Ермаков

НЕМОДОВЫЕ ЭФФЕКТЫ УСТОЙЧИВОСТИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РОСТА КРИСТАЛЛОВ ПО ЧОХРАЛЬСКОМУ
М.К. Ермаков
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва
Эволюционные операторы для возмущений в многих гидродинамических системах не являются
нормальными. Неортогональность собственных мод таких систем может приводить к значительному росту
энергии системы в переходный период за короткие промежутки времени даже для асимптотически
устойчивых течений [1, 2].
Рассматривается глобальная устойчивость конвективного течения в гидродинамической модели роста
кристаллов по Чохральскому в широком диапазоне чисел Прандтля от 0,005 до 30 по отношению к
двумерным и трехмерным возмущениям. Модель представляет собой осесимметричный объем жидкости в
тигле, свободной поверхности которой сверху касается кристалл. Естественно-конвективное течение
возникает благодаря разнице температур между стенкой тигля и поверхностью кристалла. Течение
описывается уравнениями Навье-Стокса в приближении Буссинеска с уравнением притока тепла.
Исследование линейной устойчивости сильно нелинейного осесиметричного течения сводится к решению
обобщенной задачи на собственные значения Ax=λBx с вырожденной матрицей B. Решение таких задач для
нелинейных осесимметричных течений на основе метода Ньютона в матричной форме для нахождния
базисного решения и методе обратных итераций для решения обощенной задачи на собственные значения
разработано в [3].
Для чисел Прандтля жидкости в диапазоне от 0,005 до 30 найдены кривые нейтральной устойчивости
(критические числа Грасгофа), азимутальные волновые числа которых меняются от 1 до 6 в зависимости от
числа Прандтля. Для чисел Прандтля выше 12 наиболее неустойчивой становится двумерная мода. Данные
результаты сравниваются с результатами работы [4], в которой точки нейтральной кривой определялись
методом прямого численного моделирования для ограниченного набора чисел Прандтля. Различие
результатов наблюдается для трехмерных возмущений при числах Прандтля 0,05 и 30. Для выявления
причины различия результатов были проведены расчеты эволюционного поведения системы с тем же
оператором для случайных возмущений.
В случае числа Прандтля 30 для слабо докритических значений числа Грасгофа возмущения
начальных данных возрастают более чем 100 раз на переходном этапе, что может быть интерпретировано
как наличие неустойчивости при ограниченном интервале интегрирования. В случае числа Прандтля 0,05
для надкритических значаний числа Грасгофа при некоторых начальных возмущениях получено
кратковременное уменьшение амплитуды возмущений примерно в 10 раз, что может быть
интерпретировано как устойчивое состояние.
ЛИТЕРАТУРА.
1. L.N. Trefethen, A.E. Trefethen, S.C. Reddy, T.A. Driscoll. Hydrodynamic stability without eigenvalues, Science
261 (1993) 578-584.
2. P.J. Schmid. Nonmodal stability theory. Annu. Rev. Fluid Mech. 39 (2007) 129-162.
3. M.K. Ermakov, M.S. Ermakova. Linear-stability analysis of thermocapillary convection in liquid bridges with
highly deformed free surface. J. Crystal Growth 266 (2004) 160-166.
4. О.А. Бессонов, В.И. Полежаев. Неустойчивости тепловой гравитационной конвекции и теплообмен в
модели метода Чохральского при различных числах Прандтля. Изв. РАН, серия МЖГ. 2013, № 1, с. 26-40.
NON-MODAL EFFECTS OF CONVECTIVE FLOW STABILITY IN HYDRODYNAMIC MODEL OF
CZOCHRALSKY CRISTAL GROWTH
M.K. Ermakov
A. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow
Evolutionary operators for disturbances in many hydrodynamical systems are not normal. Non-ortoganality
Nonorthogonality of eigen modes in such systems can lead to significant increase in energy of system in a transition
period for short periods even for asymptotically steady flows [1, 2].
Global stability of a convective flow in hydrodynamic model of Czochralsky crystal growth in the wide range
of the Prandtl numbers from 0,005 to 30 in respect to two-dimensional and three-dimensional disturbances is
considered. The model represents the axisymmetric volume of liquid in the crucible which free surface the crystal
from above concerns. Natural convective flow arises due to temperature difference between crucible wall and crystal
surface. The flow is described by the Navier-Stokes equations in Boussinesq approximation with heat transfer
equation. A linear stability study of a highly non-linear axisymmetric flow is reduced to solution of generalized
eigenvalue problem Ax=λBx with degenerated matrix B. Solution of such problems for non-linear axisymmertic
flows based on matrix Newton’s method for calculation of basic flow and inverse iteration method for solution of
generalized eigenvalue problem is developed in [3].
For Prandtl numbers in range from 0,005 to 30, neutral stability curves (critical Grashof numbers) are found,
which azimuthal wave numbers change from 1 to 6 depending on Prandtl number. For Prandtl numbers higher than
12 the most unstable is a two-dimensional mode. These results are compared to results of work [4] in which points
of a neutral curve were defined by a method of direct numerical modeling for a limited set of Prandtl numbers.
Distinction of results is observed for three-dimensional disturbances at Prandtl's numbers 0,05 and 30. For
recognition of the reason of distinction of results, calculations of evolutionary behavior of system with the same
operator for random disturbances were carried out.
For Prandtl number 30 for slightly subcritical value of Grashof number, disturbances of initial data increase
more than 100 times at a transitional stage that can be interpreted as instability existence at a limited interval of time
integration. For Prandtl number 0,05 for slightly supercritical value of Grashof number, at some initial disturbances
short-term reduction of a disturbance approximately by 10 times is achieved that can be interpreted as a steady
state.
REFERENCES
1. L.N. Trefethen, A.E. Trefethen, S.C. Reddy, T.A. Driscoll. Hydrodynamic stability without eigenvalues, Science
261 (1993) 578-584.
2. P.J. Schmid. Nonmodal stability theory. Annu. Rev. Fluid Mech. 39 (2007) 129-162.
3. M.K. Ermakov, M.S. Ermakova. Linear-stability analysis of thermocapillary convection in liquid bridges with
highly deformed free surface. J. Crystal Growth 266 (2004) 160-166.
4. O.A. Bessonov, V.I. Polezhaev. Instabilities of thermal gravitational convection and heat transfer in the
Czochralski model at different Prandtl numbers. Fluid Dynamics, 2013, v.48, pp. 23-35.