1 Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа городского округа город Буй Костромской области Графики функций с модулем Работу выполнила: Торопова И.В. учитель математики 2004 г. 2 В курсе математики основной и средней школы незначительное место отводится построению графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. И поэтому учащиеся испытывают определённые затруднения при их построении. Впервые с модулем числа учащиеся встречаются в курсе математики 6 класса, и больше не упоминается о нем до 9 класса, и немного заданий на построение графиков таких функций встречается в курсе алгебры и начала анализа 10 класса. Поэтому, я считаю, что формировать навыки построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, можно начинать с учащимися 7 – 8 классов, проявляющими интерес к изучению математики на занятиях математического кружка или факультатива. В 7 классе после изучения тем «Линейная функция» и « Прямая пропорциональность» стоит попробовать построить график функции y = |2х|. Учащиеся уже хорошо умеют строить графики прямой пропорциональности и предварительно надо построить график функции y = 2х, затем вспомнить с учащимися определение модуля числа и попросить их составить таблицу значений для функции y = |2х| (значения переменной х необходимо взять как положительные так и отрицательные), затем отметить полученные точки на координатной плоскости, соединить их и сравнить полученные графики, ответив на следующие вопросы: а) Какие значения принимает функция y = |2х| при х≥0, х<0? б) чем сходны графики функций y = 2х и y = |2х|, чем различаются? в) Можно ли получить график функции из графика функции y = 2х? y = 2х y = |2х| х -3 -2 -1 0 1 2 3 х -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 y 6 4 2 0 2 4 6 Учащиеся заметят, что для построения графика функции y = |2х| можно построить график функции y = 2х, затем оставить без изменения часть графика при х≥0, а часть графика расположенную ниже оси х ( при х<0 ) отобразить симметрично относительно оси Ох. 3 Таких заданий можно подобрать много, а способные учащиеся вполне могут построить графики следующих функций: y = |х + 1|, y = |2х + 1|, используя выводы, полученные при построении графика функции y = |2х|. y = | х + 1| y = |2х + 1| В 8 классе учащиеся знакомятся с графиком обратной пропорциональности и продолжая формировать умения строить графики, сильным учащимся стоит построить графики функций типа y = 4 и х y= 4 , опираясь на знания, х полученные при построении графиков функций, содержащих модуль в 7 классе. y= 4 х y= 4 х В курсе алгебры 9 класса при изучении темы «Функция. Область определения и область значения функции» ребята знакомятся с графиком функции y = |х| , её областью определения и областью значения. Но заданий в учебнике под редакцией С.А. Теляковского с использованием функции y = |х| нет, кроме №17 и то предлагаемого на дом. А вот в дидактических материалах для 9 класса авторов Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, Л.М. Коротковой предлагаются задания из второго блока, способствующие развитию учащихся в алгоритмическом и логическом плане. С-8 «График квадратичной функции» Задание №6 Постройте график функции: а) y = |х| - 3 ; б) y = |х +3| . 4 y = |х +3| y = |х| - 3 При построении данных графиков функций можно воспользоваться знаниями, полученными при преобразовании графиков функций y =aх2+n c одной стороны , т. е. график функции y = |х| - 3 можно получить из графика y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на три единицы масштаба вниз, а график функции y = |х +3| из графика функции y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на три единицы масштаба влево. Затем сильных учащихся попросить сделать вывод о построении графиков функций вида y = |х| + n ; y = |х - m|. y = |х - m| y = |х| + n m<0 n>0 n<0 m>0 А с другой стороны (возможно учащиеся и этот способ вспомнят, который чаще всего и используется) построить график функции y = |х - m| можно из графика функции y = х – m , оставив без изменения все части графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части расположенные ниже её отобразить симметрично. С-14 «Графический способ решения систем уравнений» предлагается задание №5, также из второго блока. Решите графически систему уравнений: а) y =х2 – 3 y = |х| Ответ: (≈ -2,3; ≈2,3) (≈ 2,3; ≈2,3) 5 Учащиеся легко с этим заданием справляются, поэтому можно предложить ёще ряд аналогичных заданий. Задание: Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решение система уравнений и если имеет, то сколько: а) y = х2 – 3 б) y = х2 – 3 в) y = х2 – 3 г) y = х2 – 3 д) y = х2 – 3 y = |х| - 3 y = -|х| y = 4 - |х| y = -|х| - 3 y =-|х| - 4 (3 решения) (2 решения) (2 решения) (1 решение) (нет решения) Решение. а) б) в) д) г) 6 Отработав навыки построения графика квадратичной функции сильные учащиеся могут попробовать построить графики следующих функций: а) y = |х2- 1| Для построения достаточно сначала построить график функции y = х2- 1 , а на интервале (-1; 1) часть графика отобразить симметрично относительно оси абсцисс, остальную часть оставить без изменения. Аналогичных заданий можно подобрать достаточно много, но после их выполнения необходимо с учащимися сделать вывод о построении графиков функций вида y = |f(х)|. Здесь же надо рассмотреть построение графиков функций вида y = f(|х|). т.е. графики функций содержащие модуль аргумента. б) y = х После его построения учащиеся заметят, что данный график получается из графика функции y = х путем симметрии относительно уже оси Оy . Необходимо еще раз обратить внимание учащихся, что под знаком модуля находится аргумент и вновь сделать выводы. в) y = х2 - 6|х| + 4 Некоторые учащиеся заметят, что под знаком модуля стоит аргумент, учитывая 2 2 что х =|х| , тогда достаточно будет построить график функции для х≥0, а затем полученную кривую отобразить относительно оси у. 7 И закончить рассмотрение графиков функций в 9 классе, аналитическое выражение которых содержит знак модуля построением графиков вида y = |f(|х|)|. Предложить учащимся построить графики следующих функций: а) y = |х| ; б) y = |х| - 1; в) y = | |х| - 1|. Задания а) и б) легко учащиеся выполнят, но их выполнение должно натолкнуть их на мысль, что построение графика функции под в) следует выполнять поэтапно: строим график функции y = |х|, затем выполнить параллельный перенос вдоль оси Оу на одну единицу масштаба вниз и наконец, часть графика расположенного под осью Ох симметрично отобразить относительно её. а) б) в) Тренировочные упражнения: а) y = | |2х|-3 | б) y = | 3|х| + 1| г) y = |х| + х д) y = 2|х| + х в) y =| х2 - 4|х| + 3 | е) y = х 2 + 3 8 Вывод: Для построения графика функции y = |f(|х|)| надо построить график функции y = f(|х|), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже её, отобразить симметрично относительно этой оси. Такая работа с графиками закрепит знания учащихся о модуле числа и даст неплохие навыки для их построения. В 10-11 классах эту работу следует продолжить, т.к. учащиеся основательно знакомятся со свойствами функций и их исследованием. В 10 классе большое место отводится изучению тригонометрических функций и, конечно же, их графикам. Здесь можно такие задания: 1. Построить графики функций у = cos|x| и у = |cosx|. Решение. а)у = cos|x|, cos|x| = cosx, т.к. cos x = cos(-x). Следовательно, график данной функции тот же, что и график функции у = cosx; б) у=- |cosx|, при cos x ≥ 0 у = cos x. Следовательно, на участке, где cos x ≥ 0, график будет тот же, что и график функции у = cosx. При cos x < О у = - cosx. Следовательно, части графика функции у = cos x, расположенные ниже оси абсцисс, зеркально отобразятся и будут расположены в верхней полуплоскости. 2. Построить графики функций у = sin[x| и у = |sin x |. Решение. Чтобы построить график у = sin|x|, надо построить сначала график у = sin х при х > 0, а затем построить кривую, симметричную с построенным графиком относительно оси ординат. 9 3. Построить график функции у = sin х + |sin х |. 4. Построить график функции у =tg|x|. Решение. Функция чётная, так как tg|-x| = tg|x|. При х > 0 график искомой функции тот же, что и график функции у = tg x. 5. Построить график функции у = |tgx|. Решение. Часть графика функции у = tgx, расположенную в верхней полуплоскости, оставить без изменений, а часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, зеркально отобразить относительно оси ОХ. 10 В теме «Функции и их графики» при изучении нового материала и говоря о преобразовании графиков вновь вспомнить и о графиках функции у = |f(х)| и y = f(|х|): а) график у = |f(х)| функции получается из графика функции у = f(х) следующим образом: часть графика у = f(х), лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох: б) график функции y = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) так: при х≥0 график у = f(х) сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Oу: На следующем уроке рассмотреть построение нескольких таких графиков функций. а) построить графики функций: 11 б) построить график функции у = |х-1| + |х+3|. Решение. Находим значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль: х - 1 = 0 или х + 3 = 0; х= 1 или х = -3. 1) при х <-3, у = -х+ 1-х-3 =-2Х -2; У = -2Х-2; 2) при -3<х<1, у= -х+ 1 +х + 3 = 4; у = 4; 3) при х>1, у = х- 1 + х + 3=2х + 2; у= 2Х + 2. В теме «Исследование функций» в учебнике «Алгебра и начала анализа» для учащихся 10-11 классов Колмогорова А.Н. включены функции, содержащие знак модуля, но таких заданий всего два - это №99(а, в), №55(а). В качестве дополнительного задания на исследования тригонометрических функций сильным учащимся предложить построить график функции у = 2 – sin| х+ | Решение. 1 способ. Строим график функции у = —sin|х| Ось ординат переносим на + , а ось абсцисс — на -2. 2 способ. График имеет две ветви, уравнения которых различны. 12 2) если х+ < 0, то есть х<- , то у = 2 – sin( -(х+ ))= 2+ sin( х+ ). 1)если х+ ≥ 0, то есть х≥- , то у = 2 – sin( х+ ). Область определения функции - вся числовая прямая. Область значения функции определим из условия -1≤– sin| х+ |≤1 -1+2≤ у ≤ 1+2 1≤ у ≤3 Общая точка обеих ветвей графика: х= - ; у=- sin| 0|+2=2: точка (- ; 2). Можно учащимся, конечно, предложить построить и исследовать графики таких функций, как у= arcsin| x| , у= arcsin| x-1|, у=arccos| x|, у= arctg| x|, но с этим заданием справятся только сильные учащиеся или проявляющие интерес к данной теме. 13 И закончить построение таких графиков функций в 11 классе рассмотрением графиков показательной и логарифмической функций типа: у = 2| x| График функции у = 2 x при х≥0 И его зеркальное отображение относительно оси Оу дадут в совокупности график заданной функции. у =| log аx | Строим график функции у = log аx. На интервале (0;1) у = log аx <0 (кривая расположена под осью Ох) эта часть графика функции симмет рично отобразится относительно оси Ох, а остальная часть останется без изменения. у = 2| x-1| у = log | x || у = |log | x || Литература 1. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. Алгебра 10 класс (поурочные планы).Волгоград . -2002. С.13-45. 2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. –Киев: Наукова думка. -1979. - С.100-107. 3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1990. – С. 47-54. 4. Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 10-19.