3) при адиабатическом процессе (dQ=0)

С. Д. Б А Т О Р О В А, С. Р. С А М Б У Е В А, Д. Г. Д А М Д И Н О В
Механика. Молекулярная физика и термодинамика.
Методические указания и задания
для самостоятельной работы студентов
инженерных специальностей
Улан-Удэ
2007
3
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГОУ ВПО «Бурятская государственная
сельскохозяйственная академия им. В.Р. Филиппова»
С. Д. Б А Т О Р О В А, С. Р. С А М Б У Е В А, Д. Г. Д А М Д И Н О В
Механика. Молекулярная физика и термодинамика.
Методические указания и задания для самостоятельной
работы студентов инженерных специальностей
Методическое пособие
Улан-Удэ
Издательство БГСХА им. В.Р. Филиппова
2007
4
УДК 53(07)
Б 274
Печатается по решению методического совета Бурятской
государственной сельскохозяйственной академии имени В.Р. Филиппова
Рецензенты: Д.С. Сандитов – профессор Бурятского государственного
университета, д.ф-м. н.;
И.Б. Шагдыров – доцент кафедры «Механизация
сельскохозяйственного производства», к.т. н.
Составитель:
Баторова С.Д., Самбуева С.Р., Дамдинов Д.Г.
Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Методические
указания и задания для самостоятельной работы студентов инженерных
специальностей. С.Д. Баторова, С.Р. Самбуева, Д.Г. Дамдинов.: - Улан-Удэ:
Издательство Бурятской ГСХА им. В. Р. Филиппова, 2007. – 85 с.
Данное методическое пособие составлено в соответствии с программой
курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных
заведений и имеет цель – оказать помощь студентам при самостоятельном
решении задач. В пособии, состоящем из двух разделов, приведены основные
законы и формулы, методические указания, примеры решения типовых задач и
самостоятельные задания по основным разделам физики, а также рабочая
программа.
© Баторова С. Д., Самбуева С.Р.,
Дамдинов Д.Г., 2007
© Бурятская государственная
сельскохозяйственная академия, 2007
5
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И
ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
В процессе изучения физики очень большое значение имеет решение
задач, так как оно позволяет закрепить теоретический материал курса,
разобраться в различных законах физики и границах их применения,
способствует запоминанию основных физических законов. Кроме того, при
этом развиваются навыки использования законов для выяснения конкретных
практических вопросов. Выработанные у студентов навыки и приемы решения
задач по физике позволяют в дальнейшем решать инженерные задачи. Таким
образом, решение задач в самостоятельных работах является проверкой
степени усвоения студентами теоретического материала и может служить
критерием знания курса физики.
В соответствии с учебным планом студенты должны выполнить
следующие шесть самостоятельных работ: 1 – физические основы механики; 2
– молекулярная физика, термодинамика; 3 – электростатика, постоянный ток; 4
– электромагнетизм, колебания и волны; 5 – волновая оптика, квантовая
природа излучения; 6 – элементы атомной и ядерной физики, элементы физики
твердого тела.
Каждая работа включает семь или восемь задач, определяемых по
таблице вариантов. Перед выполнением заданий необходимо внимательно
ознакомиться с теорией, основными законами и формулами, методическими
указаниями, примерами решения задач по данной самостоятельной работе. При
выполнении работ следует придерживаться следующих общих правил.
1. На титульном листе должны быть указаны номер самостоятельной работы и
соответствующий раздел физики; группа, фамилия и инициалы студента,
вариант.
2. Работу следует выполнять аккуратно, оставляя поля для замечаний
преподавателя. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать
условие.
6
3. Вначале студент должен хорошо понять содержание задачи и поставленные
вопросы, выяснить ее термины. Привести краткую запись условия, при этом
данные величины перевести в единицы системы СИ.
4. Проанализировать условие задачи, выяснить физические явления, построить
при необходимости схему или чертеж. Подумать, какие упрощающие
предположения
облегчают
решения
(пренебрежение
силой
трения,
сопротивлением воздуха, вязкостью жидкости; учет постоянства сил и т.д.).
5.
Построить
аналитическую
и
синтетическую
цепь
рассуждений.
Большинство задач решают аналитическо-синтетическим методом. Но все же
предпочтительнее начинать решение ,,с конца”, то есть с анализа выражений, в
которые входит искомая величина. Составить уравнения или систему
уравнений, описывающих физические процессы. Решение и используемые
формулы должны сопровождаться краткими пояснениями.
6. Получить решение в общем виде, то есть выразить искомую величину в
буквенных обозначениях. При этом учесть, что если часть величин отсутствует
в условии, эти величины или сохранятся при выкладках, или их значение
следует найти в справочных таблицах. Однако иногда решение в общем виде
приводит к слишком громоздким выражениям, поэтому такую задачу решают в
числах.
7. Проверить размерность искомой величины по полученной формуле.
8. Подставить численные значения в полученную формулу и произвести
вычисления,
руководствуясь
правилами
приближенных
вычислений.
Окончательный ответ обычно записывается с тремя значащими цифрами.
Проверить физический смысл результата, его соответствие условию задачи и
реальности.
7
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ
Введение
Предмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипотеза,
эксперимент, теория. Роль физики в развитии техники и влияние техники на
развитие физики.
Физические основы классической механики
Механическое движение как простейшая форма движения материи.
Представление о свойствах пространства и времени. Преобразования Галилея.
Механический принцип относительности. Классический закон сложения
скоростей. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования
Лоренца. Понятие одновременности. Релятивистское изменение длин и
промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей.
Поступательное
движение
твердого
тела.
Закон
инерции
и
инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона. Центр масс (центр
инерции) механической системы и закон его движения. Закон сохранения
количества движения. Энергия как универсальная мера различных форм
движения и взаимодействия. Работа силы и ее выражение через криволинейный
интеграл. Закон сохранения энергии. Понятие о релятивистской динамике.
Основной
закон
релятивистской
динамики
материальной
точки.
Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и
энергии. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Границы
применимости классической механики.
Поле как форма материи, осуществляющая силовое взаимодействие
между частицами вещества. Потенциальное поле сил. Потенциальная энергия
материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей
на
материальную
точку.
Понятие
о
градиенте
скалярной
функции.
Напряженность, потенциал поля. Принцип суперпозиции. Закон сохранения
механической энергии и его связь с однородностью времени. Удар абсолютно
8
упругих и неупругих тел. Закон сохранения и превращения энергии как
проявление общих свойств материи и ее движения.
Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость и
угловое ускорение, их связь с линейными величинами. Момент силы. Момент
количества движения тела относительно неподвижной оси вращения. Момент
инерции тела относительно оси. Уравнение динамики вращательного движения
твердого
тела
относительно
неподвижной
оси.
Кинетическая
энергия
вращающегося тела. Работа при вращательном движении. Закон сохранения
момента импульса.
Основы молекулярной физики и термодинамики
Статистический
метод
исследования
и
его
связь
с
учением
диалектического материализма о соотношении случайности и необходимости.
Вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для
давления. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое
толкование
термодинамической
температуры.
Число
степеней
свободы
молекул. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы
молекул. Закон Максвелла для распределения молекулы идеального газа по
скоростям
и
энергиям
теплового
движения.
Закон
Больцмана
для
распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Среднее число
столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.
Явление переноса в термодинамических неравновесных системах.
Опытные законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения.
Молекулярно-кинетическая теория этих явлений. Термодинамический метод
исследования. Термодинамические параметры. Равновесные состояния и
процессы, их изображение на термодинамических диаграммах. Работа газа при
изменении его объема. Количество теплоты. Теплоемкость. Первое начало
термодинамики. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам и
адиабатному процессу идеального газа.
Классическая
молекулярно-кинетическая
теория
теплоемкостей
идеальных газов и ее ограниченность. Обратимые и необратимые процессы.
9
Круговые процессы (цикл).
Цикл Карно и его КПД для идеального газа.
Энтропия. Энтропия идеального газа. Второе начало термодинамики.
Статистическое
толкование
второго
начала
термодинамики.
Отступление от законов идеальных газов. Реальные газы. Уравнение Ван-дерВаальса.
Сравнение
изотерм
Ван-дер-Ваальса
с
экспериментальными.
Критическое состояние вещества. Фазовые переходы первого и второго рода.
Внутренняя энергия реального газа.
10
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
РАЗДЕЛ I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
1.1. Кинематика
Прямолинейное движение
При прямолинейном движении материальной точки в одном направлении
ее координата х совпадает с длиной пути S, пройденного от начала координат.
Кинематическое уравнение движения точки (центра масс твердого тела):
x = S = f(t),
где f(t) – некоторая функция времени t.
Средняя скорость:
<> = x/t,
где x – изменение координаты за промежуток времени t.
Если же точка в некоторый момент времени меняет направление
движения на противоположное, то координата и путь не совпадают, тогда:
<>=S/t.
Мгновенная скорость:
 = dS/dt.
Среднее ускорение:
<a>= /t,
где  - изменение скорости за промежуток времени t.
Мгновенное ускорение:
a= d/dt =d2x/dt2.


Уравнение равномерного движения (  = const, a = 0):
х= х0 +t,
где х0 – начальная координата точки при t0 = 0.

Уравнение равнопеременного движения ( a = const):
х= х0 +0t + аt2/2,
где 0 – начальная скорость.
11
Скорость равнопеременного движения:
 = 0t + аt.
Для равноускоренного движения а > 0, для равнозамедленного а < 0.
Свободное падение тел описывается уравнениями равнопеременного
движения.
Относительное движение
Классический закон сложения скоростей:
 

   îòí  u ,


где  - скорость тела в неподвижной системе отсчета,  отн - скорость тела

относительно движущейся системы отсчета, u - скорость движущейся системы
отсчета.
Криволинейное движение
Криволинейное движение точки по плоскости можно разложить на два
одновременных независимых прямолинейных движения вдоль координатных
осей, которые описываются уравнениями:
x = f1(t),
y = f2(t).
Проекции скорости на оси координат:
õ 
dx
,
dt
y 
dy
.
dt
Скорость:
   x2   y2 .
Проекции полного ускорения на оси координат:
ax
d x
,
dt
ay
Полное ускорение:
а  а х2  а 2у .
12
d y
dt
.
Тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по
величине и направленное по касательной к траектории:
а 
d
.
dt
Нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по
направлению и направленное к центру кривизны траектории:

аn 
,
R
2
где R – радиус кривизны траектории.
Полное ускорение:
а  а 2  а n2 .


Угол между полным a и нормальным a n ускорениями (рис. 1):
=arccos(an /a).
Рис. 1
Вращательное движение твердого тела
Кинематическое уравнение движения материальной точки по
окружности:
=f(t),
где  - угол поворота радиус-вектора точки.
13
Угловая скорость:
=
d
.
dt
Угловое ускорение:
d d 2
= 2 .
dt
dt


Уравнение равномерного вращения (   const ,   0 ):
=
   0  t ,
где  0 - начальный угол.

Уравнение равнопеременного вращения (   const ):
t 2
   0   0t +
,
2
где 0 - начальная угловая скорость.
Угловая скорость равнопеременного вращения:
  0  t .
Для равноускоренного вращения  0, для равнозамедленного  .
Частота вращения:
n=
N 1
 ,
t T
где N - число оборотов за время t, T - период вращения.
Угол поворота:
  2N .
Угловая скорость:
  2n .
Связь линейных и угловых величин выражается следующими
формулами:
линейная скорость точки
=R;
длина дуги, пройденной точкой
S = R ,
14
где R – радиус вращения точки;
тангенциальное ускорение точки
а = R;
нормальное (центростремительное) ускорение точки
аn =2 R .
Методические указания
При решении задач по кинематике необходимо, прежде всего, выяснить
закон (уравнение) движения тела, определяющий его положение в любой
момент времени. При этом надо помнить, что задачи по кинематике (как и по
остальным
разделам
физики)
решаются
в
основном
аналитическим
(численным) способом, при котором от векторной формы записи уравнений
переходят к скалярной. Для этого выбирают систему координат в плоскости
движения тела, проецируют все векторы в уравнениях на координатные оси и
записывают скалярные уравнения для осей.
Особое внимание следует обратить на общие правила решения задач, в
которых используются сложение и разложение движений, а также векторный
характер основных кинематических величин (скорости и ускорения). Решение
таких задач иногда вызывает затруднения, особенно при рассмотрении
криволинейного движения и относительного движения двух тел. Избежать этих
трудностей можно лишь при правильном использовании возможностей
независимого рассмотрения отдельных слагаемых движений и правил сложения
и разложения векторов. Например, правильно используя разложение движения
на составляющие, можно свести решение сложной задачи о криволинейном
движении к решению простой и известной задачи о двух независимых
прямолинейных движениях.
Примеры решения задач
Пример 1. Дано уравнение прямолинейного движения материальной
точки S=3t3+t+6.
15
Найти скорость и ускорение точки в момент времени t=3 с, а также
среднюю скорость за первые три секунды движения.
Решение. Мгновенная скорость – это производная пути по времени:
 =dS/dt.
В нашем случае:
 =9t2+1.
(1)
Мгновенное ускорение определяется производной скорости по времени:
a=d /dt,
a=18t.
(2)
Подставляя в формулы (1) и (2) заданное время t=3 с, вычисляем
мгновенные скорость и ускорение:
 =(932+1) м/с=82 м/с;
a=183 м/с2=54 м/с2.
Средняя скорость определяется отношением пути S ко времени t, в
течение которого он пройден:
 ср=S/t.
Выполнив вычисления, найдем:
S=(3 33+3+6) м=90 м;
 ср=90/3 м/с=30 м/с.
Пример 2. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью  0=20 м/с
под углом =300 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти
скорость тела, его тангенциальное и нормальное ускорения через время t=1,5 с
после начала движения. На какую высоту h поднимется тело? Какое время оно
будет в движении? На какое расстояние l от места бросания оно упадет на
землю?
Решение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (а также
вертикально и горизонтально), происходит под действием силы тяжести и
является частным случаем движения с постоянным ускорением. Когда
сопротивление воздуха пренебрежимо мало, все тела падают вблизи
поверхности Земли с одинаковым ускорением, направленным вертикально

вниз и равным ускорению свободного падения g . Для движения с постоянным
16



ускорением a перемещение r и скорость  в произвольный момент времени t
соответственно равны:

 
at 2
r =  0 t 
,
2
  
   0  at .
(1)
(2)
Криволинейное движение тела по параболе (рис.2), используя закон
независимости движений, разложим на два одновременных прямолинейных
движения по горизонтали и вертикали. Движение по горизонтали равномерное,
так как в этом направлении силы на тело не действуют; движение по
вертикали равнопеременное с ускорением свободного падения. Предположим,
что через время t=1,5 с после начала движения тело находится в точке М.
Рис. 2
Выберем неподвижную инерциальную систему xOy, связанную с
Землей. Координатные оси направим по горизонтали (Ox) и вертикали (Oy).
Начало координат совместим с положением тела в начальный момент времени,
тогда его начальные координаты равны нулю (x0=0, y0=0). Запишем проекции
векторов перемещения, начальной скорости и ускорения на оси координат,
учитывая правило знаков:
x=x,
y=y,
 0x=  0cos ,
ax=0,
17
 0y=  0sin ,
ay=-g.
(3)
Здесь проекция ускорения ay отрицательна, так как направление вектора

ускорения g противоположно направлению оси Oy. Переходя от векторной
формы записи уравнений (1), (2) к координатной, получим скалярные
уравнения соответственно для осей Ox и Oy:
x= 0xt+ axt2/2,
 x=  0x+ axt,
y= 0yt+ ayt2/2,
 y=  0y+ ayt,
или с учетом уравнений (3)
x=  0 cost,
(4)
 x=  0 cos,
(5)
y=  0sint - gt2/2,
(6)
-  y=  0 sin - gt.
(7)
Здесь проекция скорости  y в точке М отрицательна, поскольку направлена
противоположно оси Oy.
Скорость  в точке М найдем через ее проекции, определяемые по
формулам (5) и (7):
   x2   y2   02 cos 2 α gt   0 sin α ,
2
  20 2 cos 2 30 0  9,81  1,5  20  sin30 0 
2
(8)
ì
ì
 17,9 .
ñ
ñ
Для определения нормального an и тангенциального a ускорений учтем,

что полное ускорение тела есть ускорение свободного падения g . Разложив

вектор g на составляющие по нормальному и касательному направлениям к
траектории в точке М, получим (рис.2):
an= g sin=g  x/  ,
a= g cos=g  y/  ,
где  – угол между вертикалью и касательной к траектории в точке М.
Подставив вместо величин  x,  y,  их выражения (5), (7), (8), имеем:
18
an 
an 
g 0 cos 
 02 cos 2 α gt   0 sin α
2
9,81  20  cos 30 

20 2 cos 2 30   9,81  1,5  20  sin30 
a τ

2
 cos α gt   0 sin α
2
2
9,81  9,81  1,5  20  sin 30

20 2 cos 2 30   9,81  1,5  20  sin30 
ì
ì
 9,5 2 ,
2
ñ
ñ

ggt   0 sin α
2
0
a 
,
,

2
ì
ì
 2,6 2 .
2
ñ
ñ
Найдем высоту h, на которую поднимется тело. В верхней точке
траектории  у=0 (рис.2), и из (7) получим  0sin= g t1. Отсюда время подъема
тела t1=
 0 sin 
g
. Подставляя t1 в (6), получим:
hy
 02 sin 2 
g
g 02 sin 2   02 sin 2 


;
2g
2g 2
20 2  sin 2 30 
м = 5,1 м.
h
2  9,81
Тело упадет на землю через время:
t 2  2t1 
2 0 sin 
,
g
2  20  sin 30 
t2 
с = 2,0 с.
9.81
Дальность полета l тела определим по формуле (4):
l  x   0 cos t 2 
l
2 02 sin  cos   02 sin 2

,
g
g
20 2  sin 60 
м = 35,3 м.
9,81
Пример 3. Косилка-измельчитель предназначена для скашивания травы и
одновременного измельчения кормов для скота. Зависимость угла поворота
2
барабана косилка КС-1 от времени дается уравнением   A  Bt  Ct , где А= 1
19
рад, В = 0,6 рад/с, С = 0,25 рад/с2. Диаметр барабана D=0,5 м. Найти угловую
скорость , угловое ускорение , число оборотов N барабана, а также линейную
скорость  , тангенциальное а  , нормальное аn и полное а ускорения точек на
его поверхности через время t=10c после начала вращения.
Решение. Угловая скорость есть производная углового перемещения по
времени:
 =
d
   2Ñt.
dt
Подставляя числовые значения, получим:
  0,6  2  0,25  10  рад/с = 5,6 рад/с.
Угловое ускорение есть производная угловой скорости по времени:

d
 2C ;
dt
  2  0,25 рад/с2 = 0,5 рад/с2.
Угловое ускорение постоянно и положительно, поэтому вращение
барабана является равноускоренным.
Число оборотов барабана и угол поворота барабана связаны
соотношением:
  2N .
Отсюда

  t  Ct 2
N 

;
2
2
1  0,6  10  0,25  10 2
N
 5.
2  3,14
Линейная скорость точек на поверхности барабана радиуса R:
  R  
D
;
2
  5,6  0,25 м/с = 1,4 м/с.
Тангенциальное и нормальное ускорения точек вращающегося тела
выражаются формулами:
a =εR;
20
an =2R.
Подставляя числовые значения, получим:
a =0,5 0,25 м/с2 = 0,125 м/с2;
an = 5,62  0,25 м/с2 = 7,84 м/с2.
Полное
ускорение
будет
геометрической
суммой
взаимно
перпендикулярных тангенциального и нормального ускорений (см. рис. 2):
a  a2  an2 ;
a  0,125 2  7,84 2 м/с2 = 7,841 м/с2.
1.2. Динамика поступательного движения.
Законы Ньютона
Первый закон Ньютона (закон инерции): всякая материальная точка
(тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения
до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это
состояние.
Импульс
(количество
движения)
материальной
точки
массы

движущейся со скоростью  :


ð  m .
Второй закон Ньютона в общем виде:
 n  dp
F   Fi 
,
dt
i 1

где F – результирующая сила, действующая на материальную точку.
Второй закон Ньютона при m = const:



d
F m
 ma ,
dt

где а - ускорение.
Силы, рассматриваемые в механике:
1) Сила упругости:
F = - kx,
21
m,
где k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), х - абсолютная
деформация.
2) Сила тяжести:


P  mg ,

где g - ускорение свободного падения.
3) Сила гравитационного взаимодействия:

m m
F G 1 2 2
r

r
 ,
r
где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы взаимодействующих тел, r
- расстояние между телами.


F  mE ,
где E 
GM
( R3  h ) 2
- напряженность гравитационного поля Земли; M, R3 – масса
и радиус Земли; h - высота тела массой m над поверхностью Земли.
Потенциал гравитационного поля Земли:

GM
.
R3  h
4) Сила трения скольжения:
Fòð  Fn ,
где  – коэффициент трения, Fn – сила нормального давления.
5) Сила инерции (в неинерциальных системах отсчета):


F  ma ,

где m - масса тела, a - уcкорение системы отсчета. В частности, центробежная
сила инерции:
Fцб  m
2
R
 m 2 R ,
где  и  - линейная и угловая скорости тела, R – радиус траектории.
Центробежная сила инерции направлена вдоль радиуса-вектора от центра или
оси вращения.
Третий закон Ньютона:
22


F12   F21 ,


где F12 и F21 - силы, с которыми взаимодействуют две материальные точки 1 и
2.
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса (количества движения) для замкнутой
системы тел:

n
m
i
i 1
i
 const ,
где n – число тел, входящих в систему.
Для двух тел:




m11  m2 2  m1u1  m2 u 2 ,
 
 
где 1 ,  2 - скорости тел до их взаимодействия, u 1 , u 2 - скорости тел после
взаимодействия.
Центр масс системы тел – это точка, радиус - вектор которой равен:

n

rñ 
m r
i 1
n
i i
m
i 1
.
i
Скорость центра масс:

n

ñ 
m
i 1
n
i
m
i 1
i
.
i
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения энергии
Работа постоянной силы на пути S :
A  FS cos ,
где α – угол между направлениями силы и перемещения.
Работа переменной силы на пути S :
À   F cos dS .
S
Средняя мощность за время t:
23
A
.
t
N ср 
Мгновенная мощность:
N
dA
 F cos  .
dt
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:
T
m 2 p 2
.

2
2m
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированного тела (работа упругой силы)
П
kх 2
;
2
б) гравитационного взаимодействия
П  G
m1 m2
;
r
в) тела, поднятого на высоту h, много меньшую радиуса Земли,
Ï  mgh .
Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми
действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется:
Е = Т + П = const.
Работа, совершаемая результирующей силой, определяется как мера
изменения кинетической энергии тела:
À  Ò2  Ò1 
m 22 m12

.
2
2
Применение законов сохранения импульса и энергии к прямому
центральному удару:
1) скорость шаров после абсолютного неупругого удара


m11  m 2 2

u 
,
m1  m 2


где m1, m2 – массы шаров, 1 ,  2 - скорости шаров до удара;
2) работа деформации при абсолютно неупругом ударе
24
А  Т  (Т 1  Т 2 )  Т ,
где Т1, Т2 – кинетические энергии шаров до удара, Т – общая кинетическая
энергия шаров после удара, Т - изменение кинетической энергии шаров в
результате удара;
3) скорость шаров после абсолютно упругого удара:
u1 
1 (m1  m2 )  2m2 2
,
m1  m2
u2 
 2 (m2  m1 )  2m11
.
m1  m2
Методические указания
При решении задач на динамику поступательного движения используется
уравнение движения материальной точки, выражающее второй закон Ньютона.
Важно помнить, что этот закон справедлив только в инерциальных системах
отсчета. Систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически
инерциальной. Тогда любая другая система отсчета, движущаяся поступательно
и равномерно относительно Земли, также инерциальна. Во многих задачах
динамики можно пренебречь силами трения и считать, что на тела действуют
только сила тяжести и упругие силы реакции связей (реакция опор, натяжение
нитей и др.).
Закон сохранения импульса, связывая начальное и конечное значения
импульса, позволяет не рассматривать силы взаимодействия частей системы.
Поэтому закон применяется в задачах, где силы взаимодействия являются
переменными, характер их изменения со временем сложен или вообще
неизвестен (например, упругий и неупругий удары, прыжок, выстрел, разрыв
снаряда и т.д.).
Так как уравнение, выражающее закон сохранения импульса векторное,
надо пользоваться правилом сложения векторов или спроецировать уравнение
на выбранные оси координат. Закон сохранения импульса можно применять и
для незамкнутых систем, если сумма внешних сил равна нулю или сумма
проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю.
25
Закон сохранения механической энергии, связывающий начальную и
конечную
энергии
системы
взаимодействующих
тел,
позволяет
не
рассматривать действующие между телами силы и поэтому применяется в тех
задачах, где эти силы изменяются со временем. Этот закон применим при
следующих условиях: 1) система является замкнутой (а также, если на систему
действуют внешние силы, но их суммарная работа равна нулю); 2) внутри
системы отсутствуют силы трения и силы неупругих деформаций.
26
Примеры решения задач
Пример 1. В шахту равноускоренно опускается лифт, масса которого
m=300 кг. В первые t=5 с он проходит h=25 м. Определить силу натяжения
каната, к которому подвешен лифт.
Решение. На лифт действует сила натяжения


каната Т (рис. 3) и сила тяжести mg , под действием

которых он движется с ускорением a . Следовательно, по
второму закону Ньютона:
 
mg  T  ma .
(1)
(1
Рис. 3
Так как все силы направлены по вертикали, выберем вертикальную ось
y с положительным направлением по ускорению (вниз).
Проектируем (1) на ось y:
mg-T=ma
Из кинематики h=at2/2. Следовательно,
или
T=m(g-a).
T=m(g-2h/t2)=2340 Н.
Пример 2. Грузы, массы которых m1 и m2, связаны нитью, перекинутой
через блок. Второй груз находится на наклонной плоскости с углом наклона  .
Первый груз висит на нити. Система движется под действием силы F,
приложенной к первому грузу и направленной вертикально вниз. Коэффициент
трения второго груза о плоскость равен  . Определить ускорение системы.
Найти силу трения Fтр1, если на груз массой m2 положили груз массой m3, при
наличии которого система находится в состоянии покоя.
Решение. Рассмотрим движение каждого груза отдельно. На первый груз



действуют: m1 g – сила тяжести (рис. 4), F – внешняя сила, T1 – сила натяжения
нити. Ускорение a1 направлено вниз. Второй закон Ньютона в проекции на ось y1
имеет вид:
F+m1g-T1=m1a1.
27
(1)
(1


На второе тело действуют: m2 g – сила тяжести, T2 – сила натяжения


нити, N – сила нормальной реакции плоскости, Fт р – сила трения.
Ускорение второго тела направлено вдоль наклонной плоскости.

Выбираем ось x2 направленной по ускорению a2 , а ось y2 – перпендикулярно
оси x2. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси x2 и y2:
T2 – Fтр – m2gsin  = m2a2;
(2)
N – m2gcos  = 0.
(3)
Из (3) N=m2gcos  . Следовательно, Fтр=  N=  m2gcos  . Тогда
уравнение (2) примет вид:
T2 – m2gsin  –  m2gcos  = m2a2.
(4)
Так как нить мы считаем нерастяжимой, то грузы движутся с
одинаковым ускорением a1=a2=a. Невесомость нити означает, что натяжение
нити на всех участках одинаково T1 = T2 = T.
Исключив из (1) и (4) T , получаем
a
F  m1 g  m 2 g(sin     cos  )
.
m1  m 2
Рис. 4
В соответствии с первым законом Ньютона сила трения при условии,
что тело находится в покое Fтр1 = |F + m1g – (m2+m3)g sin |.
Пример 3. Небольшой шар массой m = 50 г находится на стержне,
укрепленном перпендикулярно оси центробежной машины. Шар соединяют с
28
осью пружиной, жесткость которой k=400Н/м. Каким должен быть период Т
вращения стержня, чтобы пружина растянулась на четверть ( = 1/4) своей
первоначальной длины? Считать, что шар может перемещаться вдоль стержня
без трения.
Решение. На шар по оси х, проведенной вдоль стержня к оси
центробежной машины, действует единственная сила упругости растянутой
пружины F = kx = kl (l – первоначальная длина пружины). Тогда второй
закон Ньютона вдоль выбранной оси х имеет вид: F = ma, где а = 2/R =
42R/T2 – центростремительное ускорение шара, R = l + l – радиус
окружности, вдоль которой движется шар. Таким образом, kl = m42(l+l)/T2.
Отсюда:
m(1  α)
= 0,157 с.
kα
Т = 2
Пример 4. Мяч массой m=200 г движется между параллельными
стенками перпендикулярно к ним, совершая удары с неизменной по модулю
скоростью. Считая скорость мяча равной =10 м/с, определить модуль

приращения его импульса после удара об одну стенку p1 и ударах о две

противоположные стенки p2 .




Решение. Приращение импульса мяча  p = m 2 – m 1 , где 1 –

скорость в начальной точке, а 2 – скорость в конечном положении. После







удара мяча об одну стенку 2 = – 1 и | p |1 = |m 2 – m 1 | = |m 2 – (– m 2 )| =

|2m 2 | = 2m = 4 кгм/с, так как удар происходит без потери скорости. После





ударов о противоположные стенки 2 = 1 и | p |2 = |m 2 – m 1 | = 0.
Пример 5. Два тела, массы которых m и km (k=4), движутся во
взаимно перпендикулярных направлениях. После соударения
которого m, остановилось. Какую часть его
тело,
первоначальной
масса
энергии
 составляет выделившееся при ударе тепло?
Решение. Начальная энергия шаров Eн = E1 + E2 = m12/2 + km22/2 =
m(12 + k22)/2, где 1 и 2 – скорости соответствующих шаров до
29
столкновения.
Так
как
направления
движения
перпендикулярны, то суммарный импульс системы p =
шаров
взаимно
(m1 ) 2  (km 2 ) 2
=
m 12  k 2 22 . При столкновении этот импульс, согласно закону сохранения
импульса, не изменяется, и он равен импульсу второго шара. Конечная
кинетическая энергия системы Eк =
m 2 (12  k 2 22 )
m(12  k 2 22 )
p2
=
=
.
2km
2km
2k
Энергия, затраченная на выделение тепла:
Eн – Eк =
m
m
m12 (k  1)
(12 + k22) –
(12 + k222) =
.
2
2k
2k
Поэтому  = (Eн-Eк)/E1 = (k – 1)/k.
Пример 6. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной
плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях по
величине равны друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем
положении.
Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y в
момент, когда шарик находится в крайнем положении (рис.5):
у: T – mgcos = 0, (т.к. скорость равна нулю),
х: mgsin = ma1.
y

y
l

T

T0

mg
x

mg
x
Рис. 5
Следовательно, a1 = gsin. В момент времени, когда шарик находится в
нижней точке траектории:
y: T0 – mg = ma2,
30
a2 = 2/l.
По условию a1 = a2, следовательно, 2 = glsin. Из закона сохранения
энергии mg(l – lcos) = m2/2. Из последних двух уравнений имеем glsin =
2gl(1– cos), или sin = 2 – 2cos. Решив тригонометрическое уравнение
(например, возведя обе части равенства во вторую степень), находим, что cos
= 0,6.
1.3. Динамика вращательного движения.
Момент инерции твердого тела
Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на
расстоянии r от оси вращения:
J=mr2.
Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных
элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.
n
J = Ji ,
i 1
где J i  m i ri 2 - моменты инерции материальных точек.
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования
используется интегрирование. Если ось, относительно которой вычисляется
момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого
интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае
задачу решить трудно. Для упрощения вычислений используется теорема
Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен:
J= Jс+ma2,
где Jс – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр
масс тела параллельно заданной оси, а – расстояние между осями, m – масса
тела.
Моменты инерции некоторых однородных тел массой m относительно
оси, проходящей через центр масс:
а) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной
плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
31
J=mR2,
где R – радиус обруча (цилиндра);
б) диска (сплошного цилиндра) радиусом
R относительно оси,
перпендикулярной плоскости диска,
1
J= mR2;
2
в) шара радиусом R:
2
J= mR2;
5
г) тонкого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной
стержню:
J=
1 2
ml ;
12
J
2
mR 2 .
3
д) сферы радиусом R:
Основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы F относительно неподвижной точки О:


М  [r F ] ,

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.
М=Frsin  =Fl,


где  - угол между векторами r и F , l – плечо силы (кратчайшее расстояние
между линией действия силы и точкой О).
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки 0
  
L  r m ] ,

где m и  – масса и скорость точки.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
а) в общем случае



dL d ( J )
Ì  Mi 

dt
dt
i 1

n
32
или

  dJ
M  J  
,
dt


где M - результирующий момент сил, действующих на тело,  - угловое
ускорение;
б) в случае постоянного момента инерции


М  J .
Закон сохранения момента импульса


dL
 0 и L  const . Это
Если суммарный момент сил равен нулю, то
dt
происходит, если система замкнута (т.е. внешние силы не действуют), или, если
моменты внешних сил компенсируют друг друга, а также, если внешние силы
оказываются центральными (линии действия всех сил пересекаются в одной
точке).
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой
системы сохраняется:

n
J 
i 1
i
i
 ñonst ,
где n – число тел, входящих в систему. Для двух тел:
J1ω1+J2ω2= J1 / ω1 /+J2 /ω2/,
где J1, J2, ω1, ω2 - моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия,
J1 /, J2 /, ω1 /, ω2 / - те же величины после взаимодействия.
Для одного тела, момент инерции которого меняется,
J1ω1=J2ω2 ,
где J1 и J2 - начальное и конечное значения момента инерции, ω1 и ω2 начальная и конечная угловые скорости.
Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело:
А=М  ,
где  – угол поворота тела.
Работа переменного момента силы:
A   Md .
Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:
33
N=Mω.
Кинетическая энергия вращающегося тела:
J 2
.
T
2
Кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения:
m 2 J 2
,
T

2
2
где
m 2
- кинетическая энергия поступательного движения тела,  – скорость
2
J 2
центра масс тела,
- кинетическая энергия вращательного движения тела
2
вокруг оси, проходящей через его центр масс.
Работа, совершаемая при вращении тела, равна изменению его
кинетической энергии:
J 22 J12
.
A

2
2
Примеры решения задач
Пример 1. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня
длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через: 1) центр масс стержня; 2) конец стержня.
Решение.
1)
Момент
инерции
тонкого
однородного
стержня
относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину проще
всего получить посредством интегрирования. Для этого стержень разобьем на
бесконечно большое число малых элементов длиной dr и массой dm. Обозначив
расстояние от оси до одного из таких элементов через r, напишем, что момент
инерции элемента стержня dJ = r2 dm = r2 (l/m) dr, где l/m – линейная
плотность. Тогда момент инерции всего стержня J = (1/12) ml2 = 0,7510-2 кг
м2.
2) Посредством интегрирования выводится формула для момента
инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через конец стержня. Впрочем, можно воспользоваться и теоремой
34
Штейнера J = J0 + m a2, где а = l/2 – расстояние между осями, J = J0 + m l2 /4
= (1/12) m l2 + (1/4) m l2 = (1/3) m l2 = 310-2 кг м2 .
Пример 2. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается
вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + В t2 + C t3 ( В = 2 рад/с2 ,
С = -0.5 рад/с3). Определить момент сил М для t = 3 с.
Решение. Основное уравнение динамики вращательного движения
шара вокруг оси симметрии М = J ε . Момент инерции однородного стержня J
= 2/5 m R2 , а угловое ускорение ε = dω/dt . Угловая скорость ω = dφ/dt =2Вt +
3Ct и ε = 2В + 6 Сt. Окончательно М = 2/5 m R2 ( 2В + 6Сt ) = - 0.1 Нм2.
Пример 3. Диск, катившийся по плоскости без скольжения со
скоростью 1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью  2 = 2
м/с. Масса диска равна m = 3 кг. Определить изменение кинетической энергии
диска.
Решение. Кинетическая энергия диска Т = m 2 /2 + Jω2 /2 . Для
однородного диска момент инерции J = (1/2) m R2 и угловая скорость ω =  /R,
где R - радиус диска. Подставив эти формулы в выражение для кинетической
энергии диска, получим Т = m 2 /2 + (1/2) (mR2 /2) ( /R)2 = 3m  2 /4. Поэтому,
зная полную кинетическую энергию диска до и после удара о стенку, вычислим
ее изменение ΔТ = Т2 – Т1 = (3/4)m(  2 2 -  1 2 ) = - 11.25 Дж. Знак минус
показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска.
Пример 4. Человек массой m1=70 кг стоит в центре платформы
радиусом R= 2 м и массой m2=210 кг. Платформа вращается около
вертикальной оси, проходящей через ее центр, с угловой скоростью =5 рад/с.
Оценить линейную скорость  человека относительно неподвижного пола, если
он переходит на край платформы.
Решение. Применим закон сохранения момента импульса:
( J1  J 2 )    ( J1  J 2 )   ,
35
где  – угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю; J1 и
J1 – моменты инерции человека, стоящего соответственно в центре и на краю
платформы; J 2 - момент инерции платформы.
J2 
1
m2 R 2
2
(момент инерции диска); J1  0 и J 1  m1 R 2 , поскольку
человек стоит соответственно в центре и на краю платформы.
Оценим угловую скорость:
J  J2
  1

J 1  J 2
1
m2 R 2
m2
210
2


 5 ðàä / ñ  3 ðàä / ñ .
1
2m1  m2
350
2
2
m1 R  m2 R
2
Линейная скорость связана с угловой скоростью    R . Отсюда
  3  2ì / ñ  6ì / ñ .
36
Последняя
цифра
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1
Таблица вариантов
Предпоследняя цифра
четная
нечетная
1
101 111 121 131 141 151 161 171 101 112 123 134 145 156 167 178
2
102 112 122 132 142 152 162 172 102 113 124 135 141 157 168 179
3
103 113 123 133 143 153 163 173 103 114 125 136 147 151 169 180
4
104 114 124 134 144 154 164 174 104 115 126 137 148 159 170 174
5
105 115 125 135 145 155 165 175 105 116 127 138 149 160 164 172
6
106 116 126 136 146 156 166 176 106 117 128 139 150 158 162 173
7
107 117 127 137 147 157 167 177 107 118 129 140 146 152 163 171
8
108 118 128 138 148 158 168 178 108 119 130 131 142 153 161 175
9
109 119 129 139 149 159 169 179 109 120 121 132 143 154 165 176
0
110 120 130 140 150 160 170 180 110 111 122 133 144 155 166 177
КИНЕМАТИКА.
Прямолинейное движение
101. Гусеничный трактор Т-150 движется с максимальной скоростью 18
км/ч. Найти проекции векторов скоростей верхней и нижней части гусеницы на
оси координат Х и Х1. Ось Х связана с землей, а ось Х1 – с трактором. Обе оси
направлены по ходу движения трактора.
102. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью 1 = 60
км/ч, остальную часть пути – со скоростью
скорость движения?
37
 2 = 80 км/ч. Какова средняя
103. Вагон трамвая движется равнозамедленно с ускорением 0,5 м/с 2.
Начальная скорость вагона 15 м/с. Через сколько времени и на каком
расстоянии от начальной точки вагон остановится?
104. Тело движется равноускоренно без начальной скорости. К концу 5-ой
секунды его скорость равна 10 м/с. Чему равен путь, пройденный телом за 5ую секунду?
105. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 28 м/с. На
какую наибольшую высоту оно поднимется и чему равно время подъема? Через
сколько времени тело достигнет высоты, равной половине максимальной?
106. Точка движется по прямой согласно уравнению х = Аt + Bt3, где А = 6
м/с, В = - 0,125 м/с3. Определить среднюю путевую скорость точки в интервале
времени от t1= 2с до t2 = 6 с.
107.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением
S=А + Вt + Сt2 +Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Определить: 1) через сколько
времени после начала движения ускорение а
тела будет равно 2 м/с2; 2)
среднее ускорение а тела за этот промежуток времени.
108. Движение материальной точки задано уравнением x = at + bt2+ ct3, где
а = 5,0 м/с; b = 0,2 м/с2; с = 0,1 м/с3. Определить скорость точки в моменты
времени t1= 2,0 c и t2 = 4,0 c, а также среднюю скорость в интервале времени от
t1 до t2.
109. Две материальные точки движутся согласно уравнениям х1= А1 + В1t +
С1t2 и х2 = А2 + С2t2, где А1 = 10 м; В1 = 32 м/с; С1 = - 3 м/с2; А2 = 5 м; С2 = 5
м/с2. В какой момент времени скорости этих точек одинаковы? Чему равны
скорости и ускорения точек в этот момент времени?
110. Движение точки описывается уравнением S = 4t4 + 2t2 + 7. Найти
скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с и среднюю скорость за
первые 2 с движения.
38
Криволинейное движение
111. Насос выбрасывает струю воды под углом  = 32  к горизонту. Струя
падает на расстоянии l = 12 м от насоса. Сколько воды подает насос за одну
минуту, если площадь отверстия S = 1 см2?
112. Под каким углом к горизонту нужно направить струю воды, чтобы
высота ее подъема была равна расстоянию, на которое бьет струя воды?
113. Какой начальной скоростью должна обладать сигнальная ракета,
выпущенная из ракетницы под углом 45  к горизонту, чтобы она вспыхнула в
наивысшей точке своей траектории, если время горения запала ракеты 6 с?
Сопротивление воздуха не учитывать.
114. Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 360 км/ч, сбросил
бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее
должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
115. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 2 м согласно
уравнению S = At + Bt3, где А = 8 м/с, В = - 0,2 м/с3. Найти скорость,
тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени t = 3 с.
116. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения
выражается уравнением S = 8 - 2t2. Найти момент времени t, когда нормальное
ускорение точки а n = 9 м/c2; скорость и тангенциальное ускорение а  в этот
момент времени.
117. По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый
момент времени нормальное ускорение точки а n равно 4,9 м/с2, вектор полного
ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60  .
Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.
118. Материальная точка начинает двигаться по окружности r = 12,5 cм с
постоянным тангенциальным ускорением а  = 0,5 см/с2. Определить:1) момент


времени, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости  угол
 = 45  ; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.
39
119. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным
тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с
после начала движения, если известно, что к концу 5-го оборота линейная
скорость равна 10 см/с.
120. Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнению  = А +
Вt+Сt3, где А = 3 рад; В = - 1рад/с; С = 0,1 рад/с3. Определить тангенциальное,
нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента
времени t = 10 с.
Вращательное движение твердого тела
121. Барабан сепаратора вращается, делая n = 3000 об/мин. Радиус барабана
R = 10 см. Вычислить линейную скорость на поверхности барабана, угловую
скорость
и
отношение
центростремительного
ускорения
к
ускорению
свободного падения.
122. Рабочее колесо установленного в коровнике вентилятора МЦ
вращается так, что зависимость частоты вращения от времени задается
уравнением:  = А t + В, где А = 0,1 с 3 / 2 и В = 12 с 1 . Сколько оборотов
сделает барабан через 2 мин от начала вращения?
123. Измельчитель кормов «Волгарь» содержит барабан диаметром 450 мм.
Угол поворота барабана после его включения изменяется по закону
  Аt 2  B t , где А = 0,18 рад/с2 и В = 15 рад·с-1/2. Найти угловую скорость
вращения барабана через 0,5 мин после начала вращения и линейную скорость
точек на поверхности барабана.
124.Вентилятор
Ц4-70,
предназначенный
для
воздухообмена
в
животноводческих помещениях, достигает рабочей частоты вращения через 4
мин после включения. Какое число оборотов сделает до этого рабочее колесо
вентилятора, если считать его вращение равноускоренным с угловым
ускорением 1,25 рад/с2? Какова будет рабочая частота вращения?
125. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900
об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до
40
остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения
вентилятора до полной остановки?
126. Ротор электродвигателя, имеющий частоту вращения 955 об/мин, после
выключения остановился через 10с. Считая вращение равнозамедленным,
определить угловое ускорение ротора после выключения электродвигателя.
Сколько оборотов сделал ротор до остановки?
127. Маховое колесо, спустя 1 мин после начала вращения, приобретает
скорость, соответствующую 1800 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и
число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
128. Маховик, находившийся в покое, начал вращаться равноускоренно.
Сделав 200 оборотов, он приобрел угловую скорость 62,8 рад/с. Определить
угловое ускорение маховика и продолжительность его равноускоренного
вращения.
129. Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180
об/мин. С некоторого момента времени вал тормозится и вращается
равнозамедленно с угловым ускорением, равным 3 рад/с2. Через сколько
времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?
130. Число оборотов ротора центрифуги достигает n = 2·104 об/мин. После
отключения двигателя вращение прекращается через t = 8 мин. Найдите
угловое ускорение и зависимость угла поворота центрифуги от времени, считая
 
движение равнопеременным. Указать направления векторов  и  .
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
Второй закон Ньютона
131. Электротрактор движется со скоростью 6,28 км/час. Через какое время
трактор остановится и какое перемещение он совершит до полной остановки
после выключения двигателя, если сила сопротивления качению составляет 0,3
силы тяжести трактора?
132. Комбайн рассчитан на работу с гусеничным трактором. С каким
ускорением будут двигаться по горизонтальной дороге трактор и комбайн, если
сила тяги трактора на третьей передаче составляет 12,5 Н? Какое натяжение
41
испытывает при этом соединяющий их трос? Массы трактора и комбайна
соответственно равны 4,2 т и 2,6 т.
133. Гусеничный трактор, трогаясь с места, тянет санный поезд из двух
саней. Сила тяги, развиваемая трактором, равна 20 кН. Масса трактора 5660 кг,
масса каждых саней 1500 кг. Найти ускорение, развиваемое трактором, и силу
натяжения канатов, связывающих трактор с санями, а также сани между собой,
если коэффициент трения санных полозьев о снег 0,05.
134. На участке дороги, где для автотранспорта установлена предельная
скорость 30 км/час, водитель применил аварийное торможение. Инспектор
ГИБДД по следу колес обнаружил, что тормозной путь равен 12 м. Нарушил ли
водитель правила движения, если коэффициент сопротивления (сухой асфальт)
равен 0,6?
135. На автомобиль массой m = 1т во время движения действует сила трения
Fтр , равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F,
развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением a =
1м/с2 в гору с уклоном 1м на каждые 25 м пути.
136. Определить наименьший угол наклона плоскости к горизонту для
спуска самотеком зерна, если коэффициент трения при скольжении зерна по
плоскости равен 0,6.
137. Груз массой m = 200 кг лежит на платформе, которую можно
поднимать и опускать с помощью каната. Определить силу давления груза на
платформу, если платформа: а) движется равномерно; б) поднимается с
ускорением а1 = 5,2 м/с2; в) опускается с ускорением а2 = 6,8 м/с2. Как меняется
вес груза в этих случаях?
138. На нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массой m1 = 1кг и
m2 = 2кг. Найти ускорение грузов и силу натяжения нити. Блок и нить считать
невесомыми, трением в блоке пренебречь.
42
Динамика материальной точки, движущейся по окружности
139. Трактор массой 3340 кг движется по выпуклому мосту со скоростью 9
км/ч. Сила давления трактора на середину моста составляет 32940 H.
Определить радиус кривизны моста.
140. Самолет, летящий со скоростью 280 км/ч, описывает петлю Нестерова
радиусом 100 м. Определить величину сил, прижимающих летчика к сиденью в
верхней и нижней точках петли. Масса летчика 80 кг.
141. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии
r=0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила F давления оси на
подшипники, если частота вращения маховика n = 10 с-1? Масса маховика m =
100 кг.
142. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на
повороте с радиусом закругления 150 м, чтобы его не занесло? Коэффициент
трения скольжения шин о дорогу равен 0,42.
143. Гирька массой m = 50 г, привязанная к нити длиной l = 25см, описывает
в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гирьки n = 2 об/с.
Найти силу натяжения нити Т.
144. Средняя высота спутника над поверхностью Земли равна 1700 км.
Определить его скорость и период обращения, если радиус Земли равен 6400
км.
Закон сохранения импульса
145. На железнодорожной платформе установлено орудие. Орудие жестко
скреплено с платформой. Масса платформы и орудия М = 20 т. Орудие
производит выстрел под углом α = 60 к линии горизонта в направлении пути.
Какую скорость u1 приобретает платформа с орудием вследствие отдачи, если
масса снаряда m = 50 кг, и он вылетает из канала ствола со скоростью u2 = 500
м/с?
146. На тележке массой m = 200 кг, двигающейся со скоростью 1=2 м/с
стоит человек массой 50 кг. При перемещении человека вдоль тележки по
43
направлению её движения скорость тележки становится u1=1,5 м/с. С какой
скоростью относительно тележки движется человек?
147. Определить импульс, полученный стенкой при ударе об нее шарика
массой m = 300 г, если шарик двигался со скоростью  = 8 м/с под углом 60 к
плоскости стенки. Удар о стенку считать упругим.
148. Шар массой m1 = 10 кг сталкивается с шаром массой m2 = 4 кг.
Скорость первого шара 1 = 4 м/с, второго 2 = 12 м/с. Найти общую скорость u
шаров после удара в двух случаях: 1) когда малый шар нагоняет большой шар,
движущийся в том же направлении; 2) когда шары движутся навстречу друг
другу. Удар считать прямым, центральным и неупругим.
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения энергии
149. Определить мощность трактора, развиваемую на крюке при скорости
9,65 км/ч и тяговом усилии 14700 Н, а также работу, выполняемую им за 2 ч.
150. Двигатель трактора при движении со скоростью 5 км/ч потребляет
мощность 11 кВт. Определить силу тяги двигателя, если его коэффициент
полезного действия 0,4.
151. Мощность трактора на крюке составляет 27,2 кВт. Можно ли
прицепить к пятилемешному плугу, который он тянет, борону? Тяговое
сопротивление плуга и бороны равно соответственно 15 и 6 кН, скорость
трактора 6,28 км/ч.
152. При вертикальном подъеме 225 кг сена на высоту 7 м стогометатель
совершает работу 18370 Дж. С каким ускорением стогометатель поднимает
сено?
153. Совхозная ферма расходует в сутки 20000 л воды, которая поступает из
водонапорной башни высотой 12 м. Какую работу совершает насос за сутки,
если его коэффициент полезного действия 80%?
154. Определить кинетическую энергию автомобиля и его скорость в
момент начала торможения, если сила трения в тормозных колодках
автомобиля 4000 Н, а перемещение при торможении 20 м. Масса автомобиля
1224 кг.
44
155. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k=150 Н/м был
произведен выстрел пулей массой, равной m=8 г. Определить скорость пули
при вылете её из пистолета, если пружина была сжата на l =4 см.
156. Пуля массой 9 г, летевшая со скоростью 500 м/с, попала в
баллистический маятник массой 6 кг и застряла в нем. На какую высоту,
откачнувшись после удара, поднялся маятник?
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент инерции твердого тела
157. Два маленьких шарика массой m =10 г каждый скреплены тонким
невесомым стержнем длиной l =20 см. Определить момент инерции J системы
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр
тяжести.
158. Найти момент инерции Земли относительно оси вращения, если ее
средний радиус 6400 км, средняя плотность 5,5·103 кг/м3.
159. Определить момент инерции J кольца массой m=50 г и радиусом r =10
см относительно оси, касательной к кольцу.
160. Диаметр диска d = 20 см, масса m = 800 г. Определить момент инерции
J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов
перпендикулярно к плоскости диска.
161. Вычислить момент инерции руки человека относительно плечевого
сустава. Масса руки 4,1 кг, ее длина (при пальцах, сжатых в кулак) 0,56 м. Для
упрощения принять руку за однородный стержень.
Основное уравнение динамики вращательного движения
162. Молотильный барабан вращается с частотой, соответствующей 600
об/мин. Под действием постоянного тормозящего момента 10 H·м барабан
останавливается в течение 3 мин. Определить момент инерции барабана.
163. На барабан молотилки МК-100 , имеющий момент инерции 50 кг·м2,
действует вращающий момент 105 Н·м, под действием которого барабан сделал
75 полных оборотов. Считая вращение барабана равноускоренным, определить
время его вращения.
45
164. Барабан сепаратора «Урал-3», момент инерции которого 104 кг·м2,
вращается с частотой 7800 об/мин. За сколько времени остановится барабан,
если к нему приложить тормозящий момент 6,28 ·104 Н·м ?
165.Определить вес колеса трактора, если при движении трактора с
ускорением 0,5 м/с2 на колесо действует вращающий момент 10 Н·м. Колесо
считать диском, радиус которого 0,6 м.
166. Два одинаковых маховика были раскручены до частоты вращения
n=480 об/мин и предоставлены самим себе. Под действием трения валов о
подшипники первый маховик остановился через t1 = 1 мин 20 с, второй маховик
до полной остановки сделал N2 = 240 оборотов. Считая, что момент силы
трения в обоих случаях постоянен, определить, во сколько раз момент сил
трения одного маховика больше другого.
167. Маховик радиусом R = 10 см насажен на горизонтальную ось. На обод
маховика намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 800 г. Опускаясь
равноускоренно, груз прошел расстояние S = 160 см за время t = 2 с.
Определить момент инерции J маховика.
168. Тонкий стержень длиной l= 40 см и массой m = 0,6 кг вращается около
оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине.
Уравнение вращения стержня φ=At+Bt3, где A=1 рад/с; В=0,1 рад/с3.
Определить вращающий момент М в момент времени t = 2 с.
Закон сохранения момента импульса
169. Для изучения воздействия ускорений на организм животных кролик
массой 2,5 кг был посажен в центр горизонтальной платформы диаметром 1,5 м
и массой 12 кг. Платформу привели во вращение так, что она делает 15 об/мин.
Как изменится частота вращения платформы, если кролик перейдет от центра к
ее краю? Во время перехода кролика внешние силы на платформу не
действовали.
170. Человек, расставив руки, стоит на скамье Жуковского, вращающейся
относительно вертикальной оси, делая 1 об/с. Какова будет частота вращения,
если человек прижмет руки к туловищу? Момент инерции туловища (без рук)
46
0,85 кг·м2, момент инерции руки в горизонтальном положении 0,79 кг·м2 и в
вертикальном положении – 0,3 кг·м2. Момент инерции скамьи Жуковского
равен 0,15 кг·м 2.
171. Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с
частотой n1 = 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого m=
80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее
центр? Момент инерции платформы J = 120 кгм2. Момент инерции человека
рассчитывать, как для материальной точки.
172. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень,
расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком
вращается с угловой скоростью 1= 1 рад/с. С какой угловой скоростью 2
будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он
занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и
скамейки J = 6 кгм2. Длина стержня l = 2,4 м, его масса m = 8 кг. Считать, что
центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.
173. Человек стоит на скамейке Жуковского и ловит рукой мяч массой m =
0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью  =20 м/с.
Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси
вращения скамейки. С какой угловой скоростью  начнет вращаться скамейка
Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент
инерции человека и скамейки J = 6 кгм2.
Работа, мощность, энергия при вращательном движении
174. Якорь генератора серии делает 1000 об/мин. Определить вращающий
момент якоря, если мощность, развиваемая при этом мотором, равна 100 кВт.
175.Измельчительный барабан косилки-измельчителя КУФ-1,8 вращается с
частотой 960 об/мин. Вычислить кинетическую энергию барабана, считая его
полым цилиндром, если его масса 1300 кг и диаметр 600 мм.
176. Рабочее колесо вентилятора, обеспечивающего воздухообмен в
коровнике, вращается с частотой 1440 об/мин. Диаметр колеса 40 см и его
47
масса 6 кг. Считая колесо сплошным цилиндром, вычислить его кинетическую
энергию.
177. Под действием вращающего момента 520 Нм коленчатый вал трактора
С-100 начал вращаться равноускоренно и через некоторое время приобрел
кинетическую энергию 75 МДж. Сколько времени длился разгон вала? Момент
инерции вала 10 кгм2.
178. Момент инерции барабана сепаратора «Урал-3» равен 9150 кг·м2.
Барабан
вращается
от электромотора
с частотой
9000
об/мин.
При
кратковременном отключении тока частота вращения снизилась до 3000
об/мин. Какую работу совершили за это время силы трения?
179. Вал вентилятора зерноочистительной машины вращается, совершая 800
об/мин. Под действием тормозящего момента 200 Нм он останавливается через
10 с. Момент инерции вентилятора 25 кгм2. Определить работу сил
торможения и число оборотов, сделанное вентилятором за время торможения.
180. Обруч и диск имеют одинаковую массу по 3,75 кг и катятся с
одинаковой скоростью, равной 6 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.
48
РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Законы идеальных газов
Закон Бойля - Мариотта. При изометрическом процессе (Т=const)
произведение объёма V данной массы газа на давление p есть величина
постоянная:
при T=const.
pV=const
Закон Гей - Люссака. При изобарическом процессе (p=const) отношение
объема V данной массы газа к абсолютной температуре Т есть величина
постоянная:
V
= const
T
при p=const.
Закон Шарля. При изохорическом процессе (V= const) отношение давления
р данной массы газа к абсолютной температуре Т есть величина постоянная:
p
 const
T
при V=const.
Объединенный газовый закон. Произведение давления на объём, деленное
на абсолютную температуру для данной массы газа, есть величина постоянная:
pV
 const.
T
Уравнение Клапейрона - Менделеева (уравнение состояния идеального
газа):
pV= νRT,
где R- молярная газовая постоянная; ν 
m
M
- количество вещества в данной
массе m газа; M – молярная масса газа.
Закон Дальтона. Давление р смеси различных газов равно сумме
парциальных давлений pi газов, составляющих смесь:
p=р1+р2 +….. + рn=
n
p
i 1
i.
Молярная масса смеси газов определяется по формуле:
49
n
m  m2  ...  mn
M  1

 1   2  ....   n
m
i 1
n

i 1
i
,
i
где mi – масса i-го газа, входящего в смесь;  i - количество вещества i-го газа,
находящегося в смеси; n - число различных газов в смеси.
Методические указания
При решении задач на законы идеальных газов пользуются уравнением
Менделеева – Клапейрона, ибо из этого уравнения вытекают все законы
идеального газа. Например, при изометрическом процессе, когда газ переходит
из одного состояния в другие при постоянной температуре, можно получить
закон Бойля- Мариотта.
p1V1 
m
m
RT ; p 2V2 
RT , т.к. Т=const,
M
M
то p1V1= p2V2=const. Аналогично можно получить закон Гей- Люссака и закон
Шарля.
Примеры решения задач
Пример 1. При каком постоянном давлении, большем или меньшем, объём
одной и той же массы газа будет возрастать быстрее с повышением
температуры? Покажите это на графике зависимости V от Т.
Решение. Согласно объединенному закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака
pV
 const
T
Отсюда:
V const .

T
p
Но, как видно из рисунка, V  tg α.
(1)
(2)
T
50
где  – угол наклона прямой к оси абсцисс. Сравнивая (1) и (2), получим:
tg 
const
.
p
Чем меньше давление р , тем больше угол α, тем быстрее возрастает объём
газа с повышением температуры. На рисунке α1 >α2.
Пример 2. Газ находится под поршнем в горизонтальном цилиндрическом
сосуде. Поршень может передвигаться в цилиндре без трения. Атмосферное
давление р1=105
Па. Объём газа V1=5·10-2 м3. С какой силой F надо
подействовать на поршень, чтобы объём газа уменьшился до V2=10-2 м3.
Площадь поршня S=10-2 м2. Сжатие газа изотермическое.
Решение. По закону Бойля- Мариотта:
р1 ·V1= p2V2,
но р2= р1 +
(1)
F
. Поэтому:
S
р1V1=V2(p1+
F
).
S
(2)
Решая уравнение (2) относительно F, получаем:
F=p1 (
V1
-1) · S.
V2
Производим вычисления:
F=105 (
5  10 2
 1 ) · 10-2 H = 4052 H.
2
10
Проверим размерность:
[F]=[p] · [S] =
Н
м
2
· м2 = Н.
Пример 3. В сосуде объёмом V1= 3 м3 находится смесь m1= 7 кг азота и
m2=2 кг водорода при температуре 27о С. Определить давление р и молярную
массу М смеси газов. M1= 28 · 10-3 кг/моль, М2= 2 ·10-3 кг/моль.
Решение. Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применяя
его к азоту и водороду:
51
p1V 
m1
RT1 ,
M1
(1)
p 2V 
m2
RT2 ,
M2
(2)
где р1 и р2 – парциальные давления азота и водорода, R=8,31 Дж/(моль· К) –
молярная газовая постоянная. По закону Дальтона:
р=р1+р2 .
(3)
Выразив из (1) и (2) р1 и р2, затем подставив в (3) получим:
p
m1 RT1 m2 RT2  m1 m2  RT
 

 

.
M 1V
M 2V
 M1 M 2  V
(4)
Найдем молярную массу смеси газов по формуле:
M 
где  1 
m1  m2
,
 1  2
m1
m
,  2  2 . Тогда:
M1
M2
M 
m1  m 2
72

 7,2  10 3 кг / моль.
m1 m2
7
2


28  10 3 2  10 3
M1 M 2
Подставляя данные в формулу (4), найдем:
p(
7
2
8.31  300

)
Па  1,04  10 6 Па .
3
3
3
28  10
2  10
Проверим размерность:
[ p] 
кг  моль
Дж  К
Дж Н  м Н

 3 
 2  Па
3
кг
К  моль  м
м
м3
м
2.2. Молекулярно - кинетическая теория газов
Масса одной молекулы любого вещества равна молярной массе этого
вещества, деленной на постоянную Авогадро NА:
m1 
M
, где NА= 6,02 · 1023 моль-1.
NA
Число молекул в единице массы вещества равно постоянной Авогадро,
деленной на молярную массу вещества:
52
n1 
NA
.
M
Число молекул в данной массе вещества m равно постоянной Авогадро,
умноженной на количество вещества:
n  N A или n 
m
NA.
Ì
Число молекул в единице объёма вещества (концентрация молекул) равно
числу молекул в единице массы вещества, умноженному на плотность этого
вещества ρ:
n0  
NA
.
M
Основное уравнение молекулярно - кинетической теории газов имеет две
формы записи:
1. Уравнение Клаузиса. Давление р, производимое газом, численно равно
двум третям средней кинетической энергии  поступательного движения
молекул в единице объема n0;

2.
Уравнение
Больцмана.
2
n0 .
3
Средняя
кинетическая
энергия

поступательного движения одной молекулы пропорциональна абсолютной
температуре Т:
 
где k – постоянная Больцмана ( k 
R
NA
3
kT ,
2
).
Зависимость давления р от концентрации n0 молекул и абсолютной
температуры Т:
р= n0 k Т.
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы:
 
53
1
kT .
2
Средняя
кинетическая
энергия
(поступательного
и
вращательного
движений) одной молекулы:
i 
i
kT ,
2
где i -число степеней свободы: для одноатомных газов i = 3, для двухатомных
i=5 (воздух, двухатомный газ), для трехатомных и более атомных газов i =6.
Средняя квадратичная скорость молекулы:
 êâ 
3kÒ
,
m1
 êâ 
3RT
.
M
где m1 - масса одной молекулы, или:
Средняя арифметическая скорость молекулы:
 
8RT
8kT
или  
.
M
m1
Наиболее вероятная скорость молекулы:
â 
2kT
или  â 
m1
2 RT
.
M
Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна абсолютной
температуре:
U 
i
RT  C v T
2
или:
U
m i
m
RT 
CvT ,
M 2
M
где СV – молярная теплоёмкость при постоянном объёме.
Теплоёмкость есть физическая величина, численно равная количеству
теплоты, необходимого для нагревания вещества (газа) на один градус:
C
Q .
T
Удельная теплоемкость с связана с молярной теплоёмкостью С формулой:
54
c
C
,
M
где М – молярная масса.
Молярная теплоёмкость при V= const:
i
R.
2
Cv 
Молярная теплоёмкость при р = const:
Cp 
i2
R.
2
Отношение γ молярной теплоёмкости
при р = const к молярной
теплоёмкости при V = const выражается формулой:
 
Cp
Cv

i2
.
i
Уравнение Роберта – Майера:
Ср = СV+ R.
Методические указания
При решении задач на основное уравнение молекулярно - кинетической
теории газов надо знать химическую формулу молекул газов, например, Н2, О2,
СО2, Н2О и т.д., для определения числа степеней свободы, молярной массы и
др. Уметь пользоваться табличными данными из справочников по физике.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти кинетическую энергию  вращательного движения одной
молекулы кислорода при температуре 13о C, а также кинетическую энергию W
вращательного движения всех молекул, содержащихся в m = 4 г кислорода. k = 1, 3810-23
Дж/ град, NA= 6,02 · 1023 моль -1 , M = 32  10 –3 кг/ моль.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится:
 о = ½ k Т.
(1)
Молекула кислорода – двухатомная, следовательно, i = 5, на вращательное движение
приписывается i = 2, тогда энергия вращательного движения:
 = 2· ½ k Т = k Т
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул:
55
(2)
W=n  ,
где n = NA = NA
(3)
m
и, учитывая формулы (2) и (3),
M
W = NA
m
.
M
Подставляя данные, рассчитаем W  6.02  10 23
Проверим размерность: [W ] 
4  10 3
 3.94  10 21 Дж =296Дж.
32  10 3
кг  моль
Дж  Дж .
моль  кг
Пример 2. Молярная масса газа M =44 ·10-3 кг/моль, отношение
удельные теплоемкости газа Cp и CV . R = 8,32
Cp
CV
 1,33 . Найти
Дж
.
град  моль
Решение. Удельная теплоемкость связана с молярной теплоемкостью по формуле:
ÑV 
Из соотношения
Cp
CV

Cp i  2 R
CV
iR


 .
и cp 
M 2M
M
2 M
i2
найдем i: 1, 33 i = i +2; 0,33 i = 2; i =6.
i
6 8.32
Äæ
cV  
 5,67 10 2
,
3
2 4.4 10
êã  ãðàä
cp 
6  2 8.362
Äæ

 7,5  10 2
.
3
4 44  10
êã  ãðàä
2. 3. Элементы статистической физики
Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу
времени:
Z  2d 2 n0 ,
где d - эффективный диаметр молекулы; no – концентрация молекул;  - средняя
арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа:


1
2d 2 n0
.
Барометрическая формула (зависимость давления идеального газа от высоты h в
поле силы тяжести):
56
p  p0 e
 Mgh
RT
,
где р – давление газа на высоте h; p0 – давление газа на высоте h = 0; М – молярная масса
газа; g - ускорение свободного падения; R – молярная газовая постоянная; T – абсолютная
температура.
Распределение Больцмана (распределение концентрации частиц в поле силы
тяжести):
n  n0 e
 mgh
kT
,
где n – концентрация частиц в точках пространства, в которых потенциальная энергия П =
mgh; no- концентрация частиц в точках пространства, в которых потенциальная энергия П
= 0.
Закон Максвелла
распределения
молекул по скоростям. Число ∆n молекул,
относительные скорости которых находятся в интервале от u до u + ∆u определяется по
формуле:
n 
4
2
nu 2 e u u,
2
где n – общее число молекул; ∆u – интервал относительной скорости (∆u‹‹ u).
Относительная скорость молекулы :
U

.
â
Закон Фика. Масса ∆m газа, перенесенная в результате диффузии через площадку S
за время ∆t , выражается формулой:
m   D (
dn
) m1 St ,
dx
где D – диффузия (коэффициент диффузии); dn – градиент концентрации молекул; m1 –
dx
масса одной молекулы.
Диффузия (коэффициент диффузии):
D
1
 .
3
Закон Фурье. Теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение
площадью S за время ∆t, выражается формулой:
57
Q  
где λ – теплопроводность;
dT
St ,
dx
dT
– градиент температуры.
dx
Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа:
1
3
  c v p 
где
1
3
или   ên   ,
ρ - плотность газа; сV - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,  –
средняя арифметическая скорость молекул;  – средняя длина свободного пробега
молекул.
Закон Ньютона. Сила F внутреннего трения между движущимися слоями газа:
F
где dp  
dp
d

S ,
dt
dz
d
Sdt - импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного
dz
слоя газа в другой через элемент поверхности ∆S; η – динамическая вязкость газа;
d
dz
-
градиент (поперечный) скорости течения слоев газа; d t - время переноса.
Динамическая вязкость:
1
3
    ,
где ρ - плотность газа (жидкости);  - средняя скорость хаотического движения молекул
газа,   средняя длина свободного пробега молекул.
Примеры решения задач
Пример 1. Средняя длина свободного пробега молекул углекислого газа при
нормальных условиях равна  = 4·10-6 см. Какова средняя арифметическая скорость 
молекул? Сколько столкновений Z в секунду испытывает молекула?  со = 44 · 10-3
2
кг/моль, Т=273 К, R = 8, 32 Дж /град·моль.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул:
Подставив данные, определим  
8  8,32  273
 362 ì / ñ .
3,14  44 10 3
58

8RT
.
M
Число столкновений молекулы в секунду выражается формулой: Z 
Z 


.
362
 9,05  10 9 c 1 .
4  10 8
Проверим размерность:
  
Äæ  ãðàä  ìîëü

ãðàä  ìîëü  êã
Z  
êã  ì  ì
ì
 ,
2
ñ êã
ñ
м
 с 1 .
см
Пример 2. Определить при каком градиенте плотности

углекислого газа через
х
каждый квадратный метр S = 1м2 поверхности почвы продиффундирует в атмосферу в
течение t =1 ч масса газа m = 720 мг, если коэффициент диффузии D = 0,04 см2/ с .
Решение. Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом
m  D
Фика:

  m
St , отсюда

.
õ
õ DSt
Подставив числовые значения, определим

 7,2  104

 0,05êã / ì
õ 4  10 6  1  3,6  103

4
 0,05êã / ì 4 .
êã  ñ
 
 êã / ì 4 .
Проверим размерность:    2
2

õ
ì

ñ

ì
 
Пример 3. Каким должно быть давление воздуха ρ на дне скважины глубиной h=8
км, если считать, что масса киломоля воздуха М=29 кг/ кмоль, температура по всей высоте
постоянная и равна Т = 300 К, а давление воздуха у поверхности Земли равно ρо= 105 Па. R
8,31 Дж/Кмоль., g = 9,8 м/с2 .
Решение. Потенциальная энергия молекулы воздуха, находящейся на дне скважины,
относительно поверхности Земли Еn ≈ -mgh.
Из распределения Больцмана:
n  n0
 En
e kT
 n0
 mgh
e kT
.
Но давление газа при неизменной температуре прямо пропорционально
концентрации его молекул:
  0  e
mgh
кT
59
 0  e
Mgh
RT
.
Подставим числовые данные:
29103 9,88103
  10 5 e
 10 5 e 0,.911  2,48  10 5 Па .
8, 313102
кг м мс 2  моль К
Проверим размерность:    Па  e
мольс 2  К кг м м
 Па .
2.4. Основы термодинамики
Первое начало термодинамики:
dQ=dU+dA,
где dQ – количество теплоты, полученное газом, dU – изменение внутренней
энергии газа и dA – работа, совершаемая газом при изменении его объёма.
Работа, связанная с изменением объема газа, вычисляется по формуле:
V2
A=  pdV ,
V1
где V1 – начальный объем газа, V2 – его конечный объем, p - давление газа
Применение I начала термодинамики к изопроцессам:
1) при изотермическом процессе (T=const)
Q A
V
m
 RT  ln( 1 ) ;
Ì
V2
2) при изохорном процессе (V=const)
dQ  dU 
m
 C v dT ;
M
3) при адиабатическом процессе (dQ=0)
pdV  
m
C v dT .
M
Уравнения адиабатического процесса:
pV   const ,
TV  1  const ,
Tp (1 ) /   const ,
где  
Cp
Cv
- показатель адиабаты.
60
Уравнение политропического процесса имеет вид:
pVn=const,
где n-показатель политропы (1<n<γ).
Коэффициент полезного действия тепловой машины:
η= (Q1-Q2)/Q1,
где Q1 – количество теплоты, переданное рабочему телу, Q2 - количество
теплоты, отданное холодильнику.
Для цикла Карно:
η=( T1-T2) / T1,
где T1 – температура нагревателя, T2 - температура холодильника.
Изменение энтропии:
B
dQ
,
T
A
S  
где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и
конечному состояниям системы.
Формула Больцмана:
S = k lnW,
где S – энтропия системы, W – термодинамическая вероятность ее состояния, k
–постоянная Больцмана.
Методические указания.
Решение термодинамических задач основано на уравнении закона
сохранения и превращения энергии с учетом изменения внутренней энергии тел
и некоторых уравнений механики.
Задачи об изменении внутренней энергии можно условно разделить на три
группы. В задачах первой группы рассматриваются такие явления, где в
изолированной системе при взаимодействии тел изменяется лишь их
внутренняя энергия без совершения работы. Уравнение первого начала
термодинамики в этом случае имеет вид dQ = dU. В задачах второй группы
рассматриваются явления, связанные с превращением одного вида энергии в
другой при взаимодействии тел. Результатом такого действия является
61
изменение внутренней энергии одного тела вследствие совершенной им (или
над ним) работы. Если не учитывается теплообмен между телами, то первое
начало термодинамики в этом случае имеет вид: 0 = dU + A. Задачи третьей
группы объединяют в себе две предыдущие. Для решения этих задач надо
составить полное уравнение первого начала термодинамики.
В задачах, где встречается понятие число степеней свободы, необходимо
учитывать, что для одноатомного газа число степеней свободы равно числу
степеней свободы поступательного движения: i = 3. Если молекула состоит из
большого числа атомов, то к степеням свободы поступательного движения
добавляются степени свободы, связанные с вращательным и колебательным
движениями. В рамках классической механики двухатомный газ обладает
пятью степенями свободы, а трехатомные и многоатомные нелинейные
молекулы имеют шесть степеней свободы.
При решении задач на круговые процессы следует помнить: а) если за цикл
совершается положительная работа А > 0 (цикл протекает по часовой стрелке),
то он считается прямым; б) если за цикл совершается отрицательная работа
А<0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он считается обратным.
Прямой цикл используется в тепловых двигателях, совершающих работу за
счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных
машинах, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу
более высокой температурой.
Для анализа тепловых процессов в термодинамике вводится понятие
энтропии, которая наряду с энергией является важной характеристикой
состояния системы. Для выяснения физического содержания этого понятия
рассматривают отношение теплоты Q, полученное телом в изотермическом
процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным
количеством теплоты.
В задачах, где оценивается энтропия системы или ее изменение, необходимо
учитывать следующие важные положения:
62
- энтропия системы, состоящей из нескольких тел, равна сумме энтропии
этих тел;
- если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то ее
энтропия остается неизменной (или изменение энтропии ∆Q = 0);
- если в изолированной системе происходят необратимые процессы, то ее
энтропия возрастает.
Примеры решения задач
Пример 1. Плотность некоторого многоатомного газа при температуре 17°С
и давлении p =105 Па равна  =0,795 кг/м3 . Найти удельную теплоемкость cV
этого газа при постоянном объеме.
Решение. Удельную теплоемкость при постоянном объеме найдем по формуле:
сv = ÑV  iR
M
2M
.
Формулу для молярной массы получим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
M 
RT
p
,
где ρ - плотность газа. Учитывая, что для многоатомного газа i =6, имеем:
pi
cV 

2 T
10 5 Ïà  6
Äæ
 1300
.
êã
êã  Ê
2  0,8 3  290 Ê
ì
Пример 2. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре
Т=300 К от давления р1=100 кПа до давления р2=500 кПа. Определить: 1)
изменение внутренней энергии газа dU; 2) работу сжатия À ; 3) количество
выделившейся теплоты Q.
Решение. Изменение внутренней энергии dU=0, так как dT=0. Работу сжатия
при изотермическом изменении давления можно оценить по формуле:
À
V
P
m
m
RT n 2 
RT n 1 
M
V1 M
P2
Äæ
 300 Ê
1
êìîëü
 n  2,01êÄæ .
êã
5
28  10 3
ìîëü
14  10 3 êã  8,31
Знак «-» указывает, что работа сжатия совершена над термодинамической
системой. Согласно 1-го начала термодинамики Q=-A=2,01 кДж.
63
Пример 3. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно,
совершает за один цикл работу А = 7,35.104 Дж. Температура нагревателя Т1
=373 К, температура холодильника Т2 =273 К. Найти коэффициент полезного
действия  машины, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл
от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл
холодильнику.
Решение. По формуле коэффициента полезного действия цикла Карно найдем:
η = (Т1 – Т2)/Т1 = 0,268.
Работа, совершаемая идеальной тепловой машиной за один цикл, равна:
А = Q1 – Q2 .
Из формулы η = (Q1 – Q2)/Q1 = A/Q1 выразим:
Q1 = A/η =7,35104 Дж/0.268 =27,4104 Дж.
Тогда Q2 = Q1 – A = 2105 Дж.
Пример 4. Определить изменение энтропии ΔS при изотермическом
расширении кислорода массой m = 10 г от объема V1 = 25 л до объема V2= 100 л.
Решение. Так как процесс изотермический:
b
dQ 1 2
Q
S  
  dQ  .
T1
T
a T
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу
термодинамики для изотермического процесса (dU =0):
Q=А=
V
m
RTn 2 .
M
V1
Окончательно:
ΔS=
V
m
10  10 3
Rn 2  (
)  8.31  ln 4  3,6( Äæ / Ê ).
M
V1
32  10 3
2.5. Реальные газы
Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля реального газа:
( p  a / Vm2 )(Vm  b)  RT ,
64
где Vm – молярный объем газа, а и b - постоянные Ван-дер-Ваальса, различные
для разных газов и рассчитанные на один моль газа, p – давление, Т –
абсолютная температура, R –молярная газовая постоянная.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного количества вещества (v=m/M):
( p + v2a/V2 )(V – vb) =vRT,
где V – объем всего газа, М – молярная масса, v2a/V2 - давление, обусловленное
силами взаимодействия молекул, vb - объем, связанный с собственным объемом
молекул.
Связь критических параметров – молярного объема, давления и температуры
газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:
Vm кр = 3b, ркр =а/27b2 , Ткр = 8а/27Rb.
Если ввести приведенные величины τ = Т/Ткр, π = р/ркр , ω = Vm/Vm кр,
то уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид (для одного моля):
( π +3/ω2)(3ω - 1)= 8τ.
Внутренняя энергия реального газа:
U = ν(CvT– a/Vm),
где Сv – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Методические указания
Величины a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса являются почти постоянными
для каждого газа и определяются экспериментально. Давление, обусловленное
силами взаимодействия молекул, носит название внутреннего давления и
определяется выражением:
p  2
a
.
V2
Объём, занимаемый самими молекулами газа, приблизительно равен
учетверённому собственному объёму этих молекул:
νb=4V.
Состояние газа с критическими параметрами (pкр, Vкр, Tкр) называется
критическим
состоянием.
Критической,
например,
называется
такая
температура, ниже которой газ, сжимая можно превратить в жидкость, а выше
65
которой газ нельзя превратить в жидкость никаким давлением. Значения
постоянных Ван-дер-Ваальса и критических параметров многих газов и газовых
смесей приводятся в таблицах физических величин.
Примеры решения задач
Пример 1. Постоянные Ван-дер-Ваальса для азота имеют значения: а = 0,135
Нм4 /моль2 и b = 3,8610-5 м3 /моль. Под каким давлением будет находиться
масса азота m = 0,2 кг, занимающего объем V = 3 л, при температуре t = 170 С ?
Молярная масса азота М = 2810-3 кг/моль.
Решение. Из уравнения Ван-дер-Ваальса для произвольного количества
вещества газа выразим давление, производимое азотом:
p
vRT
a
 v2 2 .
V  vb
V
Все величины запишем в системе СИ: V = 310-3 м3, T =290 K, M = 2810-3
кг/моль, R = 8.31 Дж/К моль. Тогда:
m
2
RT
m a
M
p
 

m
M  V2

V
b
M
Äæ
7.14 ìîëü  8 ,31
 290 Ê
Ê * ìîëü

 51 ìîëü
ì 3
3
3
5
3  10 ì  7 ,14 ìîëü  3 ,86  10
ìîëü
2
Í ì 4
0 ,135
ìîëü 2  5 ,5 ÌÏà
9  10 6 ì 6
Пример 2. Оценить внутреннее давление и собственный объём молекул
кислорода, находящегося в сосуде объёмом V=10 л и имеющего массу m=32 г.
Поправки a и b принять равными соответственно 0,136 Hм4/моль2 и 3,17 10-5
м3/моль.
Решение. В единицах СИ V=10-2 м3, m=0,032 кг, М=3210-3 кг/моль.
Собственный объём молекул кислорода найдем, воспользовавшись постоянной
b Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся в
одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса νb=4V'. Отсюда:
V 
vb m b

 
4
M 4
66

32  10 3 êã
3,17  10 5 ì

4
32  10 3 êã / ìîëü
3
/ ìîëü
 0 ,79  10 5 ì 3 .
В уравнении Ван-дер-Ваальса внутреннее давление газа:
Í ì
0,136
2
2
v a
m a
ìîëü
p'= 2  2 2  1ìîëü 2 
4
V
M V
10 ì 6
4
2
 1,36  10 3 Ïà .
Пример 3. В закрытом сосуде находится углекислый газ массой m=88 г.
Определить изменение ∆U внутренней энергии газа при изотермическом
расширении его от V1=1000 см3 до V2 =3000 см3. Поправку a принять равной
0 ,361 H  ì
4
/ ìîëü
2
.
Решение. Воспользуемся формулой внутренней энергии реального газа:
U= ν(CvT-a/Vm) или U 
Учтено, что Vm=
V


m
ma
(C T 
).
M
MV
VM
.
m
Изменение ∆U внутренней энергии в результате изотермического расширения:
U  U 2  U 1 
m 2 a(V2  V1 )
M 2V1V2
.
Производя вычисления, получим:
(88  10 3 êã) 2  0,361Í  ì 4 / ìîëü 2  2  10 3 ì 3
U 

(44  10 3 êã / ìîëü ) 2  10 3 ì 3  3  10 3 ì 3
2
 4 ìîëü 2  0,361Í  ì 4 / ìîëü 2 
 103  0,96êÄæ
3
3ì
2.6. Жидкости
Поверхностное натяжение:
σ = F/l,
где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l,
ограничивающий поверхность жидкости, или:
σ=∆E/∆S,
где
∆E – изменение свободной энергии поверхностной плёнки жидкости,
связанное с изменением площади ∆S поверхности этой плёнки.
67
Добавочное давление, вызванное кривизной поверхности жидкости,
определяется формулой Лапласа:
p = σ (1/ R1 + 1/ R2),
где σ – поверхностное натяжение, R1 и R2 - радиусы кривизны двух взаимно
перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в случае сферической
поверхности p = 2σ/r. Радиус считается положительным, если центр кривизны
находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицательным, если центр
кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск).
Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке:
h = 2σ cos θ /ρ gR,
где R – радиус канала трубки; ρ – плотность жидкости; θ – краевой угол; g –
ускорение свободного падения. При полном смачивании θ = 0, при полном
несмачивании θ = π.
Высота подъёма жидкости между двумя близкими и параллельными
плоскостями:
h = 2σ cos θ/ρgd,
где d – расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1. Для
определения
поверхностного натяжения жидкостей
пользуются капельным методом. Например, для воды при температуре 200 С
поверхностное натяжение σ = 73 мН/м. Учитывая, что число капель воды,
вытекающей из тонкой трубы, составило n = 100, а радиус шейки капли в
момент отрыва r = 0,5 мм, оценить общую массу вытекающей воды m.
Решение. Воспользуемся формулой σ = F/l , где F – сила поверхностного
натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости.
Поскольку l = 2πr, а вес капли в момент отрыва равен силе поверхностного
натяжения, имеем mg/n = σ 2πr. Отсюда m = 2πr n σ/g = 2,3 г.
Пример
2.
В
почвенном
монолите
за
счет
его
пористости
(капиллярности) вода поднялась на высоту h = 40 см. Считая, что поры имеют
68
цилиндрическую форму, а вода полностью смачивает почву, определить
диаметр d почвенных капилляров.
Решение. Из формулы высоты поднятия жидкости в капиллярной трубке имеем
R = 2 σ cosθ/ρgh или, учитывая θ = 0 (условие полного смачивания), d = 2R =
4 σ/ρgh = 73 мкм.
Пример 3. Воздушный пузырек диаметром d = 0.01 мм находится на
глубине
h = 20 cм под поверхностью воды. Определить давление воздуха в
этом пузырьке. Внешнее атмосферное давление p1 = 105 Па. Поверхностное
натяжение воды σ = 73 мН/м, а ее плотность ρ = 1 г/см3 .
Решение. Давление воздуха в пузырьке сложится из атмосферного давления р1,
гидростатического давления воды р2 = ρgh и добавочного давления ∆p =2 σ/r =
4 σ/d, вызванного кривизной поверхности. Таким образом, p = p1 + ρgh + 4 σ/d.
У нас p1 = 105 Па, p2 = 1,97 кПа и p3 = 29,2 кПа. Следовательно, давление
воздуха в пузырьке p = 131,17 кПа.
69
Предпоследняя цифра
цифра
Последняя
Самостоятельная работа 2
четная
нечетная
1
201 224 249 265 304 315 336 202 225 250 294 305 316 335
2
203 227 251 266 302 320 338 204 226 252 293 303 323 337
3
205 229 253 267 300 324 340 206 228 254 292 301 317 339
4
207 231 255 268 238 317 342 208 230 256 291 299 318 341
5
209 233 257 269 296 322 344 210 232 258 290 297 321 343
6
211 235 259 270 313 319 337 212 234 260 289 314 320 338
7
213 237 261 271 311 325 339 214 236 262 288 312 326 340
8
215 239 263 272 309 321 342 216 238 264 287 310 322 341
9
217 236 250 273 307 327 344 218 235 249 286 308 328 343
10
219 230 252 274 305 323 340 220 229 251 285 306 324 339
11
221 226 254 275 303 329 343 222 248 255 284 304 330 344
12
223 247 256 276 301 316 341 224 246 257 283 302 315 342
13
202 245 258 277 299 331 339 203 244 259 282 300 332 340
14
204 243 260 278 297 318 337 209 242 261 281 298 319 338
15
208 241 262 279 295 333 335 211 240 264 280 296 334 336
Законы идеальных газов
201. Определить давление воздуха при температуре t= 227о С, если его плотность ρ =
0,9 кг/м3.
202. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы при неизменном давлении
объем газа удвоился ? Начальная температура газа t =27о С .
70
203. Определить молярную массу газа, который при температуре t = 47о С и давлении
p = 2,02 105 Па имеет плотность ρ = 0,153 кг/м3.
204. Определить емкость баллона, в котором находится кислород массой m = 4,3 кг
под давлением p = 15,2 МПа при температуре t =27oС.
205. В закрытом баллоне находится газ при нормальном атмосферном давлении и
температуре t1 = 27оС. Каково будет давление газа, если его нагреть до температуры t 2 =
77оС ?
206. Газ, находящийся при температуре t1=17оС, нагрели при неизменном давлении
так, что его объем удвоился. Определить конечную температуру t2 газа .
207. Для сварки израсходован кислород массой m = 3,2 кг. Каков должен быть
минимальный объем сосуда с кислородом, если стенки сосуда рассчитаны на давление
р=15,2 МПа? Температура газа в сосуде t=17оС.
208. Определить температуру водорода, имеющего плотность ρ=6 кг/м3 при давлении
р= 12,1 МПа.
209. Определить плотность воздуха при температуре t= 307оС и давлении р=104 Па.
210. Определить давление газа с количеством вещества =2 моль, занимающего
объем V=6 л при температуре t= -38оС.
211. Определить молярную массу М газа, у которого при температуре t=58оС и
давлении р=0,25 МПа плотность ρ=4 кг/м3 .
212. Определить давление смеси, состоящей из водорода массой m1=10 г и гелия
массой m2=20 г при температуре t= -7о. Смесь газов находится в баллоне объемом V=5л.
213. В баллон накачали водород, создав при температуре t=6оС давление р = 7,73
МПа. Определить плотность ρ газа в баллоне.
214. Для сварки был применен газ, находящийся в баллоне объемом V=25 л при
температуре t1=27оС и давлении р1=20,2 МПа. Сколько газа было израсходовано, если
давление в баллоне стало р2= 4,04 МПа, а температура t2= - 23оС? Относительная молярная
масса газа М = 26.
215. Определить плотность азота при давлении р = 8,31 МПа и температуре t = 7оС.
216. Какой газ при давлении p = 0,808 МПа и температуре Т = 240 К имеет плотность
ρ = 0, 81 кг/ м3?
71
217. Определить количество вещества  газа, занимающего объем V = 2 см3 при
температуре Т = 241 К и давлении p = 1 Г Па.
218. В колбе вместимостью V = 100 см3 содержится некоторый газ при температуре
Т= 300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы
выйдет N =1020 молекул?
219. Найти плотность ρ азота при температуре Т = 400 К и давлении p = 2 МПа.
220. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением p = 2,5 к Па
и имеющего температуру Т= 250 К.
221. В сосуде объемом V =0,01 м3 при температуре Т = 280 К находится смесь азота
массой m1 = 7 г и водорода m2= 1 г. Определить давление p смеси газов.
222. Масса m воздуха, поступающего в легкие теленка при одном вдохе 3,5 · 10-4кг,
объем V вдыхаемого воздуха 0,3л, температура t легких 36,7 оС. Каково давление воздуха в
легких теленка?
223. Какова плотность ρ насыщенного водяного пара, содержащегося в воздухе
теплицы для выращивания огурцов, при температуре t = 27o C? Если давление пара при
этой температуре 3550 Па.
224. При температуре t = 27o C и давлении 1,013 · 10 5 Па в парнике находится 2,45 ·
1027 молекул воздуха. Вычислить объем парника.
Основы молекулярно-кинетической теории газов
225. Сколько молекул газа содержится при нормальных условиях в колбе объемом
V= 0,5 л?
226. Сколько молекул содержится в m = 2 г кислорода?
227. Определить количество вещества  и число N молекул кислорода массой m =0,5
кг.
228. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества = 0,2 моль; 2)
массой m =1г?
229. Найти молярную массу М и массу m одной молекулы поваренной соли.
230. Определить массу m одной молекулы углекислого газа.
72
231. Подсчитать массу m и количество молей  водяного пара, находящегося в 1м 3
воздуха на скотном дворе, если парциальное давление p этого пара 1200 Па, а температура t
воздуха 27оС.
232. Какова средняя квадратичная скорость атомов гелия при температуре 27o C?
233. У молекул какого газа наиболее вероятная скорость при t = 132o C равна 460 м/с?
234. Найти среднюю квадратичную и среднюю арифметическую скорости молекул
азота при t =27o C.
235. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если
известно, что их средняя квадратичная скорость 0,8 км/с.
236. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул азота больше
средней квадратичной скорости пылинок, взвешенных в азоте, если масса одной
пылинки 10-9 г?
237. Сосуд емкостью 1 л содержит 1,5 г некоторого газа под давлением
2,53·105 Па. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.
238. При какой температуре молекулы водорода имеют такую же среднюю
квадратичную скорость, как молекулы аргона при 27°С?
239. Определить кинетическую энергию поступательного движения одной
молекулы аммиака при 100°С, а также полную кинетическую энергию молекул,
содержащихся в одном моле аммиака при той же температуре.
240. Чему равна энергия теплового движения молекул, содержащихся в 12 г
азота при 17°С?
241. Вычислить энергии вращательного и поступательного движений
молекул, содержащихся в 1 кг кислорода при 7°С.
242. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа,
заключенного в сосуд объемом 5 л и находящегося под давлением в 2,53 · 105 Па?
243. При температуре 21°С в сосуде содержится 10 24 молекул газа.
Определить
кинетическую
энергию
поступательного
движения
всех
молекул.
244. Кинетическая энергия поступательного движения всех молекул
кислорода, выделенного растениями в процессе фотосинтеза за день, 5 кДж.
73
Средняя квадратичная скорость этих молекул 470 м/с. Какова масса
выделенного растениями кислорода?
245.
Сколько
степеней
свободы
имеет
молекула, обладающая
кинетической энергией 9,7·10 -21 Дж при 7°С?
246. Найти молярную теплоемкость кислорода: 1) при объеме V =
const; 2) при давлении р = const.
247. Найти удельные теплоемкости азота при постоянном объеме и при
постоянном давлении, а также их отношение γ.
248. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при
постоянном объеме для газа, молярная масса которого 0,044 кг/моль, а
отношение теплоемкостей γ = ср/сv=1,33.
Элементы статистической физики
249.
Определить
среднюю
длину
свободного
пробега
молекул
кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы
кислорода принять равным 2,9·10-10 м.
250. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул
водорода 2,5 см? Температура водорода 68°С, а эффективный диаметр
молекулы 2,3 · 10 -10 м.
251. Найти среднее число столкновений в 1 с молекулы углекислого газа
при 100°С, если средняя длина свободного пробега молекул 8,7 · 10-2 см.
252. Сколько молекул содержится в 1 см 3 водорода, находящегося при
давлении 1,013 · 10 s Па и температуре 27°С? Чему равна средняя
арифметическая скорость этих молекул? Сколько соударений в секунду
испытывает молекула, если ее эффективный диаметр 2,3 · 10-8 см?
253. Какова плотность разреженного водорода, если средняя длина
свободного пробега молекул 1 см, эффективный диаметр молекулы 2,3 · 10-8
см?
254. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул
азота равна 1 мм, если при нормальном давлении она составляет 6 · 10 -6
см?
74
255. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных
условиях, если коэффициент диффузии азота при этих условиях 1,42 · 10-5
м2/с.
256. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях равен
0,91 см2/с. Определить коэффициент теплопроводности водорода при этих
условиях.
257.
Средняя
длина
свободного
пробега
атомов
гелия
при
нормальных условиях 1,85 ·10-5 см. Определить коэффициент диффузии
гелия.
258. Коэффициент диффузии кислорода при 0°С равен 0,19 см2/с.
Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода.
259. Эффективный диаметр молекулы аргона 2,7 · 10-8 см. Определить
коэффициент внутреннего трения для аргона при 50°С.
260. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при
некоторых условиях равны соответственно 1,42 см2/с и 8,5 · 10-6 Нс/м2. Найти
плотность водорода при этих условиях.
261. Коэффициент теплопроводности кислорода при 100°С равен 3,25 ·
10-2 Вт/(м·К). Вычислить коэффициент вязкости кислорода при этой
температуре.
262. Найти количество азота, прошедшего вследствие диффузии через
площадку 10 см2 за 5 с, если градиент плотности азота в направлении,
перпендикулярном площадке, 1,26 · 10-3 г/см4. Коэффициент диффузии 1,42
см2/с.
263. За сколько времени 720мг углекислого газа продиффундируют
из чернозема в атмосферу через 1м 2 его поверхности при градиенте
плотности 0,5 · 10-6 г/ см4? Коэффициент диффузии принять равным
0,04см2/с.
264. За сутки через 1 м 2 поверхности дерново-подзолистой почвы
продиффундировало 145 г углекислого газа. Определить коэффициент
диффузии углекислого газа, если градиент плотности в нем 1,4·10-5 г/см4.
75
Основы термодинамики
265.
Разность удельных теплоемкостей сp – сv некоторого двухатомного
газа равна 260 Дж/кгК. Найти молярную массу М газа и его удельные
теплоемкости при постоянном объеме и давлении.
266. Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоемкость
для изохорного процесса и изобарного процесса.
267.
Для некоторого двухатомного газа удельная теплоемкость при
постоянном давлении равна 14665 Дж/кг К. Чему равна молярная масса этого
газа?
268. Определите удельную теплоемкость газа при постоянном давлении,
если известно, что молярная масса газа М=30 г/моль, отношение теплоемкостей
сp / сv = 1,4.
269. Определить, во сколько раз показатель адиабаты для гелия больше,
чем для углекислого газа.
270. Чему равны удельные теплоемкости сv и сp некоторого двухатомного
газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м3?
271. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на ∆Т =
72 К, сообщив ему количество тепла Q=1,6 кДж. Найти приращение его
внутренней энергии и величину γ = сp / сv.
272. Трехатомный газ под давлением P = 240 кПа и температуре t = 20 оС
занимает объем V = 10 л. Определить теплоемкость газа Сp этого газа при
постоянном давлении.
273. В сосуде объемом V = 6 л находится при нормальных условиях
двухатомный газ. Определить теплоемкость Сv этого газа при постоянном
объеме.
274. Определить молярные теплоемкости Сv и Сp смеси двух газов –
одноатомного и двухатомного. Количество вещества ν1 – одноатомного и ν2 –
двухатомного газов соответственно равны 0,4 и 0,2 моль.
275. Кислород, занимавший объем V1 =1 л под давлением p1 =1,2 МПА,
адиабатно расширился до объема V2 =10 л. Определить работу расширения газа.
76
276. Двухатомному газу сообщено 500 калорий тепла. При этом газ
расширяется при постоянном давлении. Найти работу расширения газа.
277. Двухатомный идеальный газ в количестве ν =2 моль нагревают при
постоянном объеме до температуры Т =289 К. Определите количество теплоты,
которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в n = 3 раза.
278. Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода
массой m = 5 г, взятого при температуре Т = 290 К, если объем газа
увеличивается в три раза?
279. Один моль аргона расширили по политропе с показателем n =1,5 . При
этом температура газа испытала приращение ∆Т =26 К. Найти полученное
газом количество теплоты и совершенную газом работу.
280. Пары ртути массой m = 200 г нагреваются при постоянном давлении.
При этом температура возросла на ∆Т =100 К. Определить увеличение
внутренней энергии паров и работу расширения. Молекулы паров ртути
одноатомные.
281. При адиабатном сжатии углекислого газа с количеством вещества ν
=2 моль его температура увеличилась на ∆Т=20 К. Какую работу совершили
над газом?
282. Кислород массой m = 200 г занимает объем V1= 100 л и находится
под давлением p1 = 200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном
давлении до объема V2 = 300 л, а затем его давление возросло до P3 =500 кПа
при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии
ΔU
газа,
совершенную им работу А и теплоту Q1 переданную газу. Построить график
процесса.
283. Водород массой m = 40 г, имевший температуру Т = 300 К, адиабатно
расширился, увеличив объем в n1 = 3 раза. Затем при изотермическом сжатии
объем газа уменьшился в n2 = 2 раза. Определить полную работу А,
совершенную газом, и конечную температуру Т газа.
77
284. Азот массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет от температуры Т1 = 200
К до температуры Т2 = 400 К. Определить работу А, совершенную газом,
полученную им теплоту Q и изменение ΔU внутренней энергии азота.
285. Определить количество теплоты, сообщенное 88 г углекислого газа,
если он был изобарически нагрет от 300 К до 350 К. Какую работу при этом
может совершить газ и как изменится его внутренняя энергия?
286. При изохорном нагревании кислорода объемом V = 50 л давление газа
изменилось на ∆p = 0,5 МПа. Найти количество теплоты, сообщенное газу.
287. 1 литр гелия, находящегося при нормальных условиях, изотермически
расширяется за счет полученного извне тепла до объема 2 л. Найти работу,
совершенную газом и количество теплоты, сообщенное газу.
288. 1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется
адиабатически от объема V1 до V2 = 5 V1 . Определить изменение внутренней
энергии газа и работу, совершенную при расширении.
289. Кислород, занимающий 10 л и находящийся под давлением 0,2 МПа,
адиабатно сжат до объема 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней
энергии кислорода.
290. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном
расширении 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная
температура азота 300 К.
291. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определите
работу расширения, если пару передано количество теплоты Q = 4 кДж.
292. В вертикальном цилиндре под поршнем находится кислород массы
m=2 кг. Для повышения температуры кислорода на ΔТ = 5 К ему было
сообщено количество теплоты Q = 9160 Дж. Найти удельную теплоемкость
кислорода при постоянном давлении cp, работу А, совершаемую им при
расширении, и увеличение его внутренней энергии ΔU. Молярная масса
кислорода М = 0,032 кг/моль.
293. В цилиндре под поршнем находится кислород массой 2 кг. Поршень
закреплен. Какое количество теплоты Q нужно сообщить кислороду, чтобы его
78
температура повысилась на ΔТ = 5 К? Найти увеличение внутренней энергии
ΔU и удельную теплоемкость кислорода сv в этом случае.
294. В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массы
m=0,2кг при температуре
t1 = 20 оС. Азот, расширяясь, совершает работу
А=4,47 кДж. Найти изменение внутренней энергии азота ΔU и его температуру
Т2 после расширения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме сv =
745 Дж/кг К.
295. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80%
тепла, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Количество
теплоты, получаемое от нагревателя, равно 6,4 кДж. Найти термический КПД
цикла и работу, совершенную при полном цикле.
296. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя
количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу
1,1 кДж. Определить
термический КПД цикла и отношение температур нагревателя и холодильника.
297. Водород совершает цикл Карно. Найти термический КПД цикла, если
при адиабатическом расширении его объем увеличивается в 2 раза.
298. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа А1 , изотермического
расширения газа равна 5 Дж. Определить работу А2 изотермического сжатия,
если термический КПД цикла равен 0,2.
299. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику
65% теплоты,
полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если
температура нагревателя 400 К.
300. Тепловая машина работает по циклу Карно, термический КПД
которого 0,4. Каков будет КПД этой машины, если она будет совершать тот же
цикл в обратном направлении.
301. В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении
температуры нагревателя на
∆Т или при уменьшении температуры
холодильника на такую же величину?
302. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу
Карно, совершает за один цикл работу 37 кДж. При этом она берет тепло от
79
тела с температурой -10 оС и передает тепло телу с температурой 17 оС. Найти:
1) КПД цикла, 2) количество теплоты, отнятое у холодного тела за один цикл,
3) количество теплоты, переданное горячему телу за один цикл.
303. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу
Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре
0 оС
кипятильнику с водой при температуре 100 оС. Какую массу воды нужно
заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 1 кг воды в кипятильнике?
304. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура Т1
теплоотдатчика равна 500 К, температура теплоприемника Т2=250 К.
Определить термический к.п.д. цикла, а также работу А1 рабочего вещества при
изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена
работа А2 =70 кДж.
305. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг
воды при температуре 300 К и 4 кг воды при температуре 370 К.
306. В результате изохорного нагревания водорода массой m = 1 г
давление газа увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии газа ∆S.
307. Найти изменение энтропии при нагревании 1 кг свинца от 00 С до
температуры плавления 327 0С и при его полном плавлении.
308. 10 г кислорода нагреваются изобарически от 500 С до 1500 С. Найти
изменение энтропии.
309. Найти приращение энтропии одного моля Ван-дер-Ваальсовского газа
при изотермическом изменении его объема от V1 до V2 .
310. Кислород массой m = 1 кг при давлении p1 = 0,5 МПа и температуре t1
= 1270С, изобарно расширяясь, увеличивает свой объем в два раза, а затем
сжимается изотермически до давления p2 = 4 МПа. Определить суммарное
приращение энтропии.
311. Идеальный газ в количестве 2 моль сначала изобарно нагрели, так что
объем газа увеличился в 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление
его уменьшилось в 2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных
процессов.
80
312. Найти изменение энтропии при изохорическом нагревании 2 кмоль
двухатомного газа, если его абсолютная температура увеличивается в 1,5 раза.
313. 1 м3 воздуха, находящегося при температуре 0оС и давлении 2105 Па,
изотермически расширяется от объема
V1 до объема V2 = 2 V1. Найти
изменение энтропии при этом процессе.
314. При нагревании 22 г азота его абсолютная температура увеличилась в
1,2 раза, а энтропия увеличилась на 4,19 Дж/К. При каких условиях
производилось нагревание (при постоянном объеме или при постоянном
давлении)?
Реальные газы
315. 3.5 г кислорода занимают объем 90 см3 при давлении 2.8 Мпа. Найти
температуру газа, считая, что кислород в данных условиях ведет себя как
реальный газ.
316. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом 0.25 л. При
температуре Т1=300К давление газа p1 = 90 атм, а при температуре Т2 =350 К
давление p2= 110 атм. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа.
317. Плотность азота 140 кг/м3 , его давление 10 МПа. Определить
температуру азота, считая газ реальным. Поправки а и в равны соответственно
0.135 Н* м4 /моль2 и 3.86 10-5 м3 /моль.
318. В сосуде вместимостью 0.3 л находится углекислый газ, содержащий
количество вещества 1 моль при температуре 300 К. Определите давление газа
по уравнению Ван-дер-Ваальса.
319. Вычислить постоянные а и в в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота,
если известны критическая температура 126 К и критическое давление 3.39
МПа.
320. Давление газа в 12 раз больше его критического давления, объем
равен половине критического объема. Используя уравнение Ван-дер-Ваальса в
приведенных величинах, определить во сколько раз температура газа больше
критической температуры.
81
321. Некоторый газ в количестве 0.25 кмоль занимает объем V1 =1 м3 .
При расширении газа до объема V2=1.2 м3 была совершена работа против сил
межмолекулярного притяжения, равная 1.42 кДж. Определить поправку а,
входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
322. 0,6 кмоль углекислого газа находится в закрытом сосуде объемом 0,5
м3 при давлении 3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во
сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось
вдвое.
323. Азот массой 14 кг находится при температуре 27оС и давлении 5 МПа.
Найти объем газа, считая, что азот при данных условиях ведет себя как
реальный газ.
324. Критическая температура Ткр аргона равна 151 К и критическое
давление ркр = 4,86 МПа. Определить по этим данным критический объем Vкр
аргона.
Жидкости
325. Определить поверхностное натяжение касторового масла, если в
трубке радиусом R =0,5 мм оно поднялось на высоту h =14 мм. Смачивание
считать полным.
326. Глицерин в капиллярной трубке диаметром d =1 мм поднялся на
высоту h = 20 мм. Определить коэффициент поверхностного натяжения
глицерина. Смачивание считать полным.
327. Определить высоту поднятия воды в стеблях растений с внутренним
диаметром d =0,4 мм под действием капиллярных сил. Смачивание стенок
считать полным.
328. Определить радиус капли спирта, вытекающей из узкой вертикальной
трубки радиусом r =1 мм. Считайте, что в момент отрыва капля сферическая.
Поверхностное натяжение спирта σ =22 мН/м, а его плотность ρ =0,8 г/см3 .
329. Трубка имеет диаметр d1= 0,2 см. На нижнем конце трубки повисла
капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр этой капли
d 2.
82
330. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь,
увеличить его диаметр от 1 см до 11 см? Считать процесс изотермическим.
331. Две капли ртути радиусом r = 1 мм каждая слились в одну большую
каплю. Какая энергия Е выделится при этом слиянии? Считать процесс
изотермическим.
332. Найти массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром
канала
d = 0,8 мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание
полным.
333. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить,
чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыря радиусом 1 см. Коэффициент
поверхностного натяжения мыльного пузыря σ = 0,043 Н/м.
334. Капиллярная трубка, открытая с обоих концов имеет радиус r = 1 мм и
наполнена водой. Трубку поставили вертикально. Какова будет высота столба
оставшейся в капилляре воды? Толщину стенок капилляра считать ничтожно
малой.
335. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся капиллярах с
диаметрами 1мм и 2 мм. Несмачивание считать полным.
336. Кольцо внутренним диаметром 25 мм и внешним диаметром 26 мм
подвешено на пружине и соприкасается с поверхностью жидкости. При
опускании поверхности жидкости кольцо оторвалось от нее при растяжении
пружины на 5.3 мм. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости
σ
=32.4 10-3 Н/м.
337. Воздушный пузырек диаметром d =2 мкм находится в воде у самой ее
поверхности. Определить плотность воздуха в пузырьке, если воздух над
поверхностью воды находится при нормальных условиях.
338. Найти силу притяжения двух параллельных пластинок, отстоящих
друг от друга на расстояние h =0.1 мм, после того как между ними ввели каплю
воды массы m =70 мг. Смачивание считать полным.
339. Две вертикальные плоскопараллельные стеклянные пластины,
находящиеся на расстоянии d = 0.2 мм друг от друга, погружены в жидкость.
83
Определить плотность жидкости, если известно, что она поднялась между
пластинами на высоту h =3.24 см. Поверхностное натяжение жидкости σ =27
мН/м. Смачивание считать полным.
340. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на 200 кПа больше
атмосферного. Определить
диаметр пузыря. Поверхностное натяжение σ =
40 мН/м.
341. Воздушный пузырек диаметром d =0.02 мм находится на глубине h
=25 см под поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке.
Атмосферное давление примите нормальным. Поверхностное натяжение воды σ
=73 мН/м, а ее плотность ρ =1 г/см3.
342. Капиллярная трубка r =0,05 см запаяна сверху. Трубка открытым
концом опускается в воду. Какой длины следовало бы взять трубку, чтобы вода
в ней поднялась на высоту h=1 см. Давление воздуха ро=1 атм. Для воды
поверхностное натяжение σ =73 мН/м.
343
Капиллярная трубка диаметром d=0,5 мм наполнена водой. Часть
воды на нижнем конце трубки повисла в виде капли. Эту каплю можно принять
за часть сферы с радиусом r=3 мм. Найти длину h столбика воды в трубке.
344.
Разность уровней воды в U-образном капилляре с диаметрами
каналов d1=1 мм и d2=3 мм равна Δh=2 см. Определить поверхностное
натяжение воды. Смачивание считать полным.
84
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн. – М.: Изд-во Астрель, 2002.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Academia, 2003.
3. Иродов И.Е. Основные законы механики. – М.- СПб.: Наука - Физматгиз,
2000.
4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Грабовский Р.И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002.
6. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике – М.: Физматлит, 2003.
7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.:
СпецЛит, 2002.
8. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М.: Наука, 1987.
9. Савельев И.В. Сборник вопросов и ответов по общей физике. – М.: Наука,
1982.
10. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Минск: Высшая школа, 1988.
11. Гомонова А.И. Сборник задач по физике с подробными решениями. – М.:
Изд-во ГИС, 2006.
12. Сборник задач по физике / Под ред. Р.И. Грабовского. – СПб.: Изд-во
«Лань», 2002.
13. Козел С.М., Рашба Э.И., Славатинский С.А. Сборник задач по физике. – М.:
Наука, 1987.
14. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. – М.:
Высшая школа, 1978.
15. Козел С.М., Орлов В.А., Гомулина Н.Н., Соболева Н.Н., Кавтрев А.Ф.
Интерактивный курс «Физика». – М.: ООО «Физикон», 2005.
16. Сена Л.А. Единицы измерений физических величин и их размерности. – М.:
Наука, 1977.
85
СОДЕРЖАНИЕ
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач и выполнению
самостоятельных работ………………….……………………………………….…3
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ…………………………………..…5
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ…………..……..8
РАЗДЕЛ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ………8
1.1. КИНЕМАТИКА…………………………………………………………………8
Методические указания…………………………………………………...…..12
Примеры решения задач……………………………………………………....12
1.2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ………………………..18
Методические указания……………………………………………………….22
Примеры решения задач…………………………………………………...….24
1.3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ…………………………...28
Методические указания ………………………………………………………31
Примеры решения задач………………………………………………………32
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1………………………………………....34
РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА………..…...46
2.1.
ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ…………………………………………..46
Методические указания……………………………………………………….47
Примеры решения задач……………………………………………………....47
2.2.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ………………….49
Методические указания……………………………………………………….52
Примеры решения задач………………………………………………………52
2.3. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ………………………………….53
Примеры решения задач……………………………………………………....55
2.4. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ……………………………………..………57
Методические указания………………………………………………………57
86
Примеры решения задач………………………………………………….......60
2.5. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ…………………………………………………………….61
Методические указания……………………………………………………....62
Примеры решения задач………………………………………………………63
2.6. ЖИДКОСТИ……………………………………………………………….….64
Примеры решения задач……………………………………………………...65
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2………………………………………...67
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………82
87
Учебно-методическое издание
Софья Данзановна Баторова
Светлана Раднаевна Самбуева
Доржо Галсанович Дамдинов
Механика. Молекулярная физика и термодинамика.
Методические указания и задания
для самостоятельной работы студентов
инженерных специальностей.
Методическое пособие
88