оригинальный файл 258.2 Кб

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средней общеобразовательной
школы
Тема урока: «Параллелепипед и его свойства».
Цель урока:

образовательная: формирование понятия параллелепипеда и ознакомление
учащихся с его элементами и свойствами; решение задач на применение свойств
параллелепипеда;

развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания, умения
планировать свою работу, ориентироваться в нестандартной ситуации;

воспитательная: воспитание нравственных качеств личности, ответственности,
самостоятельности, формирование интереса к изучению математики.
Тип урока: урок усвоения новых знаний (нестандартный).
Форма проведения: урок – лекция.
Методы
обучения:
индуктивно-репродуктивный,
дедуктивно-репродуктивный.
дедуктивно-эвристический,
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, бланки для
каждого учащегося (приложение).
Требования к ЗУН:
Учащиеся должны знать:

определение параллелепипеда;

элементы и свойства параллелепипеда.
Учащиеся должны уметь:
– доказывать свойства параллелепипеда и применять их при решении задач.
Литература:
1.
Атанасян, Л.С. Геометрия, 10 – 11:Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2006. - 256
с.
2.
Гаврилова , Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии, 10 класс: пособие для для
общеобразоват. учреждений / Н. Ф. Гаврилова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО,
2010. – 304 с.
3.
Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
План урока:
1.
Организационный момент (3 мин)
2.
Вводная часть (5 мин)
3.
Основная часть (34 мин)
4.
Заключительная часть (3 мин)
Ход урока.
1. Организационный момент включает в себя приветствие учителем класса, проверку
отсутствующих, готовность помещения к уроку.
2. Вводная часть.
(Для проведения викторины используется презентация (слайды 2 и 3). Сначала на
экране появляется вопрос, затем после ответа учащихся появляется правильный ответ.)
Викторина:
1. Поверхность, имеющая два измерения.
Ответ: Плоскость.
2. Параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ответ: Прямоугольник.
3. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.
Ответ: Диагональ.
4. Угол, градусная мера которого 90°.
Ответ: Прямой.
5. Утверждение, не требующее доказательства.
Ответ: Аксиома.
6. Линия не имеющая ни начала, ни конца.
Ответ: Прямая.
7. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не
лежащими в одной плоскости
Ответ: Двугранный угол.
8. Отрезок, соединяющий точку А с точкой, лежащей в плоскости α, отличный от
перпендикуляра.
Ответ: Наклонная.
9. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, требующее
доказательства.
Ответ: Теорема.
10. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.
Ответ: Диагональ.
3. Основная часть.
1. Параллелепипед и его элементы.
Учитель. Сегодня урок пройдет в виде лекции. Перед вами на столе лежат бланки с
текстом, в котором имеются пропуски. Вам необходимо внимательно слушать лекцию и
заполнять пропуски. (В конспекте слова, которые ученикам необходимо вписать,
подчеркнуты.)
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в
параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1
параллельны (слайд 4). (Обозначают параллелограммы на бланках).
Четырехугольники ABB1A1, ВСС1В1,CDD1C1 и DAA1D1 также являются
параллелограммами. Почему, объясните?
Учащиеся. Так как каждый из них имеет попарно параллельные
противоположные стороны.
Учитель. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов
ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1, ВСС1В1, CDD1C1 и DAA1D1,
называется параллелепипедом и обозначается так ABCDA1B1C1D1(допишите
необходимое в листочек). Запишите себе в бланк.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед называются гранями. В
параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 гранями являются параллелограммы АВСD, A1B1C1D1,
AA1B1B, DD1C1C, BB1C1C, AA1D1D. Стороны граней называются ребрами
параллелепипеда. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 отрезки АВ, ВС, СD, DA,
A1B1,B1C1, C1D1, D1A1, AA1, BB1, CC1, DD1 являются ребрами. Вершины
параллелограммов называются вершинами параллелепипеда. В параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 являются вершинами.
Сколько граней имеет параллелепипед?
Учащиеся. Параллелепипед имеет шесть граней.
Учитель. Почему?
Учащиеся. Потому что параллелепипед составлен из шести параллелограммов. (слайд 5)
Учитель. Сколько ребер имеет параллелепипед?
Учащиеся. Двенадцать ребер (слайд 6).
Учитель. Сколько вершин имеет параллелепипед?
Учащиеся. Восемь вершин (слайд 7). Заносите записи в свои бланки.
Учитель. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными
(например грани AA1D1D и A1B1C1D1), а не имеющие общих ребер – противоположными
(например АВСD и А1В1С1D1). Отрезок, соединяющий противоположные вершины,
называется диагональю параллелепипеда (слайд 8).
Сколько диагоналей имеет параллелепипед?
Учащиеся. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.
Учитель. Обозначим их на чертеже. АС1, ВD1, A1C, ВD1 – диагонали параллелограмма
ABCDA1B1C1D1.
Учитель. Не забывайте заполнять пропуски в листочках.
Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями
(слайд 9), а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда.
2. Свойства параллелепипеда.
Учитель. Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости
параллельны.
Свойство 1: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны (слайд 10)
(запишем в листочки).
На протяжении доказательства заполняем пропуски в листочках.
Доказательство:
Докажем, например, параллельность и равенство граней
ABB1A1, DСС1D1. Так как ABCD и DAA1D1
параллелограммы, то что из этого следует?
Ученик. Что АВ||DC, AA1||DD1.
Учитель. Таким образом, две пересекающиеся прямые
АВ и AA1 одной грани соответственно параллельны
двум пересекающимся прямым DC и DD1 другой грани.
Отсюда по признаку параллельности плоскостей
следует, что грани параллельны.
Какие это грани?
Учащиеся. Грани ABB1A1 и DСС1D1.
Учитель. Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда параллелограммы, то АВ=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны углов A1AB и
D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны.
Что из этого следует?
Учащиеся. Что две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1
соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма
DCС1D1, поэтому эти параллелограммы равны.
Учитель. Свойство 2: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и
делятся этой точкой пополам. (запишем в листочки).
На протяжении доказательства так же заполняем пропуски в листочках.
Доказательство:
Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник
A1D1CB, диагонали которого A1C и D1B являются диагоналями
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (слайд 11).
Так как A1D1||BC и A1D1=BC, то что из этого следует?
Учащиеся. A1D1CB – параллелограмм.
Учитель. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в
некоторой точке О и этой точкой, делятся пополам.
Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B (слайд 12).
Он также является параллелограммом и, следовательно, что
можно сказать про диагонали?
Учащиеся. Что его диагонали A1C и D1B пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Учитель. Но серединой диагонали D1B является точка О. Таким
образом, диагонали A1C, D1B и АС1 пересекаются в точке О и
делятся этой точкой пополам.
Наконец, рассматривая четырехугольник А1В1СD точно так же
устанавливаем, что и четвертая диагональ параллелепипеда DB1
проходит через точку О и делит ею пополам (слайд 13).
3. Решение задач.
Задача №77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
АВ
4 ВС
5
равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если ВС = 5 , ВВ1 = 6.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед,
АВ+ВС+СD+DA+A1B1+B1C1+C1D1+D1A1+AA1+BB1+CC1+DD1=120 см,
𝐴𝐵 4 𝐵𝐶
5
= ,
= .
𝐵𝐶 5 𝐵𝐵1 6
Найти: АВ, ВС, СD, DA, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1,AA1, BB1, CC1, DD1
Решение:
Учитель. Что называется параллелепипедом?
Ученик. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и
A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1, ВСС1В1, CDD1C1 и DAA1D1, называется
параллелепипедом.
Учитель. Обозначим одно из ребер через х. Выразим через х ребра АВ, ВС.
5
2
Ученик. Пусть ВВ1=х. Тогда 𝐵𝐶 = 6 𝑥, 𝐴𝐵 = 3 𝑥.
Запись на доске и в тетрадях:
5
4
4 5
2
Пусть ВВ1=х. Тогда 𝐵𝐶 = 6 𝑥, 𝐴𝐵 = 5 𝐵𝐶 = 5 (6 𝑥) = 3 𝑥.
Из условия задачи 4 ∙ 𝐴𝐵 + 4 ∙ 𝐵𝐶 + 4 ∙ 𝐵𝐵1 = 120, 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐵𝐵1 = 30.
2
5
𝑥
+
𝑥 + 𝑥 = 30; 4𝑥 + 5𝑥 + 6𝑥 = 180; 15𝑥 = 180, 𝑥 = 12;
3
6
2
5
𝐵𝐵1 = 12 , 𝐴𝐵 = ∙ 12 = 8, 𝐵𝐶 = ∙ 12 = 10.
3
6
Ответ: 12, 8, 10 см.
Задача № 78. На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , на ребрах
которого отмечены точки M, N, M1 и N1 так, что АМ=CN=A1M1=C1N1. Докажите, что
МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, М ∊ АВ, М1∊
А1В1, N∊DC, N1∊D1C1, АМ=CN=A1M1=C1N1.
Доказать, что МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.
Доказательство:
Учитель. Рассмотрим четырехугольник MBND. Докажем,
что этот четырехугольник параллелограмм.
Ученик. ABCD – параллелограмм по условию, значит
АВ=CD.
Запись на доске и в тетрадях:
ABCD – параллелограмм по условию, значит АВ=CD.
Учитель. Из чего следует равенство ВМ и DN?
Ученик. АВ – АМ = CD – CN, то есть ВМ=DN.
Запись на доске и в тетрадях:
АВ – АМ = CD – CN, то есть ВМ=DN.
Ученик. По признаку параллелограмма, MBND – параллелограмм.
Запись на доске и в тетрадях:
ВМ‖DN, BM=DN →по признаку параллелограмма, MBND – параллелограмм.
Ученик. Аналогично, N1B1M1D1 – параллелограмм. ∠NDM=∠N1D1M1 как углы с
соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.
Запись на доске и в тетрадях:
∠NDM=∠N1D1M1
Учитель. Что можем сказать о равенстве параллелограммов MBND и M1B1N1D1?
Ученик. Параллелограммы MBND и M1B1N1D1равны, так как равны их
соответствующие стороны и угол между ними.
Запись на доске и в тетрадях:
MBND = M1B1N1D1(МВ=М1В1, M1D1=MD)
Учитель. Докажем, сто А1М1МА, С1NN1C – параллелограммы.
Ученик. А1М1=АМ, поэтому А1М1МА – паралеллограмм.
Запись на доске и в тетрадях:
А1М1=АМ, поэтому А1М1МА – паралеллограмм, М1М‖А1А‖В1В.
Ученик. Аналогично, С1NN1C – параллелограмм. Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными плоскостями, равны, поэтому
ММ1=ВВ1=СС1=NN1=DD1.
Запись на доске и в тетрадях:
ММ1=ВВ1=СС1=NN1=DD1.
Ученик. По признаку параллелограмма четырехугольники МВВ1М1, BNN1B1, DNN1D1
и MDD1M1 – параллелограммы. По определению МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.
Запись на доске и в тетрадях:
По признаку параллелограмма четырехугольники МВВ1М1, BNN1B1, DNN1D1 и
MDD1M1 – параллелограммы. По определению МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.
4. Заключительная часть.
Учитель. Сегодня у вас был нестандартный урок – урок-лекция. Результатом этого урока
оказался бланк с теоретическим материалом, который вы дополняли на протяжении
лекции.
Что же называется параллелограммом?
Учащиеся. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и
A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1 ВСС1В1, CDD1C1, DAA1D1, называется
параллелограммом.
Учитель. Сколько граней, ребер и вершин имеет параллелепипед?
Учащиеся. Параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Учитель. Дома вам необходимо выучить содержание этой лекции, а именно определение
параллелограмма, его элементы, свойства с доказательствами.
1.
«Параллелепипед и его свойства».
Параллелепипед и его элементы.
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и
четырех
параллелограммов
ABB1A1
ВСС1В1,
CDD1C1
и
DAA1D1,
называется_____________________________________обозначается
так
__________________.
Параллелограммы,
из
которых
составлен
параллелепипед
называются
________________.
В
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 гранями
являются
параллелограммы_________________________________________________________________________.
Стороны
граней
называются
______________________________________________________.
В
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 отрезки __________________________________________
являются
ребрами.
Вершины
параллелограммов
называются
_________________________ параллелепипеда. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
точки __________________________________________являются вершинами.
Параллелепипед имеет
граней,
ребер и
вершин. Две грани
параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются _____________________(например
грани _______________и_________________), а не имеющие общих ребер –
___________________________________(например _________и___________). Отрезок,
соединяющий противоположные вершины, называется ________________________
параллелепипеда.
Каждый
параллелепипед
имеет
__________
диагонали._____________________________–
диагонали
параллелограмма
ABCDA1B1C1D1.
Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их
____________________,
а
остальные
грани
–
_________параллелепипеда.
2. Свойства параллелепипеда.
Свойство 1: Противоположные грани параллелепипеда
________________.
и
Дано: ABCD A1B1C1D1-параллелепипед, А A1B1B||
DСС1D1, А A1B1В= DСС1D1,
Доказательство:
Докажем, например, параллельность и равенство
граней ABB1A1 и DСС1D1. Так как ABCD и DAA1D1
_________________________________,то АВ||DC и
AA1||DD1. Таким образом, две пересекающиеся
прямые АВ и AA1 одной грани соответственно
двум пересекающимся прямым DC и DD1 другой
грани. Отсюда по
параллельности
_________________ следует, что грани ABB1A1 и
DСС1D1 ____________________.
Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда _____________________________, то АВ=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны
углов A1AB и D1DC соответственно сонаправленны, и, значит, эти углы
_____.
Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1
соответственно
двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма
DCС1D1, поэтому эти параллелограммы ________________.
Свойство 2: Диагонали параллелепипеда пересекаются в
________ и
делятся этой точкой
.
Дано: ABCD A1B1C1D1-параллелепипед, A1С D1
B, A1О=ОС, D1О=ОВ.
Доказательство:
Чтобы доказать это свойство, рассмотрим
четырехугольник A1D1CB, диагонали которого
A1C
и
D1B
являются
диагоналями
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .
Так как A1D1 || BC и A1D1 = BC, то A1D1CB –
_____________________________________.
Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в
некоторой
точке
О
и
этой
точкой________________________________.
Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B .
Он также является
________и,
следовательно, его диагонали A1C и D1B
пересекаются
и
точкой
пересечения
_________________________.
Но
серединой
диагонали D1B является точка О. Таким образом,
____________________
A1C,
D1B и АС1
пересекаются в точке О и делятся этой точкой
пополам.
Наконец, рассматривая четырехугольник А1В1СD точно
так же устанавливаем, что и четвертая диагональ
____________________________DB1 проходит через
точку
О
и
делит
ею
_____________________________________.