Задание С5

1
90
2
8
3 3984
4
12
5 0,32
6
9
7
0,8
8
-1
9
1
10
7
11
27
12
2
13
24
14
49
ВАР 1 МАЙ проф
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4
очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если
проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и
равны 0,4.
Решение.Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3,
3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из
этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой
и во второй игре. Отсюда имеем:
B5
О т в е т : 0,32.
Прямая
является касательной к графику функции
абсциссу точки касания.
B8
Решение.Условие касания графика функции
бований:
и прямой
. Найдите
задаётся системой тре-
В нашем случае имеем
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет
уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.О т в е т : −1.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const , где p –
давление в газе в паскалях, V – объём газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомB11
ным идеальным газом (для него k = ) из начального состояния, в котором const = 7,29·107 Па·м5,
газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V может занимать газ при давлении p не ниже
3·105 Па ? Ответ выразите в кубических метрах.
Решение.
Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление не ниже
при заданных значениях параметров
и
,
Па м5 имеем неравенство:
.О т в е т : 27.
Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился
плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч. Пусть км/ч — скорость яхты,
тогда скорость яхты по течению равна
км/ч, а скорость яхты против течения
равна
км/ч. Яхта, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась вA, а плоту понадобилось на час больше времени, чтобы пройти 40 км. Имеем:
B13
Таким образом, скорость
яхты в неподвижнй воде была равна 24 км/ч.О т в е т : 24.
B14
Найдите точку максимума функции
.
Решение.Найдем производную заданной функции:
.Найдем нули производной:
.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке
поведение функции:
Искомая точка максимума
О т в е т : 49.
Задание С1 а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
.
Значит,
или
—
уравнение
не
имеет
корней,
или
,
отку-
да
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку
Получим число
Ответ: а)
б)
Задание С2
В
правильной
треугольной
пирамиде
с
основанием
известны
ребра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер
и
Решение.
Пусть
и
— середины ребер
и
соответственно.
— медиана правильного тре-
угольника
следовательно, находится по формуле
Прямая
проецируется на плоскость основания и прямую
Поэтому проекция точки
— точка
— лежит на
отрезке
Значит, прямая
является проекцией прямой
следовательно, угол
—
искомый.
где
му
ка
— центр основания, значит,
Тогда
находим:
Из прямоугольного треугольника
— средняя линия треугольника
и
Из
прямоугольного
находим:
Значит, искомый угол равен
Ответ:
Задание С3 Решите неравенство
Решение.
Выполним преобразования:
.
поэтотреугольни-
.
Сделаем замену:
.
Получим:
, откуда
.
Решая это неравенство, находим:
Если
, то
Если
или
или
, то
.
.
или
.
Ответ:
.
Задание С4 Окружности радиусов 11 и 21 с центрами
внешним
причём
образом
в
точке
Найдите
и
—
параллельные
и
соответственно касаются
радиусы этих окружностей,
Решение.
Точки
и C лежат на одной прямой.
Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O1O2(рис. 1). Отрезок AM параллелен прямой O1O2 (точка M принадлежит радиусу BO2), следовательно,O1O2AM — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 10, AM = 32, ∠AMB = 120°, откуда
Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O1O2 (рис. 1). Отрезок AM параллелен прямой O1O2 (точка M лежит на продолжении радиуса BO2 за точку O2), следовательно,O1O2MA — параллелограмм: AM = O1O2 = 32, O1A = O2M = 11, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.
В треугольнике AMB имеем MB = 32, AM = 32, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB = 32.О т в е т : 32 или 38.
Задание С5 Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на
эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих
акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на
140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена
одной акции?
Решение.
Первый способ (близкий к арифметическому решению).
Пусть первый брокер купил акций, а второй — акций. Тогда первый продал
акций,
второй —
акций.
То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму,
полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:
Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то
Если — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими
приобретено
акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:
р.
Первый брокер продал
акций, второй
но
акций. К моменту продажи цена одной акции стала
(р), т.е. на
акций. Всего было прода-
(р) выше.
Значит, цена одной акции возросла на 37,5%
Второй способ (преобладает алгебраический подход).
Пусть р. — первоначальная цена одной акции, — количество акций, купленных первым
брокером, — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на %. Тогда:
(1)
Со временем цена одной акции выросла до
рублей.
Первый брокер продал акций на сумму
рублей, а второй брокер —
на
рублей.
Согласно условию задачи имеем:
т.е.
(2)
Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то
Подставив полученное значение в уравнение (1), будем иметь:
Подставим то же значение в уравнение (2):
А значение
Следовательно,
О т в е т : 37,5.
нами найдено выше.
Задание С6
Найдите
ма
все
положительные
значения а,
при
каждом
из
которых
систе-
имеет единственное решение.
Решение.
Если
точке
точке
, то уравнение
радиуса 2, а если
,
того же радиуса (см. рис.).
то
задаёт окружность , с центром в
оно задаёт окружность
с центром в
При положительных значениях параметра а уравнение
задает окружность с центром в точке
радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все
значения параметра а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с
объединением окружностей
и .
Из точки С проведём луч
где
лежит между С и .
и обозначим
Так как
и
, то
,
При
или
окружности
и
сти
и
имеют две общие точки. При
Из точки С проведём луч
и обозначим
где
лежит между С и .
Так как
точки его пересечения с окружностью
.
не пересекаются. При
окружноили
окружности
и
касаются.
и
точки его пересечения с окружностью ,
, то
,
При
ности
и
или
окружности
имеют две общие точки. При
и
.
не пересекаются. При
или
окружности
и
окружкасаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность
сается ровно одной из двух окружностей
и , и не пересекается с другой. Так
как
, то условию задачи удовлетворяют только
числа
,
и
Задание С7
.Ответ: 3;
.
ка-
Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число , что
дробь
сократима на
Решение.
Если целые числа
и
делятся на , то целое число
также делится на
Тогда число
тоже делится на
Тогда число
также делится на b. Таким образом, искомое b — простой делитель числа 72, то есть 2 или 3.
Осталось проверить для каких из найденных чисел можно подобрать .
Если нечётное, то числитель и знаменатель данной дроби четны, поэтому дробь можно сократить на 2.
Если кратно 3, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 3, поэтому дробь
можно сократить на 3.Ответ: 2, 3.