x 0
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ
Для всех специальностей первого курса
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
МАТЕМАТИКА В ТАБЛИЦАХ И ФОРМУЛАХ
Братск 2010
Составила (разработала)
Шевчук И.Н., преподаватель кафедры физико-математических дисциплин
и вычислительной техники
Рассмотрено на заседании кафедры физико-математических дисциплин и
вычислительной техники
«___________________20___г.
_______________________
(Подпись зав. кафедрой)
Одобрено и утверждено редакционно-издательским советом
«____» ________________20___г.
№ _______________________
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………... 6
Раздел 1. Алгебра……………………………………………………………..7
1.1. Абсолютная и относительная погрешности …………………………...7
1.2. Пропорции ……………………………………………………………….7
1.3. Комплексные числа ……………………………………………………...8
1.4. Степень с действительным показателем………………………………..9
1.5. Арифметический корень n – ой степени………………………………10
1.6. Формулы сокращенного умножения ………………………………….11
1.7. Уравнения ………………………………………………………………12
1.8. Определители и системы ………………………………………………14
1.9. Последовательности …………………………………………………...16
1.10. Логарифмы …………………………………………………………….18
Раздел 2. Тригонометрия …………………………………………………...19
2.1. Тригонометрические функции острого угла …………………………19
2.2. Радианное измерение углов …………………………………………...20
2.3. Знаки тригонометрических функций …………………………………20
2.4. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того
же угла ………………………………………………………………………….. 20
2.5. Формулы приведения ……………………………………………….....21
2.6. Формулы сложения …………………………………………………….22
2.7. Формулы половинных, двойных и тройных углов …………………..22
2.8. Степени синуса и косинуса ……………………………………………23
2.9. Обратные тригонометрические функции …………………………….24
2.10. Тригонометрическое решение треугольников ……………………...24
Раздел 3.Функции …………………………………………………………...26
3.1. Виды функций ………………………………………………………….26
3.2. Основные свойства функций ………………………………………….26
3
3.3. Линейная функция ……………………………………………………..27
3.4. Обратная пропорциональность ………………………………………..28
3.5. Квадратичная функция ………………………………………………...29
3.6. Кубическая функция …………………………………………………...30
3.7. Функция y = ⃓х⃓ ……………………………………………………… 31
3.8. Функция y = √х ………………………………………………………...
31
3.9. Свойства функций 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 и 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ……………………. 32
3.10. Свойства функций 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 и 𝑓(𝑥) = ctg 𝑥 …………………….33
3.11. Логарифмическая функция …………………………………………..35
3.12. Показательная функция ………………………………………………36
Раздел 4. Введение в математический анализ …………………………….37
4.1. Дифференциальное исчисление ………………………………………37
4.2. Интегральное исчисление ……………………………………………..40
Раздел 5.Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии……43
5.1.Векторы на плоскости…………………………………………………. 43
5.2. Векторы в пространстве ……………………………………………….44
5.3. Уравнения прямой линии на плоскости…………………………..…..47
Раздел 6. Геометрия…………………………………………………………48
6.1. Плоские фигуры………………………………………………………...48
6.2. Объемы и поверхности…………………………………………………55
Список использованных источников ……………………………………...59
Приложение А. Некоторые математические обозначения ………………60
Приложение Б. Метрическая система мер ………………………………..61
Приложение В. Латинский и греческий алфавит …………………………62
Приложение Г. Некоторые часто встречающиеся постоянные ………….63
4
Приложение Д. Значения тригонометрических функций некоторых углов……………………………………………………………………………….. 64
Приложение Е. Синусы и косинусы ……………………………………….65
Приложение Ж. Степени, корни, обратные величины, длины окружностей, площади кругов, натуральные логарифмы ……………………………...67
5
Введение
Данное методическое пособие разработано для студентов высших и
средних специальных учебных заведений дневного и заочного отделений,
учащихся средних школ, абитуриентов, а также учителей и преподавателей в
их повседневной работе.
Методическое пособие содержит формулы элементарной и частично
высшей математики. Оно разбито на 5 разделов: алгебра, тригонометрия,
функции, введение в математический анализ, геометрия, а также содержит
приложения, в которых можно найти дополнительные сведения из разных
разделов математики. В пособии наглядно, в виде схем, таблиц и формул, изложен основной материал школьного курса алгебры и геометрии.
Этот справочник поможет студентам первого курса хорошо подготовиться к экзаменам по математике.
6
Раздел 1 Алгебра
1.1 Абсолютная и относительная погрешности
Формула для вычисления абсолютной погрешности (∆ах):
∆а х = |а − х| , где а - точное число, х - приближенное число
Формула для вычисления относительной погрешности (ωах):
𝜔а х =
∆а х
|х|
Формула для вычисления границы абсолютной погрешности
∆а х = |х − а| ≤ hа , где ha – такое положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Формула для вычисления границы относительной погрешности
𝜔а х =
∆а х
|х|
≤ 𝜀а , где εа - такое положительное число, больше которого
относительная погрешность быть не может.
1.2 Пропорции
Определение
𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑
Основное свойство пропорции
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Нахождение членов пропорции
𝒂=
𝒃𝒄
𝒅
;𝒃 =
𝒂𝒅
𝒄
;𝒄 =
𝒂
𝒄
𝒃
𝒅
𝒂𝒅
𝒃
;𝒅 =
𝒃𝒄
𝒂
В пропорции = накрест лежащие члены можно менять местами.
7
1.3. Комплексные числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа
z = a + bi
где a – действительная часть комплексного числа, b – мнимая часть, i –
мнимая единица.
Действия над комплексными числами
; i2= -1; i3=i2 ∙ i= -i; i4=i3 ∙ i= -i ∙ i= -i2=1 и т. д.
i=
(a1+b1i)±(a2+b2i)=(a1±a2)+(b1±b2)i
(a+bi)+(a-bi)=2a
(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2 +b1a2)i
(a+bi)(a-bi)=a2+b2
𝑎1 +𝑏1 𝑖
𝑎2 +𝑏2 𝑖
=
𝑎1 𝑎2 +𝑏1 𝑏2
𝑎22 +𝑏22
+
𝑎2 𝑏1 −𝑎1 𝑏2
𝑎22 +𝑏22
𝑖
Геометрическое изображение комплексного числа
Точка М (a,b) изображает число z = a+bi (рис 1)
a откладывается на оси Ох, b - на оси Оу
r = OM = √𝑎2 + 𝑏 2 модуль комплексного числа
φ = ∠NOM = arctg
𝑏
𝑎
аргумент комплексного числа (I четверть)
𝑏
φ = π- arctg | | (II четверть)
𝑎
𝑏
φ = π+ arctg | | (III четверть)
𝑎
𝑏
φ = - arctg | | (IV четверть)
𝑎
y
M
b
r
0
φ
N
x
a
Рисунок 1 Геометрическое изображение комплексного числа
8
Тригонометрическая форма комплексного числа
a + bi = r (𝐜𝐨𝐬 𝝋 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋)
1.4 Степень с действительным показателем
Степень с действительным показателем
Целый показатель
а0=1, а≠0
Рациональный
показатель
𝑝
𝑞
1
Иррациональный показатель
𝑞
𝑎 = √𝑎 𝑝
а-n = 𝑎𝑛 , n∈N
Пример (раПример
Пример (цециональный по- (действительный
лый показатель)
казатель)
показатель)
№
Свойство
1
a ∙a = a
2
am:an = am-n
a7:a10=a-3
4 1
𝑎5 : 𝑎5
3
(an)m=an∙m
(a2)-3=a-6
(𝑎3 )3 = 𝑎2
4
(a∙b)n=an∙bn
5
( )𝑛 = 𝑛 ,
𝑏
𝑏
b≠0
m
𝑎
n
m+n
𝑎𝑛
a ∙a =a
2
-4
1
5
-2
2
5
𝑎 ∙𝑎 =𝑎
=
3
5
𝑎 √5 : 𝑎 √3
= 𝑎√5−√3
3
𝑎5
2
1
1
(𝑎√3 )√3 = 𝑎3
1
(a∙b)-1=a-1∙b-1 (𝑎 ∙ 𝑏)2 = 𝑎2 ∙ 𝑏 2
1
𝑎 −2 𝑎−2
( ) = −2
𝑏
𝑏
𝑎 1 𝑎3
( )3 = 1
𝑏
𝑏3
9
𝑎 √2 ∙ 𝑎 √3
= 𝑎√2+√3
(𝑎 ∙ 𝑏)√2 = 𝑎√2 ∙
𝑏 √2
𝑎
𝑎 √3
( )√3 =
𝑏
𝑏 √3
1.5 Арифметический корень n-й степени
Корень n-й степени из а равен b: bn=a
Арифметический корень n-й
степени
𝑛
( √𝑎 ) 𝑛 = 𝑎
𝑛
√𝑎𝑛 = |𝑎|
:
Арифметический квадрат1) 𝑏≥0
ный корень √𝑎 = 𝑏: 2)
𝑏2 =𝑎
а - подкоренное выражение
n – показатель корня
Свойства арифметических корней
Таблица 1 Свойства арифметических корней
Свойство, a≥0; b≥0
Пример
№
3
1
2
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑎𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏
𝑛
𝑎
√𝑏 =
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
3
3
3
√8 ∙ 27 ∙ 125 = √8 ∙ √27 ∙ √125
= 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30
5
; b≠0
√
243
32
5
√243
=
5
√32
5
3( 𝑛√𝑎)𝑘 = 𝑛√𝑎𝑘
=
3
2
5
5
(√𝑎2 )3 = √(𝑎2 )3 = √𝑎6
3
𝑛 𝑘
4
4 3
√ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎
√ √𝑎 = 4∙3√𝑎 = 12√𝑎
6
5
𝑛𝑚
√𝑎𝑘𝑚
=
𝑛
√𝑎𝑘
3
√𝑎4 = √𝑎2 (показатели корня
и подкоренного выражения разделили на 2)
10
1.6 Формулы сокращенного умножения
Таблица 2 Формулы сокращенного умножения
№
1
Формула
Название
(a+b)2=a2+2ab+b2
Квадрат суммы
(a-b)2=a2-2ab+b2
Квадрат разности
a2-b2=(a+b)∙(a-b)
Разность квадратов
(a+b)3=a3 +3a2b+3ab2 +b3
Куб суммы
(a-b)3=a3 -3a2b+3ab2 -b3
Куб разности
a3+ b3=(a+b)∙(a2-ab+b2)
Сумма кубов
a3- b3=(a-b)∙(a2+ab+b2)
Разность кубов
2
3
4
5
6
7
11
1.7 Уравнения
1.7.1 Решение линейного уравнения
ax=b
a=0; b≠0
a=0; b=0
a≠0
0∙x=b
0∙x=0
ax=b
Решений нет
Корнем является любое число
x=
𝑏
𝑎
1.7.2 Решение неполного квадратного уравнения
ax2+bx+c=0
a≠0
b=0,c≠b
b≠0,c≠0
b=c=0
ax2+c=0
x2+bx=0
ax2=0
x∙(ax+b)=0
x=0
x2= 𝑐
− >0
𝑐
𝑎
−
𝑎
𝑐
X1= √− 𝑎
𝑐
X2= −√− 𝑎
𝑐
𝑎
x=0 или ax+b=0
<0
Корней
нет
X1=0
X2= -
12
𝑏
𝑎
1.7.3. а) решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0 по теореме Виета
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑎
{
𝑐
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑎
ax2+bx+c=0
- корни
б) решение приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 по теореме Виета
𝑥 + 𝑥 = −𝑝
{ 1𝑥 ∙ 𝑥2 = 𝑞
1
2
x2+px+q=0
- корни
1.7.4 Решение квадратного уравнения ax2+bx+с=0 по формуле
ax2+bx+c=0
a=…; b=…; c=…
D=b2-4ac
d>0
D=0
2 корня
1 корень
x1=
x2=
D<0
Нет действительных корней
−𝑏+√𝐷
x1= a+bi;
2𝑎
−𝑏−√𝐷
2𝑎
Комплексносопряженные
корни
x= −
𝑏
x2= a-bi
2𝑎
13
1.8 Определители и системы
1.8.1 Определитель второго порядка
∆=
1.8.2 Определитель третьего порядка
∆=
=
∆=
= a1
- правило треугольников
-
- разложение по эле-
ментам первой строки
1.8.3 Система трех линейных уравнений с тремя переменными и ее
решение
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
{𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
a) ∆ =
б) ∆x =
, ∆y =
в) формулы Крамера: 𝒙 =
, ∆z =
∆𝒙
∆
;𝒚 =
∆𝒚
∆
;𝒛 =
∆𝒛
∆
Частные случаи:
1. Если ∆ = 0 и ∆х≠0, ∆у≠0, ∆я≠0, то система является несовместной (т.е.
не имеет решений);
2. Если ∆ = 0 и ∆х=∆у=∆я =0, то система является неопределенной (т.е.
имеет множество решений);
3. В том случае, если система однородная, т.е. имеет вид:
14
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 0
{𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 0
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 0
и ∆≠0, то она имеет единственное решение: x=0; y=0; z=0.
4. Если ∆=0, то система имеет множество решений.
1.8.4 Система двух линейных уравнений с двумя переменными и ее
решение
a) ∆ =
в) формулы Крамера: 𝒙 =
б) ∆x =
∆𝒙
∆
;𝒚 =
, ∆y =
∆𝒚
∆
Частные случаи:
1. Если ∆ = 0 и ∆х≠0 и ∆у≠0, то система является несовместной (т.е. не
имеет решений);
2. Если ∆ = 0 и ∆х=∆у=0, то система является неопределенной (т.е. имеет
множество решений)
15
1.9 Последовательности
Таблица 3 Арифметическая и геометрическая прогрессии
Характеристики
Определение
Формула n-го члена
Формула суммы n
первых членов
(через первый член
и n-й)
Формула суммы n
первых членов
(через первый член
и разность или знаменатель)
Характеристическое
свойство
Арифметическая
прогрессия
Каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же
числом d (разность прогрессии)
an+1=an+d
an= a1+d(n-1)
Sn =
𝑎1 +𝑎𝑛
Sn =
an=
2
bn= b1∙qn-1
∙𝑛
2𝑎1+𝑑(𝑛−1)
2
𝑎𝑛−1 +𝑎𝑛+1
2
Сумма бесконечной
геометрической
прогрессии
-
16
Геометрическая
прогрессия
Каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему,
умноженному на одно и то
же число q (знаменатель
прогрессии)
bn+1= bn∙q
Sn =
∙𝑛
Sn=
𝑏𝑛 ∙𝑞−𝑏1
𝑞−1
𝑏1 ∙(𝑞 𝑛 −1)
𝑞−1
𝑏𝑛2 = 𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1
S=
𝑏1
1−𝑞
; |𝑞|<1
Способы задания числовых последовательностей
Таблица 4 Способы задания числовых последовательностей
an=
Аналитический способ
1
Убывающая
вательность
после-
𝑛+1
2
2 3
как
xn+1- xn=
(xn): 1;
последо-
Ограниченная
довательность
𝑛
𝑛−1
𝑛
1
1
𝑛
− =−
𝑛
1 1
1
2 3
𝑛
Определение
Основные логарифмические тождества
;
Из определения логарифмов следует:
, так как
, так как
Свойства логарифмов
4.
5.
⟹
, N1>0,N2>0
, x>0,y>0
, x>0,y>0
, x>0
, x>0
17
1
𝑛(𝑛+1)
> 0,т.е. xn+1> xn
1
𝑛(𝑛+1)
< 0 т.е. xn+1< xn
; ; … ; ; …ограниченная, так как
1.10 Логарифмы
1.
2.
3.
=
; ; … ; ; … −убывающая ,так как
2 3
1
𝑛+1
(xn): 1;
0<xn≤1
𝑛
−
𝑛+1
1 1
xn+1- xn=
после-
3
a1= ; a2= ; a3= ;…
2
3
4
a1= 1; an+1= an+5;
a2=6; a3=11; a4=16;…
1 2
𝑛−1
(xn): 0; ; ; … ;
; …возрастающая, так
Рекуррентный способ
Возрастающая
довательность
𝑛
Виды логарифмов
Десятичные логарифмы
N
Натуральные логарифмы
e=
2,71828182…
Формула перехода к логарифму с другим основанием
Модуль перехода от системы логарифмов с основанием b к системе с
основанием а
M=
Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратно
M=
M=
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
1.
;
;
3.
;
4.
;
5.
18
Раздел 2 Тригонометрия
2.1 Тригонометрические функции острого угла
Рисунок 2 Тригонометрические функции и их знаки
Таблица 5 Тригонометрические функции
функция
Угол
А
В
sin
(синус)
cos
(косинус)
tg
(тангенс)
ctg
(котангенс)
sec
(секанс)
cosec
(косеканс)
19
2.2 Радианное измерение углов
1 радиан =
1° =
1′ =
1″ =
2.3 Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям
Таблица 6 Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям
Четверть
Функция
I
+
+
+
+
+
+
II
+
+
III
+
+
-
IV
+
+
-
2.4 Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же угла
20
Эти формулы можно свести в таблицу
Таблица 7 Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
2.5 Формулы приведения
Таблица 8 Формулы приведения
21
2.6 Формулы сложения и вычитания
Таблица 9 Формулы сложения и вычитания
2.7 Формулы половинных, двойных и тройных углов (также
)
Таблица 10 Формулы половинных, двойных и тройных углов (также
)
22
Формулы двойного угла для косинуса
1-2
2
Формулы половинного угла для тангенса
±
Формулы половинного угла для котангенса
±
2.8 Степени синуса и косинуса
2
2
2
2
4
4
23
2.9 Обратные тригонометрические функции
Таблица 11 Обратные тригонометрические функции
2.10 Тригонометрическое решение треугольника
Прямоугольный треугольник
а,b – катеты; с – гипотенуза;
α,β – острые углы; α+β = 90°
a=c
с=
b=с
Рисунок
треугольник
3Прямоугольный
24
a = b tg α, с =
,
Произвольный треугольник
a,b,c, - стороны; α,β,γ – противолежащие углы; α+β+γ = 180°
r – радиус описанного круга;
p – полупериметр;
S – площадь треугольника.
Рисунок 4 Произвольный треугольник
𝑡𝑔
𝛼
(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
2
𝑏𝑐
sin √
𝑝(𝑝−𝑎)
2
𝑏𝑐
𝑆=
2
;
;
;
;
;
=√
(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑝(𝑝−𝑎)
;
;
𝛼
cos = √
𝛼
;
;
𝑎
sin 𝛾 = 2𝑟 2 sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) =
𝑏
25
𝑎𝑏𝑐
4𝑟
Раздел 3 Функции
3.1 Виды функций
Степенная
Показательная
Логарифмическая
y = xn
y = ax
y = logax
Элементарные функции
Обратные тригонометрические y=arcsin x,
y = arcos x, y=arctg x,
y = arcctg x
Тригонометрические
y = sin x, y = cos x
y = tg x, y = ctg x
Рисунок 5 Виды функций
3.2 Основные свойства функций
26
3.3 Линейная функция
График функции – прямая
a>0
a<0
y
0
y
x
0
27
x
3.4 Обратная пропорциональность
График функции – гипербола
a>0
a<0
y
0
y
x
0
28
x
3.5 Квадратичная функция
График функции – парабола
a>0
a<0
y
y
0
x
0
3.6 Кубическая функция
29
x
3.6 Кубическая функция
График функции – кубическая парабола
a>0
a<0
y
0
y
x
0
30
x
3.7 Функция у =⃓ х⃓
Функция у =⃓ х⃓
D (y) = R
y убывает на
(-∞;0]
y возрастает
на[0;∞)
E (y) = [0;∞)
y>0 при х>0
или х<0
y=0
при х=0
График функции
3.8 Функция у =
Функция у =
D (y) = [0;∞)
E (y) = [0;∞)
y возрастает
на [0;∞)
График функции
31
у >0 при х>0
у=0 при х=0
3. 9 Свойства функций
Таблица 12 Свойства функций
32
3.10 Свойства функций
Таблица 13 Свойства функций
33
Графики тригонометрических функций
Таблица 14 Графики тригонометрических функций
34
3.11 Логарифмическая функция
E(y) = R
D(y) = (0;∞)
Логарифмическая
функция y =
a>1
0<a<1
y возрастает на
y убывает на
(0; ∞)
(0; ∞)
график
график
y
0
y
1
x
0
35
1
x
3.12 Показательная функция
E(y) =(0;∞)
D(y) =R
Показательная функция
y=
0<a<1
a>1
y убывает
y возрастает
на R
на R
график
график
y
y
1
1
0
0
x
36
x
Раздел 4 Введение в математический анализ
4.1 Дифференциальное исчисление
4.1.1 Пределы
Свойства пределов
lim (x − y + z) = lim 𝑥 - lim 𝑦+ lim 𝑧;
1.
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim (x ∙ y ∙ z ) = lim 𝑥∙ lim 𝑦∙ lim 𝑧;
2.
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥
lim
3.
𝑥→𝑎 𝑦
lim
4.
lim 𝑥
= 𝑥→𝑎
lim 𝑦
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
=1;
𝑥
1
lim(1 + 𝑎)𝑎 = e (e ≈ 2,71828);
𝑥→0
𝑎𝑛
lim
6.
𝑥→+∞ 𝑛!
=0;
lim
7.
;
𝑥→0
1
lim (1 + )𝑥 = 𝑒;
8.
𝑥→∞
𝑥
lim𝑎 𝑥 = 1;
9.
𝑥→0
lim 𝑎 𝑥 = +∞;
10.
𝑥→+∞
lim 𝑎 𝑥 = 0
11.
𝑥→−∞
4.1.2 Производная и дифференциал
Определение производной
f ′(x0) = lim
∆𝑓
𝑥→0 ∆𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥→𝑎
; если lim 𝑦 ≠0;
𝑥→𝑎
sin 𝑥
𝑥→0
5.
y′ =
𝑥→𝑎
, где ∆f = f(x0∆x) – f(x0) ,
, или y′= lim
Δ𝑦
𝑥→0 Δ𝑥
37
Правила нахождения производных
1. (u + v)′ = u′+v′
4. (Cu)′= Cu′
2. (u ∙ v)′ = u′∙ v +u∙ v′ ,
5. (C)′= 0
𝑢
3. ( ) =
𝑣
𝑢′ 𝑣−𝑣′𝑢
𝑣2
6. (f(u(x)))′= f ′(u)∙ u′(x)
, где v≠ 0
Таблица производных
Таблица 15 Формулы дифференцирования
№
f(x)
f′(x)
С – постоянная
0
kx+b
k
xn
n∙xn-1
nun-1u′
ex
ex
euu′
5
ax
ax∙ln a
auln a∙u′
6
ln x
1
2
3
4
f′(u(x))
1
u′
u
1
u′
u ln a
7
8
cos u ∙ u′
9
−sin u ∙ u′
10
tg x
11
ctg x
12
arcsin x
13
arcos x
14
arctg x
15
arcctg x
1
u′
cos2 u
−
1
√1 −
-
1
u′
sin2 u
u2
u′ , |u| < 1
1
√1−u2
u′ , |u| < 1
1
u′
1 + u2
1
u′
2
1+u
38
Производная сложной функции
h(x) = g(f(x))
h′(x0) = g′(f(x0))∙f ′(x0)
Геометрический смысл производной
y = kx+b – касательная к графику функции f(x) и точке x0
f ′(x0) = k
Уравнение касательной к кривой
y = f(x0) + f ′(x0)∙ ( x - x0)
Уравнение нормали к кривой
y = f(x0) -
1
𝑓′ (𝑥0 )
∙ ( x - x0 )
Физический смысл производной
1. S′(t) = v(t)
v′(t) = a(t)
S – расстояние, v – скорость, a – ускорение, t – время
2. Мощность есть производная работы по времени
P=A′(t), где P – мощность, А – работа, t - время
Производная второго порядка
y″ = (y′)′ или y″ =
Дифференциал функции
dy = y′(x)∙ dx
39
4.2 Интегральное исчисление
4.2.1 Неопределенный интеграл
Определение
, где F(x)+C – совокупность первообразных, С – произвольная постоянная, F′(x) = f(x)
Основные свойства
1.
2.
3.
4.
5.
Таблица основных интегралов
Таблица 16 Формулы интегрирования
№
Интеграл
Значение интеграла
Интеграл
№
Значение интеграла
1
12
arcsin x +C
2
x+C, при n=0 13
arctg x +C
3
14
40
4
15
5
16
6
17
7
18
8
tg x+C
9
-ctg x+C
10
𝑑𝑥
∫
sin 𝑥
11
∫
𝑑𝑥
сos 𝑥
𝑥
ln |𝑡𝑔 | + 𝐶
2
𝑥
arcsin +C
-
19
+C
20
21 ∫
𝜋
ln |𝑡𝑔 ( + )| + 𝐶 22 ∫
2
4
4.2.2 Определенный интеграл
Формула Ньютона – Лейбница
Основные свойства
1.
41
𝑥𝑑𝑥
√𝑥 2 ± 𝑎 2
𝑥𝑑𝑥
√𝑎2
−
𝑥2
√𝑥 2 ± 𝑎2 +C
- √𝑎2 − 𝑥 2 + 𝐶
2.
3.
4.
Геометрический смысл определенного интеграла – вычисление площадей плоских фигур
SaABb
Рисунок 6 Геометрический смысл определенного интеграла
Вычисление пути, пройденного телом за единицу времени
S
, где t1 и t2 – начальное и конечное время
42
Раздел 5 Элементы векторной алгебры аналитической геометрии
5.1 Векторы на плоскости
Таблица 17 Векторы на плоскости
43
5.2 Векторы в пространстве
Рисунок 7 Прямоугольный базис в пространстве
Координаты вектора
̅̅̅̅ = (𝑥2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 )
AB
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами
̅ =̅̅̅̅
Если А
А1 ± ̅̅̅
А2 , то
x = x1 ± x2; y = y1 ± y2; z = z1 ± z2
̅̅̅1 , то
Если ̅̅̅
А2 = kА
x2 = kx1; y2 = ky1; Z2 = ky1
Скалярное произведение двух векторов
Определение
̂ )=А В
̅̅̅̅
̅
̅
А ∙ В = ( АВ
прА̅ = ВпрВ̅ А
44
Свойства скалярного произведения
̅∙В
̅;
̅=В
̅∙А
А
̅ )В
̅В
̅ = к(А
̅);
(кА
̅+В
̅ С̅ + В
̅)С̅ = А
̅С̅
(А
Скалярное произведение векторов в координатной форме
̅B
̅ = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
A
Модуль вектора (длина вектора)
|A| = √x 2 + y 2 + z 2
A = ̅̅̅̅
Угол между векторами
𝐴̅𝐵̅
cos 𝜑 = |𝐴̅||𝐵̅| =
x1 x2 +y1 y2 +z1 z2
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 ∙√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
Условие перпендикулярности векторов
𝐴̅ ⊥ 𝐵̅, если x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
Условие параллельности векторов
x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
Условие коллинеарности векторов
x1 = mx2 ; y1 = my2 ; z1 = mz2
̅ B
̅;
Если m>0,то A
̅ B
̅
Если m<0, то A
Деление отрезка в данном отношении
Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС: СВ = , то координаты точки С находятся по формулам
𝑥𝐶 =
𝑥𝐴 +𝑥𝐵
1+
; 𝑦𝐶 =
𝑦𝐴 +𝑦𝐵
1+
; 𝑧𝐶 =
𝑧𝐴 +𝑧𝐵
1+
.
При = 1 получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:
𝑥𝐶 =
𝑥𝐴 +𝑥𝐵
2
; 𝑦𝐶 =
𝑦𝐴 +𝑦𝐵
2
; 𝑧𝐶 =
𝑧𝐴 +𝑧𝐵
2
45
Векторное произведение
c = a× b или c = [𝒂𝒃]
Рисунок 8 Векторное произведение двух векторов
Свойства векторного произведения
1.
2.
3.
4.
5.
a× a=0;
b× a= - (a× b);
(a+ b)× l = a× l + b× l;
(ma)× b = m(a× b);
(ma)× (nb) = mn (a× b)
Смешанное произведение
abc
Признак компланарности
Векторы a,b,c – компланарны, если abc =0
Свойства смешанного произведения
1.
2.
3.
4.
abc = bca = cab = -(bac) = -(cba) = -(acb);
(a+b) cd = acd+bcd;
(ma) bc = m(abc);
aab =0
46
5.3 Уравнения прямой линии на плоскости
Таблица 18 Уравнения прямой линии на плоскости
47
Раздел 6 Геометрия
6.1 Плоские фигуры
6.1.1 Равносторонний треугольник
с – сторона;
h – высота;
S – площадь;
с=
c
h
;
h=
S=
или S =
6.1.2 Прямоугольный треугольник
a, b – катеты;
β
с – гипотенуза;
𝛂, 𝛃 – острые углы;
a
с
𝛂+𝛃 =90°
S – площадь;
α
b
S=
48
α
6.1.3 Произвольный треугольник
Таблица 19Основные соотношения в произвольном треугольнике
49
Теорема Фалеса
6.1.4 Квадрат
с – сторона;
d – диагональ;
S – площадь;
d
с=
;
d=
;
c
S=
50
6.1.5 Прямоугольник и параллелограмм
b – основание;
h – высота;
h
S – площадь;
S = bh
h
b
b
6.1.6 Ромб
с – сторона;
D – большая диагональ;
D c
d – малая диагональ;
d
S – площадь;
S=
𝒅𝑫
𝟐
Если острые углы равны 60°, то с = d и S=
𝒄𝟐 √𝟑
𝟐
6.1.7 Трапеция
a, b – параллельные стороны, или основания;
h – высота;
a
S – площадь;
S=
𝒂+𝒃
𝟐
h
𝒉
b
51
6.1.8 Правильные многоугольники (общий вид)
52
Формулы для вычисления сторон и площадей правильных многоугольников
Таблица 20 Формулы для вычисления сторон и площадей правильных
многоугольников
53
6.1.9 Круг
С – длина окружности;
d – диаметр;
r – радиус;
S – площадь;
С = πd;
С = 2𝜋r;
𝑪
𝑺
d= ;
d = 2√ ;
𝝅
S=
𝝅𝒅𝟐
𝟒
r
𝝅
;
S = 𝜋𝒓𝟐 ;
C = 2√𝝅𝑺;
r=
𝑪
𝟐𝝅
S=
d
;
𝑪𝒅
𝟒
6.1.10 Круговое кольцо
D – большой диаметр;
d – малый диаметр;
R – большой радиус;
r – малый радиус;
S – площадь;
𝝅
S = (𝑫𝟐 − 𝒅𝟐 );
𝟒
S = 𝝅(𝑹𝟐 − 𝒓𝟐 );
S = 𝝅(𝒅 + 𝜹)𝜹;
𝜹=𝑫−𝒅
54
6.3 Объемы и поверхности
6.3.1 Призма
h – высота;
p – периметр основания;
V – объем;
S – площадь основания;
Sбок – боковая поверхность;
V = Sh;
Sбок = ph
6.3.2 Пирамида правильная
a – апофема;
h – высота;
p – периметр основания;
V – объем;
S – площадь основания;
Sбок – боковая поверхность;
V = Sh/3
Sбок = 1/2pa
55
6.3.3 Усеченная пирамида
a – апофема;
h – высота;
p1,p2 – периметры оснований;
V – объем;
S1S2 - площади нижнего и верхнего оснований;
Sбок – боковая поверхность;
𝟏
V = 𝒉(𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 + √𝑺𝟏 𝑺𝟐 );
𝟑
𝟏
Sбок = (𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 )𝒂
𝟐
6.3.4 Цилиндр
h – высота;
r – радиус основания;
d – диаметр основания;
V – объем;
S – площадь основания;
Sбок – боковая поверхность;
𝑽 = 𝑺𝒉 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 =
𝟏 𝟐
𝝅𝒅 𝒉;
𝟒
Sбок = 2πrh = πdh = 6.283rh
56
6.3.5 Конус
C – длина окружности основания;
d – диаметр;
r – радиус;
l – образующая конуса;
h – высота;
V – объем;
S – площадь основания;
Sбок – боковая поверхность;
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟏𝟐
V = 𝑺𝒉 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 =
= 𝟏. 𝟎𝟒𝟕𝒓𝟐 𝒉;
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝝅𝒅𝟐 𝒉 =
Sбок = 𝝅𝒓𝒍 = 𝝅𝒅𝒍 = 𝑪𝒍
6.3.6 Усеченный конус
h – высота усеченного конуса;
H – высота полного конуса;
l – образующая усеченного конуса;
V – объем;
d – диаметр малого основания;
R – радиус большого основания;
D – диаметр большого основания;
r – радиус малого основания;
Sбок – боковая поверхность;
𝟏
𝟏
𝒉𝒓
𝟑
𝟐
𝑹−𝒓
V = 𝝅𝒉(𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹𝒓); 𝑺бок = 𝝅(𝑹 + 𝒓)𝒍 = 𝝅(𝑫 + 𝒅); 𝑯 = 𝒉 +
57
6.3.7 Шар
Таблица 21 Объемы и площади поверхностей шара и его частей
Формулы
Поверхность
Фигура
Объем
Шар
4𝜋
4πR ;
πD2
2
R
3
𝑅3 = 4.189𝑅2 ;
𝜋 3
𝐷 = 0.524𝐷3 ;
6
Шаровой сегмент
r
h
2𝜋𝑅ℎ;
𝜋(𝑟 + ℎ2 )
R
2
1
𝜋ℎ2 (𝑅 − ℎ) ;
3
1
𝜋ℎ(ℎ2 + 3𝑟 2 )
6
Шаровой пояс
r2
r1
h
2𝜋𝑅ℎ
R
1 3 1
𝜋ℎ + 𝜋(𝑟12 + 𝑟22 )ℎ
6
2
Шаровой сектор
h
R
𝜋𝑅(𝑟 + 2ℎ)
r
D, R – диаметр и радиус шара;
r1, r2 – радиусы оснований; h – высота
58
2𝜋 2
𝑅 ℎ
3
Список использованных источников
1 Цикунов А.Е. Сборник математических формул/ А.Е.Цикунов. – С.- Петербург: Питер, 1993. – 160 с.
2 Брагин В.Г. Все предметы школьной программы в схемах и таблицах.
Алгебра. Геометрия/ В.Г.Брагин, А.И.Грабовский. – М.: ООО АСТ – ЛТД
Олимп, 1998. – 240 с.
3 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие
для техникумов.- М.: Высш. шк.,1990. – 495 с.
4 Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/
Каченовский М.И., Колягин Ю.М., Кутасов А.Д., Луканкин Г.Л. и др. – М.:
Наука, 1987. -464 с.
5 Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии.
– М.: Просвещение, 1992. -320 с.
59
Приложение А
Некоторые математические обозначения
60
Приложение Б
Метрическая система мер
61
Приложение В
Латинский алфавит
Печатные
буквы
A a
B b
C c
D d
E e
G g
F f
H h
I i
J j
K k
L l
M m
N n
O o
P p
Q q
R r
S s
T t
U u
V v
W w
X x
Y y
Z z
Греческий алфавит
Рукописные
буквы
Назв
ание
A a
B b
C c
D d
E e
G g
F f
H h
I i
J j
K k
L l
M m
N n
O o
P p
Q q
R r
S s
T t
U u
V v
W w
X x
Y y
Z z
а
бэ
цэ
дэ
э
гэ (жэ)
эф
ха (аш)
и
йот (жи)
ка
эль
эм
эн
о
пэ
ку
эр
эс
тэ
у
вэ
дубль-вэ
икс
игрек
зэт
Печатные
буквы
𝚨
𝚩
𝚪
𝚫
𝚬
𝚭
𝚮
𝚯
𝚰
𝚱
𝚲
𝚳
𝚴
𝚵
𝚶
𝚷
𝚸
𝚺
𝚻
𝚽
𝚾
𝚼
𝚿
𝛀
62
Рукописные
буквы
α
𝛃
𝛄
𝛅
𝛆
𝛇
𝛈
𝛉
𝛊
𝛋
𝛌
𝛍
𝛎
𝛏
𝛐
𝛑
𝛒
𝛔
𝛕
𝛗
𝛘
𝛖
𝛙
ω
Назв
ание
альфа
бэта
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тэта
йота
каппа
ламбда
мю
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
тау
фи
хи
ипсилон
пси
омега
Приложение Г
Некоторые часто встречающиеся постоянные
63
Приложение Д
Значения тригонометрических функций некоторых углов
64
Приложение Е
Синусы и косинусы
Синусы
65
66
Приложение Ж
Степени, корни, обратные величины, длины окружностей, площади
кругов, натуральные логарифмы
(Для трехзначных чисел можно применить интерполяцию, при этом возможна небольшая ошибка в последнем знаке)
67
68