Русаков А.О. Колебания предварительно нагруженной конструкции

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность:010800.62– Механика и математическое моделирование
Специализация: Теория упругости
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Работа завершена:
"___"________2015 г. _________________________________(А.О.Русакова)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физ.мат. науки, доцентжд
"___"___________2015 г. ______________________________(Л.У.Султанов)
Заведующий кафедрой
доктор физ.-мат. наук
"___"___________2015 г. ______________________________(Ю.Г.Коноплев)
Казань — 2015
2
Содержание
Введение …………………………………………………………………..…….3
Глава 1. Общие сведения…….………………………………………..………..4
1.1 Осесимметричные колебания………………………………………………6
1.2 Несимметричные колебания……...………………………………..……...10
Глава 2. Объект исследования………….………………………………….….12
Заключение……………………………………………………………………..21
Список использованной литературы …………………………………….......22
Приложение ………………………………………………………………........23
3
Введение
Одной из самых важных задач при проектировании конструкций, которые
применяются в промышленности, в авиационной и ракетной технике является
динамический расчет.
В данной работе представлены результаты свободных колебаний
предварительно нагруженной конструкции. В нашей работе конструкция это
цилиндрическая оболочка.
Одним из главных элементов при исследовании оболочек является
определение собственных частот и форм собственных колебаний.
При
изучении
оболочек
больше
всего
внимания
уделяется
цилиндрическим оболочкам. Так как цилиндрические оболочки можно легко
изготовить, и имеют маленький вес. К таким конструкциям относят элементы
трубопроводов, нефтепроводов, двигатели, подводные лодки, подземные
резервуары, летательные аппараты и т.д.
4
Глава 1. Общие сведения
Оболочка- это тело, которое ограничено двумя криволинейными
поверхностями, расстояние между которыми (толщина) очень мало по
сравнению с другими размерами тела.
Поверхность, которая делит оболочку пополам называется серединной
поверхностью.
Чаще всего оболочки применяются в различных отраслях техники.
Например: корпус подводной лодки, корпус турбины, цистерны, воздушные и
газовые баллоны.
Когда рассчитывают оболочки, обычно проводят расчеты на прочность и
устойчивость, а также динамический расчет, при котором определяем
собственные формы и частоты колебаний. Любая оболочка имеет бесконечное
число частот собственных колебаний. Собственными или свободными
колебаниями называются колебания под действием внутренних сил в системе,
после того, как систему вывели из состояния равновесия. Собственные или
свободные колебания волн всегда затухающие.
Каждая частота имеет свой вид и форму колебаний. Колебания оболочек
делятся на несколько видов: тангенциальные, продольные и радиальные.
При
классификации
форм
колебаний
цилиндрических
оболочек
используются:
n- Значения числа полуволн в продольном направлении;
q- Число полуволн в окружном направлении.
Точки поверхности, в которых перемещения равны нулю называются
узловыми линиями. Рассмотрим рис.1
5
\
n=1
q=2
n=2
q=3
q=4
Рис. 1. Колебания цилиндрической оболочки
- точки, расположенные на узловых линиях;
-положение поверхности неколеблющейся оболочки;
----- - положение поверхности колеблющейся оболочки.
Нам дана цилиндрическая оболочка кругового сечения радиуса R, один
край жестко заделан, другой свободно оперт и действует на него нагрузка P.
Рис. 2.Цилиндрическая оболочка
Свободные
колебания
цилиндрической
осесимметричные и несимметричные малые.
оболочки
могут
быть
6
1.1 Осесимметричные колебания
Основными перемещениями элементов конструкции осесимметричных
колебаний цилиндрической оболочки являются радиальные перемещения  ,
которые представлены в виде произведения функций, которые зависят от
времени t и продольной координаты x
 = (x)sint
(1)
В этой формуле неизвестными являются форма  (x) и собственная частота  .
Если пренебрежем продольными силами инерции, получим выражение
для потенциальной энергии системы.
L
U =  Γdx
0
Где
 =   12  y y  12 M x  x  12 T Rd
(2)
Tδ ω
- интенсивность радиальных инерционных сил;
g t
2
T=-

M
2
    l  l -толщина подкрепленной оболочки;
F1
F2
1
2
y
 -удельный вес материала;
M
g -ускорение силы тяжести.
Подставим в (2) величины, получим
 E

 

d ( x) 2 E z
d ( x)
Г =  y (1
) ( x)  Dx (
)
( x)

 ( x)  R sin t (3)
g
(1  )  x y
dx
(1  )R
dx
 R

2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
M

2
2
2
Уравнение Эйлера в вариационной задаче:
Г d Г
d Г
 (
)
(
)0
 dx   dx  
2
2
(4)
7
Это уравнение приводит к следующему дифференциальному уравнению
для формы колебаний:
d  ( x)
d  ( x)
 2
  ( x)  0
dx
dx
 E z

(1  ) Dx R
4
2
4
2
(5)
1
2
 
 
E


(1
)
2
gDx Dx R
(1  )  x y
2
2
M
2
Корни характеристического уравнения при
   ;
2
 >0:
   i; (6)
1, 2
где  
2

3, 4
    ;  
   
2
2
.
Для квадрата частоты колебаний цилиндрической оболочки запишем:

2 Rz
DR
Eg  y

 
(1
) x  


 R  
(1  )  x y E L
(1  ) L
2
2
2
4
2
2
M
2
2
4

1
2

2

2





(7)
Граничное условие для  ( x) :
( x) = d ( x)  0, при x  0
dx
( x) = d( x)  0, при x  L
dx
2
2
(8)
Уравнение для определения  :
 th   2 L    2 L tg   0 (9)
2
2
2
2
Расчетная зависимость (7) получена в предположении, что
Подставляя (7) в выражение для
 >0.
 , получим :
   (  2 L )
L
2
2
(10)
2
4
Из (10) видим, что для цилиндрических оболочек c 
 0 и условие   0
не может нарушаться. При наружном расположении продольных ребер
коэффициент   0 пока выполняется 2 L2   2 .
 0и
8
Чтобы установить границу применимости расчетной зависимости (7),
найдем значение
2 L2 ,при котором   0 . В этом случае уравнение для (5)
можно записать в следующем виде:
  2  0 ,
4
2
Получим корни этого уравнения:
  0,   i* ;
1, 2
3, 4
*  2 .
Общее
решение
дифференциального
уравнения
(5)
будет
иметь
следующий вид:
(x)  c  c x  c sin *x  c sin *x
1
2
3
(11)
4
Значения 2 L2  * , где  *  *L , уравнение для * : *  tg *  0 .
2
Прежде чем мы сможем найти частоту осесимметричных собственных
колебаний, предварительно нужно вычислить параметр 2 L2 и сравнить его
значения с
* для формы колебаний. Если получим, что 2 L  * , то
2
2
2
собственная частота определяется по формуле (7).
Если 2 L  * ,   0 , и считая     0 ,получим корни уравнения:
2
2
2
  i ,   i ; где
1, 2
1
3, 4
2
      ,       .
2
2
1
2
Получим общее решение дифференциального уравнения(5):
(x)  c sin  x  c cos  x  c sin  x  c sin  x
1
1
2
1
3
2
4
1
(12)
Для того чтобы получить квадрат частоты собственных колебаний
вернемся к (7), где  определим из частотных уравнений
 sin 2 L   cos   2 L   sin  cos 2 L    0 .
2
2
2
2
Если 2 L  * , соответствует случаю   0
2
2
2
2
9
Eg y

 
(1
)
 R
(1  )  x y
2
2
2
M
2

2
2
(13)
10
2.Несимметричные колебания
Для цилиндрической оболочки при несимметричной форме колебаний
перемещения срединной поверхности являются функциями x, и времени t .
Радиальное перемещение 
 =  ( x)cosn sin t
(14)
n
Запишем потенциальную энергию систему если   0 и   0 :
t
Г=

d  ( x) (n 1)D
z
z d  ( x)
 R E R
{
(1 n  n ) (
) D (
)
 ( x) 
2
R
R
n
dx
dx
R
2
2
2
x
2
1
2
2
2
2
n
4
x
2
y
2
n
2
2
n
4
d  ( x) 2(1  )(n 1) D d  ( x) 2 (n 1) E  z
z
2 (n 1)D
 ( x)

(
)
(1 n ) 
dx
R
R
dx
nR
(1  )n R
2
2
2
2
n
n
2
2
n
2
2
2
2
2
z
n

(1

n
)
 
d  ( x)
d  ( x)
R
 ( x)

[
 ( x)  R  (1 n z ) (
) ]}sin t
R
g
dx
dx
n
n
2
2
2
2
2
2
M
2
n
n
2
2

2
2
2
n
2
2
2
2
n
2
4
(15)
Последнее слагаемое можно переписать в следующем виде:
1 
2 g
 u  v W 
u  v
W



t

t

t


2

M
2
2
2
2
2
А  и  имеют значения:
z
z
(n 1)(n 1  ) D  (n 1) E Z

(1 n ) 

(1 n )
2g n
R
R
nR
(1  )n R

;
E R
z
z
(1 n  n )  D
R
R
n
 
z
(n 1)

[n  (1 n ) ]
D
R
gn
R

E R
z
z
(1 n  n )  D
R
R
n
2
  R
M
2

2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2
1
2
2
x
4
(16)
2
2
M

2
2
2
2
2
y
4
2
x
2
1
2
2
2
x
4
Запишем
квадратичные
цилиндрической оболочки:
частоты
для
несимметричных
колебаний
11

n D   m R 
z
z
(1 n  n ) 


R
R E R   L 

 





 R 
z
 m R  
n  (1 n )  n 
 
gE 
R   L   


 E z R
z   m R  n (n 1) D
2n (n 1) D 
 n 1  
(1 n )  

R  L 
E R
(1  ) D
E R


 R 
z   m R   
n

(1

n
) n 

 
gE 
R   L   


4
4
2
1
2
x
2
2
x
2
2

M
4
2
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
4
(17)
2
2
2
y
2
x
x
2
M

4
2
2
2
2
x
Чтобы определить наименьшую величину  2 числа волн в окружном
направлении n=2, 3, 4… и полуволн по длине оболочки m=1, 2, 3… следует
брать соответствующим минимуму  2 .
12
Глава 2.Объект исследования
В данной работе мы рассмотрим задачу о собственных колебаниях
предварительно нагруженной конструкции.
Будем рассматривать цилиндрическую оболочку, с одной стороны она
жестко закреплена, а с другой на нее действует нагрузка.
Оболочкой называется трехмерное тело, у которого один размер
существенно меньше чем другие.
Чтоб рассмотреть колебания воспользуемся методом конечных элементов
(МКЭ). Метод конечных элементов (МКЭ)- численный метод, когда решаем
интегральные
уравнения
и
дифференциальные
уравнения
с
частными
производным, которые получатся при решении задач. В основном этот метод
используется, когда решаем задачи механики деформируемого твердого тела.
Суть МКЭ заключается в том, что область, в которой мы ищем решение
дифференциальных уравнений, разбивается на конечное число малых
подобластей (конечных элементов). В каждом конечном элементе произвольно
выбираем вид аппроксимирующей функции. Значения функции на границах
элементов (в узлах) являются решением задачи и их нужно найти.
В ANSYSпостроили геометрическую модель (Рис. 3 а), конечноэлементную модель (Рис. 3 б) и заданы граничные условия (Рис. 3 в).
а)
13
б)
в)
Рис 3. Модель цилиндрической оболочки
Конечный элемент выбрали SHELL281. Так как SHELL используется при
построении тонкостенных конструкций.
Просмотр решения.
Нам дана задача: колебания предварительно нагруженной конструкции, и
для начала подсчета нужно вывести на решение стационарный анализ.
Main Menu →Solution→ Analysis Type→ New Analysis→ Static
Static- это стационарный анализ, он используется для решения
любых типов задач( механики деформируемого твердого тела, механики
жидкости и газа).
Дальше запускаем на решение модальный анализ.
Main Menu →Solution→ Analysis Type→ New Analysis→Modal
Modal-это модальный анализ, т.е. анализ конструкции на собственные
частоты и формы колебаний. Модальный анализ используется только для
задач механики твердого тела.
Зададим характеристики модального анализа.
14
MainMenu→Solution→ AnalysisType→ Analysisoptions
Рис. 4. Задание опций модального анализа
Метод
решения
задачи
на
собственные
колебания
выбираем
BlockLanczoc. BlockLanczoc (Блочный метод Ланцоша) – этот метод
используется для нахождения большого числа форм, более 40, и в основном для
больших конструкций. Блочный метод Ланцоша рекомендуется использовать
если модель содержит 2-х и 3-х мерные элемент. Если конструкция состоит из
оболочек этот метод быстро работает.
Модальный расчет проводим для 10 форм собственных колебаний. Чтобы
просмотреть решение модального анализа воспользуемся постпроцессоромGeneral Postprocessor.
Просмотрим состояние конструкции.
MainMenu→GeneralPostprocessor→ Plot Results→ Contour Plot→ Nodal Solu→
Stress→ Von Mises stress
15
Рис. 5. Von Mises stress
Рис. 6.X - Component of stress
Рис. 7. Y - Component of stress
16
Рис. 8. Y - Component of stress
MainMenu→GeneralPostprocessor→Results Summary
В Results Summary выводим на экран таблицу, которая содержит
собственные частоты найденных форм.(Рис.9а,б,в)Так как мы решаем
задачу с разными нагружениями (без нагружения, и с нагружениями
10000 и 50000),выводим на экран три таблицы для разных нагружений.
а)без нагружения
б)10000
17
в)50000
Рис. 9. Таблицы собственных частот
По таблицам видим, что есть частоты с одинаковыми значениями.
Цилиндрическая оболочка имеет кратные собственные частоты – это
характерно для моделей с осевой симметрией. Чтобы просмотреть формы
собственных форм колебаний воспользуемся командой- Read Results.
На следующих рисунках приведены формы собственных колебаний. Все
формы которые мы нашли, имеют несколько полуволн по окружности и одну
полуволну по длине образующей.
18
Рис. 10.Формы собственных колебаний без нагрузки
Рис. 11.Форма собственных колебаний с нагрузкой 10000
19
Рис. 12.Формы сбственных колебаний с нагрузкой 50000
Нарисуем график зависимости частоты колебаний от силы.
20
Частоты
колебаний
600
500
400
300
200
100
0
0
10000
1
Сила
50000
2
3
4
5
Рис. 13.График частоты колебаний от силы
На графике видим, что чем больше задаем силу, то меньше становится
частота колебаний.
21
Заключение
В данной выпускной квалификационной работе мы более подробно
рассмотрели задачу о собственных колебаниях предварительно нагруженной
конструкции. Решение этой задачи подробно рассмотрели в ANSYS. ANSYSэто универсальная программа конечно-элементного анализа. Рассмотрели
цилиндрическую оболочку с одного края жестко закреплена, а с другого на нее
действует сила. В процессе работы построили геометрическую и конечноэлементную модель. Провели модальный анализ цилиндрической оболочки на
собственные формы и частоты колебаний. Составили график зависимости
частот колебаний от силы. В результате мы увидели, что частоты колебаний
уменьшились, при том что нагрузка росла.
22
Список используемой литературы
1. Вольмир А.С., Устойчивость деформируемых систем. /А.С. Вольмир.М.:Наука,1967-984 с.
2. Вольмир А.С., Нелинейная динамика пластинок и оболочек /
А.С. Вольмир.- М.:Наука, 1972- 432 с.
3. Боголюбов Н.Н.Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний /Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский.- М.:Физматлит, 1963407с.
4. Пановко Я.Г., Введение в теорию механических колебаний / Г.Пановко. М.:Наука, 1991- 256с.
5. Старжинский В.М., Прикладные методы нелинейных колебаний /В.М.
Старжинский.-М.:Наука,1977-256с.
6. Конюхов А.В.,Основы анализа конструкций в ANSYS / А.В.Конюхов.КГУ, 2001-102 с.
7. Обморшев А.Н., Введение в теорию колебаний / А.Н.Обморшев.М.:
Наука, 1965- 276 с.
8. Леонтьев Н.В. Применение системы ANSYS к решению задач модального
и гармонического анализа/Н.В.Леонтьев.-М.:2006.-101 с.
23
Приложение
!Цилиндрическая оболочка
!Параметры задачи (Система Си)
!геометрия
/RGB,INDEX,100,100,100,0! создание белого экрана
/RGB,INDEX,80,80,80,13/RGB,INDEX,60,60,60,14
/RGB,INDEX,0,0,0,15
/COLOR,PBAK,0
/COLOR,ELEM,!
/replot
*SET,L,0.4 !Длина
*SET,R,0.15 !Радиус
*SET,h,0.001 !Толщина
*SET,E,2E+011 !Модуль Юнга
*SET,v,0.3 !Коэффициент Пуассона
*SET,ro,7800 !Плотность
/PREP7 !Вход в препроцессор
ET,1,SHELL281 !Тип конечного элемента
R,1,h, , , , , , !Реальные константы :Толщина h
RMORE, , , ,
RMORE
RMORE, ,
MPTEMP,,,,,,,, !Свойства материала
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,2e11
MPDATA,PRXY,1,,0.3
MPTEMP,,,,,,,,
24
MPTEMP,1,0
MPDATA,DENS,1,,7850
FLST,2,2,8
FITEM,2,0,0,0
FITEM,2,R,0,0
CIRCLE,P51X, , , ,360, , ,!Четыре дуги радиуса R с центром в начале координат
K, ,,,, !Две вспомогательные точки для создания линии "вытягивания"
K, ,,,L,
LSTR, 5, 6 ! Вспомогательная линия " вытягивания"
FLST,2,4,4,ORDE,2
FITEM,2,1
FITEM,2,-4
ADRAG,P51X, , , , , , 5 !Создание цилиндрических поверхностей
LESIZE, 7, , ,30, , , , ,0 !разбиение образующей
LESIZE, 1, , ,25, , , , ,0 !разбиение дуг
LESIZE, 2, , ,25, , , , ,0
LESIZE, 3, , ,25, , , , ,0
LESIZE, 4, , ,25, , , , ,0
MSHAPE,0,2D !Регулярная сетка четырехугольных элементов
MSHKEY,1!Разбиение сетки
AMESH,1
AMESH,2
AMESH,3
AMESH,4
FLST,2,8,4,ORDE,6
FITEM,2,1
FITEM,2,-4
FITEM,2,6
FITEM,2,9
FITEM,2,11
25
FITEM,2,13
FINISH
/SOL
FLST,2,4,4,ORDE,2
FITEM,2,1
FITEM,2,-4
/GO
DL,P51X, ,ALL,!Задание жесткой заделки
FLST,2,4,4,ORDE,4
FITEM,2,6
FITEM,2,9
FITEM,2,11
FITEM,2,13
/GO
SFL,P51X,PRES,10000,!Задаем силу нагружения
FLST,2,4,5,ORDE,2
FITEM,2,1
FITEM,2,-4
/GO
ANTYPE,0
/STATUS,SOLU!Стационарный анализ
SOLVE
FINISH ! Вывод на решение
/SOLUTION
ANTYPE,2! Модальный анализ
/POST1
PLDISP,1
/VIEW,1,1,1,1
/ANG,1
/REP,FAST
26
/VIEW,1,1,2,3
/ANG,1
/REP,FAST
/VIEW,1,,,1
/ANG,1
/REP,FAST
SET,NEXT!Формы колебаний
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,FIRST
PLDISP,1
SET,NEXT
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1
SET,NEXT
PLDISP,1