрической энергии с учётом токов ветвей 𝐼1̇ , 𝐼2̇ , 𝐼6̇ для данных
источников, соответственно. С учётом ранее найденных комплексных токов
определяем комплексные мощности:
𝑆1̇ = 𝐸̇1 𝐼2̇ = 42,43𝑒 𝑗20° ∙ 1,7682𝑒 −𝑗102,40° = 75,025𝑒 −𝑗82,4° = 9,922 − 𝑗74,36, BA
𝑆2̇ = 𝐸̇2 𝐼6̇ = 70,71𝑒 𝑗90° ∙ 2,35455𝑒 𝑗238,65° = 166,49𝑒 𝑗328,65° = 142,2 − 𝑗86,62, BA
𝑆3̇ = 𝐸̇3 𝐼1̇ = 17,68𝑒 𝑗10° ∙ 0,6052𝑒 −𝑗91,60° = 10,71𝑒 −𝑗81,60° = 1,563 − 𝑗10,595, BA
Суммируя комплексные мощности источников, получаем суммарную
комплексную мощность:
𝑆̂И = 𝑆̂1 + 𝑆̂2 + 𝑆̂3 = 9,922 − 𝑗74,36 + 142,2 − 𝑗86,62 + 1,563 − 𝑗10,595 =
153,685 − 𝑗171,575, BA
Следовательно, суммарное значение активных PИ и реактивных QИ
мощностей всех источников равно:
РИ=153,685, Вт
QИ=-171,575, ВАР
Рассчитываем значение активных мощностей рассеивания для трёх
резистивных элементов:
𝑃1 = 𝐼52 𝑅1 = (0,8908)2 ∙ 50 = 39,676 , Вт
𝑃2 = 𝐼32 𝑅2 = (1,17933)2 ∙ 55 = 76,495 , Вт
𝑃3 = 𝐼22 𝑅3 = (1,768)2 ∙ 12 = 37,510 , Вт
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
15
Суммируя все найденные значения находим результирующею мощность
рассеивания:
PН = P1 + P2 + P3 =153,681, Вт
Находим реактивные мощности всех трёх индуктивностей:
𝑄𝐿1 = 𝐼52 𝑥𝐿1 = (0,8908)2 ∙ 12,57 = 9,97, вар
𝑄𝐿2 = 𝐼42 𝑥𝐿2 = (102378)2 ∙ 10,056 = 15,407, вар
𝑄𝐿3 = 𝐼62 𝑥𝐿3 = (2,35455)2 ∙ 31,425 = 174,217, вар
Таким образом, суммарное значение реактивной мощности для
индуктивных элементов будет равно
𝑄Σ = 𝑄𝐿1 + 𝑄𝐿2 + 𝑄𝐿3 = 199,594, вар
Находим далее реактивные мощности всех трёх емкостей элементов:
𝑄С1 = −𝐼32 𝑥С1 = −(1,17933)2 ∙ 133,65 = −158,07, вар
𝑄С2 = −𝐼42 𝑥С2 = −(1,2378)2 ∙ 132,59 = −203,15, вар
𝑄С3 = −𝐼12 𝑥С1 = −(0,6052)2 ∙ 26,52 = −9,713, вар
Суммарное значение реактивной мощности емкостных элементов
составляет величину:
𝑄Σ = 𝑄С1 + 𝑄С2 + 𝑄С3 = −370,93, вар.
Принимая во внимание найденные значения, находим результирующую
мощность QН всех реактивных элементов цепи:
𝑄Н = 𝑄𝐿𝛴 + 𝑄С𝛴 = −171,336, вар.
Определим суммарную комплексную мощность:
𝑆Н̇ = РН + 𝑗𝑄Н = 153,681 − 𝑗171,336 = 230,16е−𝑗48,11° 𝐵𝐴
Полученное комплексное значение позволяет определить коэффициент
мощности КМ = cosφ для исследуемой электроцепи:
КМ = 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑃Н
√𝑃Н2 +𝑄Н2
Сопоставляя
=
153,681
230,16
суммарную
= 0,67
комплексную
мощность
источников
электрической энергии и суммарное значение комплексной мощности всех
потребителей, заключаем, что баланс комплексных мощностей приближённо
выполняется. Для оценки точности соответствия этих мощностей рассчитаем
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
16
погрешности расчётов δ1 и δ2 отдельно для активных и реактивных мощностей,
соответственно:
𝛿1 = |
РИ −РН
РН
| ∙ 100% = |
0,004
153,681
| ∙ 100% = 0,003%,
Допустимое значение небаланса по активным мощностям считается
равным 1%.
𝛿2 = |
𝑄И − 𝑄Н
0,239
| ∙ 100% = |
| ∙ 100% = 0,14%
𝑄Н
171,336
Допустимое значение небаланса по реактивным мощностям считается
равным 3-5%.
Полученные
значения
свидетельствуют
о
выполнении
баланса
мощностей с приемлемой точностью расчётов.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
17
6. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММЫ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Расчёт цепей, проведённый символическим методом, очень полезно
иллюстрировать
векторной
диаграммой.
Для
построения
векторов
на
вращающейся комплексной плоскости необходимо знать значение комплексной
амплитуды (модуль комплексной величины и ее аргумент), причём сначала
проводится прямая под углом по отношению к оси действительных величин, а
затем на ней в выбранном масштабе откладывается длина вектора, направление
указывается стрелкой. Построенный вектор можно перемещать на всей плоскости
параллельно самому себе. При построении векторных диаграмм сложных цепей
основой служат уравнения цепи в комплексной форме. Векторная диаграмма
позволяет в наглядной форме убедиться в правильности расчёта (по выполнению
законов Кирхгофа для комплексных амплитуд).
Для построения векторной диаграммы возьмём узел 2: I1=I4-I5
İ1=-0,011689+j0,6049=0,6051·ej91,60°, А,
İ4=-0,8613+j0,889=1,2378·ej134,09°, А,
İ5=-0,8444+j0,284=0,8909·ej161,41°, А,
Масштаб: 0,2 А/см
Рисунок 4 - Векторная диаграмма токов.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
18
Векторная диаграмма напряжений для первого контура на рисунке 5
İ1=-0,011689+j0,6049=0,6051·ej91,60°,А;
İ2=-0,3796+j1,727=1,7682·ej102,40°,А;
İ5=-0,8444+j0,284=0,8909·ej161,41°,А.
UR1=İ5 ∙R1=(0,8909·ej161,41°)∙50= 44,545· еj161,41°
UR3=İ2∙R3 = (1,7682·ej102,40°)·12=21,2184∙еj102,40°
UC3= İ1 ∙ ZC3=(0,6051·ej91,60°)·26,53·е-j90°=16,053303∙еj1,6°
UL1=İ5 ∙ ZL1=(0,8909·ej161,41°)∙12,57·еj90° =11,20∙еj251,41°
E1=42,43 ∙еj20°,В.
E3=17,68 ∙еj10°,В.
Масштаб: 10В/см
Рисунок 5 - Векторная диаграмма напряжений.
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
19
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Методические указания и контрольные задания на курсовую работу по курсу:
Основы теории электрических цепей по теме: Расчет цепей синусоидального
тока Ростов на Дону. М: 2012. – 36 с.
2. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь,
1986. – 544 с.
3. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. - М.: Радио и
связь, 2000.
4. Попов В.П. Основы теории цепей. - М.: Высшая школа, 1985. - 496 с.
5. Каблукова М.В. Лекции по курсу «Теория электрических цепей» (ч. 1)./
МТУСИ. – М., 1999.
6. Каблукова М.В. Задачник по курсу «Теория электрических цепей» (ч. 1)./
МТУСИ. – М., 1999.
7. Афанасьев В.П., Каблукова М.В. Сборник описаний лабораторных работ по
курсам ТЭЦ и ТОЭ для студентов 2 курса. – М.: Информсвязьиздат, 1998. - 33
с.
8. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических
цепей. - М.: Высшая школа, 1990. – 544
Лист
СКФ МТУСИ 210700.15 ПЗ
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
20