2) 3) 4

Контрольная работа по теме:
“Производная ”
Вариант 1
Часть 1
А1. Найдите производную функции y  9  9 x 8 
10 класс
(1 час)
6 5
x
5
1
1) y   9 x  x 9  x 6 ; 2) y   9 x  72 x 7  5 x 4 ;
3) y   72 x 7  6 x 4 ; 4) y   17 x 7  6 x 4 ;
5
А2. Найдите значение производной функции y  2 cos x  3x 2 в точке x0  0
1) 0;
2) -3;
3) 2;
4) -6;
1  2x
А3. Найдите производную функции y 
2x  1
2
2
2x
4
1)
2) 
3)
4) 
;
;
;
;
2
2
2
2 x  1
2 x  1
2 x  1
2 x  12
А4.
f(х) = (3х-2) 5 . Найдите f ‫(׳‬1).
А5.
f(х) = 6sin x – 3. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0
1) πk, k Z;
1) 1; 2) 0; 3) 15; 4) 5.
𝜋
2) (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
6
3)
𝜋
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
4) ± + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
3
5 3
15
 
А6. f(х) = 5 cos 2 x. Вычислите f ‫ ׳‬  . 1) 
; 2)
; 3) 0; 4) 5.
4
2
3
Часть 2
В1. f(х) =
1
ctg 15x +
3

3 . Найдите f ‫ ( ׳‬ )
4
В2. Найдите значение производной функции y 
x 3  27
в точке x0  2005
x 2  3x  9
 
В3. Найдите значение f   , если f ( x)  sin 4 x  cos 4 x
 12 
В4. Решите уравнение
f ( x)
1
 0 , если f(x) = x 3  4 x ; g(x) =
3
g ( x)
x
В5. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0, где f(x) = cos8x – sin8x – 1
В6. Найдите среднее арифметическое корней уравнения f ( x)  0 , принадлежащих
отрезку 0; 2 , если известно, что f ( x)  cos 2 x  1  sin x
Контрольная работа по теме: “Производная ”
10 класс
(1 час)
Часть 1
Вариант 2
А1. Найдите производную функции y  8  5 x 4 
7 6
x
6
1 7
4) y   20 x 3  7 x 4 ;
x ;
6
А2. Найдите значение производной функции y  7 x  5  3 sin x в точке x0  
1) y   20 x 3  7 x 5 ;
1) 7;
2) y   8 x  20 x 5  7 x 7 ;
3) y   8 x  x 5 
4) 7  3 ;
2) -3;
3) 4;
3  2x
А3 Найдите производную функции y 
x5
13
8
5
1) 
2)
3)
;
;
;
2
2
 x  5
 x  5
 x  5 2
А4.
f(х) = (5х-4) 6 . Найдите f ‫(׳‬1).
А5.
f(х) = 4cos x +2. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0
4)
1 x
 x  5 2
;
1) 6; 2) 1; 3) 30; 4) 0.
2
 2k, k   4) 𝜋2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
3
3 3
9
 
А 6. f(х) = 3 sin 2 x. Вычислите f ‫ ׳‬  . 1) 3; 2) 0; 3)
; 4) .
4
2
6
𝜋
2) (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
1) πk, k Z;
6
3) ±
Часть 2
В1. f(х) =
1
tg 8x +
4
2 . Найдите f ‫(׳‬

)
4


2


В2. Найдите значение производной функции y  x 2  1  2 x 2  1  1 в точке x0  2
 
В3. Найдите значение f   , если f ( x)  sin 4 x  cos 4 x
3
В4. Решите уравнение
f ( x)
2
 0 , если f(x) = x 3  18 x ; g(x) = 2 x
3
g ( x)
В5. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0, где f(x) = sin6x + cos6x + 5
В6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения f ( x)  0 , принадлежащий отрезку
  ; , если известно, что
f ( x)  cos 2 x  x 3
Контрольная работа по теме:
“Производная ”
10 класс
(1 час)
Часть 1
Вариант 3
5
А1. Найдите производную функции y   x 4  3x 2  2 x  11
4
1
1) y   5 x 3  6 x  x 2  11x ;
2) y    x 5  x 3  x 2  11x ;
4
3


3) y  5 x  6 x  2 ;
4) y  5 x 3  6 x  x 2 ;
А2. Найдите значение производной функции y  4tgx  5 x 6 в точке x0  0
1) 4;
2) -26;
3) -1;
4) 0;
А3 Найдите производную функции y 
1)
2
x  2
2
;
2)
10
x  2
2
4  3x
x2
3) 
;
А4.
f(х) = (3х + 2) 5 . Найдите f ‫(׳‬-1).
А5.
f(х) = 12sin x – 6. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0
1) πk, k Z;
10
x  2
2
4) 
;
2
 x  2 2
;
1) 1; 2) 0; 3) - 15; 4) 15.
𝜋
2) (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
3)
6
 
А 6. f(х) = 5 cos 2 x. Вычислите f ‫ ׳‬  .
3
1) 0;
𝜋
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
4) ± + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵;
3
5 3
2) 
; 3) 5
2
15
4)
;
4
Часть 2
В1. f(х) =
1
ctg 15x +
3

3 . Найдите f ‫) ( ׳‬
4
x 3  125
В2. Найдите значение производной функции y  2
в точке x0  2009
x  5 x  25
cos x
 
В3. Найдите значение f   , если f ( x) 
1  sin x
2
В4. Решите уравнение
f ( x)
1
 0 , если f(x) = x 3  4 x ; g(x) =
3
g ( x)
x
В5. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0, где f(x) = cos8x – sin8x – 1
В6. Найдите сумму наибольшего и наименьшего из корней уравнения f ( x)  0 , принадлежащих
отрезку 0; 2 , если известно, что f ( x)  sin 2 x  x 2
Контрольная работа по теме:
“Производная ”
10 класс
(1 час)
Часть 1
Вариант 4
7
А1. Найдите производную функции y   x 6  5 x 4  14
6
1
1) y   7 x 7  x 5  14 x ; 2) y    x 7  x 5  14 x ; 3) y   7 x 5  20 x 3 ;
6
4) y   7 x 5  9 x 3 ;
А2. Найдите значение производной функции y  3x  4  5 sin x в точке x 0 
1) 6;
2) -1;
3) -2;
А3. Найдите производную функции y 
1) 
7
x  2
2
2)
;
3
x  2
2
А5.
f(х) = 8cos x + 4 . Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵 ;
2) ±
2
 2k, k   ;
3
4) 3;
3)
;
f(х) = (5х + 4) 6 . Найдите f ‫(׳‬- 1).
𝜋
2
5 x
x2
А4.
1)

7
 x  2 2
4) -1;
;
1) 1; 2) - 30; 3) 30; 4) 6.
𝜋
3)(−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒵 ;
6
4) πk, k Z;
3 3
9
 
А 6. f(х) = 3 sin 2 x. Вычислите f ‫ ׳‬   . 1) 3; 2) 0; 3) 
; 4) .
4
2
 6
Часть 2
В1. f(х) =
1
tg 8x +
4
2 . Найдите f ‫ (׳‬

4
)
 
В3. Найдите значение f   , если f ( x)  sin 4 x  cos 4 x
3
f ( x)
2
В4. Решите уравнение
 0 , если f(x) = x 3  18 x ; g(x) = 2 x
3
g ( x)
В5. Решите уравнение f ‫(׳‬х) = 0, где f(x) = sin6x + cos6x + 5
  3 
В 6. Найдите сумму корней уравнения f ( x)  0 , принадлежащих отрезку  ;  , если
2 2 
2
известно, что f ( x)  sin x  1  cos x
1. Разминка: «Проверь себя и своего соседа»
Ученикам предложено на карточках найти производные функций
После выполнения работы ученики обменивается тетрадями с соседом по парте. Решения
с правильными ответами проектируются на экран.
Ответы:
Критерий выставления оценок записан на доске:
все правильно – «5»
1-2 ошибки – «4»
3-4 ошибки – «3»
В остальных случаях – «2»
1. Решите уравнение f'(x) = 0, если
1. f(x) = 2x2 – x
2. f(x) = 2x – 5x2
3. f(x) = x3/3 – 1,5x2 – 4x
4. f(x) = 3x3 – 2x
5. f(x) = x2 – 6x
6. f(x) = 1/2x2 – 3x
7. f(x) = 1/6x3 – 1,5x2 + 4,5x
8. f(x) = – 2/3x3 + x2 – 12
9. f(x) = x4 – x8
10. f(x) = 1/2x2 – 1/4x4
2. Решите неравенство f'(x)>< 0
1. f'(x) = 4x – 3x2
2. f(x) = x3 + 1,5x2
3. f'(x) = 4x – 1/3x3
Карточка-инструкция: Касательная к графику функции
Алгоритм написания уравнения касательной у=f(х0)+f'(х0) (х-х0)
1. Найти f(х0)
2. Найти f'(х)
3. Найти f'(х0)
4. Написать уравнение касательной у=f(х0)+f'(х0) (х-х0)
Алгоритм нахождения углового коэффициента касательной.
k=tga= f'(х0)
1. Найти f'(х)
2. Найти f'(х0)
Карточки-задания:
Написать уравнение касательной к графику функции



f(x) = x2-2x в точке с его абсциссой х0=2
f(x) = x2+1 в точке с его абсциссой х0=1
f(x) = -0,5x2+2x в точке с его абсциссой х0=0
Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику



у = 5х4-0,5х+5 в точке х0=1
у = 5х3-7х в точке х0=2
у = х4-0,5х+5 в точке х0=1
Исследование функций
Алгоритм исследования функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Найти область определения: D (f)
Найти производную функции, критические точки
Промежутки возрастания и убывания функции
Точки экстремума (max, min) и значения функции в этих точках
Точки пересечения графика с осями координат
Поведение функции в окрестности "особых точек"
Карточки-задания:
Исследовать функцию и построить её график




f(x) = x4 - 4x2
g(x) = -x3 + 3x - 2
h(x) = x3 + 6x - 15x - 3
f(x) = -x3 + 3x2 - 4
Пятый стол
Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
1. Находим критические точки, т.е. f'(x) = 0
2. Вычислим значения функции во всех критических точках принадлежащих отрезку
и на концах отрезка.
3. Из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее.
Карточки-задания:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:






f(x) = -3x2 + 6x - 10 [-2; 9]
g(x) = x3 + 3x2 - 45x - 2 [-6; 0]
h(x) = 2x2 - 8x + 6 [-1; 4]
y(x) = x3 - 3x2 - 9x - 4 [-4; 4]
u(x) = x3 -9x2 + 15x - 3 [3; 6]
g(x) = x4 - 8x3 + 10x2 + 1 [-1; 2]
Зачет № 1. Производная.
Перечень теоретических знаний:
Приращение аргумента, приращение функции Понятие о непрерывности функции,
производная функции Производная с,x,x2, cu, xn Производная суммы, разности
Производная произведения, частного Производная сложной функции Производная
тригонометрических функций Решение примеров по теме «Производная»
Контрольная работа № 1 ПРОИЗВОДНАЯ.
Тест по теме производная:
1 Вариант.
1. Найдите производную функции
7 х 6  4 х 3  4 х  9;
7 х 6  х 3  4 х  9;
f х   х 7 
1 4
х  2 х 2  9.
4
7 х 6  х 3  4 х;
7х 7  х 4  4х 2 .
х
2. Найдите значение производной функции у 
в точке
х 1
1) 1;
2) 0;
3) 0,5;
4) -1.
3. Для какой функции найдена производная у   4 х 3  х 2 .
1)
3)
2)
4)
х0  0.
х4 х3
х3
3) у  4 х 4  х 3 ;
4) у  х 4  .
 ;
4
3
3
4. Найдите значение углового коэффициента касательной, проведенной к графику
функции f х   9 х  4 х 3 в точке с абсциссой х0  1.
1) у  12 х 2  2 х;
1) -3;
2) 0;
2) у 
3) 3;
4) 5.
5. Найдите f   , если f x   x 2  sin х.
1)   2 ; 2) 2 ; 3)  2 ;
4) 0.
6. Напишите уравнение касательной к графику функции g x   3x 2  2 x в точке
с абсциссой x0  1.
1) у = - 3х – 3; 2) у = 8х+13; 3) у = - 8х – 3; 4) у = - 8х +13.
7. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t  2 c., если она движется
прямолинейно по закону xt   3t 3  t  4 (координата xt  измеряется метрах).
м
м
м
м
v  14
v  35
v  39
v  35
с .
с .
с .
с .
1)
2)
3)
4)
м
м
м
м
а  35 2
а  35 2
а  36 2
а  36 2
с
с
с
с
Контрольная работа по теме: Производная. Применение производной. 10 класс.
2 Вариант.
1
1. Найдите производную функции f x   3x 9  x 8  x 3  9.
8
8
7
2
8
7
3
1) 27 х  х  3х ; 2) 9 х  8х  3х ;
3) 27 х 8  х 7  3х 2  9; 4) 27 х 9  х 8  3х 3 .
х2
в точке х0  3.
х 1
3
21
3
3
 ;
;
;
.
1)
2)
3)
4)
4
4
2
4
3. Для какой функции найдена производная у   42х 5  sin х.
1) y  7 x 6  cos x; 2) y  6 x 7  sin x;
3) y  6 x 7  cos x; 4) y  7 x 6  sin x.
4. Найдите значение углового коэффициента касательной, проведенной к графику
функции у  3х 2  1 в точке с абсциссой х0  1.
1) -6;
2) 4;
2. Найдите значение производной функции
3) 6;
4) -5.
2) -1;
3)  ;
3
f ( x)  3 x  3 x
1) у = - 9х – 6;
у
5. Найдите f (0) , если f ( x)  x 2  tgx .
4) - 2 .
6. Напишите уравнение касательной
в точке с абсциссой x0  2 .
2) у = - 3х - 6;
3) у = 9х+16;
4) у = 9х - 6.
1) 0;
к графику функции
7. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t  1 cек., если она движется
прямолинейно по закону x(t )  3t 3  t  4 (координата x(t ) измеряется в метрах).
v 8м с
v  12 м с
v  6м с
v 8м с
1)
2)
3)
4)
;
;
;
.
а  18 м с 2
а  18 м с 2
а  8 м с2
а  17 м с 2
Вопросы к зачету по теме: «Производная».
1.
2.
3.
4.
Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.
Какая функция называется непрерывной? Приведите примеры.
Определение производной.
Знать формулы производной постоянного, x, xn, суммы, разности, произведения,
частного.
5. Какая функция называется сложной? Привести примеры.
6.
7.
8.
9.
f(x)= √𝑥; g(x)=sin x Составьте функции: f(g(x)) и g(f(x)).
Формула для вычисления производной сложной функции,
Алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Решите неравенства:
(𝑥−8)(𝑥+3)
а)
б)
5𝑥
≤0
6𝑥 (𝑥+11)(2−𝑥)
(𝑥−9)
> 0.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ:
«3» решить контрольную работу, ответить письменно на вопросы
зачета.
«4» решить контрольную работу, выполнить тест, устно отвечать
на вопросы зачета.
«5» решить контрольную работу, выполнить тест, устно отвечать на
вопросы зачета, уметь решать примеры и задачи по данной теме.
Зачет № 2
Учебник: Геометрия 10-11 класс. Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и
др. Издательство: М., «Просвещение», 2008 -2010 год
Контрольная работа
по теме «Координаты вектора в пространстве »
Вариант 1
1. Даны точки А (2; -4; 1) и B (-2; 0; 3). Найдите: а) координаты середины
отрезка АВ; б) координаты и длину вектора BA ; в) координаты точки С, если
CB  BA .
2. Даны векторы a и b , причем a  6i  8k , b  1 , a ^ b  60 0 . Найдите: а)
a  b ; б)
a  b ; в) значение m, при котором векторы
a
и c4;1; m
перпендикулярны.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка O - центр грани ABCD.
Используя метод координат, найдите: а) угол между прямыми A1D и B1O; б)
расстояние от точки В до середины отрезка A1D.
4. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром а. При симметрии
относительно плоскости ABC точка D перешла в o точку D1. Найдите DD1.
Вариант 2
1. Даны точки А (-3; 1; 2) и B (1; -1; -2). Найдите: а) координаты середины
отрезка АВ; б) координаты и длину вектора AB ; в) координаты точки С, если
BC  AB .
2. Даны векторы a и b , причем a  6 j  3k , b  2 , a ^ b  450 . Найдите:
а) a  b ; б) a  b ; в) значение m, при котором векторы a и c2; m;8
перпендикулярны.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка O - центр грани ABCD.
Используя метод координат, найдите: а) угол между прямыми A1O и D1C; б)
расстояние от точки D до середины отрезка A1C1.
4. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром а. При симметрии
относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A1B1C1. Найдите
расстояние между этими плоскостями.
Зачет № 2. Координаты и векторы
Вопросы
1. Прямоугольная система координат в пространстве (определение, названия, примеры).
2. История открытия прямоугольной системы координат.
3. Теорема о расстоянии между точками в пространстве (формулировка, доказательство).
4. Уравнение сферы с центром в точке A(x0,y0,z0) и радиусом R (формулировка,
доказательство).
5. Понятие координат вектора (определение, примеры).
6. Теорема о разложении вектора по координатным векторам (формулировка,
доказательство).
7. Теорема о координатах суммы двух векторов (формулировка, доказательство).
8. Понятие скалярного произведения векторов (определение, скалярный квадрат,
примеры).
9. Теорема о выражении скалярного произведения векторов через их координаты
(формулировка, доказательство).
10. Уравнение плоскости в пространстве (формулировка, доказательство).
11*. Уравнение прямой в пространстве (формулировка, доказательство).
12. Аналитическое задание сферы в пространстве .
13*. Исторические сведения об измерении Земли.
Задачи
1. Докажите, что точки A(-1,3,4), B(-2,0,5), C(1,1,-3), D(2,4,-4) являются вершинами
параллелограмма. Найдите косинус угла между его диагоналями.
2. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 8x – 3y + z – 1 = 0
при центральной симметрии относительно начала координат.
3. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 5x + 3y – 7z + 2 = 0
при осевой симметрии относительно оси аппликат.
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку H(1,3,-1) параллельно
плоскости 3x + y – z + 5 = 0.
5. Прямая задана точками A(6,0,2) и B(1,-3,4). Найдите координаты точки C(x,y,8),
которая принадлежит прямой AB.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ:
»3» - наличие контрольной работы, ответов на вопросы зачета
письменно.
«4»- наличие контрольной работы, знание всех основных
формул, уметь отвечать на вопросы устно.
«5»-наличие контрольных работ, устно отвечать на вопросы
зачета, уметь доказывать теоремы и применять
теоретический материал при решении задач.
Зачет №3
«Применение производной».
Перечень теоретических знаний:
Применение непрерывности, метод интервалов Геометрический смысл производной
Уравнение касательной Производная в физике Признак возрастания, убывания функции,
критические точки. Исследование функции, построение графиков. Наибольшее,
наименьшее значение функции.
Контрольная работа №3
Тест к зачету № 3.
Вариант 1.
у  f x
1. Определите точку максимума функции f x   3  8 x 2  x 4 .
2. По графику производной функции
у  f х укажите количество промежутков
убывания функции у  f x .
1
1
3
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f х   х 2  6  х  на промежутке  1;5.
5
х

4. Найдите производную функции у    12   ctg 2 x.
5

5. Напишите уравнение касательной к графику функции f x   x 3  1
в точке с абсциссой х0  2.
1) у = – 12х + 17;
2) у = 12х – 17;
6. Решите неравенство
3) у = 19х – 38;
4)
у = 12х+32.
х 2 х  3
 0 методом интервалов.
х 1
1)  ;0  1;3; 2) 0;1  3;; 3) 1;3  0;
4) 1;3  0.
7. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t = 1cек., если она движется
прямолинейно по закону x(t )  5t  t 3  1 (координата x(t ) измеряется в метрах).
v 8м с
v  7м / с
v  5м / c
v  7м / с
;
1)
2)
;
3)
;
4)
.
2
2
2
а  6м с
а  8м / с
а  8м / с
а  11м / с 2
8. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касаcтельной к графику
функции
у  1  2 sin х равен 2.
1) х    2 n, n  ;
х  1 2 sin2.

к
2) х   1     к , к  ;
 6
f x 
где
 0,
x  4x  6
1)  ;6   2;2  4; ; 2)  6;2  2;4;
 6;2  2;4.
3) х  
2
 2,   ;
3
4)
f x   x 3  12 x  9.
9. Решите неравенство
3)  2;2  4; ;
Вариант 2.
1. Определите минимум функции f x   3x 4  4 x 3  2.
2. По графику производной функции у  f x 
укажите длину промежутка возрастания
функции у  f x .
3. Укажите наибольшее и наименьшее значение функции
промежутке  1;4 .
4)
у
у  f x
0 1
х
f x   x 2  3  2 x  на данном
4. Вычислите производную функции g x , если g x    cos 3x  4 x  5 .
5. Напишите уравнение касательной к графику функции у  х 3  3х
в точке с абсциссой х0  2.
6
1). у  9х  6. 2). у  3х  6. 3). у  9х  16. 4). у  9х  6.
1 х
6. Решите неравенство
 0 методом интервалов.
2
х  х  3
1). 3;0  1;. 2). ;3  1;. 3). ;3  1;. 4). ;3  0;1.
7. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 cек., если она движется
прямолинейно по закону хt   3t 3  t  4 (координата xt  измеряется в метрах).
1).
 8м с
1)..х   1
 1
. 2).
  12 м с

6
2
. 3).
  6м с
 ,   . 2)..х  
2

3
. 4).
 8м с
.
а  18 м с
а  18 м с
а 8м с
а  17 м с 2
8. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику
функции
у  2 sin х  1 равен 2.
2
 2,   . 3). х   1
4  х 2  х   0, где
f x 
1). 2;1   1;0. 2). ;2   1;0  4;.


6
 ,   . 4). х 
f  x   2 x 3  3x 2 .
9. Решите неравенство
3). 2;1  0;4. 4). 2;1  0;4.
Вопросыск зачету:
1. Применение непрерывности, метод интервалов.
2. Геометрический смысл производной.
3. Уравнение касательной
4. Производная в физике

2
 2,  
5. Признак возрастания, убывания функции, критические точки.
6. Исследование функции, построение графиков.
7. Наибольшее, наименьшее значение функции.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ:
«3» - наличие контрольной работы, ответов на вопросы зачета письменно.
«4»- наличие контрольной работы, выполнить тест, знание всех основных формул.
«5»-наличие контрольных работ, выполнить тест, устно отвечать на вопросы
зачета, уметь доказывать теоремы и применять теоретический материал при
решении задач.
Зачет № 4 Тела вращения.
Контрольная работа по теме «Цилиндр, конус, шар»
Вариант 1
1. На расстоянии 8 см от центра шара проведено сечение, длина
окружности которого равна 12π см. Найдите площадь поверхности шара.
2. Высота цилиндра вдвое больше его радиуса. Площадь боковой
поверхности цилиндра равна 100π см2.
а) Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
б) Найдите площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его
оси на расстоянии 4 см от нее.
3. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и проведенной к
ней высотой 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь
поверхности тела, полученного при вращении.
Вариант 2
1. Сечение шара площадью 16π см2 находится на расстоянии 3 см от
центра шара. Найдите площадь поверхности шара.
2. Высота цилиндра на 2 см меньше его радиуса. Площадь боковой
поверхности цилиндра равна 160π см2.
а) Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
б) Найдите площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его
оси на расстоянии 6 см от нее.
3. Прямоугольный треугольник с катетами 30 и 40 см вращается вокруг
гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Вопросы к зачету:
Зачет № 4. Круглые тела
Вопросы
1. Понятия сферы и шара (определения, центр, радиус, касательная плоскость, большая
окружность, большой круг, касательная прямая).
2. Различные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.
3. Теорема об отрезках касательных прямых, проведенных к сфере из одной точки
(формулировка, доказательство).
4. Понятие цилиндра (определение, элементы цилиндра).
5. Понятие конуса (определение, элементы конуса).
6. Понятие усеченного конуса (определение, элементы усеченного конуса).
7. Понятия сферы, вписанной и описанной около цилиндра (определения, примеры).
8. Теорема о сфере, вписанной в цилиндр (формулировка, доказательство).
9. Понятия цилиндра, вписанного и описанного около прямой призмы (определения,
примеры, касательная плоскость к цилиндру).
Задачи
1. Докажите, что сечением сферы плоскостью является окружность.
2. Докажите, что две большие окружности сферы, пересекаясь, делят друг друга пополам.
4. Докажите, что плоскость, проходящая через конец радиуса сферы перпендикулярно
ему, является касательной плоскостью.
5. Докажите, что касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
6. Докажите, что около любой правильной пирамиды можно описать сферу.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ:
«3» - наличие контрольной работы, ответов на вопросы зачета письменно.
«4»- наличие контрольной работы, знание всех основных формул, уметь отвечать
на вопросы устно.
«5»-наличие контрольных работ, устно отвечать на вопросы зачета, уметь
доказывать теоремы и применять теоретический материал при решении задач.
Зачет № 5 «Первообразная».
Перечень теоретических знаний:
Определение первообразной, основное свойство первообразной. Три правила нахождения
первообразных. Криволинейная трапеция и ее площадь. Вычисление площади
криволинейной трапеции. Вычисление площадей фигур, ограниченных графиками.
Контрольная работа №5 ПЕРВООБРАЗНАЯ.
Тест по теме первообразная:
1 Вариант.
Определите функцию, для которой F(x) = x2 – sin2x – 1 является первообразной:
х3
х3 1
1
 cos 2 x  x ; 2) f(x) = 2x – 2cos2x; 3) f(x) = 2x + cos2x; 4) f(x) =
 cos2x +
1) f(x) =
2
3
3 2
x.
A2 Найдите первообразную для функции. F (x) = 4х3 + cos x
1) F(x) = 12x2 – sinx + c; 2) F(x) = 4x3 + sinx + c; 3) F(x) = x4 – sinx + c; 4) F(x) = x4 + sinx +
c.
A3 Для функции f(x) = х2 найдите первообразную F, принимающую заданное значение в
заданной точке F (- 1) = 2
х3
1
х3
1
х3
1
1
2 ;
 2 ; 4) F(x) =
2 .
1) F(x) =
2) F(x) = 2x + 2 ; 3) F(x) = –
3
3
3
3
3
3
3
A1
A4 Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t2.
Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м
1
1
/сек.
1) 18 м;
2) 12 м;
3) 17 м;
4) 20 м.
3
3

6
А5 Вычислите
6
 cos
1) 6 3 ;
2) 6;
3) 2 3 ;
4) 3 3 .
dx
x
А6 Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = – х2 + 3 и у = 0
1) 4 3 ;
2) 6 3 ;
3) 9 3 ;
4) 8 3 .
1
А7 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = х
2
1
2
2
1) 2;
2) 1 ;
3) 2 ;
4) 1 .
3
3
3
А8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 – х2, касательной к
этому графику в его точке с абсциссой х = - 1 и прямой х = 0
2
1
1
1
1) 1 ;
2) 2 ;
3) ;
4) 1 .
3
3
3
3
2
0
4
 4хdx
В1
Вычислите
В2
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 1)(х + 2) и её
первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.
Найдите ту первообразную функции f(x) = 3х – 1 , для которой уравнение F(x) = 5
имеет единственный корень.
2
С1
2 Вариант.
х
А1 Определите функцию, для которой F(x) = – cos - x3 + 4 является первообразной:
2
х
1
х
1
х
х
1) f(x) = - sin - 3x2; 2) f(x) = sin - 3x2; 3) f(x) = - sin - 3x2; 4) f(x) = 2sin 2
2
2
2
2
2
3x2 .
A2 Найдите первообразную для функции f(x) = x2 – sinx
х3
х3
х3
1) F(x) = - cos x + c; 2) F(x) = 2x – cosx + c; 3) F(x) =
+ cosx + c; 4) F(x) =
+ sinx +
3
3
3
c.
A3 Для функции f(x) = 2x - 2 найдите первообразную F, график которой проходит через
точку А(2;1)
1) F(x) = - х2 – 2х – 1; 2) F(x) = х2 + 2х + 2; 3) F(x) = 2х2 – 2;
4) F(x) = х2 – 2х + 1.
А4 Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) =3 + 0,2 t.
Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 сек., если скорость измеряется в
м /сек
1) 22, 8 м;
2) 29 м;
3) 23 м;
4) 13 м.
2
x
3 1
А5 Вычислите  cos dx
1)
; 2) 3 3 - 3;
3) 0;
4) 3 - 3 3 .
2
6

А6 Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х 2, у = 0, х = 2
2
1
1
2
1) 5 ;
2) 2 ;
3) 5 ;
4) 2 .
3
3
3
3
А7 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 – х2 , у = 1
1
1
2
2) 5 ;
3) 11 ;
4) 10 .
3
3
3
А8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = – х2 + 3, касательной
к этому графику в его точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0.
2
1
1
2
1) 2 ;
2)
;
3) 2 ;
4)
.
3
3
3
3
1) 16;
4
В1 Вычислите
 (х
2
 6 х)dx
1
В2 Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 3)(х + 2) и её
первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.
С1 Найдите ту первообразную функции f(x) = 2х + 5 , для графика которой прямая
у = 7х – 3 является касательной.
Вопросы к зачету:
1.Определение первообразной.
2. Основное свойство первообразной.
3.Три правила нахождения первообразных.
4.Криволинейная трапеция и ее площадь.
5.Вычисление площадей фигур, ограниченных графиками.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ:
«3» - наличие контрольной работы, ответов на вопросы зачета письменно.
«4»- наличие контрольной работы, выполнить тест, знание всех основных формул,
уметь отвечать на вопросы устно.
«5»-наличие контрольных работ, выполнить тест, устно отвечать на вопросы
зачета, уметь доказывать теоремы и применять теоретический материал при
решении задач.
Справочный материал
Производная
Определение производной
f x 0  x   f x 0 
x
x 0
Физический смысл производной – скорость изменения функции f в точке x 0 .
Геометрический смысл производной – существование производной функции f в
точке x 0 равносильно существованию касательной в точке x 0 , при этом угловой
коэффициент равен f x0  .
Формулы
f x 0   lim
x   n  x
n
n 1
sin x   cos x
cos x    sin x
arcsin x  
1
; x   1;1
e   e
a   a
x
x
1 x

x
x
1
1
 ln a
1

   2




arccos
x


;
x


1
;
1
1
x
 1
 x
2
tgx  2

ln x  
1

x

cos x
1
x
x 
1

arctgx 
; xR
2 x
2
ctgx   12
log a x   1
1

x
x  ln a
sin x
k  x  b   k
1

arcctgx  
; xR
1 x2
c   0
Производная сложной функции. Если функция сложная, то с начала берется
производная внешней функции, а потом умножается на производную внутренней
функции.
Правила производной:

 U  U   E  U  E



U  E   U  E
  
E2
E
C  U   C  U 
U  E   U   E  U  E 
Уравнение касательной
Уравнение касательной – y  k  x  b
f x0   k  tg
y  f x0   f x0 x  x0 , где x 0 – абсцисса точки касания, f x0  – ордината точки
касания, f x0  – производная функции f в точке x 0
f b   f a 
f c  
Формула Лагранжа
ba
2
 
Литература
1. Геометрия 10-11 классы; Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов
Москва «Просвещение» 2006-2010гг.
2. Г.Д. Глейзер Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10-12 кл. «
Просвещение», 1983
3. Математика ЕГЭ-2010, Тематические тесты 10-11 класс под редакцией
Ф.Ф. Лысенко., Изд. «Легион», Ростов-на-Дону 2009 г.
1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы; Учебник. А.Г.
Мордкович. Москва «Мнемозина» 2009-2010г.
2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы; Задачник.
А.Г. Мордкович. Москва «Мнемозина» 2009-2010г.
3. Элементы комбинаторики в школьном курсе математики.Дихтярь М.Б.,
Эргле Е.В.»Сар ИПКиПРО» Саратов 2006г.
4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ. В.И.
Ишина, Ю.А. Глазков«Издательство Апрель», 2008-2010г.
№
I вариант
II вариант
Найдите значение производной функции
Найдите значение производной функции
1
в точке
.
в точке
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с
абсциссой
. Найдите значение
производной функции
в точке
.
.
На рисунке изображён график функции
касательная к нему в точке с абсциссой
значение производной функции
в точ
2
Найдите угловой коэффициент касательной к Найдите угловой коэффициент касательно
3
графику функции
в точке с абсциссой
графику функции
.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале (-3;9).
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции
параллельна прямой
.
в точке с абсциссой
.
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале (-3;11). Найдит
количество точек, в которых касательная
функции параллельна прямой
.
4
На рисунке изображен график производной
функции
, определенной на интервале(5 12;4). Найдите промежутки возрастания
функции,
На рисунке изображен график производно
, определенной на интервале(-1;17). Н
промежутки убывания функции,
в ответе укажите длину наибольшего из ни
в ответе укажите длину наибольшего из них.
6
^ Укажите промежуток, на котором функция
убывает.
Укажите промежуток, на котором функци
возрастает.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале (-4;7).
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале (-7;5).
Найдите сумму точек экстремума функции
.
Найдите сумму точек экстремума функци
Найдите точки экстремума функции
^ Найдите точки экстремума функции
7
8
.
На рисунке изображен график производной
функции
, определенной на интервале (4;16). Найдите количество точек максимума
функции на отрезке
.
9
.
На рисунке изображен график производно
, определенной на интервале(-17;2). Н
количество точек минимума функции на о
.
На рисунке изображен график производной
функции
, определенной на интервале(8; 4).
В какой точке отрезка
функция
принимает наименьшее значение.
На рисунке изображен график производно
, определенной на интервале(-8;3). В
точке отрезка
функция принимает
наибольшее значение.
1
0
Прямая
является касательной к
1
.
1 графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Прямая
функции
касания.
1 ^ Найдите точку минимума функции
2
.
Найдите точку максимума функции
1 Найдите наибольшее значение функции
3
на отрезке
.
Найдите наименьшее значение функции
1
4
является касательной к
. Найдите абсц
.
на отрезке
.
Точка движется прямолинейно по закону
Точка движется прямолинейно по закону
. Вычислите скорость и
ускорение точки при t = 1.
точки при t = 1.
. Вычислите скорость и
Урок 91. Зачет по теме «Производная»
Цели урока: проверить теоретические и практические знания по теме
«Производная»
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
Работа в группах.
На уроке, учащиеся объединяются в четыре группы по шесть человек в
каждой группе случайным образом. Каждой группе предлагается на выбор
задания трех уровней А, В, С.
1 группа
2 группа
1. Найдите производную функции
А
В
С
2. Решите уравнение
А
В
С
3. Составьте уравнение касательной к графику
А
,
В
,
С
,
,
,
,
4. Исследуйте функцию и постройте график
А
В
С
3 группа
А
В
4 группа
1. Найдите производную функции
С
2. Решите уравнение
А
В
С
3. Составьте уравнение касательной к графику
А
,
В
,
,
,
С
,
,
4. Исследуйте функцию и постройте график
А
В
С
Подведение итогов.
Домашнее задание: 1) Найдите промежутки возрастания и убывания
функции
, если
функции
проходящей через точку
. 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения
на
. 3) Найдите уравнение прямой,
, касающейся графика функции
пересекающей в двух различных точках график функции
и
.
Государственная инспекция по надзору и контролю в сфере образования
Пермского края
ТЕСТ ПО алгебре и началам анализа, 10 класс
Тема: «Производная функции»
Цель: Проверка усвоения учащимися темы «Производная функции», умение
применять полученные знания на конкретных примерах и задачам физики и
геометрии.
Уровень сложности: базовый
Время на выполнение одного тестового задания: 1-4 мин.
Инструкция по выполнению работы
На выполнение работы дается 2 часа (120 минут). Работа содержит 30
заданий с выбором ответа (один верный ответ из четырех предложенных).
Содержание, проверяемое заданиями, включает: геометрический смысл
производной, физический смысл производной, таблица производных,
исследование функции с помощью производной. С помощью заданий с
выбором ответа проверяется базовый уровень подготовки по теме.
В бланке теста отмечать правильный ответ запрещено. Выбранный
ответ необходимо отметить на отдельном бланке ответов.
Выполняйте задания в том порядке, в котором они даны. Если какое-то
задание вызывает у вас затруднения, пропустите его. К пропущенным
заданиям можно будет вернуться, если у вас останется время.
За выполнение заданий дается один балл. Баллы, полученные вами за
выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно
больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
3
1. Производную функции у  4 х равна :
1) 12х2
2) 12х
3) 4х2
2. Укажите производную функции у 6х11.
1) -5
2) 11
3) 6
х 1
3. Определите производную функции у 
.
х
1
х 1
2х 1
1)  2
2) 2
3)
х
х
х2
4. Найдите производную функции у  хsin x.
1) sinxxcosx
2) sinxxcosx
3) cos x
4) 12х3
4) 6х
4)
1
х2
4) x xcos x

2

х

s
i
n
xв
т
о
ч
к
е
x

5. Значение производной функции у
равно:
0
2
1)   1
2) 2  1
3) 2  1
4) 2
4
2
х
3
х
2
x в точке хо=2 равно :
6. Значение производной функции у  
2 2
1) 10
2) 12
3) 8
4) 6
 х2.
7. Определите производную функции уsin3
1) cos3х2
2) 3cos3х2
3) 3cos3х2
cos3х2
8. Вычислите значение производной функции
4.
1) 21
2) 24
3) 0
4)
у3х212х в точке хо=
4) 3,5
1

x


4

9. Значение производной функции у tg
2
4

в точке х0  равно:
4


1) 2
2) 4
3) 4
4) 2
2
10. Найдите производную функции ух cosx.
хo
sxх2sinx
1. 2 х sin x
2) 2х sin x
3) 2c
2c
хo
sxх2sinx
11.Корень уравнение f ´(x)=0, если f(x)=(x-1)(x²+1)(x+1) равен:
1)-1
2)1
3)±1
4)0
12. Решите неравенство f ´(x)>0, если f(x)=-x²-4x-2006
1) (-∞; -2) 2) (-2;+∞)
3) (-∞;2)
4) (2;+∞)
4)
13.Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции y=x 2x в начале координат?
1)45°
2)135°
3)60°
4)115°
14. Уравнение касательной к графику функции у=-1/х, проведенной в
точке(1;1), имеет вид;
1) у=х 2) у = - х-2
3)у=х+2
4) у=-х+2
15. Определите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику
функции у=sin2x в его точке с абсциссой 0.
1) 2
2) 1
3)0
4) -1
16. Тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=6х2/х в его точке с абсциссой (-1) равен:
1) -4
2) 1
3)0
4)-1
17. Укажите промежуток, на котором функция f(x) =5x²-4x-7 только
возрастает.
1) (-1;+∞)
2)  6;0 
3) 1;12 
4) (0;+∞)
18. На рисунке изображен график функции у  f (x) .
Сколько точек минимума имеет функция?
1) 4
2) 5
3) 2
4) 1
2
x

3
х

1
2
х

5
19. Точка максимума функции f()
равна:
1) -4
2) -2
3) 4
4) 2
20. Сколько критических точек имеет функция f(x)=2x³+x²+5?
1) 2
2) 1
3) 4
4) 3
21. На рисунке изображен график производной у =f ´(x).
Найдите точку максимума функции у =f(x).
1) 1
2) 3
3) 2
4) -2
3
22. Точка минимума функции
2
2
x3
x
11
y
  
2
x

1
3 2
24
равна:
1) -2
2) -0,5
3) 0,5
4) 2
23. График функции у=f(x) изображен на рисунке.
Укажите наибольшее значение этой функции на отрезке
 a; b
1) 2
2) 3
3) 4
4) 6
24.
Определите
наименьшее
значение
функции
3
х
2
2
у
 
2
х

3
х
 на отрезке  0; 4
3
3
2
1.
2) 3
3) 1
3
4) -
2
3
25. Какая из функций возрастает на всей координатной прямой?
1)y=x³+x 2)y=x³-x
3)y=-x³+3
4)y=x²+1
26. Функция y=4x²+ 23 на отрезке [-2006; 2006] имеет наименьшее значение
при х, равном...
1) -2005
2)0
3) 23
4)2005
27.Укажите точку максимума функции f(x), если f´ (x)=(x+6)(x-4)
1) -5
2)6
3)-6
4)-5
28.Тело движется по прямой так, что расстояние S( в метрах) от него до
точки В этой прямой изменяется по закону S(t)=2t³-12t²+7 ( t-время движения
в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела
будет равно 36 м/с²?
1) 3
2) 6
3)4
4)5
29.Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки
изменяется по закону S=5t+0,2t³-6 (м), где t- время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения.
1)10
2) 18
3) 20
4)26
30.Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции
y=f(x) в точке (-2;10). Вычислите f ´(-2).
1)-5
2)5
3)6
4)-6
Инструкция по проверке тестового задания.
За каждое верно выполненное задание учащийся получает 1 балл.
Максимальное количество баллов – 30. Оценка определяется исходя из
следующих показателей:
- от 27 до 30 баллов – оценка «5»
- от 22 до 26 баллов – оценка «4»
- от 16 до 21 балла – оценка «3»
15 и менее баллов – оценка «2»


№ п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
Бланк ответов
Ответ
1
3
4
2
3
2
3
1
1
4
4
1
2
4
1
4
3
№ п/п
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Ответ
1
4
1
2
4
3
1
1
2
3
4
3
1
Контрольная работа
по теме «Исследование функции с помощью производной»
Вариант № 1
Часть А
1.
Сколько интервалов убывания имеет функция f(х) = х3 – 3х?
А. 1. Б.2. В. 3. Г. Ни одного
2.
Сколько критических точек имеет функция f(х) = х3 – 9х2 + 15х
А. 2. Б.1. В. 3. Г. Ни одной
3. Значение функции у = – х2 + 4х + 2 в точке максимума равно…
А. 0. Б.2. В. 6. Г.8.
4. Сумма абсцисс критических точек функции
f(х) = х3 + 12х2 + 21х – 6 равна…
А. – 1.
Б.7. В. – 8.
Г. – 7.
Точкой максимума функции f(х) = 16х3 + 81х2 – 21х – 2 является…
5.
А. – 1.
Б.3,5. В. – 3.
Г. – 3,5.
Часть В.
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс, если касательная
проведена через точку х₀графика функции у = f(х), где f(х) = х2 -3х + 1, х₀ =2
2. Найдите скорость точки в момент t0 = 4, если х(t) = t3 - 4t2
3. Найдите точку перегиба к графику функции у = х3 - 3х2 +1
Часть С.
1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х 3– 1 в точке с абсциссой
х0 = - 1
2.
Исследовать с помощью производной функцию и постройте график
а) f(х) = х3 – 3х2 – 9х
б) f(х) =
Вариант № 2
Часть А
1. Сколько интервалов возрастания имеет функция f(х) = х3 – 3х2?
А. 1. Б. Ни одного. В. 2. Г. 3
2. Сколько критических точек имеет функция f(х) = х3 – 6х2 + 9х
А. Ни одной. Б. 3. В. 1. Г. 2.
3. Значение функции у = 2х2 - 8х + 11 в точке минимума равно…
А. 0. Б.5. В. 2. Г.3.
4. Сумма абсцисс критических точек функции
f(х) = х3 - 3х2 - 9х – 4 равна…
А. – 1.
Б.3. В. – 3.
Г. – 2.
Точкой минимума функции f(х) = 16х3 -27х2 –
5.
А. 1. Б. . В. –
.
х– 5
является…
Г. –1 .
Часть В.
1.
Найдите тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс, если касательная
проведена через точку х₀графика функции у = f(х), где f(х) = -х5-2х2 +2 , х₀ = -1
2.
Найдите скорость точки в момент t0 = 4, если х(t) = t2 - t + 5
3.
Найдите точку перегиба к графику функции у = - 3х3 +4,5х2 + 1
Часть С.
1.
Напишите уравнение касательной к графику функции
f(х) = х3 - 2х + 1 в точке с абсциссой х0 = 2
2.
Исследовать с помощью производной функцию и постройте график
а) f(х) =
+ х2 - 3х +1
б) f(х) =
Контрольная работа по теме «Производная»
1 вариант
1. Найдите производную функции.
а) y  x 2 sin 2 x.
2 вариант
1. Найдите производную функции.
x
а) y  x 3 sin .
3
x
б) y  1  8 sin .
8
7
в) y  tg 2 x.
б) y  1  7tg 2 x .
г) y  sin 3 3 x  1.
г) y  cos 5
x3
.
1  x2
2. При движении тела по прямой расстояние S
расстояние S
(в метрах) изменяется по закону S(t)=t2+t+2.
S(t)=0,5t2-4t+6
Через сколько секунд после начала движения
движения
Мгновенная скорость тела будет равна 5м/с?
3. Напишите уравнение касательной к графику
к графику
графику функции f(x) в точке x=a.
1
f x   4  3 , a  1.
x
4. Найдите абсциссу точки, в которой касательная
которой касательная
к графику ф-ции f(x) параллельна данной прямой.
данной прямой.
1
f  x   x  2 , y  3 x.
x
5. При каких значениях аргумента скорость
скорость
изменения ф-ции y=f(x) равна скорости
скорости
изменения ф-ции y=g(x).
1
f  x   x 3  x 2 , g  x   7 ,5 x 2  16 x.
3
6. Составьте уравнение касательной к графику
к графику
ф-ции f(x) в точке x=a.

f  x   sin 3 2 x , a 
.
12
д) y 
 
в) y  cos 2 3 x 2 .
x
 1.
5
x2
.
1  x3
2. При движении тела по прямой
д) y 
(в метрах) изменяется по закону
Через сколько секунд после начала
тело остановится?
3. Напишите уравнение касательной
графику функции f(x) в точке x=a.
f  x   3  x , a  1.
4. Найдите абсциссу точки, в
к графику ф-ции f(x) параллельна
f x  
1
 7 , y  4 x.
x4
5. При каких значениях аргумента
изменения ф-ции y=f(x) равна
изменения ф-ции y=g(x).
f x   x 3  3 x 2 , g x   1,5 x 2  9.
6. Составьте уравнение касательной
ф-ции f(x) в точке x=a.

f  x   cos 2 2 x , a  .
8
7*** Найдите точку пересечения касательных к графику функции y  x 2  2 x  6 ,
проведённых
через точки с абсциссами х=5, х= -5.
Контрольная работа по теме
«Применение производной к исследованию функции»
1 ВАРИАНТ
1. Найдите критические, стационарные точки и
стационарные точки и
2 ВАРИАНТ
1. Найдите критические,
точки экстремума функции.
5
а) y  x 8 3 x  1 .
точки экстремума функции.
4
а) y  x7 2  3 x  .
б) y  x  3  2.
б) y  2  х  3.
2. При каких значениях параметра р функция
р функция
5
y  x 3  px 2  5 x  14 возрастает на всей
3
на всей
числовой прямой.
2. При каких значениях параметра
3. Найдите множество значений функции
функции
y  x  1  9  x.
3. Найдите множество значений
4. Длина, ширина и высота прямоугольного
треугольника
параллелепипеда с квадратным основанием
длины сторон
составляет в сумме 36 см. Чему равен наибольплощадей
ший объём такого параллелепипеда?
сторонах,
4. Площадь прямоугольного
y   x3  px 2  3 x  16 убывает
числовой прямой.
y  3  x  x  1.
8 см2 . Каким должны быть
треугольника, чтобы сумма
квадратов, построенных на его
была наименьшей?
5. При каком значении параметра
параметра
р уравнение x3  x 2  x  p имеет три корня.
ровно два
5. При каком наименьшем значении
n уравнение x 3  6 x 2  n имеет
корня.
6. Построить график функции.
x2  1
y 2
.
x 1
6. Построить график функции.
x2  4
y 2
.
x 4
Вариант № 1
1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в
точке с абсциссой x0, если:
f(x) =
, если x0 = 1
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке x0 = 2.
3. Определите промежутки монотонности функции:
а) y = 3x2 – 6x + 1
б) y = x9 — 9x
4. Определите критические точки функции:
а) f(x) = x3 – 9x
б) f(x) = 5. Найдите точки экстремума функции:
f(x) =
6. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке:
f(x) =
, [0,5 ; 3]
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
для 10 класса по теме «Применение производной к исследованию функции»
Вариант № 2
1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в
точке с абсциссой x0, если:
f(x) =
, если x0 = 1
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке x0 = - 1.
3. Определите промежутки монотонности функции:
а) y = 2x2 + 4x — 1
б) y = x7 — 7x
4. Определите критические точки функции:
а) f(x) = x2 – 16x
б) f(x) =
5. Найдите точки экстремума функции:
f(x) =
6. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке:
f(x) =
, [ -3 ; - 1]
Урок в 10 классе по теме «Вычисление производных»
Тип урока: урок систематизации и контроля знаний
Цели урока:
Обучающая - знать формулы дифференцирования; правила
дифференцирования;
дифференцирование сложной функции; физический и геометрический смысл
производной;
уравнение касательной к графику функции.
Развивающая - уметь находить производные функции; решать задачи с
применением физического смысла, геометрического смысла; находить
значение производной функции в точке; математически грамотно объяснять
и обосновывать выполняемые действия.
Воспитательная – воспитывать самостоятельность, ответственность,
рефлексию.
Ход урока
I.
II.
III.
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Постановка цели и мотивация
Данный урок является заключительным уроком по теме “Вычисление
производных” и предлагает им самостоятельно сформулировать цели.
“Великий философ Конфуций однажды сказал: “Три пути ведут к знанию:
путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это
путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький”. Сегодня на
уроке каждый из вас сможет определить на каком пути к знанию данной
темы он находится”.
Перед учащимися ставится задача - показать свои знания и умения по
вычислению производных и сообщается план урока.
Ставится задача: показать свои знания и умения по вычислению
производных.
IV.
Проверка знаний , формул и правил дифференцирования
Цель: самоконтроль. По окончании самопроверка. Один учащийся у доски
СЛАЙД 1 РЕКЛАМА 1
Вспомни!
Ф.И. __________________________________________________
Функция
Производная
kx+m
2x
c,c - const
sin x
1
ctg x
- sin x
k*f(x)
f'(x)+g'(x)
f(x)*g(x)
3х²
f(kx+m)
V.
Устная фронтальная работа. Задания записаны на доске
СЛАЙД 2 РЕКЛАМА 2
Найти производные функций
Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского
математика, который ввёл термин «производная»
СЛАЙД 3 РЕКЛАМА 3
СЛАЙД 4
VI.
Р
у=2х- 2х³+3х+4
у(1)-?
Н
у=(3х-2)
у( )-?
Г
y= cos x – sin x
у(П/3)-?
А
у= (х³-2х+1) cos x
у(0)-?
Ж
у= (3х-х²-х )( х + 3х - 8)
у (1) - ?
А
у=tg 2x ctg 2x
у(2П/3) - ?
Л
у=
-
2
3
1
3
4х
х2
у(1) - ?
 3 1
2
-2
5
0
1
57,5
СЛАЙД 5
В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно
Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и
современным обозначением производной
(с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два
штриха) также ввёл Лагранж.
VII. Дифференцированная самостоятельная работа
Коды ответов на слайде 6
СЛАЙД 7 РЕКЛАМА 4
№
I
II
III
IV
V
№
I
II
III
IV
V
1
5
3
2
4
1
11
4
3
2
1
5
2
3
4
5
1
2
12
5
3
1
2
4
3
2
1
5
3
4
13
4
5
1
2
3
4
4
5
1
2
3
14
4
3
5
1
2
5
4
5
3
1
2
15
4
2
5
1
3
6
5
4
2
1
3
16
4
5
3
2
1
7
3
4
5
1
2
17
4
2
5
1
3
8
4
3
5
1
2
18
4
5
1
3
2
9
2
4
5
1
3
19
2
1
3
4
5
10
5
3
2
4
1
20
5
4
2
3
1
№
1
I. f(x) = (4 – 3x)
3х  2
II. f(x) =
7х  3
x
III. f(x) =
cos 3 x
IV. f(x) =
2
4x  1
I. f(x) =
1  16 x
II. f(x) = (4  1,5x)10
III. f(x) =
cos 3 x  3 x sin 3 x
cos 2 3 x
23
3. f '(x) =
(7 х  3) 2
2. f '(x) =
x4 1
V. f(x) = cos2x + sin(x +
№
1. f`'(x) = - 2sin2x + cos(x +
10
3x  1
2
IV. f(x) = cos6x+sin4x
V. f(x) = (9 х  5) 7

)
4
4. f '(x) =
2x3
x4 1
5. f '(x) = - 30(4 – 3x) 9
1. f`'(x) = - 6sin6x + 4cos4x
2. f '(x) = 63(9х-5) 6
 12
3. f '(x) =
(1  16 x) 2
4. f '(x) = -15(4 - 1,5x) 9
5. f '(x) =
3x
3x 2  1

)
4
№
3
I. f(x) = (20x + 4) 21
II. f(x) = 4sin x  5
III. f(x) = sin4xcos6x – cos4xsin6x
4x 2  5
6  2x
VI. f(x) =
x4
IV. f(x) =
1. f`'(x) =
2 cos x  5
x5
2. f '(x) = 420(20x + 4) 20
4x
3. f '(x) =
4x 2  5
6( x  4)
4. f '(x) =
x5
5. f '(x) = - 2cos2x
№
4
I. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx
II. f(x) =
4x 3  6
4
(3 x  5) 4
1
IV. f(x) =
x
(3  ) 8
2
V. f(x) = cos4xcos5x - sin4xsin5x
III. f(x) =
№
5
I. f(x) =
48
(3 x  5) 5
4
2. f '(x) =
x
(3  ) 9
2
3. f '(x) = -9sin9x
4. f '(x) = 4cos4x
6x 2
5. f '(x) =
4x3  6
1. f`'(x) = -
1
x 2  12 x  18
1. f`'(x) = - 2sin2x
2. f '(x) = -18x 2 (9 -x 3 ) 5 +
II. f(x) = cos(6 – 4x)
8
III. f(x) = (4x + 3) 9
IV. f(x) = sin7xsin5x + cos7xcos5x
V. f(x) = (9 -x 3 ) 6 +
2x  7
№
6
I. f(x) = cos4xcos2x - sin4xsin2x
II. f(x) = 34sin 2 x
III. f(x) = ctg
x
+1
2
5. f '(x) = 4sin(6 – 4x)
1. f`'(x) = -
2x3
1 x4
1
2. f '(x) =
cos x  1
3. f '(x) = 18(3x – 4) 5
IV. f(x) = 1  x 4
4. f '(x) = 34sin2x
V. f(x) = (3x – 4) 6
5. f '(x) = - 6sin6x
I. f(x) = sin6xsin4x + cos6xcos4x
1. f`'(x) =
№
7
3. f '(x) = 36(4x + 3)
6 x
4. f '(x) =
( x 2  12 x  18) 3
5
x
sin
3
3
1
2x  7
II. f(x) = (8x + 4) 6
3
III. f(x) =
(5 x  2) 7
x 
IV. f(x) = 5sin( - )
3 2
5 x
V. f(x) =
x2  2
№
8
I. f(x) =
3  х3
2  5x
2 f '(x) =
( x  2) x 2  2
3. f '(x) = - 2sin2x
4. f '(x) = 48(8x + 4) 5
105
5. f '(x) = (5 x  2) 8
2
1. f '(x) = 7sin2x
2. f '(x) = 49(7x +3) 6
II. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx
III. f(x) = (5 – 3x) 5
IV. f(x) = 7 sin 2 x
3. f '(x) = 4cos4x
 3х 2
4. f '(x) =
2 3  х3
V. f(x) = (7x +3) 7
5. f '(x) = - 15(5 – 3x) 4
3х 2  1
1
II. f(x) = 3
( х  1) 3
1. f '(x) = 3cos3x
№
9
I. f(x) =
III. f(x) =
х  2х
3
IV. f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x
V. f(x) = (x 3 - 2x 2 + 5) 6
3х 2  1
3. f '(x) = 6(x 3 - 2x 2 + 5) 5 (3x 2 - 4x)
9х 2
4. f '(x) = - 3
( х  1) 4
5. f '(x) =
№
10
I. f(x) = 2  х 3
II. f(x) = (4х + 6) 5
5х  2х
5х  2х
III. f(x) = - 2sin
sin
2
2
4х  5
IV. f(x) = 3
х 2
V. f(x) =
8х 3  2 х  7
3х
2. f '(x) =
3х 2  2
2 х3  2х
24 х 2  2
1. f '(x) =
2 8х 3  2 х  7
2. f '(x) = - 5sin5x + 2sin2x
3. f '(x) = 20(4х + 6) 4
4. f '(x) =
 10 х 3  15 х 2  4
( х 3  2) 2 4 х  5
5. f '(x) = 
№
3х 2
2 2  х3
I. f(x) = (7 – 8х) 18
11
II. f(x) = 4  5х 2
III. f(x) = cos5x – sin2x
IV. f(x) = (7x + 3) 5
1. f '(x) = 35(7x + 3) 4
2. f '(x) = - 5sin5x – 2cos2x
 5х
3. f '(x) =
4  5х 2
4. f '(x) = - 144(7 – 8х) 17
V. f(x) = 2sin(
№
12
I.
х 
- )
4 3
5. f '(x) =
f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x
II. f(x) = 4  х 2
III. f(x) = (8 -2x) 4
х
х
IV. f(x) = cos 2 - sin 2
4
4
1
V. f(x) = (  2 ) 2
х
№
13
1. f '(x) = 8(2x - 8) 3
1
х
2. f '(x) = - sin
2
2
х
3. f '(x) = 4  х2
 4х  2
4. f '(x) =
х3
5. f '(x) = 3cos3x
1. f '(x) =
6
I. f(x) = (4х + 2)
1
II. f(x) = cos(2x – π)
2
4х  1
III. f(x) =
(2  3х 2 ) 4
1
х 
cos( - )
2
4 3
90 х 2  24 х  4
(2  3х 2 ) 5 4 х  1
2. f '(x) = 18(2х+4) 8
3. f '(x) = -2sin2x
4. f '(x) = 24(4х + 2) 5
5. f '(x) = sin2x
IV. f(x) = (2 х  4) 9
V. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x
№
1. f '(x)= 18х²+30
6х  4
2. f '(x) =
2 (3 х 2  4 х  1)
I. f(x) = (9x + 3) 4
14
II. f(x) = 3 x 6  8
1
III. f(x) =
(8 x  1) 5
IV. f(x) = 6 (х³+ 5х)
V. f(x) =
3
3х  4 х  1
I. f(x) = (5 – 4x) 16
7 х 2  3х  5
III. f(x) = 5  2 х
II. f(x) =
IV. f(x) = - 5cos(
V. f(x) =
х
- π)
5
2
 5х
х
№
16
x
6
 8
2
4. f '(x) = 36(9x + 3) 3
40
5. f '(x) = (8 x  1) 6
х
1. f '(x) = - sin
5
14 х  3
2. f '(x) =
2 7 х 2  3х  5
5х 2  2
3. f '(x) =
2х 5х 3  2х
4. f '(x) = 64(4x – 5) 15
1
5. f '(x) = 5  2х
2
№
15
2x5
3. f '(x) =
1. f '(x) = - 5sin5x
7
I. f(x) = sin (2x + 40)
II. f(x) = ( 6x – 2) - (9x + 7)
III. f(x) = sin (8x + 3)
15
8
2. f '(x) =
 2x  7
( x  3) 2 4 x  1
IV. f(x) =
4x  1
x3
V. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x
№
17
I. f(x) = 3sin(
х 
- )
3 2
II. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x
III. f(x) = 2cos
№
18
x
2
IV. f(x) = 3х 2  9 х  7
1
V. f(x) =
(6 х  1) 5
х 
I. f(x) = 4sin( - )
4 2
II. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x
1
III. f(x) =
( 4 х  7) 2
9 х 2  5х  7
x
x
V. f(x) = 4cos sin
3
3
IV. f(x) =
№
19
х
- π)
5
II. f(x) = sin5xsinx + cos5xcosx
1
III. f(x) =
(3 х  5) 5
I. f(x) = 5sin(
5х 2  7 х  8
x
x
V. f(x) = 2cos sin
6
6
IV. f(x) =
№
20
х 3
)
3
2
II. f(x) = sin9xsin2x + cos9xcos2x
1
III. f(x) =
(8 х  3) 7
I. f(x) = 6sin(
4х 2  х  2
x
V. f(x) = 6sin
2
IV. f(x) =
Взаимопроверка
3. f '(x) =8 cos(8х+3)
4. f '(x) = 14 sin 6 (2x + 40)cos(2x + 40)
5. f '(x) = 90(6x – 2) 14 + 72(9x + 7) 9
1. f '(x) =
6х  9
2 (3 х 2  9 х  7)
2. f '(x) = - 2sin2x
30
3. f '(x) = (6 х  1) 6
х
4. f '(x) = sin
3
x
5. f '(x) = - sin
2
8
( 4 х  7) 3
4
2x
2. f '(x) = cos
3
3
18 х  5
3. f '(x) =
2 (9 х 2  5 х  7)
х
4. f '(x) = sin
4
5.f '(x) = - 5sin5x
1. f '(x) = -
1. f '(x) = - 4sin4x
х
2. f '(x) = -cos
5
15
3. f '(x) = (3 х  5) 6
10 х  7
4. f '(x) =
2 (5 х 2  7 х  8)
1
x
5. f '(x) = cos
3
3
x
1. f '(x) = 3cos
2
56
2. f '(x) = (8 х  3) 8
8х  1
3. f '(x) =
2 4 х 2  х  2)
4. f '(x) = - 7sin7x
х
5. f '(x) = -2sin
3
VIII. Решение задач на применение производной
Бывает так, что решая задачи очень далекие друг от друга по содержанию,
мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики
состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной
моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний.
Вопрос учителя: с какими математическими моделями вы знакомы? Ответ:
уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств…
Учитель: Вы познакомились с двумя различными задачами, которые
привели вас к одной и той же математической модели – пределу отношения
приращения функции к приращению аргумента, при условии, что
приращение аргумента стремится к 0 . (Задачи на нахождение скорости,
ускорения, угла наклона касательной) Многие задачи экономики приводят в
процессе решения к такой же модели
Сегодня на уроке мы познакомимся с одной из таких задач, т.е. будем
говорить об экономическом смысле производной.
СЛАЙД 8
Известно, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен
функцией
, t– время, ч.
Может быть кто–нибудь знает, как вычислить производительность труда в
течение каждого часа работы?
Производительность труда есть производная объема выпускаемой
продукции.
СЛАЙД 9
СЛАЙД 10
Вопрос: почему после третьего часа работы мы наблюдаем спад
производительности труда
Ответ: упадок сил, плохо проветрено помещение и т.д.
IX.
СЛАЙД 9 РЕКЛАМА 5
Домашнее задание Тест-прогноз. Раздаётся всем по вариантам
1
2
3
4
1 вариант
б
в
а
г
2 вариант
в
г
б
а
Сегодня производительность в течение этого часа у большинства учащихся
была высокой. Я довольна результатами. Попрошу вас подсчитать
количество набранных баллов.
Листы самооценки
Итого (средний
балл)
Самостоятельная
работа
Значение
производной в
точке
Устный счёт
Проверка формул
Ф.И.________________________________________________
Дополнительно
А. Сформировать задание к данному условию и решить его.
Решение:
1. Найти значение производной функции
21.)
в точке t = 3. (Ответ:
2. Составить уравнение касательной к графику функции
= 3. (Ответ: у = 21х-45.).
в точке t
3. Найти скорость движения тела и ускорение в момент времени t=3c , если
закон движения задан формулой
. (Ответ: 21м/c, 16 м/с²).
4. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке t = 3. (Ответ: 21.).
5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции
в точке t = 3 и определите вид угла между касательной и
положительным направлением оси Ox. (Ответ: tgα, угол α - острый)
I этап “Производная”
Тест с выбором верного ответа (8 мин)
I-вариант
Вычислить y’
^
I этап “Производная”
Тест с выбором верного ответа (8 мин)
II-вариант
Вычислить y’
^
“Функция” Ответы к тестам
I вариант: 1.В 2.А 3.А 4.В 5.Б 6.А 7.Б 8.В
II вариант: 1.Б 2.В 3.В 4.В 5.А 6.Б 7.В 8.А