Тема: Свойства функции y=cos x и её график. Цель: Образовательные: знать понятие функции косинуса, схему исследования функции y=cos x (её свойства), уметь строить график функции y=cos x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции. Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий. Воспитательные: воспитывать культуру поведения, отношений. Тип урока: урок изучения нового материала. Ход урока: 1.Организационный момент (2 мин). 2.Изучение нового материала. (25 мин) Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1. Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2, например на отрезке - х ; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же. Функция y = cos x является четной. Поэтому ее график симметричен относительно оси OY. Для построения графика на отрезке - х достаточно построить его для 0 х , а затем симметрично отразить относительно оси OY. Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0; и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY. х 0 п/6 п/4 п/3 п/2 2п/3 3п/4 5п/6 п y = cos x 1 1/2 0 -1/2 −√2/2 −√3/2 -1 √3/2 √2/2 Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2, 4 и т.д. вправо, на -2, -4 и т.д. влево, т.е. вообще на 2n, nZ. Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; . Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке 0; . Например, функция y = cos x возрастает на отрезке -; 0, так как она убывает на отрезке 0; и является четной. Перечислим основные свойства функции y = cos x. Для этого нужно вспомнить: Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; Какие функции называются периодическими и как найти период функции; Какие функции называются четными (нечетными); Когда функция возрастает (убывает); Как найти нули функции; Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения. 1. Область определения Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел. 2. Множество значений Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a| 1, и не имеет корней, если |a| > 1. Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1 у 1. 3. Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции. Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2)=sin x, cos(x + 2)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2. Такие функции называются периодическими с периодом 2. 4. Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат. Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат. 5. Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2). Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2). 6. Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее значения. Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные: нулю; положительные; отрицательные; наименьшее; наибольшее. необходимо решить: уравнение cos x = 0; неравенство cos x > 0; неравенство cos x < 0; уравнение cos x = -1; уравнение cos x = 1; Итак, запишем все свойства функции y = cos x: Область определения: D(f): х R; Множество значений: у [-1;1]; Периодичность: Т = 2; Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат; Функция возрастает при: +2n x 2(n+1), nZ; Функция убывает при: n x + 2n, n Z. Функция принимает значения: Равные нулю при х=/2+n, nZ; Положительные при -/2+2n x /2+2n, nZ; Отрицательные при /2+2n x 3/2+2n, nZ; Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n Z; Наименьшее, равное –1, при x = + 2n, n Z. 3. Закрепление изученного. Работа по учебнику.(12 мин) № 708- устно; №709-устно; №710 (1,3); №712(1,3); № 715, 718- работа в парах. 4. Домашнее задание.(3 мин) № 710 (2,4); №712 (2,4) п.41 5. Итог урока. (3мин) Тема: Самостоятельная работа по теме: «Свойства функции y=cos x и её график.» Цель: Образовательные систематизировать знания по данной теме, выработать умение исследования функции y=cos x (её свойства), строить график функции y=cos x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции. Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий различного уровня сложности. Воспитательные: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу. Оборудование:доска, мел, линейка, карточки – задания для индивидуальной работы, наглядность. Ход урока: 1.Организационный момент (2 мин). 2.Самостоятельная работа по карточкам.(15 мин) 3. Решение заданий (20мин) № 711 (1,2,3,4)-устно; №711 (5,6)- под диктовку; № 713 (1,3),№714 (1,3,5)на доске; №716-самостоятельно по вариантам. 4. Домашнее задание (3 мин). 5.Подведение итогов.(5 мин): самооценка знаний и умений. Тема: Свойства функции y=sin x и её график. Цель: Образовательные: знать понятие функции синуса, схему исследования функции y=sin x (её свойства), уметь строить график функции y=sin x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции. Развивающие: развивать логическое мышление, умение анализировать, обобщать полученные знания. Воспитательные: воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.. Тип урока: урок изучения нового материала. Ход урока: 1.Организационный момент (2 мин). 2.Изучение нового материала. (15 мин) График этой функции можно построить таким же способом, как и график функции y=cosx, начиная с построения, например, на отрезке [0;π]. Однако проще применить формулу sinx=cos(x−π2), которая показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на π2 Кривая, являющаяся графиком функции y=sinx, называется синусоидой. Свойства функции y=sinx 1. Область определения - множество R всех действительных чисел. 2. Множество значений - отрезок [−1;1] 3. Функция y=sinx периодическая с периодом T = 2π 4. Функция y=sinx- нечётная. 5. Функция y=sinx принимает - значение, равное 0, при x=πn,n∈Z - наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z - наименьшее значение, равное - 1, при x=−π2+2πn,n∈Z - положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z - отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z 6. Функция y=sinx - возрастает на отрезке [−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z - убывает на отрезке [π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z 3.Закрепление изученного материала. (20 мин) 4.Домашнее задание(3мин): №722 (2,4) №726 (2,4) 5.Итог урока. Рефлексия(3мин) Тема: Самостоятельная работа по теме: «Свойства функции y=sin x и её график.» Цель: Образовательные систематизировать знания по данной теме, выработать умение исследования функции y=sin x (её свойства), строить график функции y=sin x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значение функции. Развивающие: развить самостоятельность в выполнении заданий различного уровня сложности. Воспитательные: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу. Оборудование: доска, мел, линейка. Ход урока: 1.Организационный момент (2 мин). 2.Самостоятельная работа по учебнику.(25 мин) № 724, 725,727,728,730 по вариантам. 3. Решение заданий (10мин) 4. Домашнее задание (3 мин). 5.Подведение итогов.(5 мин): самооценка знаний и умений. Тема: Свойства функции y=tg x и её график. Цель: Образовательные: знать понятие функции , схему исследования функции y=tg x (её свойства), уметь строить график функции y=tg x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение функции. Развивающие: содействовать развитию организованности памяти, творческого мышления, логического мышления, устной и письменной математической речи, познавательного интереса, интереса к математике, развивать и формировать навыки общения, работы в группе Воспитательные: способствовать воспитанию ответственности, самокритичности, аккуратности, трудолюбия, внимания, активности, организованности; Тип урока: урок изучения нового материала. Ход урока: 1.Организационный момент (2 мин). 2.Актуализация опорных знаний.(8мин) Диктант графический. Выполняется на листочках и сдаётся. (Если вы согласны с утверждением, то ставите , если нет, то v) 1 вариант. 1. Областью определения функции у= является промежуток 2. Область значения функции у=sin x является открытый луч (0; +∞) 3. Период функции у=sin x Т = 2π. 4. Функция у=sin x нечётная. 5. Максимальное значение функции у=sin x равно 1. Ответ: 2 вариант. 1. Область определения функции у = является промежуток (-∞ ; +∞ ). 2. 3. 4. 5. Область значений функции у =cos x является отрезок [-1;1]. Период функции у =cos x Т = π. Функция у =cos нечётная. Минимальное значение функции у =cos x равно -1. Ответ: 3.Объяснение нового материала. (15 мин) Кривая, которая называется тангенсоидой. Тангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = tg x. 1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ. 2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего. 3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат). 4) Функция у = tg x периодична с периодом π. 5) В интервалах nπ < х < π/2 + nπ функция у = tg х положительна, а в интервалах — π/2 + nπ< х < nπ отрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x. 6) В интервалах — π/2 + nπ < х < π/2 + nπ функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей. Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4 интервал, соединяющий . Это объясняется тем, что в точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена. **************** Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться тождеством ctg x = — tg (x + π/2) Оно указывает на следующий порядок построения графика: 1) тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2; 2) полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс. В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой. 4.Решение задач.(15мин). № 733(у), №734(у), №735(у), №736(1,3)- с учителем на доске № 739(1,2), №745- самостоятельно. 5. Домашнее задание(2 мин): №736(2,4), №742 6.Итог урока(3мин)