Кучина О.М. Неопределенный интеграл Опред: Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F´(х) = f(х). Любая непрерывная функция f(х) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Опред: Совокупность F(х)+С всех первообразных для функций f(х) называется неопределенным интегралом от этой функции: ∫ 𝒇(х)𝒅х = 𝑭(х) + С, если 𝒅[𝑭(х) + С] = 𝒇(х)𝒅х Основные свойства неопределенного интеграла: 1. (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥), = 𝑓(𝑥) 2. ∫ dF(х) = F(х) + С; 3. ∫ [f1(х)±f2(х)]dх = ∫ f1(х)dх ± ∫ f2(х)dх. 4. ∫ сf(х)dх = с ∫ f(х)dх. ∫хпdх = хп+1 п+1 + С(n≠ -1) 𝑑х ∫ х = 𝑙𝑛|х| + С Таблица простейших интегралов 𝑑х ∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = - ctg х + С 𝑑х 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 х + С ∫√1−х2 = { − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 х + С 𝑑х ах ∫ахdх = 𝑙𝑛 а + С ∫ √х2 dx +1 = 𝑙𝑛 |𝑥 + √х + 1| + С 1 1+х ∫sin х dх = - cos х + С ∫1− х2 = 2 ln | 1−х | + С ∫cos x dx = sin x + С ∫ 1+ х2 = { dх arctg x + С − arctg x + С 𝑑х ∫𝑐𝑜𝑠2 х =tg х + С Опред: Проинтегрировать функцию f(х) – значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основ на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла в таблицы простейших интегралов. Интегрирование способом подстановки. Любая формула интегрирования вида ∫f (х)dх = F(х) + С, в частности, таблица простейших интегралов, остается в силе, если в подынтегральном выражении и в правой части сделать замену переменной х=ψ(t). Сформулированное свойство неопределенного интеграла лежит в основе интегрирования способом подстановки. Этот способ заключается в том, что стараются сделать такую подстановку t = ψ(х), чтобы данный интеграл свести к одному из табличных. Кучина О.М. Интегрирование по частям С помощью формулы интегрирования по частям udv uv vdu (1) (u и v – дифференцируемые функции от x) нахождение интеграла udv сводится к отысканию более простого интеграла vdu . Определенный интеграл Опред: Определенным интегралом в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до значения х=b: b f ( x)dx F ( x) b a = F(b)-F(a). a Свойства определенного интеграла 1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций: b f1 ( x) f 2 ( x) f 3 ( x)dx = a b b f ( x)dx f 1 a a числа функций равен b 2 ( x)dx f 3 ( x)dx . a 2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: b b a a Af ( x)dx A f ( x)dx . 3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: b a a b f ( x)dx f ( x)dx . 4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: a f ( x)dx 0 a 5) Отрезок интегрирования можно разбивать на части: b a c o a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . Кучина О.М. Площадь плоской фигуры. Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), двумя прямыми х=а и х=b и отрезком оси абсцисс а<х<b, вычисляется по одной из следующих формул: b S= f ( x)dx . (1*) a если f(x)≥0 на отрезке [a,b]; b S=- f ( x)dx . (2) a если f(x)≤0 на отрезке [a,b]; b S= f ( x) dx , (3) a если f(x) конечное число раз меняет знак на [a,b]. Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и двумя прямыми x=a и x=b, где f1(x)≥f2(x) на отрезке [a,b], вычисляем по формуле b S= f1 ( x) f 2 ( x)dx . (4) a Решение типовых заданий. 1. Найти интегралы: 1) ∫ 3х2 – 5х√х +2 3 √х dх; х х2 2) ∫х2 + 1 dх; 3) ∫ 2 𝑐𝑜𝑠 2 3 dх; 𝑑х 4)∫ 𝑠𝑖𝑛2 2х . Решение. 1) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых: ∫ 3х2 – 5х√х +2 3 √х = 3· 5 х3 + 1 5 +1 3 5 7 −1 х 3 +1 9 5 7 5 −1 7 −1 dх = ∫ (3х3 – 5х6 + 2х 3 )dх = ∫ 3х3 dх - ∫ 5х6 dх + ∫ 2х 3 dх = 3 ∫ х3 dх - 5 ∫ х6 dх + 2∫ х 3 dх 7 - 5· х6 −1 +1 7 +1 6 +2· −1 +1 3 8 30 13 2 + С = 8 х3 - 13 х 6 + + 3х3 + С. Здесь через С обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся при интегрировании каждого слагаемого. 2) Представим подынтегральную функцию следующим образом: х2 ( х2 + 1)− 1 х2 1 𝑑х = х2 + 1 = 1 − х2 + 1 . Тогда ∫ х2 + 1 dх = ∫ dх - ∫ х2 + 1 = х2 + 1 =х–arctgх+С. х 3) Используя тригонометрическую формулу 𝑐𝑜𝑠 2 2 х 𝑐𝑜𝑠2 2 1+𝑐𝑜𝑠 х 1 1 = 1+cos х ∫ 3 dх = ∫ dх = 6 ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠 х) dх = 6 [∫ dх + ∫ cos х dх] = 6 4) Преобразуем подынтегральную функцию таким образом : 2 1 6 , получим (х +sin х)+ +С. Кучина О.М. 1 1 𝑠𝑖𝑛2 2х 1 = 4𝑠𝑖𝑛2 х·𝑐𝑜𝑠²х = 4 · 𝑑х 1 𝑠𝑖𝑛²х+ 𝑐𝑜𝑠²х 𝑠𝑖𝑛²х·𝑐𝑜𝑠²х 1 1 = 1 4 1 1 ( 𝑐𝑜𝑠²х + 𝑠𝑖𝑛²х ). 1 𝑑х 𝑑х 1 Отсюда ∫ 𝑠𝑖𝑛²2х = ∫ 4 ( 𝑐𝑜𝑠²х + 𝑠𝑖𝑛²х )dх = 4 [∫𝑐𝑜𝑠²х + ∫𝑠𝑖𝑛²х ] = 4 (tg х – ctg х)+С. 2. Найти интегралы способом подстановки: х² 𝑑х 𝑠𝑖𝑛х 𝑑х ех 𝑑х 5 1) ∫ cos2х dх , 2) ∫ 5+х³ , 3) ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х , 4) ∫ √1− 2х dх, 5) ∫ √1 − 2х dх. е Решение. 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет стоять аргумент 2х подынтегральной функции cos2х. Так как d(2х)=2dх, то 1 ∫cos2хdх = 2 ∫cos2хd(2х). Следовательно, подстановка 2х = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному: 1 1 1 ∫cos2xdх = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2х 𝑑(2х) = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + С. Возвращаясь к старой переменной интегрирования х, окончательно получим 1 ∫cos2хdх= sin2х+С. 2 х² 𝑑х 𝑑(5+х3 ) 1 2) Так как d(5 + х³) = 3х² dх, то ∫ 5+х³ = 3 ∫ 5+х3 . Полагая, что 5 + х³ = t, получим х² 𝑑х 1 𝑑𝑡 1 1 ∫ 5+х³ = 3 ∫ 𝑡 = 3 ln|t| + С = 3 ln|5 + х³| + С. 3) Поскольку d(cos х) = - sin х dх, то 𝑠𝑖𝑛х 𝑑х 𝑑 (cos х) ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х = - ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х . Отсюда, применяя подстановку t = cosх, приходим к табличному интегралу: 𝑠𝑖𝑛х 𝑑х 𝑑𝑡 ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х = - ∫1+ 𝑡² = −а𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 + С = − а𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠 х) + С. ех 𝑑х 4) Из соотношения d(ех ) = ех dх получаем ∫ √1− е2х х Воспользовавшись подстановкой t = е , приходим к табличному интегралу: ех 𝑑х 𝑑𝑡 ∫ =∫ = arcsint + С = arcsin ех + С. 𝑡² √1−(ех )² = ∫ √1− 5) Подстановка t= 1–2х приводит данный интеграл к табличному: 1 5 1 5 1 1 5 6 1 𝑡5 ∫ √1 − 2х dх = -2 ∫ (1 − 2х) d(1 – 2х) = -2 ∫ 𝑡 dt = -2 5 5 6 5 5 5 + С = - 12 √𝑡 6 + С = = - 12 √(1 − 2х)6 + С. 3. Найти интегралы методом интегрирования по частям: 1) 3 x 2 ln xdx ; 3) (1 x) sin xdx ; 2) xe 4) xarctgxdx . 2x dx ; Решение. 1) Положим u=lnx, dv= 3 x 2 dx , откуда du dx 3 , v 3 x 2 dx 3 x 5 . x 5 По формуле (1) получим 3 2 ln x x dx ln x 33 5 3 dx 3 3 5 3 3 9 x 3 x5 x ln x 3 x 2 dx 3 x 5 ln x 3 x 5 C 5 25 5 5 x 5 5 𝑑(ех ) √1− е2х . Кучина О.М. 2) Полагая u x, dv e 2 x dx , найдем du dx, v e 2 x dx 1 2x e . 2 Отсюда 1 1 1 1 2x 2x 2x 2x 2x xe dx x 2 e 2 e dx 2 xe 4 e C . 3) Пусть u 1 x, dv sin xdx . Тогда du dx, v sin xdx cos x . По формуле (1) получим (1 x) sin xdx (1 x)( cos x) cos xdx ( x 1) cos x sin x C 4) Полагая u arctgx, dv xdx , получим dx du 1 x2 v x2 . 2 Тогда по формуле (1) имеем x2 x2 dx 1 2 1 ( x 2 1) 1 x arctgx dx xarctgxdx 2 arctgx 2 2 2 x 1 2 x2 1 1 1 dx 1 2 1 1 x arctgx x arctgx C . = x 2 arctgx dx 2 2 2 2 2 x 1 2 4. Вычислить определенные интегралы: 1 2 2) ( x 2e x )dx 1) 4 x 3 dx 0 0 2 3) 0 cos x 3 sin 2 x dx 0 4) 3 xinxdx . 1 Решение. 1) Найдем одну из первообразных F(х) для функции 4х3. Так как Кучина О.М. x4 3 4 4 x dx 4 C x C , то F(x)=x . По формуле (1) получаем 4 2 4 x dx x 3 4 2 1 2 4 14 16 1 15 . 1 2) По формуле (1) имеем 1 x2 1 5 1 x 0 ( x 2 e ) dx 2e 2e (0 2e ) 2e 2 2e . 0 2 2 2 0 2 1 x 3) Первообразную F(x) для функции cos x 3 2 sin x dx d (sin x) 3 2 cos x 3 sin 2 x получим, вычислив неопределенный интеграл 33 sin x C . sin x Отсюда F(x)=3 3 sin x и по формуле (1) имеем 2 0 cos x 3 sin 2 x dx 33 sin x 2 0 = 3 3 sin 3 sin 0 =3. 2 4) Для нахождения неопределенного интеграла частям. Полагая u=lnx, dv= 3 x dx , получим du= 3 х ln xdx = 33 4 x ln x 4 33 4 x4 3 x ln xdx применим формулу интегрирования по dx 3 , v= 3 x dx 3 x 4 . Отсюда 4 x dx 3 9 3 4 = 3 x 4 ln x x +С x 4 16 и e e 1 3 9 9 9 3 3 4 9 3 3 3 4 x ln x = = e x ln x 3 x 4 = 3 e 4 ln e 3 e 4 - 3 14 ln 1 3 14 = 16 16 16 16 16 4 4 4 1 3 3 e4 3 . 16 5.Вычислить площадь, ограниченную параболой y=3x2, прямыми х=2, х=4 и осью абсцисс. Решение. Воспользовавшись формулой (1), имеем: Кучина О.М. x3 S= 3x dx 3 3 2 4 2 4 2 64 8 56 . 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы y= 1 , прямыми х=-3, х=-1 и осью x абсцисс. 1 отрицательна. Поэтому для вычисления площади х рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой (2). Решение. На отрезке [-3,-1] функция f(x)= 1 1 S=- dx ln x x 3 1 3 (ln 1 ln 3) ln 3 .