DOC, 86.5 КБ

Тригонометрические уравнения и методы их решений.
Кухаренко Алина,11 «А» класс
Мозжухина Софья, 11 «А» класс
Научный руководитель – учитель математики высшей квалификационной категории
Еремина Л.А.
Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком
тригонометрической функции.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
 преобразование уравнения для получения его простейшего вида
 решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Наиболее распространенными способами решения тригонометрических уравнений
являются:
 Алгебраический метод
 Метод разложения на множители
 Метод вспомогательного угла
 Однородные уравнения
 Универсальная подстановка
 Метод оценки
 Метод понижения степени
 Метод сравнения множеств
 Переход к половинному углу
 Преобразование произведения в сумму
 Функциональный метод
 Графический метод
В своей работе мы подробнее рассмотрим отдельные методы решения тригонометрических
уравнений.
Метод оценки
При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить
значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Пример.
Решить уравнение:
sinx∙sin5x=1
Решение.
sinx=1
x=∏/2+2∏n, n є Z
sin5x=1 - ?
sin5(∏/2+2∏n)=1
sin(5∏/2+5∙2∏n)=1
sin(5∏/2)=1
sin(∏/2)=1 - верно
Ответ:x= ∏/2+2∏k, k є Z
sinx=-1
x=-∏/2+2∏n, n є Z
sin5x=-1 - ?
sin5(-∏/2+2∏n)=-1
sin(-5∏/2+5∙2∏n)=-1
sin(-5∏/2)=-1
sin(-∏/2)=-1
- sin(∏/2)=-1 – верно
Метод сравнения множеств
Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств.
Если Е(f) ∩ E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений.
Если Е(f) ∩ E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х
уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.
Пример.
Решить уравнение:
6cos25x-5cosx+5,1=0
(1)
Решение.
6cos25x+5,1=5cosx
(2)
Пусть f(x)=6cos25x+5,1 и φ(x)=5cosx.
Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x),
Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x).
Так как Е(f) ∩ E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2)
решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже решений не имеет.
Графический метод
На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений
функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на
координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается,
что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Каждой паре чисел (х; f (x)), x € X ставят в соответствие точку М (х; f (x)) координатной
плоскости. Получившее при этом множество точек называют графиком функции.
Графиком числовой функции f, заданной на числовом промежутке Х, называется
множество Г всех точек координатной плоскости, имеющих вид М (х;f (x)), x € X .
Чаще всего графиком функции является некоторая линия на плоскости, которая может быть,
распадающаяся на несколько кусков.
Но, например, окружность не может быть графиком никакой функции, так как, зная
абсциссу точки окружности, мы получаем два значения ординаты, а функция сопоставляет х € Х
лишь одно число.
Графический метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их
систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но
и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением
системы будет х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при
которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика
функции g(x).
Примеры решений уравнений при помощи графического метода
1. 2cos πx=2x-1
Данное уравнение рационально решать графическим методом.
Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5
Ответ: х=0,5
2.10|sinx| =10|cosx|-1
Данное уравнение также рационально решать графическим методом.
Т.к. 10>1, то функция y=10t – возрастающая и данное уравнение равносильно следующему:
|sinx|=|cosx|-1
Точки пересечения графиков имеют координаты (); k  Z . Следовательно, х= k .
Ответ: х= k k ;0
Функциональный метод
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к
уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения.
В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как
монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций
возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может
иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция
f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А g(x)мin=A, то уравнение
f(x)=g(x) равносильно системе уравнений
 f ( x)  A

 g ( x)  A
Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые
теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие
уравнения общего вида:
f(x)=x
(1)
f ( f (...( f ( x))...))  x

(2)
n ðàç
Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).
Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном
интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале
a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a,
g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе
 f ( x)  a

 g ( x)  a
Следствие 1. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то
данное уравнение равносильно системе
 f ( x)  a

 g ( x)  b
Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с
графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда
комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.
Примеры решений уравнений при помощи функционального метода
1. cos
x 2  8x 2
=x +1
5
Данное уравнение рационально решать функциональным методом.
cos
x 2  8x
≤1
5
x2+1≥1
x 2  8x
cos
=1
5
x2+1=1
=>
x=0
Решая уравнение (1), находим корни 0 и 8.
При подстановке найденных корней во (2) уравнение, получаем, что х=0.
Ответ: х=0
2. 3+(х-π)2=1-2cosx
Данное уравнение рационально решать функциональным методом.
(х-π)2+2=-2cosx
(х-π)2+2≥2
-2≤-2cosx≤2
( x   ) 2  2  2

 2 cos x  2
x  

 x    2k , k  Z
Ответ: x=π
=> x=π, при k=0