алгебра - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Тобольский педагогический институт им. Д.И. Менделеева (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский государственный университет» в г. Тобольске Естественнонаучный факультет Кафедра физики, математики, информатики и методик преподавания УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе и международной деятельности _________________________ Вертянкина Н.В. “07” сентября Учебно-методический комплекс дисциплины «АЛГЕБРА» Код и направление подготовки 010301 – «Математика» Профиль подготовки «Вычислительная математика и информатика» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Тобольск 2015 2015 г. 2 Содержание Приложение I Приложение II Приложение III Приложение IV Приложение V Приложение VI Приложение VII Рабочая программа дисциплины Планы лекций………………………………………………………………..… Планы практических занятий..…………………………………………..…… Литература……………………………………..…………………………….... Планы практик………………………………………………………………... Темы самостоятельной работы студентов….……………………………… Текущий и итоговый контроль……………………………………………… Методические указания для обучающихся……………….............................. 3 5 42 45 48 50 51 56 58 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Тобольский педагогический институт им. Д.И. Менделеева (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский государственный университет» в г. Тобольске Естественнонаучный факультет Кафедра физики, математики, информатики и методик преподавания УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе и международной деятельности _________________________ Вертянкина Н.В. “ 07 ” сентября Рабочая программа учебной дисциплины «АЛГЕБРА» Код и направление подготовки 010301 – «Математика» Профиль подготовки «Вычислительная математика и информатика» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Дневное Программу составил: к.-ф.-м.н., доцент А.И. Валицкас Тобольск 2015 4 2015 г. Содержание 1 2 3 4 5 6 7 Цели и задачи освоения дисциплины …………………………………………………… Место дисциплины в структуре ОП ВПО ……………………………………………. Требования к результатам освоения содержания дисциплины ………………………... Структура и содержание дисциплины …………………………………………………... 4.1 Структура дисциплины ……………………………………………………………. 4.2 Содержание разделов дисциплины ………………………………………………. Образовательные технологии …………………………………………………………… Самостоятельная работа студентов ……………………………………………………… Компетентностно-ориентированные оценочные средства …………………………….. 7.1 Оценочные средства диагностирующего контроля ……………………………... Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология 7.2 оценивания работы студентов ……………………………..................................... 7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации ……………………………… Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины …………. 6 8 9 10 10 11 12 14 15 15 17 21 37 Er ror ! Bo ok 9 Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………… ma rk not def ine d. 10 Методические указания для обучающихся………………................................................ 39 I. ПРИЛОЖЕНИЕ I……………………………………………………………………………………………………….42 II. ПРИЛОЖЕНИЕ II. Планы лекций …………………………………………………………………………………...45 8 III. ПРИЛОЖЕНИЕ III. Содержание практических занятий…………………………………………………………...48 IV. ПРИЛОЖЕНИЕ IV. Содержание самостоятельной работы студентов…………………………………………….50 V. ПРИЛОЖЕНИЕ V. Текущий и промежуточный контроль………………………………………………………..…51 VI. ПРИЛОЖЕНИЕ VI. Литература……………………………………………………………………………………....56 5 1. Цели и задачи освоения дисциплины Дисциплина “Алгебра” призвана ввести студентов в круг классических методов алгебры, являющихся фундаментом практически любой математической дисциплины и показать их применение в прикладных задачах. Цель дисциплины “Алгебра” триедина:  овладение студентами некоторыми фундаментальными теоретическими положениями абстрактной алгебры;  формирование алгебраической культуры;  использование полученных теоретических знаний в прикладных задачах. Вместе с тем, изучение дисциплины преследует и следующие цели:  обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих алгебру в качестве математического аппарата;  владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;  освоение методологии построения математических моделей;  пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;  сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;  знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития. Дисциплина “Алгебра” должна решать следующие задачи:  вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по алгебраическим методам решения математических задач; 6  давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;  предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;  демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории, открывающую дорогу многим приложениям;  учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке алгебры;  демонстрировать применение алгебраических методов для решения разнообразных практических задач;  пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать некоторые типовые задачи;  обеспечить материал для самостоятельной работы. В результате изучения дисциплины “Алгебра” у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:  научно-исследовательская и научно-изыскательская: применение методов математического и алгоритмического моделирования при анализе прикладных проблем; использование базовых математических задач и математических методов в научных исследованиях; контекстная обработка общенаучной и научно-технической информации, приведение её к проблемно-задачной форме, анализ и синтез информации.  производственно-технологическая: применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности; использование технологий и компьютерных систем управления объектами. 7  организационно-управленческая: применение математических методов экономики, актуарно- финансового анализа и защиты информации; участие в организации научно-технических работ, контроле, принятии решений и определении перспектив.  преподавательская: преподавание физико-математических дисциплин и информатики в образовательных и средних образовательных учреждениях при специализированной переподготовке. 2. Место дисциплины в структуре ОП ВПО Дисциплина “Алгебра” относится к дисциплинам базовой части учебного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению “Математика” (бакалавриат). Дисциплина базируется на знаниях и навыках, полученных в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования. Содержание дисциплины “Алгебра” тесно связано с другими курсами, входящими в ОП бакалавра математики.  с геометрией;  с дискретной математикой, включая комбинаторику, теорию графов и теорию кодирования;  с некоторыми разделами математического анализа;  с некоторыми дисциплинами информатики, например, с “Вычислительными методами”. При этом изучение дисциплины “Алгебра” должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных предметов и решения прикладных задач, но 8 обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера изучаемой теории. 3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина “Алгебра” обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра математики.  готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);  способностью к самостоятельной научно-исследовательской работе (ОПК-3);  способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3);  способностью к организации учебной деятельности в конкретной предметной области (математика, физика, информатика) (ПК-9). В результате изучения дисциплины студент должен: Знать:  основы алгебраической теории;  основные разделы алгебры, классические факты, утверждения и методы указанной предметной области;  определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений; 9 Уметь:  применять методы алгебры для решения математических задач, построения и анализа моделей в прикладных задачах математики и информатики;  решать типовые задачи в указанной предметной области;  доказывать основные результаты; Владеть:  математическим аппаратом фундаментальной алгебры;  методами решения типовых задач и доказательства утверждений в этой области;  методикой построения, анализа и применения математических моделей для прикладных задач математики и информатики;  навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики; 4. Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц (360 часов). 4.1. Структура дисциплины Таблица 1 № 1. 2. 3. Наименование раздела дисциплины Семестр Элементы теории множеств и логики Основные числовые системы Основные алгебраические структуры I Всего 4. 5. 6. Матрицы и определители Системы линейных уравнений Векторные пространства II Всего 7. Многочлены от одного переменного 8. Многочлены над полями C, R, Q Многочлены от нескольких переменных 9. Всего Итого 10 III Виды учебной работы (в академических часах) аудиторные занятия СР ЛК ПЗ ЛБ 6 6 9 – 18 18 27 – 12 12 18 – 36 36 – 54 12 12 20 12 12 20 16 16 24 40 40 – 64 8 8 - 20 6 6 - 18 4 4 - 16 18 94 18 94 – – 54 172 4.2. Содержание дисциплины Таблица 2 № Наименование раздела дисциплины 1. Элементы теории множеств и логики 2. Основные числовые системы 3. Основные алгебраические структуры 4. Матрицы и определители 5. Системы линейных уравнений 6. Векторные пространства Содержание раздела (дидактические единицы) Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Множество. Подмножество. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна. Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Натуральные числа. Метод математической индукции. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной операции. Понятия полугруппы и группы. Примеры полугрупп и групп. Понятие кольца. Примеры колец. Понятие поля. Примеры полей. Простейшие свойства полугрупп, групп колец, полей. Гомоморфизмы групп, колец, полей и их основные свойства. Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Обратимые матрицы. Нахождение обратной матрицы. Определители малых порядков. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение определителя по строкам и столбцам. Определитель произведения матриц. Вычисление ранга матрицы с помощью базисных миноров. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений. Элементарные преобразования и равносильность систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Равенство строчечного и столбцового рангов. Ступенчатые матрицы. Критерий совместности и определенности систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Определение и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство. Критерий подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Линейная зависимость и независимость систем векторов, свойства. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Евклидовы векторные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональное дополнение подпространства. Процесс ортогонализации векторов. 11 № Наименование раздела дисциплины 7. Многочлены от одного переменного 8. Многочлены над полями C, R, Q 9. Многочлены от нескольких переменных Содержание раздела (дидактические единицы) Кольцо K[x] многочленов от одного переменного. Теорема о делении многочленов с остатком. Значение многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера и деление многочлена на двучлен. НОД многочленов и его свойства. Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей. НОК многочленов. Производная многочленов. Разложение многочлена в ряд Тейлора. Уравнения 3-й и 4-й степеней над С. Кратности корней. Разложение многочлена над R. Целые и рациональные корни многочленов. Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициентами. Поле алгебраических чисел. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Кольцо многочленов K[x1 , …, xn] от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение мономов. Симметрические многочлены: формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах и следствия из неё. 5. Образовательные технологии Таблица 3 № занятия № раздела 1 1 2 1 3 1 Тема занятия Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Виды образовательных технологий Кол-во часов Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные 4–6 2 методы Натуральные числа. Метод ма(групповые формы работематической индукции. 4 Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи Интерактивные методы комплексного числа. Геомет(групповые формы раборическое представление комплексных чисел и операций над ты) ними. 4 ты) 7–8 2 12 № занятия № раздела Виды образовательных технологий Тема занятия Кол-во часов 9-10 2 Тригонометрическая форма Интерактивные методы записи комплексного числа. (групповые формы рабоКорни из комплексных чисел и ты) двучленные уравнения. 11–12 2 Подстановки Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 13-14 3 Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная Интерактивные методы и мультипликативная формы (групповые формы рабозаписи бинарной операции. Понятия полугруппы и группы. ты) Примеры полугрупп и групп. 4 15-16 3 Кольца. Поля. Примеры. Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 17–18 3 19-20 4 21-22 4 23–24 4 25-26 5 27–28 5 29-30 31-32 5 6 Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение определителя по строкам и столбцам. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Интерактивные методы (групповые формы работы) Интерактивные методы Правило Крамера для решения (групповые формы рабосистем линейных уравнений. ты) Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Элементарные преобразования строк матрицы. Метод Гаусса. Критерий совместности и определенности систем линейных уравнений. Решение систем с помощью обратной матрицы. Однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Определение и простейшие свойства векторных пространств. 13 4 4 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 № занятия № раздела Виды образовательных технологий Тема занятия 33-34 6 Подпространство. Критерий Интерактивные методы подпространства. Линейная (групповые формы рабооболочка системы векторов. ты) Соотношения зависимости. 35–36 6 Базис и ранг конечной системы (групповые формы рабовекторов. Интерактивные 37–38 6 39–40 7 41–42 7 43–44 8 45 8 46–47 8 Кол-во часов 4 методы 4 ты) Интерактивные методы Базис и размерность векторно(групповые формы рабого пространства. ты) Многочлены над полями. Сложение, умножение и деление многочленов. Схема Горнера. Деление многочлена на двучлен. Разложение многочленов на множители. Корни и их кратности Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов. Линейное разложение наибольшего общего делителя. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) методы Целые и рациональные корни мно- Интерактивные гочленов с целыми коэффициен- (групповые формы работами ты) Методы Кардано и Феррари решения уравнений 3-й и 4-й степеней Симметричные многочлены. Представление симметричного многочлена в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов 4 2 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 6. Самостоятельная работа студентов Таблица 4 № Наименование раздела дисциплины 1 Элементы теории множеств и логики 2 3 Основные числовые системы Основные алгебраические структуры Вид самостоятельной работы чтение текста; конспектирование текста; работа с конспектом лекции; выполнение домашних заданий; решение задач и упражнений по образцу; составление плана и тезисов ответа; ответы на контрольные вопросы; изучение дополнительных тем занятий; решение вариативных задач и упражнений; учебно-исследовательская работа Трудоемкость (в академических часах) 9 27 18 14 Наименование раздела дисциплины № чтение текста; конспектирование текста; работа с конспектом лекции; выполнение домашних заданий; решение задач и упражнений по образцу; составление плана и тезисов ответа; ответы на контрольные вопросы; изучение дополнительных тем занятий; решение вариативных задач и упражнений; учебно-исследовательская работа чтение текста; конспектирование текста; работа с конспектом лекции; выполнение домашних заданий; решение задач и упражнений по образцу; составление плана и тезисов ответа; ответы на контрольные вопросы; изучение дополнительных тем занятий; решение вариативных задач и упражнений; учебно-исследовательская работа Матрицы и определители Системы линейных уравнений 4 5 Векторные пространства 6 Трудоемкость (в академических часах) Вид самостоятельной работы 20 20 24 Многочлены от одного переменного Многочлены над полями C, R, Q Многочлены от нескольких переменных Итого 7 8 9 20 18 16 54 7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства 7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля Оценочные средства диагностирующего контроля не предусмотрены. 7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов 6 4 25 6 3 25 6 6 30 итоговый контроль контрольная работа домашние задания Модуль 1 6 6 индивидуальные задания 3 Письменные работы работа на занатиях Всего самостоятельная работа № Темы коллоквиумы Устный опрос Итого количество баллов Таблица 5. Модуль 2 Всего 10 Всего Итого 6 6 10 9 6 18 Модуль 3 6 12 15 18 13 20 20 100 7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ Таблица 6 Виды работ Аудиторные занятия Лекции Практические занятия Самостоятельная работа Итого за работу в семестре Обобщающий контроль Итого: Максимальное количество баллов Модуль 1 Модуль 2 Модуль 3 Итого 10 10 10 30 4 4 4 12 6 6 6 18 15 15 20 50 25 25 30 80 20 100 7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов I семестр Таблица 6 № 1 2 3 1 2 3 4 5 6 Наименование раздела дисциплины Элементы теории множеств и логики. Основные числовые системы Основные алгебраические структуры Формы оцениваемой работы Максимальное количество баллов Модуль (аттестация) 0,5 0,5 1 Работа на лекциях (I семестр) Посещение лекции Участие в обсуждении Посещение лекции Участие в обсуждении 0,5 0,5 Посещение лекции Участие в обсуждении 0,5 0,5 Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях Посещение занятия Элементы теории Участие в обсуждении множеств и логики Решение задач у доски Основные числовые системы Основные алгебраические структуры Матрицы и определители Системы линейных уравнений Векторные пространства. (I семестр) 0,5 0,5 1 2 3 1 Посещение занятия Участие в обсуждении Решение задач у доски 0,5 0,5 1 2 Посещение занятия Участие в обсуждении Решение задач у доски 0,5 0,5 1 3 Работа на лекциях (II семестр) Посещение лекции Участие в обсуждении Посещение лекции Участие в обсуждении Посещение лекции Участие в обсуждении 16 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 1, 2 1 № 4 5 6 № 7 8 9 Максимальное Модуль количество (аттестация) баллов Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях (II семестр) Посещение занятия 0,5 Матрицы и Участие в обсуждении 0,5 1 определители Решение задач у доски 1 Посещение занятия 0,5 Системы линейных Участие в обсуждении 0,5 2 уравнений Решение задач у доски 1 Посещение занятия 0,5 Векторные Участие в обсуждении 0,5 3 пространства Решение задач у доски 1 Максимальное Наименование раздела Модуль Формы оцениваемой работы количество дисциплины (аттестация) баллов Работа на лекциях (III семестр) Наименование раздела дисциплины Многочлены от одного переменного Многочлены над полями C, R, Q. Многочлены от нескольких переменных Формы оцениваемой работы Посещение лекции Участие в обсуждении 0,5 0,5 1 Посещение лекции Участие в обсуждении 0,5 0,5 2 Посещение лекции Участие в обсуждении 0,5 0,5 3 Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях (III семестр) 7 8 9 Многочлены от одного переменного Многочлены над полями C, R, Q. Многочлены от нескольких переменных Посещение занятия Участие в обсуждении Решение задач у доски 0,5 0,5 1 1 Посещение занятия Участие в обсуждении Решение задач у доски 0,5 0,5 1 2 Посещение занятия Участие в обсуждении Решение задач у доски 0,5 0,5 1 3 7.2. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ СЕМЕСТРОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА” СЕМЕСТР I Тема 1: “Алгебры” 1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая операция ab ? 2 В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ? ab= 2. Является ли группой множество целых степеней числа 2 относительно умножения ? 3. Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество 17 K = {a + b 5 | a, b  Z}? Тема2: “Поле комплексных чисел” 3. Решите уравнения (в поле комплексных чисел): a) x2+3+4i=0; b) x2-5+12i=0; c) x2 -(4+3i)x+1+5i = 0 5. Представьте в тригонометрической форме следующие числа: 1, -1, i, -i, 1-i, -1-i, -1+  1 3  6. Вычислить    i  2 2   7. Вычислить 3 3 i, 3 -i 10  3 i 1 i 8. Решить уравнение: x4+ 1+ i 3 =0 РАЗДЕЛ: “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП” 1. бинарные алгебраические операции. Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A ? а) +, A = Q \ Z , б) x  y = 1  x  y , A = R*, в)  , A = Z4 \ {0}. 2 2. свойства бинарных алгебраических операций. Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ? а) x  y = x+y+xy на R, б) вычитание на Z , в) x  y =  на S3 . 3. проверка аксиом группы. Являются ли группами следующие алгебры: а ) {(x, y)  R2 | x  Q , y  Z } относительно обычной операции сложения в R2 , б) {x  C6 | x2 = 1 } относительно операции умножения в C . 4. таблицы Кэли. С помощью таблицы Кэли определить, являются ли данные конечные множества с указанными на них операциями группами. Если являются, то найти единицу, обратные к каждому элементу, порядки всех элементов и исследовать будет ли группа абелевой и циклической, перечислив все ее возможные циклические порождающие. а) H = { 0 , 3 , 6 }  Z9 относительно сложения, б) H = {  , (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2)}  S4 относительно умножения. 5. группа подстановок Sn . Разложить данные подстановки в произведение независимых циклов, найти их знаки и порядки (не вычисляя степеней). 1 2 3 4 5 6 7 а)  6 3 1 7 2 5 8 1 8  1 2 3 4  1 2 3 4  1 2 3 4  , б)      . 4  2 1 4 3  3 4 1 2  2 4 1 3 6. смежные классы группы по подгруппе. Найти все смежные классы указанной группы по заданной подгруппе, вычислить ее индекс и исследовать нормальность подгруппы. а) 15 Z  5 Z , б) {  , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(23)}  A4 . 7. нормальные подгруппы. Будут ли нормальны следующие подгруппы в указанных группах ? а) {A  GL(n, F) | det(A) = 1}  GL(n, F),  1 x y   GL(2, F)| x  R}  {   0 1 0 б) {  x   GL(2, F) | x, y  R, y  0}. y 18 8. фактор-группы. Построить фактор-группы 6 Z / 42 Z и S3 / A3 . 9. гомоморфизмы. Определить, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами, а какие - изоморфизмами групп ? а) h : Q  Q , h(n) = n / 13 , б) h : Z3  Z3 , h( x ) = x + x , в) h : GL(n, F)  F* , h(A) = det(A) , г) h : Z4  Z , h( x ) = 2x , в) h : Z  Q* , h(n) = 2n . СЕМЕСТР II Тема 1: “Системы линейных уравнений” 1. Исследовать систему на совместность, решить систему линейных уравнений методом Гаусса:  3 x1  4 x2  x3  7   x1  2 x2  3 x3  0 7 x  10 x  5 x  2 2 3  1 2. Найти базис (фундаментальную систему решений) и размерность линейного пространства решений системы линейных однородных уравнений:  x1  x 2  3 x 3  0  x  x  x  2x  0  1 2 3 4  2 x 1  x 2  4 x 3  x 4  0  x1  2 x 2  5 x3  x4  0 Тема 2: “Матрицы и определители” 3. Вычислить матрицу обратную данной двумя способами:  1 2  3   b) A =  3 2  4  2 1 0     111   a) A =  0 1 0  ;  112    4. Решить систему в матричном виде:  x1  4 x 2  5 x 3  4   x 2  9 x3  0 x  4 x  9 x  0 2 3  1 5. Решить матричное уравнение:  1 2  3  1  30       3 2  4   X =  10 2 7  2 1 0   10 7 8      6. Вычислить количество инверсий в перестановке (3,4,2,1,5). Будет ли она чётной? 19 7. Какие значения должны принимать i и k, чтобы произведение a17 a23 a31 a4i a54 a66 a7k a82 a99 входило в определитель девятого порядка a) со знаком “плюс”, b) со знаком “минус”? 8. Вычислить определитель: 1 0 1 2 2 1 0 3 a) 0 1 3 2 1 2 1 0 9. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на17. Доказать, что определитель Δ также делится на 17. 10. Найдите какие-либо решения уравнения: 1 x x2 x3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 . 11. Решить систему с помощью правила Крамера:  x1  2 x2  3 x3  7   2 x1  x 2  x 3  9  x  4 x  2 x  11 2 3  1 12. Найти ранг матрицы:  1  7 A = 4   1  9   5 1  1 2  1  3  1 3 5  7 7 Тема 3: “Векторные пространства” 9. Образует ли векторное пространство множество V = {a=(  1 , 2 , 3 ), где тельно операций над векторами, заданными правилами: a) a = (  1 , 2 , 3 ), b = (  1 ,  2 ,  3 ), a + b = (  1   1 , 2 b) a + b = (  1  1 , 2 , 3 R} над полем R относи-   2 , 3   3 ); a = (  1 , 2 , 3 )(R)   1 , 2   2 , 3 );  a = (  1 , 2 , 3 ) (R) 10. Установить, будет ли подпространством в R3 множество L={a=(  1 , 2 , 3 )|  1 , 2 , 3 R (  1   2   3  0 }; b) L={a=(  1 , 2 ,2 1   3 )|  1 , 2 , 3 R}. 11. Является ли вектор c = (3,8,11) линейной комбинацией векторов a=(0,1,1) и b=(1,2,3)? 12. Записать общий вид элементов линейной оболочки, натянутой на систему векторов ей геометрическое истолкование.  a =(1,2) и b = (2,4) и дать 13. Выяснить линейно-зависима или линейно-независима система векторов, найти её ранг. В линейно-зависимой системе выписать какую-нибудь линейную зависимость. Выделить какую-нибудь максимальную линейнонезависимую подсистему: a) a1 = (1,2,3,1); a2 =( 2,3,1,2); a3 = (3,1,2,-2); a4 = (0,4,2,5). b) a1 = (-1,3,3,2,5); a2 =( -3,5,2,3,4); a3 = (-3,1,-5,0,-7); a4 = (-5,7,1,4,1). 20 14. Проверить, образует ли каждая из следующих систем векторов базис пространства R3 и найти координаты вектора x в каждом из этих базисов. a) e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,-2,3), x = (6,9,14) b) e1 = (2,1,-3), e2 = (3,2,-5), e3 = (1,-1,1), x = (6,2,-7) СЕМЕСТР III РАЗДЕЛ: “МНОГОЧЛЕНЫ” 1. операции над многочленами, степень многочлена. 2. деление многочленов с остатком. 3. разложение многочлена по степеням двучлена. 4. схема Горнера. а) значение многочлена в точке. Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)(x2+1) + (x2–1)(x+1) – 2x + 1. Найти частное и остаток от деления f(x) = 2x5–3x3+1 на g(x) = –x3+3x2–x+5. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3x2–x+5 в точке  = –2. б) деление многочлена на двучлен. Разделить многочлен 2x5–3x3+1 с остатком на x + 3. в) разложение многочлена по степеням двучлена. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. 5. наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 6. линейное разложение НОД. 7. иррациональности в знаменателе дроби. Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2x3–3x+2, g(x) = –3x2+2x–1. Найти линейное разложение Н.О.Д. многочленов 2x3–3x+2, –3x2+2x–1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1 ( 3 2  3 4  1 ) . 8. рациональные корни многочлена. 9. кратность корней многочлена. 10. многочлены над Q. Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3x5–6x+3. многочлены над R. Построить многочлен наименьшей степени над R с корнями: двукратными –i и –2i+3 и однократными 1+i, –2. симметрические многочлены. Выразить через элементарные симметрические многочлены от трёх переменных многочлен x4 + y4 + z4. алгебраические числа. 11. 12. 13. Найти все рациональные корни многочлена f(x) = x3+x2–5x+3. Найти кратности корней многочлена f(x) = x3+x2–5x+3. Найти аннулирующий многочлен для числа  = 3 3 2. 7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации 7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов В первом, втором и третьем семестре по дисциплине “Алгебра” предусмотрена контрольная работа. В третьем семестре по данной дисциплине преду- 21 смотрен экзамен. Для получения допуска к экзамену необходимо набрать не менее 61 балла (табл. 8). Таблица 8 Вид аттестации Допуск к аттестации Зачёт 40 баллов 61 балл Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и академических оценок) Удовл. Хорошо Отлично 61-72 баллов 73-86 баллов 87-100 баллов 7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации Контрольные и самостоятельные работы по дисциплине «Алгебра» I семестр Контрольная работа по дисциплине «Алгебра» 1 вариант I уровень 1. Заполнить пропуски : а) аргументом комплексного числа z = х + i y называется ... б) бинарная алгебраическая операция  на множестве А ассоциативна тогда и только тогда, когда ... в) (1 – i)100 = ... 2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными алгебраическими на множестве R \ {0} ? 3. Указать истинны или ложны следующие утверждения: а) 1 i =   2 9 б) arg( 2 (cos + i sin )) = , в)  z  C z  1 = z + 1 4 2 4 4 2 уровень 4. Доказать методом математической индукции равенство 1  2 + 2  3 + 3  4 + ... + n (n + 1) = n(n  1)(n  2) 3 2 2 (-1 + i), (-1 - i) } группой относительно операции 2 2 умножения в поле комплексных чисел ? 5. Будет ли множество { 1, 6. Вычислить 3 1 i 3i 3 уровень 7. Доказать методом математической индукции неравенство 2n > n3 при n > 9 22 8. Доказать, что функция f: Z  Z  Z, заданная правилом f(a,b) = (-1)ab, определяет ассоциативную бинарную алгебраическую операцию на Z. 2 вариант 1 уровень 1. Заполнить пропуски : а) модулем комплексного числа z = х + i y называется ... б) бинарная алгебраическая операция * на множестве А коммутативна тогда и только тогда, когда ... в) (1 + i 3 )100 = ... 2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными алгебраическими на множестве [ 0, 1 ] ? 3. Указать истинны или ложны следующие утверждения: a) 1  i 3 = 2 б) аргумент комплексного числа z = 2 (cos 2 2 2 + i sin ) равен 3 3 3 в)  z  C z  i = - z  i 2 уровень 4. Доказать методом математической индукции равенство 1 1 n 1 + + ... + = ( 3n  2 )( 3n  1) 1 4 3n  1 47 1 1 (1 + i 3 ), (1 - i 3 ) } группой относительно операции 2 2 умножения в поле комплексных чисел ? 5. Будет ли множество { 1, 6. Вычислить 3 1 i 3 1 i 3 уровень 7. Доказать методом математической индукции, что  n  N 2n + 2 > n + 5 8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: z 1  3    arg z  4  3 вариант 23 1 уровень 1. Заполнить пропуски : а) обратным для комплексного числа z = х + i y является ... б) элемент e называется единичным относительно бинарной алгебраической операции * на множестве А тогда и только тогда, когда ... 2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными алгебраическими на множестве R+ = { х  R | х > 0 } ? 3. Указать истинны или ложны следующие утверждения: a) 3i = 2 б) аргумент комплексного числа z = 3(cos в)  z  C  z / i 5 5  + i sin ) равен 4 4 4 = z/i 2 уровень 4. Доказать методом математической индукции равенство n2 1    1  1 =  1     1    ...  1  2  4  9  2 ( n  1) ( n  1)  1 1 5. Будет ли множество { 1, ( 3 + i), ( 3 - i) } группой относительно операции 2 2 умножения в поле комплексных чисел ? 6. Вычислить ( 3 + i)100 7. Решить уравнение z2 - (4 + 3 i) z +1 + 5i = 0 3 уровень 8. Доказать методом математической индукции, что при n > 3 верно неравенство n! > 3n - 1 9. Будет ли функция f: R \ {0}  R \ {0}, заданная правилом f(a, b) = a -1 b -1, ассоциативной бинарной алгебраической операцией на R \ {0} ? 10. Вычислить 3 3i 3i 4 вариант 1 уровень 1. Заполнить пропуски : а) сопряженное к комплексному числу z = х + i y записывается в виде ... б) элемент b  A называется обратным к элементу a  A относительно бинарной 24 алгебраической операции * на множестве А тогда и только тогда, когда ... 2. Какие из арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными алгебраическими на множестве (-1, 0)  (0,1) ? 3. Указать истинны или ложны следующие утверждения: а)  2  i 2 = 2 б) аргумент комплексного числа z = 3(cos 7 7 2 + i sin ) равен 3 3 3 в)  z  C i  z  z  i 2 уровень 4. Доказать методом математической индукции равенство 1 n 1 1    ... + ( 4 n  3)( 4 n  1) 4 n  1 1 5 5 9 5. Будет ли множество { 1, cos  + i sin  , cos  - i sin 3 3 3 операции умножения в поле комплексных чисел ?  3 } группой относительно 6. Вычислить (- 2 + i 2 )100 7. Решить уравнение z2 + ( 6 + i) z + 5 + 5i =0 3 уровень 8. Доказать методом математической индукции неравенство 3n-1 > n2 при n > 3 9. Доказать, что функция f: R  R  R, заданная правилом f(a,b) = 2 -a-b, определяет ассоциативную бинарную алгебраическую операцию на R. 10. Вычислить 3 i  3 i 1 Контрольная работа по дисциплине «Алгебра» Вариант 1 1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех геометрических векторов плоскости, выходящих из точки O, лежащих на осях координат с операциями сложения и умножения на действительные числа. b) Проверьте, образует ли подпространство в R3 множество: A = {( 2, α, β )| α, β R} ? 2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a = (1,2) и b = (3,6): a) A = { (1,2), (2,6)};b) B = {(x, y)| x, y  Z и y =2x}; c) C = {(x, y) | x, y Q и x =2 y}? 25 3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,3,2); a2 = (1,2,0); a3 = (1,1,-2). 4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 . a1 = (-1,2,4,3); a2 = (3,2,4,5). 5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в этом базисе (1). a1 = (1,2,1); a2 = (2,1,0); a3 = (1,1,-2); x = (6,5,-1). Вариант 2 1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех геометрических векторов плоскости, выходящих из точки O, лежащих на прямых y=5x и y=7x с операциями сложения и умножения на действительные числа. b) Проверьте, образует ли подпространство в R3 множество: A = { ( α, β )| α, β R} ? 2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a = (1,0) и b = ( 2,0). a)A = 2 ,0)}; b) B = {(0, y)| y Z }; c) C = {(1,2)}? 3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или независимость системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,-2,1); a2 = (-1,1,0); a3 = (-3,4,-1). 4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 . a1 = (-2,0,1,2); a2 = (1,3,1,2). 5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты вектора x в этом базисе (1): a1 = (2,1,-3); a2 = (3,2,-5); a3 = (1,-1,1); x = (6,2,-7). {(0,0), ( Контрольная работа (текущая) на тему: «Матрицы и определители» Вариант 1 I уровень Заполнить пропуски: 1.1. Произведение матриц A3 x 2 и B2 x 4 равно матрице С размерности …, её элемент с23 находится по правилу … . 1.2. Множество матриц … образует векторное пространство над … 1.3. Произведение а12 . а21 . а33 . а44 входит в определитель … порядка со знаком … 2 1 3 1.4. Разложение определителя 1 0 4 по второму столбцу имеет вид … 3 2 5 Определить истинно или ложно утверждение: 1.5. Матрица, определитель которой равен 2, обратима. 1.6. Определитель не изменится, если одну из строк умножить на ненулевое число и прибавить к ней другую строку. 1.7. Алгебраическое дополнение элемента а21 единичной матрицы Е3 х3 равно: 1) 0; 2) 1; 3) –1. Указать номер правильного ответа. II уровень 2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В  1 1  2   А= 0 1 2   В =  1 1  1 2 1 0    2  2 3  С = 0 1 0 1  4 5 6  0 1  1 2 1 2 3 2 4 0 4 4      2.2. Вычислить определитель матрицы С. 2.3. Решить систему линейных уравнений (1) с помощью правила Крамера. 26  х1  х 2  3 х 3  1   х 2  3 х3  3 (1)   х  х  4х  1 3  1 2 2 1 х х 1 1 1 (2) 1 1 1 1 0 0 3 х 1 0 1 0 IIIуровень 3.1. Решить уравнение (2). 3.2. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам 1-ой строки числа в, а другой аналогичным образом прибавлением числа (-в). Вариант 2 I уровень Заполнить пропуски: 1.1 Произведение матриц A2 x 4 и B4 x 3 равно матрице С размерности …, её элемент с21 находится по правилу … . 1.2. Множество матриц … образует кольцо. 1.3. Произведение а13 . а24 . а32 . а41 входит в определитель … порядка со знаком … 1 2 0 1.4. Разложение определителя 3 1 2 по третьему столбцу имеет вид … 5 4 3 Определить истинно или ложно утверждение: 1.5. Матрица А3 х 3 , ранг которой равен 2, обратима. 1.6. Общий множитель элементов определителя можно вынести за знак определителя. 1.7. Элемент в12 матрицы В = А31х 3 можно вычислить по формуле: 1) в12 = А12 : |А|; 2) в12 = А21 : |А|; 3) а12 : |А|. (Aij – алгебраическое дополнение элемента аij невырожденной матрицы А). Указать номер правильного ответа. II уровень 2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В  1 1  3   А= 0 1 3   В =  1 1  2 2 1 0    3  3 3  С = 0 1 0 1  3 4 5  0 1  1 2 1 2 3 2 4 0 4 3      2.2. Вычислить определитель матрицы С. 2.4. Решить систему (1) линейных уравнений с помощью правила Крамера.  х1  х 2  4 х 3  1   х 2  4 х3  3 (1)   х  х  5х  1 3  1 2 2 5  2 2 0 0 3 0 5 0 9 2 6 7 2 2 2 0 5 8 7 7 4 5 9 IIIуровень 3.1. Вычислить все члены определителя матрицы А4 х 4 , входящие в него со знаком «минус» и содержащие сомножителем а23. 3.2. Числа 20927, 53227, 20604, 25755, 289 делятся на 17. Доказать, что определитель  также делится на 17, не вычисляя его. III семестр Контрольная работа по теме: “Многочлены от одной переменной” 1. Найти частное и остаток от деления многочлена 8х3 – 3х2 + 5х + 4 на х – 3. 27 2. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен 3х4 + 8х3 – 2х2 + 6х – 5 по степеням х + 3, найти значение многочлена и значения его производных при х = –3. 3. Для многочлена х4 – 5х3 + 9х2 – 7х + 2 найти кратность корня х = 1. 4. Вычислить НОД( 2х3 – 7х2 – 5х + 29, 2х2 – 11х + 16 ) и его линейное разложение. 5. Какой остаток дает многочлен при делении на ( х – 1 )( х – 2 )( х – 3 )( х – 4 ), если его остатки при делении на х – 1, х – 2, х – 3, х – 4 равны соответственно 1, 3, 5, 6 ? Контрольная работа по темам: “Многочлены над Q, R, C” и “Многочлены от нескольких переменных” 1. Выразить х13 + х23 + х33 – х12х22 – х12х32 – х22х32 через основные симметрические многочлены. 2. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий простой корень двукратный корень 2. 3. Решить уравнение х3 – 3х2 + 9х – 7 + 6i = 0. 4. Найти все рациональные корни уравнения х4 – х2 + х – 10 = 0. 3 5. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 5 33 25  33 5  1 –i и . Задания для самостоятельной работы I семестр Задаёт ли формула ab = a – b бинарную алгебраическую операцию на А = [0; 1] ? Будет ли группой множество A = (0; 1) относительно операции ab = a  b ? Будет ли кольцом множество А = (0; 1) относительно операции a+b = 0, и стандартной операции умножения ? 4. Докажите, что множество K[ 3 ] = {a+b 3  R | a, b  Z} является кольцом относительно стандартных операций сложения и умножения в поле R. 5. Будет ли предыдущее кольцо полем ? 6. Записать комплексные числа в тригонометрической формах: 3 1 z = 1 – i 3 , z = 1 + i, z = – 2 + 2 i, z = – – i . 2 2 25   38   7. Записать в алгебраической форме z = 333(cos( ) – isin( )). 4 3 ( 5  7  i )  (7  5  i ) 8. Вычислить (1 + 23i)(2 – 13i) – . ( 3  2  i ) ( 2  3  i ) 9. Вычислить z101, где z = 2(1 – i). 10. Решить уравнения z3 = 1 + i, z4 = 3 – i, z6 = 2 – 2i. 11. Решить уравнения z2 – 2z + i = 0, iz2 – 3z + i = 0. 1. 2. 3. II семестр 1. Будет ли векторным пространством над R множество V = M(n, R) относительно стандартной операции + сложения и умножений на скаляры   R , заданных правилами   А = A? 2.Будут ли следующие множества подпространствами в R 3 ? x  y  z  0 а) W = {(x–y+z, y–x, z+y)  R 3 | x, y, z  R} , б) W = {(x, y, z)  R 3 |  }.  y  2z  0 3.Найти линейную оболочку L(v) и определить, содержит ли она заданный вектор a а) v = ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (0; 1; 3)), а = (1; 1; 1), 4.Найти все соотношения линейной зависимости системы v = ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (0; 1; 3)). 28 5.Найти базис и ранг системы v = ((–1; 1; 1; 0), (1; –3; 2; 1), (0; –2; 3; 1), (–1; –1; 4; 1)). 6.Найти базисы и размерности векторных пространств: x  y  z  0 а) V = {(x–y+z; y–x; z+y)  R 3 | x, y, z  R} , б) V = {(x; y; z)  R 3 |  }.  y  2z  0 7.Проверить, будет ли система векторов ((1; –1; 2), (–1; 2; 1), (1; 2; 3)) базисом векторного пространства R 3 и найти координаты вектора (3; 4; 5) в этом базисе. 8.Уметь приводить данную матрицу к каноническому ступенчатому виду.  1 1 2 3  Привести матрицу  2 0 0 5  к каноническому ступенчатому виду. 0 0 1 7  1 1 1 0    9.Уметь находить ранг матрицы.  1 1 2 3  Вычислить ранг матрицы  2 0 0 5  . 0 0 1 7  1 1 1 0    10.Уметь находить общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.  x  y  z  t  2 Решить систему  x  3  y  3  z  t  1 .  x  y  z  t  3 11.Уметь находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.  x  y  z  t  0 Найти фундаментальную систему решений системы  x  3  y  3  z  t  0 .  x  y  z  t  0 12. Уметь выполнять алгебраические операции с матрицами. t 0  3 2 Вычислить  1   1 2    1 1   4 3 . 5 0 1 5 2       13. Уметь находить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк. 1  1 1 2   Найти  0 1 1 .    1 1 3 14. Уметь вычислять определители малых порядков непосредственно по определениям. 2 3 0 3 5 , 5 7 1 . Вычислить определители 7 11 1 0 2 15. Уметь вычислять определители 3-го, 4-го или 5-го порядков с помощью разложения по строке или столбцу и с помощью элементарных преобразований строк. 1 1 2 3 2 0 0 5 . Вычислить определитель 0 0 1 7 1 1 1 0 16. Уметь находить обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. 1  1 1 2   Найти  0 1 1 .    1 1 3 17. Уметь решать крамеровы системы линейных уравнений по формулам Крамера. 29  8x1  5x2  6 x3  21 Решить систему 6 x1  9x2  8x3  21 .   x1  5x2  2x3  7 18. Уметь находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров.  1 1 2 4 3  Вычислить ранг матрицы  0 1 1 2 0  методом окаймляющих миноров. 1 1 3 5 0  3 4 2 5 1    III семестр 14. 15. 16. 17. 18. 19. Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)(x2+1) + (x2–1)(x+1) – 2x + 1. Найти частное и остаток от деления f(x) = 2x5–3x3+1 на g(x) = –x3+3x2–x+5. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3x2–x+5 в точке  = –2. Разделить многочлен 2x5–3x3+1 с остатком на x + 3. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2x3–3x+2, g(x) = –3x2+2x–1. Найти линейное разложение Н.О.Д. многочленов 2x3–3x+2, –3x2+2x–1Выполнить деле- ние с остатком, используя схему Горнера: f(x) = x5+(1+2i)x4 –(1+3i)x2 +7 на (x+2+ i), вычислить f(-2-i). 7. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен f(x) = x5+6x4+11x3+2x2-12x–8 по степеням (x+2). Является ли x = -2 корнем многочлена f(x)? Если да, то какова его кратность? 8. Пользуясь схемой Горнера, найдите значение многочлена f(x) и его производных при x=a. f(x) = x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 4x – 8, a = 2. 9. Найти НОД и НОК многочленов f1(x) = x3+2x2+3x+2 и f2(x) = x3 – x2 – 4. 10. С помощью схемы Горнера разложить f(x) по степеням x: f(x) = 3(x+ 2)5 – 23(x+ 2)4 + 65(x+ 2)3 – 78(x+ 2)2 + 26(x+ 2) + 15. 11. Найти линейное разложение НОД (f(x), (x)), если f(x) = 4x4 - 2x3 – 16x2 + 5x + 9 и  (x) = 2x3 – x2 – 5x + 4. 12. Разложите многочлены на неприводимые множители в Q: a) x4-5x2+6; b) x4+2x2+9; с) x4 + 4x2 + 4. 13. Выразить через элементарные симметрические многочлены f(x1,x2,x3) = x13 x 2  x13 x3  x1 x 23  x1 x33  x 23 x3  x 2 x33 ; f(x, y, z ) = x4 + y4 + z4. 14. Найти многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 2 с действительными коэффициентами, если он имеет простой корень –i, двукратный корень; двукратные корни –i и –2i+3 и однократный корень 1+i, –2. 15. Найти рациональные корни многочлена f(x) = x3 –11x2 + 38x –40; f(x) = x3+x2–5x+3. 16. Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3x5–6x+3 над Q. 9 17. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби t  . 1 ( 3 2  3 4  1) . 4 4 1 2  8 18. Какой вид имеют элементы расширения поля Q с помощью примитивного элемента z = 5 2 . Является ли оно алгебраическим или трансцендентным ? Почему ? 19. Найти аннулирующий многочлен для числа  = 3 3  2 . 30 Вопросы к коллоквиуму I семестр 1. 2. 3. 4. 5. 6. Система комплексных чисел. Построение модели поля C. Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Примеры. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи, их геометрическая интерпретация. Примеры. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел. Примеры. Геометрическая интерпретация действия извлечения корня n-ой степени. Двучленные уравнения. Примеры. I семестр Общие требования к зачету Для успешной сдачи зачёта необходимо и достаточно: 1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам, а также по всем прошедшим коллоквиумам. 2. Знать все основные определения и формулировки важнейших результатов по курсу. 3. Уметь решать приведённые ниже стандартные задачи: 1. Доказать равенство множеств: АВ = А  В 2. Проверить, является ли данная формула законом логики: (А  В  С)  [(A  C)  (B  C)] 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение (A  B) (A  B), где A = [0; 3), B = (1; 5] 4. Проверить свойства бинарного отношения х  y  х = y2,   NN 5. Является ли данное отношение функциональным ? Если является, инъективно, сюръективно, биективно ли оно ? f = { (х, y)  [ 0, +∞ )( –∞ , +∞ ) | y = х2 } 6. Вычислить: a. ( 1  2i ) 3  ( 1  2i ) 3 , ( 2  i )2  ( 2  i )2 б. ( i  3 )15 ( 1  i ) 20 7. Решить уравнения: a. 3z2 – (14 – 8i)z + 8(4 – 3i) = 0, б. z z – 2 z = 3 – i 8. Решить двучленное уравнение z4 + 1 = 0 и изобразить все его корни на комплексной плоскости. II семестр Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра» ЭКЗАМЕН НА I КУРСЕ (II СЕМЕСТР) ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА” I курс (“Педагогическое образование”) 1. Группы: определение, примеры, простейшие свойства. 2. Кольца: определение, примеры, простейшие свойства. 3. Поля: определение, примеры, простейшие свойства. 31 4. Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Примеры. 5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи. Примеры. 6. Многочлены от одного переменного над полем. Алгебраические операции с многочленами: сложение, умножение, умножение на скаляр. Простейшие свойства операций. Кольцо многочленов. Примеры. 7. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование. Простейшие свойства операций: векторное пространство прямоугольных матриц и кольцо квадратных матриц. Примеры. 8. Матрицы над полем. Канонические ступенчатые матрицы и теорема о приведении матрицы к каноническому ступенчатому виду. Примеры. 9. Системы линейных уравнений над полем. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений над полем. Примеры. 10. Критерии совместности и определённости систем линейных уравнений. Примеры. 11. Решение матричных уравнений вида AX = B и YA = B с обратимой матрицей А. Примеры. 12. Обратимые матрицы: определение, критерий обратимости в терминах ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк. Примеры. 13. Определитель обратимости матрицы: миноры, алгебраические дополнения и разложение по строке. Методы вычисления определителей. Примеры. 14. Основные свойства определителей. Примеры. 15. Определитель полураспавшейся матрицы, определитель произведения матриц, определитель транспонированной матрицы. Примеры. 16. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой. Примеры. 17. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей. Примеры. 18. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Примеры. ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные задачи. Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать основные результаты билета. Для получения оценки “отлично” нужно, кроме прочего, доказать все теоретические результаты билета. III семестр ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АЛГЕБРА II курс (“Педагогическое образование”) 1. Векторные пространства: определение, примеры, простейшие свойства. 2. Подпространства векторного пространства: определение, критерий подпространства, примеры и простейшие свойства. 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в векторном пространстве. Простейшие свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Примеры. 4. Базис, ранг конечной системы векторов и размерность конечномерного векторного пространства. Примеры. 32 5. Координаты вектора в базисе. Простейшие свойства координат. Примеры. 6. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование. Простейшие свойства операций: векторное пространство прямоугольных матриц и кольцо квадратных матриц. Примеры. 7. Однородные системы линейных уравнений. Пространство решений однородной системы, его базис (фундаментальная система решений) и размерность. Примеры. 8. Многочлены от одного переменного над полем. Алгебраические операции с многочленами: сложение, умножение, умножение на скаляр. Простейшие свойства операций. Кольцо многочленов. Примеры. 9. Теорема о делении многочленов с остатком. Примеры. 10. Схема Горнера и её использование для вычисления значения многочлена в точке и деления многочлена на двучлен. Примеры. 11. Корни многочленов. Теорема Безу. Примеры. 12. Рациональные корни многочленов: алгоритм нахождения, примеры. 13. Решение уравнений третьей степени методом Кардано. Примеры. 14. Решение уравнений четвёртой степени методом Феррари. Примеры. 15. Многочлены как функции. Задание многочлена по точкам графика. 16. Интерполяционная формула Лагранжа. Примеры. ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные задачи. Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать основные результаты билета. 7.3.3. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций): + 1 1 1 1–2 33 + 2 2,4 + + 3–4 3–4 Основы теории групп 2 + + Дискретная математика и математическая логика 1–4 + Дифференциальная геометрия и топология 1–3 Численные методы 1–3 Учебная практика 1–2 + Основания геометрии + Теория матриц Математический анализ + + + + Алгебра + + + + + + + + Психология и педагогика Физика Основы программирования + Аналитическая геометрия ОПК-1 ОПК-3 ПК-3 ПК-9 Семестр Вводный курс математики Математические основы информатики Таблица 10 + + 3–6 5 + + + 4 7 5 6 Теория вероятностей, случайные процессы + + 6–7 6–7 + 7–8 7 + 34 + + + + + 8 8 8 + + + + 7 5–6 4–6 + + + + + 8 8 + 4–6 5 Теория линейных операторов Системы дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения Векторный и тензорный анализ Теория баз данных и информационного поиска Педагогическая практика Базы данных Элементы программирования Визуальное программирование Технология обучения математике Теория и методика обучения математике + Итоговая государственная аттестация Преддипломная практика Теория игр и методы принятия решений Компьютерная алгебра + Теория чисел + Функциональный анализ + 4 Комплексный анализ + Операционные системы + 5–7 Теоретическая механика ОПК-1 ОПК-3 ПК-3 ПК-9 Семестр + 5–7 Методы оптимизации ОПК-1 ОПК-3 ПК-3 ПК-9 Семестр + + 5 7.3.4. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания: повышенный (отлично) 91-100 баллов Знает: основные понятия, классические факты, утверждения и приёмы, имеет представление о результате решения задачи Знает: что такое результат решения задачи, основные методы решения типовых задач курса Знает: что такое результат задачи, методы доказательства теорем, методы решения задач с использованием изученных понятий в нестандартном виде Умеет: приводить примеры и контпримеры, сформулировать результат по образцу. Умеет: решать типовые задачи, находить способ конструирования объектов, иллюстрирующих данное понятие или свойство, сформулировать результат задачи самостоятельно Умеет: сформулировать результат задачи самостоятельно, решать нестандартные задачи Владеет: приемами решения задач, иллюстрирующих теорию, навыком выделения результата задачи по образцу. Владеет: общими и специальными приемами решения основных задач курса, основанными на соответствующих методах, навыком выделения результата задачи самостоятельно Владеет: навыком выделения результата задачи самостоятельно, имеет представление о значении дисциплины в математике, анализирует решение математических задач, выделяет методы рассуждения 35 Оценочные средства базовый (хорошо) 76-90 баллов самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания минимальный (удовл.) 61-75 баллов Виды занятий Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП лекции, практические занятия научно-исследовательской работе ОПК-3: способностью к самостоятельной Код компетенции Таблица 11. Знает: правила вывоЗнает: основные поЗнает: основные мето- да и методы доказанятия, классические ды решения типовых тельства теорем, метофакты, утверждения задач курса ды решения нестани приемы дартных задач Умеет: решать типовые задачи, находить Умеет: приводить способ конструирования Умеет: решать непримеры и контприобъектов, иллюстри- стандартные задачи меры рующих данное понятие или свойство Владеет: представлеВладеет: общими и нием о значении данВладеет: приемами специальными приеманой дисциплины в марешения задач, ил- ми решения основных тематике, анализирует люстрирующих тео- задач курса, основанрешение задач, выдерию ными на соответстляет методы рассужвующих методах дения 36 Оценочные средства повышенный (отлично) 91-100 баллов самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания базовый (хорошо) 76-90 баллов Виды занятий минимальный (удовл.) 61-75 баллов лекции, практические занятия Код компетенции ние, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата ПК-3: способность строго доказать утвержде- Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП необходимый материал по математике и методике для организации учебной деятельности Умеет: изложить фактический материал по математике, приводить примеры и контрпримеры, использовать методические приёмы Оценочные средства повышенный (отлично) 91-100 баллов Знает: широко и глубоЗнает: стандартный мате- ко материал по математике риал по математике и методике для организации учебной деятельности, критерии оценки, основы информационных технологий Умеет: изложить материал по математике доказательно, используя методические приёмы и методы информационных технологий Владеет: общими и специальными приёмами Владеет: математи- решения основных задач ческим необходимым курса, методами доказаматериалом и методическими приёмами тельства, методическими приёмами и методами исего подачи пользования информационных технологий и методике для организации учебной деятельности, критерии оценки обучающихся, методы и формы применения информационных технологий в учебном процессе Умеет: изложить материал по математике доказательно, используя методические приёмы и методы информационных технологий, отвечать на вопросы Владеет: общими и специальными приёмами решения нестандартных задач методами доказательств, методиче- самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания Знает: базовый (хорошо) 76-90 баллов Виды занятий минимальный (удовл.) 61-75 баллов лекции, практические занятия ной предметной области (математика, физика, информатика) Код компетенции ПК-9: способность к организации учебной деятельности в конкрет- Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП ские приёмами и методами информационных технологий 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ЛИТЕРАТУРА а) основная литература: 1. 2. 3. 4. 5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008. б) дополнительная литература: Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980. 37 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебнометодическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Учебное пособие для студентов-заочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1981. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. – М.: Просвещение, 1978. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Часть I: Учебное пособие для студентов-заочников физикоматематических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1974. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1975. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1999. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1979. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977. Кириллов В.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005. 38 30. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993. 31. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967. 32. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978 33. Лефор Г. Алгебра и анализ. – М.: Наука, 1973. 34. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968. 35. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. 36. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре: Учебное пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1983Петрова В.Г. Лекции по алгебре и геометрии. Ч I., II. – М.: Владос, 1999. 37. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995. 38. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. 39. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Часть IV: Учебное пособие для студентов-заочников II-го курса физикоматематических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1985. в) периодические издания: г) мультимедийные средства: д) Интернет-ресурсы: 1. Алгебра Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины Компьютерный класс с компьютерами: микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi. 10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины 39 Дисциплина “Алгебра” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в I-м, II-м и III-м семестрах I и II курсов. На её изучение отведено 10 зачётных единиц (360 часов), из них аудиторных – 136 часов: 56 часов лекций, 74 часа практических занятий. На самостоятельную работу студентов выделено 161 час. Формы итогового контроля: зачёт в I-м семестре, экзамены – во II-м и III-м семестрах. Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур, воспитание математической культуры и глубокого понимания, как основного школьного курса математики, так и сути этого курса с точки зрения высшей математики. Вместе с тем, изучение курса алгебры в педагогическом институте преследует и следующие цели:  Знание курса необходимо для других предметов, для которых алгебра является поставщиком понятий, дает необходимый математический аппарат (геометрия, информатика, математический анализ);  Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;  Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения современной науки. Имея высокою эрудицию, из всех подходов к освещению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;  Отдельные разделы курса тесно связаны со школьной программой по математике, а другие являются основой для школьных факультативных курсов. Это позволяет глубже понимать школьный курс математики и школьные факультативные курсы, создает базу для работы в классах с углубленным изучением математики, ведения кружковых занятий;  Явная ориентация на профессиональное становление будущего учителя математики. Некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, отдельные вопросы программы могут быть 40 изучены в других дисциплинах (например, во Вводном курсе, математическом анализе, числовых системах). Объём самостоятельной работы студентов – 161 час. Особое внимание следует уделить выполнению семестровых заданий, т.к. не решая задачи, невозможно сознательно усвоить теоретический материал. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с одной стороны, домашней контрольной работой, а с другой – контрольными вопросами на зачёте. Рекомендуется выполнять все домашние задания. Кроме того, предусмотрены нестандартные задачи, решая которые студент развивает свое мышление и более глубоко усваивает материал. Отчётность по дисциплине в I семестре осуществляется в форме зачёта. Приём зачёта складывается из трёх компонент: подтверждение умения решать стандартные задачи (собственно зачёт), приём семестрового задания и контроль усвоения тем, вынесенных на самостоятельное изучение. Отчётность по дисциплине в II и III семестрах осуществляется в форме экзамена. В экзаменационные билеты кроме теоретических вопросов включаются задачи. 41 ПРИЛОЖЕНИЕ I Планы лекций № лекции № раздела 1 1 2 1 3 1 4–6 2 7–8 2 9-10 2 11–12 2 13-14 3 15-16 3 17–18 3 19-20 4 Тема занятия Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Натуральные числа. Метод математической индукции. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Подстановки Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной операции. Понятия полугруппы и группы. Примеры полугрупп и групп. Кольца. Поля. Примеры. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение опреде42 Виды образовательных технологий Кол-во часов информационная лекция 2 информационная лекция 2 информационная лекция 2 информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 проблемная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 проблемная лекция 4 информационная лекция 4 лителя по строкам и столбцам. № занятия № раздела 21-22 4 23–24 4 25-26 5 27–28 5 29-30 5 31-32 6 № занятия № раздела 33-34 6 35–36 6 37–38 6 39–40 7 41–42 7 43–44 8 45 8 46–47 8 Тема занятия Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Элементарные преобразования строк матрицы. Метод Гаусса. Критерий совместности и определенности систем линейных уравнений. Решение систем с помощью обратной матрицы. Однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Определение и простейшие свойства векторных пространств. Тема занятия Подпространство. Критерий подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Соотношения зависимости. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Многочлены над полями. Сложение, умножение и деление многочленов. Схема Горнера. Деление многочлена на двучлен. Разложение многочленов на множители. Корни и их кратности Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов. Линейное разложение наибольшего общего делителя. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Методы Кардано и Феррари решения уравнений 3-й и 4-й степеней Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами Симметричные многочлены. Представление симметричного многочлена в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов 43 Виды образовательных технологий Кол-во часов информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 Виды образовательных технологий Кол-во часов информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 информационная лекция 4 проблемная лекция 4 проблемная лекция 4 информационная лекция 2 проблемная лекция 4 44 ПРИЛОЖЕНИЕ II Планы практических занятий № занятия 1 № раздела 1 2 1 3 1 4–6 2 Тема занятия Высказывания и логические операции над ними. Таблицы истинности. Основные законы логики. Понятие упорядоченной пары. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на классы. Функциональные отношения. Область определения, область значений. Виды отображений. Композиция отображений. Виды образовательных технологий Кол-во часов Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 Интерактивные методы Натуральные числа. Метод ма(групповые формы работематической индукции. 4 ты) Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 3 Бинарные алгебраические операции, их свойства. Аддитивная Интерактивные методы и мультипликативная формы (групповые формы рабозаписи бинарной операции. Понятия полугруппы и группы. ты) Примеры полугрупп и групп. 4 3 Кольца. Поля. Примеры. Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 3 Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение на Интерактивные методы классы. Функциональные от(групповые формы рабоношения. Область определения, область значений. Виды отоб- ты) ражений. Композиция отображений. 4 7–8 2 9-10 2 11–12 2 Подстановки 13-14 15-16 17–18 45 № занятия № раздела 19-20 4 21-22 4 23–24 4 25-26 5 27–28 5 29-30 5 31-32 6 33-34 6 35–36 6 Тема занятия Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения: разложение определителя по строкам и столбцам. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Виды образовательных технологий Кол-во часов Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) Интерактивные методы Правило Крамера для решения (групповые формы рабосистем линейных уравнений. ты) Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Элементарные преобразования строк матрицы. Метод Гаусса. Критерий совместности и определенности систем линейных уравнений. Решение систем с помощью обратной матрицы. Однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Определение и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство. Критерий подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Соотношения зависимости. 6 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 39–40 7 41–42 7 43–44 8 методы Базис и ранг конечной системы (групповые формы рабовекторов. ты) Интерактивные методы Базис и размерность векторно(групповые формы рабого пространства. ты) Многочлены над полями. Сложение, умножение и деление многочленов. Схема Горнера. Деление многочлена на двучлен. Разложение многочленов на множители. Корни и их кратности Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов. Линейное разложение наибольшего общего делителя. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Методы Кардано и Феррари решения уравнений 3-й и 4-й степеней 46 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) Интерактивные 37–38 4 4 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 № занятия 45 46–47 № раздела Тема занятия Виды образовательных технологий Кол-во часов 8 Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами Интерактивные методы (групповые формы работы) 2 8 Симметричные многочлены. Представление симметричного многочлена в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 47 ПРИЛОЖЕНИЕ III ЛИТЕРАТУРА а) основная литература: 1. 2. 3. 4. 5. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008. б) дополнительная литература: 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980. Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физикоматематических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Учебное пособие для студентовзаочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1981. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. – М.: Просвещение, 1978. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Часть I: Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1974. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1975. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1999. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1979. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977. Кириллов В.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005. 48 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978 Лефор Г. Алгебра и анализ. – М.: Наука, 1973. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре: Учебное пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1983Петрова В.Г. Лекции по алгебре и геометрии. Ч I., II. – М.: Владос, 1999. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Часть IV: Учебное пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1985. в) периодические издания: г) мультимедийные средства: д) Интернет-ресурсы: 2. Алгебра Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра 49 ПРИЛОЖЕНИЕ IV Планы практик Практики по дисциплине не предусмотрены. 50 ПРИЛОЖЕНИЕ V Материалы для самостоятельной работы студентов ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ СЕМЕСТРОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА” СЕМЕСТР I Тема 1: “Алгебры” 1. Определена ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1 следующая операция ab ? 2 В тех случаях, когда операция определена, будет ли она коммутативной, ассоциативной ? ab= 2. Является ли группой множество целых степеней числа 2 относительно умножения ? 3. Является ли кольцом (полем) относительно сложения и умножения множество K = {a + b 5 | a, b  Z}? Тема2: “Поле комплексных чисел” 4. Решите уравнения (в поле комплексных чисел): a) x2+3+4i=0; b) x2-5+12i=0; c) x2 -(4+3i)x+1+5i = 0 5. Представьте в тригонометрической форме следующие числа: 1, -1, i, -i, 1-i, -1-i, -1+  1 3  6. Вычислить    i  2 2   7. Вычислить 3 3 i, 3 -i 10  3 i 1 i 8. Решить уравнение: x4+ 1+ i 3 =0 РАЗДЕЛ: “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП” 1. бинарные алгебраические операции. Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A ? а) +, A = Q \ Z , б) x  y = 1  x  y , A = R*, в)  , A = Z4 \ {0}. 2 2. свойства бинарных алгебраических операций. Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ? а) x  y = x+y+xy на R, б) вычитание на Z , в) x  y =  на S3 . 3. проверка аксиом группы. Являются ли группами следующие алгебры: а ) {(x, y)  R2 | x  Q , y  Z } относительно обычной операции сложения в R2 , б) {x  C6 | x2 = 1 } относительно операции умножения в C . 4. таблицы Кэли. 51 С помощью таблицы Кэли определить, являются ли данные конечные множества с указанными на них операциями группами. Если являются, то найти единицу, обратные к каждому элементу, порядки всех элементов и исследовать будет ли группа абелевой и циклической, перечислив все ее возможные циклические порождающие. а) H = { 0 , 3 , 6 }  Z9 относительно сложения, б) H = {  , (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2)}  S4 относительно умножения. 5. группа подстановок Sn . Разложить данные подстановки в произведение независимых циклов, найти их знаки и порядки (не вычисляя степеней). 1 2 3 4 5 6 7 а)  6 3 1 7 2 5 8 1 8  1 2 3 4  1 2 3 4  1 2 3 4  , б)      . 4  2 1 4 3  3 4 1 2  2 4 1 3 6. смежные классы группы по подгруппе. Найти все смежные классы указанной группы по заданной подгруппе, вычислить ее индекс и исследовать нормальность подгруппы. а) 15 Z  5 Z , б) {  , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(23)}  A4 . 7. нормальные подгруппы. Будут ли нормальны следующие подгруппы в указанных группах ? а) {A  GL(n, F) | det(A) = 1}  GL(n, F),  1 x y   GL(2, F)| x  R}  {   0 1 0 б) {  x   GL(2, F) | x, y  R, y  0}. y 8. фактор-группы. Построить фактор-группы 6 Z / 42 Z и S3 / A3 . 9. гомоморфизмы. Определить, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами, а какие - изоморфизмами групп ? а) h : Q  Q , h(n) = n / 13 , б) h : Z3  Z3 , h( x ) = x + x , в) h : GL(n, F)  F* , h(A) = det(A) , г) h : Z4  Z , h( x ) = 2x , в) h : Z  Q* , h(n) = 2n . СЕМЕСТР II Тема 1: “Системы линейных уравнений” 1. Исследовать систему на совместность, решить систему линейных уравнений методом Гаусса:  3 x1  4 x2  x3  7   x1  2 x2  3 x3  0 7 x  10 x  5 x  2 2 3  1 2. Найти базис (фундаментальную систему решений) и размерность линейного пространства решений системы линейных однородных уравнений:  x1  x 2  3 x 3  0  x  x  x  2x  0  1 2 3 4  2 x 1  x 2  4 x 3  x 4  0  x1  2 x 2  5 x3  x4  0 Тема 2: “Матрицы и определители” 3. Вычислить матрицу обратную данной двумя способами: 52  1 2  3   b) A =  3 2  4  2 1 0     111   a) A =  0 1 0  ;  112    4. Решить систему в матричном виде:  x1  4 x 2  5 x 3  4   x 2  9 x3  0 x  4 x  9 x  0 2 3  1 5. Решить матричное уравнение:  1 2  3  1  30       3 2  4   X =  10 2 7  2 1 0   10 7 8      6. Вычислить количество инверсий в перестановке (3,4,2,1,5). Будет ли она чётной? 7. Какие значения должны принимать i и k, чтобы произведение a17 a23 a31 a4i a54 a66 a7k a82 a99 входило в определитель девятого порядка a) со знаком “плюс”, b) со знаком “минус”? 8. Вычислить определитель: 1 0 1 2 2 1 0 3 a) 0 1 3 2 1 2 1 0 9. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на17. Доказать, что определитель Δ также делится на 17. 10. Найдите какие-либо решения уравнения: 1 x x2 x3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 . 11. Решить систему с помощью правила Крамера:  x1  2 x2  3 x3  7   2 x1  x 2  x 3  9  x  4 x  2 x  11 2 3  1 12. Найти ранг матрицы:  1  7 A = 4   1  9   5 1  1 2  1  3  1 3 5  7 7 Тема 3: “Векторные пространства” 53 9. Образует ли векторное пространство множество V = {a=(  1 , 2 , 3 ), где тельно операций над векторами, заданными правилами: a) a = (  1 , 2 , 3 ), b = (  1 ,  2 ,  3 ), a + b = (  1   1 , 2 b) a + b = (  1  1 , 2 , 3 R} над полем R относи-   2 , 3   3 ); a = (  1 , 2 , 3 )(R)   1 , 2   2 , 3 );  a = (  1 , 2 , 3 ) (R) 10. Установить, будет ли подпространством в R3 множество L={a=(  1 , 2 , 3 )|  1 , 2 , 3 R (  1   2   3  0 }; b) L={a=(  1 , 2 ,2 1   3 )|  1 , 2 , 3 R}. 11. Является ли вектор c = (3,8,11) линейной комбинацией векторов a=(0,1,1) и b=(1,2,3)? 12. Записать общий вид элементов линейной оболочки, натянутой на систему векторов ей геометрическое истолкование.  a =(1,2) и b = (2,4) и дать 13. Выяснить линейно-зависима или линейно-независима система векторов, найти её ранг. В линейно-зависимой системе выписать какую-нибудь линейную зависимость. Выделить какую-нибудь максимальную линейнонезависимую подсистему: a) a1 = (1,2,3,1); a2 =( 2,3,1,2); a3 = (3,1,2,-2); a4 = (0,4,2,5). b) a1 = (-1,3,3,2,5); a2 =( -3,5,2,3,4); a3 = (-3,1,-5,0,-7); a4 = (-5,7,1,4,1). 14. Проверить, образует ли каждая из следующих систем векторов базис пространства R3 и найти координаты вектора x в каждом из этих базисов. a) e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,-2,3), x = (6,9,14) b) e1 = (2,1,-3), e2 = (3,2,-5), e3 = (1,-1,1), x = (6,2,-7) СЕМЕСТР III РАЗДЕЛ: “МНОГОЧЛЕНЫ” 20. операции над многочленами, степень многочлена. 21. деление многочленов с остатком. 22. разложение многочлена по степеням двучлена. 23. схема Горнера. а) значение многочлена в точке. Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)(x2+1) + (x2–1)(x+1) – 2x + 1. Найти частное и остаток от деления f(x) = 2x5–3x3+1 на g(x) = –x3+3x2–x+5. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3x2–x+5 в точке  = –2. б) деление многочлена на двучлен. Разделить многочлен 2x5–3x3+1 с остатком на x + 3. в) разложение многочлена по степеням двучлена. Разложить многочлен f(x) = 2x5–3x3+1 по степеням двучлена x + 2. 24. наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 25. линейное разложение НОД. 26. иррациональности в знаменателе дроби. Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2x3–3x+2, g(x) = –3x2+2x–1. Найти линейное разложение Н.О.Д. многочленов 2x3–3x+2, –3x2+2x–1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1 ( 3 2  3 4  1 ) . 27. рациональные корни многочлена. 28. кратность корней многочлена. 29. многочлены над Q. Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3x5–6x+3. многочлены над R. 30. Найти все рациональные корни многочлена f(x) = x3+x2–5x+3. Найти кратности корней многочлена f(x) = x3+x2–5x+3. 54 31. 32. Построить многочлен наименьшей степени над R с корнями: двукратными –i и –2i+3 и однократными 1+i, –2. симметрические многочлены. Выразить через элементарные симметрические многочлены от трёх переменных многочлен x4 + y4 + z4. алгебраические числа. Найти аннулирующий многочлен для числа  = 3 55 3 2. ПРИЛОЖЕНИЕ VI Материалы для текущего и итогового контроля Вопросы к коллоквиуму I семестр Система комплексных чисел. Построение модели поля C. Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Примеры. 10. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи, их геометрическая интерпретация. Примеры. 11. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел. Примеры. Геометрическая интерпретация действия извлечения корня n-ой степени. 12. Двучленные уравнения. Примеры. 7. 8. 9. I семестр Общие требования к зачету Для успешной сдачи зачёта необходимо и достаточно: 1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам, а также по всем прошедшим коллоквиумам. 2. Знать все основные определения и формулировки важнейших результатов по курсу. 3. Уметь решать приведённые ниже стандартные задачи: 1. Доказать равенство множеств: АВ = А  В 2. Проверить, является ли данная формула законом логики: (А  В  С)  [(A  C)  (B  C)] 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение (A  B) (A  B), где A = [0; 3), B = (1; 5] 4. Проверить свойства бинарного отношения х  y  х = y2,   NN 5. Является ли данное отношение функциональным ? Если является, инъективно, сюръективно, биективно ли оно ? f = { (х, y)  [ 0, +∞ )( –∞ , +∞ ) | y = х2 } 6. Вычислить: a. ( 1  2i ) 3  ( 1  2i ) 3 , ( 2  i )2  ( 2  i )2 б. ( i  3 )15 ( 1  i ) 20 7. Решить уравнения: a. 3z2 – (14 – 8i)z + 8(4 – 3i) = 0, б. z z – 2 z = 3 – i 8. Решить двучленное уравнение z4 + 1 = 0 и изобразить все его корни на комплексной плоскости. II семестр Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра» ЭКЗАМЕН НА I КУРСЕ (II СЕМЕСТР) ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ “АЛГЕБРА” I курс (“Педагогическое образование”) 56 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Группы: определение, примеры, простейшие свойства. Кольца: определение, примеры, простейшие свойства. Поля: определение, примеры, простейшие свойства. Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Примеры. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи. Примеры. Многочлены от одного переменного над полем. Алгебраические операции с многочленами: сложение, умножение, умножение на скаляр. Простейшие свойства операций. Кольцо многочленов. Примеры. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование. Простейшие свойства операций: векторное пространство прямоугольных матриц и кольцо квадратных матриц. Примеры. Матрицы над полем. Канонические ступенчатые матрицы и теорема о приведении матрицы к каноническому ступенчатому виду. Примеры. Системы линейных уравнений над полем. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений над полем. Примеры. Критерии совместности и определённости систем линейных уравнений. Примеры. Решение матричных уравнений вида AX = B и YA = B с обратимой матрицей А. Примеры. Обратимые матрицы: определение, критерий обратимости в терминах ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк. Примеры. Определитель обратимости матрицы: миноры, алгебраические дополнения и разложение по строке. Методы вычисления определителей. Примеры. Основные свойства определителей. Примеры. Определитель полураспавшейся матрицы, определитель произведения матриц, определитель транспонированной матрицы. Примеры. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой. Примеры. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей. Примеры. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Примеры. ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные задачи. Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать основные результаты билета. Для получения оценки “отлично” нужно, кроме прочего, доказать все теоретические результаты билета. 57 ПРИЛОЖЕНИЕ VII Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины Дисциплина “Алгебра” относится к базовому циклу специальных дисциплин и изучается в I-м, II-м, III-м семестрах I и II курса. На её изучение отведено 11 зачётных единиц (396 часов), из них аудиторных – 188 часов: 94 часа лекций, 94 часа практических занятий. На самостоятельную работу студентов выделено 172 часа. Формы контроля: экзамен в III семестре, контрольные работы в I и II семестрах. Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур, воспитание математической культуры и глубокого понимания как абстрактного теоретического материала, так и его практических приложений. Вместе с тем, изучение курса алгебры в вузе преследует и следующие цели:  обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих алгебру в качестве математического аппарата;  владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;  освоение методологии построения математических моделей;  пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;  сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;  знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития. Некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, отдельные вопросы программы могут быть 58 изучены в других дисциплинах (например, в математическом анализе, некоторых дисциплинах информатики). Объём самостоятельной работы студентов – 172 часа. Особое внимание следует уделить самостоятельному решению задач, т.к. не решая задачи, невозможно сознательно усвоить теоретический материал. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с одной стороны, домашней контрольной работой, а с другой – вопросами экзамена. Рекомендуется выполнять все домашние задания. Кроме того, предусмотрены нестандартные задачи, решая которые студент развивает свое мышление и более глубоко усваивает материал. Отчётность по дисциплине в I и II семестрах осуществляется в форме контрольных работ. Итоговый контроль – экзамен в III семестре. В экзаменационные билеты кроме теоретических вопросов включается задача по теме билета. 59

алгебра - Основные образовательные программы

Разделы

Поддержка

алгебра - Основные образовательные программы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib