Уроки 9–10 Решение задач по материалу главы XII Цели

У р о к и 9–10
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ XII
Ц е л и : закрепить знания и умения учащихся по изученному материалу главы;
подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход уроков
I. Математический диктант (15 мин).
Вариант I
1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.
2. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 м, если градусная мера дуги равна 120°.
3. Длина дуги окружности равна 3π, а ее радиус равен 8. Найдите градусную меру этой
дуги.
4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и
радиусами 13 и 12 см.
5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен
45°.
6. Площадь кругового сектора равна 18π м2, а его центральный угол равен 40°.
Найдите радиус сектора.
В а р и а н т II
1. Длина окружности равна С. Найдите площадь ограниченного ею круга.
2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и
радиусами 25 и 24 см.
3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен
20°.
4. Площадь кругового сектора равна 10π м2, а его радиус равен 6 м. Найдите
центральный угол сектора.
5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если ее градусная мера равна 120°.
6. Найдите радиус окружности, если длина дуги окружности равна 6π, а ее градусная
мера равна 60°.
II. Решение задач.
1. Р е ш и т ь задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по
формуле:
S
1
Рr
2
,
где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство
Пусть О – центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно,
касается сторон треугольника в точках М, N и K.
Очевидно, что S = S АОС + S ВОС + S АОВ. *
Так как ОМ, ОN и ОK – высоты треугольников
АОС, ВОС и АОВ, то
1
S АОС = 2 АС · ОK,
1
S ВОС = 2 ВС · ОМ и S
1
2 АВ · ОN.
АОВ =
Подставив эти значения в формулу *, получим: S =
1
1
2 (AB + BC + CA) · r = 2 P · r.
2. Р е ш и т ь задачу 2. Даны стороны треугольника АВС – а, b, с и площадь S.
Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через
а, b, с и S.
Решение
1) Используем результат задачи 1:
1
S = 2 Pr, где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Р = а + b +
с; 2S = r (а + b + c), отсюда:
r
2S
аbс
2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле:
а
R = 2sin α , где
– угол, противолежащий стороне а.
1
Из формулы: S = 2 bc · sin
а
аbс

аbс
4S
4S
R
4S
R = bс
.
получим sin
2S
= bс , тогда 2sin
4S
= bс . Следовательно,
3. Р е ш и т ь задачу № 1099 на доске и в тетрадях.
Решение
Диагонали А3А7 и А4А8 четырехугольника А3А4А7А8 являются диаметрами окружности,
в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О
делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А3А4А7А8 – прямоугольник. Так как
угол А3ОА4 = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна 2 R2.
4. Р е ш и т ь задачу № 1105 (в) (объясняет учитель).
Решение
Пусть АВС – данный треугольник, угол С = 90°, угол В = , АВ = с, ВС = а, СА = b;
Р = а + b + с, r – радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin .
Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС
(метод площадей):
1
1
1
ас sin α  с 2 sin α  cos α  с 2 sin 2α.
2
2
4
1
c
S  P  r  (cos α  sin α  1)
2
r
. Отсюда, получаем,
c sin 2α
c  sin 2α
2 (cos α  sin α  1) , поэтому C = 2πr = cos α  sin α  1 .
r=
S
Умножив числитель и знаменатель дроби на cos
+ sin
– 1, после несложных
преобразований получаем: c = πc (sin + cos – 1).
5. Р е ш и т ь задачу № 1117 (в).
Решение
Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления
площади треугольника:
1
S = 2 ab sin
1
и S = 2 Pr, где а и b – длины сторон треугольника,
– угол между
ними, Р – периметр, r – радиус вписанной окружности. Получим:
1
S = 2 a2 sin
α

1  sin 
2.
и S = r · а
Отсюда находим r, а затем площадь круга:
а 2 sin 2 α
2
α

4  1  sin 
2 .
Sкруга = 
6. Р е ш и т ь задачи № 1110, 1138, 1116 (в).
П р и м е ч а н и е . Решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а
затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с
последующей проверкой ответов или решений.
III. Проверочная самостоятельная работа.
Вариант I
Решить задачи №№ 1125, 1129 (в), 1132 (а), 1134 (а).
В а р и а н т II
Решить задачи №№ 1128, 1129 (г), 1132 (б), 1134 (б).
IV. Итоги уроков.
Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов
105–112 и ответив на вопросы 1–12, с. 290 учебника; решить задачи №№ 1104 (г, д), 1105
(б), 1116 (в).