Лекция №1 Понятие о функции и ее пределе

Кучина О.М.
Лекция №1 «Понятие о функции и ее пределе»
1.1.Функции, их свойства и графики.
Опред: Пусть Х и У некоторые числовые множества. Функция- это множество упорядоченных пар
чисел (х;у) таких, что х€Х, у€У, и каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое у
по крайней мере в одну пару множества. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число
у по какому-либо закону и пишут у=f(х). Число х аргумент функции (независимая переменная), число у
зависимая переменная.
Множество Х – область определения функции Д(у), множество У- область значения функции Е(у).
Способы задания функции:
2
 x , если x  0;
a) Аналитический (формульный). Например: f(x)=x2+x+3 или y  
 x, если x  0
Если нет специальной оговорки, за область определения функции, заданной аналитически, принимают
область существования соответствующего аналитического выражения, т.е. множеств тех значений x, для
которых это выражение имеет смысл.
При этом основными ограничениями являются следующие:
1) Знаменатель дроби не равен нулю.
2) Выражение, стоящее под корнем четной степени, неотрицательно (  0 ).
3) Выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно (>0).
4) Основание логарифма положительно и не равно 1.
5) Аргумент функций arcsin и arccos по модулю не превосходит единицы. То есть для arcsin f  x 
f  x  1
и arccosf  x 
b) Табличный
x
-3
-1
0
3
5
6
8
11
13
y
45
22
12
2
-4
3
13
25
34
c) Графический. Например, кардиограмма сердцебиения.
Опред: Функция f(х) называется возрастающей на интервале (а,b), если для любых её элементов х1 и х2 из
интервала (а,b)из того что х1>х2 следует, что и f(х1)>f(х2) .
Опред: Функция f(х) называется убывающей на интервале (а,b), если для любых её элементов х1 и х2 из
интервала (а,b)из того что х1>х2 следует, что f(х1)<f(х2) .
Опред: Если функция только возрастает или только убывает в области определения, то о такой функции
говорят, что она монотонна.
Опред: Если в каждой паре (х;у) числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у;х),
которое называется обратной функцией φ к функции f и обозначают
х=φ(у) (только для монотонных функций!). Например, функции у= х3 , y  3 x взаимно обратны.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов.
Построим графики функций, приведенных в примере.
Опред:Функция f(х) называется четной, если для любого её элемента х из области определения
Д(f),верно равенство
f(-х)=f(х). График четной функции симметричен относительно оси OY.
1
Кучина О.М.
1
Яркие «представители» четных функций: у=х2, y=сosx, y  2 .
x
Опред: Функция f(х) называется нечетной, если для любого её элемента х из области определения Д(f),
верно равенство
f(-х)=-f(х). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Яркие «представители» нечетных функций: у= х3, у= sinx, y 
1
, y
x
3
x.
Опред: Функцию f(х) называют периодической с периодом Т≠0, если для любого её элемента х из
области определения Д(f) значения функции в точках х, Х-Т и Х+Т равны, т,е f(х+Т)=f(х)=f(х-Т).
Важнейшие представители периодических функций – тригонометрические функции.
T(sin)=T(cos)=2π
T(tg)=T(ctg)=π.
Опред: Графиком функции y=f(x) называется множество точек координатной плоскости с координатами
(x, f(x)).
Решение типовых заданий.
1. Найти область определения функции D(f):
a) у=х2 +6х–7. Так как функция представлена в виде многочлена, то она определена на всем
множестве действительных чисел. Т.е D(f)=R.
x2  x  6
b) y 
. Дробно – рациональная функция определена для всех х, при которых ее
x2  1
знаменатель отличен от нуля. Значит для данной функции областью определения будет все
множество действительных чисел, отличных от -1 и 1.
Т.е. D(f)=(-∞; -1)  (-1; 1)  (1; ∞).
2. Исследуйте функцию на четность.
Cosx
a)
подставим
в
функцию
вместо
х
-х,
будем
иметь:
f ( x)  4
;
x 1
Cos( x) Cosx Cosx
f (  x) 


 f ( x) . Получили определение четной функции. Вывод: функция
(  x) 4  1 x 4  1 x 4  1
четная.
x3
b)
Подставим
в
функцию
вместо
х
-х,
будем
иметь:
f ( x)  2
;
x 1
(  x )3
 x3
x3
f ( x) 



  f ( x) . Получили определение нечетной функции. Вывод:
(  x) 2  1 x 2  1
x2  1
функция нечетная.
3. Найдите наименьший положительный период функций:
a) 𝑓1 (𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠4𝑥. Наименьший положительный период функции 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 есть 2𝜋. Поэтому
2𝜋
𝜋
наименьший положительный период функции 𝑓1 (𝑥) равен 𝑇 = 4 = 2 .
2
Кучина О.М.
𝑥
b) 𝑓1 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2. Наименьший положительный период функции 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 есть 2𝜋. Поэтому
2𝜋
наименьший положительный период функции 𝑓1 (𝑥) равен
𝑇 = 1⁄ = 4𝜋.
4. Из графика фукции у=х постройте график функции у=|х-3|
2
1.2. Определение предела функции.
Опред. Пусть функция f(х) определена на множестве Х.
Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любого х € Х из того, что х стремится к
х0, следует, что f(х) стремится к А.
Математически это записывается так:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐴
𝑥→𝑥0
Свойства пределов:
Пусть с=const, тогда
a) lim [c]  c
x α
b) lim [c  f ( x)]  c lim f ( x)
x α
c)
x α
lim [ f1 ( x)  f 2 ( x)]  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x) ;
x α
d)
e)
x α
x α
lim [ f1 ( x)  f 2 ( x)]  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x) ;
x α
x α
x α
f1( x)
, если lim f 2 ( x)  0 ;
f1( x) xlim

α



lim
 x α

x  α f 2 ( x)
lim f 2 ( x)
x α
f)
lim
x α
f [ ( x)]  f [ lim  ( x)]
x α
Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
sin x
 1.
x 0 x
lim
5) Второй замечательный предел:
x
1
 1
lim 1   lim 1   e.
x   0
x  

3
Кучина О.М.
Техника вычисления пределов.
При вычислении предела элементарной функции f (x) приходится сталкиваться с двумя
существенно различными типами примеров. При этом удобно воспользоваться
следующим алгоритмом для вычисления пределов.
Решение типовых заданий.
x  2ő
33  2  3
 lim
 lim 33  33
x 3 3ő  8
x 3 3  3  8
x 3
5
c 
lim
 
2) Найти x  4 3 ő  12  0 
1
c
3)
lim
 0
Найти x   ő  1   
3
1) Найти lim
4
Кучина О.М.
x 2  5ő  6
4) Найти lim 2
x  2 ő  3ő  2
x 2  5ő  6  0 
( x  2)( x  3)
x 3
lim 2
    lim
 lim
 1
x  2 ő  3ő  2
 0  x  2 ( x  2)( x  1) x  2 x  1
3 ő9
5) Найти lim
x 0
ő
В этом случае также получаем неопределенность типа
0
. Преобразование функции
0
3 х 9
сводится к уничтожению иррациональности в числителе: для этого
х
умножим числитель и знаменатель на выражение 3  х  9 и затем сократим дробь на
х  0. Отсюда
 ( х) 
3  ő  9 0 
(3  ő  9 )(3  ő  9 )
    lim

x 0
ő
ő(3  ő  9 )
 0  x 0
1
1
1
 lim

 .
x 0 3  ő  9
6
3 09
3
2ő  1
6) Найти lim
x   3 ő4  2 ő2  1
lim

. Разделим числитель и знаменатель на х 4

(наивысшая степень х в данной дроби). Тогда
Здесь имеет место неопределенность типа
2 1
 4
2ő  1
0
 
ő
ő
lim
   lim
  0.
4
2
2
1
x  3ő  2 ő  1    x 
3 2  4 3
ő
ő
7) Найти lim ( ő  ctg 3x)
3
x 0
Здесь получается неопределенность типа 0  . Представим функцию p( x)  x  ctg3x в
0
виде дроби, которая в точке x  0 дает неопределенность типа , после чего преобразуем
0
ее так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом:
x  cos 3 x
 x

lim ( х  ctg3 x)  lim
 lim 
 cos 3x  
x 0
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x


x
x
1
 lim
 lim cos 3x  lim
 1  lim

x 0 sin 3 x x 0
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
x
lim 1
1
x 0


.
sin 3 x
sin 3x
lim
lim
x 0
x 0
x
x
sin 3 x
3 sin 3x
sin 3x
Но lim
 3, поскольку lim
 3 lim
3.
x 0
x

0
x

0
x
3x
3x
5
Кучина О.М.
1
Таким образом, lim ( х  ctg3x)  .
x 0
3
arcsin 5 x
1
Положим arcsin 5 x  y; тогда 5 x  sin y, откуда х  sin y ; если
5
x 0
x
8) Найти lim
x  0, то y  0. Следовательно,
arcsin 5 x
y
y
lim
 lim
 5 lim
 5.
x 0
y

0
y

0
1
x
sin y
sin y
5
9) Найти lim ( x 
x 2  3)
x 
В этом случае имеем неопределенность типа
   . Умножив и разделив данную
функцию на выражение х  х 2  3, получим
lim ( x  x 2  3 )  lim
x 
 lim
x 
( x  x 2  3 )( x  x 2  3 )
x 
3
( x  x 2  3)
( x  x 2  3)

 0.
 x  3
10) Найти lim 

x   x  1 
x 1
x 1
 x  3
Функция r ( x)  
 при x   представляет собой степень, основание которой
 x 1 
стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность типа 1 ).
Преобразуем функцию r (x ) таким образом, чтобы использовать второй замечательный
x3
предел. Для этого из дроби
исключим целую часть:
x 1
x  3 ( x  1)  4
4

 1
x 1
x 1
x 1
4
и сделаем замену переменной, положив
 t . Тогда, если x   , то t  0 и
x 1
x 1
x 1
4
2
4 
 x  3

lim 
  lim 1 
  lim (1  t ) t 
x  x  1
x 
t 


 x 1
4
4


2
t
 lim (1  t )  (1  t )   lim (1  t ) t  lim (1  t )  2 
t 0
t 0
t 0


4
1
1




 lim (1  t ) t   1  lim (1  t ) t 
t 0
t 0




4
  4 .
Контрольные вопросы:
1)
2)
3)
4)
Дайте определение функции.
Что такое область определения, область значения функции?
Какие способы задания функции вы знаете?
Перечислите основные ограничения, накладываемые на область определения функции.
6
Кучина О.М.
5) Какие функции называются возрастающими, какие – убывающими?
6) Какие функции называются монотонными?
7) Что можно сказать о симметричности графиков чётных и нечётных функций?
8) Какие функции называются периодическими?
9) Назовите периоды основных тригонометрических функций?
10) Назовите простейшие преобразования графиков функций.
11) Что называется пределом функции?
12) Назовите свойства пределов.
13) Назовите алгоритм нахождения пределов.
14) Назовите первый замечательный предел.
15) Назовите второй замечательный предел.
7