шпоры по математике гос

10а Строение простого алгебраического расширения поля.
Пусть F- числовое поле. Число  С наз.алгебраическим над F, если  является корнем
хотя бы одного ненулевого многочлена f  F[x] (само  может и не лежать в F .В
противном случае  наз. трансцендентным над полем F. Примеры: 1)   F явл. алг.
над F; х -   F[x], f (  )=0. 2)i  Q, f=x2+1  Q[x], i-алг.над Q[x].3)π, е-трансценд. над Q, но
алг над R. Alg F- мн-во всех алг. чисел над F чисел.   Alg F. Возьмём многочлен самой
малой степени из F [x], корнем которого явл.  , т.к. такие мног-ны сущ-ют , то и
указанный многочлен отыщется .Многочлен F [x] наименьш степени , корнем которого
явл.   Alg F наз минимальным многочленом алг. числа  .Свойства мин. мн-на:
Пусть р(х)  F [x]- мин. мн-н числа   Alg F. 10 р(х) делит любой мн-н из F [x], для кот.
 явл.корнем. Док-во: пусть f(x)  F [x] такой ,что f (  )=0. Разделим евклидово f на р.
f=рq+r , где r=0,  deg r < deg p. Найдём f (  ) = р(  )q(  )+ r(  ); f (  )=0, р(  )=0  r(  )=0.
Если r не равно 0, то  -корень мн-на r(x), а т.к. f=рq+r , то deg r< deg p, что противоречит
выбору deg р  r=о  f=рq  р/f. 20 мин. мн-н алг.числа  определяется однозначно, с
точностью до ассоциированного с ним .Док-во: пусть р и q – два мин. мн-на одног и
тогоже числа   по св-ву 1 р/q, q/ p  p и q ассоциированные , т.е. q= cp , c F, c  0. 30
мин.мн-н р числа   Alg F неприводим над полем F.Док-во:предположим, что р
приводим  р=р1р2, р1, р2  F [x], deg р1, deg р2< deg p, p(  )=р1(  )р2(  )=0, р1(  )=0 
р2(  )=0, в обоих случаях  оказывается корнем мн-на степени , меньшей чем степень р, а
это противоречит мин. мн-ну р. Если р-мин.мн-н числа   Alg F, то deg р наз. стененью
самого алг.числа  ; deg  = deg р(х). Понятие расширения поля: F  С-числ.поле(
мин.числовое поле это Q). Пусть F и S два числ.поля , F  S, Fназ.подполем поля S, Sнадполем поля F или расширением поля F. Пусть F числ.поле ,   С. Простым
расширением поля F с помощью числа  наз.такое его (F) расширение F(  ) , кот.
удовлетворяет след требованиям :1) F  F(  ); 2)   F(  ); 3) F(  ) минимально с
условиями 1)и 2) . Составным расширением числового поля F с помощью чисел  1,…,
 n наз. числовое поле F(  1,…,  n) удовлетворяющее условиям : 1)  1,…,  n  F(  1,…,  n); 2)
F  F(  1,…,  n); 3) F(  1,…,  n) минимально с условиями 1)и 2). Пусть  алг.число над
полем F. В этом случае простое расширение F(  ) наз. простым алг. расширением поля
f ( )
/ f,g  F(x)}. Эту формулу можно уточнить   Alg F  F(  )={h(x)/h
g ( )
f ( )
 F(  ). Пусть р  F [x]-мин. мн-н числа  . Т.к. g(  ) стоит в
F(x)}. Покажем, что 
g ( )
знаменателе , то g(  )  0   не явл.корнем мн-на g  р не делит g. Т.к. мн-н р не
приводимый, и р не делит g  (р,g )=1. Используя критерий взаимной простоты мн-нов ,
получаем , что для р и g сущ. такие u и v  F [x] (например из алг. евкл.) , что pu+gv=1.
F. F(  )= {
f ( ) f ( )u ( )
р(  )u(  )+g(  )v(  )=1, p(  )=0  g(  )v(  )=1;
g ( ) = g ( )v( ) =f(  )v(  )=h(  ) (  ) ;
h=fv. Переход от лев. части (  ) к правой называется освобождением от
иррациональности в знаменателе дроби.Алгоритм освобождения можно
f ( )
сформулировать так:1)берём дробь
; 2) находим мин мн-н р числа  ; 3) для р и g
g ( )
ищем мн-н v удовл. вместе с u соотношению:pu+gv=1; 4)Совершаем преобразование (  ).
Формулу, задающую строение алг. расширения F(  )={h(x)/h F(x)} ещё уточнить: F(  )=
n 1
{  ai  i|ai  F}.Пример освоб. от иррац.:
i 0
3 3 2
3
4  2 2 1
3
; 1) 
= 3 2 ; g(  )= 3 4  23 2  1 ; g(x)=x2+2x+1; 2) p(x)=x3-2; (р(х),g(x))=1;
1=р(х)u(x)+g(x)v(x); 1=р(  )u(  )+g(  )v(  ); р(  )=0  1= g(  )v(  );
р( х)
=
g ( x)
g ( x)
х3  2
(делим столбиком) получаем р(х)=g(x)(x-2)+3x; затем
также столбиком,
2
3x
х  2х  1
1
2
1
2
получаем: g(x)=3x( x+ )+1; 1= g(x)-3x( x+ ), а 3х=р(х)-g(x)(x-2) подставляем:
3
3
3
3
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1=g(x)-( p(x)-g(x)(x-2))*( x+ )=g(x)-p(x)* ( x+ )+g(x)(x-2)( x+ )=g(x)(1+ x2+ x- x3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
)+p(x)(- x- )=g(x)( x2- )+p(x) (- x- ); 1= g(  )(  2- )+p(  ) (-  - );
3
3
3
3 3
3
3 3
3
3
3
3
3
4 1
4 1
1
2
1=g(  )( - )+p(  )(- 2 - ); 1= g(  )( - );
3
3 3
3 3
3
3
4 1
(3  3 2 )(
 )
3
3
4 1
3 2
3
3 3
 ).
=(3+
2 )(
=
3
3
3
3
4
1
4  23 2  1 3
( 4  23 2  1)(
 )
3 3
11а Построение кольца мн-нов от неск. переменных над полем F.
Пусть А-область истинности. Над этим кольцом мы строим кольцо мн-нов от одной
неизвестной х1. R[x1] ={anx1+…+a1x1+a0| a0,a1,…,an  R, n  N}, R[x]- область целостности и
над этим кольцом можно построить кольцо мн-нов от неизвестной х2.
(R[x1])[x2]={an(x1)x n2 +…+a1(x1)x2+a0(x1) | ai(x1) R[x1], n  N}. Вновь построенное кольцо
обозначим R[x1,x2] . Элементами кольца R[x1,x2] явл. суммы слагаемых, каждый из
которых представляет собой произведение элемента из исходного кольца R на степени
неизвестных х1,х2: аi1i2xi1xi2. Далее над кольцом R[x1,x2] можно построить кольцо мн-нов
от неизвестной х3. Таким образом, получим кольцо от трёх неизвестных R[x1,x2,х3] и т.д.
Для  n  N фиксированного мы по этой же схеме построим кольцо мн-нов от n
неиэвестных R[x1,x2,…,хn], каждый элемент которого f(x1,x2,…,хn) R[x1,x2,…,хn]. Мн-н от
n неизвестных представляет собой сумму слагаемых вида аi1….inxi1 … xin (1) аi1….in R,
i1…in  N= {0,1,2,…,n}; коэффициент аi1….in наз. Коэффициентом слагаемого (1), само
слагаемое (1) наз. членом мн-на f, взятое само по себе отдельно слагаемое (1) наз.
мономом. Любой мн-н f  R[x1,x2,…,хn] представляет собой некоторую сумму мн-нов
вида (1). В кольце R[x1,x2,…,хn] обычным образом проводиться сложение и умножение
многочленов. Степень многочлена: Пусть дан произвольный моном (1) из кольца
R[x1,x2,…,хn], обозначим m. Степень монома m относительно неизвестной хк определяется
следующим образом: degXk m=ik (2). Степенью монома m относительно савокупности
n
всех неизвестных или простостепенью монома наз. deg m =  degXk m=i1+…+in (3)
k 1
Пример: m= x x  R[x1,x2,х3], m= x x x , degX2 m = 0, deg m= 6.
Пусть f  R[x1,x2,…,хn], f  0, степенью мн-на f относительно неизвестной хk наз.
максимальную из степеней его мономов по савокупности всех неизвестных. Из
формул (2) и (3) можно заметить, что  f,g  R[x1,x2,…,хn], f,g  o.
Степень произведения degXk (f*g)= degXk f +degXk g и deg (f*g)= deg f + deg g.
Теорема: Если R – поле , то R[x1,x2,…,хn] факториально (любое кольцо мн-нов
фактоориально ). Будучи факториальным , оно также являеться кольцом главных идеалов.
Заметим, что при определении степени монома коэффициент монома в этом не
участвовал, поэтому в дальнейшем (для краткости) будем рассматривать мономы с
единичными коэффициентами. Пусть имеются два монома от одних и тех же
неизвестных m= x 1i1 …x inn , n=x 1j1 …x nj n . Говорят, что моном m ниже n ( n выше m ) ,
если для некоторого к= 1, n , i1=j1, …. ik-1=jk-1, …,ik<jk.
Теорема: пусть имеются три монома m,n,l l=x 1l1 …x lnn . Если M<N и N<L, то M<L (
отношение «ниже» транзитивно ) . Это утверждение говорит, что все мономы
относительно одних и тех же неизвестных можно линейно упорядочить по высоте,
распологая их в сторону повышения. Следовательно если мы возьмём ? ненул. мн-н
f  R[x1, …,xn], f  0 , то он имееет некоторое число мономов и все их можно линейно
упорядочить по высоте. Мы можем выписать их начиная с самого высокого (по степени
убывания)(можно постепени возрастания). Такой способ записи мн-на f (упорядочивание
записи его членов) наз. лексикографическим (словарным) расположением членов мн-на.
Самый высокий член мн-на наз. его высшим членом( обозн. h(f)).
Действие подстановкой на мн-н. Подстановкой мн-ва Х наз. любое биективное
2
1
4
3
2
1
отображение мн-ва Х на себя.  ( ро) =(
0
2
4
3
1
f (1)
2
...
f (2) ...
1 2 ... n
n
);  n  =(
),  (k)=ik.
f ( n)
i1 i2 ... in
Пусть f – произвольный мн-н от n неизвестных,  -произвольная подстановка.
f  R[x1, …,xn], f  0,   Sn. Определим действие подстановки на мн-н следующим
образом:  ( f( x1),…f(xn))=f (X  (1),…, X  ((n)).
Пример: f= 3x 12 x2-2x1x2x 34 +x2x 33 ,  =(
1 2 3
),  (f)= 3x 32 x2-2x3x2x 14 +x2x 13 =3 x2x 32 -2x 14 x2
3 2 1
x3+x 13 x2  f. Многочлен f  R[x1, …,xn] наз. симметрическим , если  Sn,  (f)=f.
Пример: f= x 12 +x 22 +…+ x 2n ,  Sn,  (f)=f.
Теорема о высшем члене симметрического мн-на: Пусть f- симметр. мн-н от n
неизвестных, тогда h(f)=ax 1i1 x i22 …x inn , i1  i2  …  in. Следующие n мн-нов от n неизвестных
носят название основных элементарных симметрический мн-нов (О.Э.С.М).
 1 =х1+…+хn , h(  1 )=x1 ;  2 = x1x2+x1x3+…+x1xn+…+xn-1xn , h(  2 )=x1x2 ; …….;
 k =x1x2…xk+x1x2…xn-1xk+1+…+xn-k+1…xn , h(  k )=x1...xk ; ……. ;  n =x1…xn .
Cумма и произведение симметр. мн-нов –симм. мн-н (следует из определения). Если
рассмотреть  ( ро) (  1 …  n ), где роль неизвестного выполняет ОЭСМ, а затем в нём
вместо ОЭСМ подставить их выражения через х1…хn , то получим симметр. мн-н
f(х1…хn) .  (  1 …  n )=f(х1…хn) – симметр. по х1,…,хn. Также имеет место обратное
утверждение : если f  R[x1, …,xn] – произвольный симм. мн-н , то можно подобрать
такой   R[  1 …  n ] (вовсе не обязательно симметрический), где  i -ОЭСМ, что
f(х1…хn)=  (  1 …  n ). Это утверждение наз.основной теоремой о симметрических мннах . Представление f через ОЭСМ производится единственным образом.
Алгебраически замкнутые поля: рассм. F[x]- кольцо мн-нов от одной неизвестной
f= аnxn+ …+ а1х+а0  F[x],  F наз. корнем мн-на f. Если f(  )=аn  n+ …+ а1  +а0=0
Поле F наз. алгебраически замкнутым, если любой ненулевой элемент мн-на f  F[x]
степени >0 имеет в поле F хотя бы один корень. Пример: R, f= x2+1  R[x], R не явл.
алгебраически замкнутым. Критерий алг. замкнутости поля: следующие условия
попарно эквивалентны между собой: 1) поле F алг.замкнуто; 2) над полем F ( в кольце
F[x]) неприводимы лишь мн-ны первой степени; 3) любой многочлен f F[x], degf>0
имеет в поле F ровно deg f корней , считая и их кратности ( скаляр  F наз sкратным корнем мн-на f в F[x], если (х-  )s делит f и ( х-  )s+1 не делит f.
Теорема Виета: пусть F – алг.замкнутое поле , f  F[x], deg f>0. Согласно критерию у f в
поле F имеется ровно deg f =n  N корней , среди которых могут быть и кратные . Пусть f
нормированный ( старший коэффициентравен 1). Если мы обозначим через  1,….  F
все корни мн-на f(среди которых м/быть и кратные), то f=xn +an-1xn-1+…+ax+a0= (х-  1)
(х-  2) … (х-  n) (  ) выполнение в (  ) указанных действия и приравнивая после этого
коэффициенты при соответственных степенях х мы получим:
аn-1=-(  1+  2+…+  n)=-  1 (  1,  2,…,  n)
аn-2=  1  2+  1  3+…+  1  n+…+  n-1  n=  2 (  1,  2,…,  n)
…..
an-k=(-1)k  k (  1,  2,…,  n)
…..
a0=an-n=(-1)n  n (  1,  2,…,  n). Эти формулы наз. формулами Виета Они связывают
коэффициенты унитарного мн-на с его корнями в алгебраически замкнутом поле.
11г Система аксиом Вейля:
Обозн. Т-мн-во всех систем  ={  1,  2,…,  n}, котю обладают свойствами А1, А2, …,Аt
(1)
Если мн-во Т  Ø , то говорят , что элемент  Т определяет структуру рода Т. Св-ва (1)
кот. обладает отношение систем  , наз. аксиомами структуры рода Т. Если отношение
 определены на тройке мн-в E,F,G, то их наз. базой структуры рода Т. Теория
структур рода Т- это мн-во теорем каждая из которых явл. логическим следствием из
аксиом , которые определяют структуру рода Т . Систему аксиом (1) наз.
непротиворечивой, если сущ. база , на кот. можно задать рассматриваемую структуру .
Если мы нашли мн-во М , на кот. всем отношениям  1,  2,…,  к можно придать
конкретный смысл , причём , при этом выполняются все аксиомы А1, А2, …,Аt , то говорят
,что построена интерпретация данной системы аксиом. Само мн-во М наз. моделью
структуры рода Т. Систему аксиом наз. содержательно непротиворечивой, если можно
построить интерпретацию данной системы аксиом. Система аксиом наз. внутренне
непротиворечивой, если из неё нельзя логическим путём вывести два утверждения , одно
из которых явл. отрицанием другого. Аксиомы А наз. зависимой от остальных аксиом
системы  , если люб. интерпретация системы  ’ явл. интерпретацией и сист.  , где
 ’=  \{A}. Система аксиом  наз. неполной , если сущ. такая аксиома А, что вып.
условия: 1)? 2) аксиома А не завис. от аксиом  ; 3) система аксиом  \ {A}
непротиворечива ; Акс. теор. наз. категоричной, если любые две её модели изоморфны.
Модели m’ и m’’ наз. изоморфными , если сущ. биекция f : m’  m’’, что она сохр. все
отнош. м/д элементами.
Схема Вейля структуры Евклидова пространства: база этой структуры состоит из трёх
множеств: Е- собственно Евклидово прост-во; R – мн-во вещественных чисел; Е векторное прост-во над полем R; Е- основной элемент базы.
Акс. структ.евклид. пр-ва :
1)Аксиомы векторного пр-ва .
А: о. задано отображение +: Е  Е  Е ( + обозн. ( х , у )= х + у )
1. (  х , у  Е ) х + у = у + х ;
2. (  х , у , z  Е ) ( х + у )+ z = х +( у + z )
3. (  0  Е )(  х  Е ) х + 0 = 0 + х = х
4.(  х  Е ) (  х ’  Е ) х + х ’= х ’+ х = 0
B: о. задано отображение  : R  Е  Е (  обозн. (  х )=  х =  х)
1. (  х  Е ) 1  х = х
2. (   ,   R) (  х  Е )  (  х )=(   ) х
C: 1. (   ,   R)(  х  Е ) (  +  ) х =  х +  х
2. (    R) (  х , у  Е )  ( х + у )=  х +  у
2) Аксиомы размерности. 1) сущ. три л.н.з. вектора; 2) любые четыре вектора л.з. ;
dim E=3
3) Аксиомы скалярного произведения: отоб. g: Е  Е  R (обозн. g( х , у )=( х , у )= х у )
1.(  х , у , z  Е ) х у = у х
2. билинейность скал. произ-я: (  х , у , z  Е )(   ,   R) ((  х +  у ), z )=  ( х , z )+  ( у , z ),
( х ,  у +  z )=  ( х , у )+  ( х , z )
3. (  х  0 ) х х >0 (положит. определ)
4) Собственно аксиомы Вейля: о.  : Е  Е  Е (обозн.  (А,В)=АВ
1. (  А  Е) (  х  Е ) (  !В Е) АВ = х
2. (  А,В,С  Е) АВ + ВС = АС
Аксиомы групп 1, 2,3 –аксиомы евкл. векторного прост-ва; аксиомы 1,2,4 – аксиомы
собственно евклидового простр-ва; Е - ?
(Е, Е ,R, +,  , g,  , 0)-(обозн) структура евклид.пространства Е.
Теорема: Структура евклидового пространства в схеме Вейля непротиворечива, если
непротиворечивы арифм. действ. чисел. Док-во: мы можем док-ть только содержательную
непротиворечивость . Для этого достаточно построить модель аксиоматической теории , в
качестве мн-ва Е выб. мн-во упорядоченных четвёрок вида: Е= { (x1,x2,x3,1)| xi R}
Е ={( x1,x2,x3,0)| xi  R}. Проинтерпретируем все операции: х = (x1,x2,x3,0); у =(y1,y2,y3,0)
х + у = (x1+y1,x2+y2,x3+y3,0);  х = (  x1,  x2,  x3,0) ; 0 =(0,0,0,0) A(a1,a2,a3,1) B(b1,b2,b3,1)
АВ =  (A,B)= (b1-a1,b2-a2,b3-a3,0); Проверим выполнимость аксиом: для аксиом 1группы ?
явл. аналогичные св-ва для мн-ва R; Аксиомы 2 группы:
1) е1 =(1,0,0,0), е2 =(0,1,0,0), е 3 =(0,0,1,0) { е1 , е2 , е 3 }-л.н.з.
2) х =(x1,x2,x3,0), у = (y1,y2,y3,0), z =(z1,z2,z3,0), u =(u1,u2,u3,0), покажем rang{ х , у , z , u }<4
x1
y1
z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
0
0
=0 ранг меньше числа векторов  система векторов л.з.
0
u1
u2
u3
0
Аксиомы 3 группы: 1) по свойствам умножения действ. чисел ; 2) проверить
непосредственным подсчётом( сводится к св-вам операций во мн-ве R)
3) возьмём x  0 , x =(x1,x2,x3,0), x12+x22+ x32  0 , x x = x12+x22+ x32  0, ( x  0 ) – вып-но
Аксиомы 4 группы: Зададим любую точку А (a1,a2,a3,1) и произвольный вектор
x ( x1,x2,x3,1) , покажем, что  !В, что АВ = x .
Существование: выберем точку В (a1+х1,a2+х2,a3+х3,1), найдём вектор АВ =( x1,x2,x3,0)= x
Единственность: допустим сущ. С(с1,с2,с3,1) такая, что АС = x (1) ; АС =( с1-а1,с2-а2,с3-а3,0)
с1-а1=x1
c1=x1+a1
(1)  { с2-а2=x2  {c2=x2+a2  C=B
с3-а3=x3
c3=x3+a3
Докажем, (  А,В,С  Е) АВ + ВС = АС . Зададим А=(a1,a2,a3,1), В=(b1,b2,b3, 1), С=(с1,с2,с3,1)
Найдём векторы АВ , ВС , АС . АВ =( b1-a1,b2-a2,b3-a3,0), ВС =( с1-b1,с2-b2,с3-b3,0),
АС =( с1-a1,с2-a2,с3-a3,0), АВ + ВС =( с1-a1,с2-a2,с3-a3,0)= АС
При построениии модели мы сущ. опирались на арифметику действительных чисел
.Поэтому если арифметика действ. чисел непротиворечива , то непротиворечива и
структура евкл. прост-ва в схеме Вейля.
Теорема 2: структура евкл. прст-ва в схеме Вейля явл. содержательно полной.
Определение прямой в схеме Вейля: m0, а
d={m E3| m0 m =t а , t  R} в качестве m0 может быть выбрана любая точка на прямой
 А  В d={m  E3| Am =t AB }, t  R
Определение плоскости в схеме Вейля: m0, a1 , a 2 , a1 не коллинеарен a 2 .
 ={m  E2 | m0 m =t a1 +p a 2 , t,p  R} , k   , m0 k . Точку в определении можно выбирать
произвольно в плоскости  , а векторы a1 и a 2 любым базисом. А,В,С не коллинеарны,
 ={m E3 | t АВ +p АС , t,p  R}. Говорят что точка m лежит между точками А и В
 (А, m, В), если Am =t AB , t  (0,1)
Теорема 3:  (А, m, В)=  (В, m, А), Am =t AB , t (0,1),
Вm = BA  Am = BA -t BA = (1-t) BA ; Вm =(1-t) BA ; (1-t)  (0,1)   (B,m,A) t  (0,1)
Определение отрезка: [AB]={{AB}  {m E3|  (А, m, В)}},
[AB]=[BA]-равные фигуры.
Определения луча: [AB)=[AB]  {m E3|  (А, В,m)}. Причём выбор точки не
существенен. На всякой прямой существует два и только два луча , исходящие из
произвольной точки этой прямой.
Основные теоремы о прямых и плоскостях:
1) Ч/з любые две точки проходит единственная прямая; 2) Ч/з любые три точки
проходит одна и только одна плоскость ; 3)Если две различные точки прямой
принадлежат плоскости , то всякие точки прямой принадлежат плоскости; 4)Если две
различные плоскости имеют общую точку , то они имеют и общую прямую , которой
принадлежат все общие точки этих плоскостей; 5) Из трёх точек прямой одна и
только одна лежит между двумя другими; 6) Всякая прямая d плоскости  разбивает
мн-во точек  \d на два подмножества :  + и  -; (  +  d) и (  -  d) –
полуплоскости с границой d.
Г=[OA)  [OB); Г разбивает  \Г на две части  ' и  '' ;  ’  Г и  ''  Г - углы (ОАВ)
[OA)=[OB)- два угла один ? другой полн.
Фигура- непустое множество точек
Теорема1: Пусть дан луч [OX) и  0- полуплоскость с границей (ОХ) и луч [O’X’) и
 ’ – полуплоскость c границей (O’X’). Тогда сущ. единственное движение
переводящее луч [OX) в [O’X’) и полуплоскоть  в  ’.
Теорема2: Дан луч [OX) и отрезок [AB]. Сущ. единственная точка В’ на [OX), что
[OB’]=[AB]. Следствие: Если [OB’]=[AB] и движение переводит луч [AB)в луч
[OB’), то это движение отрезок [AB] в отрезок [OB’].
Теорема 3:Пусть на плоскости дан выпуклый угол ВАС и полуплоскость  0 с
границей АВ и луч О’X’ ? (  ![O’Y’]   ’)  X’O’Y’=  ВАС
Док-во т.2 ортопед. R’=(O’,A1’, A2’),
A1’  (0,x)
R=(A,A1,A2)
A1  [AB)
f(R)=R’, A  0
A1  A1’
f
[AB) 
[OX)
’
B =f(B)  [OX), f([AB])=[OB’]  [OB’]=[AB]
B(b,0)R  B’(b,0)R’
Единственность: g(R)=R’’, R’’=(O, A1’, A2”)
Движение: g:A  0, A1  A1’
[AB)  [OX)
B(b,0)R g(B)= (b,0)R’’ g(B)=B’  B’-единственный.
9м Тригонометрические функции:
a n 1
z2
(1) n1 z 2 n 2 (2n)!
(1) n z 2 n
lim
lim
Рассм. ряд 
; n
= n
=0<1  Ряд
 lim
an
2n!
(1) n (2n  2)! z 2 n n   (2n  1)( 2n  2)
n 0

абсолютно сходится в С, а т.к. ряд абсолютно сх-ся в С, то в С у него есть сумма , которая
(1) n z 2 n
2n!
n 0
2
4
z
z
(1) n z 2 n
cos z=1+  ... 
+…,z  C,
2! 4!
(2n)!

наз.cos z; cos z= 
обл. опред. С
1
(1) n z 2 n
z3 z5
(1) n z 2n1
sin z= 
, z  C, sin z=z-   ... 
3! 5!
(2n  1)!
n  0 ( 2n  1)!

(1) n x 2 n
cos 0=1, z=x  R  cos x= 
2n!
n 0

(1) n x 2 n1

sin 0=0, z=x R  sin x = 
n 0 (2n  1)!

cos z(sin z)-аналит. продолжим cos x(sin x) c вещественной оси R на всю плоскость.
Свойства:
1) cos(-z)=cos z- функция чётная, sin(-z)=-sin z-функция нечётная
2) cos z, sin z-однозначные функции
3) cos z, sin z неприводимы в С
4) cos z, sin z- диффер-мы в С, бесконечно диффер-мы в С
5) cos z, sin z-аналитические в С
(cos z)’=0- 2 z  4 z  ...  (1)2nz
3
2!
4!
2 n 1
(2n)!

(1) n1 (2n  2) z 2n1
z3
(1) n z 2n1 (1) n1 z 2n1
 ...  0  z   ... 

 ...   sin z ,z  C
(2n  2)!
3!
(2n  1)!
(2n  1)!
(sin z)’=cos z
6)cos(z+2  )=cos z cos 2  -sin z sin 2  =cos z
sin(z+2  )= sin zcos 2  +sin 2  cos z=sin z
2  -период синуса и косинуса в комплексной области
Функция синус в вещественной области:
x  R, sin x-значение тригонометрической функции угла, радианная мера которого равна х.
Лемма: (  х  R) sin x  x
Теорема1: Функции у=sin x и y=cos x- непрерывны на всей числовой оси.
Док-во: т.к. sin   1, cos   1( ) и в силу леммы
sin
x 1
 x ,
2
2
x
x
x
x
cos( x  )  x , cos( x  x)  cos x  2 sin
sin( x  )  x ,
2
2
2
2
следовательно, ∆х  0  sin(x+∆x)  0 и cos(x+∆x)  0  cos x, sin x- непрерывны.
x
x
Производная: 1)y=sin x, ∆y= sin(x+∆x)-sin x=2cos(x+ )sin
2
2
x
y
x
lim
 lim cos( x  )  lim sin 2  cos x , (sin x)’=cos x
x 0 x
x 0
x 0
x
2
2
x
x
2)y=cos x, ∆y=cos(x+∆x)-cos x= - 2 sin (x+ )sin( )
2
2
то sin( x  x)  sin x  2 sin
x
sin
y
x
2   sin x , (cos x)’=-sin x
lim
  lim sin( x  )  lim
x 0 x
x 0

x

0

x
2
2
Формула Эйлера: exp(iz)=cos z+isin z,  z  C
i2 z 2 i3z3 i4 z 4
i 2n z 2n i 2 n1 z 2 n1
z 2 iz 3 z 4 iz 5
(1) n z 2 n
exp z=1+iz+


 ... 

 ...  1  iz 



 ... 

2!
3!
4!
(2n)! (2n  1)!
2! 3! 4! 5!
(2n)!
(1) n iz 2 n1
 ...  (т.к. ряд абсол. сх-ся то мы можем переставить его члены и ?)=
(2n  1)!
z2 z4
(1) n z 2 n
z3 z5
(1) n z 2 n1
(1-   ... 
 ...) +i(z- 
 ... 
 ...) = cos z+ isin z
2! 4!
(2n)!
3! 5!
(2n  1)!
Если z=  (ро)  R, то cosi  +isin  =exp i  =eip (  )
exp(-iz)=cos(-z)+isin(-z)=cos z-isinz (  )
exp( iz )  exp( iz )
exp( iz )  exp( iz )
(  ), : cos z=
; sin z=
2
2
+
Теорема сложения: exp(iz)=cosz+isinz
exp(z1+z2)= exp z1+ exp z2- теорема сложения для экспонент
exp(i(z1+ z2))= cos(z1+ z2)+i(sin(z1+ z2))= exp(i z1) exp(i z2)=(cos z1+i sin z1)(cos z2+i sin z2)=
=(cos z1cos z2-sin z1sin z2)+i(sin z1cos z2+cos z1sin z2), т.е.
(1) cos(z1+ z2)+ i(sin(z1+ z2))= (cos z1cos z2-sin z1sin z2)+i(sin z1cos z2+cos z1sin z2)
подставим вместо z1 и z2 : (-z1) и (-z2), получим :
(2) cos(z1+ z2)- i(sin(z1+ z2))= (cos z1cos z2-sin z1sin z2)-i(sin z1cos z2+cos z1sin z2)
(1)+(2): cos(z1+ z2)= cos z1cos z2-sin z1sin z2
sin(z1+ z2)= sin z1cos z2+cos z1sin z2
Нули синуса и косинуса: cos z=0,
exp( iz )  exp( iz )
=0, т.к. exp iz  0 , exp2(iz)=1, exp2iz=-1,
2
2iz=2ix-2y, exp(2iz)=e-2yexp2ix=e-2y(cos2x+isin2x), -1=1(cos  +isin  )
e-2y=1
-2y=0
y=0
2x+2  k=  +2  m, k,m  Z


x=   (m  k )
2

x=  n , n Z
2
z=  k , k  Z
2
sin z=0,
exp( iz )  exp( iz )
=0, exp2iz=1, exp2iz=1, 2iz=2ix-2y,
2
exp(2iz)=e-2yexp2ix=e-2y(cos2x-isin2x), 1=1(cos0+i sin 0)
e-2y=1
2x+2  m=2  l, l  Z
2 (l  m)
, x=  k, k  Z
2
z=  k, k  Z
y=0, x=
Периодичность:
Функция sin z-периодична с периодом 2  k
a)sin z: C  C  (  T  C  0 )(  z  C)  z+T C
б)  t  C пусть sin (z+T)=sin z, т.к.  z, то возьмём z= 
sin(  +T)=sin  (=0)
 +T=  +  k, T=  k, k  Z  T  {  k}, k  Z
sin(z+  )=sin z cos  +cos z sin  =sin z (-1)+cos z 0=-sin z

-sin z  sin z, при z=  T=  не явл. периодом
2
sin (z+2  )=sin z cos 2  +cos z sin2  =sin z,  z  C
Неограниченность функции cos z.
Опр. (   >0) (  z0  C) cos z 0 >  функция неогран.
сosz 
exp iz  exp( iz )
exp(  y )  exp y
ey  e y
, возьмём z=iy, сosz 
=
2
2
2
ey  e y
ey  +  , e-y  0 ; y  +  
+ 
2
e
ey  e y
=+   (   >0) (  >0) (  y>  )
>
y 
2
2
(   >0)  z0=i ln 2 
e  ln 2  e ln 2 1   2
1
    >   cos z огр ?
=2
cos z 0 =
2
2
4
lim =
e
y
y
10м Дифференцирование функций одной переменной.
Пусть задана ф-ция f(x) определена на интервале (а,в), точка х0-фиксированая
у
x  (a,b) произвольная
f(x)
x-x0=∆x-приращение аргумента,
}∆f
f(x)-f(∆x)= ∆f(∆y)-приращение функции f(x) в
точке х0, соотв. приращен. ар. ∆х
f(x0)
f(x)= ∆f+f(x0)
Составим разностное отношение:
∆x
a
x0
x
b x
f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x0 )
f
=

x
x  x0
x
Если предел разностного отношения
f
при ∆х  0 сущ-ет, то он называется
x
производной функции f(x) в точке х0.
Примеры: 1)у=с, х0  R
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
cc
 lim
 lim
0
x 0 x
x 0
x 0 x
x
c’= lim
2) y=xn
n 1
n2
=n x0 x  cn x0
2
n 1
y
 n x0
x
 cn x0n 2
2
n 1
0
n2
0
n 1
n 1
с x x  c x x  ...  c x (x)  (x )  x
x  ...  c x (x)  (x)
x  ...  c x (x)  (x)  nx прих  0  ( x )'  nx
1
∆y=(x0+∆х)n-(x0)n=x0n+
n
n 1
2
n
2
n
n 1
n
0
n
0

n
0
n
n 1
n
2
n2
n 1
0
n
0
n
0
n 1
0
3) y=ax, x0  R
x
y a x0  x  a x0
x0 a  1

a
 (прих  0)a x0 ln a
x
x
x
(используем полезный предел
a x 1
 ln a ) ; (ax0)’=ax0lna
x 0
x
lim
4) y=sin x, x0  R
x
x
x
cos( x0  )
sin( )

x
2
2  cos( x  )
2  (прих  0)  cos x
0
0
x
x
2
2
sin x
1
(используя первый замечательный предел lim
x 0
x
у sin( x0  x)  sin( x0 )


x
x
2 sin
(sin x)’=сos x
5) y= logax, x>0, a>0,a  1 , -  <y<+  , x=a y , то
y0=logax0 ; (ay0)’=ay0lna= a
loga x0
dy
1
1
1
 ( logax)’=
 y

,
dx a ln a x ln a
dx
dy
ln a  x0lna ; (logax0)’=
1
1

y0
(a )' x 0 ln a
 
2 2
6)y=arcsin x Dy=[-1,1], x0  (-1,1) , x0=sin y0 [- ; ]
 
2 2
y0=arcsin x0  (- ; )
(sin y0)’=cos y0=  1  sin y 0 (т.к. cos y0>0 то знак +);
1  x02  0
По теореме о производной обр. функции: (arcsin x0)’=
x0=  1, y0= 
1
1

(sin y 0 )'
1  x02

 (sin y0)’=cos y0  ( arcsin x0)’=x
2
Таблица производных:
1) c’=0; 2) (xn)’=n xn-1 ;

( x )'  x
1
,   R ; 3)(ax)’=axlna, (ex)’=ex ;
1
1
1
, ( ln x)’= ; 5)(sin x)’= cos x; 6) (cos x)’=- sin x ; 7)(tg x)’=
;
x ln a
x
cos 2 x
1
1
1
8) (ctg x)’=; 9) (arcsin x)’=
; 10) (arccos x)’=;
2
2
sin x
1 x
1 x2
4)(logax)’=
1
1
; 12) (arcctg x)’=.
2
1 x
1 x2
Пусть у=f(x) определена на (a,b) , x0 (a,b)
11) (arctg x)’=
у=f(x) наз. дифференцируемой в т. х0, если ∆у =f(x0+ ∆х)-f(x0) (её приращение )
x0+ ∆х  (a,b) представимо в виде ∆у=А ∆х+0(∆х) при ∆х  0 , А –некот. константа не
зависимая от ∆х. Линейная функция А ∆х наз. дифференциалом ф-ции f в точке x0.
dy=A ∆х, ∆y=dy+0(∆х), ∆х  0 ; ∆х  
обознач
dx; dy=Adx
y
f(x)
y1
M1
y0
M2
a
x0
x1
b
x
Пусть у=f(x) определена на (а,b) x0  R
Предельное положение секущей при m1  m0 наз. касательной к графику функции f(x) в
точке М1.
Уравнение касательной: у=f ‘(x0)(x-x0)+y0 в точке m0(x0,y0)
Геометрический смысл производной состоит в том что значение производной ф-ции в
точке х0 совпадает с угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке m0.
f ‘(x0)=k=tg 
Механический смысл производной: lim
t 0
S
 средняя скорость на отр [t0,t0+ t ]
t
S
 мгновенная скорость в момент времени t0.
t
Свойства производной:
Пусть заданы ф-ции у=f(x) и y=g(x) и пусть  f ‘ (x0) и g’(x0). Тогда функции сf, f  g, fg
будут иметь производную в точке х0
g(x0)  0, то ф-ция f/g будет иметь производную в точке х0. При этом справедливы
равенства:
1)(сf(х0))’=c f ‘(х0)
2) ((f  g)( х0))’=f ‘(х0)  g’(х0)
3) ((fg)( х0))’=f ‘(х0)g(х0)+g’(х0)f(х0)
f ' ( x0 ) g ( x0 )  f ( x0 ) g ' ( x0 )
g 2 ( x0 )
f
g
Док-во: 1)  f ‘(х0) и g’(х0)   xlim
. Рассмотрим функцию у=сf(x), составим
,  lim
0  x
x  0  x
4)((f/g)( х0))’=
разностное отношение.
у сf ( x0  x)  cf ( x0 ) cf


 (прих  0)  сf ' ( x0 )
x
x
x
2) y=(f+g)(x)
y ( f  g )( x0  x)  ( f  g )( x0 ) ( f ( x0  x)  f ( x0 ))  ( g ( x0  x)  g ( x0 )) f  g f g






x
x
x
x
x x
 f ‘(х0)+ g’(х0).
3) y=(fg)(x)
у ( fg)( x0  x)  ( fg)( x0 ) f ( x0  x) g ( x0  x)  f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0  x) g ( x0  x)  f ( x0  x) g ( x0 ) 



x
x
x
x
 f ( x0  x) g ( x0 )  f ( x0 ) g ( x0 )
g ( x0  x)  g ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
 f ( x0  x)
 g ( x0 )

x
x
x
g
f
= f ( x0  x)  g ( x0 )  (прих  0)  f ‘(х0) g(х0)+ f (х0) g’(х0).
x
x
lim у  (,) , то говорят , что при
Если для некоторого значения х0 сущ. пределы x
 0 x
х=х0 сущуствует бесконечная производная.
Связь между диф. и сущ-ем производной в точке:
Для того чтобы ф-ция f была диф-ма в некоторой точке х0, необх. и достаточно, чтобы она
имела в этой точке производную, при этом dy=f ‘(х0)dx.
Необходимое условие диф. ф-ции : Если ф-ция диф-ма в некоторой точке , то она и
непрерывна в этой точке.
Следствие: Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в
этой точке.
Док-во: Пусть f диф-ма в точке х0  у  Аx  0(x) при ∆х  0
lim ∆у=А lim ∆х+ lim 0(∆х)=0  f(x) непрерывна х=х0 ч.т.д.
x  0
x  0
x  0
lim f ( x)  f ( x0 )  a  R  lim ( f ( x)  f ( x0 )  a)  0, f ( x)  f ( x0 )  a   ( x0 , x)  бесконечно мало
x х
x х0
x  x0
0
x  x0
x  x0
при ∆х  0
f(x)=f(х0)+a(x-х0)+  ( х0, ∆x)(x-х0) перейдём к пределу
lim f(x)=f(х0)  ф-ция непрерывна в точке х0.
x х
0
Это необходимое условие не является достаточным , т.е. из непреррывности ф-ции не
следует существование производной или диф-ла функции.
Контрпример: f(x)= х - определена инепрерывна на R  непрерывна в точке х0=0
f ( x 0  x)  f ( x 0 ) x
f


 1, при ∆х>0 и -1, при ∆х<0
x
x
x
f
f
lim
 1, lim
 1 , так как односторонние пределы не совпадают , то предела не сущ. , а
x  0 x
x  0 x
значит, не сущуствует производная в точке 0.
Если х0>0,то f ‘(х0)=1
х0<0, то f ‘(х0)=-1
Доказательство теоремы о связи производной и дифференциала:
Необходимость: f диф-ма в т. х0  ∆f=A∆х+0(∆х), ∆х  0
0( х )
0( х )
0( х )
f
f lim
=A+
, перейдём к пределу lim
=
(А+
)= А+ lim
=А+0=А,т.е.
х
x

x  0
x
x  0
х
lim f =А   f ‘(х0)=A( производная сущ-ет и конечна)
x  0
x  0
х
x
lim f , lim ( f -f ‘(х0))=0= lim ( f  f ' ( x0 )x 
Достаточность:  f ‘(х0) R, f ‘(х0)= x
0
x  0
x  0
x
x
x
числитель есть 0 ? сравнимо со знаменателем.
∆f= f ‘(х0) ∆х+0(∆х)
f ‘(х0)=A, ∆f=A ∆х+0(∆х), ∆х  0  f- диф-ма в точке х0 ч.т.д.
df(х0)=Adx
Геометрический смысл диф-ла:
∆f=df(х0)+0(∆х)
f(x)=f(х0)+df(х0)+0(∆х)
f(x)=f(х0)+f ‘(х0)(x- х0)+0(x- х0)
y=f(х0)+f ‘(х0)(x- х0)- пренебрег. уравнением касательной
y-f(х0)=df(х0)-приращение ординаты касательной , т.е. диф-ал функции f в точке х0приращение ординаты касательной , соотв.приращ. ∆х переменной х.
? у
f(x)
df(x0) 0(∆х)
∆f
f(x0)
х0 ∆х x
x
Физический смысл диф-ла: d S(t0)=S’(t0) ∆t
Дифференциал –путь , который бы прошла точка за время ∆t , если бы двигалась с пост.
скоростью S’(t0).
Инвариантность (неизмен) формул. 1 диф:
т.е вид 1 диф. не зависит от того является ли х независимой переменной или функцией.
y=f(x), x- независ. переменная
dy= f ‘(х)dx, y=f(x), x=  (t), y=f(  (x)), dy=f ‘(  (t))  ’(t)dt, dx=  ’(t)dt, dy=f ‘(x)dx
Производная обратной функции:
Пусть ф-ция f непрер. и строго монотонна в некоторой окрестности т. х0 и сущ. f ‘(х0) R
Если f ‘(х0)  0 , то в соотв. точке y0=f(х0) сущ. конечная производная оьратной ф-ции
((f-1)y0)’=
1
.
f ' ( x0 )
Если f ‘(х0)=0 , то в т. у0 сущ. бесконечная производная обратной ф-ции (f-1)’(y0)= 
Производная сложной ф-ции:
Пусть ф-ция  имеет конечную производную в т. х0, а ф-ция f имеет конечную
производную в соотв. точке t0=  ( х0))
Тогда сложная ф-ция g=f   имеет конечную производную в т. х0 и справедливы
равенства: g’(х0)=f ‘(t0)  ’(х0)=f(  (х0))  ’(х0)(произведение внешней ф-ции с сохр.
аргументом и производной внутренней ф-ции)
Пример: у=arcsin 3x2, (arcsin 3x2)’=(arcsin 3x2)’( 3x2)’=
Производная степенно-показательной ф-ции:
y=u(x)v(x)
( u(x)v(x) )’= u(x)v(x)v’(x)ln u(x)+v(x)u(x)v(x)-1u’(x)
Пример: y=xx
u(x)=x, v(x)=x
(xx)’=xx 1lnx+xxx-11=xxlnx+xx=xx(lnx+1)
Формула Тейлора:
f ( n ) ( x0 )
f(x)=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)+…+
(x-x0)n+0((x-x0)n)
n!
1
1  (3 х )
2 2
6х 
6х
1  9х 4