МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ Государственное профессиональное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное профессиональное образовательное учреждение
«ЧИТИНСКИЙ ТЕХНИКУМ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И БИЗНЕСА»
Н.Г.Скородумова
Практические и самостоятельные работы
по математике
Допущено в качестве учебного пособия
Научно-методическим советом ГПОУ ЧТОТиБ
Издательство ГПОУ ЧТОТиБ
2015
Скородумова Н.Г.
М00
Учебное пособие «Практические и самостоятельные работы по мате-
матике» / Н.Г.Скородумова; Читинский техникум отраслевых технологий и
бизнеса. – 1-ое изд. – Чита: Изд-во Читинского техникума отраслевых технологий и бизнеса, 2015. – 57 с.
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» для студентов 2 курса, выполняющих
практические и самостоятельные работы по математике. В указаниях содержится теоретический материал по каждой теме, 22 практические работы, задания для самостоятельной работы, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.
Методические указания нацелены на проведение занятий с учетом
специфики дисциплины в различных формах: выполнение практических работ, самостоятельная работа студентов.
Методические указания предназначены для студентов специальности:
08.02.07 Монтаж и эксплуатация внутренних сантехнических устройств, кондиционирования воздуха и вентиляции.
© Учебное пособие. Издательство
ГПОУ ЧТОТиБ, 2015
© Скородумова Н.Г.., 2015
©Оформление. Издательство ГПОУ
ЧТОТиБ, 2015
2
Пояснительная записка
Предмет «Математика» является общеобразовательной дисциплиной,
устанавливающей базовый уровень знаний для освоения других общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Организация практических занятий студентов регулируется учебным
планом и федеральными государственными образовательными стандартами
среднего профессионального образования.
В соответствии перечисленными нормативными документами определяется объем часов, отводимых на практические занятия, выполнение которого является обязательным для каждого студента.
Целью практических занятий является закрепление полученных знаний
и овладение умениями и навыками по дисциплине, а также формирование
общих и профессиональных компетенций.
В результате выполнения заданий для практических занятий формируются:
умения поиска оптимальных вариантов ответов, решений;
творчество, инициативность, уверенность;
навыки работы с учебником, классическими первоисточниками, современной учебной и научной литературой.
В результате изучения данного курса студент должен уметь:
вычислять неопределенные и определенные интегралы;
решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;
решать простейшие дифференциальные уравнения;
находить значения функций с помощью ряда Маклорена.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен
знать:
основные понятия и методы математического анализа дискретной математики;
основные численные методы решения прикладных задач;
основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
3
Распределение времени студента на практические и самостоятельные работы по дисциплине
Таблица 1
Наименование раз- Максимальная
делов и тем
Количество ауди-
Самостоятельная
торных часов
работа студента
нагрузка студента
Всего
В том числе
дома
практические
занятия
Раздел 1. Элемен-
49
18
18
13
2
2
-
ты математического анализа
Тема 1.1. Предел
Практическая ра-
2
бота № 1
Тема 1.2. Ряды
6
4
Практическая ра-
6
2
бота № 2
Практическая ра-
2
бота № 3
Тема 1.3. Диффе-
6
6
2
ренциальное и интегральное исчисление
Практическая ра-
2
бота № 4
Практическая ра-
2
бота № 5
Практическая ра-
2
бота № 6.
Тема 1.4. Обыкно-
4
6
4
5
венные дифференциальные уравнения
Практическая ра-
2
бота № 7
Практическая ра-
2
бота № 8
Практическая ра-
2
бота № 9
Раздел 2 Дискрет-
27
8
8
11
4
4
6
ная математика
Тема 2.1 Множества и операции
над ними
Практическая ра-
2
бота № 10
Практическая ра-
2
бота № 11
Тема 2.2 Элементы
4
4
5
математической
логики
Практическая ра-
2
бота № 12
Практическая ра-
2
бота № 13
Раздел 3 Числен-
21
4
6
11
2
2
6
ные методы
Тема 3.1. Основы
численных методов алгебры
5
Практическая ра-
2
бота № 14
Тема 3.2. Погреш-
2
4
5
ности простейших
арифметических
действий
Практическая ра-
2
бота № 15
Практическая ра-
2
бота № 16
Раздел 4 Теория
35
14
12
9
6
6
4
вероятностей и математической статистики
Тема 4.1. Теория
вероятностей
Практическая ра-
2
бота № 17
Практическая ра-
2
бота № 18
Практическая ра-
2
бота № 19
Тема 4.2. Матема-
8
6
тическая статистика
Практическая ра-
2
бота № 20
Практическая ра-
2
бота № 21
Практическая ра-
2
6
5
бота № 22
Итого:
132
44
44
44
Содержание дисциплины
Раздел 1. Элементы математического анализа
Тема 1.1 Предел функции
Числовая последовательность
Определение. Числа, которые следуют друг за другом по определенному закону и являются функцией натурального числа п, образуют последовательность чисел.
Каждое из этих чисел называется членом последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) 1, 2, 3, 4,...
Любой член этой последовательности можно найти по формуле: ап = п,
где п — любое натуральное число.
2) 2, 4, 6, 8,...
Любой член этой последовательности можно найти по формуле: ап =
2п, где п — любое натуральное число.
3) 1, 4, 9, 16,...
Любой член этой последовательности можно найти по формуле: ап = п2,
где п — любое натуральное число.
Если ап есть общий член конечной последовательности, то она
записывается так: а1, а2, а3,..., ап.
Если
ап
есть
общий
член
бесконечной
последовательности,
то
она записывается так: а1, а2, а3,..., ап,...
Все множество членов бесконечной последовательности записывается так:
{ап}.
Предел функции
Определение. Число b называется пределом функции y=f(x) при xa,
если для любой последовательности аргументов x1, x2, x3,…xn (xn≠a) сходя7
щихся к а, соответствующая последовательность значений функций f(x1),
f(x2),…f(xn) сходится у b. Обозначается: lim f ( x )  b
x a
Основные теоремы о пределах
Теорема 1: Предел постоянной величины равен самой этой величине:
lim c  c
n 
Здесь «постоянная» величина — это переменная величина ап, которая
при всех п принимает одно и то же значение, равное с.
Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim (kan )  k lim an
n
n
Теорема 3: Предел суммы двух переменных величин равен сумме
пределов этих переменных величин:
lim (an  bn )  lim an  lim bn
n 
n 
n 
Теорема 4: Предел произведения двух переменных величин равен
произведению пределов этих величин:
lim (an  bn )  lim an  lim bn
n 
n
n 
Теорема 5: Предел дроби равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim (
n 
lim an
an 
)  n 
bn
 lim bn
 ( lim bn  0)
n 
n 
Пример. Вычислить предел.
( 6x  1 )  6( 1 )  1  6  1  5
1) lim
x 1
2
2
x 2 1
0

0
2
x  1
x  2x  3 1  2  3
2) lim
3) lim( x 2 
x 0
sin 2x
sin 2x
sin 2x
)  lim x 2  lim
 0  2 lim
 0  2 1  2
x 0
x 0
x
x
2x
Рассмотрим некоторые нестандартные ситуации, возникающие при вычислении пределов функций.
0
0
f ( x)  ,
1. lim
xa
8
2. lim f ( x ) 
x a

.

В таком случае предел вычисляется следующим способом: в числителе
и знаменателе выносим общий множитель.
lim
x 0
x( 3x  2 ) 3* 0  2 2


x( 2x  5 ) 2 * 0  5 5
Практическая работа № 1
Вычисление пределов
Задание 1. Вычислите пределы функции:
а) lim(3х 3 - 2х 2 - х);
в) lim(5х 3  2х 2 - 3х  7);
б) lim(5х - 10х - 1);
х 2  5х  6
г) lim 2
.
x 2
х  6х  8
x 2
x1
x0
Задание 2. Вычислите пределы функции:
а) lim(х 2 - 5х  6);
2
;
x 
х 2  3х
в) lim
x 
б) lim(х 3  3х 2 );
x 
3х
.
x 
х2
г) lim
Контрольные вопросы
1. Назовите определение предела функции.
2. Назовите свойства пределов.
3. Что представляет собой число е?
Тема 1.2 Ряды
Числовые ряды
Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.
Числовым рядом называется выражение вида a1+a2+a3+…+an+…, где an числа. Для сокращенного обозначения рядов используют знак

a
n 1
n
 a 1  a 2  ...  a n  ...
Пример.
9

1
1 1
1
 1    ...   ...
n 1 n
2 3
n

1
1 1
1
2. 2  1    ...  2  ...
n 1 n
4 9
n

1
1
1
1
3.
1

 ... 
 ...
n 1
n
2
3
n
1.
Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда S n .
S1  a 1 ,S 2  a 1  a 2 ,S 3  a 1  a 2  a 3 ,...,S n  a 1  a 2  ...  a n
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
сходится, т.е. lim Sn  S , где S – сумма ряда. (если предел не существует или равен
n 
 , то ряд расходится).
Пример. Определить сходимость ряда
2 n  3n
.

6n
n 0

2 n  3n
5 13

2


 ...  ...

n 0
6n
6 36


2 n  3n
 2 n 3n   2 n  3n
  n  n    n   n

n 0
6n
n 0  6
6  n 0 6
n 0 6

Докажем сходимость каждого ряда.
2n  1
1 1
1
1
3


1



...


...,
S




1
n
n
n 0 6
n 0 3
3 9
3n
11/ 3 2

3n  1
1 1
1
1


1



...


...,
S

2


2
n
n
n 0 6
n 0 2
2 4
2n
11/ 2

Теорема (Необходимый признак сходимости рядов)
Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т.е. lim a n  0 .
n 
Пример.
n
1
2
n
1

lim a n  lim1    e  2 ,7  0 
n 
n 
n

Достаточный признак сходимости рядов:
1
n
1   1  1 
1


1    1    1    ...  1    ...

n 1 
n   1 
2
n


1
1
1
1


 ... 
 ...
р
р
р
p
2
3
4
n
10
ряд расходится.
Если р1, то данный ряд расходится, если р>1, то - сходится
Признак Даламбера сходимости рядов.
Пусть дан ряд

a
n 1
n
a n 1
 p , тогда
n 
an
 a 1  a 2  ...  a n  ... Допустим, что lim
Если p<1, то ряд сходится.
Если p>1, то ряд расходится.
Пример.

n
2
т 1
n
n
n 1
,
a

n

1
2n
2 n 1
ряд сходится.
n  1 2n
n 1 
11/ n 1
 lim n 1 
 lim
  lim
 1
n 
2
n n   2n
 n  2
2
 an 
a n 1
n 
an
lim
Знакопеременные ряды
Рассмотрим ряд, у которого все элементы по очереди меняют знак:
u 1  u 2  u 3  u 4  ...  ( 1 ) n 1 u n  ... , где u n  0 . Такой ряд называется знакоче-
редующимся.
( 1 ) n 1
( 1 ) n 1
1 1 1
 1     ... 
 ...
Пример. 
n 1
n
2 3 4
n

Теорема (Признак Лейбница)
Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет следующим условиям:
Все элементы ряда убывают u 1  u 2  u 3  ...  u n .
Общий элемент ряда стремится к 0 при n   .
Тогда ряд сходится (достаточный признак сходимости ряда).
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд |u1|+|u2|+|u3|+…+|un|+…, составленный из абсолютных величин его членов, т.е.
всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Если знакопеременный ряд u1  u 2  u 3  u 4  ...  ( 1 )n 1 u n  ... сходится, а
|u1|+|u2|+|u3|+…+|un|+…, расходится, то знакопеременный ряд называется условно
сходящийся.
Степенные ряды
11
Определение. Степенным рядом называется ряд вида ∑𝑛𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎0 +
𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ , где числа а0, а1, а2, …, аn, …называются коэффициентами ряда, а член anxn- общим членом ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых ряд сходится. Радиус сходимости ряда 𝑅 = 𝑙𝑖𝑚 |
𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
|, ряд
сходится при |х|<R.
Ряды Маклорена
Определение. Степенной ряд вида 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +
𝑓(𝑛) (0)
𝑛!
𝑓′ (0)
1!
𝑥 +
𝑓′′ (0)
2!
𝑥2 + ⋯ +
𝑥 𝑛 + ⋯ , называется рядом Маклорена.
Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:
1. вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке
х=0;
2. составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу;
3. найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле 𝑅 =
𝑙𝑖𝑚 |
𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
|.
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию у=ех.
1. Найдем производные:𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 , … 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑒 𝑥 . Вычислим значения производных при х=0: 𝑓(0) = 1, 𝑓 ′ (0) = 1, 𝑓 ′′ (0) = 1, … , 𝑓 𝑛 (0) = 1.
2. Подставим эти значения в формулу 𝑒 𝑥 = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯.
3. Найдем промежуток сходимости ряда:
𝑎𝑛 =
(𝑛 + 1)𝑛!
1
1
1
𝑎𝑛
, 𝑎𝑛+1 =
=
;
=
= 𝑛 + 1;
(𝑛 + 1)! (𝑛 + 1)𝑛! 𝑎𝑛+1
𝑛!
𝑛!
𝑅 = 𝑙𝑖𝑚 |
𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
| = 𝑙𝑖𝑚 |𝑛 + 1| = ∞, т.е. -<x<.
𝑛→∞
Полученный ряд сходится при любых значениях х.
12
Практическая работа № 2
Исследование рядов на сходимость
Задание 1. Найдите n-й член ряда по его данным первым членам:
а)
1 3 5 7
    ...
2 4 6 8
1 1 1 1
    ...
3 5 7 9
б)
в)
2 4 6
8
 

 ...
4 9 16 25
Задание 2. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера:
а)
3n  1
5 8
 1    ....;

2n
4 6
n 1

б)

n
n 1
2
1
1
1
1



 ...
(n  1) 1 * 2 4 * 3 9 * 4
Задание 3. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.
𝑛−1
а) ∑∞
𝑛=1(−1)
𝑛+1
б) ∑∞
𝑛=2(−1)
1
(3𝑛−1)2
𝑛−1
2𝑛+1
1
1
√𝑛
22
−
1
52
+
1
2
3
5
7
9
1
82
− ⋯;
= − + − + ⋯;
𝑛−1
в) ∑∞
=
𝑛=1(−1)
(𝑛+1)!
𝑛−1
г) ∑∞
4
𝑛=1(−1)
1
=
1
2!
−
1
3!
+
1
−⋯;
4!
1
1
√2
√3
= −1 + 4 − 4 + ⋯ .
Практическая работа № 3
Разложение функции в степенной ряд. Ряды Маклорена
Задание 1. Найти промежуток сходимости степенного ряда:
а)

3n х n

n!
n 1
б)

xn

n
n 1 2 n
Задание 2. Разложить в ряд Маклорена функцию:
а)
f(x)=3x;
б) f(x)=e4x;
в) f(x)=e-2x.
Самостоятельная работа
Задание 1. Расписать первые три элемента ряда
а)

n!

n 1 3n
3n  1
n!
n 1


б)
Задание 2. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам:
а)
2 4 8 16
  
 ...
1 4 9 16
б)
13
1 1* 2 1* 2 * 3 1* 2 * 3 * 4



 ...
9
25
49
81
Задание 3. Определить сходимость ряда по признаку Даламбера


б)  nn
7
а)  nn
5
n 1
n 1
Задание 4. Исследуйте сходимость ряда
а)

n 1
б)
1
n

4
1
1
 3* 2
n 1
n

1
1
 4  ... ,
4
2
3
1
1
1


 ...
2
3* 2 3* 2
3 * 23
Задание 5. Разложить в ряд Маклорена:
а) f(x)=2x;
б) f(x)=
в) f(x)= Sin x;
1
;
1 х
г)f(x)=Cos 3x.
Контрольные вопросы
1. Можно ли утверждать, что ряд

a
n 1
n
сходится, если
lim
an=0?
n 1
2. Верно ли, что если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены?
3. Существует ли степенной ряд, для которого верно утверждение: на обоих
концах интервала сходимости ряд расходится?
4. Какие ряды называются знакопеременными, степенными рядами?
5. Перечислить основные признаки сходимости.
Тема 1.3 Дифференциальное и интегральное исчисление
Таблица производных:
   n  x n1 .

2. a x   a x ln aa  0, a  1 .

3. e x   e x .
7. cos x    sin x .
1. x n
4. log a x  
8. tgx  



x   k  .

2

cos2 x 
9. ctgx   
1
a  0, a  1 .
x  ln a
1
1
10. arcsin x  
1
5. ln x   .
x
1
1  x2
11. arccos x   
6. sin x   cos x .
14
x  k  .
sin 2 x
.
1
1 x
2
.
12. arctgx 
1
1 x
2
13. arcctgx   
.
1
1 x
2
.
Правила производных:
C  0
C  U   C  U 
U  V   U   V 
U  V   U V  UV 

 U  U V  UV 
  
V 
V2
Пример. Вычислить производную функций.
1.y  x  8
y   ( x  8 )  1  0  1
2.y  x 2  x  5
y   ( x 2  x  5 )  2 x  1
10
3.y 
x

10 
 10

y      ( 10 x 1 )  1 10  x  2  2
x
x
4.y  ( 3  x )( x  8 )
y   ( 3  x )( x  8 )  ( 3  x )( x  8 )  1( x  8 )  ( 3  x ) 1  2 x  5
x2
x 5
( x 2 )( x  5 )  x 2 ( x  5 ) 2 x( x  5 )  x 2 1 x 2  10 x
y 


( x  5 )2
( x  5 )2
( x  5 )2
y
Производная сложной функции
Пусть z  f ( x), y   ( x)  z  f ( ( x))  композиция двух функций.
Если функция y   (x) дифференцируема по x, а функция z  f ( y ) дифференцируема по y, то сложная функция z  f ( ( x)) дифференцируема по x, причем её
производная вычисляется по формуле: ( f ( ( x )))  f ( ( x ))  ( x )
15
Пример.
1.z  e x , z  e x  2x
2.z  sin 2x , z  2 cos 2x
2
2
Неопределенный интеграл и его свойства
Определение: Интегрирование – это процесс нахождения первообразованых.
Таблица неопределенных интегралов:
1.
 0  dx  C .
2.
 dx  x  C .
3.
x k 1
 C , k  1, k  const .
 x dx 
k 1
4.

5.
ax
 C , a  0, a  1 .
 a dx 
ln a
6.
x
x
 e dx  e  C .
7.
 sin xdx   cos x  C .
8.
 cos xdx  sin x  C .
9.

10.
k
dx
 ln x  C .
x
x

dx
2
 ctgx  C .
sin x
dx
2
 tgx  C .
cos x
11.
.
12.

13.

dx
a2  x2
dx
x2  a2


1
x
arctg  C .
a
a
1
xa
ln
C.
2a x  a
14.
16
Свойство неопределенного интеграла:
1.
 f ( x)dx  f ( x)
2.
 f ( x)dx 
f ( x)  C
4.   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
3.  af ( x)dx  a  f ( x)dx,...a  0
Пример.
1.
2
 x dx 
x3
C
3
5x 4
2.  5 x dx 
C
4
3
dx
x
4.
4
4
 ( x  5)dx   x dx   5dx 
2
  х  2 dx 
1
C
x
3.
x5
 5x  C
5
Определение. Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси ох, сверху
графиком функции y  f (x) , с боков отрезками х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S  F (b)  F (a)
Разность F (b)  F (a) называется интегралом от функции F(x) и обозначается
b
 f ( x)dx .
a
Формула Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F ( x) |
b
a
 F (b)  F (a) .
a
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y  x 2 , x  1, x  2
17
2
S   x 2 dx 
1
x 3 2 2 3 13 7
1
|1 
  2
3
3
3 3
3
Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного
интеграла.
Практическая работа № 4
Нахождение дифференциалов функций. Нахождение
производных высших порядков
Задание 1. Найдите производные функции:
а) у=2х+4;
д) у=(х+3)(х2+8х);
б) у=5х2+7х+1;
е) у=х2(3х-7х3);
в) у=
1
2х
+√ х ;
ж) у=
х2
(х+7)
1
г) у = ех + ;
х
Задание 2. Найдите производную сложной функции
а) z=cos 7x;
д) z=tg(5x2);
3
б) z=ex ;
3
е) z=√2x-1;
в) z=Sin(5x+3);
ж)z=(2x+3)2.
x2
г) z=5 ;
Задание 3. Найдите производную высших порядков
а) Дана функция y=e3x. Найти y(4) .
б) Найти y(5) для функции y=5x.
в) Найти y(10) для функции y=ln(2x-1).
Практическая работа № 5
Нахождение неопределенных интегралов с проверкой результатов
дифференцированием
Задание. Вычислить неопределенный интеграл.
а) ∫ (x3 +x2 ) dx;
б) ∫ (5x2 -2x-2 ) dx;
18
в) ∫ (Sinx-Cosx) dx;
е) ∫ (7x6 +5𝑥 +4ex ) dx;
г) ∫ (5x3 -2x2 +3x-8) dx;
ж) ∫ (x3 +2x +3Sinx-3Cosx) dx.
д) ∫ (6x3 -3x2 +2x-5) dx;
Практическая работа № 6
Нахождение определенных интегралов
Задание. Вычислить определенный интеграл.
3
𝜋/2
а) ∫-1(1-2x+3x2 )dx;
в) ∫π
Cosx dx;
1
1
г) ∫0 (𝑥 3 +4x-5)dx;
б) ∫-1(x2 -3x+7)dx;
Самостоятельная работа
Задание 1. Найти производную
а) y=x-5;
г) y=x 5 -7x+3;
б) y=cosx(x 3 -4);
д) 𝑦 = (5𝑥 − 1)3 ;
в) y =
2x
sinx
е) 𝑦 = 𝑥 2 (5𝑥 − 3).
;
Задание 2. Вычислить интеграл
 (x
2
 5 x ) dx
2
x
 (2  3)dx
1
1
3
 3)dx
1
 (sin x  1)dx
1
3
 (2 x  3)
 (x
4
2
dx
 ( x  1)
3
dx
1
Контрольные вопросы
1. Какое действие называется интегрированием?
2. Дайте определение неопределенного интеграла.
3. Как проверяется результат интегрирования?
4. Какой геометрический образ соответствует интегралу
5. Напишите формулу для интеграла  2 x n dx ?
19
 f ( x)dx ?
6. В чем заключается метод замены переменных при отыскании неопределенного интеграла?
Тема 1.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее функцию y  f (x) , переменную x и производную f(x).
Если функция y  f (x) зависит только от переменной x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:
F ( x, y, y , y ,..., y n )  0 .
Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.
F ( x, y , y )  0
- дифференциальное уравнение первого порядка.
y   f ( x, y )
F ( x, y, y , y )  0
- дифференциальное уравнение второго порядка.
y   f ( x, y, y )
Решить дифференциальное уравнение – значит найти первообразную функции f(x), т.е. вычислить неопределенный интеграл от F(x).
Алгоритм решения дифференциального уравнения:
1. y  
dy
dx
2. домножаем обе части уравнения на dx и переносим слагаемые с dx в другую сторону.
3. переменные, содержащие x переносим к dx , а переменные, содержащие y
к dy .
4. интегрируем обе части уравнения.
Пример. Решить дифференциальное уравнение.
ydy  xdx  0
ydy  xdx
 ydy   xdx 
y2 x2

c
2
2
20
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥)𝜑(𝑦). Для решения данного уравнения нужно сначала
разделить переменные, а затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение,
в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Пример. Найти общее решение уравнения x(1+y2)dy=ydy.
Разделим переменные xdx=
ydy
.
1+y2
Интегрируем обе части полученного уравнения: ∫ 𝑥𝑑𝑥 =∫
𝑥2
2
1
1
2
2
ydy
;
1+y 2
= ln(1 + 𝑦 2 ) + 𝑙𝑛𝐶.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение
y   py  q  0....(1)
называется линейным дифференциальным
уравнением первого порядка.
Практическая работа № 7
Решение дифференциальных уравнений первого порядка
с разделяющимися переменными
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
а) xdx=2ydy
б) x2dx=3y2
в) Sinxdx= dy
г)
xdx dy
=
x2  6 y
Задание 2. Решите уравнение с разделяющими переменными
а) xdy=ydx
б)
x dy=ydx
21
в) (1+x2)dy=2xydx
г) x2dy=(y-2)dx
Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения
а)
dy
dx
= 2 , при x=0,y=4
2
x
y
б) y2dx=exdy, при y=1, x=0
Практическая работа № 8
Нахождение частного решения дифференциальных уравнений
первого порядка
Задание 1. Найдите частное решение дифференциального уравнения 1 порядка
а) dy-y ctgxdx=0, y=0, x=
П
2
б) (1-y) dx +(1+y) dy=0, y=3, x=1
в) (1-x2) dy=xy dx, y=1, x=0
г) 4xy dx= (x2+1) dy, y=8, x=1
Задание 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения 1 порядка
а) ydy=xdx, y=4, x=-2;
б) xdy=ydx, y=6, x=2
в) (1+y)dx=(1-x)dy, y=3, x=1;
г) y2dx=exdy, y=1, x=0.
Практическая работа № 9
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами
Задание. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:
dy
d2y
а)
=2,
при
х=1,
у=0,
=2;
dx 2
dx
dy
d2y
г)
=2х,
при
х=1,
у=3,
=4;
dx 2
dx
dy
dy
d2y
d 2 y 1 dy
б)
=3х+2, при х=1, у=2,
=2; д)
=
, при х=2, у=6,
=4;
2
2
dx
dx x dx
dx
dx
dy
d2y 1
в)
= 3 , при х=1, у=0,
=0;
2
dx x
dx
dy
dy
d2y
е)
=3 , при х=0, у=1,
=е.
2
dx
dx
dx
22
Самостоятельная работа
Задание 1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
а) ydx+xdy=0;
в) 2yy’=1;
б) y-y’x=0;
г) y’=1-3x2.
Задание 2. Найдите частное решение линейного дифференциального уравнения 1 порядка
а)
dy
-2y-4=0, y=-1, x=0;
dx
б)
dy
-4y-2=0, y=1,5 x=0;
dx
в)
dy
1
+y= х , y=5, x=0.
е
dx
Задание 3. Решите однородное дифференциальное уравнение 1 порядка
(2x-y) dx –x dy=0
Задание 4. Решите уравнения:
а)
dy 3 y х . 3
- =е х ;
dx x
г)
dy
- y=3 ех;
dx
б)
dy 2 y
+
=х2;
x
dx
д)
dy
- 2xy=2 ех.
dx
в)
dy
-у ctg x=Sin x
dx
Контрольные вопросы
1. Определение дифференциального уравнения.
2. Почему общее решение дифференциального уравнения второго порядка
содержит ровно две постоянные?
3. Что называется порядком дифференциального уравнения?
4. Что называется решением дифференциального уравнения, общим решением, частным решением?
23
5. Что называется дифференциальным уравнением 1 порядка, дифференциальным уравнением с разделяющими переменными?
Раздел 2. Дискретная математика
Тема 2.1 Множества и операции над ними
Множество это совокупность объектов, которые объединены какими-либо
свойствами.
A  {0,1,2,3,...,9}  {x  ,0  x  9}
Z - Множество целых чисел (, )
Q - Множество рациональных чисел q 
n
m
N - Натуральные числа (1,2,3…)
R - Действительные числа
C - Комплексные числа
Пустое множество это множество, которое не содержит ни одного элемента,
обозначается: Ø
Операции над множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Множество изображается в виде некоторого круга, а его
элементы изображаются точками этого круга. Возьмем множество А = {2; 4; 6} и
В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством
множества В, и пишут: А
В.
Пустое множество считают подмножеством любого множества. А
В.
Пересечением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству В.
A  B  {x | x  A, x  B}
24
Объединением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит или множеству А, или множеству В, или одновременно двум множествам.
A  B  {x | x  Aиили  B}
Разностью множеств А и В называется множество только тех элементов
множества А, которые не принадлежат В.
A \ B  {x | x  A, x  B}
Дополнением множества В до множества А называется множество таких
элементов, которые принадлежат А, и не принадлежат В.
B  {x  A | x  B}
Практическая работа № 10
Решение задач по теме «Множества»
Задание 1. Задайте множество А описанием:
А = {1, 3, 5, 7, 9};
А = {– 2, – 1, 0, 1, 2};
А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};
25
А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …};
А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.
Задание 2. Даны множества А={0,1,2,3,4,5,6},
B={1,2,3,4,6,8},
C={-
1,0,3,4,7,8}
Найти А  В, А  С, А  В  С, А  В  С, (А  В)  С, А  (В  С)
Задание 3. Даны множества А={0,1,2,3},
B={-1,2,3,4,5,6}
Найти А  В, А  В, А \ В, В \ А, А, В
Задание 4. Задайте числовое множество описанием характеристического
свойства элементов: а) (0; 11); б) [-12,3; 1,1); в) [-5; 3]; г) (- ∞; -102,354].
Практическая работа № 11
Формулы алгебры логики. Диаграммы Эйлера-Венна
Задание 1. Упростить формулу:
а) (А \/ В) & (А \/ С);
б) (A/\B) \/ (A/\¬B);
в) xy̅ v xyz v x y̅ z v xyz
̅̅̅ .
Задание 2. С помощью диаграмм Эйлера найти
1)А  В
2) А  В
3)( А  В)  С
4) А  ( В  С )
Задание 3. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16
– и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько
школьников не увлекаются коллекционированием?
Задание 43. Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два
раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С
видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?
Задание 5. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету,
или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей
выписывают журнал и лишь13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?
26
Самостоятельная работа
Задание 1. Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:
а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.
Задание 2. Изобразите на координатной прямой перечисленные множества:
а) А = {х| xR, -1,5 ≤ х ≤ 6,7};
в) С = {х| xZ, -5 < х <2};
б) М = {х| xN, 4х - 14 < 0};
г) Н = {х| xZ, |x| < 7}.
Задание 3. В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк
посетили 5 учеников;
планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного
места?
Задание 4. На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса
выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили
норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по
бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?
Задание 5. Упростить формулы:
а) abc & a̅bc;
̅̅̅;
б) abc & abc
в) ac̅ & c(b & c̅)& (a & b̅)c.
Контрольные вопросы и задания
1. Как обозначаются множества?
2. Что называется элементами множеств?
3. Как записываются множества?
4. Какие существуют операции над множествами?
5. Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество
А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?
27
6. Задайте множество А описанием: А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.
7. Чему равно множество М, если М = {х| xN, 4х - 14 < 0}
Тема 2.2 Элементы математической логики
Высказывания
Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях. Объектами алгебры логики являются высказывания.
Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается
или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.
Каждому логическому высказыванию ставится в соответствие логическая
переменная, которое принимает значение “истина” или “ложь”. А=1 – истина, В=0
– ложь.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Истинные высказывания правильно отражают свойства и отношения реальных вещей.
Ложные высказывания не соответствуют реальной действительности.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):

в естественном языке соответствует союзу и, а, но, да;

в алгебре высказываний обозначение &;

в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым
двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
28
Пример: Платон мне друг, но истина дороже.
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):

в естественном языке соответствует союзу или;

обозначение V;

в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым
двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда
хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Пример: Утром я пью чай или кофе.
Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

в естественном языке соответствует словам неверно, что… и ча-
стице не;

обозначение 𝐴̅ ;

в языках программирования обозначение Not.
Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что
исходное высказывание отрицается.
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, то есть множеству, получившемуся в результате отрицания множества А, соответствует множество
до универсального множества.
29
, дополняющее его
Пример: Неверно, что он храбр и силен.
Импликация – логическое следование:
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического
следования (импликации) ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)
Пример: Если дует ветер, то листья на деревьях колышутся
Эквиваленция – равнозначность: («тождественно», «тогда и только тогда») -
. (то же что <->)
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Пример: Утро наступает тогда, когда всходит солнце.
Пример сложного суждения: Я уже освободился и, если меня не задержат,
скоро приеду.
- я уже освободился;
- меня не задержат;
- я скоро приеду
Ответ: (p&(qr)).
Формула F называется тождественно истинной (или общезначимой или
тавтологией) если для любой интерпретации  выполняется равенство  (F)=1.
Пример. Формула F=X&YX является тождественно истинной.
30
Алгоритм заполнения таблицы истинности:
1. Определить количество переменных
2. Количество строк в таблице определяем по формуле 2n, где n количество
переменных
3. Количество столбцов = количество переменных + количество операций
4. Добавляем строку заголовка.
Законы алгебры логики
Закон
для ИЛИ
для И
AvB=BvA
A.B=B.A
Сочетательный
(AvB)vC=Av(BvC)
(A.B).C=A.(B.C)
Распределительный
(AvB).C=A.CvB.C
(A.B)vC=(AvC).(BvC)
Правила де Моргана
̅̅̅̅̅=A
̅^B
̅
AvB
̅̅̅̅̅̅
̅ vB
̅
A^B=A
Идемпотентности
AvA=A
A.A=A
Исключения третьего и
̅ =1
AvA
̅ =0
A^A
Av1=1
A.1=A
Av0=A
A.0=0
Поглощения
Av(A.B)=A
A.(AvB)=A
Склеивания
̅ .B)=B
(A.B)v(A
̅vB)=B
(AvB).( A
Переместительный
противоречия
Операции с константами
̅
̅→A
A→B=B
Контрапозиции
Двойного отрицания
̿ =A
A
Формулы упрощения
̅vB
A→B=A
̅ vB)(B
̅vA)
A↔B=(A→B)(B→A)=(A
Примеры упрощения логических формул:
1. xvy
̅̅̅̅̅ ^(x^y̅ )=x̅ ^y̅ ^(x^y̅ )=x̅ ^x^ y̅ ^y̅ =0 ̅=0.
y
2. x̅ v y v ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
x &v &y v x=x̅&y v x̅&y̅ v x=x̅&(y v y̅)v x=x̅ v x=1.
31
Практическая работа № 12
Составление таблиц истинности
Задание 1. Проверить равенство с помощью таблицы истинности
(x v y)(x̅ v y)(x̅ v y̅ )=yx̅
Задание 2. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих
формул являются тождественно-истинными или тождественно-ложными
a) F = (a  c)  a  c  (b  c)  b  c
в) F = a  b  (a  b)
Задание 3. Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики
a  c  c  ( b  c)  ( a  b )  c
Практическая работа № 13
Решение задач с помощью формул алгебры логики
Задание 1. Упростить выражение:
̅;
а) ̅̅̅̅̅̅̅̅
X v A v ̅̅̅̅̅̅̅
XvA
̅ )&B;
б) (A v A
̅ &(A v B)&(B v B
̅ );
в) A
̅ & B).
г) A v (A
Задание 2. Верно ли равенство?
̅)v((X
̅̅̅̅̅̅
̿=Y&X
̅
а) ((X Y)&X
v Y)&X
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅v̅
̅&X
б) (X&Y)v
(X
Y)&(X v ̅
Y)=Y
Задание 3. Установить логическую структуру следующих предложений и
записать их на языке логики высказываний
а) Если металл нагревается, он плавится.
б) Неправда, что философские споры неразрешимы.
в) Деньги - продукт стихийного развития товарных отношений, а не результат договоренности или какого-либо иного сознательного акта.
32
Самостоятельная работа
Задание 1. Построить таблицу истинности
а) F(x1, x2, x3) = x3 \/ (x̅2 & x1 & x3)
б) F(x1, x2, x3) = x̅1 & x̅2 \/ x2 \/ x1 & x3
в) F(x1, x2, x3) = x̅1 & x2 & x3 \/ x̅1 \/ x2 \/ x3
Задание 2. Пусть а = «это утро ясное», в = «это утро тёплое». Выразите следующие формулы на обычном языке: а) a  b
в) a  b
Задание 3. Верно ли равенство ac̅ v c̅(b v c)=c̅(a v b)?
Задание
4.
Построить
таблицу
истинности
логической
функции
(A  B)  ((A  B)  A)
Контрольные вопросы и задания
1. Чем характеризуется каждое математическое предложение?
2. Из каких слов образуется составные предложения?
3. Что называется высказыванием?
4. Обоснуйте, какие из следующих предложений являются высказываниями:
а) Картины Пикассо слишком абстрактны.
б) Железо тяжелее свинца
в) «Да здравствует, милая Африка!»
5. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны
6. По какой формуле определяется количество строк в таблицах истинности? На каком принципе эта формула основывается?
Раздел 3. Численные методы
Тема 3.1. Основы численных методов алгебры
Абсолютная и относительная погрешности
Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.
33
Δ =|а-х|, где Δ – абсолютная погрешность a – точное значение величины x – приближенное значение
Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.
Δ =| 4/9- 0,44| =
1
.
125
Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть
не может. Δ =|а-х|  h
Пример.
1
=0,004444< 0,0045
125
x - Δ – Нижняя граница (Н.Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи
десятичных дробей.
Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно
выражается в процентах.
ω=


; ω% = *100%
х
х
Пример. Сравнить точность двух измерений.
d = 4± 0,3; H = 600 ±0,3
ω(d) =
0,3
=0,075=7,5%
4
ω(H) =
1
0,3
=
=0,0005=0,05%. Второе измерение более точное.
600 2000
Практическая работа № 14
Вычисление относительной и абсолютной погрешностей. Округление чисел.
Арифметические действия над приближенными значениями величин
Задание 1. По графику y= x 2 найти абсолютную и относительную погрешности при x=0,8.
34
Задание 2. Найти объем бруска и оценить относительную погрешность измерений (округлять до сотых).
Задание 3. Вычислите отношения и ответ округлите до сотых:
а)
5
6
б)
3,4
28
в)
7,81
2,4
Задание 4. При вычислении дробь
6
заменили дробью 0,5. Какова абсо13
лютная погрешность этого приближения?
Задание 5. Постройте треугольник АВС. Вычислите его площадь по формуле Герона S= р( р  а)( р  в)( р  с) , где р=(а+в+с)/2. Найдите относительную погрешность измерения.
Задание 6. Вычислите отношения и ответ округлите до сотых:
а)
4
3,5
, б)
,
7
5,7
в)
5,47
.
8,34
Задание 7. Вычислите разность а= 13  5 с четырьмя значащими цифрами.
Найдите абсолютную и относительную погрешности.
Самостоятельная работа
Задание 1. Дано число а = 124±0,23. Найдите верхнюю и нижнюю границы
данного числа.
Задание 2. Используя график функции f(x)=х3, при х=0,5 вычислить абсолютную и относительную погрешности.
Задание 3. Постройте прямоугольный треугольник. Найдите его гипотенузу.
Найдите относительную погрешность измерения.
Задание 4. Вычислите отношения и ответ округлите до сотых:
5 4,7 3,45
,
,
.
12 5,8 7,54
Задание 5. При вычислении обыкновенную дробь заменили десятичной дробью
4
 0,5. Какова абсолютная погрешность этого приближения?
9
Задание 6. Вычислите сумму а= 3  5  7 с четырьмя значащими цифрами. Найдите абсолютную и относительную погрешности.
Задание 7. Вычислите относительную погрешность 38,9 .
35
Контрольные вопросы
1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения?
2. Дать определение приближенного значения.
3. Что называется границей абсолютной погрешности?
4. Дать определение значащих цифр.
5. Что называется погрешностью вычисления?
6. Дать определение относительной погрешности
7. Дать правило округления чисел до какого либо разряда.
Тема 3.2. Погрешности простейших арифметических действий
Верные цифры числа
Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.
Пример. Пусть A=7,158±0.009. Определим верные и сомнительные в широком смысле цифры приближенного числа 7.158. Заметим, что a=7.158, =0.009.
Т.к. 0.0091, то цифра 7верная.
Так как 0.0090.1 , то цифра 1 верная.
Так как 0.0090.01 , то цифра 5 верная.
Так как 0.0090.001 , то цифра 8 сомнительная в широком смысле.
Цифра m приближенного числа а называется верной в узком смысле, если
граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того
разряда, в котором записывается цифра m.
Пример. Определим верные и сомнительные в узком смысле цифры приближенного числа 7,158 из предыдущего примера.
Так как 0.0091/2=0.5, то цифра 7 верная в узком смысле.
Так как 0.0090.05, то цифра 1 верная в узком смысле.
Так как 0.0090.005 , то цифра 5 сомнительная в узком смысле.
Очевидно, что цифра 8 также сомнительная в узком смысле.
36
С плавающей точкой формой записи приближенного числа называется запись: M.10p. В этом случае M называется мантиссой числа, p - порядком, 10p - характеристикой числа.
Если число34200 - приближенное, то его записывают, оставляя в мантиссе
лишь верные цифры, т. е. так:342.102.
Если 0.1|M|<1, то запись называется нормализованной формой числа.
Если 1|M|<10, то запись называется стандартной формой числа.
Пример. В нормализованной форме число 47.3 запишется так: 0.473.102, в
стандартной так:4.73.101.
Практическая работа № 15
Определение фактической точности производственных процессов при
изготовлении сборных конструкций
Задание 1. При измерении помещения нашли длину 60 м, ширину 23 м. Погрешность при измерении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины
0,2м. Определить границы погрешности, принимая площадь помещения равной
1380 м2, и относительную погрешность, допущенную при вычислении площади.
Задание 2. Для нахождения плотности металла определены его масса 484 г. и
масса вытесненной воды 62г. Абсолютные погрешности соответственно равны
0,5г и 0,4г. Найти относительную погрешность при вычислении плотности металла.
Задание 3. Сечение воздухозаборной трубы – квадрат, площадью 37,7 см2.
Найдите относительную погрешность при вычислении площади, если абсолютная
погрешность равна 0,05 см.
Практическая работа № 16
Определение фактической точности производственных процессов при
изготовлении сборных конструкций
Задание 1. Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22o20`30``±30.
Какова относительная погрешность измерения?
37
Задание 2. Определить число верных знаков и дать соответствующую запись
приближенной величины ускорения силы тяжести g=9806… при относительной
погрешности 05% .
Задание 3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности
объема трубы, если диаметр d=3,7см±0,05см, длина 2м.
Задание 4. Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество
верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+
0,0556 + 0,0526.
Самостоятельная работа
Задание 1. Назовите верные цифры числа 3,14, считая 3,1416.
Задание 2. За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000. Укажите верные цифры числа 1000.
Задание 3. За приближенное значение числа 38,7 взято число39. Являются
ли цифры 3 и 9 верными?
Задание 4. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц числа:
а) 0,8; б) 7,6; в) 19,3.
Контрольные вопросы
1. Дать определение верной цифры в широком смысле.
2. Дать определение верной цифры в строгом смысле.
3. Дать определение значащих цифр приближенного числа.
4. Какая существует связь с количеством верных знаков числа?
5. В чем состоит обратная задача погрешности?
Раздел 4. Теория вероятностей и математической статистики
Тема 4.1. Теория вероятностей
Основные понятия комбинаторики
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют nфакториалом и пишут n! 1  2  3  ...  (n  1)  n .
Пример. Вычислить: а) 3! ; б) 7!5!; в)
7!5!
.
6!
38
Решение. а) 3! 1 2  3  6 .
б) Так как 7! 1 2  3  4  5  6  7 и 5! 1 2  3  4  5 , то можно вынести за скобки 5!
Тогда получим 5!(6  7  1)  5!41  1  2  3  4  5  41  120  41  4920 .
в)
7!5! 5!(6  7  1) 6  7  1 43



.
6!
5!6
6
6
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Число перестановок можно вычислить с помощью факториала
Pn  n!
Запомним, что 0!=1 и 1!=1.
Пример. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть
различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е. P6  6! 1  2  3  4  5  6  720 .
Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения,
которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо
порядком их расположения.
n
Размещения обозначаются символом Am , где m- число всех имеющихся
элементов, n- число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что n 
m.
Число размещений можно вычислить по формуле
Amn 
m!
.
(m  n)!
Пример. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов
по 3 элемента, т.е. A53  5  4  3  60 .
Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n,
которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом
(здесь m и n-натуральные числа, причем n  m).
39
В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m
элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов.
Сочетания вычисляются по формуле:
C mn 
m!
.
(m  n)! n!
Пример. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на
определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения,
то это можно сделать C 425 способами.
Находим по формуле:
4
C 25

25  24  23  22
 12650 .
1 2  3  4
Основные аксиомы теории вероятностей
Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Классическое определение вероятности
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом
Р(А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
P( A) 
m
.
n
Пример. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают
наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов,
благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим P( A) 
200 1
  0,2 .
1000 5
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
40
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:
P(A)+P( )=1
Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что
событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при
условии B и обозначается PB(A) или P(A/B).
Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный
билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. Так как
события А, В и С несовместны, то
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C ) 
5
10
15


 0,3 .
100 100 100
Пример. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы
по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы
из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная
контрольная работа поступит из города С.
Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице
0,6  0,1  p  1 , т.е. p  1  0,7  0,3 .
Теорема умножения вероятностей независимых событий
41
Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.
Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий:
P(AB)  P(A)  P(B) .
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности,
вычисляется по формуле:
P(A 1 A 2 ...A n )  P(A 1 )  P(A 2 )  ...  P(A n ) .
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• PA(B)=P(B)•PB(A)
Пример. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5
черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение. Пусть A1 - из первой урны извлечен белый шар; A2 - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события A1 и A2 независимы.
Так как P( A1 ) 
4 2
7
2 7 14
7
 , P ( A2 ) 
, то находим P( A1 A2 )     .
10 5
12
5 12 60 30
Формула полной вероятности
Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий H1, H2, …., Hn, то вероятность события A вычисляется по формуле
полной вероятности:
P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)
n
где P(Hi) - вероятность события Hi,
 P( H
i 1
i
) 1
P(A/ Hi)- условная вероятность события A при выполнении события Hi (i = 1,
2, …, n).
Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной
вершиной:
42
Полная вероятность события А равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Бейеса:
P(Hk/A)=
P(Hk )P(A/Hk )
P(A)
(𝑘 = 1, 2, 3, … 𝑛), где P(A)=∑ni=1 P(Hi )P(A/Hi )
Пример. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%,
вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
1. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
2. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?
Решение. Пусть событие А = {выбрать дефектный болт}.
Выдвигаем три гипотезы:
H1 ={болт изготовлен первой машиной}, P(H1) =0,25, P(A/ H1) =0,05;
H2={болт изготовлен второй машиной}, P(H2)=0,35, P(A/ H2)=0,04;
H3={болт изготовлен третьей машиной}, P(H3)=0,4, P(A/ H3) =0,02.
1) Р(А) = 0,25 • 0,05 + 0,35• 0,04 + 0,4• 0,02 = 0,0345
2) P( H1 / A) 
0,25 * 0,05 25
0,35 * 0,04 28
0,4 * 0,02 16
, P( H 2 / A) 
, P( H 3 / A) 
.



0,0345
69
0,0345
69
0,0345
69
Формула Бернулли
43
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может
произойти некоторое событие А с одной и той же вероятностью Р(А)=р или произойти противоположное событие с вероятностью q=1-р. Тогда вероятность того,
что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли:
Рn (m)  C nm p m q n  m
Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в
схеме Бернулли, если Pn(m0)>Pn(m) для всех m=0, 1, 2, …, n. Если вероятности p, q
отличны от нуля, то число m0 определяется из неравенства: np-q𝑚0 np+p.
Формула Пуассона
Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причем их произведение а=np не мало и не велико (обычно достаточно условий p<0,1; npq<10), то вероятность Pn(m) можно приближенно найти по формуле
Пуассона:
Pn(m)
𝑎𝑚 𝑒 −𝑎
𝑚!
.
Пример. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове
равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 сбоев.
По условию n=1000, m=9, p=0,007. Так как n- достаточно велико, p- мало
(npq<7), то а=1000*0,007=7. Р1000(9)=
7 9 * е 7
=0,1014.
9!
Случайной называется величина, которая в результате испытания может
принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.
Закон распределения случайной величины – это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Если значения, которые может принимать данная случайная величина х, образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел x1 , x2 ,..., xn ,..., то и сама
случайная величина х называется дискретной.
Если же значения, которые может принимать данная случайная величина х,
заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси Ох, то случайная
величина называется непрерывной.
44
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:
xi
x1
x2
x3
…
xn
pi
p1
p2
p3
…
pn
При этом
n
p
i 1
i
 1 , где суммирование распространяется на все (конечное или
бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины
X
.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений хi на их соответствующие
вероятности:
𝑀(𝑋) = ∑𝑖 𝑥𝑖 𝑝𝑖 .
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания а:
𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 − 𝑎)2 .
Практическая работа № 17
Повторные и независимые испытания
Задание 1. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?
Задание 2. Если подбросить одновременно 3 игральные кости, то сколько
имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?
Задание 3. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?
Задание 4. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий;
красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Задание 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число
окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
45
Задание 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3
белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что
оба шара окажутся белыми.
Практическая работа № 18
Простейший поток случайных событий и распределения Пуассона
Задание 1. Вероятность выхода из строя одного элемента устройства, в течении х часов работы, равна 0,002. Какова вероятность того, что за время х из 1500
независимо работающих элементов выйдет из строя 4 элемента?
Задание 2. Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных
изделий. число изделий поврежденных при транспортировке, составляет в среднем
0,05%. Найти вероятность того, что на базу поступит не более 3 поврежденных
изделий.
Задание 3. Какова вероятность того, что среди 730 датчиков, 4 бракованные?
Задание 4. Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что
выпадет герб 1000 раз?
Практическая работа № 19
Дискретная и непрерывная случайные величины. Способ задания
дискретной величины. Числовые характеристики дискретной
случайной величины
Задание 1. Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут
их владельцам выигрыш по 10000руб, 20 билетов- по 50 000 руб, 10 билетов- по
100 000 руб, 5 билетов- по 200 000 руб, 1 билет- 500 000, остальные без выигрыша.
Найти закон распределения выигрыша для владельца одного билета.
Задание 2. Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель.
Вероятность попадания 0,7. Построить закон распределения числа использованных патронов.
Задание 3. В урне 4 белых и 3 черных шара. На удачу извлекли 3 шара.
Найти ряд распределения дискретной случайной величины числа извлеченных белых шаров.
46
Задание 4. Три стрелка сделали по 1 выстрелу. Вероятности их попадания в
цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд распределения дискретной
случайной величины числа попаданий в цель.
Задание 5. Брошены 10 игральных костей. Найти М(Х), D(X), где Х- сумма
очков, выпавших на всех игральных костях.
Самостоятельная работа
Задание 1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от
40 до 70 является кратным 6?
Задание 2. Вероятность того, что будет снег равна 0,6, а того, что будет
дождь, равна 0,45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со
снегом равна 0,25.
Задание 3. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8
белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность,
что оба шара белые?
Задание 4. Сколько вариантов распределения 3 призов между 10 участниками?
Задание 5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512
мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите
до тысячных.
Задание 6. В урне 6 черных и 4 белых шара, в другой урне 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны достали по 1 шару. Какова вероятность, что оба шара
черные?
Задание 7. В урне 15 красных, 5 белых, 10 зеленых, 10 синих шаров. Найти
вероятность того, что вынутый шар цветной.
Задание 8. Прибор на борту самолета может работать в условиях нормального полета и перегрузки. Нормальный режим осуществляется в 80%, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме 0,1, а
в условиях перегрузки- 0,4. Какова надежность прибора?
47
Контрольные вопросы
1. Перечислите основные задачи комбинаторики
2. Что называется n- факториалом? Чему равен n!.
3. Что называется перестановками, размещениями, сочетаниями.
4. Запишите формулы вычисления перестановок, размещений, сочетаний.
5. Что называется событием? Перечислите основные виды событий. Дайте
им определения. Приведите примеры событий.
6. В чем заключается алгебра событий?
7. Перечислите основные аксиомы теории вероятностей.
8. Дайте определение полной вероятности. Запишите формулу Байеса.
9. Опишите схему Бернулли. Какие элементарные события повторяются в
этих опытах?
10. Запишите формулу Бернулли.
11. Что называется законом распределения случайной величины?
Тема 4.2. Математическая статистика
Статистика- это наука, изучающая количественные показатели развития
общества и общественного производства.
Статистическая информация - это числовые данные о массовых явлениях.
Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода и
медиана.
Модой числового ряда называют число, которое встречается в этом ряду
наиболее часто.
Медиана – это число ряда, которое делит его ровно пополам. Чтобы найти
медиану числового ряда нужно его сначала упорядочить-составить числа по порядку.
Размах- это разность между наибольшим и наименьшим из чисел.
Ряд данных //ранжированный ряд// - значения всех результатов измерений, перечисленные по порядку.
Генеральная и выборочная совокупности
48
Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно
возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью
получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.
Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число
объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100. Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n . Как правило, объём n выборки много меньше объёма N
генеральной совокупности (n< N ).
Способы выборки
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы
объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна
правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование
коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной) .
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
49
На практике применяются различные способы отбора. Эти способы можно
подразделить на два вида.
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда
относятся:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают (повторный отбор) в генеральную
совокупность.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей
генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если
детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка
в отдельности.
Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно
колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например,
если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более
и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность
«механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать
20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если
требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь и т. д.
Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.
50
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной
совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станковавтоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак
колеблется в различных сериях незначительно.
На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
Объекты выборки подвергаются сплошному обследованию, а затем, по результатам этого обследования, делаются определенные выводы и обо всей генеральной совокупности.
Практическая работа № 20
Задачи математической статистики
Задание 1. Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: 20,18,32,10,45,15,18,12
Задание 2. Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел: 2,2;3,8;1,6;4,4;1,5.
Задание 3. Рост учащихся нашего класса 157, 165, 165, 168, 165, 161, 165,
160, 162, 169, 171, 170, 170, 175, 173, 170, 177, 182, 186, 182, 160, 173, 165, 162,
174, 177.
1) составить ранжированный ряд ;
2) определить средний рост, моду ряда, медиану ряда.
Практическая работа № 21
Генеральная и выборочная статистические совокупности
Задание 1. Построить график эмпирической функции распределения
Xi
5
7
10
15
ni
2
3
8
7
Задание 2. Построить полигоны частот и относительных частот распределения
51
Xi
1
3
5
7
9
ni
10
15
30
33
12
Задание 3. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения
2-5
9
5-8
10
8-11
25
11-14
6
Практическая работа № 22
Выборочный метод. Вычисление числовых характеристик
Задание 1. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из следующих
двух групп:
Группа
Первая
Вторая
Значение признака
1
6
1
5
Частота
10
15
20
30
Объем
10+15=25
20+30=50
Задание 2. Найти дисперсию по данному распределению
Xi
1
2
3
4
ni
20
15
10
5
Задание 3. Найти внутригрупповую дисперсию по следующим данным
Первая группа
Xi
ni
Вторая группа
Xi
ni
2
1
3
2
4
7
8
3
5
2
N1   ni  10
N2   ni  5
Задание 4. Найти межгрупповую дисперсию по данным предыдущего задания.
52
Самостоятельная работа
Задание 1. Генеральная совокупность задана таблицей распределения
Xi
2
4
5
6
ni
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию.
Задание 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения
Xi
1
2
3
4
ni
20
15
10
5
Найти выборочную дисперсию.
Задание 3. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из двух
групп:
Первая группа
Xi
ni
Вторая группа
Xi
ni
2
1
3
2
4
7
8
3
5
2
N1   ni  10
N2   ni  5
Контрольные вопросы и задания
1. Какова область применения математической статистики?
2. Что включают статистические характеристики?
3. В чем заключается первичная обработка статистических данных?
4. Сформулируйте определение генеральной совокупности, выборки.
5. Назовите виды выборок и способы их отбора.
6. Перечислите основные задачи математической статистики.
53
Рекомендуемые критерии оценки работы студента
Таблица 2
№
п/п
1
Оцениваемые навыки
Отношение к
работе
Умение
оценки
Неудовлетвори-
Отлично
Наблюдение
преподава-
тельно
Типовые задания решает Не смог выполнить
без ошибок
теля
типовое задание
ис-
пользовать
полученные
2
Граничные критерии оценки
Методы
ранее знания
и навыки для
решения
Наблюдение
преподавателя, фронтальный
лы. Без дополнительных пользовать знания
пояснений
(указаний) из одного раздела
использует
навыки
и при решении задач
умения, полученные ра- разделов смежных
опрос
конкретных
Знает основные форму- Не способен ис-
нее
дисциплин
задач
Проверка
Работа оформлена
тетрадей,
3
Все задачи оформлены
Оформление
контроль
работы
выполнения
заданий
у
согласно принятым требованиям
от-
вечать
на фронталь-
вопросы,
4
общей
Демонстрирование
расчетов приводит
ошибкам
Не может ответить
Грамотно
отвечает
на на вопросы, огра-
ный опрос и поставленные вопросы, ниченный
пользоваться выполнения
научной
небрежно.
к дополнительным
доски
Умение
очень
и заданий
лек- доски
используя научные тер- терминов.
запас
Выра-
у мины. Может обосно- женная неуверенвать свою точку зрения.
сикой
ность в ответах и
действиях
54
Литература
1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. / И.И. Баврин– М.: Высш. шк., 2014.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие. для
средних проф. учеб. заведений. / Н.В. Богомолов– М.: Высш. шк., 2012.
3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов. / Н.В.Богомолов, Л.Ю. Сергиенко– М.: Дрофа, 2012.
4. Луканкин Г. Л., Яковлев Г. Н., Колягин Ю. М. Математика в двух книгах. / Г. Л. Луканкин, Г. Н. Яковлев, Ю. М. Колягин– М.: Мир и Образование,
Оникс, Харвест, 2012.
55
Оглавление
Пояснительная записка........................................................................................ 3
Раздел 1. Элементы математического анализа ................................................. 7
Тема 1.1 Предел функции ............................................................................... 7
Практическая работа № 1 ............................................................................ 9
Тема 1.2 Ряды ................................................................................................... 9
Практическая работа № 2 .......................................................................... 13
Практическая работа № 3 ......................................................................... 13
Самостоятельная работа ............................................................................ 13
Тема 1.3 Дифференциальное и интегральное исчисление ........................ 14
Практическая работа № 4 ......................................................................... 18
Практическая работа № 5 ......................................................................... 18
Практическая работа № 6 ......................................................................... 19
Самостоятельная работа ............................................................................ 19
Тема 1.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения ......................... 20
Практическая работа № 7 ......................................................................... 21
Практическая работа № 8 ......................................................................... 22
Практическая работа № 9 ......................................................................... 22
Самостоятельная работа ............................................................................ 23
Раздел 2. Дискретная математика .................................................................... 24
Тема 2.1 Множества и операции над ними ................................................. 24
Практическая работа № 10 ....................................................................... 25
Практическая работа № 11 ....................................................................... 26
Самостоятельная работа ............................................................................ 27
Тема 2.2 Элементы математической логики ............................................... 28
Практическая работа № 12 ....................................................................... 32
Практическая работа № 13 ....................................................................... 32
Самостоятельная работа ............................................................................ 33
Раздел 3. Численные методы ............................................................................ 33
Тема 3.1. Основы численных методов алгебры .......................................... 33
56
Практическая работа № 14 ....................................................................... 34
Самостоятельная работа ............................................................................ 35
Тема 3.2. Погрешности простейших арифметических действий.............. 36
Практическая работа № 15 ....................................................................... 37
Практическая работа № 16 ....................................................................... 37
Самостоятельная работа ............................................................................ 38
Раздел 4. Теория вероятностей и математической статистики ..................... 38
Тема 4.1. Теория вероятностей ..................................................................... 38
Практическая работа № 17 ....................................................................... 45
Практическая работа № 18 ....................................................................... 46
Практическая работа № 19 ........................................................................ 46
Самостоятельная работа ............................................................................ 47
Тема 4.2. Математическая статистика ......................................................... 48
Практическая работа № 20 ....................................................................... 51
Практическая работа № 21 ....................................................................... 51
Практическая работа № 22 ....................................................................... 52
Самостоятельная работа ............................................................................ 53
Рекомендуемые критерии оценки работы студента ....................................... 54
Литература .......................................................................................................... 55
57