Экзаменационныебилеты по геометрии для 8 класса. Билет №1. 1. Дайте определение параллелограмма и сформулируйте его свойства. 2. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3. А Треугольники ABC и DEFподобны. ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, EF = 14, DF = 20, BC = 21. Найдите AC. B Периметры подобных треугольников относятся как 2: 3, сумма их площадей равна 260 см2 . Найдите площадь каждого треугольника. Билет №2. 1. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников. 2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника. 3. А В прямоугольном треугольнике ACB (∠ С = 900 ), AB = 10, ∠ABC= 300 ). С центром в точке А проведена окружность . Каким должен быть радиус окружности , чтобы: а) окружность касалась прямойBC; б) не имела с ней общих точек ; в) имела с ней две общие точки? В AB и CD – два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Хорда CB продолжена за точку B на отрезок BE, равный CB. Каково взаимное положение прямой DE и окружности? Билет №3. 1. Что называется отношением двух отрезков? В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам 𝐴1 𝐵1 и 𝐶1 𝐷1 . 2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной к окружности. 3. А В четырехугольнике ABCDAB∥CD, BC∥AD, AC = 20 см, BD = 10 см, AB = 13 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника COD. В В четырехугольнике ABCD∠𝐴 + ∠𝐵 = 1800 , 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника. Билет № 4. 1. Взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстояния от ее центра до прямой. 2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 3. А В параллелограммеABCD угол B тупой. На продолжении стороны AD за вершину D отмечена точка E так, что ∠ECD = 600 , ∠CED = 900 , AB = 4 см, AD = 10 см. Найдите площадь параллелограмма. В Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см2 , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2см и 8 см, считая от вершины острого угла. Билет № 5. 1. Дайте определение прямоугольника. Сформулируйте особое свойство прямоугольника. 2. Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 3. А Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а большее основание 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см. В В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и √577 см соответственно, высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь трапеции. Билет № 6. 1. Сформулируйте теорему о вычислении площади прямоугольника. 2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 3. А В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, K – середина стороны AB, AK = 3см, KO = 4см. Найдите периметр параллелограмма. В Четырехугольники ABCD и DCEF имеют общую сторону CD. Точки A, D, F не лежат на одной прямой, AB = CD = EF, AB ∥CD∥EF. Диагонали четырехугольниковABCD и DCEF пересекаются соответственно в точкахО1 и О2 . Докажите, что AF∥ О1 О2 и AF = 2О1 О2 . Билет № 7. 1. Дайте определение подобных треугольников. 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника. 3. А Дуга AB окружности с центром в точке O равна 600 . Найдите расстояние от точки A до радиуса OB, если радиус окружности равен 6см. В MA и MB – хорды окружности с центром в точкеO∠AMB = 300 . Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 10 см. Билет № 8. 1. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? Свойство касательной. 2. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 3. А В выпуклом четырехугольнике ABCDAB = CD, ∠B = 700 , ∠BCA= 600 , ∠ACD = 500 . Докажите, что BC = AD. B На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC – точки M и P соответственно, причем PK = MB, ∠KPC= 800 , ∠C = 500 . Докажите, что ∠KMB + ∠MBP = 1800 . Билет № 9. 1. Сформулируйте признаки параллелограмма. 2. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 3. А Через точку M, расположенную внутри круга, проведены две хорды AB и CD, причем AM = MB, CM = 16 см, DM :MC = 1 : 4. Найдите AB. В Диаметр CDокружности перпендикулярен хорде AB, AB и CD пересекаются в точке E, CE = 2 см. Сумма AB и CE равна диаметру окружности . Найдите радиус окружности. Билет № 10. 1. Сформулируйте теорему о вычислении площади параллелограмма. 2. Сформулируйте и докажите теорему о признаке касательной. 3. А В трапеции ABCDBC – меньшее основание. На отрезке AD взята точка E так, что BE∥CD; ∠ABE = 700 , ∠BEA = 500 . Найдите углы трапеции. В В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 1200 . Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции. Билет № 11. 1. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Свойства средней линии треугольника. 2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3. А В прямоугольнике ABCDBD = 12см. Вершина B удалена отпрямойAC на 4 см. Найдите площадь треугольника ABC. B Втреугольнике ABC ∠ B = 1300 , AB = a, BC = b, авпараллелограмме MPKH MP = a, MH = b, ∠ M = 500 . Найдите отношение площади треугольника к площади параллелограмма . Билет № 12. 1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о вписанном угле. 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма. 3. А В прямоугольном треугольнике ACB( ∠C = 900 ) CD⊥AB, 𝐴𝐶 𝐶𝐵 В 1 = . Найдите отношение площадей треугольников ACD и CDB. 2 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD, DE⊥BC, 𝐵𝐷 𝐷𝐶 2 = . Площадь треугольника DEC 1 2 равна 20 см . Найдите площадь треугольника ABC. Билет № 13. 1. Дайте определение ромба. Сформулируйте особое свойство ромба. 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. 3. А В окружность, радиус которой равен 10 см, вписан прямоугольный треугольник , один из катетов которого равен 16 см. Найдите площадь этого треугольника. В Периметр ромба равен 80 см, а одна из диагоналей 32 см. Найдите радиус вписанной в ромб окружности. Билет № 14. 1. Сформулируйте теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам? 2. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд. 3. A В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. E – середина стороныAB, ∠BAC = 500 . Найдите угол EOD. B В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. BH и DE – высоты треугольника ABO и COD соответственно, ∠BOH= 600 , AH = 5 см. Найдите OE. Билет № 15. 1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 2. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 3. А Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона равна 5см, площадь 44 см2 . Найдите высоту трапеции. В В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и составляет с меньшей диагональю угол в 450 . Острый угол трапеции также равен 450 . Найдите площадь трапеции. Билет № 16. 1. Сформулируйте теорему Пифагора. 2. Докажите, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то четырехугольник – параллелограмм. 3. А В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 20, а боковая сторона равна 15. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла трапеции. В В прямоугольной трапеции ABCD (∠D = ∠C = 900 , AC и BD – основания) AB = 9, BD = 12, AD = 15. Найдите синус, косинус и тангенс угла CBD. Билет № 17. 1. Дайте определение квадрата. Сформулируйте основные свойства квадрата. 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции. 3. А Данный отрезок разделите в отношении 2: 3 : 5. В Постройте треугольник ABC по тупому углу B, отношению сторон AB: BC = 3:2 высоте AD. Билет № 18. 1. Сформулируйте теорему о вычислении площади трапеции. 2. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник – параллелограмм. 3. А Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке E, а продолжение стороны DC – в точке F. Докажите, что ΔABE∾ Δ EFC. B В треугольнике ABC через точку P, лежащую на стороне BC, проведены прямые, пересекающие стороны AB и AC соответственно в точках Q и R и параллельные AC и AB. Докажите, что PQ∙ PR = BQ∙ CR. Билет № 19. 1. Сформулируйте теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 3. А Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей диагонали и углу между ними. В Постройте параллелограмм по двум диагоналям и большей стороне. Билет № 20. 1. Какой четырехугольник называется трапецией? Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной? 2. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3. А В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 900 ) ∠ BAC = 450 , AB = 10, D𝜖BC (B – D – C), ∠ DAC = 300 . Найдите DC. В В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 900 ) точка M лежит на катете BC. Эта точка находится на равном расстоянии от AB и AC, MC =2,7, AM = 4,1. Найдите углы треугольника ABC. Билет № 21. 1. Сформулируйте утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. 2. Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм. 3. А Определите углы треугольника со сторонами 1, √3, 2. В В треугольнике ABCAB = √2, BC = 2. На стороне AC отмечена точка M так, что AM = 1, BM = 1. Найдите ∠ ABC.