Основные понятия теории вероятности

К лекции № 1
Основные понятия теории вероятности
Теория вероятности имеет дело с явлениями, исход которых заранее
предсказать невозможно. С такими явлениями часто приходится иметь дело,
и потому необходима теория, которая могла бы описывать такие явления.
Примеры таких событий: попадание при стрельбе, отказ механизма при запросе, выпадение герба при бросании монеты и т. д.
1.1. Терминология
Испытание или опыт - создание некоторого комплекса условий, который мы, по крайней мере в принципе, можем воспроизводить многократно.
Пример: стрельба по мишени, бросание монеты и т. д.
Событие или возможный исход - любое явление, которое может произойти или не произойти в результате опыта. Пример: промах при стрельбе
по мишени, выпадение орла при бросании монеты, появление трех очков при
бросании игральной кости (кубика) и т. д.
Различают элементарные неразложимые события и составные разложимые события.
События обозначаются A,B,C и т. д.
Понятия испытания, исхода, элементарного события являются первичными понятиями теории вероятностей и потому формально они не определяются. Можно дать лишь некоторое их описание.
Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в
результате испытания, обозначается U.
Событие называется невозможным, если оно никогда не может происходить в результате испытания, обозначается V.
Событие называется случайным, если оно может произойти в результате испытания, а может и не произойти.
Исходы опыта обязательно схематизируются, т. е. указываются заранее
до опыта, и считается, что другие исходы невозможны. Из сказанного ясно,
что в теории вероятностей рассматриваются только такие события, которые
могут происходить в массовом порядке.
1.2. Основные множественно-вероятностные понятия
Пусть A и B два события.
Суммой двух событий A и B называется событие C, которое состоит в
появлении хотя бы одного из событий А и В, то есть или события A или со-
бытия B или A и B совместно. Обозначается AB или A+B, читается A или
B.
Произведением двух событий A и B называется событие C, которое состоит в одновременном появлении A и B. Обозначается AB или AB, читается A и B.
Если в результате появления события A всегда происходит событие B,
то говорят, что B является частным случаем A или B входит в A. Обозначается BA.
Если BA и AB, то говорят, что A и B эквивалентны. Обозначается
A=B.
Событие, которое состоит в том, что событие A не происходит, обозначается A, читается не A.
Для геометрических иллюстраций данных понятий используются диаграммы Вьенна. Изобразим пространство элементарных событий в виде
квадрата, а события будем изображать заштрихованными подмножествами
этого квадрата. Тогда
U
V
A
B
AB
AB
A
Рис.1. Геометрическая иллюстрация множественных понятий
Если при появлении события A никогда не может произойти событие B
и при появлении события B никогда не может произойти событие A, то события A и B называются взаимно-исключающими или несовместными. Если несовместные события A и B таковы, что в результате испытания одно из
них обязательно происходит, то события A и B называются противоположными. Очевидно:
B =A.
1.3. Поле событий
Пусть определено множество всех элементарных событий, которое может произойти в результате испытания. Множество всех событий, которые
могут быть определены из элементарных с помощью операций и, или, не,
дополненное достоверным и невозможным событием образует поле событий
Дадим формальное определение:
Поле событий S есть множество подмножеств пространства элементарных событий, которое обладает свойствами:
1. US.
2. Если AS, то и AS,
3. Если A1, A2, A3... S, то и
U
Ai  S
i 1
Следствие: если A и B принадлежат S, то и AB принадлежат S.
1.4. Вероятность
Вероятность события A обозначается P(A). Вероятностью называется
функция, определенная на поле событий, удовлетворяющая трем свойствам:
1. P(U)=1. Вероятность достоверного события равна 1.
2. Для любого события A вероятность P(A)0.
3. Если A1,A2, ..., An попарно-несовместные события, то вероятность
n
суммы равна сумме вероятностей: P(
n
 A )   P( A ) .
i
i 1
i
i 1
Следствия.
1. Если A и B противоположные события, то P(A)=1  P(B).
Доказательство.
U=A+B;
P(U)=P(A+B)= P(A)+P(B);
1= P(A)+P(B);
P(A)=1P(B);
2. Вероятность невозможного события равна 0, P(V)=0.
U+V=U;
P(U+V)=P(U);
P(U)+P(V)= P(U);
1+P(V)=1.
3. Если AB, то P(A)P(B). Без доказательства.
1.5. Классическое определение вероятности
События E1,E2, ... ,En являются попарно-несовместными, если появление одного из них исключает появление любого другого события из данной
группы.
Группа событий называется полной, если при каждом испытании происходит одно из событий группы . Замечание: полная группа необязательно
должна состоять из попарно-несовместных событий.
Классическая вероятность определяется на основе понятия равновероятности или равновозможности. События группы являются равновероятными (равновозможными), если по условиям опыта или из соображений
симметрии нельзя утверждать, что появление одного из них более возможно,
чем других.
Определение. Пусть пространство элементарных событий образует полную группу попарно-несовместных равновероятных событий Ei (i=1,2, ... ,n).
Говорят, что Ei благоприятствует событию A, если EiA. Пусть событию
A благоприятствует m из n событий полной группы. Тогда вероятность P(A)
m
события A равна: P(A)  .
n
1.6. Геометрическое определение вероятности
Часто удается изобразить элементарные события точками геометрического объекта (линии, плоской фигуры, объемного множества). Причем они
заполняют объект полностью (непрерывно). Тогда благоприятствующие события изображаются в виде подмножеств объекта. Естественно ввести вероятность как отношение меры (длины, площади, объема) подмножества
благоприятных событий к мере всего множества.
Например, при регулярном движении автобусов (с постоянным интервалом времени T между двумя автобусами) множество возможных событий
по ожиданию автобуса изобразится как множество точек геометрического
отрезка [0,T] с мерой (длиной) T. Вероятность того, что время ожидания автобуса меньше или равно t (0tT) равна P(A)=t/T.
1.7. Статистическая вероятность события
Рассмотрим некоторое событие A, вероятность которого неизвестна.
Произведем n испытаний и зафиксируем их результаты. Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз. Тогда величина P*(A)=m/n называется частотой или статистической вероятностью события. Из общих теоретических исследований известно и экспериментальным путем подтверждено,
что частота приближенно равна вероятности при достаточно большом n, т. е.
P*(A)P(A)
и P*(A)P(A) при n.
1.8. Элементы комбинаторики
Раздел математики, занимающийся подсчетом количества элементов в
конечных множествах, называется комбинаторикой.
При определении вероятностей классическим способом нужно рассматривать различные исходы опыта. При этом используются понятия комбинаторики. Пусть имеется n попарно-различных элементов. Обозначим это
множество K. Начнем выбирать различные подмножества, состоящие из
элементов множества K.
Схема без возврата.
Вначале рассмотрим схему выбора без возврата. Это значит, что выбранный элемент назад в множество K не возвращается и появиться в подмножестве еще раз не может.
Размещения.
Определение. Подмножество из k элементов множества K, записанное в
порядке выбора, называется размещением из n элементов по k.
Учет порядка выбора означает, что подмножества, состоящие из одних
и тех же элементов, расположенных в разном порядке, считаются разными.
Число всевозможных различных размещений из n элементов по k обозначается A kn . Подсчитаем их число. В качестве первого элемента можно взять
любой из n элементов. Это значит, что A 1n =n. В качестве второго элемента
можно взять любой из оставшихся n-1 элементов и присоединить к любому
из первых образовать подмножество из пары элементов. Это значит, что
A 2n =n(n-1). В качестве третьего элемента можно взять любой из оставшихся
n-2 элементов и присоединив к любой паре образовать подмножество из
тройки элементов. Это значит, что A 3n =n(n-1)(n-2). Методом математической
индукции можно доказать:
n!
, n! 1  2  3  ...  n 
Ank =n(n-1) ... (n-k-1) =
k!n  k !
Перестановки.
Определение. Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов.
Число всевозможных различных перестановок обозначается Pn. Следовательно: Pn  A nn =n(n-1)(n-2)...1=n!
Сочетания.
При выборе размещений и перестановок порядок играл важную роль.
Но так бывает не всегда.
Определение. Неупорядоченные подмножества (комбинации), т. е. такие, порядок следования элементов в которых не играет роли и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.
Обозначим число различных сочетаний C kn .Для подсчета числа сочетаний, содержащих k элементов из данных n элементов, образуем всевозможные размещения из n элементов по k, и все комбинации состоящие из одинаковых элементов отождествим. Из данных k элементов можно образовать k!
комбинаций, которые являются перестановками. Поэтому
C kn
A kn n (n  1)...(n  k  1) n (n  1)...(n  k  1)( n  k )...1
n!




.
Pk
k!
k!(n  k )!
k!(n  k )!
Cхема с возвратом (с повторениями).
Иногда применяется схема с возвратом. При этой схеме выбранный
элемент не удаляется из множества K, а возвращается обратно и может снова
появиться в комбинации. Поэтому в этой схеме порядок появления важен и
при каждом новом выборе при образовании комбинации мы имеем n возможностей для выбора. Всего при выборе k элементов можно образовать
n k различных комбинаций. То есть число размещений с повторениями
A nk  n k .
Число
перестановок
с
повторениями
k  k 2  ...  k n ! , где k - число, которое показывает,
Pn k1 , k 2 ,...k n   1
i
k1! k 2 ! ...  k n !
сколько раз в перестановке проявился элемент i. Число сочетаний с повторениями Cnk  C kn  k 1 .
Правило произведения.
Пусть даны два конечных множества Х и Y, состоящие, сооответственно, из m и n элементов. Сколькими способами можно составить пару (x, y),
где xX, yY. Число таких пар равно mn.