1. Множества, их сумма и пересечение. Эл-ы множ-ва – объекты из котор сост мн-во. Пусть А-некот мн-во и a-элемент мн-ва, сл-но a∈A. Если Эл-т b не содержится в A, пишут b∉A. ∀-любой, каждый(∀a∈A-всякое a из A. ∃-сущ-т, имеется, найдется(∃a∈A-в мн-ве A сущ эл-т a). ∀и∃-кванторы общности и существования. R=(-∞;+∞)-множ-во всех веществ. чисел. Z-мн-во всех целых чисел.N-мнво всех целых, положительных чисел. [a,b]-мнво чисел не меньше a и не больше b – сегмент, замкнутый промежуток. (a,b) – мн-во чисел >a, но <b – интервал. [a,b) –промежуток, полуоткрытый справа.(a,b] –промежуток, полуоткрытый слева. [a,+ ∞)-мн-во чисел, кот не меньше a. (-∞;b] -мн-во чисел, кот не больше b. ∅-пустое мн-во(ни 1-го элемента). Сумма A и B – мн-во, содржащ. Все эл-ы А и В (А∪В). Если А,В не имеет общ эл-в, то (А+В). Пересечением мн-в А и В назыв мн-во, содерж все Эл-ы принадлежащие А и В. (а∩В или АВ). Примеры: [1,4]∪[2,5)=[1,5); [2,6)+[6,8]=[2,8]; [2,6) ∩ [6,8]= ∅; [1,7] ∩(4,9)=(4,7). Если все элементы мн-ва А принадл. мн-ву В пишут:A⊂В или А∋В. Например: [2,4]⊂(1,10). 6.Понятие предела. Пусть функция f задана на промежутке [a;+ ∞). Число l называется пределом f(x) при х, стремящемся к +∞, если для любого числа е>0 найдется такое х , что для всех х, 0 удовлетворяющих условию х>х , выполняется 0 неравенство l-e<f(x)<l+e. Сл-но lim f(x)=l или f(x)->l (x->+∞). x->∞ Определение(короче):число l назыв-ся пределом f(x) при х, стремящемся к +∞, если для∀e>0 ∃x такое, что при ∀х>x выполняется нер-во 0 0 |f(x)-l|<e 11. Понятие эквивалентности и o(g). Необходимое и достаточное условие эквивалентности. Условие f(x)-g(x)=o(g(x)) (x>c) необходимо и достаточно для того, чтобы было f(x)~g(x) (x->c). Понятие o(g). Если f(x)/g(x)->0 при x->c то говорят что функция f(x) есть «o маленькое» от g(x) при x->c. В этом случае пишут так: f(x)=o(g(x)) (x->c). Это означает, что в окрестности точки с значения функции f(x) пренебрежимо малы по сравнению со значениями g(x). 2.Границы множеств. Число М-верхняя граница числ множества Х, если для ∀x ∈Х выполняется х≤М. Число m – нижняя граница мн-ва Х, если∀х∈Х вып-ся нер-во х≥М. Пример: интервал (4,7) – верхн граница: 10 или 7, нижняя граница – 4 или 3(<4). Супремум – supX- наибольшая из всех верхних границ мн-ва Х – точная верхняя граница мн-ва. Инфимум – (InfX) – наибольшая из всех нижних границ мн-ва – точная нижняя граница. Точные границы множ-ва могут принадлежать ему, а могут и не принадлеж. Пример: [3,6]-содерж точн нижнюю границу 3, но не содерж точн верхн границу 6. Мн-ва, ограниченные сверху и снизу – органиченные мн-ва. 3.Супремум, инфимум, их свойства. Наименьшая из всех верхних границ множества X называется точной верхней границей множества, или супремумом, supX. Наибольшая из всех нижних границ - точной нижней границой - инфимумом, infX. Пусть M*=supX. Возьмем какое-нить число e>0. Тогда число M*e будет меньше M*, а потому оно не может быть верхней границей множ-ва X. Сл-но в множестве X найдется такой элемент x, для которого будет справедливо нер-во x>M*-e. Если M*=supX, то для любого e>0 в мн-ве X найдется элемент x такой, что x>M*-e. Аналогичное утверждение справедливо и для infX 4. Функции, ее области задания и значений. 1.3. Понятие функции Пусть имеется два множества X и Y. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие по некоторому правилу один определенный элемент y множества Y, то говорят, что задана функция, отображающая X в Y. При этом X называют областью задания, a Y - областью значений функции. Если правило соответствия обозначить через f, то запись y=f(x) означает что по этому правилу элементу -X отвечает элемент у. Таким образом, функция cчитается заданной, если указаны: а) область задания X; б) правило f по которому каждому элементу х∈X ставится в соответствие значение y=f(x) ∈Y. Естественная область задания функции y=f(x) – мн-во всех вещественных х, при кот значения y=f(x) оказ-ся вещественными. 5. Основные элементарные функции. 1.Степенная функция y=xa. ЕОЗ зависит от значения a. Если a-целое положит, еоз – R. Если a-целое отрицательное – Еоз (-∞;0)+(0;+ ∞). 2. Показательная функция. ax (a>0) Т.к а>0, то функц веществ при любом х. ЕОЗ: R. 3. Логарифмическая функция y=logax (a>0, a≠1). Т.к у любого полож числа имеется вещ логарифм по любому полож основан, а отриц числа вещ лог не имеют, еоз: (0,+ ∞). 4.Тригонометрические функции y=sin(x) и y=cos(x). ЕОЗ: R. Область значений:[-1,1] 5.Тригонометрические функции y=tx(x) и y=ctg(x). Y=tg(x): Еоз: (k*∏-∏/2, k*∏+∏/2), k∈Z; y=ctg(x): еоз: (k*∏,(k+1)* ∏), k∈Z. 6.Обратная тригон функц. Y=arcsin(x). Еоз: [1,1] область значений – сегмент [-∏/2; ∏/2]. 7 Обратная тригон ф. y=arcos(x) еоз: [-1;1] Область значений – [0, ∏].8.Обр. тригон y=arctg(x) ЕОЗ: R. область значений –интервал [-∏/2; ∏/2];9. y=arcctg(x) ЕОЗ: R. ] Область значений – (0, ∏). 7.бесконечно малые и большие функции, их свойства. Если f(x)->0 при х->c то f(x) называют бесконечно малой при х->c. Полагая в определении предела l=0 можно сказать что если для любого e>0 ∃δ>0 такое, что при∀x ∈(cδ,c)+(c, c+δ) выполняется неравенство |f(x)|<e, то функция называется бесконечно малой. Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами: 1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке. 2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке. 3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке. 12. Теоремы о сжатой функции и пределе монотонной огранич функции. Являются 2-мя признаками сужествования предела. О сжатой функции. Пусть ф-ии f (x),f (x),f (x) имеют 8.Теоремы о бесконечно малых функциях. Т1. Функция f(x) имеет своим пределом l тогда и только тогда, когда f(x)=l+α(x), где α(x) – бесконечно малая. Т2. Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствие: Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. Т3. Произведение бескон малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. Т4. Функция является бесконечно малой тогда и только тогда, когда обратная ей величина оказывается бесконечно большой. 9.Арифметические операции с пределами. Теорема. Если lim f (x)=l и lim f (x)=l , то lim 10.Сравнение функций. Если f(x)/g(x)->1 при x>c то говорят что функция f(x) и g(x) эквивалентны при x->c. Эквивалентность ф-й обозначают так: f(x)~g(x) (x->c). Вблизи точки с значе6ния эквивалентных функций f(x) и g(x) почти одинаковы. Многочлен, при x->∞ эквивалентен своему старшему члену, при очень больших значениях х величины всех слагаемых многочл пренебрежимо малы по сравнен со старш слогаемым. Если 2 функц эквивалентны, то кажд из них можно называть главной частью др функц. Если f(x)/g(x)->A при x->c, то f(x)~Ag(X) (x>c). 13. Наиболее важные пределы [sin(x)/x. Число e. (ex-1)/x. (ax-1)/x. ln(1+x)/x. ((1+x)μ-1)/x. (1+x)1/x при x->0] 1.sin(x)/x. Sin(x)<x<tx(x) ; 1<x/sin(x)<1/cos(x) ; 1>sin(x)/x>cos(x); x->+0 cos(x)->1; sin(x)/x->1 (x->+0); lim sin(x)/x=1; 14. Основные теоремы о пределах. Теорема1(арифм операц с пределами). Если lim 1 2 3 общую область задания и f (x) ≤f (x) ≤f (x). 1 2 3 Тогда, если при х->c функции f (x) и f (x) имеют 1 3 пределом число l, то и f (x) имеет при х->с 2 предел l. Теорема о монотонной ограниченной функции. Пусть функция f(x) задана на промежутке [a,c). Если она возрастает и ограничена сверху на этом промежутке, то она имеет предел при x->c-0. x->0 Число e. Угол пи на 4 принято обозначать через e. т.к tx(п/4)=1 тоуглов коэфф касат=1. Возьмем на граф функц y=ex точки (0,1) и (х, ex) и проведем через них секущую. Углов коэф сек = (ex -1)/x. (x->0) lim (ex -1)/x=1; e ≈2.71828. (axx->0 1)/x. Т.к ax = exlna, то lim (ax -1)/x=lim x->0 (exlna - x->0 1)/x=1. Если x->0 то xlna->0 то exlna -1~lna Сл-но: lim (ax -1)/x=lna сл-но ax -1~xlna (x->0). x->0 ln(1+x)/x. lim ln(1+x)/x x->0 Сделаем замену z= ln(1+x); x=ez-1 x->0 z->0; слно lim ln(1+x)/x= lim z/ez-1=1; lim x->0 z->0 x->0 x->0 (eln(1+x)/x)=e1=e. lim Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b] и f(a)<f(b). Тогда для любого числа Q, удовлетворяющего неравенству f(a)<Q<f(b), найдется такая точка сє(a,b), что f(c)=Q. Иначе говоря, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, принимает и все промежуточные значения. Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она ограничена на этом промежутке и принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения. В этой теореме существенно, что функция непрерывна на замкнутом промежутке. Для незамкнутого промежутка утверждение может 1 оказаться неверным. Например, функция 𝑦 = 𝑥 непрерывна на промежутке (0,1), но не ограничена на нем, так как y→∞ при x→0. Производная. Пусть x и x+∆x – точки, лежащие внутри области задания функции y=f(x). Найдем значения f(x) и f(x-∆x) в этих точках и составим разность ∆f(x) = f(x-∆x)-f(x). Затем сравним приращение функции с приращением аргумента, то есть найдем предел ∆𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) lim = lim Билет 25 Физические приложения производной 1) Если ф-цияf(x)=m(x) -обозначает массу То производная f’(x)=ρ(x) –плотность 2) Если ф-ция f(x)= Q(t)-кол-во электричества F’(x)=I(t) -сила тока 3) если ф-ция f(x)= S(t)-путь от времени То f’(x)=υ(t) -скорость И т.д. 2 1 2 2 1 2 2 x- x->c 1 2 1 2 x- (f (x)/ f (x))= l / l (l ≠0). f (x) f (x)=l l , lim >c 1 x->c 2 x->c 1 2 1 2 2 x- f (x)=l и lim >c 1 1 l , lim 2 f (x)=l , то lim x->c 2 2 x->c (f (x)- f (x) )=l - l , lim x->c 1 2 1 (f (x)+ f (x) )=l + 2 1 2 2 1 2 (f (x)/ f (x))= l / l (l ≠0). Теорема2(об lim x->c 1 2 1 2 2 f(x)= f(x0) ; f(x) непрерывна в x0 f(x)= lim 0 x->x0+0 если lim f(x) f(x0); функция f(x) непрерывна в x->x0 2 ограниченности функции, имеющей конечный предел) Если функция f(x) имеет конечный предел при x->c то она лграничена в некоторой окрестности точки с.Т 3.(сохранение знака функции, имеющей предел). Если функция f(x) имеет положительный предел l при x->c, то она будет положительна в некоторой окрестности точки с. Т 4. (предельный переходв неравенстве) Пусть функции f (x),f (x) имеют общую область задания и f (x) 1 x->x0- 1 f (x) f (x)=l l , x->c 1 15.Понятие непрерывности. Пусть x-точка, лежащая внутри обл задания f(x), непрерывной в точке x0, если выполняется рав-во lim т. x0 если для ∀e>0 ∃δ>0 такое, что при∀x ∈( x0- δ, x0+δ) выполняется неравенство |f(x)f(x0)|<e. Введем разности Δx0=x- x0 и Δf(x0)= f (x0)- f(x)-приращ аргум и функц в точке x0. f(x) непрер в точке x0 когда разность f (x0)->0 при x0->0. Функция f(x) непрерывна в точке х0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. 1 ≤f (x). Тогда, если f (x)-> l и f (x)-> l при x->c, то 2 1 1 2 2 l ≤l . 1 2 x- ((1+x)μ -1)/x= lim x->0 39. Вычисляемость функций с пом-ю арифм операций. 1. Установить ЕОЗ.2.установить характ особ-ти функции(периодичность, четность, нечетность, сохранение знака на некот промеж)3.Рассмотреть поведение ф. на концах обл задания проверить наличие или отсутствие асимптот.4 найти промеж монотонности и экстремумы. 5 исслед направления выпукл вогнутости и найти точки перегиба. Построить график ф-и по характ точкам. 1 (f (x)- f (x) )=l - l , lim (1+x)1/x = e. ((1+x)μ-1)/x. . x->0 lim 38. Исследование направления выпуклости. точки перегиба. Функцию f(x) называют выпуклой вверх на промежутке [a,b], если на этом промежутке любая хорда ее графика лежил выше графика. Если любая хорда графика лежит не ниже графика, функцию называют выпуклой вниз. Определение: функция f(x) выпукла вверх (вниз) на промежутке [a,b], если на этом промежутке любая касательная к ее графику лежит не ниже(не выше) графика. Т1:Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж ее произв убывала. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж ее произв возрастала. Т2: Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≤0. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≥0. Точки перегиба – точки, разделяющие промежутки с различными направлениями выпуклости. В точках перегиба f’(x) меняет характер монотонности, а f’’меняет знак. >c 1 x->0 ln(1+x)/x=1; сл-но ln(1+x)~x (x->0). (1+x)1/x . lim (1+x)1/x = lim (eln(1+x))1/x = lim >0 x->c 1 (f (x)+ f (x) )=l + l , lim (eμln(1+x) -1)/x= lim x->0 (μ x->0 ln(1+x)/x=μ откуда (1+x)μ -1~ μx (x->0). 44. Примеры применения формулы Тейлора. С пом-ю форм Тейлора можно вычислять с нужн степенью точности значения разл функц посредством арифметич действий. Найдем значение синуса 1 радиана с точностью до 0,001. sin(x) ≈x-(x3/3!)+( x5/5!)-…+(-1) n-1(x2n-1/(2n-1)!) Погрешность этого рав-ва равна Rn=(sin(c1) *x2n+1/(2n+1)!) Отсюда sin1≈1-1/3!+1/5!-… +(-1)n1 (1/(2n-1)!) и погрешность Rn=(sin(c1)/(2n+1)!) Подберем n так, чтобы было| Rn |<0,001. Т.к. | sin(c1)| ≤1, то достаточно выбрать n из условия (1/(2n+1)!< 0,001 Послед условие будет выполнено при n=3 Сл-но с ошибкой, не привышающей 0,001. sin1≈1-1/3!+1/5! Тоесть sin1≈0.842 Понятие непрерывности функции. Введем разности ∆x=x-x0 и ∆f(x0)=f(x0)- f(x), которые будем называть соответственно приращениями аргумента и функции в точке x0.Ясно,что f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда разность ∆f(x0)→0 при ∆x0 →0. Это дает нам возможность дать такое определение непрерывности: Функция f(x) непрерывна в точке x0 , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то 𝑓(𝑥) в этой точке непрерывны f(x)±g(x), f(x)g(x) и , 𝑔(𝑥) если g(x)≠0. Док-во. Это теорема является частным случаем о пределах суммы, разности, произведения и частного. Действительно, непрерывность f(x) и g(x) в точке x0 означает, что f(x) → f(x0) и g(x)→ g(x0 ) при x→x0 . Тогда 𝑓(𝑥) 𝑓(x ) f(x)±g(x)→ f(x0)±g(x0),f(x)g(x) и → 0 , если 𝑔(𝑥) непрерывности сложных функций. Пусть y=f(x), y0 =f(x0), z=g(y), z0 =g(y0). Тогда если f(x) непрерывна в точке x0 , а g(y) непрерывна в точке y0 , то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x0 , то есть суперпозиция непрерывных функций непрерывна. Док-во. Возьмем x0 и найдем y0 , по которому получим z0 . Дадим x0 некоторое приращение ∆x0 . Оно вызовет приращение ∆y0 , которое в свою очередь, породит приращение ∆z0 . Если ∆x0 →0, то ∆y0 →0 из-за непрерывности функции f. Но при ∆y0 →0 ,будет ∆z0 →0, так как непрерывна функция g. Таким образом, оказывается ∆z0 →0 при ∆x0 →0. Значит, суперпозиция непрерывна. Теорема доказана. 𝑔(x0 ) g(x0) ≠0. Тем самым, теорема доказана. Теорема2. – билет о непрерывности сложных функций. Пусть y=f(x), y0 =f(x0), z=g(y), z0 =g(y0). Тогда если f(x) непрерывна в точке x0 , а g(y) непрерывна в точке y0 , то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x0 , то есть суперпозиция непрерывных функций непрерывна. ∆𝑥→𝑜 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 Этот предел называют производной или производной первого порядка от функции f по аргументу x и обозначают f'(x), или y'. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю: ∆𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) f'(x)= lim = lim ∆𝑥→𝑜 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 Не всякая функция может иметь производную. Теорема. Если в точке x существует f'(x), то в этой точке функция f(x) непрерывна. Непрерывность функции необходима для существования производной, но не является достаточной. Процесс нахождения производной называют дифференцированием. Точкой разрыва функции f(x) называют такую точку х0, в которой нарушается правило lim f(x) = lim f(x) = 𝑓(𝑥0) 𝑥→𝑥0−0 𝑥→𝑥0 +0 1)Оба предела существуют и равны, но не равны f(x0) ,то есть f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0). В этом случае точку x0 называют устранимой точкой разрыва Действительно, если мы доопределим f , положив f(x0) = f(x0 – 0) = f(x0 + 0), то она станет непрерывной 2)Оба предела существуют, но они не равны, то есть f(x0 – 0) ≠ f(x0 + 0). В этом случае точку x0 называют точкой разрыва первого рода. Заметим, что в этом случае значение f(x0) нас не интересует. Разность f(x0 – 0) - f(x0 + 0) называется скачком функции f в точке разрыва. Пример. 1 при х > 0 1(х)={ 0 при х < 0 Очевидно, что 1(+0) = 1, 1(-0),то есть x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, причём скачок функции в этой точке равен 1. Эту функцию называют единичной функцией, или функцией единичного скачка, или единицей Хевисайда. Функция Хевисайда оказывается очень удобной при описании физических ли технических процессов, начинающихся в некоторый момент Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Ясно, что в точке разрыва второго рода хотя бы один из пределов f(x0 – 0) и f(x0 + 0) не существует. 27. Производные и дифференциалы высших порядков, их нахождение Производная порядка k от ф-ции f(x) называется производная от ее производной порядка k-1: fk(x)=(f(k-1)(x))’ дифференциалом порядка k от ф-ции f(x) назовем дифференциал от ее дифференциала порядка k-1: dkf(x)=d(dk-1f(x)). Если х независимый аргумент то: dkf(x)=fk(x)dxk 𝑑^𝑘𝑓(𝑥) и fk(x)= . 𝑑𝑥^𝑘 Если х зависимый аргумент то имеется ф-ция f(x), где х=g(t), а t–независимый аргумент. Тогда ft’(x)=f’(x)g’(x). Следовательно, df(x)=f’(x)g’(t)dt. Билет 23 Геометрический и физический смысл Производной Физ смысл: Приращение ф-ции к приращению аргумента при Δf(x) приращении аргумента→0 𝑓(𝑥) = lim ( )= f(x+∆x)−f(x) lim ( 𝑥→0 Δ𝑥 𝑥→0 Δ𝑥 ) Геометрич смысл: Производная- это угловой коэффициент касательной: y-f(x₀)=f’(x₀)*(x-x₀) касательная в точке М ―прямая занимающая предельное положение МТ секущей ММ1, двигаясь по кривой, неограниченно приближаясь к точке М. Билет 28 F(k)(x)=(f(k-1)(x))’ 1) 2) 3) 4) (ex) k=ex (sinx)k=sin(x+k*π/2) (cosx) k= cos(x+k*π/2) (ln(1+x)) k=((-1)k-1 *(k1)!)/(1+x)k 5) ((1+x)µ)k=µ(µ-1)…(µ-(k1))(1+x)µ-k Если n –целое положительное число: n n ((1+x) ) =n! Если k>n: ((1+x) n)k=0 Билет 24 Уравнение касательной и нормали Если ф-ция в нек. Точке имеет производную, то в этой точке сущ касательная. Используется уравнение пучка прямых, получаем ур. Касательной: (x,y)-текущ. Координаты кос. Провед. В (X₀, Y₀): Y – f(Xo)=F’(X₀)(x - X₀) Прямая проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной -- нормаль. Из перпендикулярности => k=-1/k=-1/f(x) Y-f(x)=-1/f(x)*(x-X₀) Билет 29 Параметрическое задание линий На промежутке [a, b] заданы две непрерывные функции U(t), V(t). Множество точек на плоскости с координатами: X=U(t) t∈[a,b] Y=V(t) Называем линией на плоскости. Аргумент, от которого зависят координаты, называют параметром линии, а способ задания линии называют параметрическим. Одна и та же линия может иметь различные параметрические задания. Пример: Параметрическое ур прямой, проход через точку (x₀, y₀), с направляющ вектором(l, m): X=lt + X₀ t∈R Y=mt + Y₀ 26. Дифференциал, его геометрический смысл и приложения Возьмем две точки: x и x+△x из промежутка задания функции f(x) и найдем приращение ф-ции . если это приращение можно представить в виде: △f(x)=A(x)△x+ o(△) (△x→0) то говорят, что ф-ция дифференцируема в точке х, а величину А(х)△х называют дифференциалом ф-ции и обозначают df(x). Ф-ция f(x) имеет дифференциал, когда она имеет производную. Значит df(x)=f’(x)△x. 𝑑𝑓(𝑥) А так же: df(x)=f’(x)dx и f’(x)= 𝑑𝑥 Дифференциал ф-ции равен приращению, которое получает ордината касательной при переходе от точки х к точке х+dx. Замена приращения ф-ции дифференциалом означает замену с достаточно высокой степенью точности малого отрезка кривой малым отрезком прямой линии. Такая замена приводит к очень простой связи приращения ф-ции с приращением аргумента: приращение ф-ции оказывается прямо пропорциональным приращению аргумента. Это позволяет решить огромное число задач, кажущихся неразреимыми без 42. Формула Тейлора для простейших функций Pn=a₀+a1x+…+anxn---многочлен T=c₀+c1(x-a)+…+cn(x-a) n---разложение многочлена по Тейлору T(a)=c₀ T’=c1+2*c2(x-a)+…+n*cn(x-a)n-1—производная Сn=fn(a)/n! Выводим: Tn(x)=∑ 𝑛 f^k(a) k! 𝑘=0 ∗ (x − a)^k, где Tn(x) многочлен Тейлора функции f(x). Ясно что f(x)=Tn(x)+Rn(a,x). Тогда f(x)=∑ 𝑛 f^k(a) k! 𝑘=0 𝑥 Пример: 𝑒 𝑥 = 1 + + 1! ∞ ∗ (x − a)^k+Rn(a,x). 𝑥2 2! + 𝑥3 3! + ⋯ , −∞ < 𝑥 < Гиперболическим синусом называют функцию 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑠ℎ 𝑥 = , 𝑥𝜖𝑅 2 Свойства : 1)sh 0 = 0; 2)sh (-x) 3)sh x > 0 при x>0 и sh x < 0 при x < 0 𝑒𝑥 𝑒 −𝑥 4) sh x ~ при x → +∞ и sh x ~ при x → 2 2 -∞ Билет 30 Параметрическое дифференцирование {X=U(t) Y=V(t) Yx’=dy/dx=Ů/V̊ Dx=Ůdt Dy=V̊dt Yx’’=(d(y’))/d(x)=(V̊*Ü-ŮV̈)/Ů3 Yxk=dy(k-1)/dx Билет 31 Теоремы Ферма, Ролла ФЕРМА(1601-1665): Пусть функцияf(x) имеет производнуюf’(x) на интервале(a, b), если в точке Xo на интервале ф-ция принимает мин или макс знач => f’(Xo)=0. РОЯЛЬ (1652-1719): Пусть ф-цияf(x) имеет производнуюf’(x) на интервале[a,b] и f(a)=f(b) =>тогда внутри найдется такая точка с , в к f(c)=0. 32. Формулы Лагранжа и Коши Лаграндж (1736-1813): Если ф-ция f(x) имеет производную f’(x) на промежутке[a,b], то внутри промежутка найдется такая точка с, в которой будет выполняться 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) равенство: = 𝑓 ′ (𝑐) 𝑏−𝑎 Коши (1789-1857): Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные на промежутке[a,b], причем g’(x)≠0. Тогда внутри промежутка найдется такая точка с, 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) в которой выполняется равенство: = Билет 33 Правило Лопиталя На промежутке [a,b] заданы ф-ции f(x) и g(x), имеющие производные причем f(a)=g(a)=0. Т.к эти ф-ции имеют производные то они непрерывны, а потому f(x)→0 и g(x)→0 при x→a. 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) Значит: lim ( ) = lim ( ′ ) 𝑓 ′ (𝑐) Ясно что с→а и х→а. поэтому: lim ( 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) 𝑔′ (𝑐) 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑐) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑐) 𝑐→𝑎 𝑔′ (𝑐) 𝑥→𝑎 = 𝑓 ′ (𝑐) Значит: 𝑔(𝑥) 𝑔′ (𝑐) ) = lim ( 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim ( 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑔′ (𝑥) ) ) = lim ( 𝑥→𝑎 𝑓 ′ (𝑥) 𝑔′ (𝑥) ) Это равенство и назвали правилом Лопиталя (1661-1704). Свойства : 1) ch 0 = 1; 2) ch (-x) = -sh x 3) ch x ≥ 1; 𝑒𝑥 𝑒 −𝑥 4)ch x ~ при x→ +∞ и sh x ~ при x → +∞ 2 Тангенсом 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑡ℎ 𝑥 = 𝑥 , 𝑥𝜖𝑅 𝑒 + 𝑒 −𝑥 Свойства 1)Th0=0 2)th(-x)=-th x 3)0<th x<1 при x>0 и -1<th x<0 при x< 0 4)th→1 при x→+∞ и th x →-1 при x→-∞ Котангенсом 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 с𝑡ℎ 𝑥 = 𝑥 , 𝑥𝜖(−∞, 0) + (0, +∞) 𝑒 − 𝑒 −𝑥 Свойства 1) cth x →+∞ при x→+∞ и cth x→-∞ при x→-0 2)cth(-x)=-cth x 3)cth x>1 при x>0 и cth x→-1 при x→-∞ Билет 34 𝑙𝑛𝑥 сравним lnx и xµ x>0 при x→+∞: lim ( ) = lim ( 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥^µ 1 𝑥 µ∗𝑥^µ ) = lim ( 1 )=0 𝑥→+∞ µ∗𝑥^µ таким образом если µ>0 то lnx=o(xµ) при x→+∞, то есть xµ растет гораздо быстрее, чем lnx. Сравним xµ (µ>0) и ex при х→+∞. Для этого возьмем целое n и n>µ , и сравним xn с ex: 𝑥^𝑛 lim ( 𝑥→+∞ 𝑒^𝑥 ) = lim ( 𝑥→+∞ 𝑛∗𝑥^(𝑛−1) 𝑒^𝑥 ) = ⋯ = lim ( 𝑥→+∞ 𝑛! 𝑒^𝑥 )= 0 Получили xn=o(ex ) при x→-+∞.т.к µ<n, то тем более будет xµ=o(ex) при x→+∞, то есть xµ растет гораздо медленнее, чем ex. Из всего этого следует, что: lnx < xµ < ex Билет 35 Асимптоты плоских линии, их нахождение Если ф-ция f(x)→∞ при x→a+0 , то это означает, что ее график приближ к ветикальн прямой x=a. Эта прямая― вертикальная асимптота ф-ции f(x). Если f(x) при x→+∞, то это означает, что с возрастанием график приближ к горизонт прямой y=b. Такая прямая ― горизонт асимптота ф-ции f(x). Горизонтальная асимптота ф-ции f(x): lim (𝑓(𝑥)) 𝑥→∞ Наклонная асимптота ф-ции f(x): y=kx+b 𝑓(𝑥) k=lim ( ) 𝑥→∞ 𝑥 b=lim (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) 𝑥→∞ Билет 36: Исследование монотонности функций с помощью производной Ф-ция f(x) возрастает на промежутке [a, b] при∀ x∈[a,b]выполняется условие f’(x)>=0, Ф-ция f(x) убывает на промежутке [a,b] при ∀x∈[a,b] когда f’(x)<=0. 37. Экстремумы, их необходимые и достаточные условия 1 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ), Что для∀ x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x). 2 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ), Что для ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x). Теорема о необходимом условии экстремума: Если дифференцируемая функция f(x) в точке x₀ имеет экстремум, то f’(x)=0. Это равенство необходимо, но не достаточно для сущ экстремума в точке x₀, Т.к если при переходе ф-ции через точку x₀ знак производной не поменяется => Значит функция продолжает убывать или возростать и в этой точке нет ни min ни max! Теорема о достаточном условии экстремума: Если производная f’(x) меняет знак с + на - ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀ ф-ция f(x) имеет max. Если производная f’(x) меняет знак с - на + ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀ ф-ция f(x) имеет min. 𝑔′ (𝑐) )= ) 𝑐→𝑎 2 𝑔 (𝑥) , где a<c<x. Ho: lim ( 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 сℎ 𝑥 = , 𝑥𝜖𝑅 2 𝑥→𝑎 Используя формулу Коши, получим: lim ( Косинус 𝑔(𝑥) Если предел отношений сущ, то: 43. Бином Ньютона В формуле Тейлора для ф-ции f(x)=(1+x)n остаточный член равен 0, так что равенство примет вид: 𝑛∗(𝑛−1) (1+x)n=1+n*x+ *x2+…+xn 2!