УДК 539.3 ЭФФЕКТ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЦЫ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИН ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ В R3 Л.А.Фильштинский, проф.; Ю.Д.Ковалев, ст.преп.; В.М.Олейник, ст.преп. Для выявления эффекта влияния границы на распределение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещины для задач теории упругости и электроупругости, рассмотрим кососимметричную задачу теории упругости для полуслоя с трещиной и симметричную задачу электроупругости для полуслоя с трещиной. Указанные краевые задачи были рассмотрены на базе единого подхода, основанного на использовании для описания механических и электрических величин, однородных решений А.И. Лурье [2, 3, 4]. Постановку краевой задачи для полуслоя с трещиной рассмотрим на примере симметричной задачи электроупругости. (Постановка краевой задачи теории упругости для полуслоя с трещиной осуществляется аналогично). Рассмотрим пьезокерамический полуслой, h x 3 h, x 1 , 0 x 2 , содержащий внутреннюю сквозную трещину. Будем предполагать, что на берегах трещины действует поверхностная нагрузка X X X X , 1, 2, 3 . Допустим, что кривизны дуг и функции X , удовлетворяют условию Гельдера на L [5] и, кроме того, X разлагается в ряд Фурье по координате x 3 на h , h . На основаниях полуслоя выполняются следующие условия: 13 23 33 0, 2 V0 const , x 3 1 (1.1) где i j - механические напряжения, а 2 - электрический потенциал. На границе полуслоя зададим граничные условия в виде: u2 12 23 0, D2 0, x2 0 (1.2) где D2 - составляющая электрической индукции. Краевые условия на берегах разреза зададим в виде: e2i 2i 2ei X i X 22 22 11 12 1 2 11 i Re e 13 i 23 X 3 E s E s , Dn Dn (1.3) где E s - касательная составляющая вектора электрической напряженности, Dn - нормальная составляющая вектора электрической индукции. Интегральные представления входящих в однородные решения разрешающих функций, должны обеспечивать существование скачков перемещений, непрерывность вектора механических напряжений, а также непрерывность касательной составляющей вектора напряженности электрического поля и нормальной составляющей вектора электрической индукции. при переходе через разрез L j j 1,n . Эти представления должны удовлетворять граничным условиям (1.2) и затуханию перемещений, напряжений, электрической напряженности и индукции на бесконечности. Запишем представления искомых функций в виде: x 1 , x 2 ( 1) x 1 , x 2 ( 2) x 1 , x 2 n x 1 , x 2 n( 1) x 1 , x 2 n( 2) x 1 , x 2 ( 1) m x 1 , x 2 m x 1 , x 2 m( 2) x 1 , x 2 (1.4) F x 1 , x 2 F ( 1) x 1 , x 2 F ( 2) x 1 , x 2 Величины с индексом “1” соответствуют основному источнику [1, 6], а эти же величины с индексом “2” отраженному. Структуры представлений, содержащие отраженный источник, имеют вид [7]. Удовлетворяя граничным условиям (1.3) с учетом (1.4), и раскладывая найденные выражения в ряды Фурье, приходим к бесконечной системе сингулярных интегродифференциальных уравнений, по структуре совпадающих с аналогичными уравнениями для слоя [1, 6]. Коэффициенты интенсивности напряжений находятся по формулам: K I lim 2 n , 0 K I I I lim 2 n 3 , 0 K I I lim 2 ns 0 (1.5) K Dn lim 2 Dn 0 Здесь n , ns , n 3 , Dn - нормальные и касательные составляющие напряжений, а также нормальная составляющая вектора электрической индукции на продолжении за вершину трещины. В качестве примера рассмотрим: а) пьезокерамический полуслой (материал PZT-4), ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием внутреннего давления P . б) изотропный полуслой 1 3 , ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием нагрузки X 1 Px 3 cos , X 2 Px 3 sin , X 3 0, P const . Параметризацию контура в обоих случаях зададим в виде: 1 p1 , 1 1 2 p2 2 p0 (1.6) На рис.1 приведены эпюры распределения относительного КИН 1.00 1.00 x3 <KI > 1 2 3 2 0.50 0.95 0.50 1 0.00 0.00 0.90 0.00 0.50 KI KI h l 0,5 Рисунок 1 <K1I.00 > 0.00 0.50 x1.00 3 Рисунок 2 l P по “толщинной” координате в зависимости от расстояния до границы полуслоя при p1 1, p2 0. Кривые 1, 2, 3 построены для p0 l 1, 2, 8 соответственно. На рис.2 приведены эпюры распределения относительного КИН K I вдоль “толщинной” координаты. Кривые 1, 2 построены для прямой трещины p1 1, p2 0 при h l 1, p0 l и 2l соответственно ( 2l - длина трещины). 2Штрихами приведена кривая при p0 8l . Численная реализация построенных алгоритмов позволяет сделать вывод, что влияние границы полуслоя не сказывается на КИН при p0 l 8l . SUMMARY The boundary-value problems of the electroelasticity and the theory of elasticity for a half-layer, weakened with the through-the-thickness tunnel cracks, are considered. Corresponding boundary-value problems are reduced to the infinite systems of one-dimensional singular integrodifferential equations, numerically solved. The results of the calculations of the stress intensity factors (SIF) at the crack tip are deduced. The effect of the influence of a half-layer boundary on SIF propagation is obtained. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Григолюк Э.И., Ковалев Ю.Д., Фильштинский Л.А. Изгиб слоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами // Докл. АН СССР. - 1991. - 317, №1. - С. 31-53. 2. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механика. - 1977. - 41, №6. - С. 1114-1121. 3. Жиров В.Е.., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1977. Вып. 17. - С. 62-67. 4. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикл. математика и механика. - 1942. - 6, №213. - С. 151-169. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1954. - 599с. 6. Фильштинский Л.А., Олейник В.М. Краевая задача электроупругости для слоя с туннельными сквозными разрезами // Прикл. механика. - 1991. - 27, №12. - С. 21-26. 7. Фильштинский Л.А., Хворост В.А., Ковалев Ю.Д. Пространственная кососимметричная задача теории упругости для полуслоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами / СГУ. - Сумы, 1995. - 9с. - Деп. в ГНТБ Украины 25.01.95, №208. - Ук95. Поступила в редколлегию 15 декабря 1997 г.