Разноуровневый материал по теме: «Четырёхугольники».

Разноуровневый материал по теме: «Четырёхугольники»
Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой по теме: «Многоугольники»
I уровень I вариант
1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцати угольника.
2. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвертая в 2 раза больше первой стороны, пятая - на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны
пятиугольника, если известно, что его периметр равен 34 см.
I уровень II вариант
1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцати угольника.
2. В выпуклом шестиугольнике три стороны равны, четвертая в 2 раза больше первой стороны, пятая - на 3 см меньше четвертой, а шестая на 1 см больше второй. Найдите стороны
шестиугольника, если известно, что его периметр равен 30 см.
2 уровень I вариант
1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°?
2. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: АВ = AD, ВС = CD, О - точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните
периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.
2 уровень II вариант
1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2520°?
2. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника A BCD разделяет этот четырехугольник
на два треугольника, причем АВ > ВС, АВ = AD, DC = CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников
BCODA и DCOBA.
3 уровень I вариант
1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°. Найдите число сторон этого многоугольника.
2. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Большая диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ВС, BAD = CDA. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и ACDEF.
3 уровень II вариант
1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 165°. Найдите число сторон этого многоугольника.
2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют равные длины. Диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ED, EAC = DCA. Сравните периметры
четырехугольников ЕАВС и DCBA.
РЕШЕНИЯ
I уровень I вариант
1. 180°  (12-2) =1800°.
2. Рис.70.
х + х + х + 3 + 2х + 2х – 4 = 34; х = 5.
Ответ: 5 см, 5 см, 8 см, 10 см, 6 см.
I уровень II вариант
1. 180°  (13-2) =1980°.
2. Рис.71.
х + х + х + 2х + 2х – 3 + х + 1 = 30; х = 4
Ответ: 4 см, 4 см, 4 см, 8 см, 5 см, 5 см.
2 уровень I вариант
1. 180°  (n - 2) = 2160°.
Ответ: четырнадцать сторон.
2. См. рис. 72. Докажи, что:
1) ∆АВС = ∆ ADC
2) ∆CBO = ∆CDO
3) PBCODA = PABOCD
2 уровень II вариант
1. 180°  (n - 2) = 2520°.
Ответ: шестнадцать сторон
2. См. рис. 73. Докажи, что:
1) ∆ABC = ∆ADC
2) ∆ABO = ∆ADO
3) РBCODA = РDCOBA
III уровень I вариант
1. 180 o  (n - 2) : n = 162°.
2. См. рис. 74. Докажи, что:
1) ∆АBD = ∆DCА;
2) PABDEF = PACDEF
3 уровень 2 вариант
1. 180° (п - 2) : п = 165°.
2. См. рис. 75. Докажи, что:
2) РЕАВС = PDCВА
Самостоятельная работа по теме «Параллелограмм»
I уровень I вариант
1. В четырехугольнике ABCD AB || CD, AC = 20 см, BD = 10 см, АВ = 13 см. Диагонали
ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр ∆COD.
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен перпендикуляр ВК к
прямой AD; ВК = АВ/2. Найдите C, D.
3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром АС, причем точки А, В,
С, D нe лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD - параллелограмм.
I уровень II вариант
1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, О - точка пересечения диагоналей. Периметр ∆AOD равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины В опущен перпендикуляр ВК к
прямой AD, AD = ВК. Найдите C, D.
3. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали АС за вершины А и С отмечены точки М и N соответственно так, что AM = CN. Докажите, что MBND - параллелограмм.
II уровень I вариант
1. В четырехугольнике ABCD A + B = 180°, АВ || CD. На сторонах ВС и AD отмечены
точки М и К соответственно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и К находятся на
одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В соответственно, МР =
РВ = АК; MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
3. На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечена точка К, а на сторонах
АВ и ВС точки М и Р соответственно, причем РК = МВ, KPC = 80°, С = 50°. Докажите, что КМВР - параллелограмм.
II уровень II вариант
1. В четырехугольнике МРКН PMK = HKM, РК || МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно.
Докажите, что АР = НВ.
2. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К, АВ = ВМ = KD,
AMB = 30°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и СК.
3. В треугольнике МРК M = 65°. На сторонах МК, МР, РК отмечены точки А, В, С соответственно так, что середина стороны РК -точка С, AM = КС, ВР = АС, BAM = 50°. Докажите, что ВРСА - параллелограмм.
III уровень I вариант
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD A + B = B + C = 180°. Через точку О пересечения диагоналей четырехугольника проведена прямая, пересекающая стороны DC и AD
в точках М и К соответственно; BOM= 90°. Докажите, что ВК = ВМ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно
так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; BHD = 95°, DMС = 90°, ВОD =
155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.
3. Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника AВС.
Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая
луч МК в точке Е. Докажите, что КЕ = АС/2.
III уровень II вариант
1. В выпуклом четырехугольнике МРКН M + P = 180°, MKH = KMP. На сторонах МН и РК отмечены точки А и В так, что РВ = РА. Отрезок АВ проходит через точку
пересечения диагоналей четырехугольника. Докажите, что HP  AB.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О; BOD = 140°, DKB =110°, BMC = 90°. Найдите
отношение длин отрезков МС и AD и углы параллелограмма.
3. Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ треугольника PET. Прямая,
проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К, АР = КТ, АВ
= ВК = РТ/2. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.
Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой по теме: «Теорема Фалеса»
I уровень
1. В трапеции ABCD ВС - меньшее основание. На отрезке AD взята точка Е так, что BE  CD, ABE
= 70°, BEA = 50°. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание.
II уровень
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60°. Найдите отношение оснований.
III уровень
1.Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен перпендикуляр СЕ к прямой
AD, содержащей большее основание. Докажите, что АЕ = (AD + ВС)/2.
2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет
с меньшей боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.
Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой по теме: «Многоугольники, обобщение»
I уровень
1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.
2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю
прямоугольника и его сторонами.
II уровень
1. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол ANB, если AMC= 120°.
2. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.
Самостоятельная работа проверочного характера
по теме: «Многоугольники, обобщение»
I УРОВЕНЬ I вариант
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е - середина стороны АВ,
BAC = 50°. Найдите угол EOD.
2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, A = 31о Найдите углы треугольника
ВОС
3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины некоторого квадрата на
диагональ. Постройте этот квадрат.
I УРОВЕНЬ II вариант
1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О. Отрезок ОА является высотой треугольника МОР, AOP = 15°. Найдите ОНK.
2. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 16°30'. Найдите остальные углы этого треугольника и угол РМH.
3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенный из точки пересечения диагоналей некоторого квадрата на его сторону. Постройте этот квадрат.
I УРОВЕНЬ I вариант
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е - середина стороны АВ,
BAC = 50°. Найдите угол EOD.
2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, A = 31о Найдите углы треугольника
ВОС
3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины некоторого квадрата на
диагональ. Постройте этот квадрат.
I УРОВЕНЬ II вариант
1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О. Отрезок ОА является высотой треугольника МОР, AOP = 15°. Найдите ОНK.
2. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 16°30'. Найдите остальные углы этого треугольника и угол РМH.
3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенный из точки пересечения диагоналей некоторого квадрата на его сторону. Постройте этот квадрат.
III УРОВЕНЬ I вариант
1. В прямоугольнике ABCD точки М и К - середины сторон АВ и AD соответственно. На
прямой А С взята точка Р, на прямой BD точка Е, МР  А С, КЕ  ВD Известно, что 4КЕ =
АD. Найдите отношения сторон АР : РС.
2. В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точка К, ВК  АD Прямые ВК и А С
пересекаются в точке О, А С = 2ВK . Найдите угол АОВ.
3. Постройте прямоугольник по углу между стороной и диагональю и перпендикуляру,
проведенному из вершины прямоугольника к прямой, содержащей эту диагональ.
III УРОВЕНЬ II вариант
1. В прямоугольнике МРКН О - точка пересечения диагоналей.
Точки А и В - середины сторон МР и МН соответственно. Точка С делит отрезок МК в отношении 1 : 7, считая от точки М, А С  MK. Найдите отношение ВО : РH.
2. В ромбе МРКН угол М острый. Отрезок РЕ является перпендикуляром к прямой МК, О точка пересечения диагоналей, Т - общая точка прямых РЕ и МН, MTP= 120o, ОН= а.
Найдите РЕ.
3. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина которого равна расстоянию между
прямыми, содержащими противоположные стороны ромба.
Контрольная работа по теме: «Многоугольники»
I УРОВЕНЬ I вариант
1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке О, ABO = 36о. Найдите угол
AOD.
2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20о.
3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.
4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96 о. Найдите углы
трапеции.
5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со 'стороной АВ угол
30о, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.
I УРОВЕНЬ II вариант
1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке О, MON= 64о. Найдите угол
ОМР.
2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30о больше второго.
3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.
4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48о. Найдите
углы трапеции.
5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол
30о, длина диагонали АС равна 6 см. Найдите АМ, если точка М лежит на продолжении
стороны AD.
II УРОВЕНЬ II вариант
1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите
длины сторон параллелограмма.
2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80о. Найдите угол между диагональю и
меньшей стороной прямоугольника.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна
половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.
4. В трапеции ABCD диагональ А С перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, D = 60о.
5*. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в
точке М1,. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А - В - К, D - С - Р. Биссектрисы
углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2 Найдите М1М2
II УРОВЕНЬ I вариант
1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите
длины сторон параллелограмма.
2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна
одной из его сторон.
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, ADB = BDC
= 30о. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.
5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке М1,. На
прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А - В - К, D - С - Р. Биссектрисы углов КВС и
ВСР пересекаются в точке М2, М1М2 = 8 см. Найдите AD.
III УРОВЕНЬ I вариант
1. В равнобокой трапеции длина боковой стороны 2d, длины оснований 5d и 7d. Найдите
углы трапеции.
2. В параллелограмме ABCD известно, что A = 60о, АВ = 10, AD = 16. Найдите расстояния
от вершин В и D до биссектрисы BCD.
3. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.
4. Внутри квадрата ABCD выбрана точка М так, что треугольник AMD равносторонний.
Найдите угол АМВ.
5*. Биссектриса угла С параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если AN =
4, DM = 3.
III УРОВЕНЬ II вариант
1. В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
2. В параллелограмме KМNP угол М равен 120о, КМ= 8, КР = 10.
Найдите расстояния от вершин М и Р до биссектрисы угла МКР.
3. Высота ромба делит его сторону пополам. Найдите углы ромба.
4. Внутри квадрата ABCD выбрана точка N так, что треугольник BNC равносторонний.
Найдите угол NAD.
5*. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке F и продолжение стороны CD за точку С - в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВР
= 2 см, ЕС = 3 см.