Свойства и график функции у=arcsinx 1. Область определения функции у=arcsinx – промежуток [ - 1; 1]. 𝜋 𝜋 2 2 2. Область (множество) значений функции – промежуток [− ; ]. 3. Функция у=arcsinx не является периодической. 𝜋 4. Наименьшее значение у=− функция принимает в точке – 1. 2 𝜋 Наибольшее значение у= функция принимает в точке 1. 2 5. Нулем функции является значение аргумента х=0. 6. Функция принимает отрицательные значения на промежутке [ - 1; 0) и положительные значения на промежутке (0; 1]. 7. Функция у=arcsinx нечетная. 8. Функция у=arcsinx возрастающая в области определения. 9. График функции у=arcsinx Свойства и график функции у=arccosx 1. Область определения функции у=arccosx – промежуток [ - 1; 1]. 2. Область (множество) значений функции – промежуток [0; 𝜋]. 3. Функция у=arccosx не является периодической. 4. Наименьшее значение у=0 функция принимает в точке 1. Наибольшее значение у= функция принимает в точке - 1. 5. Нулем функции является значение аргумента х=1. 6. Функция принимает отрицательных значений не принимает, положительные значения принимает на промежутке [ - 1; 1]. 7. Функция у=arccosx не является нечетной и не является четной. 8. Функция у=arccosx убывающая в области определения. 9. График функции у=arccosx Примеры решения задач Пример 1. Решите уравнение arcsin(3x+5)=0, Решение. 3х+5=0, х=− 5 3 Ответ: − 5 3 𝑥 Пример 2. Решите уравнение arccos ( − 4) = 𝜋. 3 Решение. Функция arccos принимает значение в точке – 1, 𝑥 следовательно, − 4= - 1, отсюда х=9. 3 Ответ: 9 𝜋 Пример 3. Решите неравенство arcsin(2𝑥 + 1) < . 3 𝜋 π 3 2 𝜋 Решение. По условию arcsin(2𝑥 + 1) < , т.е. − ≤ arcsin(2𝑥 + 1) < . π 3 𝜋 Это равносильно неравенству sin(− ) ≤ sin(arcsin(2𝑥 + 1)) < sin( ), −1 ≤ 2 2𝑥 + 1 < √3 , 2 −1 ≤ 𝑥 < 3 √3−2 4 Ответ: [ - 1; √3−2 ) 4 𝜋 Пример 4. Докажите тождество arcsin 𝑥 + + arccos 𝑥 = . 2 𝜋 Решение. arccos 𝑥 ↔ { 𝜋 2 Пусть 𝜋 − ≤𝑦≤ , 2 𝑦 = arcsin 𝑥 ↔ { 2 sin 𝑦 = 𝑥 пусть также 𝑧= 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝜋, . Следовательно, требуется доказать неравенство 𝑦 + 𝑧 = cos 𝑧 = 𝑥 . Перенесём z в правую часть и возьмём синус от обеих частей 𝜋 𝜋 получившегося равенства: 𝑦 = − 𝑧 → sin 𝑦 = sin( − 𝑧) = cos 𝑧. Но sin y = x и 2 2 cos z = x, значит, наше равенство принимает вид x = x. Однако для того, чтобы доказать нужное нам тождество, мы должны обосновать возможность перехода от верного равенства x = x к исходному. 𝜋 В самом деле, переход от равенства sin y = cos z к равенству 𝑦 = − 𝑧 2 вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Но у нас есть 𝜋 𝜋 ограничения на y и z в виде неравенств − ≤ 𝑦 ≤ , 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝜋, а для таких y и z 2 𝜋 2 равенство sin y = cos z возможно только при 𝑦 = − 𝑧. 2 Следовательно, 𝑦 + 𝑧 = 𝜋 𝜋 и наконец, arcsin 𝑥 + + arccos 𝑥 = что и 2 2 требовалось доказать. Пример 5. Найти sin(arccos0,75). 𝜋 Решение. Так как 0arccos0,75 , то 0sin(arccos0,75)1. Поэтому 2 sin(arccos0,75)=√1 − cos 2 (arccos 0,75)=√1 − 0,752 =0,25√7. Ответ: 0,25√7 Пример 6. Решите уравнение 3arcsin√𝑥 - =0. 3arcsin√𝑥 - =0 Решение. 𝜋 √3 3 sin(arcsin√𝑥)=sin √𝑥= x= . 3 2 4 3arcsin√𝑥= 𝜋 arcsin√𝑥= 3 Ответ: 3 4 Упражнения 1. Укажите область определения и область значения функции: 𝑥 1) 𝑓(𝑥) = arcsin 3𝑥 2) 𝑓(𝑥) = arcsin(− ) 4) 𝑓(𝑥) = arccos 2𝑥 5) 𝑓(𝑥) = arccos(− ) 7) 𝑓(𝑥) = arccos(−5𝑥) 8) 𝑓(𝑥) = arccos(− 𝑥 3) 𝑓(𝑥) = arcsin(− − 3) 2 2 𝑥 6) 𝑓(𝑥) = arcsin 6 2𝑥 3 + 1) 9) 𝑓(𝑥) = arccos 2 𝑥 6 𝑥 10) 𝑓(𝑥) = arcsin(−3𝑥) 2. Укажите координаты точек пересечения с осями Ох и Оу графика функции: 1) 𝑦 = arcsin(2 − 0,1𝑥) 2) 𝑦 = arcsin(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 3) 𝑦 = arccos(4𝑥 2 − 4𝑥 + 1) 4) 𝑦 = arccos(0,6 − 12𝑥) 5) 𝑦 = arcsin(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) 6) 𝑦 = arccos(4𝑥 2 + 4𝑥 + 1) 7) 𝑦 = arccos(4 − 0,2𝑥) 8) 𝑦 = arcsin(3 − 𝑥) 9) 𝑦 = arccos(6 − 2𝑥) 10) 𝑦 = arcsin(0,5 − 5𝑥) 3. Определите, четной или нечетной является функция: 1) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 3) 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 − arccos |𝑥| 2) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥 + 4 arcsin 2𝑥 2 arcsin 𝑥 5 arccos |𝑥| 4) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥 arcsin 2𝑥 arcsin 𝑥 5) 𝑓(𝑥) = arcsin2 𝑥 + sin 𝑥 arcsin 2𝑥 6) 𝑓(𝑥) = √arcsin2 𝑥 + 4 arccos |𝑥| 7) 8) 9) 10) 4. Функция задана на множестве D. Укажите для нее: а) наименьшее и наибольшее значение; б) промежутки возрастания и убывания; в) промежутки, где функция принимает отрицательные и положительные значения; г) нули функции 1 1) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥, 𝐷 ∈ [0; ] 2 1 1 3) 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥, 𝐷 ∈ [− ; ] 2 2 5) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥, 𝐷 ∈ [− √3 1 ; ] 2 2 1 2) 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥, 𝐷 ∈ [− ; 0) 2 4) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥, 𝐷 ∈ [− √2 √2 ; ] 2 2 6) 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥, 𝐷 ∈ [− √3 √2 ; ] 2 2 7) 8) 9) 10) 5. Решите уравнения: 1) arcsin(1 − 2𝑥) = − 𝜋 2) arccos(𝑥 2 + 14𝑥 + 12) = 0 2 3) arccos(3 − 6𝑥) = 𝜋 4) arccos(12𝑥 + 1) = − 𝜋 5) arccos(15 − 2𝑥 − 𝑥 2 ) = 2 7) arcsin(𝑥 2 + 10𝑥 − 23) = 𝜋 2 9) arcsin(𝑥 2 − 10𝑥 + 9) = 0 𝜋 2 6) arcsin(10𝑥 − 6) = 𝜋 8) 10) 6. Решите неравенство: 1) arcsin(𝑥 + 1) ≤ 0 4) arccos 𝑥 ≤ 2) arcsin(5 − 4𝑥) ≥ − 𝜋 2 5) arccos(𝑥 − 12) ≥ 𝜋 4 7) arcsin(4𝑥 − 2) ≥ − 10) arcsin 𝑥 < 𝜋 𝜋 2 8) arccos 𝑥 ≥ 2𝜋 3) arccos(𝑥 + 10) ≤ 0 6) arcsin 𝑥 ≥ − 𝜋 3 9) arccos(6𝑥 − 1) ≥ 3 𝜋 6 7. При каких значениях р верно равенство: 1) arcsin2 𝑥 = 𝑝 4) arcsin 𝑥 = 𝑝 + 7) 2) | arccos 𝑥| = 𝑝 𝜋 2 5) arcsin 𝑥 = 8) 10) 8. Постройте график функции: 𝑝 𝑝+0,4𝜋 3) arccos 𝑥 = −𝑝 − 𝜋 6) arccos 𝑥 = 9) 𝑝−0,1𝜋 𝑝 𝜋 2 1) 𝑦 = − arcsin 𝑥 2) 𝑦 = − arccos 𝑥 5) 𝑦 = 2 arcsin 𝑥 6) 𝑦 = arccos 𝑥 9) 𝑦 = | arcsin 𝑥| 10) 𝑦 = arccos |𝑥| 1 2 3) 𝑦 = arccos(−𝑥) 7) 𝑦 = arccos 𝑥 3 4) 𝑦 = arcsin(−𝑥) 8) 𝑦 = arcsin 9. Постройте график функции: 𝑥 1 1) 𝑦 = 2 arcsin ( + ) − 1,5 2 2 𝑥 2) 𝑦 = |0,5 arcsin 𝑥 − 1| 3) 𝑦 = −2 arccos ( + 1) + 3 4) 𝑦 = |0,5 arccos 𝑥 − 1| 5) 𝑦 = 3 arccos(2𝑥 − 6) + 3 6) 𝑦 = | arccos(2𝑥 + 6) − 2| 7) 𝑦 = −4 arcsin(3𝑥 − 1) + 1 8) 𝑦 = | arcsin(2𝑥 + 4) − 1| 9) 𝑦 = 1 − arcsin(2𝑥 − 1) 10) 𝑦 = −2 arccos(2𝑥 − 3) 2 3 2 3 2 𝑥 2