Распространение гармонических волн в цилиндрической панели с учетом вязкоупругих свойств материала В

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2014
Вып. 2 (25)
УДК 539.3
Распространение гармонических волн
в цилиндрической панели с учетом
вязкоупругих свойств материала
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
Бухарский инженерно-технологический институт
Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазоев, 15
safarov54@mail.ru; (+99893) 625–08–15
Рассматривается распространение гармонических волн в цилиндрической панели с переменной толщиной. На основе принципа возможных перемещений были получены уравнения для определения толщины панели. Решения краевой задачи получены методом ортогональной прогонки Годунова. Были исследованы дисперсионные кривые в зависимости от
различных геометрических параметров системы.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка; гипотеза Кирхгофа – Лява; гармонические
волны; вязкоупругая панель; срединная поверхность.
   1  ; 0   2  l ;
Введение
Волновые процессы в волноводах в виде
упругих цилиндрических изотропных и анизотропных оболочек постоянной толщины
хорошо изучены [1, 2, 3]. Большое количество
работ посвящено динамике оболочек, описанных на основе модели Тимошенко [4, 5, 6, 7].
В работе [8] для исследования волновых процессов применяются асимптотические методы
волновых процессов в цилиндрической оболочке с малым изменением ее толщины вдоль
оси. Вместе с тем задача исследования распространения волн в вязкоупругой цилиндрической панели с переменной толщиной представляет теоретический и практический интерес.

h
h
 z 
.
2
2
Кривизны срединной поверхности z=0,
равные k1  0; k 2 
1
, соответствуют коорR
динатам α1 и α2 . В рамках гипотез Кирхгофа
– Лява закон изменения компонент вектора
перемещений u1(z), u2(z), w(z) панели определяются следующими соотношениями [1, 2]:
u1(z) = u – θ1 z; u2(z) =  - θ2 z ; u3 (z) = w,
(1)
где u, v, w – компоненты вектора перемещений срединной поверхности;θ1 , θ2 – углы поворота нормали относительно осей α1 и α2.
Для вывода уравнений, позволяющих
исследовать толщину панели, использовался
принцип возможных перемещений
δП = δТ,
(2)
где δП – вариация потенциальной энергии
оболочки; δТ – виртуальная работа массовых
сил инерции панели. В работе В.В Новожилова [1], с учетом соотношений (1), сделан
вывод для получения следующего выражения
исходя из линейной теории упругости
Постановка волновой задачи
Рассматривается вязко-упругая бесконечная цилиндрическая панель толщиной h,
плотностью ρ. В криволинейной ортогональной системе координат (α1; α2; z) при z = 0
оболочка занимает область
© Сафаров И. И., Болтаев З. И., Ахмедов М. Ш.,
2014
58
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
П 
тельная константа. Далее, применяя процедуру замораживания [10], заменим соотношения (5) приближенными вида
  Т 1 1  T2 2  S 12 M 11  (3)


E  E 1   С  R   i S  R    Е ,
F
 M 22  2 N  d 1 d 2 ,

где Т1, Т2, S, M1, M2, N – усилия и моменты;
ε1, ε2, ε12,  1,  2, τ – компоненты деформации

1  
ческое ядро релаксации
(4)
w
w
; 2  
 k 2 .
 1
 2
~
A
~
h
;
1  2
~
Eh
;
2(1   )
Rt   Ae   t / t 1 ,
инерции. Учитывая это, если пренебречь
инерцией поворота нормали, то виртуальную
работу силы инерции оболочки можно представить в виде
T 
   w
u  
 w)d1d 2 . (6)
   h(u
F
После подстановки выражения (3) и (6)
в (2) и процедуры интегрирования по частям с
учетом (4) получаем систему уравнений движения в виде:
T1  c~ 1  v 2 ,
~
~
~
M 1  D 1  v 2 , S  A 12 ; N  B ,
~
с
соответственно,
обладающее слабой сингулярностью [9].
Предполагается, что силы инерции по углам
1 и  2 малы и сравнены другими силами
В свою очередь, усилия и моменты связаны с компонентами деформации соотношениями, вытекающими из обобщенного закона
Гука:
где
 R    R sin  R d ,
косинус и синус – образы Фурье ядра релаксации материала. В качестве примера вязкоупругого материала примем трехпараметри-
u


u
1 
; 2 
 k 2 w;  12 

;
 1
 2
 1  2
 2
 2
;  
;
 2
 1
S
0
Согласно [1] компоненты тангенциальной
изгибной деформации срединной поверхности выражаются через ее перемещение и углы поворота нормали следующим образом:
2 
 R    R  cos  R d ,
0
h
исключены члены, имеющие порядок
.
R
 1
;
 1
C

срединной поверхности. В выражении (3)
1 

где
~
Eh 3
;
12(1   2 )
~
Eh 3
~
B 
;
12(1   )
~
D
T1
S
 2u

  h 2
 1  2
t
T2
S
 2 (7)

 k 2 Q2   h 2
 2
 1
t
~
Е – операторный модуль упругости, который
Q1
Q2
2w

 k 2T2   h 2
 1  2
t
имеет вид [9]
t


~
E t   E01  t    RE t    t d ; (5)
0


Q1 
 t  – произвольная функция времени;
RE t    – ядро релаксации;  – коэффици-
M 1
;
 1
Q2 
M 2
N
2
.
 2
 1
(8)
Альтернативные краевые условия свободного
края, или жесткой заделки, при α2 = 0, l имеют вид: свободный край
ент Пуассона; E01 – мгновенный модуль
упругости. Будем считать интегральные члены в (5) малыми, тогда функции
 t    t e iRt , где  t  – медленно меня-
S  0 ; T2  0 ; M 2  0 ; Q2  0; (9)
жесткая заделка
u=0,
ющаяся функция времени,  R – действи-
59
 =0, w=0, Q2=0.
(10)
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
где    R  i I – комплексная собственная
Используя соотношения (4), (5), (7), (8),
полную систему уравнений движения можно
представить в виде восьми дифференциальных уравнений, размешенных относительно
первых производных по  2 :
u

A
SA
;
 2
 1

u
c
 T2  c v
 c k2 w
 2
 1
D
частота; к – волновое число;  R – действительная часть комплексной частоты;  –
плотность; z j  2  j  1,2,3..8 – функции
формы колебаний. Для выяснения их физического смысла рассматриваем случаи:
1) k  к R ; V  CR  iC I – тогда решение (9) имеет вид синусоиды по z , амплитуда
которой затухает по времени;
2) k  к R  iк I ; V  CR – тогда в каждой точке решение (9) имеет вид синусоиды
;
 2
2w
 M2 
;
 2
 12 ;
по t, амплитуда которой затухает по  1 .
Далее предполагается, что оба края оболочки  2  0 и  2  l свободны. После подстановки соотношений (12) в уравнения (11),
учитывая и краевые условия (9), имеем спектральную краевую задачу по параметру 
для системы восьми обыкновенных дифференциальных
уравнений
относительно
комплексной функции формы:
w
  2  k 2
 2
T2
S
 2u
 2u
  h 2  с

2
 2
 1
t
 1
T2
 2
S
  h 2 
 k 2Q2
 2
t
1
(11)
Q2
2M 2
2w
4w
  h 2  D


 k 2T2 ;
 2
t
 14
 12

z1  z5 A  kz2 , z 2  z6 с kz1  k 2 z3 ,

z3   z 4  k 2 z 2 , z 4   z 8 / D   k 2 z 3 ,

z5  hE k 2   2 z1 h 2 z6 , (13)

z6  h 2 z2  kz5  k2 z7 ,
M 2
 2
,
 Q2  2 B
 2
12
2
где
с 
h
;
1  2
A 
D 
Eh
;
2(1   )
E h3
;
12(1   2 )
B 

z 7  h 2 z 3  E 12h 3 k 4 z 3   k 2 z 8  k 2 z 6 ;
E h3
.
12(1   )

z8  z 7  G 3h 3 k 2 z 4 ;
В случае бегущих вдоль  1 гармонических
волн решения краевой задачи для системы
(11) с краевыми условиями типа (9), (10) допускают разделение переменных:
z5  z6  z7  z8  0 ;  2  0, l.
При анализе дисперсии гармонических волн
параметр к считается заданным.
u  z1еi k1 t  ;
  z2e
w  z3e i
 2  z4e
i  k1 t 
 k 1 t 
;
Численный анализ дисперсии
нормальных волн в цилиндрических
панелях
(12)
;
i  k1 t 
На основе решения краевой задачи
(13) методом ортогональной прогонки Годунова был выполнен численный анализ дисперсии этих волн.
На рис. 1 и 2 показаны зависимости
действительных частей комплексных фазовых
скоростей первых двух мод от волнового числа. Во всех вариантах расчета приняты следующие безразмерные параметры панели:
;
S  z5ei  k 1 t  ;
T2  z 6 e i  k1 t  ;
 2  z7 ei  k
1
 t 
;
M 2  z8ei  k1 t  ;
E  1,   1,   0,25,
60
l  1,
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
A  0,048;   0,05;   0,1 .
Действительная часть скорости второй
моды в отличие от случая панели постоянной
толщины в целом также возрастает с ростом
кривизны. При этом, как и следовало ожидать, чем больше кривизна к2, тем медленнее
осуществляется переход на участок без дисперсионного движения c  const  с ростом
волнового числа. Что касается самой локализации, то она увеличивается с увеличением
кривизны (при достаточно больших к, например, при к=10). Причем такая повышенная
локализация в цилиндрической панели характерна для обеих мод (действительные части
комплексной на скорость). С ростом параметра к2 наблюдается тенденция увеличения скорости ( С R ) изгибной моды и уменьшения
скорости крутильной моды.
Скорости коэффициента затухания ( С I )
изгибной моды уменьшаются по параметрам
к2, а также увеличивается скорость затухания
крутильной моды.
Толщина h изменяется по линейному закону
h 2   h1  h  2 ,
(14)
h  h2  h1  / l .
Сплошные линии на рисунках соответствуют вариантам панели постоянной толщины (h1= h2=0.1), пунктирные линии характеризуют панель с клиновидным сечением
( h  0.0001 ). В последнем случае
h2=0.1, а толщина h1 =0.001. Параметры кривизны к2 постоянны и принимают значения 450
и 900. Штрихпунктирные линии на рис. 1 и 2
соответствуют рассмотренному случаю пластин
Кирхгофа – Лява при к2=0. Из рис. 1 и 2 видно
качественное отличие в поведении дисперсионных кривых первой моды, соответствующих
оболочке и пластинке. Если во втором случае
кривая фазовой скорости монотонна, то в первом случае наблюдается характерный максимум
в средневолновом диапазоне, который объясняется повышенной изгибной жесткостью оболочки по сравнению с пластинкой.
0,5
CR
0,3
II мода
0,1
I мода
  0,25; k 2 
0
1
2
3
4
5
6

4
0,875
kR
7
8
9
10
R
Рис. 1. Зависимость действительной части скорости CR  распространения волны
от волнового числа
61
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов
2. В случае клиновидной цилиндрической панели для каждой моды существуют
предельные скорости распространения при
увеличении волнового числа, совпадающие по
величине с соответствующими скоростями
нормальных волн в клиновидной пластине
нулевой кривизны. В коротковолновом диапазоне локализация движения существует и
увеличивается с ростом кривизны панели.
Выводы
1. С ростом кривизны цилиндрической
панели постоянной толщины увеличивается
действительная
часть
комплекса
CR  Re al V  – скорость распространения
первой изгибной моды и уменьшается скорость распространения второй крутильной
моды.
0,54
CR
0,45
0,36
II мода
0,27
0,18
I мода
0,09
0
  0,25;
1
2
3
4
k2 
5

2
1,57 
6
7
8
9
10
Рис. 2. Зависимость действительной части скорости CR  распространения волны от
волнового числа
упругих полосах переменной толщины //
Акуст. ж. 1982. Т. 28. № 3. С. 393–397.
6. Саксонов С.Г. О распространении волн в
цилиндрической оболочке. 1971. Т. 7.
№ 1. С. 124–128.
7. Yu Y.Y. Vibrations of thin cylindrical shells
analyzed by means of donnell-type equations.
8. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И.
Волновые процессы в механическом волноводе // LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012. 217 с.
9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация.
М.: Высшая школа, 1976. 276 с.
10.Сунчалиев Р.М., Филатов А. О некоторых
методах исследования нелинейных задач
теории вязкоупругости // ДАН СССР.
1972. Т. 206. № 1. C. 201–203.
Список литературы
1. Aйнола Л.Я. К вариационным принципам
динамической теории оболочек // Изв. АН
Эст ССР. 1968. Т.17. № 3. С. 283–289.
2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих и оболочек //
Изв. АН Эст ССР. 1965. Т. 14. № 1. С. 3–63.
3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания волн в упругих телах.
Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.
4. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин: тр. VI всес. конф.
по теории оболочек и пластинок, 1969. М.:
Наука, 1970. С. 846–883.
5. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Нормальные волны продольно-сдвигового типа в
62
Распространение гармонических волн в цилиндрической панели…
Distribution of harmonic waves in a cylindrical panel
with an account viscoelastic properties of material
I. Safarov, Z. I. Boltaev, M. Sh. Ahmedov
Bukhara Institute of engineering and technology, Uzbekistan, 105017, Bukhara, Ul. K. Murtazoev, 15
safarov54@mail.ru; (+998 93) 625-08-15
In this article it is considered distributions of harmonious waves to the cylindrical panel with variable thickness. For a conclusion of the equations of a cover the principle of possible movings is
used. Decisions of a regional problem are received by a method of orthogonal prorace of Godunov. Dispersive curves depending on various geometrical parameters of system have been investigated.
Key words: cylindrical shell theory Kirchhoff-love waves; harmonious waves; viscoelastic Panel;
the medial surface.
63