α - Department of Theoretical Mechanics

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический
Университет
Физико-механический факультет
Кафедра механики и процессов управления
Работа допущена к защите
Зав. кафедрой
____________________ В. А. Пальмов
"____" _________________ 2010 г.
ВЫПУСКНАЯ РАБОТА
БАКАЛАВРА
Тема: Моделирование процессов деформирования
и разрушения хрупких материалов
методом динамики частиц
Направление: 150300 ̶ Прикладная механика
Выполнил студент гр. 4055/1 ____________________ И. Е. Асонов
Руководитель, д.ф.-м. н., проф.__________________ А. М. Кривцов
Санкт-Петербург
2010
Содержание
1. Введение…………………………………………………………………………3
1.1. Актуальность темы………………………………………..………….…3
1.2. Описание метода динамики частиц…………...……………………….5
2. Нагружение цилиндрического образца вдоль диаметра (бразильский
тест)..……………………………………………………………………………….10
2.1. Построение численной модели бразильского теста……………...….13
2.2. Моделирование…………………………………………………...…....18
2.3. Обоснование метода моделирования…………………………...…….24
2.3.1. Построение континуальной численной модели бразильского
теста……………………………………………………………..…….24
2.3.2. Моделирование…………………………………………..…….26
2.3.3. Выводы…………………………………………………….…...29
2.4. Результаты и выводы…………………………………………………...30
3. Вибрационное сверление хрупких материалов……………………………31
3.1. Построение численной модели вибрационного сверления……….....33
3.2. Моделирование…………………………………………………………39
3.2.1. Поиск оптимального значения прикладываемой к буру
поперечной силы……………………………………………………...41
3.2.2. Получение зависимости скорости сверления от соотношения
амплитуд статической и динамической продольных сил………….44
3.3. Сравнение полученных результатов с предсказаниями аналитических
моделей и с экспериментальными данными……………………………....45
3.4. Результаты и выводы…………………………………………………..47
4. Заключение……………………………………………………………………..49
4.1. Результаты……………………………………………………………...49
4.2. Направления дальнейших исследований……………………………..49
Список использованных источников………………………………………….51
2
1. Введение
1.1. Актуальность темы
Разрушение – сложнейшее явление природы, присущее многим процессам,
происходящим на земле. Это явление может работать как в пользу (обработка
материалов, бурение горных пород, создание тоннелей и др.), так и во вред
(наземные, воздушные, наводные и подводные катастрофы, землетрясения и
др.).
Возникает
естественное
желание
минимизировать
наносимый
разрушением вред и оптимизировать процесс разрушения в случае, когда он
является полезным. Этих целей сложно достичь, не научившись качественно
исследовать системы, в которых происходят сильные деформирования и
разрушения.
Нарушение
континуальности
материалов
при
сильном
деформировании и разрушении создает серьезные сложности для описания
этих
процессов
в
рамках
классической
механики
сплошной
среды.
Большинство возникающих сложностей можно преодолеть, если представить
среду не как сплошную, а как составленную из структурных элементов.
Системы, полученные в результате дискретизации, могут исследоваться как
аналитически, так и численно, посредством моделирования с использованием
вычислительных
мощностей.
Компьютерное
моделирование
позволяет
исследовать те задачи, аналитическое решение которых затруднено или вовсе
невозможно.
Одним из методов аналитического и численного исследования физических
систем, является метод динамики частиц (МДЧ). Согласно этому методу тела́,
входящие в рассматриваемую систему, представляются как совокупности
частиц, движущихся согласно классическим уравнениям динамики под
действием заданных законов межчастичного взаимодействия. МДЧ позволяет
описывать такие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение,
3
температурное изменение свойств материала, фазовые переходы
[1]. Как
правило, межчастичное взаимодействие представляет собой взаимодействие
частиц посредством заданного потенциала (к примеру, потенциала ЛеннардаДжонса, Ми, Морзе, Терсоффа, погруженного атома и др.). Потенциал
взаимодействия в МДЧ играет ту же роль, что и тензорные определяющие
уравнения в механике сплошной среды, но его вид несоизмеримо проще.
Конкретный вид потенциала межчастичного взаимодействия определяется из
сравнения механических свойств реального и компьютерного материалов. Для
простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это
сравнение может быть проведено аналитически. В остальных случаях
соответствие
устанавливается
на
основе
тестовых
компьютерных
экспериментов.
Целью данной работы является использование МДЧ применительно к
компьютерному моделированию опытов по деформированию и разрушению
хрупких материалов. Подробно рассмотрены два опыта (бразильский тест и
вибрационное сверление) в которых, как правило, исследуются горные породы.
Конкретнее об этих опытах будет сказано в соответствующих разделах
Стоит отметить, что есть несколько определений хрупкого материала,
приведем здесь наиболее распространенные версии: в [2] под хрупкостью
материала подразумевается сохранение им свойства упругости вплоть до
разрушения; в [3] под хрупкостью материала подразумевается малость
деформаций (до 2-5%), предшествующих разрушению при одноосном
растяжении. Вообще говоря, деление материалов на хрупкие и пластичные
довольно условно, т.к. поведение материала в натурных экспериментах может
сильно зависеть от его температуры, скорости и вида нагружения, а также от
других факторов. В связи с этим, правильнее говорить о хрупком характере
разрушения материала.
В первой части данной работы с помощью бразильского теста будет
найден и исследован хрупкий модельный материал, который затем во второй
4
части
работы
будет
использоваться
при
моделировании
процесса
вибрационного сверления.
Научную
(относительно
новизну
[4])
МДЧ
работы
модель
представляет
усовершенствованная
вибрационного
сверления.
Помимо
усовершенствованной модели вибрационного сверления на защиту выносятся
следующие результаты:
- разработана численная модель бразильского теста;
- для
модели
бразильского
теста
изучена
зависимость
хрупкости
модельного материала от формы и параметров его кристаллической решетки, а
также от выбранной силы межчастичного взаимодействия;
- для модели вибрационного сверления рассчитана зависимость скорости
сверления от соотношения амплитуд статической и динамической продольных
нагрузок, прикладываемых к буру, а также произведено сравнение результатов
моделирования
с
экспериментальными
данными
и
предсказаниями
аналитических моделей процесса вибрационного сверления.
1.2. Описание метода динамики частиц
В данном подразделе детально описан МДЧ, используемый в дальнейшем
при построении моделей бразильского теста и вибрационного сверления.
Первым шагом на пути описания системы с помощью МДЧ является ее
дискретизация, т.е. разбиение рассматриваемой системы на частицы. В
результате дискретизации каждой частице должен быть присвоен вектор
начальной скорости и начальный радиус-вектор, определяющий положение
частицы в пространстве в момент старта расчета.
Процесс дискретизации
происходит на двух масштабных уровнях, которые условно можно назвать
макро- и микроскопическим. На макроскопическом уровне задается внешняя
5
форма объектов моделирования и их макроскопические скорости. На
микроскопическом уровне задается вид упаковки частиц и скорости
хаотического движения. Таким образом, скорость каждой частицы в начальный
момент времени складывается из двух компонент: медленно меняющейся от
частицы
к
частице
скорости
макроскопического
движения
и
быстро
меняющейся от частицы к частице скорости хаотического (теплового)
движения. Средняя кинетическая энергия теплового движения частиц
пропорциональная
дисперсии
скорости
и
характеризует
интенсивность
хаотического движения частиц.
Для ускорения вычислений расчетная область разбивается на квадратные
или кубические ячейки со стороной 𝑎𝑐𝑢𝑡 (𝑎𝑐𝑢𝑡 называется радиусом обрезания)
и предполагается, что каждая частица может взаимодействовать только с
частицами из своей ячейки и из смежных к своей ячеек (рис. 1.1).
Ø 2𝑎𝑐𝑢𝑡
Рис. 1.1. 2D-случай. Частица
взаимодействует только с частицами
которые находятся внутри окружности обрезания
,
.
В качестве потенциала межчастичного взаимодействия в данной работе
брались потенциалы на основе потенциала Леннарда-Джонса (1.1). Т.е. сила
межчастичного взаимодействия рассчитывается на базе силы ЛеннардаДжонса. Выбор данной силы в качестве базовой обусловлен ее вычислительной
простотой и разнообразностью эффектов, которые можно получить с ее
помощью [1].
6
𝑎 12
𝑈𝑙𝑗 (𝑟) = 𝐷 (( )
𝑟
𝑎 6
𝐹⃗𝑙𝑗 (𝑟⃗) = −grad 𝑈𝑙𝑗 (𝑟)
− 2( ) ) ,
𝑟
(1.1)
где 𝑈𝑙𝑗 − значение потенциала Леннарда-Джонса; 𝑟 − длина радиусвектора; 𝐷 − глубина потенциальной ямы (энергия связи); 𝑎 − равновесное
межчастичное расстояние; 𝐹⃗𝑙𝑗 − сила Леннарда-Джонса.
В рассматриваемых далее модельных процессах средняя кинетическая
энергия теплового движения, приходящаяся на частицу, не превышает процента
от энергии связи 𝐷; диссипация энергии частиц отсутствует (неконсервативное
взаимодействие не вводится).
Используемую
при
расчетах
силу
межчастичного
взаимодействия
𝐹⃗𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔 можно представить в следующем виде (1.2):
𝐹⃗𝑙𝑗 (𝑟⃗),
⃗
(𝑟
𝐹𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔 ⃗) = {
𝑘(𝑟)𝐹⃗𝑙𝑗 (𝑟⃗),
0≤𝑟≤𝑏
𝑏 < 𝑟 ≤ 𝑎𝑐𝑢𝑡
,
(1.2)
где 𝑘(𝑟) − сглаживающая функция, 𝑏 − расстояние разрыва связи (𝐹𝑙𝑗′ |
𝑟=𝑏
= 0).
6
Для потенциала Леннарда-Джонса 𝑏 = √13/7𝑎 ≈ 1.11𝑎. Используемые при
моделировании варианты сглаживающих функций и значения радиуса
обрезания приведены в дальнейших разделах работы.
Движение
частиц
рассчитывалось
посредством
численного
интегрирования системы (1.3) методом центральных разностей:
𝑣⃗̇ = 𝐹⃗𝑖Σ /𝑚𝑖
{ 𝑖
𝑟⃗𝑖̇ = 𝑣⃗𝑖
где
𝑣⃗𝑖 − скорость
движения
̅̅̅̅̅
𝑖 = 1,
𝑁,
i-ой
частицы,
(1.3)
𝐹⃗𝑖Σ − суммарная
сила,
действующая на i-ую частицу, 𝑚𝑖 − масса i-ой частицы, 𝑟⃗𝑖 − радиус-вектор i-ой
частицы, 𝑁 − количество частиц. Масса частиц в ходе моделирований бралась
одинаковой.
Для выбора шага интегрирования рассчитаем микроскопическую единицу
измерения времени (здесь и далее под микроскопическими характеристиками
7
будут подразумеваться величины, которые можно рассчитать, зная только
потенциал взаимодействия и кристаллическую решетку материала). В качестве
наглядной микроскопической единицы измерения времени удобно взять период
колебаний частицы (𝑇0 ) вблизи положения равновесия в неподвижном поле
потенциала Леннарда-Джонса:
𝐶 = 𝑈𝑙𝑗′′ |
𝑟=𝑎
=
72𝐷
𝑇0 = 2𝜋√
𝑎2
𝑚
𝐶
,
(1.4)
где 𝐶 − жесткость межчастичной связи вблизи положения равновесия.
Шаг интегрирования выбирался в пределах от 0.01𝑇0 до 0.03𝑇0 , в зависимости
от желаемой точности получаемых результатов. Необходимые проверки на
сходимость по шагу интегрирования были проведены. Привязка шага
интегрирования к микроскопической единице измерения времени нужна исходя
из понимания того, что частица за шаг интегрирования должна смещаться
незначительно.
В качестве микроскопической единицы измерения силы возьмем 𝑓0 =
12𝐷/𝑎. Максимальная сила межчастичного взаимодействия при разрыве связи
(т.н. прочность связи) 𝑓∗ может быть рассчитана как:
𝑓∗ = |𝐹𝑙𝑗 (𝑏)| =
42 6 7
169
√ 𝑓0 ≈ 0.224𝑓0
(1.5)
13
Учет земного притяжения при моделировании не производился.
Для МДЧ моделирования какой-либо задачи необходимо задать в
программе числовые значения параметров потенциалов и т.п.. Это можно
сделать двумя способами:
1) задать в программе параметры (в единой системе размерностей, к
примеру, в СИ: м, с, кг), соответствующие реальным материалам; тогда
все
полученные
в
результате
моделирования
величины
будут
измеряться в выбранных размерностях: к примеру, сила будет
измеряться в кг·м/(c·c);
8
2) задать в программе три размерных величины, через которые можно
выразить размерности длины, времени и массы, какими-либо числами
(к примеру, единицами); остальные величины измерять через эти три
выбранные размерные величины. В результате мы на выходе не
получаем величины, соответствующие натурным экспериментам, но
всегда их можем в таковые пересчитать, задавшись макропараметрами
моделируемого опыта.
В разработанных компьютерных программах выбран второй способ
задания
параметров
моделирования.
Подробное
описание
процесса
определения параметров моделирования через макропараметры моделируемого
опыта приведено в [1].
Таким образом, мы определили основные идеи построения и параметры
моделирования методом динамики частиц, с помощью которого в дальнейшем
будут рассматриваться бразильский тест и вибрационное сверление.
9
2. Нагружение цилиндрического образца
вдоль диаметра (бразильский тест)
Бразильский тест – тест по определению прочностных характеристик
материала на растяжение [5]. Данный тест представляет собой сжатие
цилиндрического образца вдоль диаметра с последующим измерением
нагрузки, при которой наступает разрушение образца (рис. 2.1). Фотография
натурного бразильского теста представлена на рис. 2.2.
Рис. 2.1. Схема бразильского теста.
Рис. 2.2. Фотография натурного бразильского теста [6].
В данной работе измерялась не нагрузка на образец, при которой наступает
разрушение, а критическое перемещение сжимающих образец обкладок.
Смещение обкладок при котором в образце возникает зародыш трещины, т.е. в
процессе сжатия образца происходит разрыв какой-либо межчастичной связи
(расстояние между частицами превышает b), будем называть критическим
10
смещением обкладок. Определение возникновения зародыша трещины в
образце производится визуально, т.е. путем последовательного просматривания
результатов численного моделирования. Т.к. результаты моделирования
сохраняются на жесткий диск с некоторым шагом по времени, то образец
успевает сжаться за этот интервал сохранения и отсюда берется погрешность в
определении критического перемещения сжимающих обкладок. Примеры
зародышей трещины в отдельно взятом численном эксперименте приведены на
рис. 2.3. Если количество частиц в расчете было велико, то для определения
критического смещения обкладок рассматривалась обработанная картина, где
частицы, имеющие количество соседей такое же, как в идеальной решетке
соответствующего типа, удалялись из рассмотрения. Под соседом частицы
подразумевается любая другая частица, находящаяся на расстоянии менее 1.1a
от данной (данное расстояние примерно равно расстоянию разрыва связи).
Пример такой обработанной картины приведен на рис. 2.4.
Рис. 2.3. Примеры зародышей трещин (обведены в черные овалы). Здесь и
далее пунктирные линии отображают положение обкладок.
11
Рис. 2.4. Пример обработанного результата моделирования. Отображаются
только частицы, которые имеют количество соседей не совпадающее с таковым
в идеальной решетке.
Определим понятия хрупкости и пластичности материала образца,
нагружаемого по системе бразильского теста: будем говорить, что чем меньше
по результатам бразильского теста получаемое критическое смещение
обкладок, тем более хрупкий модельный материал мы рассматриваем.
В случае если критическое смещение обкладок составляет более 10% от
радиуса образца, рассматриваемый модельный материал будем называть
пластичным. В случае если критическое смещение обкладок составляет менее
10% от радиуса образца, модельный материал будет называть хрупким.
Введенное в данной работе понятие хрупкости модельного материала
соотносится с классическими определениями хрупкости, т.к.:
1) бразильский тест аналогичен тесту на растяжение - сжимая образец вдоль
одного направления, мы его тем самым растягиваем вдоль других направлений;
2) были проведены тесты по нагружению и последующему разгружению
модельного материала, которые показали отсутствие остаточных пластических
деформаций образца (вплоть до разрушающих нагружений). Таким образом,
хрупкость модельного материала соответствует определению из [2].
12
2.1. Построение численной модели бразильского теста
Для построения численной модели бразильского теста требуется выбрать
макроскопические единицы измерения (здесь и далее под макроскопическими
характеристиками будут подразумеваться величины, которые характерны для
рассматриваемого численного эксперимента в целом). В качестве наглядной
макроскопической единицы измерения времени, возьмем время 𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 за
которое звуковая волна проходит расстояние, равное радиусу рассматриваемого
𝑅
цилиндра: 𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 = , где 𝑅 − радиус цилиндра, 𝑣𝑙 − скорость распространения
𝑣𝑙
продольных волн в образце вдоль направления нагружения (скорость 𝑣𝑙 можно
рассчитать зная кристаллическую решетку материала и межчастичный
потенциал взаимодействия).
Время
моделирования
бразильского
теста
во
всех
численных
экспериментах составляет не менее 40𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 . Большое время расчета
необходимо, чтобы минимизировать влияние на процесс разрушения волн
деформаций, распространяющихся в образце.
В ходе моделирования образец сжимается плоскими недеформируемыми
обкладками, состоящими из частиц. Скорость движения обкладок в процессе
моделирования
постоянна. По окончании расчетного времени обкладки
смещаются на величину равную от 3% до 15% от R. Взаимодействие частиц
образца с частицами обкладок рассчитывалось таким же образом, как
взаимодействие частиц образца друг с другом.
В данной работе рассматривались три варианта сил межчастичного
взаимодействия. Параметры сил сведены в таблицу 2.1.1. Графики сил
приведены на рис. 2.1.1.
13
Таблица 2.1.1. Параметры сил межчастичного взаимодействия.
𝑘(𝑟)
𝑎𝑐𝑢𝑡
Название силы
1
2.1𝑎
ЛД
1.4𝑎
ЛД-сплайн
1.4𝑎
ЛД-α
2 2
𝑟 2 − 𝑏2
(1 − ( 2
) )
𝑎𝑐𝑢𝑡 − 𝑏 2
2 2
𝛼
𝑟 2 − 𝑏2
(1 + 𝛼) (1 − (1 + √
)( 2
) ) −𝛼
1 + 𝛼 𝑎𝑐𝑢𝑡
− 𝑏2
6.00
5.00
Сила взаимодействия, D/a
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0.90
-1.00
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
-2.00
-3.00
Относительное расстояние, r / a
Рис. 2.1.1. Графики зависимости сил межчастичного взаимодействия от
соотношения r/a
Первый
набор
параметров
из
таблицы
2.1.1
соответствует
немодифицированной силе Леннарда-Джонса (сила ЛД). Второй набор
параметров соответствует сплайновой силе взаимодействия (сила ЛД-сплайн),
сглаживающая функция взята из [1]. Третий набор параметров соответствует
«хрупкой» силе (сила ЛД-𝛼), которая является обобщением силы ЛД-сплайн,
сглаживающая функция взята из [4]. В отличие от силы ЛД-сплайн в силе ЛД-𝛼
присутствует коэффициент α. Влияние данного коэффициента на зависимость
14
силы ЛД-α от расстояния можно увидеть на рис. 2.1.1. При использовании силы
ЛД-α возникающая в материале небольшая трещина не будет самопроизвольно
зарастать, как это происходило бы при использовании сил ЛД или ЛД-сплайн.
Коэффициент α может меняться в пределах от 0 до 2, т.к. при значениях α
меньших нуля сглаживающая функция не определена, а при значениях α
больших двух теряется физический смысл задаваемой силы.
При моделировании бразильского теста в данной работе рассматривались
следующие четыре кристаллические решетки модельного материала образца:
1) Идеальная многослойная гранецентрированная кубическая (ГЦК)
решетка (3D-ГЦК решетка);
2) Идеальная двухслойная ГЦК решетка (2D-ГЦК решетка);
3) Идеальная
гексагональная
плотноупакованная
(ГПУ)
двухмерная
решетка (2D-ГПУ решетка);
4) ГПУ двухмерная решетка с учетом пористости материала (2D-ГПУ-p
решетка).
Поры в 2D-ГПУ-p решетке создавались случайным образом. Коэффициент
пористости равен отношению числа удаленных из идеальной решетки частиц к
исходному числу частиц в идеальной решетке.
Вид с торца и вид сбоку данных решеток, сформированных в форме
цилиндра (круга), представлен на рисунке 2.1.2. В черных рамках приведено
увеличенное изображение решетки.
15
вид с
вид с
торца:
торца:
1
3D-ГЦК
3
2D-ГПУ
вид с
боку:
боку:
вид с
вид с
торца:
торца:
2
4
вид с
2D-ГЦК
вид с
вид с
2D-ГПУ-р
боку:
боку:
Рис. 2.1.2. Рассматриваемые кристаллические решетки.
Решетка 2D-ГПУ является частным случаем решетки 2D-ГПУ-р, в случае
равенства нулю пористости материала. Ориентация 2D-ГЦК и 3D-ГЦК решетки
представлена на рис. 2.1.2 и не менялась от расчета к расчету. Ориентация 2DГПУ и 2D-ГПУ-р решеток задается углом поворота решетки φ (рис. 2.1.3):
φ
Рис. 2.1.3. Определение угла поворота решетки для решеток 2D-ГПУ и
2D-ГПУ-р.
16
Из соображений симметрии понятно, что значения угла φ от 0° до 60° задают
все возможные ориентации решеток 2D-ГПУ и 2D-ГПУ-р.
При расчетах количество частиц в радиальном направлении образца
варьировалось от 50 до 500 штук. Суммарное количество частиц при этом для
2D-решеток
варьировалось
от
30000
до
800000
тысяч.
Параметры
моделирования 3D-решетки приведены в подразделе 2.2. Необходимые
проверки сходимости по числу частиц были проведены. Эти проверки
представляли из себя визуальное сравнение картин моделирования в которых
изменялось только количество частиц в вдоль радиуса образца. При увеличении
количества частиц в радиальном направлении более 50 для ГЦК решеток и
более 80 для ГПУ решеток результаты моделирования визуально перестают
сильно изменяться. Выбор количества частиц в каждом моделировании
является компромиссом между длительностью времени расчета и желаемой
точностью получаемых результатов.
В зависимости от рассматриваемой кристаллической решетки частицы
образца имеют различное число степеней свободы. В случае 3D-ГЦК решетки
каждая частица образца имеет три степенями свободы (2 степени свободы в
плоскости торца и 1 степень свободы вдоль высоты цилиндра). В случае 2DГЦК, 2D-ГПУ и 2D-ГПУ-р решеток каждая частица имеет только две степени
свободы (в плоскости торца образца). Фиксирование степени свободы вдоль
высоты цилиндра для частиц решетки 2D-ГЦК необходимо, чтобы в процессе
деформирования решетка не потеряла бы устойчивость.
Таким образом, в данном подразделе описана исследуемая далее численная
модель бразильского теста: введены названия кристаллических решеток,
введены названия сил межчастичного взаимодействия, выбрано время
моделирования, выбрана модель нагружения образца, приведено расчетное
количество частиц.
17
2.2. Моделирование.
Рассмотрим
использованием
подробно
2D-ГЦК
моделирование
решетки
в
бразильского
предположении,
что
теста
с
получаемые
результаты, схожи с результатами, получаемыми при моделировании с
использованием
3D-ГЦК
решетки
(3D-ГЦК
решетка
наиболее
точно
соответствует натурному эксперименту). В текущем подразделе мы проверим
данное предположение. Затем в данном подразделе рассмотрим некоторые
результаты,
получаемые
при
использовании
2D-ГПУ
и
2D-ГПУ-р
кристаллических решеток.
Измерение длительности расчетов показало, что использование силы ЛД
примерно в 1.5-2 раза замедляет вычисления по сравнению с использованием в
расчетах сил ЛД-сплайн и ЛД-α. При этом с использованием силы ЛД
критическое смещение обкладок составило более 10% от радиуса образца, что
не соответствует хрупкому материалу. Результаты численных экспериментов с
использованием силы ЛД-сплайн также дают критическое смещение обкладок
более 10% от R (рис. 2.2.1). Таким образом, получаем, что модельный материал
в котором частицы взаимодействуют посредством силы ЛД или ЛД-сплайн,
проявляет свойства пластичности. В дальнейшем моделирование бразильского
теста с использованием сил ЛД и ЛД-сплайн производиться не будет.
18
Рис. 2.2.1. Результат расчета с использованием силы ЛД-сплайн и решетки
2D-ГЦК. Смещение обкладок составляет 13% от R.
Расчеты с использованием силы ЛД-α для решетки 2D-ГЦК позволили
получить более реалистичные результаты: в таблице 2.2.1 приведены
критические смещения обкладок в процентах от радиуса образца при
различных коэффициентах α. В дальнейшем расчеты будут проводиться только
с использованием силы ЛД-α.
Таблица 2.2.1. Соответствие коэффициента α и полученного критического
смещения обкладок.
α
Критическое смещение обкладок в
процентах от радиуса образца R
0.25
> 10%
0.50
> 10%
0.75
(9.2±0.4)%
1.00
(8.2±0.4)%
1.25
(7.4±0.4)%
1.50
(6.9±0.4)%
1.75
(6.7 ±0.4)%
2.00
(6.1±0.4)%
19
Из таблицы 2.2.1 видно, что чем больше коэффициент α, тем меньше надо
сжать образец, дабы он треснул.
В качестве примера растрескивания образца приведем на рис. 2.2.2
результат моделирования при α=1.25:
Рис. 2.2.2. Пример трещины, возникающей в образце при его сжатии.
Проверим предположение о том, что рассмотрение трехмерного случая
(т.е. кристаллической решетки 3D-ГЦК) не дает более качественной картины
процесса
возникновения
трещины,
т.е.
не
уменьшает
относительное
критическое смещение обкладок. Для этого поставим численный эксперимент с
параметрами, занесенными в таблицу 2.2.2:
Таблица 2.2.2. Параметры трехмерного численного эксперимента.
Параметр
Значение
α
1.80
Количество частиц вдоль
радиального направления
50
Количество слоев вдоль
направления высоты цилиндра
140
Смещение обкладок по
окончании времени счета
Суммарное количество частиц
10% от R
Время счета
80 𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜
20
2.2 млн.
Зарождение трещины в образце возникло при смещении обкладок
(6.3±0.4)% от R. Это значение хорошо согласуется со значениями из таблицы
2.2.1. Окончательная картина моделирования представлена на рисунке 2.2.3:
Рис. 2.2.3. Результат численного эксперимента с параметрами из табл. 2.2.2
(отображена косая проекция разрушенного цилиндра). Штриховую линию,
символизирующую вторую обкладку, загораживает образец. Непрерывными
черными кривыми обведены края трещины.
Таким образом показано, что учет в модели бразильского теста третьего
измерения не сказывается на значении критического перемещения обкладок по
сравнению с двухмерной моделью бразильского теста. В дальнейшем не будем
рассматривать 3D-ГЦК решетку.
Теперь
рассмотрим
результаты,
получаемые
при
моделировании
кристаллических решеток 2D-ГПУ и 2D-ГПУ-р. Получаемые результаты
рассчитаны для случая, когда радиус образца равен 100 частицам, время счета
равно 50𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 , смещение обкладок по окончании времени счета составляет 8%
от R.
Зависимость критического смещения обкладок от пористости материала
при φ равном 45° представлена на рис. 2.2.4. Усреднение результатов велось по
21
двум численным опытам с различным начальным распределением хаотической
Критическое смещение обкладок, % от R
скорости частиц и различным распределением вакансий в решетке.
7
6
5
4
3
2
Среднее значение
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Значение пористости материала, %
Рис. 2.2.4. Зависимость критического смещения обкладок от пористости
материала. Черными отрезками обозначены коридоры разброса исследуемой
величины.
Из рис. 2.2.4 видно, что сначала увеличение пористости приводит к быстрому
уменьшению критического смещения обкладок, а затем практически перестает
влиять на исследуемую величину. Результаты моделирования при пористости
материала в 5% и в 10% представлен на рис. 2.2.5:
Рис. 2.2.5. Картины разрушения модельного материала с пористостью 5%
(слева) и 10% (справа). Смещение обкладок составляет 8% от R.
22
Зависимость
критического
смещения
обкладок
от
угла
поворота
кристаллической решетки при пористости материала в 1% представлена в
таблице 2.2.3. Усреднение результатов велось по двум численным опытам с
различным начальным распределением хаотической скорости частиц и
различным распределением вакансий в решетке.
Таблица 2.2.3. Зависимость критического смещения обкладок от угла
поворота кристаллической решетки φ.
φ, °
Критическое смещение
обкладок, % от R
0
(4.0±0.2)%
10
(4.0±0.4)%
20
(4.3±0.2)%
30
(3.8±0.2)%
40
(4.2±0.1)%
50
(4.2±0.1)%
Как видно из таблицы 2.2.3, решетка 2D-ГПУ-р обладает слабо выраженной
анизотропией свойства хрупкости. Критическое смещение обкладок в среднем
составляет 4.1% от R.
Итого в результате моделирования было выявлено, что:
- хрупкости модельного материала можно добиться использованием в качестве
силы межчастичного взаимодействия силы ЛД-α; использование сил ЛД или
ЛД-сплайн приводит к получению пластичного модельного материала;
- увеличение коэффициента α, входящего в определение силы взаимодействия
ЛД-α, повышает хрупкость модельного материала;
- результаты, получаемые с помощью трехмерной модели бразильского теста
(т.е.
с
использованием
3D-ГЦК
кристаллической
решетки),
хорошо
накладываются на результаты, получаемые с помощью двухмерной модели
бразильского теста (с использованием 2D-ГЦК кристаллической решетки), что
23
говорит о достаточности двух измерений, для построения качественной модели
бразильского теста;
- изменение пористости модельного материала от 0% до 2% приводит к
сильному изменению хрупкости материала (в 2 раза уменьшается критическое
смещение обкладок), при дальнейшем повышении пористости материала его
хрупкость практически не меняется, но при этом меняется картина разрушения
(становится более правдоподобной);
- ориентация решетки 2D-ГПУ-р слабо влияет на хрупкость модельного
материала при проведении с ним бразильского теста.
2.3. Обоснование метода моделирования
Обоснуем правильность разработанной
модели бразильского
теста
посредством сравнения результатов МДЧ расчетов и результатов расчетов с
использованием средств классической механики сплошной среды.
2.3.1.
Построение
континуальной
численной
модели
бразильского теста
Смоделируем бразильский тест с помощью средств МДТТ, а затем
проведем аналогии между полученными результатами и результатами,
полученными с помощью МДЧ модели.
Континуальная постановка задачи:
- для решения использован МКЭ;
- решалась плоско-деформированная статическая постановка задачи;
- взят изотропный линейно-упругий материал;
24
- предел прочности на сжатие многократно (более 10 раз) превышает
предел прочности на растяжение;
- материал цилиндрического образца – песчаник;
- материал нагружающих обкладок – сталь;
- контактная задача;
Моделирование бразильского теста производилось с помощью КЭ-пакета
ANSYS. Параметры моделирования:
- модуль Юнга стали 2е11 Па, коэффициент Пуассона стали 0.3;
- модуль Юнга песчаника 2е7 Па, коэффициент Пуассона песчаника 0.25
(предел прочности на растяжение 2e7 Па, предел прочности на сжатие 1e8 Па,
максимальная деформация на растяжение 0.001, максимальная деформация на
сжатие 0.0035 [7]);
- коэффициент трения между песчаником и сталью полагался 0.4
(коэффициента трения между бетоном и сталью равен 0.47 [8], искомый
коэффициент трения должен быть того же порядка);
- нагружение образца происходит посредством стальной пластины,
верхнему краю которой задано перемещения противонаправлено вертикальной
оси;
- включена
автоматическая
подстройка
контакта
Close
gap/Reduce
penetration (другие настройки контактной задачи не изменялись);
- учет симметрии позволил видоизменить постановку задачи следующим
~0.01образом
мм (рис. 2.3.1.1):
мм 1
Рис. 2.3.1.1. Уменьшение области моделирования в 4 раза и постановка
соответствующих граничных условий.
25
КЭ модель после проверки на сходимость с использованием задачи Герца
выглядит следующим образом (рис. 2.3.1.2):
y
4
3
2
1
4
3
2
1
x
(0; 0)
Рис. 2.3.1.2. КЭ модель бразильского теста.
В областях «1» размер элементов ~R/64, в областях «2» размер элементов
~R/125, в областях «3» размер элементов ~R/250, в области «4» размер
элементов ~R/500. Область «4» разбита на регулярную сетку.
Таким образом, мы завершили построение континуальной численной
модели бразильского теста, создав КЭ модель в пакете ANSYS и определив
параметры моделирования.
2.3.2. Моделирование.
Далее рассмотрены два случая, посредством которых будет проведено
сравнение результатов расчетов МДЧ и МКЭ моделей бразильского теста.
Рассмотрим первый случай, когда радиуса образца равен 5 см, а
перемещение верхнего края обкладки равно минус 0.01 мм (т.е. итоговое
26
смещение обкладки составляет 0.02% от R). С использованием моделирования
МДЧ при таком малом смещении обкладок разрушения образца не
наблюдалось. Критериев разрушения хрупких материалов много и они
довольно сложны [9-10]. В данной работе будет рассмотрен деформационный
критерий разрушения материала: при достижении максимальным главным
значением тензора деформации критического уровня начинается разрушение
образца, дальнейший процесс разрушения не моделируется. Распределение
максимального главного значения тензора деформации в образце
по
результатам расчета в пакете ANSYS представлено на рис. 2.3.2.1.a:
, см
Рис. 2.3.2.1. а) (сверху) распределение максимального главного значения
тензора деформации; б) (снизу) значения максимального главного значения
тензора деформаций вдоль оси x=0.
27
Из рис. 2.3.2.1.б видно, что деформация на растяжение в некоторой
области превышает критическое значение для песчаника. Т.е. разрушение
образца начинается при смещении обкладки меньшем, чем 0.01мм. Значение
смещения обкладки при котором начинается разрушение образца (т.е. когда
максимальное главное значение тензора деформации равно критической
деформации на растяжение) не рассчитывалось, но исходя из проделанных
численных
опытов
видно,
что
начинается
разрушение
вне
зоны
соприкосновения образца и обкладки. Направление роста трещины в данной
модели исследоваться не может.
Рассмотрим еще один случай, когда радиус образца равен 5 см, а смещение
обкладки равно 2.5 мм (т.е. итоговое смещение обкладки составляет 5% от R).
При таком соотношении параметров уже удавалось наблюдать разрушение
модельного материала в МДЧ моделировании бразильского теста. Сравним
точку зарождения трещины в МДЧ моделировании (с использованием 2D-ГЦК
решетки и силы ЛД-α при α равному двум) и точку, которой соответствует
наибольшая величина максимального главного значения тензора деформации.
Результаты сравнения приведены на рис. 2.3.2.2.
Рис. 2.3.2.2. Сравнение точки зарождения трещины в методе динамики
частиц и наибольшей величины максимального главного значения тензора
деформации в МКЭ (обозначено белым кругом).
28
Из рис. 2.3.2.2 видно хорошее соответствие расположения зоны начала
разрушения модельного материала в МДЧ моделировании наибольшей
величине максимального главного значения тензора деформации в МКЭ
моделировании.
2.3.3. Выводы.
Сравнение результатов, получаемых с помощью МДЧ и МКЭ, показало
соответствие расположение зоны начала разрушения модельного материала в
МДЧ наибольшей величине максимального главного значения тензора
деформации в МКЭ. Сравнение подходов к численному расчету одной и той же
задачи демонстрирует преимущество МКЭ, заключающееся в возможности
моделировать сколь угодно хрупкие материалы, вводя соответствующие
специальные критерии разрушения. Преимущество МДЧ в том, что никаких
специальных критериев разрушения не требуется, достаточно лишь подобрать
кристаллическую решетку и потенциал взаимодействия таким образом, чтобы в
компьютерных тестах модельный материал вел себя так же, как ведет себя
реальный материал в натурных тестах. К преимуществам МДЧ также следует
отнести «автоматическое» получение контактной задачи. К недостаткам МДЧ
следует отнести сложность согласования параметров модельного материала с
реальным. Не стоит относить к недостаткам рассматриваемой численной МДЧ
модели бразильского теста завышенные значения критического смещения
обкладок по сравнению с натурными экспериментами [5]. Эти завышенные
значения связаны с фиксированным для потенциала Леннарда-Джонса
расстоянием разрыва связи. Использование при расчетах потенциала Морзе
позволит добиться уменьшения критического смещения обкладок, но сильно (в
несколько раз) увеличит расчетное время задачи.
29
2.4. Результаты и выводы.
Создана численная модель бразильского теста с использованием МДЧ. Для
моделирования
бразильского
теста
наиболее
пригодна
сила
ЛД-α
и
кристаллические решетки 2D-ГЦК, 2D-ГПУ и 2D-ГПУ-р. Наибольшей
хрупкости модельного материала можно добиться, если положить коэффициент
α силы ЛД-α равному двум. Модельный материал, составленный с
использованием кристаллической решетки 2D-ГЦК, является менее хрупким,
чем модельные материалы, составленные с использованием кристаллических
решеток 2D-ГПУ и 2D-ГПУ-р. Представлен график, отражающий зависимость
хрупкости модельного материала от его пористости. Показано, что изменение
направление нагружения материала с 2D-ГПУ-р решеткой слабо влияет на его
хрупкость.
Произведенное сравнение МДЧ и МКЭ подходов к моделированию
бразильского теста, показало сходство точки зарождения трещины в методе
молекулярной динамики и наибольшей величины максимального главного
значения тензора деформации в МКЭ при одинаковом смещении нагружающих
обкладок.
В следующем разделе для МДЧ моделирования вибрационного сверления
будет применяться сила ЛД-α с коэффициентом α равному двум и
кристаллическая решетка 2D-ГПУ.
30
3.
Вибрационное
сверление
хрупких
материалов
При вибрационном сверлении к буру или сверлу помимо статической силы
(как в случае обычного ротационного сверления) прикладывается динамическая
сила. Под вибрационным сверлением как правило рассматривается сверление
горных пород (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Пояснение идеи вибрационного сверления.
При этом в 50-60 годах под вибрационным сверлением подразумевали
периодическое ударное воздействие буром на образец без вращения бура
(ударное сверление). Опыты показали, что такое воздействие приводило к
непредсказуемому
трещинообразованию,
изменению
буром
направления
сверления и другим неблагоприятным эффектам. Данные факты ослабили
интерес к вибрационному сверлению вплоть до начала 90х годов. Новые опыты
[11, 12] (90х годов), в которых под вибрационным сверлением подразумевается
суперпозиция ударного и ротационного сверления, выявили следующие
преимущества вибрационного сверления над обыкновенным ротационным
сверлением: более высокая скорость продвижения
бура, уменьшенная
статическая нагрузка на бур, возможность сверлить различные горные породы,
не меняя при этом наконечник бура. Из всего этого следует заключить, что
вибрационное сверление горных пород – активно-разрабатываемая область
31
исследований для развития которых необходимо проведение экспериментов,
построение аналитических и численных моделей процесса вибрационного
сверления. Натурные эксперименты в данной области исследований сложны и
дорогостоящи. Данный факт объясняется неудобством и дороговизной
доставки множества крупных образцов горных пород к месту проведения
опытов, высокими ценами коммерческих сверл (десятки тысяч долларов) и др..
В этой связи численная модель вибрационного сверления может быть
использована как при разработке более качественных аналитических моделей
вибрационного сверления, так и в качестве численного тестового стенда, к
примеру, на службе компаний нефтегазодобывающей отрасли.
Ранее
в
[13]
вибрационного
была
сверления,
предложена
аналитическая
позволившая
получить
модель
ряд
процесса
значительных
результатов ([14-15]), которые обсуждаются далее. Однако данная модель не
позволила получить некоторые важные эффекты, которые проявляются в
реальности ([11],[12]) и существенно влияют на характеристики сверления:
учет вращения бура, возможность залипание бура, отсутствие сверления при
малых нагрузках на бур и пр. С целью скомпенсировать недостатки
теоретической модели, в [4] с помощью МДЧ была разработана численная
модель вибрационного сверления. Данная модель двухмерна, т.к. без
применения
многопроцессорных
вычислений
моделировать
трехмерную
модель очень ресурсоемко (по прикидкам в каждом численном эксперименте
необходимо было бы рассчитывать порядка нескольких миллионов частиц).
Подробнее геометрия данной модели будет рассмотрена в подразделе 3.1.
Необходимо отметить, что ранее не проводилось сравнение аналитической и
численной моделей. Соответственно основной целью данного раздела работы
является проведение компьютерного моделирования процесса вибрационного
сверления таким образом, чтобы учесть эффекты, которые не были учтены в
теоретической
модели из [13], а также усовершенствовать технику
моделирования, которая использовалась в [4], чтобы сделать ее более удобной
для сравнения с результатами [13].
32
3.1. Построение численной модели вибрационного
сверления.
В уже упоминавшейся работе [4] Кривцовым А.М. была предложена
следующая двухмерная модель вибрационного сверления (рис. 3.1.1):
Бур
Образец
Рис. 3.1.1. Геометрия двухмерной модели вибрационного сверления.
Использована решетка 2D-ГПУ (идеальная двумерная «треугольная» решетка).
1) Граничные условия вдоль левого и правого краев образца и бура
периодические, т.е. частицы, расположенные на левой границе бура и образца,
взаимодействуют с частицами, расположенными на правой границе бура и
образца (подробнее это будет пояснено в дальнейшем).
2) Нижний край образца закреплен, т.е. частицы нижнего края образца в ходе
моделирования неподвижны.
3) Наконечник
бура
представляет
собой
равнобедренный
треугольник.
4) Геометрия модели задается следующими параметрами: отношение высоты
образца к ширине образца, отношение ширины основания наконечника бура к
ширине бура (равной ширине образца), отношение высоты бура к ширине бура,
отношение высоты наконечника бура к высоте бура.
5) Нагружение бура производится кинематически, т.е. скорость всех частиц
33
бура периодически обнуляется, а затем буру вновь придается импульс вдоль
некоторого направления.
В данной работе модель процесса вибрационного сверления из [4] была
доработана с точки зрения корректности прикладываемой к буру нагрузки:
вместо
кинематического
нагружения
бура
используется
динамическое
нагружение. Остальные элементы модели (вышеперечисленны с 1го пункта по
4ый) не претерпели изменений.
При динамическом нагружении бура к нему прикладываются две силы:
поперечная сила 𝐹𝑥 и продольная сила 𝐹𝑦 (рис. 3.1.2). Продольная сила является
суммой динамической и статической:
𝐹𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝐵,
(3.1.1)
где 𝐴 − амплитуда динамической силы, 𝜔 − частота вибрационного сверления,
𝐵 − амплитуда статической силы. Таким образом, вид продольного воздействия
на бур полностью соответствует используемому в аналитической модели [13].
Поперечная сила 𝐹𝑥 моделирует крутящий момент в данной двухмерной
модели. Без введения поперечной силы (крутящего момента) не происходит
удаление обломков сверления. Суммарная сила, действующая на бур, в каждом
численно эксперименте задается через макроскопическую единицу измерения
силы (будет введена далее) и равномерно распределяется по всем частицам
бура. Частота вибрационного сверления 𝜔 не менялась в ходе моделирования.
Рис. 3.1.2. Пояснение к определению нагружения бура.
Стоит заметить, что с одной стороны геометрию модели можно
интерпретировать как сечение плоскостью бура (рис. 3.1.3). С другой стороны
данную геометрию можно интерпретировать условно, т.е. просто как
модельную геометрию для процесса сверления.
34
Рис. 3.1.3. Интерпретация геометрии модели, как сечения плоскостью бура.
С
использованием
вышеуказанных
граничных
условий
можно
воспринимать модель как множество стоящих рядом одинаковых буров и
образцов. Также можно мысленно закольцевать картину, тогда данная модель
сверления может быть интерпретирована как представлено на рис. 3.1.4;
становится сразу понятным каким образом поперечная сила, прикладываемая к
буру, моделирует крутящий момент:
Рис. 3.1.4. Возможная интерпретация граничных условий модели
Неотъемлемым этапом построения модели вибрационного сверления
является создание модельных материалов: материала бура и материала образца.
Материал образца в натурных экспериментах представляет собой горную
породу (песчаник, гранит, базальт и др.). Как известно, горные породы по
35
своим характеристикам являются хрупкими материалами. Поэтому в качестве
модельного материала образца можно взять какой-либо из ранее полученных
хрупких модельных материалов. Наиболее простым в исследовании является
материал с кристаллической решеткой 2D-ГПУ и силой межчастичного
взаимодействия ЛД-α (угол поворота кристаллической решетки равен нулю).
Метод динамики частиц плохо предназначен для исследования крайне
продолжительных процессов, поэтому такие растянутые во времени процессы
как, к примеру, разрушение бура посредством износа, рассматриваться не
будут. Таким образом, создание модельного материала бура не составляет
труда: достаточно положить прочность модельного материала бура много
больше прочности модельного материала образца. При разработке программы
данный момент учитывался как в 10 раз большая сила взаимодействия между
частицами бура, чем между частицами образца. С теоретической точки зрения
это соответствует в 10 раз большему модулю Юнга материала бура, чем
материала образца.
В дальнейшем при построении модели и обработке результатов будут
использоваться следующие макроскопические единицы измерения:
1) в качестве макроскопической единицы измерения времени возьмем время
𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 за которое звуковая волна проходит расстояние, равное ширине
𝑤
рассматриваемого образца: 𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 = , где 𝑤 − ширина образца, 𝑣𝑙 − скорость
𝑣𝑙
распространения продольных волн в образце перпендикулярно направлению
нагружения (для 2D-ГПУ решетки и силе межчастичного взаимодействия на
основе силы Леннарда-Джонса 𝑣𝑙 = 9√𝐷/𝑚 и не зависит от ориентации
решетки);
2) в качестве макроскопической единицы измерения силы возьмем силу 𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜
которую необходимо приложить к верхней грани образца, чтобы разорвать его
в тесте на растяжение. Эта сила легко может быть вычислена из знания
количества частиц, расположенных вдоль ширины образца, которое примерно
равно 𝑤𝑎, и из следующей геометрической задачи (рис. 3.1.5):
36
𝒇иск
𝑎
𝑓иск = 2 𝑓∗ cos (arcsin ( )) ≈ 0.4𝑓0
𝑏
𝑏
𝒇∗
𝒇∗
(3.1.2)
Ø𝑎
Рис. 3.1.5. Расчет силы, которую необходимо приложить к частице, чтобы
отделить ее от двух неподвижных частиц.
Итого получаем, что 𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 ≈
0.4 𝑤 𝑓0
𝑎
.
Если в ходе моделирования рядом с некоторой частицей на расстоянии
1.1𝑎 вокруг не оказывалось других частиц, то данная частица удалялась из
рассмотрения (далее для краткости будем говорить «удалялась»). Описанный
процесс аналогичен процессу вымывания мелкой раздробленной в процессе
сверления породы жидкостью, для чего в реальных бурах существуют каналы,
по которым жидкость закачивается в область сверления (рис. 3.1.6). В данной
двухмерной модели удаление частиц можно интерпретировать как процесс
вымывания
частиц
жидкостью,
которая
течет
вдоль
направления
перпендикулярного плоскости модели.
Рис. 3.1.6. Вид с торца на реальный бур (круглые – каналы подачи жидкости)
Количество
ударов
бура
об
образец,
исходя
из
ограниченности
компьютерных мощностей, выбиралось небольшим: результаты в данной
работе получены как усреднения по 10ти ударам бура об образец.
Моделирование показало, что переходный процесс от начала сверления, к
устоявшемуся процессу сверления минимален (менее двух ударов бура об
образец). Таким образом, время моделирования равняется 20𝜋/𝜔.
37
Скорость
вибрационного
сверления
𝑀𝑅𝑅
для
набора
опытов,
различающихся лишь начальным распределением хаотической скорости
частиц, будем определять следующим образом:
𝑛𝑑𝑒𝑙𝑒𝑡𝑒𝑑 𝑖
𝑀𝑅𝑅𝑖 =
100%
10 𝑛0
∑𝑠𝑒𝑒𝑑
𝑖=1 𝑀𝑅𝑅𝑖
𝑀𝑅𝑅 =
,
𝑠𝑒𝑒𝑑
𝑖 = 1, 𝑠𝑒𝑒𝑑;
(3.1.3)
где 𝑀𝑅𝑅𝑖 − средний (за 1 из 10 ударов бура) процент удаленных частиц от
изначального количества частиц образца в i-ом опыте; 𝑛𝑑𝑒𝑙𝑒𝑡𝑒𝑑 𝑖 − количество
удаленных частиц по результатам моделирования (т.е. за 10 ударов бура) в i-ом
опыте; 𝑛0 – неизменное от опыта к опыту начальное количество частиц
образца; 𝑠𝑒𝑒𝑑 − количество вариантов различного начального распределения
хаотической скорости частиц.
Количество частиц в расчетах варьировалось от 3000 до 30000 в
зависимости от желаемой точности получаемых результатов. Необходимые
проверки сходимости по количеству частиц были проведены.
Таким образом, в данном подразделе описана исследуемая далее численная
модель процесса вибрационного сверления. Рассмотрены геометрия модели,
граничные условия модели. Определен процесс нагружения бура. Заданы
модельные
материалы
бура
и
образца.
Рассчитаны
модельные
макроскопические единицы измерения времени и силы. Определено понятие
скорости вибрационного сверления. Приведено расчетное количество частиц и
время моделирования.
3.2. Моделирование.
Процесс моделирования был разбит на следующие этапы:
1) При заданном отношении статической и динамической продольной
силы (взятом из аналитической модели [13]) определить оптимальное значения
поперечной силы 𝐹𝑥 . Эта задача первостепенна, т.к. изначально поперечная
38
сила не задана и аналитические модели не могут предсказать ее оптимальное
значение.
2) Для найденного оптимального значения поперечной силы, получение
зависимости скорости вибрационного сверления от соотношения амплитуд
статической и динамической продольных сил, приложенных к буру.
Зададим общую для данных этапов геометрию модели и частоту
вибрационного сверления (табл. 3.2.1):
Таблица 3.2.1. Параметры, задающие геометрию модели.
высота образца к ширине образца
8
ширина основания наконечника бура к ширине бура
0.33
высота бура к ширине бура
0.57
высота наконечника бура к высоте бура
0.65
Таким образом, получаем следующую геометрию модели (рис. 3.2.1):
Рис. 3.2.1. Используемая при расчетах геометрия модели.
39
При малой частоте вибрационного сверления бур будет сильно
разгоняться и сломается при ударе об образец, что недопустимо. Также частота
вибрационного сверления не должна быть маленькой, т.к. чем меньше частота,
тем дольше будет рассчитываться задача (надо не забывать, что количество
численных опытов для получения осредненных результатов довольно велико: к
примеру, для получения рис. 3.2.2.1 производилось 320 опытов и в каждом 10
ударов бура в образец). Однако при большой частоте вибрационного сверления
бур будет не успевать разогнаться и эффективной окажется только статическая
нагрузка. Привяжем период вибрационного сверления к времени прохождения
звуковой волной образца вдоль (т.е вдоль его высоты). С учетом геометрии
модели положим 𝜔 =
2𝜋
8𝑇𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜
. Пересчитывая данную частоту в реальную
величину с помощью формул из [1] мы получим завышенное значение по
сравнению с натурными экспериментами. Это объясняется ограничениями на
время расчета задачи. В дальнейших моделированиях не будем менять частоту
вибрационного сверления. Исследование поведения процесса вибрационного
сверления
в
зависимости
от
частоты
𝜔
нетривиально
и
не
будет
рассматриваться в данной работе.
В каждом численном опыте бралось 5 повторений эксперимента с
различным начальным распределением хаотической скорости частиц (seed = 5).
3.2.1. Поиск оптимального значения прикладываемой к буру
поперечной силы.
Проведем набор численных экспериментов, где статическая сила В будет
меняться от 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 до 0.2𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 с шагом 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 . Значение амплитуды
динамической силы А будет пересчитываться исходя из соотношения B/A =
0.387 соответствующего наибольшей скорости сверления для аналитической
модели [13]. Величина поперечной силы 𝐹𝑥 будет меняться от 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 до
0.2𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 с шагом 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 . Результат осреднения скорости сверления по
различным статическим силам представлен на рис. 3.2.1.1:
40
MRR(Fx), %
1.000
0.900
0.800
0.700
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
разрушен
ие бура
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Поперечная сила Fx, Fmacro
Рис. 3.2.1.1. Осреднение скорости сверления по опытам с различными
статическими (и динамическими) силами в зависимости от значений
поперечной силы.
Осреднение по различным статическим силам рассматривается для выявления
единого оптимального значения поперечной силы, а не многих оптимальных
значений поперечной силы для соответствующих статических сил. При малых
значениях поперечной силы (до 0.04𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 ) происходит залипание бура в
образце. При силах больших 0.16𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 происходит разрушение бура (при
подсчете больших амплитуд А и В). В качестве оптимального значения
поперечной силы возьмем 0.14𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 (обведено в овал на рис. 3.2.1.1), как
значение поперечной силы (с некоторым запасом) не приводящее к
разрушению бура.
При выбранной поперечной силе проведем несколько экспериментов по
определению оптимального соотношения B/A для данной численной модели
вибрационного сверления. Значение А бралось 0.1𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 и 0.2𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 , значение
В менялось от 0 до A c шагом 0.1А. Зависимость нормированной скорости
сверления от соотношения В/А представлено на рис. 3.2.1.2. Нормировка
скорости сверления осуществлялась по максимальной скорости сверления при
𝐴 = 0.1𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 .
41
MRR(B/A)/MRRmax(A=0.1Fmacro)
3.000
2.500
2.000
A = 0.1 Fmacro
1.500
A = 0.2 Fmacro
1.000
0.500
0.000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 3.2.1.2. Зависимость скорости сверления от соотношения амплитуд
статической и динамической сил.
Из рис. 3.2.1.2 видно, что предположенное нами на основании аналитической
модели соотношение В/А равное 0.387, соответствующее наибольшей
скорости сверления, требует уточнения. Исходя из данных на рис. 3.2.1.2 в
качестве оптимального соотношения В/А возьмем 0.6 и еще раз проведем набор
тестов по определению поперечной силы: границы изменения статической
силы те же (от 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 до 0.2𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 с шагом 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 ), амплитуда
динамической силы пересчитывается исходя из соотношения B/A = 0.6,
величина силы 𝐹𝑥 меняется от 0.1𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 до 0.18𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 с шагом 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 .
Зависимость скорости сверления от поперечной силы представлена на рис.
3.2.1.3.
MRR(Fx), %
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Поперечная сила Fx, Fmacro
Рис. 3.2.1.3. Осреднение скорости сверления по опытам с различными
42
статическими (и динамическими) силами в зависимости от значений
поперечной силы. Повторный набор экспериментов для интересующей области
значений поперечной силы.
Результаты моделирования хорошо согласуются с таковыми из рис. 3.2.1.1, т.е.
разрушение бура начинается при значениях поперечной силы больших
0.16𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 . Таким образом, мы подтвердили выбор оптимальной поперечной
силы равной 0.14𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 . После определения и фиксирования значения
поперечной силы можно приступить к более детальному исследованию
зависимости скорости сверления от соотношения амплитуд статической и
динамической сил.
3.2.2.
Получение
соотношения
зависимости
амплитуд
скорости
статической
и
сверления
от
динамической
продольных сил.
При выбранном в п. 3.2.1 значении поперечной силы проведем серию
экспериментов по определению оптимального (в смысле скорости сверления)
соотношения B/A для данной численной модели. Значение амплитуды
динамической силы А бралось от 0.1𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 до 0.24𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 с шагом 0.02𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜
(при бо́льших значениях А, чем 0.24𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 наступает разрушение бура).
Значение статической силы В менялось от 0.2А до A c шагом 0.1А. Зависимость
нормированной скорости сверления от соотношения В/А представлена на рис.
3.2.2.1. Нормировка скорости сверления осуществлялась по максимальной
скорости сверления при 𝐴 = 0.1𝐹𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 .
43
MRR(B/A)/MRRmax(A=0.1Fmacro)
7.000
A = 0.1 Fmacro
6.000
A = 0.12 Fmacro
5.000
A = 0.14 Fmacro
4.000
A = 0.16 Fmacro
3.000
A = 0.18 Fmacro
2.000
A = 0.2 Fmacro
A = 0.22 Fmacro
1.000
A = 0.24 Fmacro
0.000
0.2
0.4
0.6
B/A
0.8
1
MRRmax
Рис. 3.2.2.1. Зависимость скорости сверления от соотношения амплитуд
статической и динамической сил.
Для
удобства
восприятия
рис.
3.2.2.1
построим
аппроксимации
экспериментальных данных полиномом четвертой степени с помощью метода
наименьших квадратов, а также для большего удобства сравнения результатов
расчетов с результатами аналитической модели рассмотрим соотношения В/А
на промежутке от 0 до 1. Обработанный рис. 3.2.2.1 представляет собой рис.
3.2.2.2:
MRR(B/A)/MRRmax(A=0.1Fmacro)
7.000
6.000
A = 0.1 Fmacro
5.000
A = 0.12 Fmacro
4.000
A = 0.14 Fmacro
3.000
A = 0.16 Fmacro
A = 0.18 Fmacro
2.000
A = 0.2 Fmacro
A = 0.22 Fmacro
1.000
A = 0.24 Fmacro
0.000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B/A
Рис. 3.2.2.2. Аппроксимации зависимостей скорости сверления от
соотношения амплитуд статической и динамической сил.
44
3.3.
Сравнение
предсказаниями
полученных
аналитических
результатов
моделей
и
с
с
экспериментальными данными.
Зависимость
нормированной
скорости
сверления
от
соотношения
амплитуд статической и динамической сил, полученная в [13] представлена на
рис. 3.3.1:
MRR(B/A)/MRRA,B→0
Рис. 3.3.1. Зависимость скорости сверления от соотношения амплитуд
статической и динамической сил для модели [13]. Разные кривые
соответствуют разным значениям амплитуды динамической силы.
Наиболее жирная кривая (нижняя) на рис. 3.3.1 соответствует бесконечномалым значениям амплитуд B и А по сравнению с продольной силой, которую
надо приложить к образцу, чтобы
разрушить его в тесте на сжатие. Вид
зависимостей на рис. 3.2.2.2 и 3.3.1 схож, но при абсолютном возрастании
амплитуд прикладываемых к буру сил максимумы зависимостей MRR(B/A) в
аналитической модели сдвигаются вправо вверх, а в разработанной численном
модели – влево вверх. Разработанная численная модель учитывает большее
количество эффектов, чем аналитическая модель: учет возможного залипания
бура, учет вращения бура на скорость сверления, отсутствие процесса
45
сверления при малых нагрузках на бур. Все это дает право говорить о том, что
мы и не должны ожидать совпадения получаемых зависимостей скоростей
сверления для численной и аналитической моделей. К тому же стоит заметить,
что максимумы зависимостей MRR(B/A) для аналитической и численной
моделей при больших значениях амплитуд А и В находятся примерно в одной
зоне (в районе В/А=0.55).
Есть и более сложные аналитические модели вибрационного сверления [16],
учитывающие большее количество реально возникающих эффектов, чем
модель [13]. Сравнение результатов с этими моделями в данной работе не
производилось, т.к. это потребовало бы больших объемов компьютерных
вычислений.
На рис. 3.3.2 представлена экспериментальная зависимость [11] скорости
сверления от приложенной к буру статической силы для различных амплитуд
вибрационной составляющей перемещения бура:
MRR
Рис. 3.3.2. Экспериментальная зависимость скорости сверления от
приложенной к буру статической силы.
Сравнение полученных численных результатов с представленными
экспериментальными данными затруднено, т.к. процесс пересчета амплитуды
вибрации в силу, приложенную к буру, неоднозначен. Однако видно, что при
увеличении статической силы, прикладываемой к буру, скорость сверления
сначала увеличивается, а затем уменьшается, что согласуется с результатами
численной модели.
46
3.4. Результаты и выводы
Разработана настраиваемая численная модель процесса вибрационного
сверления, учитывающая эффекты, отсутствующие в модели [4]. На основе
разработанной
модели
было
изучено
влияние
соотношения
амплитуд
статической и динамической силы, прикладываемой к буру, на скорость
сверления. Оптимальным с точки зрения скорости сверления является
соотношение между амплитудами статической силы и динамической силы
равное
0.6±0.1.
Полученные
результаты
качественно
сходятся
с
экспериментальными данными и предсказаниями аналитических моделей.
Для совершенствования численной модели вибрационного сверления в
первую очередь необходимо:
- добиться повышения производительности программы (чего можно достичь,
используя суперкомпьютерные вычисления);
- получить уточненные экспериментальные данные о процессе вибрационного
сверления.
47
4. Заключение
4.1. Результаты
В первой части данной работы была разработана численная модель
бразильского теста с использованием МДЧ. Бразильский тест произведен над
модельными материалами с различной кристаллической решеткой и силой
межчастичного
взаимодействия.
Проведено
исследование
хрупкости
модельного материала в зависимости от геометрии его кристаллической
решетки и силы межчастичного взаимодействия, а также определены
параметры
модельного
материала,
соответствующие
максимальной
его
хрупкости. Произведено сравнение МДЧ и МКЭ критериев разрушения
модельного материала в ходе бразильского теста.
Во второй части работы представлена усовершенствованная относительно
[4] МДЧ модель процесса вибрационного сверления. Определено оптимальное
значение привнесенной в модель поперечной силы, прикладываемой к буру.
Получена зависимость скорости вибрационного сверления от соотношения
амплитуд статической и динамической продольных сил, приложенных к буру,
при различных абсолютных значениях амплитуды динамической продольной
силы. Проведено сравнение результатов, получаемых с помощью численной
модели сверления, с экспериментальными данными [5] и с результатами,
получаемыми с помощью аналитических моделей сверления [13].
4.2. Направления дальнейших исследований
Для реализации более реалистичных моделей бразильского теста и
48
вибрационного сверления необходимо усовершенствовать разработанные
расчетные программы с учетом возможности использования при расчетах
многопроцессорных
усовершенствования
возможность
сверления;
мощностей.
для
разработать
сравнить
модели
После
проведения
вибрационного
трехмерную
результаты,
модель
сверления
процесса
получаемые
данного
появится
вибрационного
численной
моделью
вибрационного сверления, с результатами, получаемыми с помощью сложных
аналитических моделей.
Планируется изучить хрупкость модельных материалов в которых
используются другие кристаллические решетки (из частиц разного размера,
политкристаллические [1]) и межчастичные потенциалы взаимодействия
(Морзе, модифицированный потенциал [1]). И по результатам изучения
добиться
от
новых
модельных
материалов
уменьшения
критической
деформации на растяжение, что будет лучше согласовываться с натурными
экспериментами [5].
В близлежащих целях планируется рассмотреть в модели вибрационного
сверления:
- материал с кристаллической решеткой 2D-ГПУ-р;
- двигатель с ограниченным вращающим моментом (прикладываемая к буру
поперечная сила зависит от скорости бура);
- несимметричную геометрию бура (для большего согласования с геометрией
реальных буров).
После получения уточненных экспериментальных данных о процессе
вибрационного сравнение планируется: сравнить результаты модели с
результатами натурных экспериментов; привнести в численную модель
наиболее интересные и еще не учтенные экспериментальные эффекты.
49
Список использованных источников
1. Кривцов А.М.. Деформирование и разрушение твердых тел с
микроструктурой. М.: Физматлит, 2007.
2. Черепанов Г.П.. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965.
4. Impact fracture of rock materials due to percussive drilling action. A.M.
Krivtsov, E.E. Pavlovskaya, M. Wiercigroch. CD-ROM Proceedings of 21st
International Cogress of Theoretical and Applied Mechanics. 2004. Warsaw,
Poland. 275 p.
5. The flattened Brazilian disc specimen used for testing elastic modulus, tensile
strength and fracture toughness of brittle rocks: analytical and numerical
results. Q. Z. Wang, X. M. Jiaa, S. Q. Koub, Z. X. Zhangb and P.-A.
Lindqvistb.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences
Volume 41, Issue 2, February 2004, Pages 245-253
6. http://www.ibf.uni-karlsruhe.de/felslabor/images/brazilian.jpg
7. Kiyoo Mogi. The influence of the Dimensions of specimens on the fracture
strength of rocks. Bulletin of the Earthquake. Research Institute. Vol. 40,
(1962). pp. 175-185
8. J. Mat. Coefficient of Friction for Steel on Concrete at High Normal Stress.
Сiv. Engrg. Volume 2, Issue 1, pp. 46-49 (February 1990)
9. Behavior of concrete under biaxial stresses. H. Kupfer, H.K. Hilsdorf, H.
Rusch. ACI journal, title No. 66-52 / august 1969
10.Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М.: Стройиздат,
1996.
11.Wiercigroch M., Wojewoda J., Krivtsov A.M. Dynamics of High-Frequency
Percussive Drilling of Hard Materials. Journal of Sound and Vibration. Vol.
280(3-5), 739–757.
12.Wiercigroch M., Krivtsov A.M., Wojewoda J. Dynamics of Ultrasonic
Drilling of Hard materials. In Wiercigroch M. and de Kraker A. eds. Applied
50
Non-linear Dynamics and Chaos of Mechanical Systems with Discontinuities.
World Scientific. 2000. 403-444.
13.Krivtsov A. M., Wiercigroch M. Penetration rate prediction for percussive
drilling via dry friction model. Chaos, Solutions and Fractals 11 (2000) 24792485
14.Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Nonlinear Dynamics of Percussive Drilling
of Hard Materials. CD Proc. Of 1999 ASME Int. Design Engineering Techn.
Conf.: 17th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Las
Vegas, Nevada, DETC99/VIB-8033, 6p.
15.Wiercigroch M., Krivtsov A.M., Wojewoda J. Vibrational energy transfer
via
modulated
impacts
for
percussive
drilling//
JOURNAL
OF
THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol 46, No3, pp. 715-726,
Warsaw 2008
16.Pavlovskaia E., Wiercigroch M. Periodic solution finder an impact oscillator
with a drift. // Journal of Sound and Vibration 267 (2003) p. 893-911
51