1.6. Пример решения задачи по сферической астрономии

1
Задание № 1 по астрономии для учащихся 9–11 классов
Вопросы, подлежащие усвоению
Звездное небо. Созвездия и ярчайшие звезды неба: названия, условия видимости в различные
сезоны года. Изменение вида звездного неба в течение суток. Подвижная карта звездного неба. Видимые
движения звезд, Солнца, Луны и планет. Небесная сфера. Основные точки, линии и направления.
Математический горизонт. Отвесная линия. Зенит. Надир. Полуденная линия. Небесный экватор. Ось
мира. Северный полюс мира. Южный полюс мира. Эклиптика. Ось эклиптики. Альмукантарат светила.
Вертикал светила. Суточная параллель светила. Небесный меридиан. Круг высоты светила. Круг
склонения светила. Точки севера, юга, востока и запада. Горизонтальная и две экваториальные системы
небесных координат. Достоинства и недостатки каждой из небесных систем координат. Теорема о
равенстве высоты полюса мира над горизонтом широте места наблюдения. Явления, связанные с
суточным вращением небесной сферы: восход и заход светил; кульминации светил. Вычисление
зенитного расстояния и высоты светила в моменты верхней и нижней кульминации на данной широте.
Видимое годичное движение Солнца по эклиптике. Суточное движение Солнца на различных широтах.
Тепловые пояса.
Астрономия – наука о Вселенной, изучающая
происхождение и развитие небесных тел и их систем.
движение,
строение,
При изучении небесных тел астрономия ставит перед собой три основные
задачи:
1. Изучение видимых, а затем и действительных положений и движений небесных тел в
пространстве, определение их размеров и формы.
2. Изучение физического строения небесных тел, т.е. исследование химического
состава и физических условий (плотности, температуры и т.п.) на поверхности и в
недрах небесных тел.
3. Решение проблем происхождения, развития и возможной дальнейшей судьбы
отдельных небесных тел и их систем.
Современная астрономия подразделяется на ряд отдельных, но тесно связанных
между собой разделов. Главнейшими разделами астрономии являются:
1. Астрометрия – наука об измерении пространства и времени. Она состоит из трех
подразделов:
– сферической
астрономии,
разрабатывающей
математические
методы
определения видимых положений и движений небесных тел с помощью
различных систем координат, а также теорию закономерных изменений
координат светил со временем;
– фундаментальной астрометрии, задачами которой является определение
координат небесных тел из наблюдений, составление каталогов звездных
положений и определение числовых значений важнейших астрономических
постоянных, т.е. величин, позволяющих учитывать закономерные изменения
координат светил;
– практической астрономии, в которой излагаются методы определения
географических координат, азимутов направлений, точного времени и
описываются применяемые при этом астрономические инструменты.
2. Теоретическая астрономия дает методы для определения орбит небесных тел по их
видимым положениям и методы вычисления эфемерид (видимых положений)
небесных тел по известным элементам их орбит (обратная задача).
2
3. Небесная механика изучает законы движения небесных тел под действием сил
всемирного тяготения, определяет массу и форму небесных тел, и устойчивость их
систем.
4. Астрофизика изучает строение, физические свойства и химический состав небесных
тел. Она делится на
– практическую астрофизику, в которой разрабатываются и применяются
практические методы астрофизических исследований и соответствующие
инструменты и приборы;
– теоретическую астрофизику, в которой на основании законов физики даются
объяснения наблюдаемым физическим явлениям.
5. Звездная астрономия изучает закономерности в распределении и движении звезд,
звездных систем и межзвездной среды с учетом их физических особенностей.
6. Космогония рассматривает вопросы происхождения и эволюции небесных тел, в том
числе и Земли.
7. Космология изучает общие закономерности строения и развития Вселенной.
Основой астрономии являются наблюдения.
С целью ориентировки на звездном небе яркие звезды объединили в группы.
Все звездное небо разбито на 88 частей, называемых созвездиями. Границы созвездий
окончательно были установлены в 1922 г. Наиболее яркие звезды в созвездиях служат
хорошими ориентирами для нахождения на небе менее ярких звезд, или других
небесных объектов. Поэтому необходимо научиться быстро находить нужное созвездие
на звездном небе. Для этого следует предварительно изучить карту звездного неба и
запомнить характерные контуры, образуемые в созвездиях наиболее яркими звездами.
Задание 1. НЕБЕСНАЯ СФЕРА
1.1. Основные линии, точки и направления.
Небесной сферой называется сферическая поверхность произвольно большого
радиуса с центром в произвольной точке пространства, там, где расположен глаз
наблюдателя, и на внутренней поверхности, которой нанесены небесные светила так, как
они видны в данный момент времени из данной точки пространства.
Вращение небесной сферы для наблюдателя, находящегося на поверхности
Земли, воспроизводит суточное движение небесных светил.
Небесная сфера служит для изучения видимых положений и движений
небесных тел. Поэтому на ее поверхности фиксируются основные линии и точки, по
отношению к которым и производятся соответствующие измерения.
Отвесная линия – прямая, проходящая через центр небесной сферы.
Зенит (над головой наблюдателя) и надир (диаметрально противоположная
точка) – точки пересечения отвесной линии с небесной сферой.
3
Плоскость математического горизонта – плоскость, проходящая через центр
небесной сферы перпендикулярно к отвесной линии.
Линия математического горизонта (или просто математический горизонт) –
линия пересечения плоскости математического горизонта с небесной сферой.
Математический горизонт делит поверхность небесной сферы на две половины:
видимую для наблюдателя с вершиной в зените Z, и невидимую с вершиной в надире Z.
Математический горизонт не совпадает с видимым горизонтом (линии, вдоль
которой небо сходится с Землей).
Ось мира – прямая, вокруг которой происходит суточное вращение небесной
сферы. Ось мира наклонена к плоскости математического горизонта под углом, равным
широте места наблюдения.
Полюса мира – точки пересечения оси мира с небесной сферой. В северном
полушарии располагается Северный полюс мира (Р). А в Южном – Южный полюс мира
(Р).
Плоскость небесного экватора – плоскость, проходящая через центр небесной
сферы перпендикулярно к оси мира.
Линия небесного экватора (небесный экватор) – линия пересечения плоскости
небесного экватора с небесной сферой.
Небесный меридиан – окружность большого круга, плоскость которого
проходит через отвесную линию и ось мира.
Полуденная линия – линия пересечения плоскости небесного меридиана с
плоскостью математического горизонта.
Плоскости математического горизонта и небесного экватора пересекаются по
линии Восток–Запад (E–W).
Эклиптика – линия видимого годичного движения Солнца по небесной сфере.
Ось эклиптики (ПП) – линия, проходящая через центр небесной сферы
перпендикулярно к плоскости эклиптики.
Суточная параллель – линия видимого суточного движения небесного светила.
Суточная параллель параллельна плоскости небесного экватора.
Точки пересечения суточной параллели светила с небесным меридианом
называются точками кульминации светила. Их две. Наивысшее положение светила над
горизонтом связывают с верхней кульминацией светила, а наинизшее его положение – с
нижней кульминацией.
Круг высоты светила – полуокружность большого круга, проходящая через
зенит, надир и светило.
4
Круг склонения светила – полуокружность большого круга, проходящая через
полюсы мира и светило.
Альмукантарат светила – малый круг небесной сферы, плоскость которого
параллельна плоскости математического горизонта.
1.2. Системы небесных координат
При астрономических наблюдениях необходимо уметь находить на звездном
небе нужное светило. Для этого вводятся системы небесных координат. Все они
строятся по одному принципу. За основу берется большой круг небесной сферы и
прямая линия, перпендикулярная к нему и проходящая через центр небесной сферы.
1.2.1. Горизонтальная система небесных координат
Z
M
M(z, А)
z
0
h
S
N
m
m
Z
Круг высоты
светила
Положение светила М(z, A) на небесной сфере определяют две координаты:
зенитное расстояние (z)и азимут (A).
Зенитное расстояние (z) светила измеряется дугой круга высоты от зенита до
светила в сторону надира или центральным углом, опирающимся на эту дугу. 0о  z  +
180о.
Азимут светила (SNm) измеряется дугой математического горизонта от точки
Юга (S) в направлении вращения небесной сферы (в сторону Запада) до пересечения с
кругом высоты светила. 0о  A < +360о.
Высота светила (h) – дуга круга высоты от математического горизонта до
светила.
h + z =90о
(1)
Достоинство горизонтальной системы координат: легко ориентироваться.
Недостаток ее: обе координаты светила изменяются в течение суток. Поэтому эти
координаты не годятся для составления звездных карт, атласов и каталогов небесных
светил.
Горизонтальная
система
небесных
координат
используется
для
непосредственных определений видимых положений светил при помощи угломерных
инструментов.
5
1.2.2. Первая экваториальная система небесных координат
За основу берутся плоскость небесного экватора и ось мира. Положение светила
характеризуется часовым углом и склонением.
Склонение светила () отсчитывается от небесного экватора по кругу склонения
до светила.  (–90; + 90).
Часовой угол светила (t) измеряется дугой небесного экватора от южной точки
его в направлении суточного вращения небесной сферы (в сторону запада) до
пересечения с кругом склонения светила. 0h  t  24h.
В этой системе небесных координат склонение светила не изменяется при
суточном вращении небесной сферы. Вторая координата (часовой угол светила)
изменяется, т.к. она отсчитывается от неподвижной точки, не участвующей в этом
вращении.
Эта система небесных координат используется
преимущественно при
определении точного времени – одной из основных задач практической астрономии.
1.2.3. Вторая экваториальная система небесных координат
Координаты светила М(, ): склонение () и прямое восхождение ().
Прямое восхождение светила измеряется дугой небесного экватора от точки
весеннего равноденствия () в направлении, противоположным суточному вращению
небесной сферы, до пересечения с кругом склонения светила. 0h    24h. Точка ,
расположенная на небесном экваторе, вращается вместе с небесной сферой. Поэтому
прямое восхождение светила не изменяется при суточном вращении небесной сферы.
Именно эта система координат и используется для составления звездных
атласов и каталогов. Она является основой при решении задач практической
астрономии.
1.3. Теорема о связи высоты полюса мира над горизонтом с широтой места
наблюдения 
Высота полюса мира (hp) над горизонтом всегда равна широте места
наблюдения .
1.4 Явления, связанные с суточным вращением небесной сферы
1.
2.
3.
4.
Восход и заход небесных светил.
Кульминации светил.
Суточное изменение горизонтальных координат светил.
Разделение всех светил по условию расположения их суточных параллелей
относительно математического горизонта в данном пункте наблюдения на три
группы:
– невосходящие,
– незаходящие,
– и восходящие, и заходящие.
6
1.5. Связь между различными системами небесных координат
При решении многих астрономических задач важно знать три основные
формулы косоугольного сферического треугольника со сторонами a, b, c (выраженных в
градусах) и углами А, В, С:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A
sin a sin B = sin b sin A
(2)
(3)
(4)
С их помощью производится преобразование небесных координат. В частности
они позволяют перейти от экваториальной системы небесных координат к
горизонтальной и наоборот:
cos z = sin  sin  + cos  cos  cos t
sin z cos A = – sin  cos  + cos  sin  cos t
sin z sin A = cos  sin t
(5)
(6)
(7)
Чтобы применить эти формулы необходимо на небесной сфере изобразить
небесный экватор, математический горизонт, точки Севера, Юга, полюсы мира, светило
М и отметить его горизонтальные (z, A) и экваториальные ( , t) координаты.
1.6. Пример решения задачи по сферической астрономии
Вычислить зенитное расстояние и высоту Сириуса (склонение  = –1639) в
пункте с географической широтой  = +5354 в моменты его верхней и нижней
кульминации.
Дано:
 = +5354;
 = –1639;
Решение
_______________
zв – ?
zн – ?
hв – ?
hн – ?
Z
P
Q
М1

S
0
N
Q
М2
P
Z
7
На чертеже изображена небесная сфера в проекции на плоскость небесного
меридиана.
РР – ось мира.
ZZ – отвесная линия.
QQ – небесный экватор.
SN – полуденная линия.
М1 – положение Сириуса в верхней кульминации
М2 – положение Сириуса в нижней кульминации.
zв =  ZQM1 = ZQ + QM1 =  + || = 5354 + |–1639 | = 7033 S;
hв =  SM1 = 90 –  ZM1 = 90 – 7033 = 1927 S;
zн =  ZQM2 =  ZN +  NQ +  QM2 = 90 + (90 – ) + || =
= 90 + (90 – 5354) + |–1639 | = 14245;
hн = 90 – zн = – 5245.
В нижней кульминации Сириус в заданном пункте наблюдении находится под
горизонтом.
1.7. Задачи для самостоятельного решения
1. Определить высоту полюса мира и наклон небесного экватора к математическому
горизонту на земном экваторе, на северном тропике ( = + 2327), на
географической широте +4142, на северном полярном круге ( = + 6633) и на
северном географическом полюсе.
2. Вывести условие (получить формулу), которому должно удовлетворять склонение
светила , чтобы оно было незаходящим на широте .
3. Определить высоту полюса мира и наклон небесного экватора к математическому
горизонту на географической широте  = –1538, , на южном тропике ( = – 2327),
на южном полярном круге ( = – 6633), в Антарктиде, на географической широте
 = – 7851, и на южном географическом полюсе.
4. Вычислить зенитное расстояние и высоту в верхней и нижней кульминации звезды
Алголя ( Персея), Регула ( Льва) и Антареса ( Скорпиона) в пунктах с
географической широтой +516, +3732 и +5545. Склонения этих звезд
соответственно равны +4046, +1213 и – 2619.
5. Определить географическую широту мест земной поверхности, в которых звезды
предыдущей задачи кульминируют в зените.
6. Вычислить пояса географической широты, в которых основные звезды “ковша”
Большой Медведицы 1) не восходят над горизонтом, 2) совсем не заходят,
полностью восходят и заходят. Склонение этих звезд находится в пределах от
+6201 до +4926.
7. Определить склонение звезд, которые в момент верхней кульминации в месте с
географической широтой +5545 имеют высоту +5818 и азимут 180, высоту
+5818 и азимут 0, а также тех звезд, которые кульминируют в зените.
8
8. Найти склонение звезд, которые в момент нижней кульминации в месте с
географической широтой +4221 имеют зенитное расстояние 4923, 7412, 10847
и 15638.
9. Определить склонение звезд, доступных для наблюдения, и звезд незаходящих и
невосходящих на географической широте +4221.
10. Укажите склонение звезды, которую из любого пункта Земли иногда можно
наблюдать на горизонте.
11. Светило имеет часовой угол t =18 часам. В какой части небесной сферы оно видно?
12. Найти разность зенитных расстояний при одноименных кульминациях одной и той
же звезды на различных географических параллелях.
13. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Анапе
(   4453) и Мурманске (   6559) звезды Алиот и Антарес, склонение
которых соответственно равно  5614 и  2619 . Укажите азимут и часовой
угол каждой звезды в эти моменты. В каких созвездиях находятся эти звезды?
14. Вычислить разность наибольшей и наименьшей высоты звезды Альдебарана в тех
местах, где обе ее кульминации бывают к северу от зенита. В пределах каких
географических параллелей возможны эти явления? Склонение Альдебарана равно
 1625. В каком созвездии находится Альдебаран?
15. С какой географической параллели звезда Алголь (  4046) становится
невосходящей? В каком созвездии находится Алголь?
16. Выразить формулой угловое расстояние l между двумя точками небесной сферы,
координаты которых заданы в экваториальной системе.
17. Определить в дуге большого круга расстояние между звездами  и  Большой
Медведицы, координаты которых (1, 1) = (10ч59м, +6210) и (2, 2) = (10ч57м,
+5647).
18. Начало и конец пути метеора по звездному небу отстоят от северного полюса мира
на 90 и на 136190, а угол между кругами склонения, проходящими через эти
точки, равен 622042. Определить длину пути метеора в градусах и углы, под
которыми его путь пересек два упомянутых круга склонения.
19. Вывести, пользуясь формулами (2) – (4)
горизонтальных координат в экваториальные (t ,
для (5) – (7).
три формулы преобразования
 ) , которые являются обратными
20. Вывести формулы преобразования эклиптических координат (, ) в экваториальные
(, ), обозначив наклон эклиптики к экватору через . Как упростятся выведенные
формулы, если применить их к Солнцу, движущемуся по эклиптике?
21. Найти зенитное расстояние и азимут  Дракона ( = 6448,8;  = 14ч1м57с) в
Краснодаре ( = 45) в = 16ч24м33с звездного времени.
22. Через какое время после верхней кульминации Солнце будет находиться на высоте h
= 35 13 июня в Краснодаре, если склонение Солнца  = +2312?
9
1.8. Самостоятельные астрономические наблюдения
При изучении астрономии обязательно
необходимы самостоятельные
астрономические наблюдения. Только в этом случае Вы хорошо усвоите астрономию и
сможете успешно выступать на астрономических олимпиадах.
1. Найдите место с открытым обзором, где уличные фонари и свет от окон не мешают
видеть звезды. Найдите созвездие Большой Медведицы, а по нему Полярную звезду.
Для этого воспользуйтесь картой звездного неба. Определите стороны света (Север,
Юг, Восток, Запад) и запомните их расположение относительно земных предметов.
Зарисуйте положение Большой Медведицы относительно горизонта. Укажите дату и
время, когда было сделано наблюдение. Через 2 часа зарисуйте ее новое положение с
указанием времени второго наблюдения. Найдите созвездия Кассиопеи, Лиры,
Лебедя и Орла.
2. Найдите звездное скопление Плеяды и сравните, сколько звезд видно в нем
невооруженным глазом и в бинокль. Попробуйте приблизительно оценить поле
зрения Вашего бинокля, учитывая, что расстояние между звездами, образующими
переднюю стенку ковша Большой Медведицы, составляет 5.
3. Измерьте высоту Полярной звезды над горизонтом.
4. Измерьте высоту Юпитера над горизонтом с указанием даты и времени наблюдения.
1.
2.
3.
4.
5.
1.9. Литература
Любой учебник по астрономии для средней школы.
Астрономический календарь на 2011 г. (любое издательство).
Подвижная карта звездного неба.
Журналы “Земля и Вселенная”.
Журналы «Квант»
1.
2.
3.
4.
1.10. Указания к выполнению заданий по астрономии
Решение всех задач должны сопровождаться чертежами.
Задачи №№ 16-22 учащиеся 9 класса не решают.
Выполнение заданий по астрономическим наблюдениям обязательно!
Выполненное задание выслать через неделю.