63 Задания В8: 1. Вычисление элементов прямоугольного треугольника При выполнении заданий В8 на вычисление элементов прямоугольного треугольника достаточно знать определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора. Теорема Пифагора: АВ² = АС² + ВС². 1) В Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла: ВС АС ВС АС sinA= ; cosA= ; tgA= ; ctgA= АВ АВ АС ВС Основное тригонометрическое тождество: sin²A+ cos²A=1 Формулы приведения: sin(90˚- α) = cosα ; cos(90˚-α) = sinα А С sin(180˚- α) = sinα; cos(180˚-α) = -cosα α А В 90 Таблица sin α cos α 1 tg α 0 ctg α не сущ. Н А 3) А ) 6 ) 4 2 2 2 2 45˚( 1 2 3 2 3 3 3 1 ) 3 3 2 1 2 60˚( 3 90˚( ) 2 π 1 0 0 -1 не сущ. 0 не сущ 0 3 3 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. СН= АН НВ ; АС= АВ АН В 2) 30˚( 0˚(0) 0 функции С В С 1 ∆АВС - равнобедренный, А С ∆АВН=∆ВСН ВН - медиана, биссектриса, высота. Н Решать задания В8 можно по-разному. Показано несколько образцов решения задач. Пример 1. 3 В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, tgα = , ВС = 6. Найдите АС. В 4 Решение: ВС ВС По определению tg А = ; АС ; АС tgA 3 3 4 АС = ВС : = 6 : = 6 = 8. А С 4 4 3 В бланк ответов: В8 8 Вычисление значения тригонометрического выражения Тригонометрические уравнения Содержание 64 Пример 2. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол В равен 30º, ВС = 3 3 . Найдите АС. В А С Решение: 3 3 3 3 АС По определению tg В = ; АС = ВС · tg 30º = 3 3 · = = ВС 3 3 В бланк ответов: В8 3· 3 = 3. 3 Пример 3. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, cosA = 4 . 5 В Найдите sinB. По определению cosA sinB = Решение: АС = ; АВ АС 4 = cosA = = 0,8. АВ 5 А В бланк ответов: В8 С 0 , 8 Пример 4. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 39, sinА = 5 . Найдите АС. 13 В А С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1, получим: 5 25 25 144 ( )² + cos²A = 1; + cos²A = 1; cos²A = 1 ; cos²A = ; 13 169 169 169 12 12 cos²A = ( ) 2 ; cosA = . 13 13 АС 12 39 12 2) По определению cosA = ; АС = АВ · cosA; АС = 39 · = = 36. АВ 13 13 В бланк ответов: В8 3 6 Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 1-5 Содержание 65 Пример 5. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 95, cosВ = 3 . Найдите АС. 5 В А С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²В + cos²В = 1, получим: 3 9 9 16 sin²В+ ( )²= 1; sin ²В+ = 1; sin ²В = 1 ; sin ²В = ; 5 25 25 25 4 4 sin ²В = ( )²; sin В = . 5 5 АС 4 95 4 2) По определению sin В = ; АС = АВ · sin В; АС = 95 · = = 19 · 4 = АВ 5 5 76. В бланк ответов: В8 7 6 Пример 6. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, AB = 14, AС = 7 3 . Найдите sinА. В А С Решение: 1) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС²; 14² = (7 3 )² + ВС²; 196 = 49 · 3 + ВС²; 196 = 147 + ВС²; ВС² = 196 - 147; ВС² = 49; ВС² = 7²; ВС = 7. ВС 7 1 2) По определению sinА = = = = 0,5. АВ 14 2 В бланк ответов: В8 0 , 5 Пример 7. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол А равен 30º. Найдите синус угла ВАD. В D А С Решение: BAD и BAС – смежные, отсюда 1 sin BAD = sin(180º - 30º) = sin30º = = 0,5. 2 В бланк ответов: В8 0 , 5 66 Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 6-10 Пример 8. В8 На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс. В Решение: BAD и BAС – смежные, отсюда D tg BAD = tg(180º - BAС ) = - tg BAC = - А ВС 2 = -2. АС 1 С В бланк ответов: В8 - 2 Пример 9. В8. Найдите тангенс угла АОВ, изображенного на клетчатой бумаге. В О Решение: ВС 4 = 0,8. tg BОA = ОС 5 В О А А В бланк ответов: В8 С 0 , 8 Пример 10. В8. В треугольнике АВС угол С равен 90º, cosA = Решение: 4 , ВС = 3. СН – высота. Найдите АН. 5 В 4 АС = , значит, АС = 4, АВ = 5 5 АВ (Проверка: ВС² + АС² = АВ² ; 3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). А 2) ΔАСН – прямоугольный: АН 4 16 3,2 . cosA = ; АН = АС cosA = 4 · = 5 5 АС В бланк ответов: В8 1) cosA = Н С 3 , 2 Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 6-10 Содержание 67 Пример 11. В8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведенная к основанию, равна 19. Найдите косинус угла А. В А Н Решение: С 1) ΔАВН – прямоугольный: по теореме Пифагора АВ² = АН² + ВН²; 10² = АН² + 19 ²; 100 = АН² + 19; АН² = 100 - 19; АН² = 81; АН² = 9²; АН = 9. АН 9 2) По определению cosA = = = 0,9. АВ 10 В бланк ответов: В8 0 , 9 Пример 12. В8. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, АВ = 8. Найдите tg А. Решение: 1) По свойству равнобедренного треугольника высота СН является и медианой. Значит, АН = АВ : 2 = 8 : 2 = 4. 2) ΔАСН – прямоугольный: по теореме Пифагора АН² + СН² = АС²; А 4² + CH² = 5²; 16 + CH² = 25; CH² = 25 – 16; CH² = 9; CH = 3. CH 3 tg А = = = 0,75. AH 4 В бланк ответов: В8 Пример 13. В8. В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 5, cosС = 0,8. Найдите высоту СН. С Н В 0 , 7 5 С А В Н Решение: 1) ΔАВС – равнобедренный, значит, cosС = cosА = 0,8. АН 4 2) ΔАСН – прямоугольный: cosА = = 0,8 = , отсюда АН = 4. 5 АС По теореме Пифагора АН² + СН² = АС²; 4² + СН² = 5²; 16 + СН² = 25; СН² = 25 - 16; СН² = 9; СН = 3. В бланк ответов: В8 3 Вычисление элементов прямоугольного треугольника, примеры 11-13 Содержание 68 2. Окружность и углы Центральный угол Вписанный угол б) а) В в) В С О . O . А . В D O А А В L АОВ ALB А С L 1 АВC ALC 2 Пример 14. С С АВC ADC В8. Центральный угол на 360 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла: 1 1 АCВ АОВ , тогда АCВ (АСВ 36 0 ), 2 2 1 1 1 АCВ АСВ 36 0 , АCВ АСВ 18 0 , 2 2 2 1 1 АСВ 36 0. АCВ АСВ 18 0 , АСВ 18 0 , 2 2 В бланк ответов: В8 3 6 О А L L АCВ 90 0 ALВ - полуокружность В Пример 15. В ? 320 О А С В8. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 320. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла: 1 ВАС ВОС , где ВАС - вписанный угол, 2 ВОС - центральный угол. 0 Тогда ВОС 32 2 64 0 . В бланк ответов: В8 6 4 Окружность и углы, примеры 14-15 Содержание 69 Пример 16. В8. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая 1 составляет окружности. Ответ дайте в градусах. 5 Решение: 1 1 1 ÀÑÂ ÀòÂ 360 0 36 0 . Вписанный угол 2 2 5 . т В бланк ответов: В8 3 6 Пример 17. т В8. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как . Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. Решение: Очевидно, что ÀÂÑ - больший угол треугольника ABC, опирающийся на ÀòÑ . 1 1 ÀÂÑ ÀòÑ 360 0 : (1 3 5) 5 100 0 2 2 В бланк ответов: В8 1 0 0 Окружность и углы, примеры 16-17 Содержание